ELEMENTÆR STYRKELÆRE. Karl Terpager Andersen 2. udgave POLYTEKNISK FORLAG

Transkript

1

2

3 ELEMENTÆR STYRKELÆRE Karl Terpager Andersen 2. udgave POLYTEKNISK FORLAG

4 Elementær styrkelære Copyright 1980, 1985 by Karl Terpager Andersen and Polyteknisk Forlag 1. udgave, 1. oplag udgave, 2. oplag udgave, 3. oplag udgave, 1. oplag udgave, 2. oplag udgave, 3. oplag udgave, digital version ingen ændringer i forhold til 2. udgave, 1992 Alle rettigheder forbeholdes. Mekanisk, fotografisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt i overensstemmelse med overenskomst mellem Undervisningsministeriet og Copy-Dan. Enhver anden udnyttelse uden Polyteknisk Forlags skriftlige samtykke er forbudt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Bogen er trykt l offset hos AiO Tryk as Printed in Denmark 1992 E-bog Polyteknisk Forlag Anker Engelundsvej Lyngby

5 FORORD Denne lærebog i elementær styrkelære er oprindeligt udarbejdet til brug ved undervisningen i dette fagområde på Danmarks Ingeniørakademi' s Elektroafdeling. Det er tilstræbt at gøre stoffet let tilgængeligt ved hjælp af figurer og gennemregnede eksempler. Derved skulle bogen også være anvendelig til undervisning af andre end elektroingeniørstuderende og ligeledes være velegnet til selvstudium. At bogen starter med et kapitel nr. S hænger sammen med, at fagets statikdel omfatter 4 kapitler, der i dag foreligger som en seperat bog. Bagerst i bogen er der en opgavedel, og opgaverne er nummeret svarende til de kapitler, de henhører under. Det er 2. udgave af lærebogen, der nu foreligger, og den afviger kun fra 1. udgaven derved, at de fejl, der er fundet i 1. udgaven, er blevet rettet. En del af fejlene er blevet fundet af kollegaer rundt om i landet, hvor bogen har fundet anvendelse, og jeg vil her rette en tak til dem for deres venlige hjælp. Lyngby, August 1986 Karl Terpager Andersen

6

7 INDHOLD I SYMBOLLISTE STIKORDSREGISTER IV VII 5. SPÆNDINGSBEGREBET Normal og tangentialspændinger Tøjninger, Hooke's lov Arbejdslinier Stænger af flere materialer Temperaturs pændinger Tilladelig spænding o SPÆNDINGER VED BØJNING Betingelsesligninger Narmalspændinger Tværsnitskonstanter Tyngdepunktsakse Intertimoment Polært inertimoment Tangentialspændinger Sammensatte tværsnit Dimensionering Profiltabeller, appendix DEFORMATIONER VED BØJNING Udbøjningslinien Momentbelastningsmetoden Bjælker med variabelt tværsnit Bjælker med sammensat tværsnit Bjælkeformler, appendix VRIDNING Betingelsesligninger Cirkulære tværsnit Vilkårlige tværsnit Dimensionering

8 II 9. ARBEJDSLIGNINGEN Indre deformationsarbejde Gastilianos 2. sætning Arbejdsligningen Produktformler Influenstal, Maxwell's sætning Produktformler, appendix STATISK UBESTEMTE KONSTRUKTIONER Superpositionsmetoden (Kraftmetoden) SØJLER Simpelt understøttet ideal søjle, Euler-formlen Andre ideale søjler Euler-formlens gyldighedsområde Korte søjler Dimensionering Ostenfeldformlen Dimensioneringskurver Bjælkesøjler Dimensioneringskurve for stål og aluminium, appendix 11.1 Bjælkesøjleformer, appendix J J J2 11.J4 12. SPÆNDINGS- OG DEFORMATIONSANALYSE Eenakset spændingstilstand Teakset spændingstilstand Mohrs cirkel Teakset deformationstilstand Strain-gauges Elasticitetslove Styrkehypoteser Største hovedspændings- og største hovedtøjningshypotese Største tangentialspændingshypotese Formændringsarbejdshypotesen Sammenligning af hypoteser J o JO 12.J2

