Vridning hvælving og kipning. april 2014, LC

Transkript

1 Vridning hvælving og kipning april, LC L B L P B

2 Indhold Hvælvingsinertimoment.. Teoretisk udledning for et U-profil.. Taelværdier.3 Eksempel med et H-profil.. Eksempel med et Z-profil. Fri vridning. Massive tværsnit. Åne tyndfligede tværsnit..3 Lukkede tyndfligede tværsnit.. Eksempler. 3 Bunden vridning 3. Teori 3. Spændinger. 3.3 Deformationer. 3. Kolede systemer. 3.5 Eksempel. Kipning. Teori. Åne tyndfligede tværsnit..3 Eksempel of

3 . Hvælvingsinertimoment.. Teoretisk udledning for et U-profil. c h/ O x h/ s Hvælvingsinertimoment : For et U - profil kan hvælvingsinertimomentet udregnes således: Ved en vridning af profilet omkring en z - akse vinkelret ud af planet, vil strækningen få en flytning i xy - planet. Strækningen vil også deformere sig i z -aksens retning. Denne deformation kaldes hvælving, og vil have deformationsfifur som deformationen i xy - planet. Stivheden mod denne deformation i z - aksens retning afhænger af Hvælvingsinertimomentet, der er m defineret således: I w ω as ω s t. ω s og ω as defineres på de næste sider. ω s udregnes for flangerne og kroppen hver for sig. s s Underflange: ω s r s d h sh s h Krop: ω s c h c sc h Overflange: ω s3 hc s h h sh hc h 3 of

4 ω s defineres som det doelte areal af det skraverede område: c h/ O x h/ s ω s regnes positiv, da retningen s giver en rotation om O mod urets retning. Størrelsen på arealet liver her: h som lige er det halve af værdien af ω s, i hjørnet, der er h når s. y c ω s kan defineres som det doelte areal af det skraverede område: h/ s h/ O x ω s regnes negativ, da retningen s giver en rotation om O med urets retning. Størrelsen på arealet liver her: sc. Ved udregning af ω s skal man starte med den positive værdi h, der findes for s og tillægge den negative værdi for ω s, der afhænger af s. En tilsvarende etragtning kan gøres for ω s3, der også vil give et positivt idrag, da retningen af s vil give en rotation om O mod urets retning ω s3 sh hc h. Den gennemsnitlige værdi af ω s. kaldes ω as og udregnes således: h h ω as ω s ω s ω s3 m h ω as h sh h h c sc h h sh hc h ω as h h h c h 3 h hc ω as ( c) h of

5 m Hvælningsinertimomentet: I w ω as ω s t, hvor m er hele strækningen s, som er den samlede længde af flanger og krop. I w I w I w I w3 I w ω as ω s h t I w ω as ω s h t I w3 h ω as ω s3 t I w s ( c) h sh h t 3 c 3c t d I w h I w s ( c) h h c h 3 t c sc t d I w h I w3 ( c) h sh h hc h t I w3 h t 3 h t c h tc I w h t 3 h t c h tc h3 c h t 3 h t c h tc I w 6 h t 3 h t c h tc h3 c Med for et U-profil, får vi: c 3 6 h I w 6 h t 3 h t 3 6 h h t 3 h h h t I w 6 h t 3 3 h t ( 6 h) 9 h 5 3 t ( 6 h) h3 ( 6 h) t I w h t 3 ( 3 h ) ( 6 h) 5 of

6 Nedenfor er angivet forskellige værdier for vridningsinertimomenter og hvælvingvinertimomenter taellagt. Vridningsinertimoment kaldes her for J, mens hvælvingsinertimoment kaldes for C w.. Taelværdier 6 of

7 Hvælvingsinertimomentet findes for et H-profil og et Z-profil som vist nedenfor. Dette kan gøres uden at udføre de helt store eregninger. Værdierne kan findes forholdvis let ved at etragte udledningerne for et U-profil.3 Eksempel med et H-profil Y / / t t h/ h/ X I w 6 h t 3 h t c h tc h3 c t H-profilet opdeles i U-profifer med c, /: I w 3 6 h t h t h t h3 t I w h t 3 7 of

