Temperaturmåling af Mørkt Stof i Galaksehobe

Transkript

1 Temperaturmåling af Mørkt Stof i Galaksehobe Josefine Adler, Lisa Lolk Hauge, Jophiel Nyman Wiis Vejledere: Steen H. Hansen, Johan Samsing 30. marts 011 (Image credit: NASA)

2 Abstract Given that the amount of dark matter in the universe greatly outweighs ordinary matter, it is surprising how little we know about it. In this project, we seek to remedy this in some small way by studying one distinctive feature of dark matter, namely that the local temperature of the dark matter may depend on it s direction. This is in stark contrast with normal baryonic matter. We use X-ray observations of the Abell 05 galaxycluster, and assumptions about dark matter temperature and hydrostatic equilibrium in the cluster, to measure the temperature anisotropy β dm of dark matter. We find that β dm differs from 0, which fits with the assumption that dark matter particles does not collide. Indhold 1 Galaksehobe Det intergalaktiske medium Mørkt stof 1.1 Hvordan kan vi observere mørkt stof? Gravitational lensing X-ray Hydrostatisk ligevægt Antagelser Udledning af formel Forventet størrelsesorden af M total Data 6 5 Jeans ligningen Den flygtige β konstant Konklusion 11

3 1 Galaksehobe Når vi kigger ud i verdensrummet, viser det sig, at galakser har tendens til at samle sig i større eller mindre gravitationelt bundne grupper, kaldet galaksehobe. Størrelsen på en galaksehob varierer meget, fra den mindst tænkelige hob bestående af blot to galakser, op til kæmpe hobe som Coma- eller Virgo-hoben, hvoraf sidstnævnte indeholder omtrent 1500 kendte galakser og strækker sig over en diameter på 10 millioner lysår (Mly). Vores lokale galaksehob, the Local Group, er relativt lille, ca. 3 Mly på det bredeste stykke, og er domineret af hobens to største galakser, Mælkevejen og Andromeda, der roterer om hinanden. Omtrent 30 andre mindre galakser fylder hoben ud. [8] Sammenlignet med Virgo hoben er vores lokale hob langt fra tæt pakket! 1.1 Det intergalaktiske medium Fra galakse til galakse strækker der sig lange filamenter af gas. Denne gas består hovedsageligt af neutral atomar hydrogen (H I), men visse metaller og andre grundstoffer er også at finde. I rummet mellem disse filamenter finder vi noget af større betydning for os, nemlig den varme, ioniserede hydrogen gas (H II), som vi baserer vores udregninger på. H II gassen blev dannet (og dannes stadig) ved, at H I gassen ioniseres af UV-stråling fra stjernerne i galaksehoben, som simpelthen river elektronerne løs fra deres baner om brintatomets kerne. Grundet impulsbevarelse, og den meget høje energi der skal til at løsrive et elektron fra en hydrogen-kerne, er hastigheden, og dermed temperaturen, af H II-gassen meget høj. Denne høje temperatur medfører, at partiklerne på deres vej gennem hoben, ikke påvirkes synderligt af de små lokale tyngdefelter der udgøres af f.eks. H I filamenterne. Derfor danner de ikke overordnede strukturer, men spreder sig jævnt i hele hoben. Man kunne forestille sig at de frie protoner og elektroner i H II-gassen før eller siden finder sammen og omdannes til H I, men da koncentrationen af gassen er meget lav, er chancen for sådan et sammenstød stort set lig nul. Ydermere, skulle en kobling ske, ville UV-strålingen fra galaksehoben, som let gennemtrænger den diffuse gas, hurtigt rive dem fra hinanden igen. Mørkt stof En af astronomiens mest forbløffende opdagelser indenfor de sidste 100 år er, at normalt baryonisk stof, som er opbygget af elementar-partikler, kun udgør en meget lille del (ca. 4%) af universets samlede masse. [4] Den resterende del tilegnes såkaldt mørk energi (ca. 73%) og mørkt stof (ca. 3%). En spændende egenskab ved mørkt stof er at det antages at det ikke kolliderer med sig selv. [] Denne egenskab vil vi benytte senere til at vise hvordan mørkt stof kan have forskellig temperatur alt efter hvilken retning man observerer det fra..1 Hvordan kan vi observere mørkt stof? Mørkt stof kan observeres indirekte på flere forskellig måder. Observation af galaksers dynamik afslørede for første gang tilstedeværelsen af det mørke stof. Under antagelse af at, massen af en galakse inden for en bestemt radius er proportional med lyset udsendt fra galaksens stjerner ( M L forholdet), begyndte Jan Oort og Fritz Zwicky i 1930 erne, uafhængigt af hinanden, at måle på galaksers rotation. De forventede at galaksers kredsløb opførte sig ligesom solsystemet, og da det tidligere var blevet observeret at mængden af lys i spiralgalakser (og dermed mængden af stjerner, og galaksens masse) aftager eksponentielt jo længere væk man kommer fra galaksens centrum, antog man derfor, at den radielle hastighed af stjernerne i galaksen også ville aftage. betegnelserne H I og H II for hhv. neutral og ioniserede hydrogen atomer, er en gammel betegnelse som nu til dags udelukkende bruges af astronomer. i hvert fald ikke på denne skala. Ser vi på H II regioner inde i galakserne er historien en helt anden. Her kendes de som stjernetåger, og er stærkt uhomogene. M kg for solen er , men da denne brøk er besværlig og ikke særlig informativ, plejer man at normalisere således L W at solen har et M forhold på 1. L 1

