1 Kapitel 5: Forbrugervalg
|
|
- Else Bak
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. budgetbegrænsninger 2. præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens optimale valg.
2 2 Optimalt forbrug - grafisk fremstilling 1. Antag: Præferencer komplette, transitive, monotone. 2. Da maximeres nytte på budgetlinjen. 3. Optimum findes ved at bevæge sig langs budgetlinje indtil den højest opnåelige indifferenskurve tangerer budgetlinje. 4. I optimum: 5. Hældning på indifferenskurve = MRS = hældning på budgetlinje = -p 1 /p 2. (a) Undtagelse I: Knækket indifferenskurve - kinky tastes. (b) Undtagelse II: Maximum ligger på randen.
3 6. Konvekse præferencer: Hvis MRS = -p 1 /p 2 da maximum. 7. Advarsel: Hvis præferencer ikke er konvekse da kan MRS = -p 1 /p 2 være i lokalt minimum. 8. Efterspørgslen er det optimale forbrug ved givne priser og indkomst 9. Når vi varierer priser og indkomst får vi efterspørgselsfunktionen.
4 Figure 1:
5 Figure 2:
6 Figure 3:
7 Figure 4:
8 3 Perfekte substitutter / komplementer 1. To nemme specialtilfælde: 2. Perfekte substitutter 1:1. x 1 = m/p 1 hvis p 1 p 2 ;0ellers.(x 2 =?) 3. Perfekte komplementer 1:1. x 1 = m/(p 1 + p 2 ). (x 2 =?) 4. Hvordan findes efterspørgslen i mere generelle tilfælde?
9 Figure 5:
10 Figure 6:
11 4 Formulering af forbrugerens problem 1. Lad priser og indkomst være givne. Forbrugen vælger forbrug der maksimerer nytte givet budgetbegrænsning: 2. Maximér under bibetingelsen u(x 1,x 2 ). p 1 x 1 + p 2 x 2 m 3. Hvis præferencer er monotone kan vi skrive: 4. Maximer under bibetingelsen u(x 1,x 2 ) p 1 x 1 + p 2 x 2 = m.
12 5 Løsning af forbrugerens problem 1. Tre løsningsmetoder: (a) Løs to ligninger med to ubekendte: i. MRS(x 1,x 2 ) = ii. p 1 x 1 + p 2 x 2 = m. u(x 1,x 2 ) x 1 u(x 1,x 2 ) x 2 = p 1 p 2. (b) Substitution af budgetbetingelse ind i nyttefunktion: i. p 1 x 1 + p 2 x 2 = m x 2 = 1 p 2 (m p 1 x 1 ). ii. u(x 1,x 2 )=u(x 1, 1 p 2 (m p 1 x 1 )) = bu(x 1 ). iii. Maximér bu(x 1 ) mht. x 1.
13 (c) Lagrange metoden: i. Den generelle metode til maximering af funktion af flere variable under en eller flere bibetingelser: ii. max u(x 1,...,x n ),hvor iii. f 1 (x 1,...,x n )=b 1, iv...., v. f n (x 1,...,x n )=b m.
14 6 Maximering under bibetingelser: 2 variable, 1 bibetingelse 1. Problem: Maximér f(x, y) s.t. g(x, y) =c. 2. I optimum: Hældingen på tangenten til kurven g(x, y) = c lig med hældningen på tangenten til niveaukurven for f. 3. Hvorfor: Se figur! 4. Husk fra Kap. 4: For nyttefunktion u(x 1,x 2 ) da hældningen på indifferenskurve = MRS = u(x 1,x 2 ) x 1 u(x 1,x 2 ). x 2 5. Tilsvarende:
15 (a) Hældingen på tangenten til kurven g(x, y) =c er lig g(x,y) x g(x,y) y. (b) Hældingen på tangenten til niveaukurven for f er lig f(x,y) x f(x,y) y. g(x,y) 6. I optimum: x g(x,y) y f(x,y) = x f(x,y) y. 7. Fortegn ryger ud: g(x,y) x g(x,y) y = f(x,y) x f(x,y) y. 8. Dvs: Der findes λ så: g(x,y) x g(x,y) y = f(x,y) x f(x,y) y = λ.