9 III 13. OPGAVER Spændingsbegrebet, (kap. 5) Spændinger ved bøjning, (kap. 6) Deformationer ved bøjning, (kap. 7) Vridning, (kap. 8) Arbejdsligningen, (kap. 9) Statisk ubestemte konstruktioner, (kap. 10) Søjler, (kap. 11 ) Spændings- og deformationsanalyse, (kap. 12) B.1 B.1 B.2 B.12 B.19 B.23 B.28 B.34 B.38

10 IV BOGSTAVSYMBOLER S mbol Anvendes for Enhed A AL' B v E F G H I, I z I p areal henholdsvis lodrat understøtningsreaktion i punkt A og vandret i B elasticitetsmodul enkeltkraft glidningsmodul tangent i al kraft inertimoment om tværsnitstyngdepunktsakse (z-akse) polært inertimoment for tværsnit 2 2 mm, m N, kn N/mm 2, N/m 2, knjm 2 N, kn N/mm 2, N/m 2, knjm 2 N, kn 4 4 mm, m 4 4 mm, m M bøjningsmoment i snit Nm, knm M1 ' M2. kraftmomenter virkende på konstruktion Nm, knm MA' MB fast indspæn reaktionsmoment i ding i A, B, Nm, knm M t s s T v1' v2 VA' VB. XA' XB.. w, w z w p a,b,c,.. vridningsmoment i snit statisk moment for tværsnit stangkraft tværkraft i snit vridningsmoment virkende på konstruktion vridningsmomentreaktion i indspænding i punkt A, B overtallig i punkt A, B kraft eller moment fast.. ' modstandsmoment om tværsnits tyngdepunktsakse polært modstandsmoment længder, afstande, spændvidder N, kn N, kn Nm, knm Nm, knm N, kn, Nm, knm mm, m

11 v s mb ol b d Anvendes for bredde af tværsnit diameter mm, m mm, m Enhed f nedhæng for tove mm, m h højde af tværsnit mm, m h forskydning, influenstal i tværsnits inertiradius II (=la.) mm, m l længde, spændvidde mm, m n sikkerhedsfaktor p liniebelastning N/m, kn/m r radius mm, m r, r o tilladelig spænding s fri søjlelængde mm, m t godstykkelse mm u nedbøjning mm, m v vinkel a,~,y vinkler ~ y længdeudvidelseskoefficient tværtøjrring længdetøjrring 11. materialekonstant v s Q w Paissans forhold (tværkontraktionsforhold) tværsnitskonstant krumningsradius vægtfylde, specifik tyngde mm, m

12 VI S mbo1 (J 'T Anvendes for norma1spænding tangentia1spænding forskydningsvinke1 Enhed N/mm 2, N/m 2, kn/m 2 N/mm 2, N/m 2, knjm 2

13 VII STIKORDSREGISTER Emne: Arbejdsligningen Arbejdslinier Arealmoment Bjælkesøjler Bøjningsspændinger Bøjningsdeformationer Castiglianos anden sætning Deformationsarbejde Deformationstilstand, teakset Dimensioneringskurver for søjler Elasticitetslove Enakset spændingstilstand Euler'sk søjlekraft Flydemoment Flydningsmodstandsmoment Formændringsarbejdshypotesen Fri søjlelængde Glidningsmodul Grashofs formel Guestts hypotese Hooke's lov Hooke's udvidede lov Hovedretninger for deformationstilstand Hovedretninger for spændingstilstand Ideal søjle Indre deformationsarbejde Inertimoment Inertimoment, polært Inertiradius Influenstal Kort søjle Kontinuerlig bjælke Kraftmetoden Længdetøjning Maxwell's sætning Modstandsmoment Mohr's analogi Mohr's cirkel Momentbelastningsmetoden Navier's formel Normalspænding Ostenfeldparablen Ostenfeldformlen Sidetal: 9. 1 ' , , , o 5.5, 8.2, o , ,