4 Hvad der derimod blev observeret var, at stjernernes angulære hastighed ikke aftog, og at de yderste stjerner bevægede sig langt hurtigere end forventet. Hurtigt nok til at undslippe galaksens tyngdefelt! Noget var tydeligvis galt. Hvis galakserne skulle have masse proportionalt med mængden af udsendt lys, som M L forholdet postulerede, måtte der findes 10 gange mere massivt stof i galakserne end vi kunne se![3] [4] Konflikten mellem disse observationer indikerede, at der måtte findes 10 gange mere masse i galakserne end hvad der kunne observeres, hvis stjernernes bevægelser skulle forklares ud fra gravitation. Inden længe blev denne indirekte observerede masse navngivet Dark Matter, eller Mørkt Stof (MS). Figur.1: En galakses rotation kan måles ved at kigge på doppler-forskydning i lys der udsendes i hydrogen-spektret. Den side af galaksen der bevæger sig væk fra os vil være rødforskudt, imens den side der bevæger sig imod os vil være blåforskudt. Der skal selvfølgelig tages højde for den translatoriske bevægelse først. (Image credit: Pearson).1.1 Gravitational lensing Gravitational lensing er en anden måde at måle massen af en galaksehob, og et resultat af Einsteins generelle relativitets-teori. Ifølge Einstein påvirkes lys af tyngdekraften på samme måde som masse gør, og bliver dermed afbøjet af massive legemer. På denne måde kan galaksehobe virke som store linser, som samler lys fra bagvedliggende objekter (fig. 3.1a). Visuelt observerer vi karakteristiske buer rundt om galaksehoben, og samme baggrundsobjekt kan afføde mere end én bue. Ud fra observationer af disse buer kan man lave konklusioner om forgrundsobjektets masse. Når vi måler på dette, findes massen igen til at være langt større end forventet udfra mængden af lys der modtages fra hoben.[4].1. X-ray En anden måde at måle massen af en galakse hob, er ved at kigge på hobens elektromagnetiske stråling i X-ray spektrummet. Vi kan her samle data om temperaturen og densitet af hobens H II gas. Sættes disse ind i ligningen for hydrostatisk ligevægt i galaksehobe (se nedenfor) kan vi udregne hobens egentlige masse. Det er denne metode vi bruger i dette projekt.

