Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel"

Transkript

1 Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel Jesper Breinbjerg Department of Business and Economics University of Southern Denmark Akademiet for Talentfulde Unge, 20. marts 2014 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 1 / 18

2 Agenda : Præsentation af Jesper Breinbjerg, SDU : Frokost : Workshop : Opsamling på opgaver Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 2 / 18

3 Introduktion Pris Udbud p Efterspørgsel q Mængde Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 3 / 18

4 Introduktion Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen? Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 4 / 18

5 Introduktion Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen? Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer: Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 4 / 18

6 Introduktion Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen? Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer: Præferencer (hvad foretrækker forbrugeren) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 4 / 18

7 Introduktion Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen? Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer: Præferencer (hvad foretrækker forbrugeren) Budgetrestriktioner (hvilke ressourcer har forbrugeren til at få det hun foretrækker) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 4 / 18

8 Introduktion Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen? Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer: Præferencer (hvad foretrækker forbrugeren) Budgetrestriktioner (hvilke ressourcer har forbrugeren til at få det hun foretrækker) Givet præferencer og underlagt budget, hvad efterspørger forbrugeren? Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 4 / 18

9 Introduktion Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen? Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer: Præferencer (hvad foretrækker forbrugeren) Budgetrestriktioner (hvilke ressourcer har forbrugeren til at få det hun foretrækker) Givet præferencer og underlagt budget, hvad efterspørger forbrugeren? Plan of attack for at besvare dette: 1 Hvad er præferencer og hvad antager vi? 2 Nyttefunktioner 3 Budgetbetingelser Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 4 / 18

10 Forbrugerpræferencer En forbruger efterspørger et varebundt som består af to varer: x 1 angiver mængden af den ene vare og x 2 mængden af den anden Det komplete varebundt er angivet ved (x 1, x 2 ) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 5 / 18

11 Forbrugerpræferencer En forbruger efterspørger et varebundt som består af to varer: x 1 angiver mængden af den ene vare og x 2 mængden af den anden Det komplete varebundt er angivet ved (x 1, x 2 ) For ethvert af to varebundter (x 1, x 2 ) og (y 1, y 2 ), forestil jer at en forbruger har præferencer ift. hvilken hun foretrækker Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) (x 1, x 2 ) er strengt fortrukket ift. (y 1, y 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) (x 1, x 2 ) er svagt fortrukket ift. (y 1, y 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) indifferent imellem (x 1, x 2 ) og (y 1, y 2 ) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 5 / 18

12 Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18

13 Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Ethvert varebundt kan sammenlignes Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18

14 Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Reflektive. Ethvert varebundt kan sammenlignes Ethvert varebundt er mindst ligså foretrukket som sig selv, dvs. (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18

15 Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Reflektive. Transitive. Ethvert varebundt kan sammenlignes Ethvert varebundt er mindst ligså foretrukket som sig selv, dvs. (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) og (y 1, y 2 ) (z 1, z 2 ), (x 1, x 2 ) (z 1, z 2 ) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18

16 Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Reflektive. Transitive. Ethvert varebundt kan sammenlignes Ethvert varebundt er mindst ligså foretrukket som sig selv, dvs. (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) og (y 1, y 2 ) (z 1, z 2 ), (x 1, x 2 ) (z 1, z 2 ) Derudover antager vi ofte pæne præferencer Monotonicitet. Mere er bedre, f.eks. antag x 1 > x 1 så følger (x 1, x 2 ) (x 1, x 2) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18

17 Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Reflektive. Transitive. Ethvert varebundt kan sammenlignes Ethvert varebundt er mindst ligså foretrukket som sig selv, dvs. (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) og (y 1, y 2 ) (z 1, z 2 ), (x 1, x 2 ) (z 1, z 2 ) Derudover antager vi ofte pæne præferencer Monotonicitet. Konveksitet. Mere er bedre, f.eks. antag x 1 > x 1 så følger (x 1, x 2 ) (x 1, x 2) Kombinationer er bedre end ekstremer Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18

18 Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Reflektive. Transitive. Ethvert varebundt kan sammenlignes Ethvert varebundt er mindst ligså foretrukket som sig selv, dvs. (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) og (y 1, y 2 ) (z 1, z 2 ), (x 1, x 2 ) (z 1, z 2 ) Denne Derudover antagelseantager mereviproblematisk. ofte pæne præferencer Følger ikke rent logisk, men en hypotese om valgadfærd. Monotonicitet. Er det enmere rimelig er bedre, antagelse? (x 1, x 2 ) (x 1, x 2) f.eks. antag x 1 > x 1 så følger Konveksitet. Kombinationer er bedre end ekstremer Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18

19 Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Reflektive. Transitive. Ethvert varebundt kan sammenlignes Ethvert varebundt er mindst ligså foretrukket som sig selv, dvs. (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) og (y 1, y 2 ) (z 1, z 2 ), (x 1, x 2 ) (z 1, z 2 ) Derudover antager vi ofte pæne præferencer Monotonicitet. Konveksitet. Mere er bedre, f.eks. antag x 1 > x 1 så følger (x 1, x 2 ) (x 1, x 2) Kombinationer er bedre end ekstremer Hvorfor? Fordi vi ofte forbruger mere end en vare. Der eksisterer et trade-off hvor vi opgiver noget af vare 1 for at få mere af vare 2 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18

20 (Pæne) indifferenskurver Indifferenskurven er en grafisk repræsentation af underliggende præferencer Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 7 / 18