16 7 Lagrange-funktionen 1. Metode: 2. Opskriv funktionen: L(x, y) =f(x, y) λ(g(x, y) c), hvor λ er en (ukendt) konstant. 3. Differentier L mht x og y og sæt afledede lig nul: (a) L(x,y) x (b) L(x,y) y = f(x,y) x = f(x,y) y λ g(x,y) x =0 λ g(x,y) y =0 4. Med disse to betingelser har vi nu: (a) f(x,y) x (b) f(x,y) y = λ g(x,y) x = λ g(x,y) y
17 (c) g(x, y) =0 5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x, y, λ. 6. Tekniske antagelser: (a) Hvis (x 0,y 0 ) er lokalt extremum da gælder Lagrangebetingelser, hvis: (b) f og g har kontinuerte partielle afledede i omegn af (x 0,y 0 ). (c) g(x,y) x og g(x,y) y ikke begge er nul. 7. NB: Betingelserne er nødvendige med ikke tilstrækkelig for maximum (kunne også være et minimum!). 8. Vigtigt i forbrugerteori: Hvis præferencer er strengt convekse (og budgetlinje naturligvis lineær), da betingelser tilstrækkelige.
18 8 Eksempel 1 1. Maximer u(x 1,x 2 )=x 1 x 2 s.t. 2x 1 + x 2 =1. 2. Opskriv Lagrangefunktion: L(x 1,x 1 ) = f(x 1,x 2 ) λ(g(x 1,x 2 ) c), = x 1 x 2 λ(2x 1 + x 2 1) hvor λ er en (ukendt) konstant. 3. Differentier L mht x 1 og x 2 og sæt afledede lig nul: (a) og L(x 1,x 2 ) x 1 = x 2 2λ =0 (b) L(x 1,x 2 ) x 2 = x 1 λ =0.
19 4. Med disse to betingelser har vi nu: (a) x 2 =2λ (b) x 1 = λ (c) 2x 1 + x 2 =1 5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x 1,x 2, λ: 6. x 2 =2λ og x 1 = λ x 2 =2x Indsæt i betingelse: 2x 1 +2x 1 =1 x 1 = x 2 = λ = 1 4.
20 9 Eksempel 2 1. Maximer u(x 1,x 2 )= x 1 +2 x 2 s.t. x 1 + x 2 = Opskriv Lagrangefunktion: L(x 1,x 2 )= x 1 +2 x 2 λ(x 1 + x 2 1), hvor λ er en (ukendt) konstant. 3. Differentier L mht x 1 og x 2 og sæt afledede lig nul: (a) L(x 1,x 2 ) 1 = x 1 2 λ =0 x 1 L(x 1,x 2 ) = 1 λ =0. x 2 x2 4. Med disse to betingelser har vi nu:
21 (a) 1 2 x 1 = λ (b) 1 x2 = λ (c) x 1 + x 2 =1 5. Løs tre ligninger med tre ubekendte x, y, λ: x 1 = 1 x2 2 x 1 = x 2 (2 x 1 ) 2 = ( x 2 ) 2 4x 1 = x Indsæt i betingelse: x 1 +4x 1 =1 5x 1 =1 8. x 1 = x 2 = λ = q 1 =
22 10 Økonomisk tolkning af Lagrange-multiplikatoren λ 1. Antag at x og y løser: max f(x, y) s.t. g(x, y) =c. 2. Lad f = f(x,y ) være maximum. 3. Betragt x = x (c) og y = y (c) some funktioner af c. 4. Betragt da også f som funktion af c: f (c) =f(x (c),y (c)). 5. f (c) kaldes værdifunktionen for problemet.