5 (a) Gravitational lensing (Image credit: Berkeley) (b) Hydrostatisk ligevægt (Image credit: L. Hauge) Figur Hydrostatisk ligevægt Hydrostatisk ligevægt opstår når summen af krafter der virker på en gas er lig nul. For en galaksehob gælder det, at hydrostatisk ligevægt er opnået når tyngdekraften, der trækker gassen mod hobens centrum, netop udlignes af gassens tryk (fig. 3.1b). 3.1 Antagelser Da vi ikke har præcis data om alt hvad vi kunne ønske os bliver vi i det følgende nødt til at gøre os nogle antagelser. Galaksehoben er sfærisk symmetrisk Vores formel for hydrostatisk ligevægt tager udgangspunkt i at galaksehoben er sfærisk symmetrisk. Hovedargumentet for denne antagelse er at hoben ser cirkulær ud på himlen. Gassen i galaksehoben er i hydrostatisk ligevægt Den sfæriske struktur af hoben plus det faktum at gaspartiklerne kolliderer ofte nok (ca. en gang hver 10 6 år) viser os at der er ligevægt. [7, p. 79] Antagelsen om hydrostatisk ligevægt er ikke nødvendigvis gældende for den ydre del af hoben, men da vi kun kigger på den inderste del (radius 0.5Mpc) kan vi se bort fra dette. Temperaturen af dark matter i hoben er lig temperaturen af gassen Dette er en ret ( stor antagelse, ) men numeriske simulationer viser at forholdet mellem spredningerne σ passer godt dm σgas = 1 ± 0.1. [6, fig. 1] Gassen er en idealgas Da distancen mellem partiklerne er langt større end partiklerne selv, og gassen består af noget så simpelt som ioniseret hydrogen, kan vi betragte gassen som en idealgas. 3

6 3. Udledning af formel for hydrostatisk ligevægt i galaksehobe Vi starter med at minde om et par gammelkendte formler. P = ρ m Φ (3.1) P = G M totalρ m r (3.) P V = NkT gas (3.3) De to første er formlen for hydrostatisk ligevægt, først på sfæriske koordinater (3.1), hvor P er trykket, ρ m er masse densitet og φ er gravitationel potentiel energi, efterfulgt af den generelle version (3.) hvor G er gravitationskonstanten, M total er den totale masse af hoben og r er afstanden fra galaksehobens centrum, og idealgasligningen (3.3), hvor V er volumen, N er antal partikler, k er Boltzmann konstanten, og T gas er temperaturen af gassen i galaksehoben inden for radius r. Isolerer vi P i idealgasligningen får vi: P = ρ n kt gas hvor ρ n er antal mol per volumen (number density). I det videre forløb ønsker vi at kende P udtrykt ved ρ m, så vi kigger på forholdet mellem ρ m og ρ n : ρ m = ρ n µ m p ρ m ρ n = µ m p hvor µm p er den gennemsnitlige masse af gas partiklerne. Sætter vi nu ind i formlen får P får vi at: Gradienten af trykket P i sfæriske koordinater er givet ved P = ρ m µm p k T gas (3.4) P = P r ˆr + 1 P r θ ˆθ + 1 P r sin θ φ ˆφ men da vi antager at galaksehoben er sfærisk symmetrisk falder de to sidste led bort. P = P r ˆr Sætter vi nu P fra (3.4) ind, og erindrer at T gas og ρ m afhænger af r, får vi Og da vi husker på formel (3.) får vi P = k ρ m µm p r T gas + k T gas µm p r ( ρm = r T gas + T ) gas k r ρ m µm p G M totalρ m r = Hvis vi isolerer over på den anden side, får vi ( ρm ( M total = r ρm r T gas + T gas r ρ m r T gas + T ) gas k r ρ m µm p ρ m ) k µm p Gρ m 4

