Renteindekserede Obligationer

Transkript

1 Erhvervsøkonomisk Institut Kandidatafhandling Forfattere: Jacob Grosen Lasse Okholm Ravn Vejleder: David Skovmand Renteindekserede Obligationer - Prisfastsættelse af KK Kurvestejler 2013 & DEXIA Holger Danske 2004/2012 Handelshøjskolen, Aarhus Universitet 2009

2 Abstract Since their introduction to the Danish market in the late 1990 s structured bonds has endured great appreciation from especially the private investors. As in all other areas of the economic world the financial crises have also had its impact on this market, but nonetheless new issues are still made on a regular basis, which makes further investigation interesting. The products typically consists of a zero-coupon bond investment and an investment in a financial derivative, typically some form of exotic option, which are then combined and sold as a single product. The reason for the products great popularity is found in this combination. The combination of what appears to be a money-back guarantee and only the upside risk of an exotic investment is appealing to the private investors. Issuers have shown great creativity in their choices for the derivative part, where both single stocks, stock indices, different currencies and many other financial products have been used as the underlying asset. A popular choice is an option based on some form of interest rate, which is the area of interest in this thesis. The main purpose of this thesis is to price the two interest rate-linked structured bonds, KK Kurvestejler 2013 and DEXIA Holger Danske 2004/2012. Kurvestejler is issued by the Danish association Kommunekredit and has a five year maturity with quarterly coupons. The option embedded in the product is based on the spread between two European Constant Maturity Swap (CMS) rates, more precisely EURCMS 30 minus EURCMS 10 minus 0.35 percent. Holger Danske is issued by Dexia Banque Internationale à Luxembourg and has a maturity of maximum 8 years also with quarterly coupons. Here the coupons from the option are based on the difference between a constant and the 6 month LIBOR rate. Also in Holger Danske the issuer has an American option to call the product before maturity. This can be done at any coupon data by paying the coupon at the call data plus the principal. To model the evolution of interest rates two different models is used, one being a onefactor time-dependent short rate model and the other a two-factor time-dependent short rate model. In choosing the specific models the following five criteria s has been set: 1. For calibration purposes and the construction of the pricing algorithm the models must have explicit expressions for pricing zero coupon bonds. 2. The products have multiple

3 payoffs in different times so the model must have dynamics for the evolution of interest rates under the t-forward risk measure. 3. The products cannot be priced with explicit expressions so the models must be appropriate for Monte Carlo simulation. 4. Models must have a build in mean reversion parameter. 5. The models must have none or very slight chance of simulating negative interest rates. Based on these criteria s the Hull & White Extended Vasicek-model and the G2++-model is chosen to simulate the evolution of the short interest rate. Due to the complexity of the products it is not possible to find any explicit expressions to price them. Instead the price has to be estimated by using a numerical solution and the choice of method is Monte Carlo simulation. The estimated price of the products is then calculated as a simple average of the sum of the different Monte Carlo simulations discounted back to the starting point. Discretization of the models stochastic differential equations under the t-forward dynamics is done using the Euler Scheme and random normal numbers is extracted via. the Box-Muller method. To reduce the variance of the simulations antithetic variables is incorporated in the models. Since Holger Danske can be called ahead of time by the issuer it cannot be priced using regular Monte Carlo. Instead a special variation called Least Squares Monte Carlo is used to price this product. In short, this method decides whether or not the issuer should call the bond by comparing the exercise value to the continuation value of the product at a given time. The continuation value is calculated by a regression using factors that are relevant to the evolution of the underlying interest rate as explanatory variables. Here different variations of the forward rate are used as relevant variables. Next step is to calibrate the models to relevant market data. Since they are time varying both models need a function of the observed market rates in order to simulate the short rate. As a proxy for this, a Nelson-Siegel function is used. Also, the parameters in both models have to be adjusted to the market data. Since both models have explicit expressions for cap prices the calibration will be done using caps. Market practice is to quote the caps in implied volatility, so in order to compare with the model prices, these quotes have to be transformed into nominal prices also. This is done with the Black (1976)-formula for cap prices. Last, to find the parameter values, the squared differences between the market and model prices are minimized by changing the model

4 parameters using a Downhill-simplex minimization algorithm. The same minimization problem and algorithm is used to find the Nelson-Siegel parameters. Finally the specific pricing algorithms for the products are developed and the price estimation performed. For Kurvestejler calculations show that both H&W- and the G2++-model converges with a good price estimate when using 30,000 antithetic simulations. The estimation is done per kroner and yields and kroner for the H&W- and G2++-model, respectively. In Holger Danske 20,000 simulations is used to estimate the price. Both the H&W- and the G2++-model seems to converge at this level. Again prices are estimated per kroner and yields kroner for the H&W-model and kroner for the G2++model. These prices include the issuer s option, which is estimated to have a value of 0.28 and 0.44 kroner for the H&W- and G2++-model, respectively. With a total nominal amount sold of million for Kurvestejler and million for Holger Danske the price estimates indicates that the issuers makes large sums of money on these types of products. A sensitivity analysis, where the price changes due to partial changes in chosen parameters is analyzed, is also performed for both products. Things being analyzed are parallel shifts in the yield curve and positive and negative changes in the mean reversion and volatility level. Overall the result of the analysis yields results as to be expected. Positive (negative) shifts in the yield curve gives a negative (positive) change in the price estimate. The same negative relationship is found between the price and the mean reversion level, whereas there seems to be a positive relationship between the price and the volatility.

