MASO Uge 9 Eksempler på Eksamensopgaver
|
|
|
- Christen Jensen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MASO Uge 9 Eksempler på Eksamensopgaver Martin Søndergaard Christensen
2 Eksamen 2013B
3 Eksamen 2013B Opgave 2 Findes der komplekse tal z 1 og z 2 så z 1 + z 2 = 2, z 1 z 2 = 3
4 Eksamen 2013B Opgave 2 Findes der komplekse tal z 1 og z 2 så z 1 + z 2 = 2, z 1 z 2 = 3 Skrives om på første ligning og substituerer med den anden: z1 2 2z 1 + z 1 z 2 = 0 z1 2 2z = 0
5 Eksamen 2013B Opgave 2 Findes der komplekse tal z 1 og z 2 så z 1 + z 2 = 2, z 1 z 2 = 3 Skrives om på første ligning og substituerer med den anden: z 2 1 2z 1 + z 1 z 2 = 0 z 2 1 2z = 0 Andengradsligningen har løsningerne z 1 = 2 ± ( 2) = 2 ± 8 2 = 1 ± i 2.
6 Teori brush-up Theorem Lad f : R n R n være en C 1 funktion, og lad x 0 R n være et punkt så determinanten f (x 0 ) 0. Sæt y 0 = f (x 0 ). Da findes en C 1 funktion g : R n R n, defineret i nærheden af y 0, så g er invers til f i nærheden af y 0 og x 0.
7 Teori brush-up Theorem Lad f : R n R n være en C 1 funktion, og lad x 0 R n være et punkt så determinanten f (x 0 ) 0. Sæt y 0 = f (x 0 ). Da findes en C 1 funktion g : R n R n, defineret i nærheden af y 0, så g er invers til f i nærheden af y 0 og x 0. Altså, hvis x x 0 og y y 0 gælder f ( g(y) ) = y, g ( f (x) ) = x
8 Opgave 3 Lad f : R 5 R 2 være givet ved ( ) x1 y f (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ) = 1 + x 3. x 1 x 2 + x 2 y 2 (a) Find Jacobi matricen for f.
9 Opgave 3 Lad f : R 5 R 2 være givet ved ( ) x1 y f (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ) = 1 + x 3. x 1 x 2 + x 2 y 2 (a) Find Jacobi matricen for f. Differentierer vi, fås: ( ) f y1 0 1 x (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ) = 1 0 x 2 x 1 + y x 2
10 Opgave 3 Lad f : R 5 R 2 være givet ved ( ) x1 y f (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ) = 1 + x 3. x 1 x 2 + x 2 y 2 (a) Find Jacobi matricen for f. (b) Vis at (1, 1, 1, 1, 1) er invertibel. f (y 1,y 2 )
11 Opgave 3 Lad f : R 5 R 2 være givet ved ( ) x1 y f (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ) = 1 + x 3. x 1 x 2 + x 2 y 2 (a) Find Jacobi matricen for f. (b) Vis at (1, 1, 1, 1, 1) er invertibel. f (y 1,y 2 ) f (1, 1, 1, 1, 1) = (y 1, y 2 ) ( )
12 Opgave 3 Lad f : R 5 R 2 være givet ved ( ) x1 y f (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ) = 1 + x 3. x 1 x 2 + x 2 y 2 (a) Find Jacobi matricen for f. (b) Vis at (1, 1, 1, 1, 1) er invertibel. f (y 1,y 2 ) (c) Gør rede for at F : R 5 R 5 givet ved F (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ) = (x 1, x 2, x 3, f (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 )) er invertibel nær (1, 1, 1, 1, 1) og (1, 1, 1, 2, 2).
