Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul"

Transkript

1 Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Karsten Juul

2 DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik? Hvad er grupperede og ugrupperede data? Eksempel pä ugrupperede data Eksempel pä grupperede data...1 UGRUPPEREDE DATA 2.1 Hvordan udregner vi middeltal for ugrupperede data? Hvordan finder vi medianen for ugrupperede data? Hvordan finder vi kvartilsåttet for ugrupperede data? Hvis der er et midterste tal Hvis der ikke er et midterste tal Hvordan tegner vi et boksplot? Hvordan sammenligner vi boksplot? opgave opgave opgave....3 GRUPPEREDE DATA 3.1 Hvordan tegner vi et histogram? Et grupperet datasåt er en model af virkeligheden der er meget forenklet Hvordan tegner vi en sumkurve? Hvis der er oplyst procent for hvert interval Hvis der er oplyst antal for hvert interval Hvis start-tal og/eller slut-tal mangler Hvordan aflåser vi pä en sumkurve? Hvor mange procent af rçrene er UNDER 3,7 meter? Hvor mange procent af rçrene er OVER 5,5 meter? Hvor mange procent af rçrene er MELLEM 3,7 og 5,5 meter? Hvor mange procent af rçrene er LIG 3,7 meter ELLER DERUNDER? Hvordan finder vi medianen for grupperede data? Hvordan finder vi kvartilsåttet for grupperede data? Nedre kvartil Évre kvartil KvartilsÅt Middeltal for grupperede data när antal (hyppighed) er oplyst Middeltal for grupperede data när procent (frekvens) er oplyst Hvordan grupperer vi data? Hvor brede skal vi gçre intervallerne när vi grupperer data? Sumkurve og lineår sammenhång...9 BESVARELSER SKREVET I NSPIRE Besvarelser skrevet i Nspire Deskriptiv statistik for C-niveau i hf, Ñ 2015 Karsten Juul 1/ Nyeste version af dette håfte kan downloades fra HÅftet mä benyttes i undervisningen hvis låreren med det samme sender en til som oplyser at dette håfte benyttes og oplyser hold, niveau, lårer og skole.

3 1.1 Hvad er deskriptiv statistik? DESKRIPTIV STATISTIK Deskriptiv statistik er metoder til at fä overblik over tal vi har indsamlet. De tal vi har indsamlet, kalder vi data. 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data? Hvis der er mange forskellige data, sä grupperer vi dem i intervaller Eksempel pä ugrupperede data. Vi har talt antallet af bår i 15 pakker. Antal bår i en pakke: Eksempel pä grupperede data. Vi har vejet 200 frugter: Mellem 100 og 110 gram: 16 frugter Mellem 110 og 120 gram: 68 frugter Mellem 120 og 130 gram: 90 frugter Mellem 130 og 140 gram: 26 frugter UGRUPPEREDE DATA 2.1 Hvordan udregner vi middeltal for ugrupperede data? For grupperede data skal vi gçre noget andet. Se afsnit 3.7 pä side 9. Middeltallet for nogle tal er det vi plejer at kalde gennemsnittet. Vi kan udregne middeltallet ved at lågge tallene sammen og dividere resultatet med antallet af tal. I 7 prçver opnäede en elev fçlgende pointtal: SÄdan udregner vi middeltallet: , Middeltallet for elevens pointtal er 7, Hvordan finder vi medianen for ugrupperede data? For grupperede data skal vi gçre noget helt andet. Se afsnit 3.5 pä side 8. En klasse har haft en prçve. De 17 elever fik fçlgende point: Vi ordner disse tal efter stçrrelse sä tallet til venstre er mindst: Vi ser at det midterste af tallene er 48. Man siger at tallenes median er 48. Antag at der i stedet havde våret et lige antal tal: Da der er et lige antal tal, er der ikke et tal der stär i midten. I stedet udregner vi gennemsnittet af de to midterste tal: 5 6 5,5. 2 Man siger at tallenes median er 5,5. Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

4 2.3 Hvordan finder vi kvartilsåttet for ugrupperede data? For grupperede data skal vi gçre noget helt andet. Se afsnit 3.6 pä side Hvis der er et midterste tal: Medianen for tallene til venstre for det midterste tal kalder vi nedre kvartil. Dvs. nedre kvartil er 27. Medianen for tallene til hçjre for det midterste tal kalder vi Çvre kvartil. Dvs. Çvre kvartil er 57. NÄr vi taler om kvartilsåttet for nogle tal, sä mener vi de tre tal nedre kvartil, median og Çvre kvartil, dvs. kvartilsåttet for tallene ovenfor er de tre tal 27, 48, Hvis der ikke er et midterste tal: Medianen for den venstre halvdel af tallene kalder vi nedre kvartil. Dvs. nedre kvartil er 3,5. Medianen for hçjre halvdel af tallene kalder vi Çvre kvartil. Dvs. Çvre kvartil er 7. KvartilsÅttet er de tre tal 3,5, 5,5, 7, Hvordan tegner vi et boksplot? Ved at undersçge datasåttet kan vi se at mindste tal = 15 nedre kvartil = 27 median = 48 Çvre kvartil = 57 stçrste tal = 71 Disse oplysninger har vi vist pä figuren. SÄdan en figur kaldes et boksplot point De to smä lodrette streger i enderne viser at mindste og stçrste tal er 15 og 71. De to lodrette streger i hver ende af rektanglet viser at nedre og Çvre kvartil er 27 og 57. Den lodrette streg inden i rektanglet viser at medianen er 48. Rektanglet anskueliggçr at den midterste halvdel af tallene ligger i intervallet fra 27 til 57. Den vandrette streg til venstre anskueliggçr at den fjerdedel af tallene der er mindst, ligger i intervallet fra 15 til 27. Den vandrette streg til hçjre anskueliggçr at den fjerdedel af tallene der er stçrst, ligger i intervallet fra 57 til 71. Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

