1 Kapitel 5: Forbrugervalg

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1 Kapitel 5: Forbrugervalg"

Transkript

1 1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. budgetbegrænsninger 2. præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens optimale valg.

2 2 Optimalt forbrug - grafisk fremstilling 1. Antag: Præferencer komplette, transitive, monotone. 2. Da maximeres nytte på budgetlinjen. 3. Optimum findes ved at bevæge sig langs budgetlinje indtil den højest opnåelige indifferenskurve tangerer budgetlinje. 4. I optimum: 5. Hældning på indifferenskurve = MRS = hældning på budgetlinje = -p 1 /p 2. (a) Undtagelse I: Knækket indifferenskurve - kinky tastes. (b) Undtagelse II: Maximum ligger på randen.

3 6. Konvekse præferencer: Hvis MRS = -p 1 /p 2 da maximum. 7. Advarsel: Hvis præferencer ikke er konvekse da kan MRS = -p 1 /p 2 være i lokalt minimum. 8. Efterspørgslen er det optimale forbrug ved givne priser og indkomst 9. Når vi varierer priser og indkomst får vi efterspørgselsfunktionen.

4 Figure 1:

5 Figure 2:

6 Figure 3:

7 Figure 4:

8 3 Perfekte substitutter / komplementer 1. To nemme specialtilfælde: 2. Perfekte substitutter 1:1. x 1 = m/p 1 hvis p 1 p 2 ;0ellers.(x 2 =?) 3. Perfekte komplementer 1:1. x 1 = m/(p 1 + p 2 ). (x 2 =?) 4. Hvordan findes efterspørgslen i mere generelle tilfælde?

9 Figure 5:

10 Figure 6:

11 4 Formulering af forbrugerens problem 1. Lad priser og indkomst være givne. Forbrugen vælger forbrug der maksimerer nytte givet budgetbegrænsning: 2. Maximér under bibetingelsen u(x 1,x 2 ). p 1 x 1 + p 2 x 2 m 3. Hvis præferencer er monotone kan vi skrive: 4. Maximer under bibetingelsen u(x 1,x 2 ) p 1 x 1 + p 2 x 2 = m.

12 5 Løsning af forbrugerens problem 1. Tre løsningsmetoder: (a) Løs to ligninger med to ubekendte: i. MRS(x 1,x 2 ) = ii. p 1 x 1 + p 2 x 2 = m. u(x 1,x 2 ) x 1 u(x 1,x 2 ) x 2 = p 1 p 2. (b) Substitution af budgetbetingelse ind i nyttefunktion: i. p 1 x 1 + p 2 x 2 = m x 2 = 1 p 2 (m p 1 x 1 ). ii. u(x 1,x 2 )=u(x 1, 1 p 2 (m p 1 x 1 )) = bu(x 1 ). iii. Maximér bu(x 1 ) mht. x 1.

13 (c) Lagrange metoden: i. Den generelle metode til maximering af funktion af flere variable under en eller flere bibetingelser: ii. max u(x 1,...,x n ),hvor iii. f 1 (x 1,...,x n )=b 1, iv...., v. f n (x 1,...,x n )=b m.

14 6 Maximering under bibetingelser: 2 variable, 1 bibetingelse 1. Problem: Maximér f(x, y) s.t. g(x, y) =c. 2. I optimum: Hældingen på tangenten til kurven g(x, y) = c lig med hældningen på tangenten til niveaukurven for f. 3. Hvorfor: Se figur! 4. Husk fra Kap. 4: For nyttefunktion u(x 1,x 2 ) da hældningen på indifferenskurve = MRS = u(x 1,x 2 ) x 1 u(x 1,x 2 ). x 2 5. Tilsvarende:

15 (a) Hældingen på tangenten til kurven g(x, y) =c er lig g(x,y) x g(x,y) y. (b) Hældingen på tangenten til niveaukurven for f er lig f(x,y) x f(x,y) y. g(x,y) 6. I optimum: x g(x,y) y f(x,y) = x f(x,y) y. 7. Fortegn ryger ud: g(x,y) x g(x,y) y = f(x,y) x f(x,y) y. 8. Dvs: Der findes λ så: g(x,y) x g(x,y) y = f(x,y) x f(x,y) y = λ.