13 Opgave 3 Lad f : R 5 R 2 være givet ved ( ) x1 y f (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ) = 1 + x 3. x 1 x 2 + x 2 y 2 (a) Find Jacobi matricen for f. (b) Vis at (1, 1, 1, 1, 1) er invertibel. f (y 1,y 2 ) (c) Gør rede for at F : R 5 R 5 givet ved F (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ) = (x 1, x 2, x 3, f (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 )) er invertibel nær (1, 1, 1, 1, 1) og (1, 1, 1, 2, 2) detf (1, 1, 1, 1, 1) = det =
14 Opgave 3 Lad f : R 5 R 2 være givet ved ( ) x1 y f (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ) = 1 + x 3. x 1 x 2 + x 2 y 2 (a) Find Jacobi matricen for f. (b) Vis at (1, 1, 1, 1, 1) er invertibel. f (y 1,y 2 ) (c) Gør rede for at F : R 5 R 5 givet ved F (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ) = (x 1, x 2, x 3, f (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 )) er invertibel nær (1, 1, 1, 1, 1) og (1, 1, 1, 2, 2). (d) Vis at der findes en C 1 funktion g : R 5 R 5, defineret nær (1, 1, 1, 2, 2) så (f g)(u 1, u 2, u 3, v 1, v 2 ) = (v 1, v 2 )
15 Husk fra forrige opgave at der findes en funktion g : R 5 R 5 defineret i nærheden af (1, 1, 1, 2, 2) så F (g(y)) = y. Altså hvis (u 1, u 2, u 3, v 1, v 2 ) er tæt på (1, 1, 1, 2, 2) så gælder at F ( g(u 1, u 2, u 3, v 1, v 2 ) ) = (u 1, u 2, u 3, v 1, v 2 ). Skriv g(u 1, u 2, u 3, v 1, v 2 ) = (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ). Ser vi på ovenstående ligning og forskriften for F, gælder altså at ( x1, x 2, x 3, f (x 1, x 2, x 3, y 1, y 2 ) ) = (u 1, u 2, u 3, v 1, v 2 ), med andre ord (f g)(u 1, u 2, u 3, v 1, v 2 ) = (v 1, v 2 ).
16 Teori brush-up Theorem Lad f : R n+m R m være en C 1 -funktion og betragt ligningen f (x, y) = 0, (x R n, y R m ). Lad (x 0, y 0 ) R n+m være en løsning og antag at f (x 0, y 0 ) y 0. Da findes en C 1 -funktion g : R n R m så g(x) = y, når y y 0 og x x 0.
17 Teori brush-up Theorem Lad f : R n+m R m være en C 1 -funktion og betragt ligningen f (x, y) = 0, (x R n, y R m ). Lad (x 0, y 0 ) R n+m være en løsning og antag at f (x 0, y 0 ) y 0. Da findes en C 1 -funktion g : R n R m så g(x) = y, når y y 0 og x x 0. Desuden gælder ( ) g f 1 ( ) f x = y x
18 Teori Brush-up Optimerings opskrift Antag at du vil maksimere f : R n R under bi-betingelsen g(x 1,..., x n ) b. Betragt Lagrange-funktionen L(x) = f (x) λg(x) Hvis der findes et punkt x 0 R n der maksimerer f, så løser x 0 ligningerne L(x 0 ) x i = f (x 0) x i λ g(x 0) x i = 0, (1 i n) med λ 0 (men λ = 0 hvis g(x 0 ) < b), og g(x 0 ) b
19 Eksamen 2012A, Opgave 4 Opgave 4 Alice bruger alle sine penge på vare 1 og vare 2. Hun køber x 1 enheder af vare 1 til prisen p 1 og x 2 enheder af vare 2 til prisen p 2. Hun arbejder T timer i løbet af hele livet, bortset fra L timer hvor hun holder fri, til lønnen w pr. arbejdstime efter skat. Funktionen f (x 1, x 2, L) måler hendes udbytte ved forbrug af x 1 enheder af vare 1, x 2 enheder af vare 2 og ved at holde fri i L timer.
20 Eksamen 2012A, Opgave 4 Opgave 4 Alice bruger alle sine penge på vare 1 og vare 2. Hun køber x 1 enheder af vare 1 til prisen p 1 og x 2 enheder af vare 2 til prisen p 2. Hun arbejder T timer i løbet af hele livet, bortset fra L timer hvor hun holder fri, til lønnen w pr. arbejdstime efter skat. Funktionen f (x 1, x 2, L) måler hendes udbytte ved forbrug af x 1 enheder af vare 1, x 2 enheder af vare 2 og ved at holde fri i L timer. Delopgave (a) Hvad har følgende maksimeringsproblem at gøre med Alices liv?: Maksimér f (x 1, x 2, L) under bibetingelsen g(x 1, x 2, L) = p 1 x 1 + p 2 x 2 + w(l T ) = 0.
