MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

Transkript

1 MM502+4 forelæsningsslides uge 6,

2 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x, y) f 2 (x, y) := lim k 0 k f 1 (x, y) hedder den partielle afledede af f(x, y) i x-retningen, f 2 (x, y) hedder den partielle afledede af f(x, y) i y-retningen. Man bestemmer f 1 (x, y) ved at opfatte y-variablen i f(x, y) som en konstant, hvorved f(x, y) bliver en funktion i een variabel x, som nu differentieres på sædvanlig vis. På tilsvarende måde bestemmes f 2 (x, y). Notationer: For en funktion z = f(x, y) i 2 variable benyttes erne: f 1 (x, y) = z f(x, y) = x x = f x(x, y) = D 1 f(x, y) f 2 (x, y) = z f(x, y) = y y = f y(x, y) = D 2 f(x, y) Notationer: Evaluering af partielle afledede i et punkt (a, b): ( ) f 1 (a, b) = f(x, y) = z = f x (a, b) = D 1 f(a, b) x (a,b) x (a,b) ( ) f 2 (a, b) = f(x, y) = z = f y (a, b) = D 2 f(a, b) y (a,b) y (a,b) 2

3 Definition partielle afledede: For en funktion i flere end to variable, fx. f(x, y, z) eller f(x 1, x 2,..., x n ), defineres de partielle afledede f 1 (x, y, z) = x f(x, y, z), f 2(x, y, z) = y f(x, y, z), f 3(x, y, z) = f(x, y, z) z hhv. f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = x 1 f(x 1, x 2,..., x n ), f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = x 2 f(x 1, x 2,..., x n ), f n (x 1, x 2,..., x n ) = f(x 1, x 2,..., x n ) x n helt analogt! Tangentplan og normallinie til grafen for f(x, y): Tangentplanen til grafen for f(x, y) i punktet (a, b) er udspændt af de to retningsvektorer T 1 = i + f 1 (a, b)k, T 2 = j + f 2 (a, b)k. Normalvektoren n til tangentplanen er vinkelret på T 1 og T 2, og kan således bestemmes til at være n = f 1 (a, b)i + f 2 (a, b)j k. Tangentplanen til grafen for f(x, y) i punktet (a, b) går igennem punktet (a, b, f(a, b)) og har normalvektor n, og har derfor ligningen f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) + ( 1)(z f(a, b)) = 0, som kønnere kan skrives på formen: z = f(a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b). Normallinien til grafen for f(x, y) i punktet (a, b) går gennem punktet (a, b, f(a, b)) og har retningsvektor n, og har derfor parameterfremstillingen (a, b, f(a, b)) + t n, eller og ligningerne (a + tf 1 (a, b))i + (b + tf 2 (a, b))j + (f(a, b) t)k, t R, x a f 1 (a, b) = y b f 2 (a, b) z f(a, b) =, 1 (sidstnævnte forudsætter, at f 1 (a, b) 0 og f 2 (a, b) 0). 3

4 Definition Højere partielle afledede: For en funktion z = f(x, y) af to variable defineres de højere afledede bla. som følger: 2 z := z x 2 x x 2 z := z y 2 y y 2 z := z x y x y 2 z y x := z y x 3 z := 2 z x 2 y x x y = f 11 (x, y) = f xx (x, y) = f 22 (x, y) = f yy (x, y) = f 21 (x, y) = f yx (x, y) = f 12 (x, y) = f xy (x, y) = f 211 (x, y) = f yxx (x, y) Theorem 1: Hvis f(x, y) er en funktion af to variable, hvis P = (a, b) er et punkt i domænet for f(x, y), og hvis de partielle afledede 2 x y f(x, y) og 2 f(x, y) y x findes og er kontinuerte i en omegn af punktet P, da er 2 f(a, b) = 2 x y f(a, b). y x Denne sætning betyder, at vi under passende, men ikke særligt strenge betingelser på f(x, y) kan ombytte differentiationsrækkefølgen. Også for funktioner af flere end to variable. Bla. er 4 x y z x f(x, y, z) = 4 f(x, y, z), x 2 y z hvis alle de involverede højere partielle afledede findes og er kontinuerte. 4