5 Indholsfortegnelse 1. Indledning Problemformulering Disposition og metodevalg Afgrænsninger Forudsætninger Datamateriale og litteratur Strukturerede Produkter Generelt Obligationsdelen Optionsdelen Deltagelsesgrad Præsentation af Produkterne KK Kurvestejler Holger Danske 2004/ Rentemodeller Arbitragefrie markeder Martingale Risikomål Definitationer og Notation Numeraireskifte Generelt om Rentemodeller Valg af Modeller Én-faktor tidsafhængige Modeller Tofaktor-modeller Valg af numerisk metode til prisfastsættelsen Monte Carlo Euler Diskretisering Normalfordelte tal Variansreducerende metoder Least Squares Monte Carlo Kalibrering Data til kalibreringen Estimering af rentekurven ved Nelson-Siegel... 56

6 7.3 Kalibrering af modellerne med caps Kurvestejler Holger Danske 2004/ Prisalgoritmer Numeraire ved multiple afkast Input til at simulere renten Kurvestejler Holger Danske 2004/ Pris og følsomhedsanalyse Kurvestejler Pris og konvergens Følsomhedsanalyse Holger Danske 2004/ Pris og konvergens Følsomhedsanalyse Konklusion Litteraturliste Bilag CD-rom

7 1. Indledning Indekserede obligationer, også kaldet strukturerede obligationer, er et relativt nyt finansielt produkt, der gennem de senere år primært er blevet udbudt til den private investor, og har vundet stor popularitet hos disse. De strukturerede obligationer har været udbudt på det danske marked siden slutningen af 1990 erne, og oplevede specielt i perioden op til finanskrisen en meget stor fremgang. Ifølge COIN Fondsmæglerselskab A/S 1, der er et rådgivningsselskab med speciale inden for strukturerede produkter, havde markedet i februar 2008 en samlet værdi på DKK 66,6 milliarder. Ifølge COIN har finanskrisen dog lagt en dæmper på markedet, men der udstedes stadig nye produkter på det danske marked. Årsagen til denne popularitet, skal findes i produkternes egenskaber. Produkterne er som oftest sammensat af en nulkuponrenteobligation og en option, hvor nulkuponrenteobligationen sikrer investoren et minimumsafkast ved udløb, mens optionen giver et potentielt merafkast afhængig af udviklingen i optionens underliggende aktiver. Da indfrielseskursen på nulkuponrenteobligationen oftest er kurs 100, skal denne ses som en form for sikkerhedsnet, der sikrer investor tilbagebetaling af den oprindelige investering. Dette udsagn er dog en sandhed med modifikationer, hvilket uddybes senere i afhandlingen. Det er denne sikkerhed der tiltaler risikoaverse investorer. Samtidig har udstederne udvist stor kreativitet med hensyn til valg af de underliggende aktiver for optionerne, hvor både enkeltaktier, aktieindeks, forskellige valutaer, råvarepriser eller kombinationer af disse har været brugt. Den private investor har dermed fået mulighed for at investere på områder der tidligere har været forbeholdt de store finansielle investorer på markedet. Renteindekserede obligationer er en speciel version af disse produkter, hvor det underliggende aktiv i optionen er en eller anden form for rente. I de lidt mere traditionelle produkter, hvor det underliggende aktiv eksempelvis er en aktie, giver aktivet mulighed for store gevinster alene via kursstigninger. Dette er ikke muligt, når det underliggende aktiv er en rente, da renter populært sagt svinger omkring en middelværdi. Dette har gjort, at udstederne har været meget kreative med hensyn til opbygningen af optionen i disse rentebaserede produkter, hvilket ofte gør dem meget uigennemskuelige. For den primære investor, der er den private, er det nærmest umuligt 1 1

8 at gennemskue, hvorvidt produktet reelt har den værdi der betales for det. På grund af dette er disse produkter derfor meget interessante at analysere og prisfastsætte. Dette er også baggrunden for denne afhandling; at finde ud af hvorvidt prisen på disse produkter stemmer overens med det der betales for, og om de derfor er prisfastsat på en fair måde overfor investoren. 2

9 2. Problemformulering Hovedformålet med denne afhandling er at prisfastsætte produkterne KK Kurvestejler 2013 og DEXIA Holger Danske 2004/2012, der begge er renteindekserede obligationer. Der redegøres samtidig for prisforskelle ved valg af forskellige rentemodeller, og der analyseres, hvorledes prisen responderer på partielle ændringer i de underliggende aktiver, hvoraf prisen er bestemt. 2.1 Disposition og metodevalg For at besvare den overordnede problemstilling vil afhandlingen blive opdelt i en række delemner, der hver især behandler relevante delområder inden for renteindekserede obligationer. I det følgende vil disse delområder blive beskrevet, hvormed deres relevans i forhold til besvarelsen af den overordnede problemstilling vil blive anskueliggjort. I første del af afhandlingen vil renteindekserede obligationer som begreb blive uddybende beskrevet. De generelle principper omkirng opbygningen af produkterne vil blive illustreret og dekomponeret, hvorefter produkternes enkeltdele vil træde frem til yderligere analyse. Af denne gennemgang vil det fremgå, hvilken inflydelse de enkelte komponenter har på det samlede produkt. Det bliver herved nemmere at vurdere disses indflydelse på produkternes afkast. På baggrund af ovenstående forklaring af det generelle setup, vil de to udvalgte produkter herefter blive gennemgået på en detaljeret facon. Der vil blive lagt særlig fokus på at forklare hvorledes optionen i produktet er opbygget, og hvilke karakteristika der findes i disse optioners underliggende aktiver. Dette er af stor betydning for valg af rentemodeller i senere afsnit, da forskellige modeller hver især har forskellige fordele og ulemper, og det er derfor vigtigt at vælge rentemodeller der passer til de udvalgte produkter. Derefter følger et afsnit om valg af rentemodeller og den bagvedliggende teori hos disse. Rentemodeller bygger på forudsætninger om blandt andet effektive og arbitragefri markeder, samt en række begreber fra den økonometriske og statistiske verden, hvis forståelse er nødvendig for at kunne anvende modellerne. Samtidig vil den notation der efterfølgende bruges gennem resten af afhandlingen blive gennemgået. 3