21 (Pæne) indifferenskurver Indifferenskurven er en grafisk repræsentation af underliggende præferencer Viser alle kombinationer af varebundter EXAMPLES for hvilke OF PREFERENCES forbrugeren 37 er indifferent x 2 Weakly preferred set: bundles weakly preferred to (x 1, x 2) x 2 Indifference curve: bundles indifferent to (x 1, x 2) x 1 x 1 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 7 / 18

22 (Pæne) indifferenskurver Indifferenskurven er en grafisk repræsentation af underliggende præferencer Egenskaber giver antagelser: Viser alle kombinationer af varebundter Højere EXAMPLES for indifferenskurver hvilke OF PREFERENCES forbrugeren 37er er bedre og indifferent vice versa (pga. monotonicitet) x 2 Indifferenskurve altid nedadgående (pga. monotonicitet) Weakly preferred set: bundles weakly preferred to (x 1, x 2) Ikke krydsende eller tangerende (pga. monotonicitet og transivitet) Konveks (pga. konveksitet) x 2 Indifference curve: bundles indifferent to (x 1, x 2) x 1 x 1 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 7 / 18

23 Marginale substitutionsforhold Marginal Rate of Substitution (MRS) MRS er hældningen på indifferenskurve i et givent punkt Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 8 / 18

24 Marginale substitutionsforhold Marginal Rate of Substitution (MRS) MRS er hældningen på indifferenskurve i et givent punkt Fortolkning: Raten for hvilken THEenMARGINAL forbruger RATE erof villig SUBSTITUTION til at opgive49en vare for en anden. x2 Indifference curve x2 2 Slope = x x 1 = marginal rate of substitution x1 x1

25 Marginale substitutionsforhold Marginal Rate of Substitution (MRS) MRS er hældningen på indifferenskurve i et givent punkt Fortolkning: Raten for hvilken THEenMARGINAL forbruger Observationer: RATE OF villig SUBSTITUTION til at opgive49en vare for en anden. Monotonicitet medfører negativ hældning af MRS, dvs. vi x2 opgiver noget for at få noget andet x2 Indifference curve x1 Slope = x 2 = marginal rate x 1 of substitution Konveksitet medfører aftagende marginal substitutionsforhold, dvs. jo mere du har af en vare, desto mere er du villig til at opgive for en anden vare x1 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 8 / 18

26 Nyttefunktionen En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers underligende præferencer Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 9 / 18

27 Nyttefunktionen En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers underligende præferencer En nyttefunktion u tildeler en numerisk værdi til alle mulige varebundter sådan at foretrukne bundter har en højere værdi end de mindre foretrukne bundter. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 9 / 18

28 Nyttefunktionen En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers underligende præferencer En nyttefunktion u tildeler en numerisk værdi til alle mulige varebundter sådan at foretrukne bundter har en højere værdi end de mindre foretrukne bundter. Dvs. måler den ordinale værdi af en forbrugers glæde Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 9 / 18

29 Nyttefunktionen En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers underligende præferencer En nyttefunktion u tildeler en numerisk værdi til alle mulige varebundter sådan at foretrukne bundter har en højere værdi end de mindre foretrukne bundter. Dvs. måler den ordinale værdi af en forbrugers glæde Matematisk: u(x1, x 2) > u(y 1, y 2) iff. (x 1, x 2) (y 1, y 2) u(x1, x 2) < u(y 1, y 2) iff. (x 1, x 2) (y 1, y 2) u(x1, x 2) = u(y 1, y 2) iff. (x 1, x 2) (y 1, y 2) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 9 / 18

30 Nyttefunktionen En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers underligende præferencer En nyttefunktion u tildeler en numerisk værdi til alle mulige varebundter sådan at foretrukne bundter har en højere værdi end de mindre foretrukne bundter. Dvs. måler den ordinale værdi af en forbrugers glæde Matematisk: u(x1, x 2) > u(y 1, y 2) iff. (x 1, x 2) (y 1, y 2) u(x1, x 2) < u(y 1, y 2) iff. (x 1, x 2) (y 1, y 2) u(x1, x 2) = u(y 1, y 2) iff. (x 1, x 2) (y 1, y 2) Vi kan derfor forudsige det optimale valg af varebundt (x 1, x 2 ) som maksimerer nyttefunktionen for alle mulige varebundter: arg max (x 1,x 2) u(x 1, x 2 ) := {(x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) : u(x 1, x 2 ) u(x 1, x 2 )} Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 9 / 18

31 Nyttefunktionen eksempler Eksempler på pæne nyttefunktioner som opfylder monotonicitet og konveksitet af præferencer: Lineær nytte: u(x 1, x 2 ) = ax 1 + bx 2 hvor a, b > 0 Kvadratrodsnytte: u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 Cobb-Douglas nytte: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 hvor c, d > 0 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 10 / 18

32 Nyttefunktionen Marginal nytte Interessant at undersøge hvor meget nytten ændrer sig ved en lille ændring af mængden af en vare. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 11 / 18

33 Nyttefunktionen Marginal nytte Interessant at undersøge hvor meget nytten ændrer sig ved en lille ændring af mængden af en vare. Denne ændring kaldes for den marginale nytte mht. en vare. MU 1 = U x 1 = u(x 1 + x 1, x 2 ) u(x 1, x 2 ) x 1 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 11 / 18