7 Nu ganger vi ét af de to r ind i parantesen, og trækker samtidig T og ρ m udenfor ( ρm r M total = rt gas ρ m + T ) gas r k r ρ m r T gas µm p Gρ m Vi vil her minde om en lettere obskur regneregel, nemlig r ρ m ρ m r = log ρ m log r Ved at udnytte denne, flytte faktorerne uden for parantesen sammen, og lade ρ m gå ud med hinanden, får vi til sidst vores formel for hydrostatisk ligevægt i galaksehobe: (3.5) M total = krt ( gas log ρm µm p G log r + log T ) gas log r (3.6) 3.3 Forventet størrelsesorden af M total Vi vil nu forsøge at få en fornemmelse af hvor stor M total er for vores galaksehob. Nogle af faktorerne er almindeligt kendte: m p = kg G = m3 k = ev K kg s Herudover indsætter vi vores datapunkter for den største radius: r = Mpc = m T gas k =.550keV I øvrigt bruger vi følgende estimerede værdier : µ = 0.6 log ρ m log r + log T gas log r = 3 Dette giver os følgende ligning: M total = }{{} 0.6 µ k T gas {}}{ 550eV kg }{{} r {}}{ m log led {}}{ ( 3) 11 m kg s m p }{{} G (3.7) 63 ev s = = kg m 44 J s = m Da solens masse er ca kg, regner vi altså med en galaksehob på solmasser, hvoraf omtrent 70% udgøres af mørkt stof. Galaksehobe vejer normalt mellem og solmasser. Vi er på rette spor! Desuden kan vi se på formel (3.7), at hvis enten r eller k T gas fordobles, så bliver massen dobbelt så stor. begge værdier er enhedsløse. Det ses i formel (3.5) at de går ud. 5

8 4 Data Vi vil nu kigge på målinger af X-ray spektrummet fra galaksehoben Abell 05. De to første grafer indeholder data samlet af Piffaretti [5], og viser temperaturen og densiteten af den lysende gas i galaksehoben. Herudfra danner vi os et billede af både gassens- og hobens masse, samt MS massen. Gassens densitet data Density [g/m 3 ] på logaritmisk skala Radius [Mpc] på logaritmisk skala fitted curve Figur 4.1: Gassens tæthed som funktion af radius. Det ses at gassens densitet falder efterhånden som man kommer længere væk fra centrum. k ( ) r n l kurven er fittet efter formlen ( 1 + ( ) ) r ( m n ) med k = , l = 0.04, m = 1, 5 og n = 0.. l Gassens temperatur data fitted curve 3 Temperature [kev] Radius [Mpc] Figur 4.: Gassens temperatur som funktion af radius. Temperaturen ændrer sig ikke mere end ca. kev (ser man bort fra yderpunkterne kommer vi endda helt ned på ca. 0.7keV). Havde temperaturen været dobbelt så stor, så havde vi også forventet en dobbelt så stor masse (jvf. formel (3.6). kurven er fittet efter formlen 1 + a r b ( ) 1 + r c, med a = 1.3, b = 0. og c =.1. b 6

9 Når vi differentierer henholdsvis log ρ og log T med hensyn til log r kan vi finde værdien af parantesen i formel (3.6) som funktion af radius. Parantesen i formel (3.6) Rate of change Temp. Rate of change density Sum Radius [Mpc] på logaritmisk skala Figur 4.3: Den grønne graf er log T differentieret mht. r, den blå graf er log ρ differentieret mht. r, og den røde graf er summen af de to ovenstående, altså værdien af parantesen i formel (3.6) Bemærk at y-aksen er enhedsløs Når vi sætter disse værdier ind i formel (3.6) får vi et udtryk for hobens totale masse, som vi kan plotte som funktion af radius. 7

10 Hobens totale masse 14 Masse [Solmasser] på logaritmisk skala M total M gas Radius [Mpc] på logaritmisk skala Figur 4.4: Gassens masse (blå) og hobens totale masse (sort) som funktion af radius. Her kan vi aflæse hobens totale masse til at være ca. 10 gange større end gassens masse. Denne ekstra masse stammer fra det mørke stof. Galaksernes masse udgør kun få procent af den totale masse [1] Nu kan vi udregne densiteten af det mørke stof ved hjælp af formlen ρ = M dm V = M dm 4πr δr Densiteten af det mørke stof (ρ dm ) Densitet DM Densitet gas Densitet [g/m 3 ] på logaritmisk skala Radius [Mpc] på logaritmisk skala Figur 4.5: Densiteten af det mørke stof (sort) og gassen (rød), som funktion af radius. Begge på logaritmisk skala. 8

