Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)"

Transkript

1 Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x 5 x Vi har derfor ligningen: 5x 80 x 16. Sønnens alder i dag er 16 år og faderens er 48 år. Det passer med, at faderens alder om år er lig med 80. Opgave Vi antager: A har x æbler og B har y æbler. Oplysningerne kan oversættes til følgende ligninger: x 15 y og y 10 x Indsættes sidste ligning i den første ligning, får vi: y y y 5 y y 5 Heraf følger: A har æbler og B har 5 æbler. Opgave Hvis hvert æble koster x kr. og A køber y æbler, har vi ligningen: x y 0 Når prisen pr. æble i stedet er ( x 0, 50) kr., vil A kunne købe y 5 æbler. Det giver ligningen: ( x 0, 5) ( y 5) 0 Vi kan herefter løse følgende ligningssystem, idet såvel x som y skal være positive tal: 0 x x y 0 x y 0 y ( x 0, 5) ( y 5) 0 x y 0, 5y 5x, , 5y 5, 5 0 y x x x x y y y y 15 0, 5y 150, 5y 0 0, 5y, 5y y 15 Den negative rod i ovenstående andengradsligning kan ikke bruges, og den er udeladt i ovenstående. Manden kan købe 15 æbler til en pris af kr. stykket. Opgave 4 Hvis købsprisen er x kr., så vil købspris + x% sfortjeneste være lig med 119 kr. 1

2 x x 100 x x x x 100x x x 70 x 170. Købsprisen er 70 kr., idet den negative værdi ikke kan bruges. Opgave 5 5 på hinanden følgende tal kan se sådan ud: x x 1 x x x 4 Deres sum: x x 1 x x x 4 5x 10 Der gælder derfor: 5x x 545 x 109 Tallene er: Opgave 6 Faders alder sættes til x og sønnens alder til y. Vi får da følgende ligninger: x 8 ( y ) x 8y 4 x 8y 1 x 8y 1 y 1 8y 1 x 1 ( y 1) x 1 y 4 x y 1 x y 1 x y 1 6 y 4 y 7 x y 1 x 5 Faderen er i dag 5 år og sønnen er 7 år. Opgave 7 Vi køber x haner, der hver koster 5 pengestykker, y høner, der hver koster pengestykker, og z kyllinger til en enhedspris af 1/ pengestykker. Oplysningerne kan oversættes til: x y z 100 x y z x y z x 9y z 00 Det står klart, at vi har ligninger med ubekendte, og derfor kan vi evt. få flere løsninger. Hvis vi ikke udelukkende skal købe haner, kan vi af den nederste ligning konkludere, at x må være mindre end 0. Ved at pusle lidt med tallene finder man desuden, at x er et tal i 4-tabellen. Det giver et begrænset antal mulige løsninger. Vi kan sætte x til forskellige værdier, og herved få ligninger i de variable y og z. Disse kan så løses. 1

3 For x 16 : y z 84 z 84 y z 84 y z 87 9 y z 60 9 y 84 y 60 8 y 4 y Dette er ikke en mulig løsning. For x 1 : y z 88 z 88 y z 88 y z 84 9 y z 10 9 y 88 y 10 8 y y 4 Dette er en mulig løsning. Løsningerne, når x, y og z alle er større end 0 er: x y z Opgave 8 I første ligning står der: x y z. Dette er ensbetydende med x y z 0. For at komme fra næstsidste linje til sidste linje bliver der divideret med x y z. Det er ikke tilladt, da vi herved dividerer med 0. Der kan føres mange argumenter for, at vi ikke kan tillade, at dividere med 0 på begge sider af lighedstegnet. F.eks.: Første ligning er sand, mens sidste ligning er falsk, så der er ikke regnet ensbetydende. Opgave 9 Når det er sidelængder i en retvinklet trekant, kan vi bruge Pythagoras sætning: x ( x 7) ( x 9) x x 14x 49 x 18x 81 x 4x x x 8 x 4 Den negative værdi kan ikke bruges. Vi får hermed sidelængderne: 8, 15 og 17 Opgave 10 Da nævnerne ikke må være 0, må vi forudsætte: x og x x 9 x x x x x x x x x ( x ) ( x ) x 6 x 4, 5 ( x )( x ) x x 14