5 2.5 Hvordan sammenligner vi boksplot? 2.51 Opgave Diagrammet viser hçjdefordelingen for en plante pä to marker A og B. Sammenlign hçjderne pä A og B. Svar Sammenlign stçrrelser Alle dele af diagrammet bortset fra hçjre endepunkt ligger långere mod hçjre pä B, sä hçjderne er altsä overvejende stçrre pä B selv om den stçrste hçjde er pä A. Sammenlign spredning BÄde hele diagrammet og kassen er bredere pä A's diagram end pä B's, sä hçjderne fra A er mere spredt end hçjderne fra B. A B begrundelse resultat begrundelse resultat cm 2.52 Opgave Diagrammet viser fordelingen af tider for to lçbere A og B. Sammenlign tiderne for A og B. Svar Sammenlign stçrrelser Venstre endepunkt for B-diagrammet ligger til hçjre for hçjre endepunkt for A-diagrammet, sä B s mindste tid er stçrre end A s stçrste tid. Sammenlign spredning A-kassen er meget långere end B-kassen, sä midterste halvdel af tiderne er meget mere spredt for A end for B. Hele diagrammet har ca. samme långde for A og B, sä forskellen pä stçrste og mindste tid er ca. den samme for A og B. A B begrundelse resultat begrundelse resultat begrundelse resultat minutter 2.53 Opgave 2012 Diagrammet viser hvordan priserne pä en vare er fordelt i 2012 og i (a) Sammenlign priserne i 2012 og (b) I 2012 betalte en person 53,50 kr. for varen. Hvordan ligger denne pris i forhold til alle 2012-priserne for varen? (c) En person betalte et belçb i den laveste halvdel af den hçjeste halvdel af 2012-priserne. Hvad fortåller dette om stçrrelsen af belçbet. Svar pä (a) Sammenlign stçrrelser Hele 2013-diagrammet ligger til hçjre for venstre halvdel af 2012-diagrammet, sä alle 2013-priserne er over laveste halvdel af 2012-priserne. Hele 2012-diagrammet ligger til venstre for kassen i 2013-diagrammet, sä alle 2012-priserne er lavere end de 75 % hçjeste 2013-priser. Sammenlign spredning Hverken for kassen eller hele diagrammet er långden Åndret våsentligt fra 2012 til 2013, sä der er ikke meget forskel pä hvor spredt priserne er i 2012 og Svar pä (b) 53,50 ligger pä diagrammets venstre linjestykke, dvs. 53,50 kr. er i den nederste fjerdedel af 2012-priserne. begrundelse resultat begrundelse resultat Svar pä (c) NÄr et belçb er i den laveste halvdel af den hçjeste halvdel, er det i hçjre del af kassen, dvs. mellem 56,00 kr. og 57,00 kr. begrundelse resultat begrundelse resultat begrundelse resultat kr. Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

6 3.1 Hvordan tegner vi et histogram? GRUPPEREDE DATA Tabellen viser fordelingen af nogle frugters vågt. VÅgt i gram Procent Histogrammet til hçjre viser oplysningerne i tabellen. Rektanglet over intervallet har hçjden hçjden 8 %. Dette viser at 8 % af frugterne vejer mellem 100 og 110 gram. BemÅrk: Denne mäde at tegne et histogram pä kan kun bruges fordi intervallerne , osv. er lige lange. Du skal kun kende denne mäde. Advarsel: Den vandrette akse skal tegnes som en sådvanlig tallinje. % gram RIGTIGT: FORKERT: FORKERT: 3.2 Et grupperet datasåt er en model af virkeligheden der er meget forenklet. Ovenfor har vi set pä fçlgende grupperede datasåt: VÅgt i gram Procent Da dette datasåt er grupperet, skal vi regne som om de 8 % i fçrste interval er helt jåvnt fordelt i dette interval de 34 % er helt jåvnt fordelt i andet interval osv. Dette betyder bl.a. et vi f.eks. skal regne som om 0 % af dataene er pråcis lig 110. Dette er ikke i modstrid med virkeligheden, for när vi siger at noget vejer 110 g, mener vi ca. 110 g. Hvis vi hermed mener mellem 109 g og 111 g, sä er der ifçlge tabellen 4,2 % der vejer ca. 110 g. Til eksamen plejer man ikke at spçrge om sädan noget. Der gålder altsä: Den procentdel af dataene der er 110 eller mindre, er lig den procentdel der er mindre end 110. Det giver ingen mening at spçrge om 110 er talt med i intervallet eller i intervallet Dette spçrgsmäl giver mening i en opgav hvor du selv skal gruppere nogle data. Se afsnit 4.1 side 8. Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