10 Der vil blive valgt to forskellige rentemodeller til at prisfastsætte produkterne. Den første vil være en tidsvarierende én-faktor model, der tager udgangspunkt i den aktuelle rentestruktur og derefter ved hjælp af én faktor simulerer den forventede renteudvikling. Den anden vil være en to-faktor model der ligeledes tager udgangspunkt i den aktuelle struktur. Denne model bruger to faktorer, der er indbyrdes korrelerede, til at beskrive renten. Ved valg af rentemodeller vil der, ud over evnen til at modellere den fremtidige renteudvikling, især blive lagt vægt på modellernes muligheder for prisfastsættelse af blandt andet nulkuponobligationer, da dette er af stor betydning for prisfastsættelsen af produkterne. Til prisfastsættelsen af produkterne tages der udgangspunkt i en numerisk løsning. Dette er fordi optionerne i begge produkter er for komplicerede til at udlede en explicit lukket formel for prisen. Der vil i afhandlingen blive anvendt Monte Carlo-simulation som numerisk løsning. Udover en gennemgang af selve Monte Carlo-teknikken, vil diskretisering af modellerne, udvælgelse af normalfordelte tal, samt forskellige variansreduceringsteknikker også blive gennemgået. Da Holger Danske-produktet indeholder en call option for udsteder, hvor produktet kan indløses før tid, er almindelig Monte Carlo ikke brugbar her. Der benyttes istedet en afart kaldet Least Squares Monte Carlo der også beskrives i dette afsnit. Herefter skal de to valgte modeller kalibreres, så de tilhørende parametre stemmer overens med markedet. Der tages udgangspunkt i de observerede rentekurver fra de dage, hvor produkterne blev prisfastsat af udstederne. Modellerne kræver en funktion af den observerede rentestruktur som input, og til dette bruges en Nelson-Siegel funktion som proxy. Da begge modeller bruger den observerede rentestruktur som aktivt input, vil det ikke være effektivt udelukkende at bruge denne til kalibreringen. Modelparametrene vil i stedet blive kalibreret til caps fra samme dag som den observerede rentekurve. Det er i denne forbindelse også vigtigt at modellerne har analytiske formler for priser på caps. Selve kalibreringen foregår herefter ved, at de kvardrerede fejl mellem markedets og modellernes priser minimeres ved hjælp af en specifik minimeringsalgortime. I afsnit 8 konstrueres prisalgoritmerne til prisfastsættelsen af produkterne. De tilhørende optioner er som nævnt relativt komplicerede i deres opbygning, så der dedikeres et 4

11 afsnit særskilt til dette. Produkterne skal prisfastsættes under det såkaldte t-forward risikomål, hvorfor et nummeraireskifte er første skridt i opbygningen og herefter konstrueres de specifikke afkastfunktioner til begge produkter. Slutteligt følger et afsnit, hvor prisen på produkterne estimeres, samt analyseres. De to modellers estimerede pris sammenlignes i forhold til hinanden og udsteders estimater. Hypotesen er, at hvis produktet er prisfastsat på en fair måde, vil den samlede værdi af både optionen og obligationen i produktet være omkring kurs pari, og der vil blive vurderet på om dette er tilfældet. Herefter foretages en følsomhedsanalyse, hvor prisændringerne på produkterne bliver analyseret ved partielle ændringer i relevante parametre i modellerne, herunder blandt andet mean reversion-hastighed og volatilitet. 2.2 Afgrænsninger For at løse afhandlingens problemstillingen er det vurderet nødvendigt at tage følgende forbehold i form af afgrænsninger: Skattemæssige konsekvenser Beskatningsreglerne omkring strukturerede produkter er en anelse komplicerede i og med de i skattemæssig sammenhæng beskattes under ét, men stadig opfattes som både en obligation og en option. Dette har dog ingen umiddelbar betydning for prisestimaterne på produkterne, hvorfor der afgrænses fra at tage dette med ind under afhandlingens område. Kuponfastsættelsesdage I både Holger Danske og Kurvestejler fastsættes kuponrenten 8 bankdage før starten af hver kuponperiode. Af hensyn til prisalgoritmen for produkterne vil der ikke blive taget hensyn til dette i afhandlingen. Kuponrenten vil blive fastsat samme dag som den tilhørende kuponperiode begynder. Sker dette eksempelvis den 28. februar vil kuponrenten blive fastsat denne dag og ikke 8 bankdage før. Risikopræmie Hovedstolsgarantien i produkterne indeholder en teoretisk mulighed for at udsteder ikke er i stand til at betale denne ved udløb. Dette kunne være hvis udsteder eksempelvis går 5

12 konkurs. Da både Kommunekredit og Dexia har højst mulige kreditrating vurderes denne mulighed som ikke-eksisterende, og der anvendes derfor ingen risikopræmie i prisfastsættelsen. Nedre grænse ved Least Squares Monte Carlo-simulation Ved Least Squares Monte Carlo kan den estimerede pris være biased, hvis det valgte polynomie ikke er det optimale. Derved vil den optimale stoppestrategi for udsteder ikke være korrekt identifiseret. Dette gør at den fundne pris kun udgør en øvre grænse for værdien. Dette medfører at prisestimatet ikke konvergerer mod den sande værdi når antallet af simulationer forøges. Der findes metoder til at udregne den nedre grænse for værdien, men disse vil ikke blive anvendt i denne afhandling, da de er meget komplicerede og beregningstunge. 2.3 Forudsætninger og antagelser Udover de ovenstående afgrænsninger er det også vurderet nødvendigt at have følgende forudsætninger for at kunne løse problemstillingen på en tilfredsstilende måde: Efficiente markeder Hypotesen om efficiente markeder holder. Den samme information er tilgængelig for alle investorer, og der er således ingen der har mulighed for overnormal profit gennem assymetrisk information. Der findes ingen transaktionsomkostninger, og det er muligt at låne og udlåne til den risikofrie rente. Ingen arbitrage Der findes ingen arbitragemuligheder på markedet. Det er derfor ikke muligt at lave risikofrie gevinster udover den risikofrie rente. Rentestrukturen Til prisfastsættelsen avendes rentekurven udledt af obligationsmarkedet (nulkuponrentestrukturen), da denne er tilgængelig i Datastream, hvorfra al data i opgaven udtrækkes. Udsteder vil dog formentlig have anvendt rentekurven udledt fra pengemarkedet til deres prisfastsættelse, da financielle institutioner oftest anvender 6

13 denne som alternativafkast. Spændet mellem de to kurver er normalt af begrænset karakter, og nulkuponrentestrukturen benyttes derfor til prisfastsættelsen i denne afhandling. I denne forbindelse bemærkes det også, at Kurvestejler indeholder et implicit quantoelement i og med at alle betalinger forfalder i danske kroner, mens de bestemmes ud fra spændet i de europæiske CMS-renter. Strengt taget burde alle betalinger derfor tilbagediskonteres med de danske nulkuponrenter. Grundet Danmarks deltagelse i ØMU-samarbejdet, hvor betingelserne inden for ERM2 dikterer at dansk valuta højst må svinge med +/- 2,25 procent overfor Euroen, er rentespændet mellem de to meget begrænset, og de europæiske nulkuponrenter bruges derfor også til tilbagediskonteringen. 2.4 Datamateriale og litteratur I forlængelse af overnstående vil den specifikke data, der bruges i forbindelse med prisfastsættelsen af produkterne, blive beskrevet nærmere senere i afhandlingen i relevante afsnit. Disse data er som nævnt udtrukket fra Datastream, der vurderes at være en pålidelig kilde, så der vil ikke blive argumenteret yderligere for validiteten af data. Valg af modeller, analyse og opbygning af algoritmer er foretaget med udgangspunkt i Brigo (2006). I denne bog har forfatterne samlet en lang række af rentemodeller og redegjort for prisfastsættelse ved hjælp af disse modeller, samt en lang række andre karakteristika Derudover gennemgår bogen detaljeret alle de hypoteser og forudsætninger, der er nødvendige for at kunne anvende modellerne. Denne bog vil derfor gennem hele afhandlingen blive anvendt som primær litteratur, og størstedelen af de udtryk og formler der bruges igennem afhandlingen vil være inspireret herfra. Hvor det har vist sig nødvendigt, er der inddraget anden litteratur, og det vil gennem hele afhandlingen særskilt fremgå, hvis anden litteratur er blevet anvendt. 7