8 .3. H-profil. Beregning uden integraler. Det doelte svøte areal: ω s forløer som følger: s as s ω s for nederste venstre flange: starter med og slutter med h positivt idrag. ω s for nederste højre flange: starter med h h og slutter med h h positivt idrag. ω s for kroppen: starter med h h og slutter med. ω s for øverste højre flange: starter med h og slutter med h h negativt idrag ω s for øverste venstre flange: starter med h h og slutter med h h positivt idrag. Den gennemsnitlige værdi ω as er h. ω as ω s varierer fra h h i venstre side af underflangen til - i højse side af undersflangen. Omvendt for overflangen. ω as ω s t liver da paraler med værdien h t i alle hjørnepunkter. 6 h Arealet af disse paraler er hvælvingsinertimomentet I w h t ω as ω s t 8 of

9 . Eksempel med et Z-profil. t h/ X h/ Løsning uden intergraler ω as h h h h ω as h ( h) ( h) 9 of

10 Løsning med integraler Underflange: s s ω s r s d h sh. Krop: s h h h ω s c c sc, da c. Overflange: s h ω h sh h s3 h. h Gennemsnit: h h ω as ω s ω s ω s3 d s m h ω as h sh h h h h h sh h ω as ( h) h ( h) I w I w I w I w3 I w ω as ω s h t ω as ω s h t h ω as ω s3 t I w ( h) h ( h) sh t h t 3 h h ( h) I w h ( h) h ( h) h t t h 3 ( h) h I w3 h ( h) h ( h) h sh h t h t 3 h h ( h) I w h t 3 h h ( h) t h 3 ( h) h t 3 h h ( h) I w h t 3 ( h) ( h) of

11 . Fri vridning.. Massive tværsnit. Rektangel h I vr 3.6 h h 3 τ max 3T h.6 h πr T Cirkel I vc τ max πr 3 Ligesidet trekant I vt 6. τ max T 3. Åne tyndfligede tværsnit. n GI v T L ϕ I v 3 k 3 Tt l i t i i Tt i τ i I v I v τ i i of

12 .3 Lukkede tyndvæggede tværsnit. F τ Δt F τ Δt τ t τ t q τt konstant Et lukket tværsnit etragtes. Tykkelsen enævnes t. Omkreen målt langs centerlinien af gotykkelse enævnes l. Der vælges et vilkårligt punkt P inde i tværsnittet, som der tages moment om. Dette moment T er vridningsmomentet. da t F τda dm a( τda) aτt l l T dm T aτt l T q a s d a  er således det areal, der dannes af tværsnitsvæggenes centerlinie.  T T T qâ τtâ τ τ max t  t min  Deformationen af tværsnittet som følge af vridningen etragtes ud fra arejligningen. Arejligningen ϕ ττ dv ϕ G τ G of

13 Med T får man τ t  dv Lt τ τ t  T t  Disse 3 ligninger inættes i ϕ ττ G dv l ϕ t  G T t  dv ϕ l TL G  TL I v er vridningsinertimomentet. t GI v  I v l t I v  l t.. Lukkede tyndvæggede tværsnit. Eksempel. For et cirkulært rør med radius r giver formlen: I v πr πr I v πr 3 t t Eksempel: r 5mm t 8mm I v πr 3 t I v mm.. Lukkede tyndvæggede tværsnit. Eksempel. For en regulær 6 kant med middelradius r og gotykkelse t giver formlen: I v 3 3 r 6r t Eksempel: R 5mm t 8mm I v 3 3 r 6r I v.5 6 mm t 3 of

14 3. Bunden vridning. L B L P B Bjælken B er fast inpændt i den store HEM søjle i venstre side. B er simpelt understøttet i højre side med en pendulsøjle. Belastningen P påføres på jælke B. Bjælken understøttes alle steder uden dette giver ekstra exentriciteter. Alle eregninger udføres med symoler indtil eksemplet. Bjælken B: I formet profil med lige store flanger. Bredde af flanger f. Tykkelse af flanger t f. Højde mellem flangernes centerlinier h t. ) Teorien elyses gennem det viste eksempel med en vridningspåvirket udkraget inpændt jælke. ) Der findes et udtryk for normalspændingen i flagerne. 3) Vinkeldrejninger findes på grundlag af arejlinien. ) Eksempel med talværdier. 5) Vinkeldrejninger og spændinger hvis jælken etragtes som påvirket af fri vridning.. 6) Kolede systemer. of

