10/11/2013 Avedøreværket. Matematik og IT. Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "10/11/2013 Avedøreværket. Matematik og IT. Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4"

Transkript

1 1/11/213 Avedøreværket Matematik og IT Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4

2 Indhold Forord... 2 Matematik... 3 a) Bestem koordinaterne til punkt B i grundfladen... 4 b) Opstil en parameterfremstilling for den linje, der går gennem B og P... 4 c) Bestem koordinaterne til punkt D... 5 d) Opstil en ligning for planen α... 6 e) Beregn vinklen mellem en af pyramidestubbens skrå sider og grundplanen, xy... 7 f) Opstil en ligning for planen π... 8 g) Beregn vinklen mellem α og π... 1 h) Opstil en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem α og π i) Beregn arealet af den del af planen, der afgrænses af punkterne F, G og H j) Beregn længden af storaksen til den ellipse, der udgør en udskæring til et af rørene i taget IT-del a) Begrundelse for valg af værktøj (Tools) b) Fremgangsmåde Beskrivelse af kode: Studieområde del af rapport... 2 Extreme programming... 2 Fordele ved pair programming... 2 Ulemper ved pair programmering... 2 Start på projektet Hvordan fungerede det i praksis?

3 Forord Denne rapport er udarbejdet i slut september, start oktober 213 i to ugers tværfagligt projekt med fagene Matematik og Informationsteknologi på Roskilde Tekniske Gymnasium under vejledning af Mette Frost Nielsen og Karl G Bjarnason. Projektet beskæftiger sig med vektorer i tre dimensioner med fokus på det danske Avedøreværk. I dette projekt har vi løst en række opgaver der beskriver arkitekturen bag værket. Disse opgaver har skabt forståelse for den tredje dimension med henblik på vektorregning. I informationsteknologi har vi lavet en 3-D model af kraftværket i python udvidelsen Visuel Python. Desuden har vi eksperimenteret med farver samt animationer i forbindelse af denne model af værket. Formålet med denne IT del var at få forståelse for python programming samt forståelse for sammenspillet mellem matematik og IT. I forhold til den tværfaglige del af projektet har vi fået indblik i arbejdsmetoden pair programming. Samt generelt gruppearbejde. 2

4 Matematik På figur 1 ses et billede af Avedøre-værket ved København, der bl.a. producerer fjernvarme. Brændslet afbrændes i den pyramideformede kedelbygning som ses bagerst til venstre. Figur 1 På figur 2 ses en lignende kedelbygning. Bygningen er en pyramidestub med kvadratisk grundflade, hvis kantlængde AB=BC=4 cm. Pyramidestubbens 4 sider danner samme vinkel med grundplanen. Pyramidestubben er placeret i et 3-dimensionalt koordinatsystem med grundfladen i xy-planen, hvor hjørnepunkterne A=(4,,) og C=(,4,). Figur 2 Forlængelsen af pyramidestubbens skrå kanter ender i en spids, P=(2,2,8). Pyramidestubbens øverste flade er skrå. På den kant, der er parallel med stykket AB, er punkt D=(xD,yD,38). På den modsatte kant er punkt E=(xE,yE,42). 3

5 Punkterne A, B og D er beliggende i planen α. På pyramidestubben ses en kasseformet udbygning. En af skæringslinjerne mellem denne og pyramidestubben udgøres af stykket FG. Punkterne F=(4,28,) G=(xG,28,25) H=(4,28,22) er beliggende i planen π. To udluftningsrør, som går gennem en udskæring i taget, har samme diameter, D=7 mm a) Bestem koordinaterne til punkt B i grundfladen Da vi for at vide at pyramidestubben består af en kvadratisk grundflade og alle pyramidestubbens 4 sider danner samme vinkel med grundplanen, må grundplanen af pyramiden også være et kvadrat. Vi kender desuden to punkter i grundplanen: A=(4;;) og C=(;4;). Når man så kigger på figur 2 og vurdere placering af B må koordinaterne være følgende: B = (4; 4; ) b) Opstil en parameterfremstilling for den linje, der går gennem B og P Vi kender de to punkter B=(4; 4; ) og P=(2,2,8) fra henholdsvis opgavetekst og forrige opgave. For at opstille en parameterfremstilling for en linje skal der kendes et punkt og en retning. Vi vælger at lade B være vores punkt. Vi finder en retningsvektor ved at trække de to stedvektorer fra hinanden. BP = P B BP = ( 2) ( 4) = ( 2) 8 8 På baggrund af kendt punkt på linjen samt retningsvektoren, kan vi opstille parameterfremstillingen for linjen, vi vælger at kalde den for L. x 4 2 L = ( y) = ( 4) + t ( 2) z 8 4