14 3. Strukturerede Produkter Generelt I det nedenstående afsnit er grundelementerne omkring strukturerede produkter beskrevet. Dette har til formål at skabe forståelse for produktet til den senere prisfastsættelse og analyse. Et garantiprodukt, også kaldet et struktureret produkt eller en indekseret obligation, er oftest opbygget på en sådan måde, at investor er garanteret sit indskud ved udløb, samt har en eksponering i et underliggende aktiv. Investor kan på den måde siges at påtage sig en begrænset risiko. Produktet er derfor sammensat af flere forskellige finansielle instrumenter. Et typisk struktureret produkt er opgjort af to finansielle instrumenter, i form af en obligationsdel og en optionsdel. Obligationsdelen fungerer som garantien for investoren, mens optionen fungerer som eksponeringen i det underliggende aktiv. For at finde del samlede værdi af produktet skal de enkelte dele således prisfastsættes hver for sig. På trods af at den overordnede opbygning stort set er ens for alle strukturerede produkter, er disse langt fra at betragte som homogene. Dette skyldes, at opbygningen af både obligations- og optionsdelen kan være meget forskellig fra produkt til produkt. Dette gælder især for optionsdelen hvor løbetid, struktur og valget underliggende aktiv, har stor indflydelse på afkastpotentialet. Dette tydeliggøres yderligere af, at de aktiver der bliver valgt som underliggende, oftest er nogle den private investor normalt kun har begrænset mulighed for at investere i. De underliggende aktiver er typisk af en eksotisk karakter såsom rentespænd, valutakurser og råvarepriser. Produkterne giver derfor den private investor en ny mulighed for risikospredning, samt investere i aktiver der normalt kræver større kapital. Selve opbygningen af optionerne har desuden stor indflydelse på prisfastsættelsen af produkterne. For eksempel kan optionsafkastet være fastsat med baggrund i en gennemsnitspris på det underliggende aktiv, i stedet for prisen i udløb. Dette medfører, at værdien af optionen, vil blive mindre da gennemsnitsprisen vil have en lavere varians end udløbsprisen. For den enkelte investor kan sådanne egenskaber kan gøre det svært at gennemskue produktets risiko og afkastpotentiale. Der kræves et forholdsvist stort kendskab til finansielle produkters opbygning og måden hvorpå de prisfastsættes før det kan 8

15 vurderes hvorvidt produktet har en fair værdi og derfor vil den private investor have svært ved at vurdere hvilke omkostninger der er knyttet til produktet. Produktets afkastpotentiale kan således være væsentligt nedsat i forhold til, hvad der umiddelbart fremgår af det markedsføringsmateriale udstederne stiller til rådighed for investorerne. I forbindelse med en udstedelsen af et struktureret produkt er der typisk flere forskelllige interessenter, hvilket nedenstående figur forsøger at illistrere. Figur 3.1: Interessenter i relation til et struktureret produkt. Kilde: Egen tilvirkning. Som figuren viser, har investoren kun direkte kontakt til den organisator der står for opbygning, udbredelse og markedsføring af produktet. Blandt nogle af de største danske organisatorer kan blandt andet nævnes: Garanti Invest, Forstædernes bank, samt de største danske pengeinstitutter, herunder Danske Bank, Nordea, Sydbank og Jyske Bank. Som udsteder på obligationsdelen står oftest en virksomhed eller organisation med en meget lav kreditrisiko, da det er denne del der udgør selve garantien for investoren. Derudover samarbejder organisator typisk med en investeringsbank der bærer risikoen på optionsdelen. Organisator bærer derfor i realiteten ingen risiko og fungerer udelukkende som mellemled. Organisatoren oplyser oftest et estimat på de forventede omkostninger, der typisk betales ved at investor betaler en mindre overkurs på porduktet på et par procent. Omkostningerne består af omkostninger til markedsføring, provision til organisator og investeringsbanken, samt omkostninger knyttet til noteringen på fondsbørsen. 9

16 3.1 Obligationsdelen. Typisk er den tilknyttede obligation udstedt som et stående lån til udsteder, og derfor en nulkuponobligation. Denne nulkuponobligationen bliver oprettet på udstedelsesdatoen og betaler kurs pari ved udløb. Investoren er derfor som minimum sikret sit indskud ved udløb. Dog minus den overkurs der eventuelt blev betalet ved udstedelsen. Værdien af obligationsdelen for investoren er derfor udtrykt ved nedenstående formel: VV tt0 = 100 (3.1) (1 + rr TT ) TT De 100 referer til kurs pari, da produkterne typisk udstedes per 100 kroner nominelt. Værdien af obligationen er således de 100 kroner tilbagediskonteret til udstedelsdatoen ved hjælp af en relevant markedsrente givet ved rr TT. Fastsættelse af denne rente er af væsentlig betydning for investor, der selvfølgelig ønsker den højst mulige forrentning af sin investering. Det resterende beløb er således givet ved: RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR = eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee VV tt0 hvorfor en højere rente til tilbagediskonteringen af obligationen vil resultere i en højere restinvestering, der er det beløb der bruges til finansieringen af optionselementet. En anden faktor, der kan gøre restinvesteringsbeløbet større, er løbetiden på obligationen. Her vil en længere obligationsløbetid give mulighed for en større restinvestering. Dog vil præmien på optionen også stige i værdi, grundet den længere løbetid, men typisk vil effekten på obligationen være størst. Der kan i den forbindelse opstå en interessekonflikt, hvis udsteder af obligationen og organisator er samme institution, da det er i udsteders interesse at diskonteringsrenten er så lav som muligt og derfor ikke afspejler udsteders reelle kreditrisiko. 3.2 Optionsdelen. Da investoren, set i forhold til købsprisen, ikke kan opnå et merafkast på obligationsdelen, er afkastpotentialet isoleret til optionselementet. Nedenstående er vist hvorledes et afkast typisk er opgjort. 10