11 (a) DM- (blå) og gas-partiklers (rød) baner i galakse-(bhoben. (Image credit: L. Hauge) persion i MS og gas (Image credit: L. Forskellen mellem den radielle og tangentielle dis- Hauge 5 Jeans ligningen Figur 5.1 Jeans ligning blev oprindelig udledt af James Clerk Maxwell, men er af eftertiden opkaldt efter James Hopwood Jeans, da han var den første der brugte den til at beskrive stjerners dynamik. Ligningen beskriver et kollisionsløst system, og da stjerner i en galakse ligger så langt fra hinanden at de, selv ved galaksesammenstød, aldrig støder ind i hinanden, er den et nyttigt værktøj for astronomer. Mørkt stof vekselvirker ikke elektromagnetisk, og udgør derfor et kollisionsløst system. Vi kan dermed bruge Jeans ligningen til at beskrive mørkt stofs bevægelse i galaksehoben (fig. 5.1a). [1] Jeans ligning M total = rσ r G ( d log ρdm d log r + d log ) σ r d log r + β (5.1) hvor β 1 σ t σ, σ r r er den radielle dispersion af det mørke stof, og σ t er den tangentielle dispersion (fig. 5.1b). Ved nærmere eftersyn ser vi at formlerne (3.6) og (5.1) ligner hinanden til forveksling. De eneste forandringer er β leddet til sidst i parantesen, og faktoren σ der optager T s plads. Sidstnævnte kan vi gøre noget ved. Temperaturen af mørkt stof er defineret [5] til at være k T dm 1 ( ( σ µm p 3 r + σt ) = σ r 1 ) 3 β hvor vi antager at β er konstant, og sigma er derfor σr T dm k = ( µm p 1 (5.) 3β) Tager vi logaritmen til σr, og erindrer vores antagelse om at T dm = T gas får vi ( ) ( ) log σr T gas k k = log ( µm p 1 3 β) = log (T gas ) + log ( µm p 1 3 β). Man kan spørge sig selv hvorfor gassens partikler kolliderer, når stjerner (der er langt større) gør. Det viser sig dog at partiklerne i gassen ligger langt tættere sammen, set i forhold til deres størrelser, end stjerner gør. 9

12 og differentierer vi med hensyn til log r får vi d log σr d log r = d log T gas d log r Vi er nu sluppet af med σr inden for parantesen, og vores formel ser således ud: ( M total = rσ r d log ρdm + d log T ) gas + β G d log r d log r β beskriver anisotropien af hastigheds-dispertionen, og da den lokale temperatur af gassen i galaksehoben er ens i alle retninger (σ t = σ r), så er β = 0 for gassen. Finder vi en β 0 betyder det altså at vi har med kollisionsløst mørkt stof at gøre. Vi kender nu alle størrelser i ligning (5.1), ρ dm får vi fra figur 4.5, undtagen konstanten β, for hvilken vi vil forsøge at gætte os frem til en god værdi. Vi ønsker at ramme den totale masse, som udregnet fra ligningen for hydrostatisk ligevægt Den flygtige β konstant plots af forskellige β værdier Masse [solmasser] på logaritmisk skala Total masse via (3.16) Beta=1 Beta=0 Beta= Radius [Mpc] Figur 5.: Figuren viser grafer for den totale masse for hoben som funktion af radius. Den sorte graf viser massen udregnet ved hjælp af hydrostatisk ligevægt, mens de andre grafer er massen udregnet ved hjælp af Jean s ligningen, med varierende β. Vi kan se på plottet at de β-værdier vi har som er over eller lig nul gør at der på et tidspunkt er en negativ masse. Dette skyldes sandsynligvis et af vores fit, der i visse punkter giver en positiv parentes i (5.1), så massen bliver negativ. β = 0.5 ser ud til at give den bedste overensstemmelse med massen. Det er dog ikke så godt som vi havde håbet, da den røde og sorte graf så gerne skulle have ligget oven i hinanden. Det er tydeligt fra den blå graf, at β = 0 er en dårlig værdi, da den ikke følger den sorte, og da den giver negative værdier for massen. Hvis β = 0 havde været et godt fit, havde det betydet, at vi havde med kollisioner at gøre, men med β 0 kan vi konkludere at vi kigger på et kollisionsløst system (mørkt stof), og at forholdet mellem hastigheds-dispersionerne er forskellig fra 1. ellers har vi, helt tilfældigt, fundet en galaksehob hvor det mørke stof har en anisotropi lig 0 10