23 6. Man kan vise at: df (c) dc = λ(c). 7. Med ord: λ(c) = λ viser væksthastigheden for værdifunktionen med hensyn til begrænsningen c. 8. I Økonomi: (a) f er nyttefunktion eller profit. (b) c er ressourcebegrænsning, f.eks. budgetbegrænsning. (c) Da er λ(c)dc en tilnærmelse til stigning i nytte/profit som opnås ved at få dc > 0 mere af ressource. (d) Specielt: Hvis f er profit, da angiver λ(c) den marginale betalingsvillighed for en ekstra enhed af begrænset resource c.
24 11 Cobb-Douglas præferencer: Generelle tilfælde 1. Vi ønsker at finde efterspørgsel ved Cobb-Douglas nytter. 2. Forbrugers problem: max u(x 1,x 2 ) = x c 1 xd 2, s.t. x 1 p 1 + x 2 p 2 = m. Logaritmisk transformation: log x c 1 xd 2 = c log x 1 + d log x Opskriv Lagrangefunktion: L(x 1,x 2 )=c log x 1 +d log x 2 λ(x 1 p 1 +x 2 p 2 m) hvor λ er en (ukendt) konstant. 4. Differentier L mht x 1 og x 2 og sæt afledede lig nul:
25 (a) c 1 x 1 λp 1 = 0 d 1 x 2 λp 2 = 0 5. Med disse to betingelser har vi nu: (a) c = λp 1 x 1 (b) d = λp 2 x 2 (c) p 1 x 1 + p 2 x 2 = m 6. Løs tre lineære ligninger med tre ubekendte x 1,x 2, λ: 7. c = λp 1 x 1 og d = λp 2 x 2 c + d = λp 1 x 1 + λp 2 x 2 = λm.
26 8. Hvilket giver: λ = c + d m. 9. Indsæt : c = ³ c+d m p1 x 1 x 1 = c+d c p m Indsæt : d = ³ c+d m p2 x 2 x 2 = c+d d p m NB: Hvis Cobb-Douglas præferencer, da er budgetandele konstante ved budgetændringer.
27 12 Økonomisk tolkning af Lagrange-multiplikator: Cobb-Douglas eksemplet. 1. vi har: (a) x 1 (m) = (b) x 2 (m) = c c+d m p 1 d c+d m p 2 (c) λ(m) =λ = c+d m. (d) f (m) =c log( c c+d m p 1 )+d log( d c+d m p 2 ) (e) Tjek: df (m) dm = c m + d m = λ??? (f) Ja! Da λ = c+d m.
28 13 Anvendelse: Hvilken form for beskatning er mest hensigtsmæssig? 1. Vi sammenligner to former for beskatning: (a) Indkomstskat (b) Volumenafgift på en vare. 2. Initial budgetbegrænsning: p 1 x 1 + p 2 x 2 = m Budgetbegræsning med volumenafgift (vare 1): (p 1 + t)x 1 + p 2 x 2 = m, 3. Optimalt forbrug med volumenafgift: (p 1 + t)x 1 + p 2x 2 = m.
29 Figure 7:
30 4. Skatterevenue: tx Indkomstskat der giver samme revenue er derfor på tx Giver budgetbegrænsning: p 1 x 1 + p 2 x 2 = m tx Ny budgetlinje har samme hældning som initial budgetlinje. 8. Passerer igennem (x 1,x 2 ) da (p 1 + t)x 1 + p 2x 2 = m medfører p 1 x 1 + p 2x 2 = m tx 1.
31 9. ALTSÅ: (x 1,x 2 ) også opnåelig under budgetlinje ved indkomstskat. Forbrug ved indkomstskat er derfor mindst lige så godt som (x 1,x 2 ). 10. POINTE:Deteraltidbedstforforbrugerenatopkræve et givet beløb via indkomstskat. 11. Antagelser: (a) Argumentet ser på 1 forbruger i isolation. (b) Indkomst eksogen. Mere kompliceret hvis indkomstskatteniveau påvirker arbejdsudbud? (c) Ser ikke på udbudssiden af marked.
