Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter

Transkript

1 Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat. Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Jeg vil nu finde ud af hvor stort et beløb der står på kontoen efter 1 år med en starts beløb på Der er tale om en eksponentiel model. Kendte størrelser defineres, hvorefter slutkapitalen k n bestemmes vha. kapitalfremskrivningsformlen: Startkapitalen: K 0 : = Årlig rente: r: = 0,04 Antal terminer: n: = 1 Formlen: Udregning: K n = K 0 (1 + r) n K n = K 0 (1 + r) n The equation is solved for K_n by WordMat. K n = 80051,61 Efter 1 år står der således 80051,61 kr. på kontoen. Delete definitions: Jeg vil nu finde ud af hvor mange år der går i alt, inden beløbet på kontoen er blevet fordoblet: a = 1 + r a = 1 + 0,04 a = 1,04 Fordoblingstiden for en eksponentiel voksende udvikling kan bestemmes ved følgende formel: Indsættes tallene fås: T = ln() ln( T = ln() ln(1,04) The equation is solved for T_ by WordMat. T = 17,6799 Side 1 af 11

2 Ifølge modellen er fordoblingstiden ca. 17,7 år (afrundet til 1 decimal). Dvs. der skal gå ca. 17,7 år for at de kr. som er indsat på kontoen bliver fordoblet. Opgave - Statistik (Grupperede Dat Der er tale om statistik. Metoden til at finde frekvensen er at aflæse x-aksen (løbetid i minutter) og derefter y-aksen (procent). Se venligst også bilaget. Løbetid i minutter Frekvens (%) Kumuleret frekvens (%) = = = = 100 Metoden til at udregne middelværdien bygger på antagelsen om at målingerne jævnt fordelt i de enkelte intervaller. Man vælger derfor i hvert tilfælde intervallets midtpunkt som løbetid: M = (3,5 0,18) + (37,5 0,6) + (4,5 0,36) + (47,5 0,14) + (5,5 0,06) The equation is solved for M by WordMat. M = 40,7minutter Ud fra de 75% (y-aksen) aflæses løbetid i minutter (x-aksen) til: ca. 44,5 minutter Dette betyder at 75% af løbetiderne i et 10-kilometers gadeløb varede ca. 44,5 minutter eller derunder. Tilsvarende betyder det, at 5% af løbetiderne varede 44,5 minutter eller derover. Se venligst også bilaget. Side af 11

3 Opgave 3- Indeks p angiver Grundløn i kr., og i angiver indekstal: Der gælder, at: p p i 005 : = 100 i , p 005 i 005 = p 010 i 010 The equation is solved for i_010 by WordMat. i 010 = 1,6 Indekstallet for 010 var således 1,6 %. Afrundet vi det så være 13 %. Nu udregnes den månedlige grundløn for ansatte i en bestemt branche i 015: p 005 i 005 = p 015 i 015 The equation is solved for p_015 by WordMat. p 015 = Grundlønnen i 015 var 40860,00 kr. Delete definitions: Side 3 af 11

4 Opgave 4 - Potens funktion Der er tale om en potens funktion. y = b x a y = vægten målt i kg af elefanten x = diameteren målt i cm af ekskrementet Jeg vil nu finde ud af hvor meget elefanten vejer hvis dens ekskrement har en diameter på 1 cm. Define: f(x) = 0,68 x 3 f(1) 1175,04 Dvs. en elefant med en ekskrement på 1 cm vil veje ca kg (afrund) Delete definitions: jeg vil nu undersøge ved hjælp af ovenstående formel om safari guiden har ret. Om de har ret kan jeg finde ud af vha. følgende formel: Indsættes tallene fås: 1 + r y = (1 + r x ) a a = 3 r y =? r x = 0,5 1 + r y = (1 + r x ) a 1 + r y = (1 + 0,5) 3 The equation is solved for r_y by WordMat. r y = 0, , = 95% Dvs. nej Safari guiden har ikke ret. Den ene elefant vil ca. veje 95% (afrundet) mere end den anden hvis den ene elefants ekskrement har 5 % større diameter end den anden. Side 4 af 11

5 Opgave 5 - Lineær funktion Den formel der skal til for at beregne den samlede pris y kr. for et tæppe på x m er følgende: Fordi: y = 160x kr. = b 160 kr. pr. m = a y = den samlede pris i kr. for et tæppe x = antal m tæppet skal være y = ax + b jeg skal finde ud af hvor mange m man kan få leveret for 600kr.: Define: f(x) = 160x + 00 f(x) = 600 The equation is solved for x by WordMat. x = 15 Dvs. man kan få leveret et tæppe på 15 m for 600kr. C) Hvis de to firmaer er lige dyre, så gælder: Delete definitions: 160x + 00 = 150x The equation is solved for x by WordMat. x = 18 Det betyder, at hvis man køber 18m tæppe - så er de to firmaer lige dyre. Hvis man køber mere end 18 m tæppe - så er firma B billigst. Hvis man køber mindre end 18 m tæppe - så er firma A billigst. Side 5 af 11