16 7 Lagrange-funktionen 1. Metode: 2. Opskriv funktionen: L(x, y) =f(x, y) λ(g(x, y) c), hvor λ er en (ukendt) konstant. 3. Differentier L mht x og y og sæt afledede lig nul: (a) L(x,y) x (b) L(x,y) y = f(x,y) x = f(x,y) y λ g(x,y) x =0 λ g(x,y) y =0 4. Med disse to betingelser har vi nu: (a) f(x,y) x (b) f(x,y) y = λ g(x,y) x = λ g(x,y) y

17 (c) g(x, y) =0 5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x, y, λ. 6. Tekniske antagelser: (a) Hvis (x 0,y 0 ) er lokalt extremum da gælder Lagrangebetingelser, hvis: (b) f og g har kontinuerte partielle afledede i omegn af (x 0,y 0 ). (c) g(x,y) x og g(x,y) y ikke begge er nul. 7. NB: Betingelserne er nødvendige med ikke tilstrækkelig for maximum (kunne også være et minimum!). 8. Vigtigt i forbrugerteori: Hvis præferencer er strengt convekse (og budgetlinje naturligvis lineær), da betingelser tilstrækkelige.

18 8 Eksempel 1 1. Maximer u(x 1,x 2 )=x 1 x 2 s.t. 2x 1 + x 2 =1. 2. Opskriv Lagrangefunktion: L(x 1,x 1 ) = f(x 1,x 2 ) λ(g(x 1,x 2 ) c), = x 1 x 2 λ(2x 1 + x 2 1) hvor λ er en (ukendt) konstant. 3. Differentier L mht x 1 og x 2 og sæt afledede lig nul: (a) og L(x 1,x 2 ) x 1 = x 2 2λ =0 (b) L(x 1,x 2 ) x 2 = x 1 λ =0.

19 4. Med disse to betingelser har vi nu: (a) x 2 =2λ (b) x 1 = λ (c) 2x 1 + x 2 =1 5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x 1,x 2, λ: 6. x 2 =2λ og x 1 = λ x 2 =2x Indsæt i betingelse: 2x 1 +2x 1 =1 x 1 = x 2 = λ = 1 4.

20 9 Eksempel 2 1. Maximer u(x 1,x 2 )= x 1 +2 x 2 s.t. x 1 + x 2 = Opskriv Lagrangefunktion: L(x 1,x 2 )= x 1 +2 x 2 λ(x 1 + x 2 1), hvor λ er en (ukendt) konstant. 3. Differentier L mht x 1 og x 2 og sæt afledede lig nul: (a) L(x 1,x 2 ) 1 = x 1 2 λ =0 x 1 L(x 1,x 2 ) = 1 λ =0. x 2 x2 4. Med disse to betingelser har vi nu:

21 (a) 1 2 x 1 = λ (b) 1 x2 = λ (c) x 1 + x 2 =1 5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x, y, λ: x 1 = 1 x2 2 x 1 = x 2 (2 x 1 ) 2 = ( x 2 ) 2 4x 1 = x Indsæt i betingelse: x 1 +4x 1 =1 5x 1 =1 8. x 1 = x 2 = λ = q 1 =

22 10 Økonomisk tolkning af Lagrange-multiplikatoren λ 1. Antag at x og y løser: max f(x, y) s.t. g(x, y) =c. 2. Lad f = f(x,y ) være maximum. 3. Betragt x = x (c) og y = y (c) some funktioner af c. 4. Betragt da også f som funktion af c: f (c) =f(x (c),y (c)). 5. f (c) kaldes værdifunktionen for problemet.

23 6. Man kan vise at: df (c) dc = λ(c). 7. Med ord: λ(c) = λ viser væksthastigheden for værdifunktionen med hensyn til begrænsningen c. 8. I Økonomi: (a) f er nyttefunktion eller profit. (b) c er ressourcebegrænsning, f.eks. budgetbegrænsning. (c) Da er λ(c)dc en tilnærmelse til stigning i nytte/profit som opnås ved at få dc > 0 mere af ressource. (d) Specielt: Hvis f er profit, da angiver λ(c) den marginale betalingsvillighed for en ekstra enhed af begrænset resource c.