1 Kapitel 5: Forbrugervalg
1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. Budgetbegrænsninger. 2. Præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens valg. 1 2 Optimalt forbrug - gra sk fremstilling
Læs mereKapitel 4: Nyttefunktioner
Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte betragtet som en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten er kardinal: Størrelsen på nyttedifferencer har betydning.
Læs mereInstitut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet. Workshop. Opgave 1. = = 3x 2
Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet Workshop Opgave 1 Antag at en forbrugers nyttefunktion er givet ved u(, x ) x 3 1 x. Forbrugeren har derudover følgende budgetbetingelse:
Læs mereForbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel
Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel Jesper Breinbjerg Department of Business and Economics University of Southern Denmark Akademiet for Talentfulde Unge, 20. marts 2014 Jesper Breinbjerg Optimale
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereKapitel 4: Nyttefunktioner. Hvad er nytte? - det gamle syn:
Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte er en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten måles for eksempel på en skala fra 0 til 100. 3. Skalaen er kardinal:
Læs mereFigur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
Læs mereOversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Læs mereKapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere
Kapitel 3: Præferencer Hvordan skal vi modellere præferencer? 1. Paradigme (husk fra forrige kapitel): Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Vi har set på hvordan man kan
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereNote om interior point metoder
MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50
Læs mereNøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7
Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1
Læs mereKapitel 18: Virksomheders teknologi
December 9, 2008 Vi ønsker at beskrive de teknologiske begrænsninger som en virksomhed har. Vi har set på forbrugerteorien: Valg Præferencer/Nyttefunktioner: Valgkriterium Budgetmængden: Valgmuligheder
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mere1 Virksomheders teknologi (kapitel 18)
1 Virksomheders teknologi (kapitel 18) 1. Vi ønsker at beskrive de teknologiske begrænsninger som en virksomhed har. 2. Vi har set på nyttefunktioner indenfor forbrugerteorien. 3. Nu ser vi på "produktionsfunktioner".
Læs mereKapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere præferencer?
Kapitel 3: Præferencer Hvordan skal vi modellere præferencer? 1. Paradigme (husk fra forrige kapitel): Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Vi har set på hvordan man kan
Læs mereSubstitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer
Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion
Læs mere1 Virksomheders teknologi (kapitel 18)
1 Virksomheders teknologi (kapitel 18) 1. Vi ønsker at beskrive de teknologiske begrænsninger som en virksomhed har. 2. Vi har set på nyttefunktioner indenfor forbrugerteorien. 3. Nu ser vi på "produktionsfunktioner".
Læs mere1 Bytteøkonomier (kapitel 31)
1 Bytteøkonomier (kapitel 31) 1. Setup: Vi har en række forbrugere med hver deres initialbeholdning af en række goder. (a) Ren bytteøkonomi - ingen virksomheder - ingen produktion! (b) Vi har en "generel
Læs mereMASO Uge 9 Eksempler på Eksamensopgaver
MASO Uge 9 Eksempler på Eksamensopgaver Martin Søndergaard Christensen Eksamen 2013B Eksamen 2013B Opgave 2 Findes der komplekse tal z 1 og z 2 så z 1 + z 2 = 2, z 1 z 2 = 3 Eksamen 2013B Opgave 2 Findes
Læs mereOpgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs mere1 Bytteøkonomier (kapitel 30)
1 Bytteøkonomier (kapitel 30) 1. Setup: Vi har en række forbrugere med hver deres initialbeholdning af en række goder. (a) Ren bytteøkonomi - ingen virksomheder - ingen produktion! 2. Typiske spørgsmål:
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs mere1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU
ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII
Læs mereDen svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereRettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi
Rettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi 3 timers prøve med hjælpemidler, d. 1. Januar 009 Samtlige spørgsmål ønskes besvaret. Opgavens vægt i karaktergivningen er angivet ved hver opgave.
