Grinblatt & Titman kap. 5. Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet Esben Kolind Laustrup

Transkript

1 Grinblatt & Titman kap. 5

2 Dagens forelæsning Investeringsmulighedsområdet Sammenhængen mellem risiko og forventet afkast (security market line) Capital Asset Pricing Model (CAPM) Empiriske tests af CAPM 2 2

3 G&T kap 4: Introduktion Porteføljeværktøjer (forventet afkast, varians, kovarians osv.) Mean-variance analyse Minimum varians portefølje Hvad skal vi bruge det til?? ) Porteføljemanagement! Men derudover noget endnu vigtigere lidt motivation: Claus Munk Sikre betalinger skal tilbagediskonteres med nulkuponrenterne Værdi af obligation Per Madsen Usikre betalinger skal tilbagediskonteres med en konstant diskonteringsrente Værdi af projekt/investering Men hvilken diskonteringsrente skal anvendes? 3 3

4 Introduktion Diskonteringsrente Bør tage hensyn til investeringens risiko! Jo mere risikabel en investering Jo højere diskonteringsrente! Hvordan findes den risikojusterede diskonteringsrente? 2) Den finder vi ved at bruge redskaberne fra kapitel 4! 4 4

5 Exhibit 5. Investeringsmulighedsområdet / the feasible set Hvor vil investorerne foretrække at være i figuren? Nødvendigt med adfærdsmæssige antagelser! 5 5

6 Investeringsmulighedsområdet Antagelser i Mean-Variance analyse Investorerne Foretrækker højt afkast Hader varians Markederne er friktionsløse (ingen kortsalgsrestriktioner, transaktionsomkostninger, skatter osv.) Nu ved vi hvor investorerne foretrækker at være i figuren! De foretrækker at få det højest mulige afkast ved en given varians. 6 6

7 Exhibit 5. Investeringsmulighedsområdet / the feasible set Investorerne vil placere sig på the efficient frontier (placeringen afhænger af præferencer) Dominerede porteføjer/aktiver Identifikation af portefølje på efficient rand Optimal investering! 7 7

8 Efficient rand (efficient frontier) Hvordan identificeres den efficiente rand? Benyt two-fund seperation ) Identificer 2 porteføljer på den efficiente rand 2) Kombinationer af disse to porteføljer identificerer hele randen! Kun nødvendigt at kende 2 porteføljer på randen for at identificere den! Men hvilke porteføljer? ) Minimum varians porteføljen 2) Mangler på nuværende tidspunkt (senere: Tangensporteføljen) 8 8

9 Exhibit 5.2 Two-fund separation og den efficiente rand + eksempel

10 Tangensporteføljen Vi mangler altså én portefølje (på den efficient rand) for at finde hele den efficiente rand. Tangensporteføljen - Antag der findes et risikofrit aktiv Det risikofri aktiv = minimum varians porteføljen Risikofrit aktiv Investeringsmulighedsområdet = ret linie (husk G&T kap. 4) Muligt at tegne en ret linie fra det risikofri aktiv, der tangerer investeringsmulighedsområdet Tangenspunktet Tangensporteføljen! 0 0

11 Exhibit 5.3 Tangensporteføljen og the Capital Market Line (CML) Der findes et risikofrit aktiv

12 Capital Market Line Nu har vi identificeret to porteføljer på den efficiente rand! ) Minimum varians porteføljen (alt investeret i risikofri aktiv) 2) Tangensporteføljen Kombinationer af disse to porteføljer Investeringsmulighedsområdet Risikofrit aktiv Investeringsmulighedsområdet = ret linie (husk G&T kap. 4) Den rette linie der kombinerer minimum varians porteføljen (det risikofri aktiv) og tangensporteføljen, kaldes Capital Market Line (CML) Alle investorer vil ligge et sted på CML (afhængigt af præferencer) 2 2

13 Exhibit 5.3 Tangensporteføljen og the Capital Market Line (CML) Der findes et risikofrit aktiv Placeringen på CML afhænger af investorernes præferencer! 3 3

14 Tangensporteføljen Hvordan findes tangentporteføljen i praksis? Nødvendigt med matematiske argumenter Dem tager vi fuldt ud på øvelserne Beviset fremgår af en ugeseddel som er lagt på hjemmesiden! Kun kort skitsering af problemet nu. 4 4