21 Delopgave (b) Begrund at Lagrangebetingelserne for ovenstående maksimeringsproblem er p 1 x 1 + p 2 x 2 + w(l T ) = 0 f x 1 λp 1 = 0 f x 2 λp 2 = 0 f L λw = 0
22 Delopgave (c) Forklar hvorfor Lagrange betingelserne har en løsning på formen x 1 x1 (p 1, p 2, w) x 2 L = x2 (p 1, p 2, w) L (p 1, p 2, w) λ λ (p 1, p 2, w) i nærheden af en given løsning hvis eller matricen er invertibel. H = p 1 p 2 w 0 2 f L x 1 p 1 2 f L x 2 p 2 w 2 f x 1 x 1 2 f x 1 x 2 2 f x 1 L 2 f x 2 x 1 2 f x 2 x 2 2 f x 2 L 2 f L L
23 Bemærk at Lagrange betingelserne kan skrives på formen hvor F : R 7 R 4 er givet ved F (x 1, x 2, L, λ, p 1, p 2, w) = 0, p 1 x 1 + p 2 x 2 + w(l T ) f F (x 1, x 2, L, λ, p 1, p 2, w) = x 1 λp 1 f x 2 λp 2. f L λw Her bemærkes det at H = F (x 1, x 2, L, λ), hvorfor det ønskede følger af sætningen om implicit givne funktioner.
24 Delopgave (d) Redegør for ligningerne H (p 1, p 2, w) (p 1, p 2, w) x1 x2 L λ x1 x2 L λ = x1 x2 T L λ λ 0 (1) 0 0 λ x1 x2 T L = H 1 λ λ λ (2)
25 Delopgave (d) Redegør for ligningerne H (p 1, p 2, w) (p 1, p 2, w) x1 x2 L λ x1 x2 L λ = x1 x2 T L λ λ 0 (1) 0 0 λ x1 x2 T L = H 1 λ λ λ Bemærk at ligningerne (1) og (2) er ækvivalente. Ligning (2) følger direkte af sætningen om implicit givne funktioner. (2)
26 Delopgave (e) Vis at L w = (H 1 ) 31 (T L ) + (H 1 ) 34 λ.
27 Delopgave (e) Vis at L w = (H 1 ) 31 (T L ) + (H 1 ) 34 λ. Fra delopgave (d) har vi: x1 x1 x1 p 1 p 2 w x2 x2 x (H 1 ) 11 (H 1 ) 12 (H 1 ) 13 (H 1 ) 14 2 p 1 p 2 w L L L p 1 p 2 w = (H 1 ) 21 (H 1 ) 22 (H 1 ) 23 (H 1 ) 24 (H 1 ) 31 (H 1 ) 32 (H 1 ) 33 (H 1 ) 34 λ λ λ (H 1 ) 41 (H 1 ) 42 (H 1 ) 43 (H 1 ) 44 p 1 p 2 w x1 x2 T L λ λ λ
28 Delopgave (e) Vis at L w = (H 1 ) 31 (T L ) + (H 1 ) 34 λ. Fra delopgave (d) har vi: x1 x1 x1 p 1 p 2 w x2 x2 x (H 1 ) 11 (H 1 ) 12 (H 1 ) 13 (H 1 ) 14 2 p 1 p 2 w L L L p 1 p 2 w = (H 1 ) 21 (H 1 ) 22 (H 1 ) 23 (H 1 ) 24 (H 1 ) 31 (H 1 ) 32 (H 1 ) 33 (H 1 ) 34 λ λ λ (H 1 ) 41 (H 1 ) 42 (H 1 ) 43 (H 1 ) 44 p 1 p 2 w x1 x2 T L λ λ λ
29 Delopgave (f) Alice s arbejdsløn efter skat ændrer sig ganske lidt fra w til w + w. Giv et estimat af Alices fritid L (w + w) med den nye indkomst. Er det klart at Alice vil arbejde mere, hvis hun får mere i løn efter skat?