17 OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO = PP DD aaaaaaaaaaaa ffffff uuuuuuuuuullllllllllllllll aaaaaaaaaa hvor P er det nominelle beløb investeret i optionen og D er en deltagelsesgrad, der kan betegnes som en gearing af afkastet. Denne deltagelsesgrad beskrives yderligere i afsnit 3.3. Afkast fra det underliggende aktiv kan være opbygget på mange måder, og er bestemt af den hvordan optionen er struktureret sammen. Som tidligere nævnt kan dette blandt andet være et gennemsnit, men der er i princippet ikke ret mange begrænsninger på hvorledes dette kan gøres. Sammensætningen af afkastet på det underliggende aktiv, samt valg af selve aktivet, er den del, hvor de strukturerede produkter adskiller sig mest fra hinanden. 3.3 Deltagelsesgrad Deltagelsesgraden, også kaldet kuponfaktoren, kan normalt ikke fastsættes før tegningsperiodens udløb, hvorfor den i prospektet kun fremgår som et estimat. Efter udstedelse er deltagelsesgraden konstant i produktets samlede levetid, og den kan beregnes som vist i formel (2). DD = VV oooooooooooo SS 0 PP CC (3.2) hvor V option er det beløb, der er investeret i den tilknyttede option er udgjort af restinvesteringen, S 0 er værdien af det underliggende aktiv, P er selve produktets hovedstol og C er den teoretiske pris på den tilknyttede option. I de tilfælde hvor produktet sælges til pari, kan formel (3.2) omskrives som vist nedenstående i formel (3.3). DD = 1 ee rr TT CC SS 0 (3.3) hvor r er renten for en lån med tilsvarende løbetid og T er løbetiden for produktet. Hvis prisen på produktet skal være fair, må den andel der investeres i optionen således ikke være større end prisen på en tilsvarende mængde købt direkte i markedet. Typiske deltagelsesgrader for produkterne ligger omkring 100, hvilket vil sige at investor deltager i stigningen i et forhold på omkring én-til-én, men der findes flere 11

18 eksempler på produkter, hvor deltagelsesgraden er væsentligt højere. Dette er for at gøre produktet mere attraktivt for investor og kan derfor være en vigtig faktor i markedsføringsøjemed. Organisatoren har derfor et inticament til, at vælge eksotiske optioner hvor diverse restriktioner gør præmien mindre og derigennem deltagelsesgraden højere. Disse eksotiske optioner gør at de strukturerede produkter bliver endnu mere komplicerede, hvilket igen gør det vanskeligere for den private investor, når denne skal prøve at gennemskue produkterne På baggrund af alt dette viser nedenstående figur sammensætningen af de forskellige elementer, som det strukturerede produkt består af ved udstedelsen samt udløb. Figur 3.2: Elementer i det strukturerede produkt Kurs Omkostninger Afkast Præmie option Obligation Kilde: Egen tilvirkning. 0 Udstedelse Udløb Hvis investoren beholder obligationen til udløb udgør obligationen som nævnt hovedstolsgarantien. Der er dog en likviditetsrisiko for investor i forbindelse med produkterne. Hvis denne har behov for at sælge produktet før udløb, er der ingen garanteret kurs. Her er kursen bestemt af markedsvilkårene, og derigennem udviklingen i det underliggende aktiv. Produkterne bliver typisk ikke handlet ret ofte, hvilket resulterer i store spænd mellem køb- og salgskurser. Der er med andre ord store omkostninger forbundet med at handle disse produkter. Strukturerede produkter må derfor betegnes som køb-og-behold investeringer. 12

19 4. Præsentation af Produkterne I dette afsnit gives en dybdegående beskrivelse af begge produkter, hvor fokus specielt vil være på hvorledes afkastfunktionerne er opbygget. Først gennemgås Kurvestejler og derefter følger Holger Danske. 4.1 KK Kurvestejler 2013 Følgende beskrivelse er lavet på baggrund af prospektet KommuneKredit KK Kurvestejler 2013 der er udarbejdet af Nordea den 11. november Denne er vedlagt på medfølgende CD-Rom. Kurvestejler blev udstedt den 28. november 2008 med udløb den 28. november 2013, hvilket vil sige 5 års løbetid i alt. Udstederen af produktet er KommuneKredit 2 og Nordea Bank Danmark A/S fungerer som organisator. Produktet handles på Nasdaq OMX 3 under ISIN: DK Produktet udstedes til kurs 103 og består af en nulkuponrenteobligation, der som minimum sikrer investor en indfrielse til kurs 100 ved udløb og således fungerer som hovedstolsgaranti, samt en option der defineres nærmere senere i beskrivelsen. KommuneKredit er en forening, hvis formål er at yde kredit til danske regioner og kommuner. Medlemmerne hæfter solidarisk og KommuneKredit har således i sidste instans den danske stat som garant. Da KommuneKredit står som udsteder af nulkuponrenteobligationen, er produktet forbundet med en kreditrisiko i tilfælde af at konkurs hos udsteder. Dette må dog kategoriseres som yderst usandsynligt, da KommuneKredit på sine langsigtede gældsforpligtelser er tildelt den højeste mulige kreditrating på henholdsvis Aaa hos Moody's Investor Services og AAA hos Standard & Poor's. Det underliggende aktiv i Kurvestejler er den europæiske swaprente, kaldet EUR CMS. CMS står for Constant Maturity Swap og angiver den faste rente i en swapkontrakt med konstant løbetid. Der findes europæiske CMS-renter med løbetider på i alt op til 30 år, og de enkelte rentersatser fastsættes dagligt af Reuters på baggrund af priser indhentet fra en række af de største europæiske banker