34 Nyttefunktionen Marginal nytte Interessant at undersøge hvor meget nytten ændrer sig ved en lille ændring af mængden af en vare. Denne ændring kaldes for den marginale nytte mht. en vare. MU 1 = U x 1 = u(x 1 + x 1, x 2 ) u(x 1, x 2 ) x 1 Hvis x 1, x 2 R + er kontinuere, så er nyttefunktionen u(x 1, x 2 ) kontinuert differentiabel, dvs. MU i = δu δx i for alle i {1, 2} Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 11 / 18

35 Nyttefunktionen Marginal nytte Interessant at undersøge hvor meget nytten ændrer sig ved en lille ændring af mængden af en vare. Denne ændring kaldes for den marginale nytte mht. en vare. MU 1 = U x 1 = u(x 1 + x 1, x 2 ) u(x 1, x 2 ) x 1 Hvis x 1, x 2 R + er kontinuere, så er nyttefunktionen u(x 1, x 2 ) kontinuert differentiabel, dvs. MU i = δu δx i for alle i {1, 2} Hvis en nyttefunktion u skal opfylde kravet om monotonicitet af de underliggende præferencer, så skal det gælde at MU i > 0 for alle i {1, 2} Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 11 / 18

36 Marginal nytte og MRS En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 12 / 18

37 Marginal nytte og MRS En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte. Betragt en ændring i varebundt ( x1, x 2) som holder nytten konstant (indifferent) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 12 / 18

38 Marginal nytte og MRS En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte. Betragt en ændring i varebundt ( x1, x 2) som holder nytten konstant (indifferent) Dvs. MU1 x 1 + MU 2 x 2 = U = 0 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 12 / 18

39 Marginal nytte og MRS En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte. Betragt en ændring i varebundt ( x1, x 2) som holder nytten konstant (indifferent) Dvs. MU1 x 1 + MU 2 x 2 = U = 0 Rearranger udtrykket: MRS = x 2 x 1 = MU 1 MU 2 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 12 / 18

40 Marginal nytte og MRS En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte. Betragt en ændring i varebundt ( x1, x 2) som holder nytten konstant (indifferent) Dvs. MU1 x 1 + MU 2 x 2 = U = 0 Rearranger udtrykket: MRS = x 2 x 1 = MU 1 MU 2 Negativt fortegn: hvis du får mere af en vare, opgiver du noget af den anden. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 12 / 18

41 Marginal nytte og MRS En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte. Betragt en ændring i varebundt ( x1, x 2) som holder nytten konstant (indifferent) Dvs. MU1 x 1 + MU 2 x 2 = U = 0 Rearranger udtrykket: MRS = x 2 x 1 = MU 1 MU 2 Negativt fortegn: hvis du får mere af en vare, opgiver du noget af den anden. HUSK: Konveksitet er gældende for de underliggende præferencer hvis MRS er aftagende over x 1 (aftagende marginal subsitutionsforhold) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 12 / 18

42 Budgetrestriktioner I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 13 / 18

43 Budgetrestriktioner I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget En forbruger har en indkomst m > 0 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 13 / 18

44 Budgetrestriktioner I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget En forbruger har en indkomst m > 0 Varene (x 1, x 2 ) koster (p 1, p 2 ) for hver enhed Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 13 / 18

45 Budgetrestriktioner I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget En forbruger har en indkomst m > 0 Varene (x 1, x 2 ) koster (p 1, p 2 ) for hver enhed Forbrugerens budget: p 1 x 1 + p 2 x 2 m Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 13 / 18

46 Budgetrestriktioner I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget En forbruger har en indkomst m > 0 Varene (x 1, x 2 ) koster (p 1, p 2 ) for hver enhed Forbrugerens budget: p 1 x 1 + p 2 x 2 m Budgetrestriktionen kan repræsenteres grafisk ved rearrangering: x 2 m p 2 p 1 p 2 x 1 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 13 / 18

47 line the bundles that cost exactly m and the bundles below this line are those that cost strictly less than m. Budgetrestriktioner egenskaber x2 Vertical intercept = m/p 2 Budget line; slope = p /p 1 2 Budget set Horizontal intercept = m/p1 x 1 igure 1 The budget set. The budget set consists of all bundles that are affordable at the given prices and income. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 14 / 18

48 line the bundles that cost exactly m and the bundles below this line are those that cost strictly less than m. Budgetrestriktioner egenskaber x2 Vertical intercept = m/p 2 Budget line; slope = p /p 1 2 Budgetlinien hvor alle rescourcer bliver udnyttet p 1 x 1 + p 2 x 2 = m Budget set Horizontal intercept = m/p1 x 1 igure 1 The budget set. The budget set consists of all bundles that are affordable at the given prices and income. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 14 / 18

49 Optimale valg nyttemaksimering Forbrugerens problem: hvad er det optimale valg af varebundt? max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 m (x 1,x 2) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 15 / 18

50 Optimale valg nyttemaksimering Forbrugerens problem: hvad er det optimale valg af varebundt? max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 m (x 1,x 2) (Et Kuhn-Tucker maksimeringsproblem det har i ikke lært endnu) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 15 / 18

51 Optimale valg nyttemaksimering Forbrugerens problem: hvad er det optimale valg af varebundt? max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 m (x 1,x 2) (Et Kuhn-Tucker maksimeringsproblem det har i ikke lært endnu) Men, men, men... givet monotonicitet i forbrugerens præferencer vil hun udnytte hele sit budget, dvs. max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (x 1,x 2) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 15 / 18