7 3.3 Hvordan tegner vi en sumkurve? 3.31 Hvis der er oplyst procent for hvert interval. For at tegne en sumkurve, udregner vi kumulerede frekvenser. Vi har skrevet dem i tabellen, og vi har udregnet dem sädan: 8% 34% 42%, 8% 34% 45% 87%, osv. VÅgt i gram Frekvens 8 % 34 % 45 % 13 % Kumuleret frekvens 8 % 42 % 87 % 100 % I andet interval stär 42 %. Det betyder at i de to fçrste intervaller er der 42 % af dataene, dvs. 42 % af dataene er under 120. Sumkurven skal bruges til at aflåse hvor mange procent af dataene der er mindre end et tal. For at tegne sumkurven gçr vi sädan: 0 % er mindre end 100, sä ved x 100 afsåtter vi et punkt ud for 0 % pä y-aksen. 8 % er mindre end 110, sä ved x 110 afsåtter vi et punkt ud for 8 % pä y-aksen. 42 % er mindre end 120, sä ved x 120 afsåtter vi et punkt ud for 42 % pä y-aksen. Osv. Da dataene er jåvnt fordelt i hvert interval, skal vi forbinde punkterne med rette linjestykker. (Se evt. begrundelsen for dette i afsnit 5 pä side 9) Hvis der er oplyst antal for hvert interval. I tabellen stär antal i stedet for procent. SÄ mä vi omregne til procent for at kunne tegne sumkurven. LÅngde (m) 0, Antal rçr I tabellen nedenfor lågger vi sammen fçr vi omregner til procent. Det er for at undgä mellemfacitter med mange cifre. Antal data er Tallene i 3. råkke udregner vi sädan: , , osv. Tallene i 4. råkke udregner vi sädan: 34 0, , 92 0, , osv LÅngde i meter 0, Hyppighed Kumuleret hyppighed Kumuleret frekvens 12,1 % 32,6 % 64,9 % 90,4 % 100,0 % 3.33 Hvis start-tal og/eller slut-tal mangler. LÅngde (m) Hyppighed I denne tabel mangler start-tal og slut-tal. SÄ skal vi kun tegne kurven i de andre intervaller. Kurven bestär altsä af tre linjestykker. SpÇrgsmÄlene i opgaven vil kunne besvares ved hjålp af den del af kurven vi har tegnet. % Et intervals frekvens, er den procentdel af dataene som intervallet indeholder. Ordet kumuleret betyder ophobet. gram I tabellen kan vi skrive hyppighed i stedet for antal rçr. Det har vi gjort i tabellen nedenfor. Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

8 3.4 Hvordan aflåser vi pä en sumkurve? Figuren viser sumkurven for rçrene fra tabellen pä foregäende side. % 92% 55% 3,7 m 5,5 m m 3.41 Hvor mange procent af rçrene er UNDER 3,7 meter? Svar: Som vist pä figuren aflåser vi at 55% af rçrene er under 3,7 meter Hvor mange procent af rçrene er OVER 5,5 meter? Svar: Som vist pä figuren aflåser vi at 92 % af rçrene er under 5,5 meter. Da 100% 92% 8%, er 8% af rçrene over 5,5 meter Hvor mange procent af rçrene er MELLEM 3,7 og 5,5 meter? Svar: Fra de 92 % der er under 5,5 meter, skal fraregnes de 55 % der er under 3,7 meter. Da 92% 55% 37%, er 37% af rçrene mellem 3,7 og 5,5 meter Hvor mange procent af rçrene er LIG 3,7 meter ELLER DERUNDER? Svar: Det er samme spçrgsmäl som spçrgsmälet 3.41 ovenfor da 0 % af rçrene er pråcis lig 3,70000 meter. Det at der pä sumkurven er 0 % der er lig 3,7 meter, er ikke i modstrid med at nogle af rçrene er mält til 3,7 meter (se 3.2). Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