30 Delopgave (f) Alice s arbejdsløn efter skat ændrer sig ganske lidt fra w til w + w. Giv et estimat af Alices fritid L (w + w) med den nye indkomst. Er det klart at Alice vil arbejde mere, hvis hun får mere i løn efter skat? L (w + w) L (w) + L w w
31 Delopgave (g) Hvor har vi vist at x1 p 1 w + p x1 2 w + w x 1 w = T L.
32 Delopgave (g) Hvor har vi vist at x1 p 1 w + p x1 2 w + w x 1 w = T L. I opgave (d): x p 1 p 2 w 0 1 x1 x1 2 f 2 f 2 f x 1 x 1 x 2 x 1 L x 1 p 1 p 1 p 2 w x2 x2 x 2 2 f 2 f 2 f p x 1 x 2 x 2 x 2 L x 2 p 2 1 p 2 w L L L 2 f 2 f 2 p 1 p 2 w f x 1 L x 2 L L L w λ λ λ p 1 p 2 w x1 x2 T L = λ λ λ
33 Delopgave (h) En (velkendt?) matematisk sætning siger at f (x 1, x 2, L ) w = f x1 x 1 w + f x2 x 2 w + f L L w. Hvilken?
34 Delopgave (h) En (velkendt?) matematisk sætning siger at f (x 1, x 2, L ) w = f x1 x 1 w + f x2 x 2 w + f L L w. Hvilken? Kædereglen: f (x 1, x 2, L ) w = ( f x 1 f x 2 f L ) x1 w x2 w L w
35 Delopgave (i) Økonomer tolker Lagrangemultiplikatoren som den marginal nytte af arbejdslønnen per arbejdstime. Dermed mener de at λ = Hvorfor er det rigtigt? 1 f (x1, x 2, L ) T L. w Ved hjælp af flere af de tidligere delopgaver får vi at: f (x 1, x 2, L ) w = (h) f x1 x 1 w + f x2 x 2 w + f L = (b) λ x1 (p 1 w + p 2 = (g) λ (T L ) L w x 1 w + w x 1 w )
MASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
IKKE-LINEÆR OPTIMERING
IKKE-LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Konvekse funktioner 1 2 Optimering uden bibetingelser 1 3 Optimering under bibetingelser givet ved ligheder 2 4 Optimering under bibetingelser givet
UGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f
UGESEDDEL 10 LØSNINGER Theorem 1. Algoritme for løsning af max f(x, y) når g(x, y) c. Dan Lagrange-funktionen: L (x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c). Beregn de partielle afledte af L og kræv at de begge er nul:
MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Statisk Optimering. Jesper Michael Møller
Statisk Optimering Jesper Michael Møller Matematisk Institut, Universitetsparken 5, DK 2100 København E-mail address: moller@mathkudk URL: http://wwwmathkudk/~moller Indhold Kapitel 1 Ikke-lineær optimering
1 Kapitel 5: Forbrugervalg
1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. Budgetbegrænsninger. 2. Præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens valg. 1 2 Optimalt forbrug - gra sk fremstilling
Statisk Optimering. Jesper Michael Møller
Statisk Optimering Jesper Michael Møller Matematisk Institut, Universitetsparken 5, DK2100 København E-mail address: moller@mathkudk URL: http://wwwmathkudk/~moller Indhold Kapitel 1 Ikke-lineær optimering
LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.
LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer
UGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
1 Kapitel 5: Forbrugervalg
1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. budgetbegrænsninger 2. præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens optimale valg. 2 Optimalt forbrug - grafisk fremstilling
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Statisk Optimering. Jesper Michael Møller
Statisk Optimering Jesper Michael Møller Matematisk Institut, Universitetsparken 5, DK 2100 København E-mail address: moller@mathkudk URL: http://wwwmathkudk/~moller Indhold Kapitel 1 Ikke-lineær optimering
MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært
Note om interior point metoder
MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel
Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel Jesper Breinbjerg Department of Business and Economics University of Southern Denmark Akademiet for Talentfulde Unge, 20. marts 2014 Jesper Breinbjerg Optimale
Gamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Lineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Gamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
MASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n
3. oktober EXPL 1 Eksempel 1. Et par talfølger: (1 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 MASO-Eksempler,,,,,,..., n =, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., n = 1 1,, 1,, 1,, 1,..., n = (1 + ( 1 n /,, 1,,,, 3,..., n = n(1 + ( 1 n /4, 1,
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
DOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet. Workshop. Opgave 1. = = 3x 2
Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet Workshop Opgave 1 Antag at en forbrugers nyttefunktion er givet ved u(, x ) x 3 1 x. Forbrugeren har derudover følgende budgetbetingelse:
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning
x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Matematik A-niveau Delprøve 1
Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±
Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Ekstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver
Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej
Implicit givne og inverse funktioner
Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.