52 Optimale valg nyttemaksimering Forbrugerens problem: hvad er det optimale valg af varebundt? max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 m (x 1,x 2) (Et Kuhn-Tucker maksimeringsproblem det har i ikke lært endnu) Men, men, men... givet monotonicitet i forbrugerens præferencer vil hun udnytte hele sit budget, dvs. max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (x 1,x 2) (Et Lagrange maksimeringsproblem det har i lært!!) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 15 / 18

53 ure Optimal Jesper Breinbjergchoice. The optimal consumption Optimale valg og forbrugerefterspørgsel position is where16 / 18 Nyttemaksimering illustration x 2 Indifference curves Optimal choice x* 2 x* x 1 1

54 Nyttemaksimering illustration x 2 Indifference curves Optimal choice (x1, x 2 ) er forbrugerens optimale valg. Optimum hvor budgetlinen tangerer den højest beliggende indifferenskurve, dvs. MRS = p1 p 2 x* 2 x* x 1 1 ure Optimal choice. The optimal consumption position is where Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 16 / 18

55 Nyttemaksimering illustration x 2 x* 2 Men men men... dette er ikke altid tilfældet! Indifference curves ikke-monotone præferencer Lagrange duer ikke nødvendigvis ikke-konvekse præferencer Optimal måske problemer med anden-ordensbetingelser choice ikke-strengt konvekse præferencer der kan være flere løsninger ikke-differentiable præferencer MRS er ikke altid veldefineret HUSK disse overvejser ikke noget hjernedød FOC. x* x 1 1 ure Optimal choice. The optimal consumption position is where Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 16 / 18

56 Nyttemaksimering Lagrange Givet maksimeringsproblemet max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (x 1,x 2) Kan Lagrange multiplikatorfunktionen skrives som L(x 1, x 2, λ) = u(x 1, x 2 ) λ(p 1 x 1 + p 2 x 2 m) hvor λ er en konstant (fortolkning: skyggeprisen) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 17 / 18

57 Nyttemaksimering Lagrange Givet maksimeringsproblemet max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (x 1,x 2) Kan Lagrange multiplikatorfunktionen skrives som L(x 1, x 2, λ) = u(x 1, x 2 ) λ(p 1 x 1 + p 2 x 2 m) hvor λ er en konstant (fortolkning: skyggeprisen) Differentier L partielt mht. x 1, x 2, λ sæt alle lig med 0 (første ordensbetingelsen for maksimering) δl = δl = δl δx 1 δx 2 δλ = 0 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 17 / 18

58 Nyttemaksimering Lagrange Givet maksimeringsproblemet max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (x 1,x 2) Kan Lagrange multiplikatorfunktionen skrives som L(x 1, x 2, λ) = u(x 1, x 2 ) λ(p 1 x 1 + p 2 x 2 m) hvor λ er en konstant (fortolkning: skyggeprisen) Differentier L partielt mht. x 1, x 2, λ sæt alle lig med 0 (første ordensbetingelsen for maksimering) δl = δl = δl δx 1 δx 2 δλ = 0 Løs herefter de tre ligninger med tre ubekendte. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 17 / 18

59 Nyttemaksimering Lagrange Givet maksimeringsproblemet max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (x 1,x 2) Kan Lagrange multiplikatorfunktionen skrives som L(x 1, x 2, λ) = u(x 1, x 2 ) λ(p 1 x 1 + p 2 x 2 m) hvor λ er en konstant (fortolkning: skyggeprisen) Differentier L partielt mht. x 1, x 2, λ sæt alle lig med 0 (første ordensbetingelsen for maksimering) δl = δl = δl δx 1 δx 2 δλ = 0 Løs herefter de tre ligninger med tre ubekendte. Hvis præferencer er monotone, strengt konvekse og kontinuert differentiable, så eksisterer der en unik indre løsning. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 17 / 18

60 Reference For interesserede kan jeg anbefale Varians bog: Hal R. Varian Intermediate Microeconomics: A Modern Approach (8th ed.) W. W. Norton & Company, (Præsenterede figurer i slides er fra denne) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 18 / 18

Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet. Workshop. Opgave 1. = = 3x 2

Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet. Workshop. Opgave 1. = = 3x 2 Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet Workshop Opgave 1 Antag at en forbrugers nyttefunktion er givet ved u(, x ) x 3 1 x. Forbrugeren har derudover følgende budgetbetingelse:

Læs mere

Kapitel 3 Forbrugeradfærd

Kapitel 3 Forbrugeradfærd Emner Kapitel 3 orbrugeradfærd Præferencer udgetbegrænsning orbrugsvalg hapter 3: onsumer ehavior Slide Introduktion Virksomheder har brug for at kende forbrugeradfærd, når de prisfastsætter et produkt.

Læs mere

Kapitel 4: Nyttefunktioner. Hvad er nytte? - det gamle syn:

Kapitel 4: Nyttefunktioner. Hvad er nytte? - det gamle syn: Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte er en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten måles for eksempel på en skala fra 0 til 100. 3. Skalaen er kardinal:

Læs mere

Kapitel 4: Nyttefunktioner

Kapitel 4: Nyttefunktioner Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte betragtet som en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten er kardinal: Størrelsen på nyttedifferencer har betydning.