13 Forsøg på at variere β, så massen udregnet fra Jean s ligningen tilnærmer sig den udregnede masse for hydrostatisk ligevægt, giver ikke gode resultater. Sættes β = 10 eller endda β = 10 4 får vi samme graf som β = 0.5, og vi opnår aldrig en masse der ligner den vi har udregnet med formel (3.6). Dette kan bl.a. skyldes at vores fits for ρ gas og T gas ikke er ideele, som vi nu vil forklare. Ud fra (5.1) kan vi se at selve parentesen skal være negativ for at hele massen bliver positiv. Dvs. β skal være mindre end resten af parentesen. Da de partielle led af parentesen er numerisk små, kan β også kun være et numerisk lille tal. Vi kan se på plottet at de β-værdier vi har som er over eller lig nul gør at der på et tidspunkt er en negativ masse. Dette skyldes sandsynligvis et af vores fit, der i visse punkter giver en positiv parentes i (5.1), så massen bliver negativ. Ud fra (5.1) og (5.) kan vi se at hvis β bliver meget negativ, går de to β ud med hinanden. Det vil sige, at massen kun afhænger af β ned til en bestemt størrelse. 6 Konklusion Vi har i dette projekt eftervist at galaksehoben Abell 05 indeholder ca. 10 gange mere masse end hvad der kan observeres fra HII gassen alene. Denne ekstra masse tilskrives det vi kalder mørkt stof. Ydermere har vi vist at det mørke stofs bevægelse i galaksehoben forløber uden kollisioner, da mørkt stofs hastigheds-dispersion anisotropi er forskellig fra 0. En hastigheds-dispersionen anisotropi ulig 0 betyder, at den lokale temperatur af det mørke stof varierer, alt efter hvilken retning vi observerer den fra, og derfor er fundamentalt forskelligt fra baryoner. Dette er specielt vigtigt for forståelsen af det der driver formation og udvikling af kosmologiske strukturer. Standard-teorien for struktur-formation bygger på den grundlæggende antagelse at mørkt stof er kollisionsløst [5], og her har vi fundet indicier for, at dette er en korrekt antagelse. 11

14 Litteratur [1] James Binney and Scott Tremaine. Galactic Dynamics. Princeton,. edition, 008. [] Douglas Clowe, Marusa Bradac, Anthony H. Gonzalez, Maxim Markevitch, Scott W. Randall, Christine Jones, and Dennis Zaritsky. A direct empirical proof of the existence of dark matter. ApJL, August 006. [3] Ken Freeman and Geoff McNamara. In Search of Dark Matter. Praxis, 006. [4] Katherine Garret and Gintaras Duda. Dark matter: A primer. Advances in Astronomy, January 011. [5] Steen H. Hansen and Rocco Piffaretti. Measuring the dark matter velocity anisotropy in galaxy clusters. Astronomy & Astrophysics, september 007. [6] Ole Host, Steen H. Hansen, Rocco Piffaretti, Andrea Morandi, Stefano Ettori, Scott T. Kay, and Riccardo Valdarnini. Measurement of the dark matter velocity anisotropy in galaxy clusters. August 008. [7] Craig L. Sarazin. X-ray Emission from Clusters of Galaxies. University of Cambridge, [8] Michael Zeilik. Astronomy: The Evolving Universe. Cambridge University Press, 9th edition, 00. 1