24 11 Cobb-Douglas præferencer: Generelle tilfælde 1. Vi ønsker at finde efterspørgsel ved Cobb-Douglas nytter. 2. Forbrugers problem: max u(x 1,x 2 ) = x c 1 xd 2, s.t. x 1 p 1 + x 2 p 2 = m. Logaritmisk transformation: log x c 1 xd 2 = c log x 1 + d log x Opskriv Lagrangefunktion: L(x 1,x 2 )=c log x 1 +d log x 2 λ(x 1 p 1 +x 2 p 2 m) hvor λ er en (ukendt) konstant. 4. Differentier L mht x 1 og x 2 og sæt afledede lig nul:

25 (a) c 1 x 1 λp 1 = 0 d 1 x 2 λp 2 = 0 5. Med disse to betingelser har vi nu: (a) c = λp 1 x 1 (b) d = λp 2 x 2 (c) p 1 x 1 + p 2 x 2 = m 6. Løs tre lineære ligninger med tre ubekendte x 1,x 2, λ: 7. c = λp 1 x 1 og d = λp 2 x 2 c + d = λp 1 x 1 + λp 2 x 2 = λm.

26 8. Hvilket giver: λ = c + d m. 9. Indsæt : c = ³ c+d m p1 x 1 x 1 = c+d c p m Indsæt : d = ³ c+d m p2 x 2 x 2 = c+d d p m NB: Hvis Cobb-Douglas præferencer, da er budgetandele konstante ved budgetændringer.

27 12 Økonomisk tolkning af Lagrange-multiplikator: Cobb-Douglas eksemplet. 1. vi har: (a) x 1 (m) = (b) x 2 (m) = c c+d m p 1 d c+d m p 2 (c) λ(m) =λ = c+d m. (d) f (m) =c log( c c+d m p 1 )+d log( d c+d m p 2 ) (e) Tjek: df (m) dm = c m + d m = λ??? (f) Ja! Da λ = c+d m.

28 13 Anvendelse: Hvilken form for beskatning er mest hensigtsmæssig? 1. Vi sammenligner to former for beskatning: (a) Indkomstskat (b) Volumenafgift på en vare. 2. Initial budgetbegrænsning: p 1 x 1 + p 2 x 2 = m Budgetbegræsning med volumenafgift (vare 1): (p 1 + t)x 1 + p 2 x 2 = m, 3. Optimalt forbrug med volumenafgift: (p 1 + t)x 1 + p 2x 2 = m.

29 Figure 7:

30 4. Skatterevenue: tx Indkomstskat der giver samme revenue er derfor på tx Giver budgetbegrænsning: p 1 x 1 + p 2 x 2 = m tx Ny budgetlinje har samme hældning som initial budgetlinje. 8. Passerer igennem (x 1,x 2 ) da (p 1 + t)x 1 + p 2x 2 = m medfører p 1 x 1 + p 2x 2 = m tx 1.

31 9. ALTSÅ: (x 1,x 2 ) også opnåelig under budgetlinje ved indkomstskat. Forbrug ved indkomstskat er derfor mindst lige så godt som (x 1,x 2 ). 10. POINTE:Deteraltidbedstforforbrugerenatopkræve et givet beløb via indkomstskat. 11. Antagelser: (a) Argumentet ser på 1 forbruger i isolation. (b) Indkomst eksogen. Mere kompliceret hvis indkomstskatteniveau påvirker arbejdsudbud? (c) Ser ikke på udbudssiden af marked.

Kapitel 4: Nyttefunktioner

Kapitel 4: Nyttefunktioner Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte betragtet som en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten er kardinal: Størrelsen på nyttedifferencer har betydning.