4 Opgave 11 Først må vi slå fast, at der alene er tale om en andengradsligning, når a 0. Andengradsligningen ax 1x 9 0 har diskriminanten: 1 4 a a Der er netop én løsning for: D a 0 6a 144 a 4. Der er løsninger for: D a 0 6a 144 a 4. Hvis ligningen skal have løsninger, der er hele tal, skal vi i det mindste have et kvadrattal under rodtegnet i nedenstående: a a 6 4 a ax 1x 9 0 x x x a a a Vi kan helt klart bruge a, idet vi får: 6 4 x x 1 x Det er også den eneste løsning. Ganske vist kan 4 a være et kvadrattal for uendelig mange værdier af a, f.eks.: 5, 1, 1,,.... Men ingen af dem giver hele tal, når vi udregner brøken, idet den numeriske værdi af tallene i tælleren hurtigt bliver meget mindre end den numeriske værdi af nævneren, og brøken bliver derfor mindre end 1. Opgave 1 x 1x c 0 har løsninger for: D 1 4 c 0 c 1. Vi får: c x 1x c 0 x 6 c 9 giver løsningerne: x 1 x. c 9 er det eneste positive hele tal, der giver et kvadrattal under rodtegnet. Der er derimod negative værdier af c, der kan bruges, f.eks. c 15, der giver rødderne 1 og -5. Men her søgte vi alene de positive tal. Opgave 1 Vi forsøger at løse ligningerne efter determinantmetoden: Vi undersøger hvilke værdier af a, der giver en determinant på 0: a ( a) a a a a 0 a a. a 15

5 Vi ved, at der er netop ét sæt løsninger, når determinanten er forskellig fra 0, hvorimod der er ingen eller uendelig mange løsninger, når determinanten er lig med 0. Vi deler derfor op i følgende tilfælde: 1. For a og a får vi: 4 a 4 a 8 a ( a 4) a a 4a 4a x og y 0 a a a 4 a a 4 a a x y 0 er den eneste løsning.. For a ser ligningssystemet sådan ud: x y 4 x y 4 x y y x x y 4 Her er alle punkter (koordinatsæt)på linjen med ligning: y x løsninger til ligningssystemet.. For a får vi: Opgave 14 x y 4 x y 4 x y y x. x y 4 Her er alle punkter på linjen med ligning: y x løsninger til ligningssystemet. x 7 x 10 0 er en andengradsligning i den variable x. Vi sætter y x og får: y 7 y 10 0 y y 5 y. Heraf følger: x 5 x x x 1. 16

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Frank Villa. 15. juni 2012

Frank Villa. 15. juni 2012 2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel)

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel) Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Renteregning.notebook Hjemly 09/10. Rentesregning. Bank og sparekasse

Renteregning.notebook Hjemly 09/10. Rentesregning. Bank og sparekasse Rentesregning Lån og långivning Kapital, rentefod og rentedage Hvordan regnes med simpel rente? Andre former for rentesregning Bank og sparekasse Banker og sparekasser har to hovedopgaver: de låner penge

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Sommer 2015 Københavns

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Matematikvejledning i praksis. Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G

Matematikvejledning i praksis. Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G Matematikvejledning i praksis Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G 1 De tre projekter Projekt 1 Projekt 2 Projekt 3 Tema: Begreber og begrebsdannelse Sprog og ligninger Tema: Argumentation

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Tilstandsligningen for ideale gasser

Tilstandsligningen for ideale gasser ilstandsligningen for ideale gasser /8 ilstandsligningen for ideale gasser Indhold. Udledning af tilstandsligningen.... Konsekvenser af tilstandsligningen...4 3. Eksempler og opgaver...5 4. Daltons lov...6

Læs mere

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Statistik med GeoGebra

Statistik med GeoGebra Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83

RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83 RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-8 og TI-83 Af Frans Morville. Programmet har menuer i to niveauer organiseret efter de oplysninger, der opgivet (kendte) og som skal bruges i beregninger. Overskrifterne