14 VIII Emne: Poissons forhold Polært inertimoment Produktformler Reduceret momentflade Referencespænding Sammensatte tværsnit Sikkerhedsfaktor Slankhedstal Spændingstilstand, enakset Spændingstilstand, toakset Spændingstilstand, treakset Statisk ubestemte konstruktioner Strain-gauge Strain-rosette Styrkehypoteser Stænger af flere materialer Største hovedspændingshypotese Største hovedtøjningshypotese Største tangentialspændingshypotese Superpositionsmetoden Søjler Tangentialspænding Temperaturspænding Tetmajerlinien Tilladelig spænding Toakset deformationstilstand Toakset spændingstilstand Transformerede tværsnit Treakset spændingstilstand Tværbelastet søjle Tværkontraktion Tværkontraktionsforholdet Tværsnit, sammensatte Tværsnit, transformerede Tværsnits flydningsmodstandsmoment Tværsnitskonstanter Tværtøjning Tyngdepunktsakse Tøjninger Udbøjningslinie Variabelt tværsnit Vridning Von Mise's hypotese Ydre deformationsarbejde Sidetal: o, , , , o o , o o

15 INDLEDNING I styrkelæren beskæftiger man sig med de materialepåvirkninger (spændinger) og de deformationer, som optræder inde i en konstruktion, når den belastes. Formålet er at forudberegne, om en konstruktions styrke og stabilitet vil være tilstrækkelig, og om deformationerne vil være acceptable. Hvor statikken primært beskæftiger sig med de kræfter, der optræder ved legemer i hvile, går styrkelære det skridt videre at se på, hvad der sker inde i selve konstruktionen, når den belastes. Hertil anvendes bl.a. de oplysninger om konstruktionsmaterialernes fysiske egenskaber, som kan fås fra materialelæren. Betragtet som et videnskabeligt fagområde kan styrkelæren mindst føres tilbage til Leonardo da Vinci ( ) og Galileo ( ), der eksperimentelt søgte at bestemme styrken af tove, stænger og bjælker. Men de udviklede ikke nogen rigtig teori, der kunne forklare forsøgsresultaterne. En egentlig teoretisk behandling stammer fra begyndelsen af 1800-tallet, hvor bl.a. en række fremtrædende franske matematikere beskæftigede sig med problemer af styrkernæssig karakter, og hvis navne idag ofte ses knyttet til formeludtryk eller materialekonstanter, fx Poisson, Navier, Set. Venant og Couchy. I den elementære styrkelære foretager man, som det også vil fremgå af denne bogs fremstilling af emnet, en række idealiseringer for at nå frem til simple, men brugbare formeludtryk. Desuden vil man ofte anvende sådanne fortegnsregler, at de beregnede størrelser i de almindeligst forekommende belastningstilfælde kommer ud med positivt fortegn.

16

17 SPÆNDINGSBEGREBET Normal- og tangentialspændinger Snitkræfterne i et tænkt snit lagt i en konstruktion repræsenterer som anført i kapitlet om snitkraftbegrebet de molekylære kræfter, der optræder mellem de to snitflader, de såkaldte indre kræfter, Vi betragter en lille arealdel AA af snitfladen, fig. 5,1 a, Resultanten af småkræfterne på arealdelen kaldes AF. Der vil da gælde, at AF- o når AA o, men danner vi ~ gælder der, at AF - AA p for AA - o, Størrelsen p kaldes spændingen, og for hvert punkt på se, når AA o omkring punktet, Spændingen p vil ikke nødvendigvis stå vinkelret på snitfladen, men af beregningsmæssige grunde opløses den i komposantarne an efter normalen og Tn beliggende i 5.1 b, fladen, jvf, fig. Størrelsen an kaldes narmalspændingen og indices viser, hvilken normalretning den har, Den regnes positiv, når den er rettet efter den udadrettede normal, svarende til at den trækker i snitfladen, snitfladen finder vi en sådan større!- Størrelsen Tn kaldes tangentialspændingen, og indices'et viser, at den ligger i en flade, der har n som normal, Tangentialspændingen Tn opløses igen efter et xy-koordinatsystem beliggende i flan a) b) ' ' ' Fig. 5.1 ',P ' : " "tny l.,/ t n