15 G&T Eksempel 5.3 Tag udgangspunkt i følgende kovariansmatrice: India Russia China E(r) India 0,002 0,00 0 0,5 Russia 0,00 0,002 0,00 0,7 China 0 0,00 0,002 0,7 Risikofrit afkast: 6% Find tangensporteføljen! 5 5

16 G&T Eksempel 5.3 Tangensporteføljen findes således: India Russia India 0,002 0,00 Russia 0,00 0,002 China 0 0,00 E(r) 0,5 0,7 China 0 0,00 0,002 0,7 Dvs: x x x 2 3 x x x 2 3 = 0,002 = 0, ,00 0,002 0, ,00 0,002 r r r 2 3 r r r 0,5 0,06 0,7 0,06 0,7 0,06 Risikofrit afkast: 6% 40 = i= x Men denne løsning er ikke en portefølje! 6 6

17 G&T Eksempel 5.3 Løsning: skalér porteføljevægtene så de summer til! x x x 2 3 = x 0,4 x2 = 0, x3 0,5 3 i= x = skaléring Dette er porteføljevægtene for tangensporteføljen! ~ E( R T ) R = 6,2% = T 2 = 0,0002 T 7 7

18 Exhibit 5.4 Afkast, standardafvigelser og risikopræmier Portfolio Mean Return Risk Premium S&P 500 Small Cap stocks Long-term corporate bonds Long-term government bonds 5.3% % Standard Deviation 20.% Slope Ingen klar sammenhæng mellem standardafvigelse og afkast! Det kan godt betale sig at finde efficiente porteføljer, der maksimerer afkastet for en given standard afvigelse! Hvis standardafvigelsen på et aktiv ikke bestemmer afkastet hvad gør så? Det kommer vi tilbage til senere 8 8

19 Tangensporteføljen På de forrige slides antog vi, at der eksisterede et risikofrit aktiv. Alle investorer ville ligge på Capital Market Line (de ville investere noget i tangensporteføljen, og noget i det risikofri aktiv) Hvad gør vi, hvis der ikke eksisterer et risikofrit aktiv? Tangensporteføljen - Antag der ikke findes et risikofrit aktiv Intet risikofrit aktiv Investeringsmulighedsområdet = hyperbel (husk G&T kap. 4) Dermed løses problemet således: ) Vælg en hypotetisk r f (skal være mindre end det forventede afkast på minimum varians porteføljen) 2) Løs problemet med den hypotetiske risikofri rente. 9 9

20 G&T Eksempel 5.5 Hvordan findes tangentporteføljen hvis der ikke eksisterer en risikofri rente? Vælg blot en hypotetisk risikofri rente og løs problemet som før! Tag igen udgangspunkt i følgende kovariansmatrice: India Russia China E(r) India 0,002 0,00 0 0,5 Russia 0,00 0,002 0,00 0,7 China 0 0,00 0,002 0,7 Risikofrit afkast: ukendt Find tangensporteføljen! Antag r f = 4% Skal blot være mindre end afkastet på minimumvariansporteføljen

21 G&T Eksempel 5.5 Tangensporteføljen findes således: India Russia India 0,002 0,00 Russia 0,00 0,002 China 0 0,00 E(r) 0,5 0,7 China 0 0,00 0,002 0,7 Dvs: x x x 2 3 x x x 2 3 = 0,002 = 0, ,00 0,002 0, ,00 0,002 r r r 2 3 r r r 0,5 0,04 0,7 0,04 0,7 0,04 Risikofrit afkast: 4% 50 = i= x Men denne løsning er ikke en portefølje! 2 2

22 G&T Eksempel 5.5 Løsning: skalér porteføljevægtene så de summer til! x x x 2 3 = x 0,467 x2 = 0,0833 x3 0,5 3 i= x = skaléring Dette er porteføljevægtene for tangensporteføljen! ~ E( R T ) R = 6,7% = T 2 = 0,0004 T 22 22

23 G&T Eksempel 5.5 Lad os nu finde the efficient frontier! Vi har fundet tangensporteføljen, og mangler derfor kun én anden portefølje for at genere hele the efficient frontier Minimumvariansporteføljen! Når vi har identificeret minimumvariansporteføljen og tangensporteføljen kan vi vha. two-fund separation finde hele den kritiske rand (eller the efficient frontier) 23 23