Læs mere

1 Kapitel 5: Forbrugervalg

1 Kapitel 5: Forbrugervalg 1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. budgetbegrænsninger 2. præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens optimale valg. 2 Optimalt forbrug - grafisk fremstilling

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

Kapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere præferencer?

Kapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere præferencer? Kapitel 3: Præferencer Hvordan skal vi modellere præferencer? 1. Paradigme (husk fra forrige kapitel): Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Vi har set på hvordan man kan

Læs mere

1 Virksomheders teknologi (kapitel 18)

1 Virksomheders teknologi (kapitel 18) 1 Virksomheders teknologi (kapitel 18) 1. "Produktionsteori" har til formål at beskrive de teknologiske begrænsninger en virksomhed er underlagt. 2. Dette gøres ved "produktionsfunktioner". 3. Visse ligheder

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

Rettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi

Rettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi Rettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi 3 timers prøve med hjælpemidler, d. 1. Januar 009 Samtlige spørgsmål ønskes besvaret. Opgavens vægt i karaktergivningen er angivet ved hver opgave.

Læs mere

1 Virksomheders teknologi (kapitel 18)

1 Virksomheders teknologi (kapitel 18) 1 Virksomheders teknologi (kapitel 18) 1. Vi ønsker at beskrive de teknologiske begrænsninger som en virksomhed har. 2. Vi har set på nyttefunktioner indenfor forbrugerteorien. 3. Nu ser vi på "produktionsfunktioner".

Læs mere

1 Bytteøkonomier (kapitel 30)

1 Bytteøkonomier (kapitel 30) 1 Bytteøkonomier (kapitel 30) 1. Setup: Vi har en række forbrugere med hver deres initialbeholdning af en række goder. (a) Ren bytteøkonomi - ingen virksomheder - ingen produktion! 2. Typiske spørgsmål:

Læs mere

matematik-økonomi-studerende

matematik-økonomi-studerende matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Forbrugeroverskud, ækvivalerende og kompenserende variationer

Forbrugeroverskud, ækvivalerende og kompenserende variationer Forbrugeroverskud, ækvivalerende og kompenserende variationer Introduktion Undervisningsnote til Mikro A, af Ole Kveiborg og Michael Teit Nielsen Vi har kigget en hel del på, hvordan forbrugeren reagerer

Læs mere

Ugeseddel - uge

Ugeseddel - uge Ugeseddel - uge 50 + 51 Tobias Markeprand 19. december 2008 Forelæsninger Vi har indtil videre analseret forbrugeren og hvordan denne træffer sit valg på markedet. Dette gav os efterspørgselskurven der

Læs mere

Mich Tvede 29. januar 2003. Økonomisk Institut Københavns Universitet

Mich Tvede 29. januar 2003. Økonomisk Institut Københavns Universitet Mich Tvede 29. januar 2003. Økonomisk Institut Københavns Universitet Lars Peter Østerdal 2. November 2004. 1 Forbrugere Opgave 1.1 1. Illustrer følgende budgetrestriktioner grafisk: a) p 1 =1,p 2 =1ogm

Læs mere

Mich Tvede 29. december 2007 Økonomisk Institut Københavns Universitet. En virksomhed har følgende produktionsmulighedsområde:

Mich Tvede 29. december 2007 Økonomisk Institut Københavns Universitet. En virksomhed har følgende produktionsmulighedsområde: Mich Tvede 29. december 2007 Økonomisk Institut Københavns Universitet 1 Produktion Opgave 1.1 En virksomhed har følgende produktionsmulighedsområde: Y = {(x, y) x, y 0ogy ax}, hvor x er input/produktionsfaktoren,

Læs mere

Ordbog Økonomi. Kapitel 1. Kapitel 2. Kapitel 3. Kapitel 4. Competitive market: Fuldkommen konkurrence. Commodity: en vare.

Ordbog Økonomi. Kapitel 1. Kapitel 2. Kapitel 3. Kapitel 4. Competitive market: Fuldkommen konkurrence. Commodity: en vare. Ordbog Økonomi Kapitel 1 Competitive market: Fuldkommen konkurrence Commodity: en vare Good: et gode Excess demand: overskudsefterspørgsel Pareto efficient: Paretoefficient Kapitel 2 Consumption bundle:

Læs mere

Mikroøkonomi opgavebesvarelse - Efterår 2009

Mikroøkonomi opgavebesvarelse - Efterår 2009 Mikroøkonomi opgavebesvarelse - Efterår 2009 Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 18. november 2009 1 Indhold 1 Opgavesæt 1 3 1.1 1.................................. 3 1.2 2..................................

