Planen idag. Noterne afsnit 3.1:

Transkript

1 Planen idag Noterne afsnit 3.1: En abstrakt (matrix, vektor) model for et finansielt marked Betalingsrækker og priser Porteføljer, arbitrage og komplethed Diskonteringsfaktorer Hovedstætninger Et marked er abitragefrit hvis og kun hvis, der eksisterer en vektor af diskonteringsfaktorer; d >> 0 : Cd = π. Et arbitragefrit marked er komplet hvis og kun hvis d er entydig. Fin1 (onsdag 4/2 2009) 1

2 Sætning/bevis med kridt, taleksempler på slides. Dernæst mere fra afsnit Nulkuponobligationer og diskonteringsfaktorer Rentestruktur Definition og fortolkning. Estimation, I: Example 6 i Noterne. Estimation, II: Opagver, projekter, smør på brødet. Fin1 (onsdag 4/2 2009) 2

3 Og så noget, vi nok først når til på mandag: Nettonutidsværdikriteriet og projektinvestering. Eksempler og modeksempler fra afsnit 3.4. Forwardrenter (afsnit 3.2): Definition of fortolkning. Eksempel: At ride på rentekurven. Magi? Hvorfor ser rentestrukturen ud, som den som regel gør? Fin1 (onsdag 4/2 2009) 3

4 Det gik lidt stærkt i mandags, så lad mig lige minde om Noternes Definition 10 : Den effektive rente ( yield to maturity ) på et aktiv med pris π og betalingsrække c > 0 er den entydigt bestemte løsning y > 1 til ligningen π = T t=1 c t (1 + y) t. Den effektive rente er et udtryk for den gennemsnitlige forrentning man vil få af at investere i aktivet med betalingsrække c og pris π. Men derudover skal man være forsigtig med bare at sammenligne effektive renter for forskellige betalingsrækker. (En analogi: Det svarer til at sammenligne varers kilopriser.) Fin1 (onsdag 4/2 2009) 4

5 Model for et finansielt marked Formål: Skabe overordnet (og derfor meget simpel) modelramme Fastlægge fornuftige (= konsistente) kriterier for prisfastsættelse på tværs af aktiver Identificere forkert prisfastsatte aktiver ( arbitrage ) Undersøge omfanget af mulige omfordelinger af kapital (over tid) ( komplethed ) Fin1 (onsdag 4/2 2009) 5

6 Vi fokuserer ikke på, hvorfor en given agent kunne tænkes at ville investere i et givet aktiv, men alene på hvad der nødvendigvis må gælde om forholdet mellem de enkelte aktiver. Fin1 (onsdag 4/2 2009) 6

7 Eksempel: Betragt et finansielt marked bestående af følgende 4 aktiver: Et 2-årigt annuitetslån med hovedstol 100, årlig ydelse 53 og tid 0 -pris 101 Et 3-årigt annuitetslån med hovedstol 100, årlig ydelse og tid 0 -pris 101 Et 2-årigt stående lån med hovedstol 100, kuponrente 2% og tid 0 -pris 99 Et 3-årigt stående lån med hovedstol 100, kuponrente 4% og tid 0 -pris 105 Fin1 (onsdag 4/2 2009) 7

8 Dvs. π = C = Fin1 (onsdag 4/2 2009) 8

9 Porteføljen θ = ( ,0, 0, ) har prisen og betalingsrækken π θ = C θ = = dvs. θ replikerer betalingerne for det 3-årige annuitetslån, men til en lavere pris! Fin1 (onsdag 4/2 2009) 9

10 Arbitrage (af type 1; strengt positivt fremtidigt afkast til pris 0, gratis lottokuponer ) fås derfor ved eksempelvis at investere i porteføljen ( 875 θarb1 = 1378, 1, , ) som har prisen π θ arb1 = = 0 og betalingsrækken C θ arb1 = Fin1 (onsdag 4/2 2009) 10

11 På tilsvarende måde fås arbitrage af type 2 (ikke-negativt fremtidigt afkast og penge i hånden til tid 0) ved eksempelvis at investere i porteføljen der har prisen π θ arb2 = θ arb2 = ( ) 875, 1, 0, < 0 og betalingsrækken C θ arb2 = = 0. Fin1 (onsdag 4/2 2009) 11

12 Eksemplet her illustrerer, at et marked, der indeholder arbitragemuligheder af type 1, typisk også indeholder arbitragemuligheder af type 2 (og omvendt), men de to typer arbitrage er ikke nødvendigvis ækvivalente i matematisk forstand (tag pedantisk π = 0, så må enhver arbitrage være af type 1). En opagve giver en mild tilstrækkelig betingelse for at kunne skifte imellem typerne. Fin1 (onsdag 4/2 2009) 12

13 Hvis vi fjerner den 3-årige annuitet får vi markedet π = C = , der er arbitragefrit og komplet, da Cd = π har den entydige og strengt positive løsning d = Bruger vi disse diskonteringsfaktorer til at prisfastsætte annuiteten, så der det fulde marked komplet. Fin1 (onsdag 4/2 2009) 13

14 Det lidt mindre finansielle marked ( ) 101 π = 105 C = ( ) er arbitragefrit men ikke komplet. De relevante generelle ligningssystemer er d 1 + d 2 = 101/53 og d 3 = ( /53)/ = Så d 1 = d 2 = 101/106 er en positiv løsning ( ingen arbitrage ), mens d 1 = 51/53, d 2 = 50/53 er en anden ( inkomplethed ). Her vil alle porteføljer have samme afkast til tid t = 1 og t = 2, mens d 3 er entydigt bestemt. Fin1 (onsdag 4/2 2009) 14