24 24 24 G&T Eksempel 5.5 Minimumvariansporteføljen fandt man ved at løse følgende system: = x x x Dvs: = = ,002 0,00 0 0,00 0,002 0,00 0 0,00 0, x x x = 0,5 0 0,5 3 2 x x x skaléring

25 25 25 G&T Eksempel 5.5 Tangensporteføljen: = 0,5 0,0833 0, x x x = 0,5 0 0,5 3 2 x x x Minimumvariansporteføljen: The efficient frontier (vha. two-fund seperation): + = = 0,5 0,0833 0,5 0,0833 ) ( 0,5 0,5 ) ( 0 0,0833 ) ( 0,5 0, w w w w w w w w x x x

26 G&T Eksempel 5.5 0,640 Mean Variance Diagram 0,630 0,620 0,60 0,600 The efficient frontier Tangensportefølje Minimumvariansporteføljen 0,590 (Der kommer et regneark på nettet, hvor jeg viser hvordan den efficiente rand konstrueres) 0,580 0,570 0,560 0,035 0,037 0,039 0,032 0,0323 0,0325 0,

27 Dagens forelæsning Investeringsmulighedsområdet Sammenhængen mellem risiko og forventet afkast (security market line) Capital Asset Pricing Model (CAPM) Empiriske tests af CAPM 27 27

28 Sammenhæng mellem risiko og afkast Identifikation af minimum varians portefølje og tangensportefølje Muligt at identificere the efficient frontier og finde optimale investeringer. Men derudover kan tangensporteføljen også anvendes til noget andet: Vha. diverse omskrivninger kan den give os et mål for et aktivs forventede afkast!! Hvorfor er det interessant? Lidt motivation (eksempel fra G&T) Dell Opføre fabrikker i fjernøsten Hvilken diskonteringsrente skal anvendes til at vurdere denne investering? 28 28

29 Sammenhæng mellem risiko og afkast Forslag nr. : Anvend den risikofri rente NEJ! Risikabel investering. Forslag nr. 2: Anvend det historiske afkast på Dells aktie NEJ! Dells aktie er mere end 200 gange mere værd, end da virksomheden blev børsnoteret. Umuligt/urealistisk at Dells fabrikker kan give dette afkast igen. Hvilken diskonteringsrente skal vi SÅ benytte? Dejligt hvis man havde et udtryk for, hvordan et aktivs forventede afkast bestemmes

30 Sammenhæng mellem risiko og afkast Med udgangspunkt i resultatet for tangensporteføljen kan man opstille den meget vigtige risiko-afkast-formel! Kaldes også Security Market Line På øvelserne gennemgår vi matematikken bag resultatet. På forelæsningerne bruger vi mere tid på intuitionen. Kort matematisk skitsering af problemet på tavlen

31 Sammenhæng mellem risiko og afkast Security Market Line (risiko-afkast-formel) r k = r + cov( rk, RT ) ( R var( RT ) 4243 β k T r) k =,2,...N Dvs: Hældningskoefficient i regressionsligning! r k = r + β k ( R r) T hvor β k = cov( r k var( R, R T T ) ) Ganske almindelig regression af r k på tangensporteføljens afkast! 3 3

32 Sammenhæng mellem risiko og afkast Hvad siger formlen med ord? Security Market Line (risiko-afkast-formel) r k = r + β k ( R r) T hvor β k = cov( r k var( R, R T T ) ) SML viser hvilket forventet afkast et aktiv skal/bør have! Det er ikke aktivets egen varians der er afgørende. Det er aktivets kovarians med tangensporteføljen, der bestemmer aktivets forventede afkast! Jo mere aktivets afkast kovarierer med tangensporteføljen Jo højere afkast bør aktivet have! (og omvendt) 32 32

33 Exhibit 5.5 Sammenhængen mellem CML og SML Forskellige aktiver med samme afkast kan have forskellige standard afvigelser, men de er nødt til at have samme beta! (jfv. SML) 33 33