Læs mere

Note om interior point metoder

Note om interior point metoder MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50

Læs mere

Kapitel 12: Valg under usikkerhed

Kapitel 12: Valg under usikkerhed 1 November 25, 2008 2 Usikkerhed Usikre faktorer: Fremtidige priser Fremtidig (real)indkomst Vejret Andre agenters handlinger (strategisk interaktion).... Håndtering af usikkerhed: Forsikring (sundhed,

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed

Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Peter Norman Sørensen, Økonomisk Institut Forår 2003 1. Formalia [10 minutter] Denne obligatoriske projektopgave er en guide til selvstudium af kapitel

Læs mere

Eksogenisering i forbrugssystemet

Eksogenisering i forbrugssystemet Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Edith Madsen 7. juli 1997 Eksogenisering i forbrugssystemet Resumé: Papiret giver en metode til eksogenisering af forbrugskomponenter i det nye DLU og indeholder

Læs mere

Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ

Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ matematik og matematik-økonomi studierne 1. basissemester Esben Høg 25. oktober 2013 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg Noter til kursusgang

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. Vejledende opgave 1

Matematik B. Højere handelseksamen. Vejledende opgave 1 Matematik B Højere handelseksamen Vejledende opgave 1 Efterår 011 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Det danske boligmarked

Det danske boligmarked HA-almen, 6. Semester Bacheloropgave Nationaløkonomisk institut Forfatter: Anders Krog Vejleder: Anna Piil Damm Det danske boligmarked Handelshøjskolen i Århus Maj 2011 Executive summery The title of this

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Kapitel 8: Slutsky ligningen

Kapitel 8: Slutsky ligningen November 25, 2008 Forbrugerens valg: Vælg dets bedste mulige varebundt Efterspørgselsfunktion: x 1 (p 1, p 2, m) og x 2 (p 1, p 2, m) Kapitel 6: hvordan ændres efterspørgselsfunktionen med p 1, p 2 og

Læs mere

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært

Læs mere

Kapitel 1: Markedet for lejeboliger - et eksempel.

Kapitel 1: Markedet for lejeboliger - et eksempel. Kapitel 1: Markedet for lejeboliger - et eksempel. November 8, 2008 Kapitel 1 er et introducerende kapitel. Ved hjælp af et eksempel illustreres nogle af de begreber og ideer som vil blive undersøgt mere

Læs mere

Kapitel 6 Produktion. Overblik over emner. Introduktion. The Technology of Production. The Technology of Production. The Technology of Production

Kapitel 6 Produktion. Overblik over emner. Introduktion. The Technology of Production. The Technology of Production. The Technology of Production Overblik over emner Kapitel 6 Produktion Teknologien Isokvanter Produktion med et variabelt input Produktion med to variable Inputs Returns to Scale Chapter 6 Slide 2 Introduktion The Technology of Production

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER II

ØKONOMISKE PRINCIPPER II ØKONOMISKE PRINCIPPER II 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 2 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 18 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperii Introduktion Kapitel 18: Markederne for produktionsfaktorer

Læs mere

Unified Growth Theory

Unified Growth Theory Unified Growth Theory Forelæsningsnoter Efteråret 2009 Web: www.econ.ku.dk/okojwe/ugt.htm Stiliseret billede Unified Growth Theory Malthus-modellen Solow-modellen Stiliseret billede (Galor 2005) pc income

Læs mere

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2 Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

1 Monopoler (kapitel 24)

1 Monopoler (kapitel 24) Monopoler (kapitel 24). Et monopol de neres som et marked hvor kun én virksomhed opererer. (a) Virksomheden bestemmer prisen p for godet. Herefter beslutter forbrugerne hvor meget de efterspørger og output

Læs mere

Finansøkonom 2009/11 Globaløkonomi Mikroteori

Finansøkonom 2009/11 Globaløkonomi Mikroteori Finansøkonom 2009/11 Globaløkonomi Mikroteori Opgaver til kapitel 1 og 2 Opgave 1 I lærebogen på side 15 nævnes begrebet cost benefit analyse. Giv et forslag til, hvilke elementer der skal inddrages i

Læs mere

MAKROØKONOMI ØKONOMIEN PÅ LANGT SIGT. Mankiw kap. 3, 6, 7 & årsprøve, 2. semester

MAKROØKONOMI ØKONOMIEN PÅ LANGT SIGT. Mankiw kap. 3, 6, 7 & årsprøve, 2. semester MAKROØKONOMI 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 2 Pensum: Mankiw kapitel 3 ØKONOMIEN PÅ LANGT SIGT Mankiw kap. 3, 6, 7 & 8. Husk grundlæggende forudsætning vedr. langt sigt: Priserne er fleksible. Statiske

Læs mere

Om Inflation and Unemployment : Nærmere detaljer vedr. pris- og lønfastsættelsen og deres relation

Om Inflation and Unemployment : Nærmere detaljer vedr. pris- og lønfastsættelsen og deres relation Makroøkonomi 1, 25/11 2003 Henrik Jensen Om Inflation and Unemployment : Nærmere detaljer vedr. pris- og lønfastsættelsen og deres relation Prisfastsættelsen Modelantagelser: Monopolistisk konkurrence

Læs mere

Vismandsspillet og makroøkonomi

Vismandsspillet og makroøkonomi Vismandsspillet og makroøkonomi Dette notat om makroøkonomi er skrevet af Henrik Adrian, Helge Gram Christensen, Morten Gjeddebæk og Ernst Jensen på et udviklingsseminar mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Planen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1

Planen idag. Fin1 (mandag 16/2 2009) 1 Planen idag Porteføljeteori; kapitel 9 Noterne Moralen: Diversificer! Algebra: Portefølje- og lineær. Nogenlunde konsistens med forventet nyttemaksimering Middelværdi/varians-analyse Fin1 (mandag 16/2

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Velkommen til Økonomi 1!!!!