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereKapitel 3 Forbrugeradfærd
Emner Kapitel 3 orbrugeradfærd Præferencer udgetbegrænsning orbrugsvalg hapter 3: onsumer ehavior Slide Introduktion Virksomheder har brug for at kende forbrugeradfærd, når de prisfastsætter et produkt.
Læs mereOm hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mereUGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f
UGESEDDEL 10 LØSNINGER Theorem 1. Algoritme for løsning af max f(x, y) når g(x, y) c. Dan Lagrange-funktionen: L (x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c). Beregn de partielle afledte af L og kræv at de begge er nul:
Læs mereVIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium
VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereØKONOMISKE PRINCIPPER II
ØKONOMISKE PRINCIPPER II 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 2 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 18 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperii Introduktion Kapitel 18: Markederne for produktionsfaktorer
Læs mereOpgave 1: Mikro (20 point)
Københavns Universitet Det Naturvidenskablige Fakultet Økonomi 1, Matematik-Økonomi Studiet 4 timers prøve med hjælpemidler, 29. januar 2003. Alle opgaver skal besvares. Ved bedømmelsen vægtes alle spørgsmål
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereLøsningsforslag 7. januar 2011
Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen
Læs mereMATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB
MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet
Læs mereDesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Læs mereRatepensioner i Skat Nova 2015
Ratepensioner i Skat Nova 2015 18. maj 2016 Indhold 1 Beskrivelse felt 21 ratepension i Skat Nova 2015.8 og tidligere versioner... 2 1.1 Eksempel hvor den ene ægtefælle har virksomhed og herudover lønindkomst,
Læs mereOPGAVE 23 A (Robin Green) Spørgsmål 1
OPGAVE 23 A (Robin Green) Spørgsmål 1 12 Operating Costs 9 6 3 3 6 9 12 12 Maintenance Costs 9 6 3 3 6 9 12 12 Total Costs 9 6 3 3 6 9 12 Kommentarer til dataplot: (a) Stigende driftsomkostninger er associeret
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereSølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer
Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mere1 Monopoladfærd (25.1-25.7)
Monopoladfærd (25.-25.7). Vi har hidtil antaget at monopolisten tager en uniform pris. (a) konstant og samme stykpris til alle forbrugere. 2. Tre "klassiske" former for prisdiskriminering. (a) Pris-diskriminering
Læs mereDesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mere1 Virksomheders teknologi (kapitel 18)
1 Virksomheders teknologi (kapitel 18) 1. "Produktionsteori" har til formål at beskrive de teknologiske begrænsninger en virksomhed er underlagt. 2. Dette gøres ved "produktionsfunktioner". 3. Visse ligheder
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mere2. Funktioner af to variable
. Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum
Læs mere1 Monopoler (kapitel 24)
Monopoler (kapitel 24). Vi ser nu på et marked med én virksomhed. (a) Virksomheden sætter prisen p. Forbrugere tager derefter pris for givet og output bestemmes ved efterspørgselsfunktion D(p). (b) - eller
Læs merePrøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar
Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereVejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2006I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I
Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2006I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En inferiør vare er defineret som en vare, man efterspørger
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede
Læs mereManual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.
Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax
Læs mereDifferentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012
Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens
Læs mereTekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion
1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,
Læs mereKapitel 15: Markedsefterspørgsel
November 29, 2008 Indledning individuel efterspørgsel: maximering af nytte under budgetbegrænsning Ligevægt: udbud er lig efterspørgsel afgørende: den samlede efterspørgsel Centralt: hvordan afhænger efterspørgslen
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereIKKE-LINEÆR OPTIMERING
IKKE-LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Konvekse funktioner 1 2 Optimering uden bibetingelser 1 3 Optimering under bibetingelser givet ved ligheder 2 4 Optimering under bibetingelser givet
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereGamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereFACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i
1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen
Læs mereVejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi
Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given
Læs mereModul 5: Test for én stikprøve
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................
Læs mereProjekt 7.2. Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable
Projekt 7.. Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable Indhold 1. Eksempel: Kvadratet som en optimal figur (se C-bogen projekt ).... Eksempel: Øldåsen som en optimal figur (se B-bogen projekt
Læs mereBenyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007.