20 Sammenlignet med andre typer af indekserede obligationer har KK Kurvestejler 2013 en noget anderledes afkastprofil. I de første to år af levetiden udbetales alene en fast kupon på 0,25 procent per år af hovedstolen. Denne udbetaling kaldes et floor og grunden til at den er med er primært et resultat af beskatningsregler. Som nævnt vil skatteregler ikke blive diskuteret yderligere, men det bemærkes blot at denne kupon de første to år er en nødvendighed ud fra disse regler. Fra og med tredje år udbetales den faste kupon plus en variabel kupon. Denne variable kupon er baseret spændet mellem 2 swaprenter, hvilke er henholdsvis den 30-årige EUR CMS-rente og den 10-årige EUR CMS-rente. Hvis forskellen mellem EUR CMS 30 minus EUR CMS 10 er større end 0,35 procentpoint, udgør den variable kupon værdien af dette spænd ganget med deltagelsesgraden, der i prospektet kaldes kuponfaktoren. Afkastfunktionen på de variable kuponer ser derfor ud som følger: CCCC = KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK MMMMMM[0 ; EEEEEE CCCCCC 30 EEEEEE CCCCCC 10 0,35 pp. aa. %] I prospektet forventes en kuponfaktor på 42 og i figur 1 vises afkastprofilen for produktet med denne faktor. Den horisontale akse viser spændet mellem swaprenterne og den vertikale akse viser afkastet. Figur 4.1: Afkast med kuponfaktor på 42 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% Kilde: Prospekt: KommuneKredit KK Kurvestejler 2013 Samlet set består produktet således af 2 år med et fast afkast på 0,25 procent, og 3 år med et fast afkast på 0,25 procent plus et eventuelt variabelt afkast, samt tilbagebetaling af hovedstolen efter 5 år. 14

21 De endelige betingelser for produktet blev fastsat den 25. november Der blev i alt tegnet obligationer for i alt kroner, og kuponfaktoren blev fastsat til Holger Danske 2004/2012 Som det andet garantiprodukt med en rente som underliggende aktiv, er valget faldet på produktet DEXIA Holger Danske 2004/2012. Beskrivelsen er her lavet på baggrund af prospektet DEXIA Holger Danske 2004/2012 udarbejdet den 11. maj Dette er også at finde på den medfølgende CD-Rom. Obligationen blev udstedet den 2. juni 2004 og har en løbetid på maksimalt på 8 år. Udsteder på obligationen er Dexia Banque Internationale à Luxembourg 4 og organiastor er Forstædernes Bank 5. Dette produkt handles også på Nasdaq OMX og kan findes under ISIN: DK Produktet udstedes til kurs 100, og som ved Kurvestejler er der også her hovedstolsgaranti ved udløb. Dexia er en af europas største finanskoncerner, og i perioden op til udstedelsen havde Dexia en balance på cirka 350 mia. Euro og 9,6 mia Euro i egenkapital. Udsteder af obligationen er teknisk set Dexia BIL, der er et datterselskab hvori Dexia Holding ejer 100 procent. Dexia Holding er moderselskabet i hele Dexia-koncernen. Op til udstedelsen havde Dexia en kreditrating på henholdsvis Aa2 hos Moody's, AA+ hos Fitch og AA hos Standard & Poor's. Holger Danske har CIBOR-renten med 6 måneders løbetid, som det underliggende aktiv. CIBOR- renten (Copenhagen InterBank Offered Rate) er defineret som den rente der gælder på det danske interbankmarked. Renten bliver fastsat ved at en række danske banker dagligt indberetter den rente, hvormed de er villige til at udlåne danske kroner uden sikkerhedsstillelse, til Den Danske Nationalbank. Nationalbanken fravælger herefter de to højeste og laveste renter, og udarbejder et simpelt gennemsnit af resten, der så udgives som den officielle CIBOR-rente. CIBOR-renten bliver offentliggjort med følgende længder: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9 og 12 måneder. Også strukturen i Holger Danske er noget anderledes set i forhold til en traditionel garantiobligation, da den ikke kun giver et afkast ved udløb, men har løbende

22 kuponbetalinger hvert kvartal. Samtidig har udsteder mulighed for at indfri obligationen før tid, hvilket beskrives nærmere senere i afsnittet. Selve garantielementet i Holger Danske adskiller sig som udgangspunkt ikke væsentligt fra andre garantiprodukter. Investoren er til enhver tid garanteret det nominelle beløb ved udløb af obligationen. Forstædernes Bank brugte da også denne garanti som salgsargument for obligationen. Obligationens opbygning er meget enkel, og sikkerheden fås ikke meget større - især hvis der skulle opstå turbulens på obligationsmarkedet. Prisen for obligationen er kurs 100, og du er garanteret, at du får kurs 100 igen, når obligationen indfries. På et punkt er garantielementet dog anderledes for Holger Danske. Traditionelle produkter har en fast udløbsdato, men da Holger Danske fra udsteders side kan indfries før tid, kan garantien blive aktuel for investoren allerede fra den niende kuponbetaling. Obligationen kan således indfries på to måder: Enten ved udløb, hvor udsteder er forpligtet til at betale hovedstolen plus den tilhørende kuponbetaling, eller også fra og med første kuponbetalingstidspunkt i obligationens tredje år, og herefter ved hvert kuponbetalingtidspunkt frem til udløb. Hvis udsteder vælger at indfri før tid, forpligter udsteder sig til at betale obligationens nominelle pålydende værdi plus kuponbetalingen. Udsteder skal dog bekendtgøre sit ønske om, at bruge optionen til at indfri minimum 14 dage før kuponbetalingen. Holger Danske har som nævnt kuponbetalinger hvert kvartal. Obligationen betaler en fast rente det første år, der som minimun er 5,00 procent per år eller 1,25 procent per termin. Herefter bliver kuponrenten for de efterfølgende terminer fastsat ud fra nedenstående formel: CC tt = max (CC tt 1 + (BBBBBBBBBB kkkkkkkkkk CCCCCCCCCC 6), 0,25% pp. aa. ) Som det fremgår af ligningen er investor som minumum sikret 0,25 procent per år i afkast. Det ses også, at det er ved lave renter, at produktet giver mulighed for høje afkast. Basiskuponen er en sats der er fastsættes på udstedelsestidspunktet og denne har følgende minimumsværdier. 16