9 3.5 Hvordan finder vi medianen for grupperede data? For ugrupperede data skal vi gçre noget helt andet. Se afsnit 2.2 pä side 1. For at finde medianen skal vi bruge sumkurven när det er grupperede data. Vi starter i 50 % pä y-aksen, gär vandret hen til sumkurven, gär lodret ned pä x-aksen, og aflåser x-vårdien. Denne x-vårdi er medianen. At et tal er median, betyder altsä at 50 % af dataene er mindre end dette tal og 50 % af dataene er stçrre end dette tal. PÄ figuren er medianen Hvordan finder vi kvartilsåttet for grupperede data? For ugrupperede data skal vi gçre noget helt andet. Se afsnit 2.3 pä side 2. For at finde kvartilsåttet skal vi bruge sumkurven när det er grupperede data Nedre kvartil. Vi starter i 25 % pä y-aksen, gär vandret hen til sumkurven, gär lodret ned pä x-aksen, og aflåser x-vårdien. Denne x-vårdi er nedre kvartil. At et tal er nedre kvartil, betyder altsä at 25 % af dataene er mindre end dette tal og 75 % af dataene er stçrre end dette tal. PÄ figuren er nedre kvartil 33, Évre kvartil. Vi starter i 75 % pä y-aksen, gär vandret hen til sumkurven, gär lodret ned pä x-aksen, og aflåser x-vårdien. Denne x-vårdi er Çvre kvartil. At et tal er Çvre kvartil, betyder altsä at 75 % af dataene er mindre end dette tal og 25 % af dataene er stçrre end dette tal. PÄ figuren er Çvre kvartil KvartilsÅt. 50% 10% Dette har du brug for at vide när du har fundet medianen og skal svare pä hvad dette tal fortéller. I dit svar skal du i stedet for data skrive det ord der stär i opgaven, f.eks. léngde, og i stedet for dette tal skal du skrive det tal du har fundet, f.eks % 50% 25% 10% NÄr vi taler om kvartilsåttet for nogle tal, sä mener vi de tre tal nedre kvartil, median, Çvre kvartil, dvs. kvartilsåttet er de tre tal 33,5, 43, , Dette har du brug for at vide när du har fundet nedre kvartil og skal svare pä hvad dette tal fortéller. I dit svar skal du i stedet for data skrive det ord der stär i opgaven, f.eks. léngde, og i stedet for dette tal skal du skrive det tal du har fundet, f.eks. 33,5. Dette har du brug for at vide när du har fundet Çvre kvartil og skal svare pä hvad dette tal fortéller. I dit svar skal du i stedet for data skrive det ord der stär i opgaven, f.eks. léngde, og i stedet for dette tal skal du skrive det tal du har fundet, f.eks Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

10 3.7 Middeltal for grupperede data när antal (hyppighed) er oplyst Vi vil udregne middeltallet for fçlgende grupperede datasåt: LÅngde i meter 0, Antal rçr For at udregne middeltallet forestiller vi os at de 34 tal i fçrste interval alle er lig tallet i midten af dette interval, de 58 tal i andet interval alle er lig tallet i midten af dette interval, osv. Dette Åndrer ikke middeltallet da tallene er jåvnt fordelt i hvert interval. 0, Tallet i midten af intervallet udregner vi sädan: 1, 25, 2, 5 2 2, osv. Tal i midten af intervallet 1,25 2,5 3,5 4,5 6,5 Hyppighed Antal data er Middeltallet udregnes sädan: 1, ,5 58 3,5 91 4,5 72 6,5 27 3,56560 Middeltal for rçrs långde er 3,57cm. 282 Det er nemmere at gange med 27 end 27 gange at skrive 6, Middeltal for grupperede data när procent (frekvens) er oplyst Vi vil udregne middeltallet for fçlgende grupperede datasåt: LÅngde i meter 0, Frekvens 12 % 18 % 35 % 25 % 10 % For at udregne middeltallet forestiller vi os at de 12 % i fçrste interval alle er lig tallet i midten af dette interval, de 18 % i andet interval alle er lig tallet i midten af dette interval, osv. Dette Åndrer ikke middeltallet da tallene er jåvnt fordelt i hvert interval. 0, Tallet i midten af intervallet udregner vi sädan: 1, 25, 2, 5 2 2, osv. Tal i midten af intervallet 1,25 2,5 3,5 4,5 6,5 Frekvens 12 % 18 % 35 % 25 % 10 % Middeltallet udregnes sädan: 1, ,5 18 3,5 35 4,5 25 6, Hvordan grupperer vi data? Vi har modtaget et datasåt pä 60 tal (enhed er mm): ,6 Middeltal for rçrs långde er 3,6cm. For at fä overblik over disse tal vil vi gruppere dem i fçlgende intervaller: I rammen har vi skrevet disse intervaller under hinanden. FÇrste tal i datasåttet er 63. Derfor såtter vi en streg ud for Andet tal i datasåttet er 71. Derfor såtter vi en streg ud for Osv. Et tal i datasåttet der er lig et af intervalendepunkterne, tåller vi med i intervallet til venstre for tallet. Dette er ikke eneste mäde at gçre det pä, men der er tradition for at bruge denne mäde i det danske hf. Efter at vi har foretaget denne optålling, kan vi opskrive det grupperede datasåt: LÅngde i mm Antal Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