34 SML Risiko-afkast-formlen Konklusion på SML: Det der afgør en given investerings forventede afkast, er investeringens kovarians med tangensporteføljen. Nu har vi et mål for risiko! Stor cov(r k, R T ) Højt forventet afkast på aktiv k Lille cov(r k, R T ) Lavt forventet afkast på aktiv k Kun systematisk risiko belønnes (mere om det i G&T kap. 6) cov(r k, R T ) Usystematisk risiko (som er virksomhedsspeficik og ikke påvirker markedet) belønnes ikke Som sagt: meget mere om det i kap

35 SML Risiko-afkast-formlen Dell-eksemplet Dell Opføre fabrikker i fjernøsten Hvilken diskonteringsrente skal anvendes til at vurdere denne investering? Find β Dell ved at regressere Dells afkast på tangensporteføljens afkast, og beregn afkastkravet vha. SML-formlen. Man har en risikojusteret diskonteringsrente, som man kan benytte til at evaluere projektet i fjernøsten med! 35 35

36 SML Risiko-afkast-formlen For 20 gang: Det forventede afkast på et aktiv bestemmes af SML og kovariationen mellem aktivets afkast og tangensporteføljens afkast. Problem: Konstruktion af tangensporteføljen Nødvendigt at beregne kovarianser mellem samtlige aktiver (huse, aktier, obligation osv.) i verden. Husk: x x2... xn... N N N 2N... NN r r r2 r =... rn r Og disse estimerede kovarianser adskiller sig helt sikkert fra de ægte kovarianser

37 SML Risiko-afkast-formlen Umiddelbart ubrugeligt med mean-variance-analyse, når det er umuligt at identificere tangensporteføljen i praksis. Dejligt med en teori der identificerer tangensporteføljen, så den ikke skal beregnes! Capital Asset Pricing Model (CAPM) 37 37

38 Dagens forelæsning Investeringsmulighedsområdet Sammenhængen mellem risiko og forventet afkast (security market line) Capital Asset Pricing Model (CAPM) Empiriske tests af CAPM 38 38

39 CAPM CAPM: CAPM teorien tilføjer en ekstra antagelse til mean-variance analyse, og herefter opstilles en teori der identificerer tangensporteføljen! Mean-variance-Analysis - Antagelser ) Investorerne hader varians og elsker afkast 2) Markederne er friktionsløse Ekstra antagelse i CAPM: 3) Investorerne har homogene forventninger (når investorerne udregner afkast og standardafvigelse på porteføljer, kommer de alle til samme resultat) 39 39

40 Dermed kan man vise følgende: CAPM CAPM konklusion: Tangensporteføljen = Markedsporteføljen Alle aktiver i verden indgår i denne portefølje med deres relative markedsværdi Dermed bliver SML (risiko-afkast-formlen) til følgende: Markedsporteføljen r k = r + β k ( R r) M hvor β k = cov( r k var( R, R M M ) ) (CAPM formlen den kommer i til at bruge mange gange senere på studiet!) 40 40

41 G&T Eksempel 5.7 Hypotetisk økonomi 3 aktiver (aktier) Compaq Aktiekurs = 20,25 Antal aktier =,7 mia Market cap. = 35 mia. IBM Aktiekurs = 95 Antal aktier =,758 mia Market cap. = 67 mia. HP Aktiekurs = 33 Antal aktier = 2 mia Market cap. = 66 mia. Total market cap. = 268 mia. Markedsporteføljen har følgende vægte: Compaq = 0,3 IBM = 0,62 HP = 0,25 4 4

42 CAPM CAPM identificerer altså tangensporteføljen, og dermed behøver man ikke selv estimere den! Mean-variance-analysis og SML giver mening, og kan anvendes i praksis (og det gør man i HØJ grad). Markedsporteføljen Indeholder alle aktiver i verden (huse, obligation, aktiver osv.) I praksis: nødvendigt med en proxy for markedsporteføljen. USA: fx S&P 500 (value-weighted portfolio) DK: fx KFX (de 20 mest omsatte aktier value-weighted) eller KAX (CSEs totalindex der inkluderer alle aktier value-weighted) 42 42

43 CAPM Når der eksisterer et risikofrit aktiv, argumenterede vi tidligere for, at alle investorer ville placere en andel i det risikofri aktiv, og en andel i tangensporteføljen. (De ville med andre ord ligge på Capital Market Line (CML)) Optimal investering (højest muligt afkast for en given varians). Det gælder stadig! Men: Tangensporteføljen = Markedsporteføljen (CAPM) Optimal investering: kombination af risikofrit aktiv og markedsporteføljen