Velkommen til Økonomi 1!!!! Velkommen til Økonomi 1!!!! Mikro-delen Foråret 2004. Lars Østerdal Mail: lars.p.osterdal@econ.ku.dk Tlf: 35 32 35 61 Kontor: Økonomisk Institut, Nørregade 7A, 1. sal. www.econ.ku.dk/lpo Introduktion til

Læs mere

Kapitel 7 Produktionsomkostninger. omkostninger. Introduktion. Emner. Omkostningsbegreber. Måling af produktionsomkostninger. Omkostningsbegreber

Kapitel 7 Produktionsomkostninger. omkostninger. Introduktion. Emner. Omkostningsbegreber. Måling af produktionsomkostninger. Omkostningsbegreber Introduktion Kapitel 7 Produktionsomkostninger Produktionsteknologi (kap.6) angiver, hvordan inputs kan omdannes til output Produktionsomkostninger (kap.7) kombinerer viden om produktionsteknologi og inputpriser.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Kapitel 15: Markedsefterspørgsel

Kapitel 15: Markedsefterspørgsel November 29, 2008 Indledning individuel efterspørgsel: maximering af nytte under budgetbegrænsning Ligevægt: udbud er lig efterspørgsel afgørende: den samlede efterspørgsel Centralt: hvordan afhænger efterspørgslen

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

1 Markedsefterspørgsel (kapitel 15) 1. Markedseftersspørgselskurven: Sammenhængen mellem markedspris og samlet efterspørgsel på et marked.

1 Markedsefterspørgsel (kapitel 15) 1. Markedseftersspørgselskurven: Sammenhængen mellem markedspris og samlet efterspørgsel på et marked. 1 Markedsefterspørgsel (kapitel 15) 1. Markedseftersspørgselskurven: Sammenhængen mellem markedspris og samlet efterspørgsel på et marked. 2 Fra forbrugerefterspørgsel til markedsefterspørgsel 1. For enhver

Læs mere

Model til beskrivelse af markedet for lægemidler

Model til beskrivelse af markedet for lægemidler 1 af 7 21-08-2013 12:52 Model til beskrivelse af markedet for lægemidler Juni 2005 Af Peder Kongsted CHRISTIANSEN* Abstract Using a simple model we study the effects from deregulating the Danish market

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

1 Monopoler (kapitel 24)

1 Monopoler (kapitel 24) Monopoler (kapitel 24). Vi har indtil nu fokusret på markeder med fuldkommen konkurrence: Virksomheder tager prisen for given. 2. Vi ser nu på et marked med én virksomhed. (a) Virksomheden sætter prisen

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Kapitel 6 Produktion. Overblik over emner. Introduktion. The Technology of Production. The Technology of Production. The Technology of Production

Kapitel 6 Produktion. Overblik over emner. Introduktion. The Technology of Production. The Technology of Production. The Technology of Production Overblik over emner Kapitel 6 Produktion Teknologien Isokvanter Produktion med et variabelt input Produktion med to variable Inputs Returns to Scale Chapter 1Chapter 6 Slide 2 Introduktion The Technology

Læs mere

Efterspørgsel og udbud

Efterspørgsel og udbud J.Andersen og H.Keiding: Introduktion til Nationaløkonomi Kapitel 2, side 1 Kapitel 2 Efterspørgsel og udbud 1. Efterspørgsel og hvad der ligger bag Prisdannelsen og markedsmekanismens funktion er et af

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI. 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI. 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/ NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/6 2002 VEJLEDENDE BESVARELSE OG KOMMENTARER Opgave 1 Spg 1a

Læs mere

1 Monopoler (kapitel 24)

1 Monopoler (kapitel 24) Monopoler (kapitel 24). Vi ser nu på et marked med én virksomhed. (a) Virksomheden sætter prisen p. Forbrugere tager derefter pris for givet og output bestemmes ved efterspørgselsfunktion D(p). (b) - eller

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Statisk Optimering. Jesper Michael Møller

Statisk Optimering. Jesper Michael Møller Statisk Optimering Jesper Michael Møller Matematisk Institut, Universitetsparken 5, DK 2100 København E-mail address: moller@mathkudk URL: http://wwwmathkudk/~moller Indhold Kapitel 1 Ikke-lineær optimering

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 16. december 2013 kl hhx133-mat/b

Matematik B. Højere handelseksamen. Mandag den 16. december 2013 kl hhx133-mat/b Matematik B Højere handelseksamen hhx133-mat/b-161013 Mandag den 16. december 013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

IP-Telefoni. Mikkel Friis-Olsen. Internet-økonomi, forår 2004 Økonomisk Institut Københavns Universitet Onsdag d. 5. maj 2004

IP-Telefoni. Mikkel Friis-Olsen. Internet-økonomi, forår 2004 Økonomisk Institut Københavns Universitet Onsdag d. 5. maj 2004 IP-Telefoni af Mikkel Friis-Olsen Internet-økonomi, forår 2004 Økonomisk Institut Københavns Universitet Onsdag d. 5. maj 2004 1 Indholdsfortegnelse: 1. Indledning side 3 2.1 Efterspørgsel efter telekommunikation

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER B

ØKONOMISKE PRINCIPPER B ØKONOMISKE PRINCIPPER B 1. årsprøve, 2. semester Mankiw kap. 11: Aggregate Demand I: Building the IS-LM Model Jesper Linaa Fra kapitel 10: Lang sigt vs. kort sigt P LRAS SRAS AD Side 2 Lang sigt vs. kort