11 4.2 Hvor brede skal vi gçre intervallerne när vi grupperer data? PÄ computer kan vi nemt Åndre intervallernes bredde og se hvordan histogrammet Åndres. Histogrammerne viser tre forskellige grupperinger af samme data. PÄ y-aksen stär antal. Venstre figur: For lille intervalbredde. FÄ data i hvert interval fär hçjde til at svinge tilfåldigt. Midterste figur: Intervallernes bredde er passende. Nederste figur: For stor intervalbredde. UnÇdig forenklet beskrivelse af hvordan data er fordelt. 5 Sumkurve og lineår sammenhång. Histogrammet viser et grupperet datasåt: Intervallet deler vi op i 10 lige store dele (se figur). Hver af disse smä intervaller mä indeholde en tiendedel af hele intervallets observationer, dvs. de indeholder 20% 40% 30% hver 3 % af samtlige observationer. ( x, y) er et punkt pä sumkurven, dvs. y er den procentdel af observationerne der har stçrrelse x eller derunder. Af histogrammet ovenfor ser vi: NÄr x 20 er y 0,20 0,40 0, 60 NÄr x 21 er y 0,60 0,03 0, 63 NÄr x 22 er y 0,63 0,03 0, 66 Hver gang x bliver 1 stçrre, vil y blive 0,03 enheder stçrre, sä y vokser lineårt i intervallet fra x 20 til x 30. Derfor er grafen en ret linje i dette interval, og ligningen er y 0, 03x b. Vi udregner b : NÄr x 20 er y 0, 60 sä 0,60 0,03 20 b. Heraf ser vi at b 0, sä ligningen er y 0, 03x. For de fire intervaller er ligningerne: 0-10: y 0, 02x 10-20: y 0,04x 0, : y 0, 03x 30-40: y 0,01x 0, 6 Hvor mange procent af observationerne har stçrrelse 27 eller derunder? Vi ser at vi skal bruge ligningen fra tredje interval: y 0, ,81 dvs. 81 % af observationerne er 27 eller derunder. 10 % Hvor stor er nedre kvartil? Vi skal gä ud fra 25 % pä y-aksen. Vi ser at vi skal bruge ligningen fra andet interval: 0,25 0,04x 0,2. Vi lçser denne ligning mht. x og fär 11,25, dvs. nedre kvartil er 11,25. % Sumkurve Histogram Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

12 BESVARELSER SKREVET I NSPIRE 6.1 Opgave. MÄlt i cm har nogle planter fçlgende hçjder: 57, 59, 62, 63, 71, 73, 76, 80, 80, 81, 84, 89, 91. Bestem median og middeltal for disse hçjder. Besvarelse 1 Besvarelse 2 Skal ikke kunnes, men er en god kontrol. 6.2 Opgave. MÄlt i cm har nogle planter fçlgende hçjder: 91, 89, 59, 76, 73, 81, 57, 71, 62, 84, 80, 63, 80. Bestem kvartilsåttet for fordelingen af planternes hçjder. Besvarelse 1 Du skal ikke forklare hvordan du har fäet sorteret tallene. Du kan fä Nspire til at sortere tallene: MarkÑr sçjlen nedefra og op, hçjreklik i markering, vélg SortÑr efter, osv. Besvarelse 2 Skal ikke kunnes, men er en god kontrol. Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

13 6.3 Opgave. MÄlt i cm har nogle planter fçlgende hçjder: 57, 59, 62, 63, 71, 73, 76, 80, 80, 81, 84, 89, 91. Tegn et boksplot for fordelingen af planternes hçjder. Besvarelse 1. PlantehÇjder i cm I stedet for at tegne pä millimeterpapir, kan du tegne i et koordinatsystem pä Nspire. Start med at afsétte punkter med x-koordinater 57, 62,5, 76, 82,5, 91. Disse punkter skal have ens y-koordinater. SÄ kan du tegne resten som skitse. Du kan ogsä fä Nspire til at tegne boksplottet (se nedenfor), men sä tréner du ikke den metode som du er nçdt til at kende. Besvarelse 2 Skal ikke kunnes. Hvis tallene i en opgave ikke er i stçrrelsesorden, sä skal du blot taste dem i den orden de stär i. Opgave 6.4 Nogle planters hçjder mält i cm kan beskrives ved fçlgende: Mindste Nedre kvartil Median Évre kvartil StÇrste HÇjde i cm: 57 62, ,5 91 Tegn et boksplot for fordelingen af planternes hçjder. Besvarelse Du mä gerne selv tegne boksplottet. For at fä Nspire til at tegne som du har beskrevet, skal du gçre som i 6.3 besvarelse 2 bortset fra at du skal taste tallene 57, 62,5, 76, 76, 76, 82,5, 91, hvor median er tastet tre gange. Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