6 c) Bestem koordinaterne til punkt D Vi ved fra opgave teksten af punktet D er placeret på følgende måde: D=(xD,yD,38). Desuden kan vi se at punktet D ligger på vores linje L. Vi vil derfor opstille en ligning for at finde T-værdien på vores linje hvor punktet eksistere. Vi indsætter vores z-værdi fra punktet på linjen: x 4 2 ( y) = ( 4) + t ( 2) z 8 38 = + t 8 Ligningen løses for T T =,475 Med T-værdien kan vi finde de resterne punkter ved at indsætte T i parameter fremstillingen: 4 2 L = ( 4) +,475 ( 2) 8 x = 3,5 V y = 3,5 V x = 38 D = (3,5; 3,5; 38) 5

7 d) Opstil en ligning for planen α For at opstille en ligning for planen skal der findes et punkt og en normalvektor. Normalvektoren findes ved at krydse to retningsvektorer for en parameter fremstilling for et plan. Et plan består af to retningsvektorer og et punkt. Vi kender tre punkter inden for planet: A, B og D. Vi vælger at B skal være vores punkt i planen. Men de to retningsvektorer BA og BD skal først findes inden et plan kan opstilles. 4 4 BA = r 1 = ( ) ( 4) = ( 4) 3,5 4 9,5 BD = r 2 = ( 3,5) ( 4) = ( 9,5) Vi finder normalvektoren ved at krydse de to retningsvektorer n = r 1 r 2 n = ( 4 9,5 38, 38 9,5, 4 9,5 9,5 ) 152 n = ( 38 ) Med normalvektoren fundet er vi nu næsten i mål med at kunne opstille en ligning for planen. En ligning ser bekendt ud på følgende måde: a x + b y + c z d =. Vi mangler at finde D i vores ligning. D findes ved følgende formel: D = a x + b y + c z D = ( 38) 6

8 D = 68 Med D fundet kan en ligning for planen derfor opskrives α = 152 x + y 38 z + 68 e) Beregn vinklen mellem en af pyramidestubbens skrå sider og grundplanen, xy Hvis man sammenligner XY som et plan (vi kalder det β). Så kan finde vinklen de to planer ved at finde vinklen mellem de to normalvektorer for de to planer. Vi kender normalvektoren for α så vi skal bare finde normalvektoren for planen β. For at finde normalvektoren for β er det nødvendigt at finde to retningsvektorer og herefter krydse dem. Vi vælger at de retningsvektorer skal for β skal være BA og BC. Da de ligger på XY planen hvis vi kigger på figur 2. Fra tideligere opgaver kender vi BA og skal derfor bare finde BC. 4 4 BA = ( 4) & BC = ( 4) ( 4) = ( ) Nu krydser vi de to retningsvektorer for planen β for at finde normalvektoren. n 1 = BA BC n β = ( 4, 4, 4 4 ) n 1 = ( 4), ( 4), ( 4 4) n 1 = ( ) 16 Med de to normalvektorer kendt n1 for henholdsvis denne opgave og n2 fra forrige kan vi finde vinklen mellem de to planer ved at finde vinklen mellem de to normalvektorer ved følgende formel: Cos v = a b a b 7

9 Cos v = n β n α n β n α ( 16) ( 38) Cos v = ( 16) ( 38) 2 Cos v = ,22 v = cos 1 (,242) v = 76 f) Opstil en ligning for planen π For at vi kan opstille en ligning for planet π er det nødvendigt at vi finder punktet G. Fra opgaveteksten ved vi at G=(x G, 28,25), desuden kan vi se at punktet er placeret på planen α. Vi indsætter derfor vores kendte værdier i planen for at finde x G. α = 152 x + y 38 z + 68 = α = 152 x = x G = 33,75 G er derfor placeret i punktet G = (33,75; 28; 25) Med punktet G kan vi opstille en ligning for π, da vi yderligere kender de to punkter F=(4,28,) og H=(4,28,22) fra opgaveteksten. Vi lader F være vores punkt i ligningen og FH og FG være vores retninger. 8