15 3. Bunden vridning. 3. Bunden vridning Teori. Hvælvingskonstatens værdi ω as ω s er fh t i det yderste hjørne af flangen. ω s f h t Der defineres en størrelse kaldet et imoment B. Såfremt det vridende moment opløses i vandrette moat rettede kræfter på over- og underflange som vist, vil momentet i flangerne for en udkraget jælke stige fra i den frie ende til F Lved inpændingen. Det vridende moment afstanden tilinpændingen kaldes imomentet. I det viste eksempel er imomentet ht B PLL. [kn m ] h t F 3. Normalspændinger. Mz Normalspændingen i flangerne kan så estemmes efter Naviers formel σ. I I dette tilfælde er momentet M B f, z og I h t t 3 f f. B f h t 6B σ der kan reduceres til σ. Der ganges med fh t i tæller og nævner og man får t 3 f f f ht t f B fh t f h t PL L Bω s σ som kan skrives som σ. I eksemplet giver dette: σ og t 3 I w f f h t t 3 f f h t 6L LPh t σ. f ht t f F 5 of

16 3.3 Vinkeldrejning. På arejkurven for stål vil arealet under kurven repræsentarer det indre arejde mens arealet over kurven repræsenterer det ydre arejde. s t A y s E e A y t G f A i e A i f A i εσ A σ i Vi inætter nu udtrykket for normalspændinge i det indre arejde. E L m Bx ( ) ω s t A i. t indgår, da spændingen skal integreres op over hele tværsnittet. I w E m Vi enytter nu definitionen for hvælvingsinertimoment: I w ω s t. Det indre arejde kan nu skrives som: L m L Bx ( ) ω s t Bx ( ) L I w Bx ( ) A i x I w E d. I eksemplet er imomentet som I E E I w w funktion af x: B( x) Tx. Dette indføres nu i det indre arejde og integralet løses: L A ( Tx ) T L i A i x L 3 T A i. EI w E I w 6E I w På arejkurven for stål for vridning viser arejkurven sammenhængen mellem vinkeldrejningen φ og Tt forskydningsspændingen. Forskydningsspændingen τ ganges nu med I v og divideres med tykkelsen t. I v Hermed får man det vridende moment T. Arejkurven viser nu sammenhængen mellem vinkeldrejningen φ og det vridende moment. Arealet over kurven er således det ydre arejde: A y Tφ. A y A i T φ L 3 T L 3 T w φ w. 6E I w 3E I w 6 of

17 Opgave 3. Talværdier i det vise eksempel. L m L.5m P 3kN h t 58mm f mm t f 9mm Løsningsforslag til opgave 6L LPh t σ σ.mpa T PL E MPa f ht t f I w t 3 L 3 T f f h t φ w 3E I w Bjælkens stivhed overfor vridning: φ w.6 φ w 9.deg T 3E I w k w k w φ w L Bjælken eregnet som fri vridning. E G t w mm I v.5 (.3) 3 3 ft f 3 h 3 tt w I v.5 6 mm TL Tt f φ v φ v. τ f τ f 55.6MPa GI v I v (forskydningsspænding i flagen) k v T φ v φ v 8.8deg 3.6 Kolet system T φ φ.8 k w k v T v T v k v φ T v.37knm τ v τ f τ v 9.9MPa T T w k w φ T w.3knm σ w σ T w σ w 95.7MPa T σ eff σ w 3τ v σ eff 8.7MPa 7 of