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Bogstavregning. Formler...74 Reduktion...78 Ligninger...81 Ligninger som løsningsmetode...86. Bogstavregning Side 73

Bogstavregning. Formler...74 Reduktion...78 Ligninger...81 Ligninger som løsningsmetode...86. Bogstavregning Side 73 Bogstavregning Formler...7 Reduktion...78 Ligninger...81 Ligninger som løsningsmetode...86 Bogstavregning Side 7 Formler 1: Regn disse opgaver med formler: a: Beregn: y = 5 + når: = b: Beregn: b = 15 a

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler

Læs mere

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Årsplan 2016/2017 Matematik i 8. klasse

Årsplan 2016/2017 Matematik i 8. klasse Årsplan 2016/2017 Matematik i 8. klasse I matematik i 8. klasse arbejdes der med hovedområderne matematiske kompetencer, tal og algebra, geometri og måling samt statistik og sandsynlighed. Ved udgangen

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Bedre vilkår for at fastholde ældre medarbejdere og for at ansætte pensionister

Bedre vilkår for at fastholde ældre medarbejdere og for at ansætte pensionister Bedre vilkår for at fastholde ældre medarbejdere og for at ansætte pensionister Lettere at vælge arbejde frem for folkepension Et nyt sæt regler gør det lettere end tidligere for virksomheder at holde

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Brøkregning. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 24 Ekstra: 5 Point:

Brøkregning. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 24 Ekstra: 5 Point: Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Brøkregning Følgende gennemgås: Brøk typer Forlængning Forkortning Addition Subtraktion Blandede tal Multiplikation Division Heltal & Brøk Brøk & decimal & Procent

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x)) A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k

Læs mere

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU

1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012 Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre Side 1 Photofiltre er jo først og fremmest et fotoredigeringsprogram. MEN det er også udmærket til at lave grafik med. F.eks. disse knapper er hurtig og nemme at lave. Her er der sat en hvid trekant med

Læs mere

MaxiMat og de forenklede Fælles mål

MaxiMat og de forenklede Fælles mål MaxiMat og de forenklede Fælles mål Dette er en oversigt over hvilke læringsmål de enkelte forløb indeholder. Ikke alle forløb er udarbejdet endnu, men i skemaet kan man se alle læringsmålene også de,

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C Navn: Casper Hermansen Klasse: 2.7 Fag: Skole: Roskilde tekniske gymnasium Side 1 af 16 Indhold Indledende aktivitet... 3 Projektbeskrivelse:... 3 Krav:... 3 Målgrupper:... 3 Problemformulering:... 3 Diskussion

Læs mere

FRA INDKØB TIL SALG...

FRA INDKØB TIL SALG... Fra indkøb til salg Kalkulere betyder beregne. Dette hæfte handler om at beregne - kalkulere - Hvor meget der skal bruges til en bestemt opskrift - Hvor meget svind der er på råvarerne - Hvad varerne koster

Læs mere

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens

Læs mere

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase

Læs mere

1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller-

1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller- 1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller- Vækstmodellerne: Lineær funktion: Forskrift: a er hældningskoefficient

Læs mere

brøker basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt

brøker basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker G ISBN: 978-87-92488-04 06 2. udgave som E-bog 202 by bernitt-matematik.dk Denne bog er beskyttet

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

T ALKUNNEN. Tal. Gå på taljagt! INFA Matematik - 1999. Allan C MI 146 ISBN 87-7701-690-4 ISSN 1398-6716

T ALKUNNEN. Tal. Gå på taljagt! INFA Matematik - 1999. Allan C MI 146 ISBN 87-7701-690-4 ISSN 1398-6716 T ALKUNNEN 7 Allan C Allan C.. Malmberg Tal Gå på taljagt! MI 146 ISBN 87-7701-690-4 ISSN 1398-6716 INFA Matematik - 1999 Talkunnen Serien Talkunnen indeholder fremstillinger af en række emner som kan

Læs mere

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2 GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Har valg af selvkostmetoden konsekvens for regnskabsanalytiske nøgletal?