10 FH = H F 4 4 FH = ( 28) ( 28) = ( ) FG = G F 33,75 4 6,25 FG = ( 28 ) ( 28) = ( ) Med de to retningsvektorer på plads kan normalvektoren på baggrund af de to vektorer findes ved at krydse dem. n = FH FG n 1 = ( 22 25, ,25, 25 ) n = 25 22, 22 ( 6,25) 25, 25 n = ( 137,5) Med normalvektoren fundet er vi næsten i mål. Vi mangler bare at finde D for at kunne udfylde følgende formel: a x + b y + c z d =. VI finder D ved at bruge denne formel: D = a x + b y + c z D = 4 ( 137,5) 28 D = 385 9

11 Med D fundet kan vi nu opskrive ligningen for π g) Beregn vinklen mellem α og π π = x 137,5 y + z Vinklen mellem to planer findes ved at finde vinklen mellem de to normalvektorer for de to planer. Vi kender de to normalvektorer: 152 n π = ( 137,5) og n α = ( ) 38 Vi finder vinklen mellem dem ved at bruge følgende formel: Cos v = a b a b Cos v = n π n α n π n α ( 152) + ( 137,5) + ( 38) 2 + ( 137,5) ( 152) ( 38) 2 Cos v = v = cos 1 () v = 9 Vinklen er derfor 9 og hvis man tager et kig på figur 2. ses det også at det passer meget godt. 1

12 h) Opstil en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem α og π Vi kender de to planligninger: α: a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = & π: a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = eller α: 152 x + y 38 z + 68 = & π: 4 137, = Parameterfremstillingen for skæringslinjen mellem to planer er givet ved udtrykket: x (a 2 c 1 a 1 c 2 ) ( y) = z ( t b 1 c 2 b 2 c 1 t + c 1 d 2 c 2 d 1 b 1 c 2 b 2 c 1 (b 2 a 1 b 1 a 2 ) b 1 c 2 b 2 c 1 t + b 2 d b 1 d 2 b 1 c 2 b 2 c 1 ) t x ( ) t + ( y) = 137, ,5 38 z ( ( 137,5) ( 152)) 385 ( 137,5) 68 t + ( 137, ,5 38 ) x ( y) = ( t 28 ) z 16 4t Vi opstiller vores udregnede parameterfremstilling som en traditionel parameterfremstilling: L = ( 28 ) + t ( 1 )

13 i) Beregn arealet af den del af planen, der afgrænses af punkterne F, G og H For at kunne beregne den trekant som de tre punkter danner, er det nødvendigt at vi kende afstanden mellem de to punkter F og G. Vi kender fra forrige opgaver FG, vi ønsker at finde længden af denne 6,25 FG = ( ) 25 FG = ( 6,25) = 25,7694 Nu ønsker vi at finde den lodrette afstand i vores trekant. Denne kan findes takket være de informationer vi fået givet om punktet G=(33,75; 28; 25). Med punktet G kan vi nu altså opstille en linje (vi kalder den K) fra F til G. Retningen mellem F og G i forrige opgaver. x 33,75 6,25 k ( y) = ( z ) + t ( 25 ) Vi ønsker nu på baggrund af denne linje at finde den kortese afstand til punkt H. Da denne afstand vil repræsentere højden i trekanten de tre punkter danner. Vi finder denne distance ved at finde længden af afstanden mellem G og H og ganger den med vinklen med den korteste afstand. dist = GH sin v dist = r GH r VI kender vektorerne (bemærk GH findes efter metoden for en vektor efter 2 punkter) 6,25 6,25 r = ( ) & GH = ( ) 25 3 Vi kan nu indsætte i formlerne men vælger at finde krydsproduktet for at får et mere overskueligt regnestykke først. r GH 12