18 . Kipning.. Kipning, teoretisk grundlag. Kipning. Teoretisk grundlag Betegnelser: x-aksen er placeret i jælkens længderetning. y-aksen går vandret gennem tværsnittets tyndepunkt. z-aksen går lodret gennem tværsnittets tyngdepunkt. Vinkeldrejning kaldes f A er tværsnitsarealet E-modulet G er forskydningsmodulet. I y er inertimomentet om den stærke akse. I z er inertimomentet om den svage akse. I v er vridningsinertimomentet. I w er hvælvingsinertimomentet. M cr er det kritiske moment for kipning om den stærke akse. 8 of

19 P P Figur k3 P P Som det ses af ovenstående figur k3, vil en fri kipning påvirke profilet til øjning om den svage akse på grund af udøjningen u. Profilet vil også live påvirket af et vridende moment. Placeringen af elastningen P vil have en indflydelse på størrelsen af det vridende moment. I udledningen af den generelle kipningsformel antages det, at elastningen P angrier i forskydningscentrum, som er sammenfaldende med tyngdepunktet i et doeltsymmetrisk profil. Sel om profilet profilet vil evæge sig lodret nedaf med størrelsen v, vil deformationen ikke give noget moment om den stærke akse. Deformationerne vist på figur k3 findes mellem understøtningerne og er størst på midten af det viste profil. Ved understøtningerne skal konstruktionen være gaffellejret, hvilket etyder, at over- og underflange fastholdes mod vandrette flytninge på tværs af profilet. 9 of

20 Ved understøtningerne vil overflangen dreje mere end underflangen som det ses på figur k5. Denne deformation kaldes hvælving, og størrelsen afhænger l.a. af profilets hvælvingsinertimoment I w. figur k5 Momentet M kan opløses i komposanter M y og T. d T Msin( θ) M u M y Mcos( θ) d x I det følgende sættes M y d T Msin( θ) Mθ M u d x M ligesom sin( θ) θ. Dette kan gøres, da der er tale om små størrelser for θ. of

21 ) T M du dt d M u Differentialligning ved øjning om stærke akse: d ) M EI y v Differentialligning ved øjning om svage akse: d 3) M z EI z u Mϕ 3a) d M z u EI z Mϕ EI z Differentialligning ved vridning: 3 d ) T GI v ϕ d EI w ϕ ) differentieres med hensyn til x: 3 dt d d GI v ϕ EI w ϕ 5) M Mϕ EI z d d GI v ϕ EI w ϕ d d M cr ϕ 3a) inættes i 5), og der rokeres lidt om: EI w ϕ GI v ϕ EI z Den karakteristiske ligning for denne. ordens differentialligning: EI w m GI v m M cr EI z Vi får løsninger til denne ligning. Heraf er de løsninger reelle nemlig m og -m. løsninger er komplekse nemlig +i n og -i n. Den generelle løsning til denne differentialligning er: ϕ Asin( mx) Bcos( mx) e x Ce nx De nx of

22 Randetingelserne for ligningen er: Bjælken kan ikke rotere om x-aksen ved understøtningerne på grund af gaffellejringen, hvilket giver ϕ for x og xl. Normalspændingen i jælkens længderetning er ved understøtningerne, hvilket giver d ϕ for x og xl. Vi vil vise, at en løsning til differentialligningen er: φ φ sin x L π. Løsningen inættes i den oprindelige differentialligning: EI w φ sin x d x L π GI v φ d sin x M cr φ sin x d x L π L π. d EI z φ sin πx π I w I z E π GI v I z EL L M cr L Dette giver: EI z L Vi foruætter, at φ sin πx ikke er nul, hvilket vil sige, at x skal ligge mellem og L. L π I w I z E π GI v I z EL L M cr EI z L π kalderdet kritiske moment : M cr L. Denne ligning løses med hensyn til M, som vi så I z π E I w L I z EGI v of

23 Såfremt påvirkningen ikke er et konstant moment, eller understøtningsforholdene er anderledes, kan det generelle udtryk korrigeres med følgende faktorer m, se nedenfor, der skal divideres op i det generelle udtryk, således at for en ensformig fordelt last, vil det generelle udtryk live π I z π E I w M cr.88l L I z EGI v : 3 of

24 Afstivning af trykkede konstruktionsdele Q m og er ofte. (6.67) i DS/EN 993 of