Formelsamling Noter til Fysik 3 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereKonjunkturteori I: Den statiske model. Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut Københavns Universitet
Konjunkturteori I: Den statiske model Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut Københavns Universitet 1 Agenda Lidt rammeantagelser Husholdningerne (den repræsentative husholdning) Nyttemax. valg af fritid
Læs mereOversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Læs merematematik-økonomi-studerende
matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi
MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012
Læs mereMich Tvede 29. januar 2003. Økonomisk Institut Københavns Universitet
Mich Tvede 29. januar 2003. Økonomisk Institut Københavns Universitet Lars Peter Østerdal 2. November 2004. 1 Forbrugere Opgave 1.1 1. Illustrer følgende budgetrestriktioner grafisk: a) p 1 =1,p 2 =1ogm
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Mathematical Statistics ST06: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 2: Mere om variansanalyse 2. Parreded observationer................................ 2.2 Faktor med 2 niveauer (0- variabel)........................
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
Læs mereLektion 6 Logaritmefunktioner
Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereGuide: Sådan søger du om folkepension
Guide: Sådan søger du om folkepension Log ind med NemID Log ind med NemID. Du skal taste dit bruger-id og din adgangskode. Klik på Næste. Log ind med NemID Find dit nøglekort, og skriv nummeret, der står
Læs mereSidste gang. Afsnit 5.5: (Ækvivalente) martingalmål. Fin1 11/3 2009 1
Sidste gang Afsnit 5.4: Betingede middelværdier; regneregler, fortolkning og eksempler. Martingaler. Variationer over dette har en betydelig tendens til at dukke op til eksamen. Afsnit 5.2: Finansielle
Læs mereAf Frithiof Hagen - Direkte telefon: 33 55 77 19 September 2000 HOVEDTRÆK I DEN TYSKE SKATTEREFORM
i:\september-2000\tysk-skat.doc Af Frithiof Hagen - Direkte telefon: 33 55 77 19 September 2000 HOVEDTRÆK I DEN TYSKE SKATTEREFORM RESUMÈ Tyskland har vedtaget en omfattende reform af person- og erhvervsbeskatningen.
Læs mereNote om Grossman-modellen. 1. Indledning: Giver det mening at tale om efterspørgsel efter sundhed?
Økonomi FSV 2015 Note om Grossman modellen, side 1 Note om Grossman-modellen 1. Indledning: Giver det mening at tale om efterspørgsel efter sundhed? Det forhold, at sundhed, hvad det end måtte være, ihvertfald
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereKursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition
Kursusgang 5 Repetition - froberg@math.aau.k http://people.math.aau.k/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 30. september 2008 1/15 Differenskvotient og Differentialkvotient
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mere1 Monopoler (kapitel 24)
Monopoler (kapitel 24). Vi har indtil nu fokusret på markeder med fuldkommen konkurrence: Virksomheder tager prisen for given. 2. Vi ser nu på et marked med én virksomhed. (a) Virksomheden sætter prisen
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereØKONOMISKE PRINCIPPER I
ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 4 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 4 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Kapitel 3 påpegede mulige gevinster ved
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5
Læs mereStatsgaranteret udskrivningsgrundlag
Statsgaranteret udskrivningsgrundlag giver sikkerhed under krisen Nyt kapitel Resumé For 2013 har alle kommuner for første gang valgt at budgettere med det statsgaranterede udskrivningsgrundlag. Siden
Læs mereMini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Læs mereInvestering og den intertemporale konjunkturmodel. Økonomisk Institut, Københavns Universitet. Konjunkturteori II: Carl-Johan Dalgaard
Konjunkturteori II: Investering og den intertemporale konjunkturmodel Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut, Københavns Universitet OVERBLIK OVER GENNEMGANGEN 1. Den repræsentative virksomheds problem
Læs mereOpgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med
Læs mere