14 n = ( 25 6,25, ,25, 6,25 6,25 ) n = 3 3, 25 ( 6,25) 3 ( 6,25), ( 6,25) ( 6,25) n = ( 137,5) dist = r GH r Vi indsætter vores vektorer. dist = 2 + ( 137,5) ( 6,25) dist = 6,79 Med den lodrette afstand (højden af trekanten) fundet kan vi nu bestemme arealet trekanten findes. Areal =,5 25,7694 6,79 Areal = 87,5 m 2 13

15 j) Beregn længden af storaksen til den ellipse, der udgør en udskæring til et af rørene i taget For at kende rørenes storakse på taget er det nødvendigt at vi først finder en ligning for planen af taget. Fra tideligere opgaver kender vi kun punkt D. Det er en nødvendighed at vi kender tre punkter i dette tilfælde for at kunne opstille et plan. Fra opgaveteksten har vi opgivet punktet E = (x E, y E, 42). Vi kan finde de resterne værdier da vi ved at der går linje fra punktet C til P. Vi starter med at finde linjen. For at finde linjen er det nødvendigt at vi finde en retning fra C til P da kan vi gøre ved at trække de to stedvektorer fra hinanden (koordinaterne) P = (2,2; 8) og C = (; 4; ). 2 2 CP = ( 2) ( 4) = ( 2) 8 8 Vi vælger at punktet C skal være vores punkt på linjen med de fundne informationer kan vi opstille en parameter fremstilling for vores linje. 2 L = ( 4) + t ( 2) 8 Med linjen på plads kan vi finde de resterne koordinater til vores punkt E. Vi vælger at indsætte de givne koordinat på z-aksen ind på vores linje for at finde t-værdien til skæringen. + 8t = 42 t =,525 Den fundne t-værdi indsættes nu på formlen for linjen for at finde værdierne til x og y til punkt E. 2 L = ( 4) +,525 ( 2) 8 Punkt E = (1,5; 29,5; 42) Med to punkter kendt mangler vi bare et tredje for at kunne opstille en ligning for et plan. Fra tegning har vi ikke fået dette punkt givet eller nogle informationer om Punkt I 14

16 det. Vi har derfor valgt at tegne et ekstra punk tind på tegningen vi kalder det for I og det kan ses på billedet til højre. Vi kan finde L med den information vi har fået givet af opgave teksten. På den kant, der er parallel med stykket AB, er punkt D=(xD,yD,38). Vi ved at linjen mellem L og D er parallel med A og D. Denne information kan bruges til at finde punktet I, da vi kender D, A og B. Vi ved at Z og X koordinatet til punktet I er det samme som punktet D. Desuden kan vi finde Y-værdien ved at trække D s y-værdi fra B s y-værdi. Således kan vi skrive I s koordinat til at være: 3,5 4 = 9,5 I = (3,5; 9,5; 38) Med de tre punkter kendt kan vi opstille et punkt ved at opstille retningsvektorer fra D til I og fra D til E. 3,5 3,5 DI = ( 9,5 ) ( 3,5) DI = ( 21) 1,5 3,5 DE = ( 29,5) ( 3,5) DE = ( 1 ) 4 Nu skal vi finde normalvektoren på baggrund af krydsprodukt af de to retningsvektorer vi lige udregnede. n = DI DE n 1 = ( , 1 2, ) n 1 = ( 21) 4 1, ( 2) 1, 4 1 ( 21) 15

17 84 n 1 = ( ) 42 Med normalvektoren kan vi nu næsten opstille planen for taget af bygningen vi vælger at kalde dette plan ε. På baggrund af af de to retningsvektorer vi valgte er punktet D nød til at være vores punkt i planens ligning det vælger vi derfor. Vores ligning på normalformen ser således ud vi behøver at finde D. ε: 84 x 42 y + D = Vi finder D efter følgende formel: D = a x + b y + c z d = ( 84) 3,5 3, d = d = Med D fundet kan vi opstille en ligning på normalformen for ε et plan for taget af bygningen. ε: 84x 42 y Med denne information kan vi nu komme videre. Vi ved at normalvektoren fra planet β (XY fra opgavebeskrivelsen) går lige igennem den skrå flade som danner taget på bygningen. Vi kan opskrive en linje for den denne retning som denne normal vektor repræsentere da vi kender et punkt som retningen går i gennem nemlig toppen af pyramiden punktet P. x 2 Centerlinje: ( y) = ( 2) + t ( ) z 8 8 2a = D n r n r Vi indsætter vores kendte værdier, altså vores cylinders diameter, vores plans normal vektor og vores center linjes retningsvektor: 2a =, a =,7139m Det vil altså sige at vores storakse for ellipsen der udgør udskæringen til skorstenene er lig med,7139m. 16