Læs mere

Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet. Workshop. Opgave 1. = = 3x 2

Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet. Workshop. Opgave 1. = = 3x 2 Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet Workshop Opgave 1 Antag at en forbrugers nyttefunktion er givet ved u(, x ) x 3 1 x. Forbrugeren har derudover følgende budgetbetingelse:

Læs mere

Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel

Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel Jesper Breinbjerg Department of Business and Economics University of Southern Denmark Akademiet for Talentfulde Unge, 20. marts 2014 Jesper Breinbjerg Optimale

Læs mere

Kapitel 4: Nyttefunktioner. Hvad er nytte? - det gamle syn:

Kapitel 4: Nyttefunktioner. Hvad er nytte? - det gamle syn: Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte er en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten måles for eksempel på en skala fra 0 til 100. 3. Skalaen er kardinal:

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Note om interior point metoder

Note om interior point metoder MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50

Læs mere

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

1 Virksomheders teknologi (kapitel 18)

1 Virksomheders teknologi (kapitel 18) 1 Virksomheders teknologi (kapitel 18) 1. Vi ønsker at beskrive de teknologiske begrænsninger som en virksomhed har. 2. Vi har set på nyttefunktioner indenfor forbrugerteorien. 3. Nu ser vi på "produktionsfunktioner".

Læs mere

Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7

Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1

Læs mere

Kapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere præferencer?

Kapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere præferencer? Kapitel 3: Præferencer Hvordan skal vi modellere præferencer? 1. Paradigme (husk fra forrige kapitel): Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Vi har set på hvordan man kan

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

1 Bytteøkonomier (kapitel 30)

1 Bytteøkonomier (kapitel 30) 1 Bytteøkonomier (kapitel 30) 1. Setup: Vi har en række forbrugere med hver deres initialbeholdning af en række goder. (a) Ren bytteøkonomi - ingen virksomheder - ingen produktion! 2. Typiske spørgsmål:

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

Kapitel 3 Forbrugeradfærd

Kapitel 3 Forbrugeradfærd Emner Kapitel 3 orbrugeradfærd Præferencer udgetbegrænsning orbrugsvalg hapter 3: onsumer ehavior Slide Introduktion Virksomheder har brug for at kende forbrugeradfærd, når de prisfastsætter et produkt.

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU

1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER II

ØKONOMISKE PRINCIPPER II ØKONOMISKE PRINCIPPER II 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 2 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 18 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperii Introduktion Kapitel 18: Markederne for produktionsfaktorer

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Rettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi

Rettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi Rettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi 3 timers prøve med hjælpemidler, d. 1. Januar 009 Samtlige spørgsmål ønskes besvaret. Opgavens vægt i karaktergivningen er angivet ved hver opgave.

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

1 Monopoler (kapitel 24)

1 Monopoler (kapitel 24) Monopoler (kapitel 24). Vi ser nu på et marked med én virksomhed. (a) Virksomheden sætter prisen p. Forbrugere tager derefter pris for givet og output bestemmes ved efterspørgselsfunktion D(p). (b) - eller

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

1 Virksomheders teknologi (kapitel 18)

1 Virksomheders teknologi (kapitel 18) 1 Virksomheders teknologi (kapitel 18) 1. "Produktionsteori" har til formål at beskrive de teknologiske begrænsninger en virksomhed er underlagt. 2. Dette gøres ved "produktionsfunktioner". 3. Visse ligheder

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2006I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2006I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2006I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En inferiør vare er defineret som en vare, man efterspørger

Læs mere

Ratepensioner i Skat Nova 2015

Ratepensioner i Skat Nova 2015 Ratepensioner i Skat Nova 2015 18. maj 2016 Indhold 1 Beskrivelse felt 21 ratepension i Skat Nova 2015.8 og tidligere versioner... 2 1.1 Eksempel hvor den ene ægtefælle har virksomhed og herudover lønindkomst,

Læs mere

OPGAVE 23 A (Robin Green) Spørgsmål 1

OPGAVE 23 A (Robin Green) Spørgsmål 1 OPGAVE 23 A (Robin Green) Spørgsmål 1 12 Operating Costs 9 6 3 3 6 9 12 12 Maintenance Costs 9 6 3 3 6 9 12 12 Total Costs 9 6 3 3 6 9 12 Kommentarer til dataplot: (a) Stigende driftsomkostninger er associeret