14 Opgave 6.5 Figuren pä bilaget viser et boksplot for fordelingen af nogle planters hçjder mält cm. Bestem kvartilsåttet for fordelingen af planternes hçjder. Besvarelse BILAG : PlantehÇjder i cm Opgave 6.6 BILAG: Boksplottet pä bilaget viser hçjder i cm for 13 planter af type A. MÄlt i cm har 14 planter af type B fçlgende hçjder: 56, 57, 60, 62, 65, 69, 72, 72, 72, 73, 75, 75, 78, 81. Tegn et boksplot for hçjderne af planterne af type B, og sammenlign ved hjålp af boksplottene fordelingen af hçjderne af planterne af type A med fordelingen af hçjderne af planterne af type B. A Besvarelse PlantehÇjder i cm B A PlantehÇjder i cm PÄ side 3 er der flere eksempler pä sammenligning af boksplot. BemÉrkning. (Skal ikke kunnes). Du kan fä Nspire til at tegne de to boksplot. Klik under x-akse, vélg b- sçjlen, hçjreklik under x-akse og vélg TilfÇj x-variabel, og vélg a- sçjlen. VÉlg i vérktçjsmemuen Diagramtyper/Boksplot. Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

15 Opgave 6. 7 Figuren pä bilaget viser et boksplot for fordelingen af nogle planters hçjder mält cm. En plante kan sålges när dens hçjde er 80 cm eller mere. Kommentár dette ud fra de oplysninger boksplottet giver. BILAG: Besvarelse PlantehÇjder i cm En plante kan sålges hvis dens hçjde er 80 cm eller mere. PÄ boksplottet ser vi at 80 ligger mellem median (ved lodret streg inde i kasse) og Çvre kvartil (ved hçjre kant af kasse), sä det er mellem 50 % og 25 % der er 80 cm eller derover. Mellem 50 % og 25 % af planterne kan sålges. Nederst pä side 3 er der flere eksempler pä kommentarer af denne type. Opgave 6.8 NedenstÄende tabel viser fordelingen af vågtene af nogle sten. VÅgt (g) Frekvens 9% 28% 20% 11% 32% a) Tegn en sumkurve for fordelingen. De sten der vejer mere end 94g skal males. b) Hvor mage procent af stenene skal males? Besvarelse Hvis der er oplyst hyppighed (dvs. antal) i stedet for procent, sä skal du udregne de kumulerede frekvenser med den metode der stär i afsnit Vi kan fä Nspire til at udregne de kumulerede frekvenser: Klik i tom sçjle, vélg Data/Liste operationer/kumuleret sum og skriv navnet pä sçjlen der indeholder frekvenserne. I stedet for at tegne sumkurven med Nspire, mä du gerne tegne den pä millimeterpapir og skrive aflésninger herpä som vist side 5-7. Ofte skal du ikke selv tegne sumkurven. SÄ skal du pä det udleverede bilag skrive aflésninger som vist side 6-7. I stedet for at tegne sumkurvens knékpunkter Ñt ad gangen, kan man i vérktçjsmenuen vélge Grafindtastning/Punktplot og angive to sçjler hvor man har tastet x-koordinater og y-koordinater. Hvis der spçrges om hvor mange procent der vejer mellem 75 g og 85 g, sä skal du pä kurven afsétte punkter med x-koordinater 75 og 85, og trékke mindste y-koordinat fra stçrste. Hvis der spçrges om hvor tunge de 20 % tungeste sten er, sä skal du pä kurven afsétte et punkt med y-koordinat 80. x-koordinaten er den laveste végt blandt de 20 % tungeste. Hvis der spçrges om kvartilséttet, sä skal du pä kurven afsétte punkter med y-koordinater 25, 50 og 75. x-koordinaterne er kvartilséttet. Se side 7. Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

16 Opgave 6.9 NedenstÄende tabel viser fordelingen af vågtene af nogle sten. VÅgt (g) Frekvens 9% 28% 20% 11% 32% Tegn et histogram for denne fordeling. Besvarelse Du behçver ikke bruge Nspire til at tegne histogrammet. I stedet kan du tegne histogrammet pä millimeterpapir som vist i afsnit 3.1. Du mä gerne tegne histogrammet i Nspire i et sédvanligt koordinatsystem. Metoden nedenfor er hurtigere när man har lért den. Her kan stä hyppighed (antal) i stedet for frekvens, men sä skal du blot kalde sçjlen dette i stedet for frekvens_i_procent. NÄr du har tastet de to sçjler, sä klik under x-akse og vélg variablen végt_i_gram. HÇjreklik til venstre for y-akse, vélg TilfÇj y-vérdiliste og vélg frekv_i_procent. VÉlg i vérktçjsmenuen Diagramegenskaber/Egenskaber for histogram/sçjleindstillinger/lige store intervaller og tast Bredde som 10 og SÇjlestart som 60,01. Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

17 Opgave 6.10 NedenstÄende tabel viser fordelingen af vågtene af nogle sten. VÅgt (g) Antal Bestem de kumulerede frekvenser. Besvarelse Du mä gerne besvare denne opgave uden at bruge regneark. Se afsnit Vi taster punktum efter 100 for at fä facitter som kommatal. ADVARSEL: Ved venstre endepunkt af fçrste interval skal der stä 0 %. Deskriptiv statistik for C-niveau i hf Side Karsten Juul