18 IT-del a) Begrundelse for valg af værktøj (Tools) Vi har valgt at bruge Visual Python til at lave en simulering af avedøreværket. Vi valgte dette værktøj, da vi inden projektets start allerede var lidt kendt med programmering i python og dens syntaks. Desuden var der under projektet også mulighed for at finde hjælp til eventuelle problemer fra vores vejleder Karl. Visual Python tillader os at lave simple simulationer, uden den helt store viden om programmering. Dette er meget tiltrækkende idet vi ikke har alverdens tid til dette projekt, og i det vi ikke har meget erfaring med andre sprog end Python. Derudover er der også god dokumentation til Visual Python der yderligere giver os god mulighed for at programmerer et godt program i Visual Python. b) Fremgangsmåde Da projektet er meget kort beslutter vi os for ikke at gøre stor brug af pair programmering, men i stedet dele arbejdet for de forskellige emner ud, og hjælpe hinanden løbende. //Vi kalder det pair programmering light, og er principielt det samme som pair programmering, dog med én hoved programmør, og resten som semi-guider. Vi aftaler en indgangsvinkel til projektet og hvordan vi har tænkt os at løse opgaven. Vores primære mål er at konstruerer en model af Avedøreværket, så tæt på vores matematiske model som muligt, det sekundærer mål er at lave en form for animation på vores model, og det tredje mål er et grafisk user interface, således at en bruger kan ændre på diverse ting (Enten i animation, eller noget så simpelt som at genstarte en animation). Vi opstiller altså vores krav til prototyper således: Første prototype: Færdig model af Avedøre værket Anden prototype: Simpel animation af Avedøre værket Tredje prototype: GUI(Graphics User Interface) til Avedøre værket Vores første prototype vil blive kréeret vha. tri faces i Visual Python, i det at det tillader os at sammen sætte pyramide stubben som vi finder de forskellige punkter. Derudover vil vi lave vores skorstene som cylindere, da vi allerede fra starten af får givet deres diameter. Vores indgang er lavet af en box, da vi eventuelt komme til at kende HGF trekanten (planet π), og kan dermed finde ud af afstanden fra kanterne, og derudover også find ud af størrelsen relativt nemt. Kassen kommer 17

19 til at clippe igennem vores pyramidestump, da dette er den letteste måde at lave en lignende model af værket, og det samme kommer vores skorstene til at gøre i det vi aldrig får defineret deres højde. I forhold til animation af værket, tænker vi at den nemmeste fremgangsmåde er at få vores model til at skifte farve dynamisk, da dette kan gøres med nogle variabler og nogle få if-statements, og derudover vil vi også have vores skorstene til at bevæge sig op og ned. Vores GUI er lidt mere besværlig at konstruere, i det vi ikke har meget erfaring med denne del af programmering. Det mest simple ville være at få lavet en knap der kan starte / stoppe vores animation. Derudover mener vi også at det ville være muligt at lave en slider der kan bestemme hvilken farve vores model er. Beskrivelse af kode: I toppen af vores kode importerer vi visual python og tkinter. Samt sætter titel, center og synsvinkel på visual vinduet. I denne del af koden laver vi muligheder for størrelsen af vinduet, så brugeren selv kan vælge hvilken størrelse af vinduet han gerne vil have. Vi har valgt de her tre muligheder, men man kan nemt tilføje flere hvis dette blev efterspurgt. I denne del af koden tegner vi selve modellen, det første array er trekanternes hjørner og det andet array er deres farver. Vi har valgt at gange størrelserne med 1 da vi havde problemer med at få programmet til at acceptere floats. Til sidst i denne kodedel kalder vi funktionerne tri.make_normals og tri.make_twosided som er de funktioner der tegner selve trekanterne. Vi definerer variablerne t og p i toppen af kodedelen, som bruges til tid og farveskift senere i koden. Vi sætter også den hastighed som programmet skal køre med, dette gøres med rate funktionen. 18