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

1 Monopoladfærd (25.1-25.7)

1 Monopoladfærd (25.1-25.7) Monopoladfærd (25.-25.7). Vi har hidtil antaget at monopolisten tager en uniform pris. (a) konstant og samme stykpris til alle forbrugere. 2. Tre "klassiske" former for prisdiskriminering. (a) Pris-diskriminering

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar

Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax

Læs mere

matematik-økonomi-studerende

matematik-økonomi-studerende matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

Kapitel 15: Markedsefterspørgsel

Kapitel 15: Markedsefterspørgsel November 29, 2008 Indledning individuel efterspørgsel: maximering af nytte under budgetbegrænsning Ligevægt: udbud er lig efterspørgsel afgørende: den samlede efterspørgsel Centralt: hvordan afhænger efterspørgslen

Læs mere

Projekt 7.2. Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable

Projekt 7.2. Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable Projekt 7.. Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable Indhold 1. Eksempel: Kvadratet som en optimal figur (se C-bogen projekt ).... Eksempel: Øldåsen som en optimal figur (se B-bogen projekt

Læs mere

Benyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007.

Benyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007. Formelsamling Noter til Fysik 3 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the

Læs mere

2. Funktioner af to variable

2. Funktioner af to variable . Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

Mich Tvede 29. januar 2003. Økonomisk Institut Københavns Universitet

Mich Tvede 29. januar 2003. Økonomisk Institut Københavns Universitet Mich Tvede 29. januar 2003. Økonomisk Institut Københavns Universitet Lars Peter Østerdal 2. November 2004. 1 Forbrugere Opgave 1.1 1. Illustrer følgende budgetrestriktioner grafisk: a) p 1 =1,p 2 =1ogm

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Modul 5: Test for én stikprøve

Modul 5: Test for én stikprøve Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................

Læs mere

1 Monopoler (kapitel 24)

1 Monopoler (kapitel 24) Monopoler (kapitel 24). Vi har indtil nu fokusret på markeder med fuldkommen konkurrence: Virksomheder tager prisen for given. 2. Vi ser nu på et marked med én virksomhed. (a) Virksomheden sætter prisen

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt

Læs mere

Module 12: Mere om variansanalyse

Module 12: Mere om variansanalyse Mathematical Statistics ST06: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 2: Mere om variansanalyse 2. Parreded observationer................................ 2.2 Faktor med 2 niveauer (0- variabel)........................

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

Sidste gang. Afsnit 5.5: (Ækvivalente) martingalmål. Fin1 11/3 2009 1

Sidste gang. Afsnit 5.5: (Ækvivalente) martingalmål. Fin1 11/3 2009 1 Sidste gang Afsnit 5.4: Betingede middelværdier; regneregler, fortolkning og eksempler. Martingaler. Variationer over dette har en betydelig tendens til at dukke op til eksamen. Afsnit 5.2: Finansielle

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012 Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens

Læs mere

Kursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition

Kursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition Kursusgang 5 Repetition - froberg@math.aau.k http://people.math.aau.k/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 30. september 2008 1/15 Differenskvotient og Differentialkvotient

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

Guide: Sådan søger du om folkepension

Guide: Sådan søger du om folkepension Guide: Sådan søger du om folkepension Log ind med NemID Log ind med NemID. Du skal taste dit bruger-id og din adgangskode. Klik på Næste. Log ind med NemID Find dit nøglekort, og skriv nummeret, der står

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Note om Grossman-modellen. 1. Indledning: Giver det mening at tale om efterspørgsel efter sundhed?

Note om Grossman-modellen. 1. Indledning: Giver det mening at tale om efterspørgsel efter sundhed? Økonomi FSV 2015 Note om Grossman modellen, side 1 Note om Grossman-modellen 1. Indledning: Giver det mening at tale om efterspørgsel efter sundhed? Det forhold, at sundhed, hvad det end måtte være, ihvertfald

Læs mere

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder. Analyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 10. og 13. september 013 Supplerende opgave 4 Betragt mængden A = {(x, y) R x + y 1, x < y}. Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER I

ØKONOMISKE PRINCIPPER I ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 4 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 4 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Kapitel 3 påpegede mulige gevinster ved