23 Tabel 4.1: Mindste basisrentestruktur for Holger Danske År Basis kupon, % p.a. 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Kilde: Prospekt: DEXIA Holger Danske 2004/2012 Som det ses i tabellen øges basiskuponen henover obligationens levetid. Denne struktur er, set fra investors side, meget gunstig for afkastmulighederne, og begrundes af Forstædernes Bank som skrevet i følgende citat: Men naturligvis kan den korte rente også stige. Det forventer vi faktisk, at den gør over de næste år. Derfor er der indbygget en sikkerhedstrappe, der opvejer denne stigning. Obligationens rente stiger nemlig trin for trin i samme takt, som vi forventer at CIBOR renten stiger. Der forventes således en stigning i den korte rente, og derfor skal basiskuponstrukturen opveje den forventede udvikling i den korte rente. Obligationens har ikke en egentlig deltagelsesgrad tilknyttet, men i stedet funger muligheden for at justere værdien den faste rente og basiskuponstrukturen som noget tilsvarende. Disse kan som nævnt ikke ændres når de først er fastsat ved udstedelsestidspunktet, og investor er som udgangspunkt kun sikret de ovennævnte minimumgrænser ved kontraktskrivning. De endelige betingelser for obligationen blev fastlagt den 22. juni 2004 efter at udbudsperioden var overstået. Der blev tegnet obligationer for et nominelt beløb på i alt kroner. Fastrenten det første år blev fastsat til 8,5 procent per år, og basiskuponstrukturen blev fastsat til minimumsværdierne. 17

24 5. Rentemodeller Som nævnt skal de to udvalgte produkter prisfastsættes ved hjælp af modeller for renteudvikling, og formålet med dette afsnit er at udvælge disse. De første fem delafsnit vil indeholde en beskrivelse af de forudsætninger, der er nødvendige for, at disse rentemodeller kan anvendes. Selve beskrivelsen af de valgte rentemodeller følger i afsnit 5.6, hvor udvælgelsen sker på baggrund af de forudsætninger, der listes i de første afsnit. Der vil i alt blive valgt to modeller, hvor den ene vil være en enkeltfaktor-model tilpasset den rentestruktur, der observeres i markedet, og den anden er en tofaktormodel, der ligeledes tilpasses markedsstrukturen. 5.1 Arbitragefrie markeder Den vigtigste forudsætning for de rentemodeller, der vil blive brugt i opgaven, er eksistensen af et arbitragefrit marked. Dette vil sige, at det ikke er muligt at investere nul kroner i tidspunkt t for derefter med positiv sandsynlighed at modtage et positivt afkast på et fremtidigt tidspunkt k. Dette betyder at to porteføljer, der har samme afkast i tidspunkt k, må have den samme værdi i tidspunkt t. Dette bygger på de samme principper, som Black og Scholes (1973) brugte, da de konkluderede, at en portefølje, der har samme afkast som en risikofri investering, har samme afkast som den risikofrie rente. I forbindelse med valget af renteprodukter vil den risikofrie rente være lig den rente, man kan få ved at placere sine penge i en almindelig indskudskonto i en tilfældig bank. Mere formelt befinder vi os i en økonomi, hvor der kontinuert handles K+1 ikkedividendebetalende værdipapirer fra tid 0 til tid T. Disse værdipapirers priser kan beskrives ved en vektor af semimartingales 6 SS = {SS tt : 0 tt TT}, hvis komponenter S 0, S 1,..., S K alle er positive. Aktivet S 0 er betegnet, som den almindelige indskudskonto fra ovenstående. Renten på S 0, hvilket derfor er den risikofrie rente, udvikler sig i kontinuert form efter følgende proces: ddss tt 0 = rr tt SS tt 0 dddd (5.1) 6 En semimartingale er en proces der består af både en martingale og en anden proces med ikkeuendelig variation. Se afsnit 5.2 for en defination af martingales. 18

25 hvor SS 0 0 = 1 og rr tt er lig spotrenten i tid t. Der vil herefter, i resten af afhandlingen, blive brugt følgende notation, jævnfør Brigo (2007); SS tt 0 = B(t) og 1/SS tt 0 = D(0,t). 5.2 Martingale Risikomål En nødvendig forudsætning for det arbitragefrie marked i afsnit 5.1, er eksistensen af et martingale risikomål. En martingale er en stokastisk proces, for hvilken den betingede forventede værdi i tid t givet alle tilgængelige informationer op til et tidligere tidspunkt s er lig med værdien fra tid s. Dette vil sige, at en martingale er en proces uden driftsled. Denne udvikler sig stokastisk ved en tilknyttet sandsynlighedsfordeling. Ved hjælp af et givet martingale risikomål kan ethvert finansielt optionsprodukt prisfastsættes ved hjælp af nedenstående formel. ππ = EE(DD(tt, TT)HH F tt ) (5.2) hvor π er lig prisen på produktet, E er forventningen til afkastet, H er afkastet og F tt er det informationssæt, der er tilgængeligt på tidspunkt t. Findes der således et eller flere ækvivalente martingale risikomål, også kaldet det risikoneutrale mål, er det muligt at udlede en unik arbitragefri pris for produktet. Den arbitragefri pris er derfor lig forventningen af det tilbagediskonterede afkast under det risikoneutrale mål, kaldet Q. Dette er igen en generalisering af de principper Black og Scholes brugte, da de konkluderede, at en risikofri portefølje må have samme afkast som den risikofrie rente på markedet. Harrison og Pliska (1983) formuler ud fra dette følgende tese: Et arbitragefrit og komplet marked eksisterer kun, hvis der findes et unikt martingale risikomål. Dette giver til gengæld mulighed for at give en unik pris på ethvert optionsprodukt. På baggrund af ovenstående er det således muligt, at sammenfatte teorien om et arbitragefrit finansielt marked ved hjælp af martingale risikomål i følgende tre punkter: I. Markedet er arbitragefrit hvis, og kun hvis, der eksisterer et martingale risikomål. II. Markedet er komplet hvis, og kun hvis, dette martingale risikomål er unikt. III. I et arbitragefrit, men ikke nødvendigvis komplet marked, er prisen på et hvilket som helst tilgodehavende unikt og givet ved enten at værdiansætte en 19

