Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Torsdag den 4. januar 2007 kl

Transkript

1 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Torsdag den 4. januar 2007 kl Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt. Opgavesættet består af 3 opgaver(6 sider incl. forside). For hver opgave er angivet den vægt i procent, hvormed opgaven indgår i bedømmelsen. 1

2 Opgave1(30%) I en (tænkt) nordisk opinionsundersøgelse blandt mobiltelefonbrugere blev de adspurgte brugere fra Danmark(DK) og Sverige(S) delt op efter hvilken type mobiltelefon de brugte(2g eller 3G). Resultatet ses i følgende tabel. DK S 3G G Ialt Lad proportionen af 3G mobiltelefonbrugere i Danmark og Sverige være betegnethenholdsvisp 1 ogp 2. Finddetilsvarendeestimatorerˆp 1 ogˆp 2 baseretpådegivnedata,ogudregnse(standarderror)forhveraf ˆp 1 og ˆp 2 forsig. 2. Med henblik på at afgøre om proportionen af 3G mobiltelefonbrugere erdensammeidetolandeskalduopstilleenpassendehypotesetest. Du skal redegøre for valget af nulhypotese og alternativ hypotese, og duskalredegørefordeforudsætningersomskalværeopfyldtforatlave testen. 3. Udfør testen diskuteret under 2, baseret på et passende valg af signifikansniveau. Hvilken konklusion komer du til, med hensyn til om de to proportioner er ens? Du skal argumentere for din konklusion. 2

3 Opgave2(30%) Et vigtigt princip i forbindelse med digital kommunikation er kompression, hvor man, kort fortalt, koder de hyppigst forekommende meddelelser med de kortest mulige strenge(ord). Vi betragter et kommunikationssystem som senderfølgerafcifre(0,1,2osv. optil9),somkansamlestilstrenge. F.eks. er 219 enstrengaflængde3medcifrene2,1og9,somikkemåforveksles med tallet 219. Betragtnuetkommunikationssystem,somentensenderenkeltcifre1,...,9 (9 strenge af længde 1, som hver forekommer med sandsynlighed 0.1), eller tocifredestrenge00,01,...,09(10strengeaflængde2,somhverforekommer med sandsynlighed 0.01). Der er altså tale om i alt 19 forskellige strenge, som forekommer i kommunikationen med de angive sandsynligheder. Bemærk, at modtageren kan genkende strenge af længde 2 ved, at disse starter med cifret 0, som ikke forekommer blandt de 9 strenge af længde 1. Bemærk også, at dette system udnytter kompression, i den forstand at de korte strenge 1,...,9 forekommer hyppigere end de lange strenge 00,01,...,09. Lad nu X være en stokastisk variabel, som angiver strengens længde. Dvs. X=1forstrengene1,...,9ogX=2forstrengene00,01,..., VisatX antagerværdien1medsandsynlighed Find middelværdi, varians og spredning for X. 3. Betragtdetdanskealfabetinclusiveæ,øogå,menudenw,somialt har 28 bogstaver. Lad os antage at alfabetet kan deles i tre grupper af bogstaver: en gruppe på 9 bogstaver, som hver forekommer med sandsynlighed 0.1, en anden gruppe på 9 bogstaver, som hver forekommermedsandsynlighed0.01,ogengruppepå10bogstaver,somhver forekommer med sandsynlighed på Beskriv et kommunikationssystem med kompression af samme type som ovenfor, beregnet til det danske alfabet, baseret på cifferstrenge af længde 1, 2 og 3, således at middelværdien for strenglængden er lig med Systemet skal opfylde et tilsvarende krav som ovenfor, nemlig at modtageren skal kunne genkende en strengs længde ud fra startcifrene. 3

4 Opgave3(40%) Figuren nedenfor viser sammenhængen mellem gennemsnitlig vægt i gram (Weight) og breddegrad (Lattitude) for den europæiske aborre (Perca fluviatilis) baseret på indsamling af data for kropsvægt og breddegrad for 56 forskellige populationer af aborrer på forskellige breddegrader. Den såkadte Bergmannsregel,fremsati1847,siger,atdyrindenforengivenarterstørre jokoldereetklimadeleveri. 1. Det foreslås at analysere disse data med lineær regression. Opstil den tilsvarende statistiske model, og gør rede for de forudsætninger som skal være opfyldt for at bruge metoden. Nedenfor ses to residualplot fra regressionsanalysen. Gør rede for om du mener at plottene understøtter regressionsmodellen. 4

5 5

6 2. Find mindste kvadraters estimatorerne for regressionsliniens parametre. Følgende mellemregninger kan benyttes. Variabel Mean SS Lattitude Weight n i=1 (x i x)(y i ȳ)= Her er n = 56, mens SS betegner n i=1 (x i x) 2 for x, og tilsvarende for y. Endvidere oplyses det at estimatet for residualvariansen er MSE = Test hypotesen at regressionsliniens hældning er 0, og gør rede for om testens konklusion understøtter Bergmanns regel for den europæiske aborre. 4. Lad os betragte en aborrepopulation i Odense Å, svarende til breddegraden Udregn den forventede middelkropsvægt for denne population, og find et 95% konfidensinterval for middelkropsvægten. 6