20 Den anden del af while loopet, laver selve animationen hvor den skifter farve og skorstenen kører op og ned. Og samtidigt skifter vi tiden så animationen ikke kører for evigt. I denne del af koden laver vi vores GUI, med titlen menu og størrelsen 2x8 pixels. Vi laver også vores to knapper til start af programmet og indstilling af størrelsen på vinduet, under disse laver vi vores dropdown menu hvor man kan vælge mellem de forskellige størrelser. Vi havde også en tredje knap til at lukke programmet, men da den fik programmet til at crashe hos nogle brugere valgte vi at deaktivere den. 19

21 Studieområde del af rapport Extreme programming Extreme programming er en populær programmeringsmetode der har meget fokus på samarbejde og kommunikation med kunden. Det er derfor meget vigtigt at man hele tiden tester at små dele af ens software virker, så snart det er muligt. Og på den måde får response på om det er godt eller skidt. Extreme programming er bygget op sådan at kunden kan få en lille del af programmet så snart denne del er lavet. Da man har meget fokus på samarbejde foregår programmeringen også i par i form af pair programming, hvilket er beskrevet nedenfor. Den helt store fordel ved extreme programming er at kunden kan komme med input hele tiden som softwaren så hurtigt kan tilpasses hvis kunden får nye behov. Fordele ved pair programming Der er flere fordele ved at benytte sig af pair programming, f.eks. er det nemmere at spotte fejl i kildekoden, og man får mange flere forskellige idéer i løbet af en programmerings session. I længere projekter kommer man altså til at spare tid, i det at der ikke skal løses lige så mange problemer i sidste ende, da man allerede har løst dem. På samme tid er der bedre mulighed for forslag til forskellige løsninger til et problem i koden, eller forskellige forslag til hvordan man kan løse en opgave. Ulemper ved pair programmering I kortere projekter er det nemt at få brugt for meget tid på at to personer programmerer på en skærm i forhold til at to programmerer på hver sin skærm. Dvs. at vores effektivitet er afhængig af længden (Og størrelsen) af et givet projekt. Derudover kan der også opstå problemer hvis de to programmører ikke kan blive enige, eller hvis de to programmører ikke er på ca. samme niveau, kan det være frustrerende for den programmør med mest erfaring, idet han skal guide den uerfarne. 2

22 Start på projektet Vi organiserede projektet således at vi alle 4 startede med at arbejde på matematik delen af projektet da vi efter at have læst oplægget til opgaven kunne se at det var nødvendigt for os at have lavet en stor del af matematikken før vi kunne lave it-delen. Grunden til dette er at vores programmering i python er baseret på de punkter som vi kommer frem til i matematikdelen. Efter den første dag delte vi os ud som det kan ses på vores planlægning. Hvordan fungerede det i praksis? I praksis fungerede vores plan ganske fint da vi har overholdt den næsten hele vejen. Brugen af pair programming har dog fra vores side været begrænset da vi følte at it delen i projektet ikke var så stor at vi ville kunne få udbytte af pair programming. Dette er også beskrevet i afsnittet om pair programming at det i mindre projekter som dette ikke kan betale sig at bruge pair programming da den mængde kode der skal skrives hverken er speciel stor eller speciel kompliceret. Dette betød også at vi hoppede lidt væk fra vores plan omkring at Mathias skulle være med på python delen hele vejen igennem. I stedet hjalp Mathias med på matematik delen, og fik på den måde denne til at skride hurtigere frem. Vi havde som sagt vurderet at matematik delen var meget vigtig i starten af projektet da denne ligger til grund for vores IT. 21

Avedøre-værket i rotation

Avedøre-værket i rotation Avedøre-værket i rotation Lavet af Frederik Hass, Andreas Lorentzen, Mikkel Karoli og Philip Roskilde Tekniske Gymnasium, Matematik-It projekt, klasse 3.4 Indledning I dette projekt vil vi ud nogle givne

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Projekt: Avedøre værket

Projekt: Avedøre værket Projekt: Avedøre værket Matematik delen På billedet ses en kedelbygning. Bygningen er en pyramidestub med kvadratisk grundflade, hvis kantlængde AB=BC=40m. Pyramidestubbens 4 sider danner samme vinkel