6 Opgave 6- Eksponentiel funktion Der er tale om en eksponentiel funktion og den kan løses på to måder. metode 1: Jeg vælger to y-punkter og deres tilhørende x-værdier: Jeg finder a og b: y = medicinudgifterne i mia. kr. x = antal år efter = 7år P 1 (0; 4,3) og P (7; 7,5) x x1 a = y y a = 7,5 4,3 The equation is solved for a by WordMat. a = 1,08713 Dvs. a er 1,08 (afrundet) y 1 = b a x 1 4,3 = b 1, The equation is solved for b by WordMat. b = 4,3 b-værdien er altså 4,3. Side 6 af 11

7 Metode (regression): x y 0 4,3 7 7,5 Exponential regression performed by WordMat: R = 1 y = 4,3 1,08713 x Begge metoder stemmer overens med hinanden a = 1,08 og b = 4,3. Delete definitions: jeg skal nu finde ud af hvilket år medicinudgifterne passere 13, mia. kr., hvis denne udvikling fortsætter: Define: f(x) = 4,3 1,08713 x f(x) = 13, The equation is solved for x by WordMat. x = 14, , ,114 Ca. 14,1 år efter 007 vil medicinudgifterne passere 13, mia. kr. Dvs. i ca. år 01. Side 7 af 11

8 Opgave 7- Trekanter Der er tale om en retvinklet trekant. WordMat's trianglesolver is used with input: B = 90, c = 8, a = ,3 B = 90 C = 45 A = 45 b = 11,31371 c = 8 a = Længden af siden b (hypotenusen) findes vha. pythagoras Vinkel A findes vha. tangens b = a + c = = 11,31371 A = tan 1 ( a c ) = tan 1 ( 8 8 ) = 45 Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180 i en trekant C = 180 B A = = 45 Dvs. ud fra wordmats trekantberegner kan jeg aflæse længden af hypotenusen ( til at være ca. 11,31 cm (afrundet) og vinklen C i trekant ABC til at være 45 0 Side 8 af 11

9 jeg vil nu beregne vinkel C i trekant ACE, men først vil jeg beregne vinkel C i trekant ECD da den er retvinklet og jeg kender længder. WordMat's trianglesolver is used with input: D = 90, c = 8, e = ,3 D = 90 C = 45 E = 45 d = 11,31371 c = 8 e = Længden af siden d findes vha. pythagoras Vinkel E findes vha. tangens d = e + c = = 11,31371 E = tan 1 ( e c ) = tan 1 ( 8 8 ) = 45 Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180 i en trekant C = 180 D E = = 45 Dvs. ud fra wordmats trekantberegner kan jeg aflæse vinklen C i trekant ECD til at være Nu kan jeg finde vinkel C i trekant ACE da jeg kender dens andre to vinkler og jeg får oplyst at hele vinkel C i femkanten er 10 0 : 10 = x The equation is solved for x by WordMat. x = 30 Vinkel C i trekant ACE er dermed Side 9 af 11

10 Opgave b fortsættelse (del ) Jeg vil nu bestemme længden af siden AE i trekant ACE. WordMat's trianglesolver is used with input: C = 30, CE = 11,31371, AC = 11, A = 75 C = 30 E = 75 11,3 11,3 CE = 11,31371 AE = 5, AC = 11, ,86 75 Længden af siden AE findes vha. en cosinusrelation AE = CE + AC CE AC cos(c) = 11, , , ,31371 cos(30 ) = 5, Dvs. længden af siden AE er 5,86 cm (afrundet). c) Arealet af Cairo-flisen ABCDE er summen af arealerne af trekanterne ABC, ACE og ECD. Først bestemmes arealet af trekant ABC: T areal = 1 h b T ABC = 1 BC BA T ABC = The equation is solved for T_ABC by WordMat. T ABC = 3 Dvs. arealet af trekant ABC er 3 cm Side 10 af 11

11 Nu bestemmes arealet af trekant ACE: T = 1 a b sin(c) T ACE = 1 AC EC sin(a) T ACE = 1 11, ,31371 sin(30) The equation is solved for T_ACE by WordMat. T ACE = 3,00001 Dvs. arealet af trekant ACE er 3 cm (afrundet). Til slut vil jeg nu beregne arealet af trekant ECD: T areal = 1 h b T ABC = 1 CD DE T ABC = The equation is solved for T_ABC by WordMat. T ABC = 3 Dvs. arealet af trekant ECD er 3 cm Det samlede Areal bliver da: A = 3 + 3, = 96,00001 Dvs. Arealet af Cairo-flisen ABCDE er 96 cm (afrundet) Side 11 af 11