26 replikerende portefølje med samme egenskaber som produktet eller ved den risikoneutrale forventning af det tilbagediskonterede afkast under det ækvivalente martingale risikomål. Disse forudsætninger om et arbitragefrit marked, er en nødvendighed for al yderligere finansiel teori og udgangspunkt for de følgende rentemodeller. 5.3 Definitationer og Notation I dette afsnit beskrives generelle begreber og notation. Disse begreber vil blive brugt gennem hele afhandlingen. Specielt i henhold til afsnittet med kalibreringen af modellerne, vil der blive anvendt forskellige finansielle produkter, der defineres her. Det måske vigtigste rentebegreb i forbindelse med prisfastsættelse af finansielle produkter er nulkuponrenter. Nulkuponrenten defineres som den interne rente på en nulkuponobligation. Det vil sige en obligation uden løbende betalinger, der sikrer en udbetaling svarende til obligationens pålydende værdi på udløbstidspunktet. Hvis en nulkuponrenteobligation betragtes i tid t, og det antages, at den pålydende værdi, der forfalder i tid T, er 1 krone, så er prisen på denne nulkuponrenteobligation ved diskret tilskrivning defineret som følgende: 1 PP(tt, TT) = 1 + rr(tt, TT) (5.3) hvor rr(tt, TT) er den diskret tilskrevene nulkuponrente. Prisen på nulkuponrenteobligationen er meget brugt som diskonteringsfaktor. Det vil sige den faktor, der bruges til at diskontere fremtidige cash flows tilbage til tid t, der her er det tidspunkt værdien af produktet ønskes estimeret. I forbindelse med nulkuponrenter er et vigtigt begreb den såkaldte korte rente. Hvis TT tt = tt 0 fås følgende sammenhæng: rr tt = lim tt 0 RR(tt, TT) (5.4) Dette kan fortolkes, som renten på en nulkuponobligation, der udløber øjeblikkeligt, og denne svarer, jævnfør forudsætningerne for afhandling, til den risikofrie rente. Den 20

27 korte rente, rr tt, er den rente de rentemodeller, der vil blive brugt i afhandlingen, estimerer. Denne rente kan dog ikke observeres i markedet, hvorfor der må bruges en erstatning. Som proxy for denne korte rente foreslås det fra flere sider, blandt andet Martellini(2003), at der kan benyttes renter med en til seks måneders løbetid. Et andet vigtigt begreb, der bruges gennem afhandlingen er forwardrenter. Med en tenor struktur T 0 <... < T M med dagsfraktioner τ k = T k - T k-1, kan forwardrenten med diskret tilskrivning gældende mellem T k-1 og T k defineres som FF kk (tt) = FF(tt, TT kk 1, TT kk ) = PP(tt, TT kk 1) PP(tt, TT kk ) ττ kk PP(tt, TT kk ) (5.5) hvor P(t,T k ) er prisen i tid t på en nulkuponrente obligation, der udløber i tid T K. Forwardrenten angiver således den rente, til hvilken man i tid t kan indgå en aftale om at låne eller udlåne mellem de to fremtidige tidspunkter TT kk 1 og TT kk. Hvis forudsætningen om arbitragefrie markeder holder, er forwardrenterne lig de forventede fremtidige nulkuponrenter. Eventuelle afvigelser vil være et brud på forudsætningen om de arbitragefri markeder. En vigtig variation af forwardrenterne er den såkaldte korte forwardrente. Denne udtrykker forwardrenten for en meget kort tidsperiode i fremtiden. Formelt kan siges at hvis TT kk TT kk 1 = TT 0, så kan den korte forwardrente defineres som: ff(0, TT) = lim TT 0 FF(tt, TT kk 1, TT kk ) = PPMM (0, TT) (5.6) Den korte forwardrente kan, som den korte rente, ikke observeres i markedet, hvilket teoretisk set giver en række problemer i forbindelse med brug af modellerne til prisfastsættelsen. Martellini (2003) argumenterer dog for, at den korte forwardrente i praksis kan erstattes af en forwardrente med mellem en og tre måneders løbetid. En europæisk calloption på forwardrenten med et afkast lig ττ kk (FF kk (TT kk 1 ) KK ) + i tid T K kaldes en caplet, og værdien af denne i tid t kan beskrives ved følgende udtryk: cccccc(tt) = PP(tt, TT kk )ττ kk EE tt QQ TT [(FF kk (TT kk 1 ) KK ) + ] (5.7) 21

28 hvor EE tt QQ TT [. ] er forventningen af det såkaldte t-forward risikomål, QQ TT, med tilhørende numeraire PP(tt, TT kk ). Dette risikomål beskrives nærmere senere i afhandlingen. I forbindelse med prisfastsættelsen af Kurvestejler benyttes der forskellige swaprenter. En renteswap er en kontrakt mellem to parter om udveksling af cash flows med faste intervaller inden for en given tidsperiode. De mest udbredte former for renteswaps er de såkaldte plain vanilla swaps. Disse er struktureret således, at den ene part ud fra en i kontrakten specificeret hovedstol betaler en fast rente, og til gengæld modtager en variabel rente, for eksempel LIBOR, på de fastsatte terminer. Alt efter hvem der modtager den faste og den flydende rente kaldes disse swaps henholdsvis Payer eller Reciever Swaps. En TT αα (TT ββ TT αα ) Payer Swap giver indehaveren en række af flydende LIBOR betalinger i bytte for en række af faste betalinger på tidspunkterne TT αα+1 < < TT ββ. TT αα er startstidspunktet for denne Swap og (TT ββ TT αα ) er tenoren. Herefter er swaprenten defineret som det niveau af den faste rente, der gør, at nutidsværdien af swappen er lig nul. I tid tt TT αα er denne swaprente rente typisk defineret som nedenstående. SS αα,ββ (tt) = PP(tt, TT αα) PP tt, TT ββ ββ ττ ii PP(tt, TT ii ) ii=αα+1 (5.8) Dermed er alle de rentetyper der skal bruges gennem afhandlingen defineret, og diskussionen om valg af modeller kan fortsætte. 5.4 Numeraireskifte I gennemgangen af notationen nævnes begrebet numeraire, og i forbindelse med prisfastsættelsen af produkterne vil det være nødvendigt at skifte numeraire. En såkaldt numeraire er det aktiv, alle andre aktiver bliver målt i forhold til. Typisk vil dette være bankkonto-numerairen fra afsnit 5.1 målt i en tilfældig valuta. Det er muligt at skifte til et hvilket som helst andet aktiv under forudsætning af, at dette nye aktiv ikke udbetaler dividende. En anden mulig numeraire kunne være en specifik nulkuponobligation, hvilket vil vise sig nyttigt senere i afhandlingen. Under antagelse af, at der eksisterer en numeraire N og et risikomål Q N, er prisen på et hvilket som helst handlet aktiv, X, i forhold til N er en martingale under Q N. 22