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Dokumentation af programmering i Python 2.75

Dokumentation af programmering i Python 2.75 Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Visualiseringsprogram

Visualiseringsprogram Visualiseringsprogram Programmering C - eksamensopgave Rami Kaddoura og Martin Schmidt Klasse: 3.4 Vejleder: Karl Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium Udleveringsdato: 02-03-2012 Afleveringsdato: 11-05-12

Læs mere

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode 1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Eksamensopgave IT B. Integration af vilkårlig funktion

Eksamensopgave IT B. Integration af vilkårlig funktion 2015 Eksamensopgave IT B Integration af vilkårlig funktion Dan Henrik Sørensen og Jacob Elmkjær Klasse: 3.4 Roskilde Tekniske Gymnasium IT B og Programmering C Vejledere: Karl G Bjarnason og Christoffer

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse.

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse. HTX Matematik A Fredag den 18. maj 2012 Kl. 09.00-14.00 GL121 - MAA - HTX 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til

Læs mere

IT og Programmering eksamens projekt

IT og Programmering eksamens projekt IT og Programmering eksamens projekt Visualisering af Gravitation Roskilde HTX Anders Kær Bennetsen D. 20-05-2010 IT og Programmering 1.1 Indledning:... 4 1.2 Beskrivelse af Ide:... 4 1.3 Definition af

Læs mere

HTX, RTG. Rumlige Figurer. Matematik og programmering

HTX, RTG. Rumlige Figurer. Matematik og programmering HTX, RTG Rumlige Figurer Matematik og programmering Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G. Bjarnason Morten Bo Kofoed Nielsen & Michael Jokil 10-10-2011 In this assignment we have been working with

Læs mere

Matematik A 5 timers skriftlig prøve

Matematik A 5 timers skriftlig prøve Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård

Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-dec. 2009 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Michael

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 4. marts 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 1stx111-MAT/A-18052011 Onsdag den 18. maj 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Ting man gør med Vektorfunktioner

Ting man gør med Vektorfunktioner Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Eksponentielle modeller

Eksponentielle modeller 2013 Eksponentielle modeller Jacob Elmkjær og Dan Sørensen Matematik/IT Roskilde Tekniske Gymnasium 09-12-2013 Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl Bjarnason Indhold Indledning... 2 Opgave analyse...

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid

Læs mere

Sfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen

Sfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4

Læs mere

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en

Læs mere

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Projektopgave Matematik A Tema: Eksponentielle modeller Vejleder: Jørn Bendtsen Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 01-01-2008 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 1.

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012 Geogebra Dynamisk matematik Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er Geogebra?...4 Denne manual...4 Hent og installer programmet...4 Geogebra gennemgang og praktiske eksempler...4 Menuerne...5

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Andreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX

Andreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX IT -Eksamen Andreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX [Vælg en dato] Indhold Indledning... 2 Teori... 3 Hvorfor dette design... 4 Produktet... 4 Test og afprøvning... 9 Konklusion... 10 Indledning

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

A U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x

A U E R B A C H M I K E   # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit

Læs mere

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden. Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel

Læs mere

Programmerings Journal

Programmerings Journal Programmerings Journal Python Figur Udregner Jakob Jelstad & Thomas Gram Vejleder : Christoffer Soya "Jeg bekræfter herved med min underskrift, at opgavebesvarelsen er udarbejdet af mig. Jeg har ikke anvendt

Læs mere

Computerspil. Hangman. Stefan Harding, Thomas Bork, Bertram Olsen, Nicklas Thyssen og Ulrik Larsen Roskilde Tekniske Gymnasium.

Computerspil. Hangman. Stefan Harding, Thomas Bork, Bertram Olsen, Nicklas Thyssen og Ulrik Larsen Roskilde Tekniske Gymnasium. 10-02-2015 Computerspil Hangman Stefan Harding, Thomas Bork, Bertram Olsen, Nicklas Thyssen og Ulrik Larsen Roskilde Tekniske Gymnasium. Kom/it c Indhold Intro... 2 Indledende aktivitet... 2 Kommunikations

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B

Læs mere

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1.