18 den, således at vi får de to komposanter Tnx og Tny med retning efter henholdsvis x- og y-aksen. Tangentialspændingerne vil i det følgende blive regnet positive, når de virker drejende med uret. Udskæres af en konstruktion et parallelepipedum med kantlængderne dx, dy og dz orienteret efter et xyz-koordinatsystem med O-punkt i parallelepipedets tyngdepunkt, kan der på dets snitflader principielt virke tre forskellige normalspændinger: o, o og o, og 6 forskellige tanx y z gentialspændinger: Txy' Txz' Tyx' Tyz' Tzx og Tzy Det er her antaget, at kantlængderne er så små, at spændingerne på to parallelle sideflader er lige store og at de er konstante over sidefladerne. Antallet af ubekendte tangentialspændinger kan dog halveres ved at opstille ligningerne for momentligevægt om koordinatakserne. Tages således moment om z-aksen fås (idet det er kræfterne på sidefladerne, der skal regnes med): Fig 5.2 Det ses, at tangentialspændinger beligdy Txy dydz dx + Tyx dxdz dy o => Txy = - Tyx Ved moment om henholdsvis x- og y-aksen fås tilsvarende: - Tzy og Txz = - Tzx

19 gende på to flader, der står vinkelrette på hinanden og med retning mod samme kant, er lige store med modsat fortegn. Den på fig. 5.2 viste situation kaldes en treakset spændingstilstand. I de konstruktioner vi kommer til at beskæftige os med vil der hyppigst kun være tale om en plan (toakset) spændingstilstand, hvor planen til en af akserne er spændingsløs. Er denne akse fx z-aksen, vil der kun optræde spændingerne crx' cry og~(= ~xy = -~yx), idet ~xz ~zx = o, jvf. figur 5.3a og 5.3b. Endnu simplere er forholdene, når vi har en enakset spændingstilstand, hvor der af spændinger kun optræder en normalspændingo Tø,jninger 1 Hooke 1 s lov I en stang med tværsnitsarealet A, der trækkes i enderne med kraften F som vist på figur 5.4 har vi - lige bortset fra enderne - overalt en enakset spændingstilstand, idet der i en lille udskåret del med længden dx kun optræ- F der narmalspændingen cr A' der har retning efter stangens længderetning. Er stanglængden i ubelastet tilstand a b) Fig 5.3 vil belastningen øge den til a + ~a. For en stang af stål vis'er forsøg, at så længe F ikke overskrider en vis grænse, finder man følgende relation for ~a Fa EA ( 5. 1 )

20 5.4 hvor E, e1asticitetsmodu1et, er en konstant større1se kun afhængig af materia1et. Udtrykket (5.1) ka1des Hooke's 1ov. Det kan omformes ti1 j F l e11er: D. a a le E A a Q E (5.2) hvor A!!; e ka1des 1ængdetøjningen. a Udtrykket (5.2) gæ1der også, hvis stangen udsættes for tryk. Da vi1 såve1 cr som e være negative. Når der trækkes i stangen, b1iver den ikke b1ot 1ængere, den b1iver også tyndere, og når den trykkes, b1iver den tykkere. Denne ændring i tværsnitsdimensionerne ka1des tværkontraktionen, og den er proportiona1 med 1ængdeændringen. For den re1ative ændring i tværretningen gæ1der så1edes Større1sen v benævnes tværkontraktionsforho1det e11er Poissons forho1d. Det er en materia1ekonstant, men er for næsten a11e meta11er ca. 0,3. Udsættes en 1i11e udskåren de1 a1ene for tangentia1spændinger, vi1 der kun optræde vinke1drejninger me11em snitf1aderne, jvf. fig Vinke1drejningen y ka1des tværtøjningen. For den sam1ede vinke1forskydning ~ me11em to snitf1ader kan det vises, at ~ a) d x b) Fig 55