44 Samlet konklusion for CAPM: CAPM Det der afgør et aktivs forventede afkast, er aktivets kovarians med markedsporteføljen ~ cov( r k ~, R M ) Regresser et aktivs afkast på markedsporteføljens afkast Man har et mål for hvilket afkast aktivet bør/skal give! Resultatet er en risikojusteret rente, der kan anvendes til mange forskellige formål: Vurdering af en investerings attraktivitet Vurdering af en virksomheds værdi og meget andet

45 Problem ved CAPM: CAPM Når man anvender CAPM i praksis, benytter man som tidligere nævnt en proxy for markedsportefløjen. Fx KFX KFX Ringe proxy for markedsporteføljen! Indeholder jo kun 20 danske aktier, hvorimod markedsporteføljen indeholder samtlige aktiver i hele verden! Resultaterne fra CAPM afhænger i høj grad af, om den proxy man vælger er en god proxy! 45 45

46 Dagens forelæsning Investeringsmulighedsområdet Sammenhængen mellem risiko og forventet afkast (security market line) Capital Asset Pricing Model (CAPM) Empiriske tests af CAPM 46 46

47 Empiriske tests af CAPM Empiriske tests: Hvordan fungerer CAPM-modellen i praksis? Fitter den virkeligheden, eller skyder den langt fra? Vigtigt at vide om det er en god model, før man anvender den. Problem ved de empiriske tests: KAN CAPM overhovedet testes? Så længe man ikke anvender den korrekte markedsportefølje, men kun en proxy for markedsporteføljen CAPM kan hverken be- eller afkræftes. OK, vi erkender problemerne omkring test af CAPM, men vi prøver alligevel 47 47

48 Test af CAPM Første skridt i test af CAPM Tidsserie-regression r jt = α + β R + ε j j Mt jt Fx afkast på AP Møller over tid Fx afkast på KFX over tid Man får et estimat på β AP-Møller Andet skridt i test af CAPM Cross-sectional regression β AP-Møller (fra tidsserie-regressionen ovenfor) r j γ ˆ CHAR + δ = 0 + γβ j + γ 2 j j Fx gennemsnitligt afkast på AP Møller Fx virksomhedsstørrelse 48 48

49 Test af CAPM Andet skridt i test af CAPM Cross-sectional regression β AP-Møller r j γ ˆ CHAR + δ = 0 + γβ j + γ 2 j j Fx gennemsnitligt afkast på AP Møller Fx virksomhedsstørrelse Hvis CAPM true: r f λ (Markedsrisikopræmien) RM r f 0 Der bør ikke være andre faktorer, der kan forklare aktivets forventede afkast, når man har taget hensyn til β!! (antaget ingen multikollinearitet) Det viser sig, at γ 2 er forskellig fra 0. Mere om det senere 49 49

50 Data der er konsistent med CAPM Exhibit 5.8 Rigtigt intercept (r f ) Rigtig hældning (λ) 50 50

51 Exhibit 5.9 Data der er inkonsistent med CAMP Forkert intercept Forkert hældning Aktivernes afkast ligger på en kurve og ikke en ret linie Tydelig sammenhæng mellem afkast og firm size efter der er taget højde for β!! Afdeling for Virksomhedsledelse, Det tyder på Aarhus CAPM Universitet ikke har forklaret det hele! 5 5

52 For at gøre en lang historie kort Test af CAPM Det viser sig, at en række forskelle faktorer forklarer historiske afkast bedre end CAPM! r j = γ ME j 0 + γmv j + γ 2 + BE j... Negativ Markedsværdi Negativ Market-to-book value γ negativ γ 2 negativ Små virksomheder har højere afkast end store virksomheder Virksomheder med lav market-to-book value (fx industri) har højere afkast end glamour virksomheder (fx IT) 52 52

53 Alt i alt: Test af CAPM Det lader til, at der skal inkluderes flere/andre faktorer end blot markedsporteføljen, når forventede afkast skal forklares!! G&T Kap. 6: Arbitrage Pricing Theory og flerfaktormodeller! 53 53