Læs mere

1 Oligopoler (kapitel 27)

1 Oligopoler (kapitel 27) 1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Vi har set på to vigtige markedsformer: (a) Fuldkommen konkurrence. Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation mange små konkurrenter. (b) Monopol. Kun

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Økonometri 1. Interne evalueringer af forelæsninger. Kvalitative variabler. Dagens program. Dummyvariabler 21. oktober 2004

Økonometri 1. Interne evalueringer af forelæsninger. Kvalitative variabler. Dagens program. Dummyvariabler 21. oktober 2004 Dagens program Økonometri 1 Dummyvariabler 21. oktober 2004 Emnet for denne forelæsning er kvalitative egenskaber i den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 7.1-7.6) Kvalitative variabler generelt

Læs mere

Af Frithiof Hagen - Direkte telefon: 33 55 77 19 September 2000 HOVEDTRÆK I DEN TYSKE SKATTEREFORM

Af Frithiof Hagen - Direkte telefon: 33 55 77 19 September 2000 HOVEDTRÆK I DEN TYSKE SKATTEREFORM i:\september-2000\tysk-skat.doc Af Frithiof Hagen - Direkte telefon: 33 55 77 19 September 2000 HOVEDTRÆK I DEN TYSKE SKATTEREFORM RESUMÈ Tyskland har vedtaget en omfattende reform af person- og erhvervsbeskatningen.

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Derfor ER TOPSKAT ET PROBLEM. Af Mads Lundby Hansen

Derfor ER TOPSKAT ET PROBLEM. Af Mads Lundby Hansen Derfor ER TOPSKAT ET PROBLEM Af Mads Lundby Hansen 1 Velkommen til CEPOS TANK&TÆNK Denne publikation er en del af CEPOS TANK&TÆNK. CEPOS TANK&TÆNK henvender sig til elever og lærere på de gymnasiale uddannelser,

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler

Læs mere

Matematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. Fredag den 11. december 2015 kl. 9.00-13.00 AVU151-MAT/D. (4 timer)

Matematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. Fredag den 11. december 2015 kl. 9.00-13.00 AVU151-MAT/D. (4 timer) Matematik D Almen voksenuddannelse Skriftlig prøve (4 timer) AVU151-MAT/D Fredag den 11. december 2015 kl. 9.00-13.00 Økonomi Matematik niveau D Skriftlig matematik Opgavesættet består af: Opgavehæfte

Læs mere

Nyvurdering af administrativ organisation

Nyvurdering af administrativ organisation Nyvurdering af administrativ organisation Fra kommissoriet Målet har været at sikre en administration, der fremstår maksimalt trimmet, og som på den ene side kan levere effektiv betjening af borgerne

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Har du ikke tidligere arbejdet, kan du altså tjene op til 30.000 kr., uden at skulle bekymre dig om, at din pensionsydelse bliver mindre.

Har du ikke tidligere arbejdet, kan du altså tjene op til 30.000 kr., uden at skulle bekymre dig om, at din pensionsydelse bliver mindre. FOLKEPENSIONIST Få folkepension samtidig med, at du arbejder Tjen 30.000 kr. ekstra Nu kan det bedre betale sig at arbejde samtidig med, at du modtager folkepension. Du kan nu tjene op til 30.000 kr. mere

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI. 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI. 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/ NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 9-13 torsdag 6/6 2002 VEJLEDENDE BESVARELSE OG KOMMENTARER Opgave 1 Spg 1a

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal

Læs mere

Samfundsøkonomiske. Luft- og Støjforureningen i Danmark. Signe Anthon, Christa Lindholm, Jesper Schou & Kathrine Veie. Christiansborg, 16/11-2011

Samfundsøkonomiske. Luft- og Støjforureningen i Danmark. Signe Anthon, Christa Lindholm, Jesper Schou & Kathrine Veie. Christiansborg, 16/11-2011 Samfundsøkonomiske omkostninger ved trafikstøj Signe Anthon, Christa Lindholm, Jesper Schou & Kathrine Veie Luft- og Støjforureningen i Danmark Christiansborg, 16/11-2011 Trafikstøj - Økonomi og Miljø

Læs mere