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1. Læringsprogram Talkonvertering Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 1. marts 2011 Fag: Vejleder: Skole: Informationsteknologi B Karl G. Bjarnason Roskilde

Læs mere

Læringsprogram. Christian Hjortshøj, Bjarke Sørensen og Asger Hansen Vejleder: Karl G Bjarnason Fag: Programmering Klasse 3.4

Læringsprogram. Christian Hjortshøj, Bjarke Sørensen og Asger Hansen Vejleder: Karl G Bjarnason Fag: Programmering Klasse 3.4 Læringsprogram Christian Hjortshøj, Bjarke Sørensen og Asger Hansen Vejleder: Karl G Bjarnason Fag: Programmering Klasse 3.4 R o s k i l d e T e k n i s k e G y m n a s i u m Indholdsfortegnelse FORMÅL...

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 31. maj Kl Prøveform a GUX181 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 31. maj Kl Prøveform a GUX181 - MAA GUX Matematik A-Niveau Torsdag den 31. maj 018 Kl. 09.00-14.00 Prøveform a GUX181 - MAA 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 11 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 1stx111-MAT/A-18052011 Onsdag den 18. maj 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Lad os prøve GeoGebra.

Lad os prøve GeoGebra. Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Projekt 1.3 Design en optimal flaske

Projekt 1.3 Design en optimal flaske Hvad er matematik? Projekter: Projekt. Design en optimal flaske Projekt. Design en optimal flaske (Projektet er identisk med projekt.8 i Hvad er martematik? ) Firmaet PartyKids ønsker at relancere deres

Læs mere

Det skrå kast, en simulation

Det skrå kast, en simulation Det skrå kast, en simulation Oplæg skrevet af Bartlomiej Rohard Warszawski den 5.november 29 Formål Eleven skal lave et program i Python, der udfører en simpel simulation af acceleration, hastighed, position,

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består

Læs mere

Automatisering Af Hverdagen

Automatisering Af Hverdagen Automatisering Af Hverdagen Programmering - Eksamensopgave 10-05-2011 Roskilde Tekniske Gymnasium (Kl. 3,3m) Mads Christiansen & Tobias Hjelholt Svendsen 2 Automatisering Af Hverdagen Indhold Introduktion:...

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen htx112-mat/a-30082011 Tirsdag den 30. august 2011 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Matematik A 2011 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fredag den 30. maj 2008 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 Matematik A Prøvens varighed er 5

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs101-matn/a-605010 Onsdag den 6 maj 010 kl 0900-1400 Opgavesættet er delt i to dele Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på

Læs mere

SPHERO 2.0 undervisningsforløb til mellemtrinnet i matematik Polygoner og vinkler

SPHERO 2.0 undervisningsforløb til mellemtrinnet i matematik Polygoner og vinkler SPHERO 2.0 undervisningsforløb til mellemtrinnet i matematik Polygoner og vinkler Fælles mål 2014 Matematik Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende geometriske

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

ALLAN BOHNSTEDT BERNT HANSEN MICHAEL JENSEN KLAUS MARTHINUS MAT A

ALLAN BOHNSTEDT BERNT HANSEN MICHAEL JENSEN KLAUS MARTHINUS MAT A ALLAN BOHNSTEDT BERNT HANSEN MICHAEL JENSEN KLAUS MARTHINUS MAT A ht MAT A ht 008-009 Allan Bohnstedt, Bernt Hansen, Michael Jensen, Klaus Marthinus og Systime A/S Kopiering og anden gengivelse af dette

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul

Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Tværfagligt Projekt. Matematik og IT

Tværfagligt Projekt. Matematik og IT Tværfagligt Projekt Matematik og IT Navn: Ugur Kitir Skole: Roskilde - HTX Klasse: 2.4 Vejledere: Karl og Jørn Afleveringsdato: 01/12 2008 Indholdsfortegnelse Opgaveanalyse... 3 Indledning:... 3 Analyse

Læs mere

- en manual fra Skolekonsulenterne.dk

- en manual fra Skolekonsulenterne.dk - en manual fra Skolekonsulenterne.dk Versionsdato: April 2008 Indholdsfortegnelse Generelt om manualer fra Skolekonsulenterne.dk...3 Hvad er Geogebra?...4 Denne manual...4 Hent og installer programmet...4

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Matematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler

Matematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning   De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august

Læs mere