5 Kæderegel, Version I: Hvis f(x, y) er en funktion i 2 variable og u(t) og v(t) er funktioner i en variabel, hvis f(x, y), u(t) og v(t) er differentiable, og hvis g(t) := f(u(t), v(t)), da er g(t) differentiabel og g (t) = f 1 (u(t), v(t)) u (t) + f 2 (u(t), v(t)) v (t) = f ( ) u(t), v(t) du f ( ) (t) + u(t), v(t) dv x dt y dt (t). Reglen kan omformuleres ved at bruge z istedet for f(x, y): Hvis z afhænger differentiabelt af x og y, og hvis x og y begge afhænger differentiabelt af en parameter t, da er dz dt = z dx x dt + z dy y dt. 5

6 Kæderegel, Version II: Hvis f(x, y) er en funktion i 2 variable og u(s, t) og v(s, t) er funktioner i to variable, hvis f(x, y), u(s, t) og v(s, t) er differentiable, og hvis g(s, t) := f ( u(s, t), v(s, t) ), da er g(s, t) differentiabel og ( ) u g 1 (s, t) = f 1 u(s, t), v(s, t) s (s, t) + f 2(u(s, t), v(s, t)) v (s, t) s = f ( ) u f ( ) v u(s, t), v(s, t) (s, t) + u(s, t), v(s, t) (s, t). x s y s ( ) u g 2 (s, t) = f 1 u(s, t), v(s, t) (s, t) = f x ( u(s, t), v(s, t) ) u t t (s, t) + f 2(u(s, t), v(s, t)) v t f (s, t) + y ( ) v u(s, t), v(s, t) (s, t). t Også her kan reglen omformuleres ved at bruge z istedet for f(x, y): Hvis z afhænger differentiabelt af x og y, og hvis x og y begge afhænger differentiabelt af variable s og t, da er z s = z x x s + z y y s og z t = z x x t + z y y t Linearisering: Lineariseringen af en funktion f(x, y) i to variable i punktet (a, b) er funktionen L(x, y) = f(a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b). Lineariseringen er defineret, hvis de partielle afledede f 1 (a, b) og f 2 (a, b) findes. Ligning for tangentplan: z = L(x, y) Ligning for graf: z = f(x, y) Vi forventer, at f(x, y) L(x, y) når (x, y) er tæt på (a, b). 6

7 Gradient definition: Til en funktion f(x, y), som har første partielle afledede, defineres gradienten ved f(x, y) = f 1 (x, y)i + f 2 (x, y)j Bemærk, at gradienten f(x, y) er en vektor. Den benævnes også gradf(x, y). Theorem 6 Hvis f(x, y) er differentiabel i punktet (a, b) og hvis f(a, b) 0, da er f(a, b) vinkelret på niveaukurven gennem (a, b). f(x, y) vokser mest i retningen f(a, b), f(x, y) aftager mest i retningen f(a, b), f(x, y) er konstant langs niveaukurven gennem (a, b) Retningsafledede definition: Antag at f(x, y) er differentiabel i punktet (a, b). Til enhver enhedsvektor u = (u, v) defineres den retningsafledede af f(x, y) i retningen u ved D u f(a, b) = lim t 0 f(a + tu, b + tv) f(a, b) t Den retningsafledede u f(a, b) kaldes også rate of change i retningen u. Hvis f(x, y) er differentiabel i (a, b), så findes den retningsafledede i hver retning u, og den er i bekræftende fald bestemt ved D u f(a, b) = u f(a, b) Rate of change i retningen bestemt ved f(a, b) er lig med f(a, b) : D u f(a, b) = f(a, b), når u = f(a, b)/ f(a, b) D i f(a, b) = f 1 (a, b), D j f(a, b) = f 2 (a, b), D i f(a, b) = f 1 (a, b). D j f(a, b) = f 2 (a, b). 7

8 Gradient i 3 eller flere dimensioner definition: Gradienten af en funktion f(x 1, x 2,..., x n ) i n variable, som har alle første afledede, defineres ved f(x 1, x 2,..., x n ) = f x 1 e 1 + f x 2 e f x n e n Her er e 1, e 2,..., e n enhedsvektorer langs koordinatretningerne. Specielt, hvis f(x, y, z) er en funktion i 3 variable, har vi f(x, y, z) = f x i + f y j + f z k Også her kan vi tale om retningsafledede og rate of change, som vi i tre dimensioner kan definere ved D u f(a, b, c) = u f(x, y, z) Funktionen f(x, y, z) vokser mest i retningen bestemt ved f, den aftager mest i retningen f, og f er vinkelret på niveaufladerne for f(x, y, z). 8