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER B

ØKONOMISKE PRINCIPPER B ØKONOMISKE PRINCIPPER B Forelæsning til studiepraktik baseret på Mankiw kap. 3: National Income: Where It Comes From and Where It Goes Jesper Linaa De Økonomiske Råd / Københavns Universitet Oktober 2016

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

1 Oligopoler (kapitel 27)

1 Oligopoler (kapitel 27) 1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Vi har set på to vigtige markedsformer: (a) Fuldkommen konkurrence. Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation mange små konkurrenter. (b) Monopol. Kun

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER I

ØKONOMISKE PRINCIPPER I ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 4 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 4 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Kapitel 3 påpegede mulige gevinster ved

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af

Læs mere

Rettevejledning til 1. obligatoriske opgave Beslutninger og strategi

Rettevejledning til 1. obligatoriske opgave Beslutninger og strategi Rettevejledning til. obligatoriske opgave Beslutninger og strategi Christian S. Liebing og Tobias N. Thygesen Forår 00. version. Opgave Betragter en agent med vnm-præferencer. Vi får oplyst, at agenten

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER I

ØKONOMISKE PRINCIPPER I ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 15 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 14 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Kapitel 1 behandlede udelukkende en

Læs mere

Kalkulation: Hvordan fungerer tal? Jan Mouritsen, professor Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi

Kalkulation: Hvordan fungerer tal? Jan Mouritsen, professor Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Kalkulation: Hvordan fungerer tal? Jan Mouritsen, professor Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Udbud d af kalkulationsmetoder l t Economic Value Added, Balanced Scorecard, Activity Based Costing,

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Konjunktur teori 1: Regulariteter og den statiske makromodel Ugeseddel 3: Økonomi 1, forår 2004 Matematik-Økonomi

Konjunktur teori 1: Regulariteter og den statiske makromodel Ugeseddel 3: Økonomi 1, forår 2004 Matematik-Økonomi Konjunktur teori 1: Regulariteter og den statiske makromodel Ugeseddel 3: Økonomi 1, forår 2004 Matematik-Økonomi Carl-Johan Dalgaard Københavns Universitets Økonomiske Institut Webside for økonomi 1:

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober Økonometri 1: F8 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober Økonometri 1: F8 1 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober 2006 Økonometri 1: F8 1 Dagens program Opsamling om asymptotiske egenskaber: Asymptotisk normalitet Asymptotisk efficiens Test af flere lineære

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Kapitel 7 Introduktion til statistik Organisering af data Diskrete variabler Kontinuerte variabler Beskrivende statistik Fraktiler Gennemsnit Empirisk varians og spredning Empirisk korrelationkoe

Læs mere

1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA!

1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA! 1 Beregnelighed 1.1 Disposition Def. TM Def. RE/R Def. 5 egenskaber for RE/R Def. NSA Bevis. NSA!RE Def. SA Bevis. SA!R Bevis. SA RE Def. Beslutningsproblem Arg. Self-Accepting er uløselig 1.2 Præsentation

Læs mere

Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B

Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B 1 Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B Bent Selchau Indledningsvis vil vi betragte to typer populationsudviklinger, som altid bliver gennemgået i matematikundervisningen

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER I

ØKONOMISKE PRINCIPPER I ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 14 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 13 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Kapitel 13-17: Virksomhedsadfærd og

Læs mere

Keynesiansk Konjunkturteori. Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut Københavns Universitet

Keynesiansk Konjunkturteori. Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut Københavns Universitet Keynesiansk Konjunkturteori Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut Københavns Universitet 1 Agenda Hvordan adskiller keynesiansk makroteori sig fra konjunkturmodellen drøftet i kapitel 7? Konstruktion

Læs mere

Statisk Optimering. Jesper Michael Møller

Statisk Optimering. Jesper Michael Møller Statisk Optimering Jesper Michael Møller Matematisk Institut, Universitetsparken 5, DK2100 København E-mail address: moller@mathkudk URL: http://wwwmathkudk/~moller Indhold Kapitel 1 Ikke-lineær optimering

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Additiv model teori og praktiske erfaringer

Additiv model teori og praktiske erfaringer make connections share ideas be inspired Additiv model teori og praktiske erfaringer Kaare Brandt Petersen Forretningschef, ph.d., SAS Institute Agenda Hvad er en additiv model? Forudsætninger Fortolkning

Læs mere

6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen

6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen 6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen 6. Udledning af prisfunktionen ud fra forskellige oplysninger I sidste kapitel gennemgik vi, hvad du forståelsesmæssigt skal vide om omsætningsfunktioner.

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

ØKONOMI AKADEMIET FOR TALENTFULDE UNGE. Carsten Paysen T. Rosenskjold. d. 24 marts. Department of Economics and Business, Aarhus University

ØKONOMI AKADEMIET FOR TALENTFULDE UNGE. Carsten Paysen T. Rosenskjold. d. 24 marts. Department of Economics and Business, Aarhus University ØKONOMI AKADEMIET FOR TALENTFULDE UNGE Carsten Paysen T. Rosenskjold Department of Economics and Business, Aarhus University d. 24 marts 19. marts 2015 1 / 16 Min baggrund Student Marselisborg Gymnasium

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER I

ØKONOMISKE PRINCIPPER I ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 14 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 13 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Kapitel 13-17: Virksomhedsadfærd og

Læs mere