Opgaver til Kapitel 6 MatB
Opgave 1 En funktion i to variable er givet ved f (, ) = + 5 + 0 Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(200) og N(400) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver
Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She
Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning
Årsplan i matematik klasse
32-36 Brøker og Én brøk - forskellige betydninger en helhed ved hjælp af brøker. en helhed ved hjælp af brøker. Eleven kan bruge brøker til at beskrive forholdet mellem to størrelser. Eleven kan argumentere
MM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
gl-matematik B Studentereksamen
gl-matematik B Studentereksamen gl-1stx121-mat/b-25052012 Fredag den 25. maj 2012 kl. 9.00-13.00 Side 1 af 5 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i
Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej
Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale
Regning med funktioner - TAVLENOTER
Sammensat funktion [Elevsamtaler] Jens Thostrup, GUX Nuuk 1 FACIT b) 1 og 3 er de eneste løsninger, der optræder i tabellen Jens Thostrup, GUX Nuuk 2 Regningsarter for funktioner Sumfunktion: (f+g)(x)
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Optimering i Moderne Portefølje Teori
Aalborg universitet P3-3. semestersprojekt Optimering i Moderne Portefølje Teori 15. december 2011 AAUINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Optimering - Lineær programmering - Moderne Portefølje Teori PROJEKT
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
MM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 7, 2009 Produceret af Hans J Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 Definition kritisk punkt: funktion f(x, y) er et kritisk punkt
Lineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
UGESEDDEL 12 LØSNINGER. x
UGESEDDEL 2 LØSNINGER Opgave Betragt ligningssystemet af formen Ax = b: ( ) 2 x ( ) x 2 2 =. 4 x Der eksisterer ingen løsning x = (x, x 2, x ) 0, thi venstresiden i første ligning er da 0, medens højresiden
matematik-økonomi-studerende
matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:
Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7
Træningsopgaver 1 Indhold Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Ligninger Opgave L0) Opgave L1) Opgave L2) a) 2x 5 5x 7 b) 3x 7 3x 11 c) 3 (2x 3) 2( x 1) d) En funktion
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: 333247 2015 Projekt Matematik B-niveau Differentialregning Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Kddafi, Zehra Köse og Tobias Winberg Indledning I dette
Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Differentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Exponentielle familer, ark 2
1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Antag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Forbrug og rente. Danmarks Statistik. Henrik Olesen 29. august 2000 Michael Andersen N. Arne Dam
Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Henrik Olesen 29. august 2000 Michael Andersen N. Arne Dam Forbrug og rente 5HVXPp Papiret skitserer nogle forskellige metoder, som medfører, at renten vil
MM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.
4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Pristilpasningen i ADAM, I
Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Erik Bjørsted 16. november 1999 Pristilpasningen i ADAM, I Resumé: Papiret søger at erstatte sektorprisligningerne i ADAM, maj98, med estimerede ligninger
Om Inflation and Unemployment : Nærmere detaljer vedr. pris- og lønfastsættelsen og deres relation
Makroøkonomi 1, 25/11 2003 Henrik Jensen Om Inflation and Unemployment : Nærmere detaljer vedr. pris- og lønfastsættelsen og deres relation Prisfastsættelsen Modelantagelser: Monopolistisk konkurrence
Matematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Differentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Lineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Klaus
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår19, eksamen S19 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Matematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.
Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen
Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Matematik A Delprøven uden hjælpemidler
Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 009 HHX091-MAA Matematik A Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse
Varmeligningen og cosinuspolynomier.
Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen
Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Symmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Nøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Matematik A. Højere handelseksamen. Gammel ordning. Mandag den 17. december 2018 kl gl-hhx183-mat/a
Matematik A Højere handelseksamen Gammel ordning gl-hhx183-mat/a-17122018 Mandag den 17. december 2018 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/55/37584246.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Fredag den 12. december Kl HFE083-MAB
HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK B-NIVEAU Fredag den 12. december 2008 Kl. 09.00 13.00 HFE083-MAB Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med