Har valg af selvkostmetoden konsekvens for regnskabsanalytiske nøgletal? 1 Har valg af selvkostmetoden konsekvens for regnskabsanalytiske nøgletal? Det følgende eksempel viser, at svaret på det stillede spørgsmål er bekræftende. Som konsekvens heraf skal nøgletal ikke overfortolkes,

Læs mere

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76 Eksamensspørgsmål i ma til 1b sommeren 2010 1. Procent og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning (i daglig

Læs mere

Forbuddet mod ansættelse omfatter dog ikke alle stillinger. Revisor er alene begrænset fra at:

Forbuddet mod ansættelse omfatter dog ikke alle stillinger. Revisor er alene begrænset fra at: Krav om cooling off-periode for alle (også SMV) revisorer inden ansættelse i tidligere reviderede virksomheder Det nye ændringsdirektiv om lovpligtig revision af årsregnskaber og konsoliderede regnskaber

Læs mere

Årsplan matematik 7 kl 2015/16

Årsplan matematik 7 kl 2015/16 Årsplan matematik 7 kl 2015/16 I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale, og har matematikfessor som suplerende materiale, samt kopisider. I systemet er der,ud over grundbogen, også kopiark

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

8. søndag efter trinitatis II. Sct. Pauls kirke 17. juli 2016 kl. 10.00. Salmer: 736/392/436/686//672/439/701/651

8. søndag efter trinitatis II. Sct. Pauls kirke 17. juli 2016 kl. 10.00. Salmer: 736/392/436/686//672/439/701/651 1 8. søndag efter trinitatis II. Sct. Pauls kirke 17. juli 2016 kl. 10.00. Salmer: 736/392/436/686//672/439/701/651 Åbningshilsen + I Faderens og Sønnens og Helligåndens navn, amen! Sommerferietid. Søndag,

Læs mere

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer

Læs mere

Sorteringsmaskinen. Hej med dig!

Sorteringsmaskinen. Hej med dig! Sorteringsmaskinen Hej med dig! Jeg er Thomas Tandstærk, og jeg ved en masse om teknik og natur. Jeg skal lære dig noget om at lave forsøg og undersøgelser. Når klassen er færdig får I et flot diplom!

Læs mere

BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT

BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT Opgave 1 B. C. Fx,,,,, Opgave 2 10 flasker B. 6 flasker C. liter 1 3 4 6 7 liter 1 2 3 4 5 D. L 1 2 3 5 10 5 20 25 10 35 40 15 3 3 3 3 3 3 liter 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Opgave 3 liter B. = 1 L + Liter C. Det

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6

Læs mere

Picasa Web. En ressource i SkoleIntra. Version: August 2012

Picasa Web. En ressource i SkoleIntra. Version: August 2012 Picasa Web En ressource i SkoleIntra Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er PicasaWeb?...4 Kom på!...5 Google-konto...5 Når du er logget ind: Indstillinger...5 Når du er logget ind: Upload...6

Læs mere

Basal Matematik 3. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 64 Ekstra: 9 Point:

Basal Matematik 3. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 64 Ekstra: 9 Point: Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De 4 regnearter Afrunding af tal Regne hierarki Enheds omregning Reduktion Brøkregning Potenser

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers

Læs mere

3 kg vindruer koster 66 kr. 2 kg vindruer koster 56 kr. 2 kg vindruer. koster 48 kr. 2,5 kg vindruer. koster 45 kr. koster 108 kr.

3 kg vindruer koster 66 kr. 2 kg vindruer koster 56 kr. 2 kg vindruer. koster 48 kr. 2,5 kg vindruer. koster 45 kr. koster 108 kr. 2. 4. Vindruer,5 kg vindruer koster 45 kr. 3 kg vindruer koster 45 kr. 2 kg vindruer koster 48 kr. 2 kg vindruer koster 56 kr. 3,5 kg vindruer koster 63 kr. 3 kg vindruer koster 66 kr. 2 kg vindruer koster

Læs mere