18

19

20 Stikordsregister B boksplot, aflås...2, 3, 12, 13 boksplot, sammenlign...3, 12 boksplot, tegn...2, 11, 12 D data...1 deskriptiv statistik...1 F frekvens...5 G grupperede data...1, 4 gruppering af data...8 H histogram...4, 8, 9, 14 hyppighed...5 I intervallers bredde...8 intervallers endepunkter...8 intervals frekvens...5 K kumuleret frekvens...5, 13, 15 kumuleret hyppighed...5 kvartilsåt for grupperede data...7, 13 kvartilsåt for ugrupperede data...2, 12 M median for grupperede data... 7 median for ugrupperede data...1, 10, 11, 12 middeltal for grupperede data... 8 middeltal for ugrupperede data...1, 10 mindste tal N nedre kvartil for grupperede data... 7 nedre kvartil for ugrupperede data...2, 10, 11, 12 S stçrste tal sumkurve og lineår sammenhång... 9 sumkurve, aflås...6, 7, 13 sumkurve, tegn när antal oplyst... 5 sumkurve, tegn när procent oplyst...5, 13 U ugrupperede data... 1 Ä Çvre kvartil for grupperede data... 7 Çvre kvartil for ugrupperede data...2, 10, 11, 12

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 011 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot Grupperede datasæt: Middelværdi, intervalfrekvens og kumuleret frekvens. Bilbestandens alder i 2005 fremgår af følgende tabel. Alder i år ]0;4] ]4;8] ]8;12] ]12;16] ]16;20] ]20;24] Antal i tusinde 401

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

5. Statistik. Hayati Balo,AAMS. 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime

5. Statistik. Hayati Balo,AAMS. 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime 5. Statistik Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime 1. Ugrupperede Observationer Hvis der foreligger et antal målinger eller observationer

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

Statistik - supplerende eksempler

Statistik - supplerende eksempler - supplerende eksempler Grupperede observationer: Middelværdi og summeret frekv... 82b Indekstal... 82c Median, kvartil, boksplot... 82e Sumkurver... 82h Side 82a Grupperede observationer: Middelværdi

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave Noter til Statistik Lisbeth Tavs Gregersen 1. udgave 1 Indhold 1 Intro 3 1.1 HF Bekendtgørelsen........................ 3 1.2 Deskriptiv statistik......................... 3 2 Ikke-grupperet Talmateriale

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Deskriptiv statistik

Deskriptiv statistik Deskriptiv statistik Billedet Collage (IM) med hjælp fra Danmarks Statistik, Volsted Plantage Jagtkonsortium og Kriminalforsorgen Version 1.7 incl. Sandsynlighed 16-3-2009 Editeret 18-1-2012 og 6-2-2012

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver

Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartil, boksplot og sumkurver... 2 Opgaver... 7 Side 1 Median, kvartil, boksplot og sumkurver Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4

Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 BH Test for normalfordeling i WordMat Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 Grupperede observationer Vi tager udgangspunkt i

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra.

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Vis,

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer.

Ved et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Statistik Statistik er bearbejdning af talmaterialer, der ofte indeholderstore mængder af tal. De indsamles og registreres i mange forskellige sammenhænge

Læs mere

En lille introduktion til WordMat og statistik.

En lille introduktion til WordMat og statistik. En lille introduktion til WordMat og statistik. WordMat er et gratis program som kan arbejde sammen med word 2007 og 2010. Man kan downloade programmet fra nettet. Se hvordan på linket: http://www.youtube.com/watch?v=rqsn8aakb-a

Læs mere

Under 63 år : 92% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år :

Under 63 år : 92% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år : 1 501 Sumkurven viser aldersfordelingen for lærerne på et gymnasium. a) Hvor mange procent af lærerne er mellem 55 og 63 år? (Benyt gerne bilaget til at dokumentere svaret.) Løsning: Under 63 år : 92%

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k

Antal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k Statistik 5 Statistik er en meget omfattende matematisk disciplin, og den anvendes i meget stor udstrækning i vores moderne samfund. Den handler om at analysere et (ofte meget stort) talmateriale. Det

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2016 Institution Vestegnen hf og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik C Nicolai

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Under 63 år : 88% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år :

Under 63 år : 88% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år : 1 501 Sumkurven viser aldersfordelingen for lærerne på et gymnasium. a) Hvor mange procent af lærerne er mellem 55 og 63 år? (Benyt gerne bilaget til at dokumentere svaret.) Løsning: Under 63 år : 88%

Læs mere

Løsninger til kapitel 1

Løsninger til kapitel 1 Opgave. a) observation hyppighed frekvens kum. frekvens 2,25,25 3,875,325 2 3,875,5 3 3,875,6875 4,625,75 5,625,825 6,,825 7 2,25,9375 8,,9375 9,625, Frekvenser illustreres i et pindediagram,2,8,6,4,2,,8,6,4,2

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

U L I G H E D I D A N M A R K

U L I G H E D I D A N M A R K D E N N I S P I P E N B R I N G U L I G H E D I D A N M A R K M AT X. D K Copyright 2013 Dennis Pipenbring offentliggjort på matx.dk layout af tufte-latex.googlecode.com Materialet er til fri afbenyttelse

Læs mere

Ikke-grupperede observationer

Ikke-grupperede observationer Ikke-grupperede observationer Oscaruddelingen eller Academy Awards er den amerikanske lmbranches (og sikert verdens) mest prestigefyldte prisuddeling inden for lm. Uddelingen sker ved en globalt transmitteret

Læs mere

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur Statistik - Lærervejledning Om kapitlet I dette kapitel om statistik skal eleverne arbejde med statistik og lære at indsamle, beskrive, bearbejde og præsentere store mængder af tal og data. I kapitlet

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)

(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) (VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler inden for deskriptiv statistik... 12 Normalfordelingskurver...

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Statistik med GeoGebra

Statistik med GeoGebra Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra

Læs mere

SPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014

SPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014 SPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014 1. Procent og rente Forklar hvordan man udregner procentvis ændringer i forskellige tidsrum og giv et konkret eksempel herpå. Forklar gerne med et eksempel,

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Middelværdi for grupperede observationer... Summeret frekvens og sumkurver... Indekstal... Lektion 9s Side 1 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål,

Læs mere

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...

Læs mere

1q + 1qs Ikast-Brande Gymnasium maj 2015. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det.

1q + 1qs Ikast-Brande Gymnasium maj 2015. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Emne: procent og rente: 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Grupperede observationer

Grupperede observationer Grupperede observationer Tallene i den følgende tabel viser antallet af personer på Læsø 1.januar 2012, opdelt i 10-års intervaller. alder antal 0 131 10 181 20 66 30 139 40 251 50 318 60 421 70 246 80

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: 1mac16fs 0815 ma

Undervisningsbeskrivelse for: 1mac16fs 0815 ma Undervisningsbeskrivelse for: 1mac16fs 0815 ma Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: HF og VUC Fredericia (607247) Hold: Matematik C fleks sommereksamen Termin: Juni 2016 Uddannelse: HF Lærer(e):

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 03 Karsten Juul TEST StikprÅver.... Hvad er populationen?.... Hvad er stikpråven?....3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.....4 TilfÇldige fejl ved valg af stikpråven...

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007

Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007 Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007 Indhold Tegning af boksplot. Man kan ikke tegne flere boksplot på samme figur i Excel 2007, men man kan sammenligne to boksplot ved at tegne dem hver for sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France

Læs mere

Grupperet materiale kan f.eks. være befolkningsdata eller indkomstfordelinger.

Grupperet materiale kan f.eks. være befolkningsdata eller indkomstfordelinger. Thomas Jensen & Morten Overgård Nielsen At bestemme kvartilsæt Indhold - At finde kvartilsæt i ikke-grupperet datamateriale (link til dokumentet her) - At bestemme kvartilsæt ved hjælp af Excel (link til

Læs mere

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Middelværdi med mere Hyppigheds- og frekvens-tabeller Diagrammer Hvilket diagram er bedst? Boxplot Lektion 9 Side 1 Når man skal holde styr på mange oplysninger,

Læs mere

Eksamensspørgsmål 4emacff1

Eksamensspørgsmål 4emacff1 Eksamensspørgsmål 4emacff1 1. Funktioner, Lineære funktioner Gør rede for den lineære funktion y ax b. Forklar herunder betydningen af a og b, og kom ind på det grafiske forløb af en lineær funktion. Kom

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen

Matematik C. Højere forberedelseseksamen Matematik C Højere forberedelseseksamen 2hf102-MAT/C-31082010 Tirsdag den 31. august 2010 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 9 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved

Læs mere

FRANSK BEGYNDERSPROG HØJT NIVEAU FORTSÆTTERSPROG TILVALGSFAG HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2008 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2008

FRANSK BEGYNDERSPROG HØJT NIVEAU FORTSÆTTERSPROG TILVALGSFAG HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2008 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2008 STUDENTEREKSAMEN MAJ 2005 2005-11-2 SPROGLIG OG MATEMATISK LINJE HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2005 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2008 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN DECEMBER 2008 FRANSK BEGYNDERSPROG

Læs mere

LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS

LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS LØNSPREDNINGSOPGØRELSER NU TILGÆNGELIG I LOPAKS INDHOLD 2 Formål 2 LOPAKS 3 Begreber 6 Eksempler 6. december 2010 LOPAKS er nu udvidet med en ny tabel, der giver mulighed for at opgøre lønspredning på

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter

Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2015/2016 Institution Frederiksberg HF Kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik C Sebastian

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2014 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Susanne Hansen

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform a 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 10 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December-januar 15/16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014/2015 Institution Frederiksberg HF Kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik C Sebastian

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere