Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion"

Transkript

1 Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion Thomas Arildsen, Arne Jensen, Rafael Wisniewski Version august Indledning Dette dokument giver en introduktion til projektmodulet på 3. semester matematik-teknologi uddannelsen. Ifølge studieordningen [8] er temaet dynamiske systemer. Dette er et meget bredt tema. I denne introduktion giver vi en afgrænsning af temaet og nogle forslag til emner man kan koncentrere projektet om. Et dynamisk system kan for eksempel være et pendul eller en tennisbold. I begge eksempler er det systemets tidsudvikling man ønsker at studere. Den første afgrænsning af projektet består i at vi studerer systemer der har en kontinuert tidsparameter. En af grundene til denne afgrænsning er, at 4. semesters projekttema er centreret om diskret tid systemer. Derudover er der på 4. semester et kursus i diskret tid systemer. Et dynamisk system med kontinuert tid er oftest beskrevet ved brug af differentialligninger. Vi vil begrænse os til dynamiske systemer der kan beskrives ved hjælp af systemer af sædvanlige differentialligninger. Lad os se på eksemplet med en tennisbold. Der er valgt et koordinatsystem med lodret z-akse. Positionen til tiden t er beskrevet ved en positionsvektor r(t). Hastigheden r(t) og a(t) = d2 dt 2 r(t). Fysikkens love giver og accelerationen til tiden t er givet ved v(t) = d dt en ligning mellem de tre vektorer r(t), v(t) og a(t), den dynamiske ligning. I eksemplet er det Newtons lov, der siger at ma(t) = F(t, r(t), v(t)), (1.1) hvor F er den kraft der påvirker tennisbolden og m er dens masse. Skrevet som et system af differentialligninger er det m d2 r(t) = F(t, r(t), d r(t)). (1.2) dt 2 dt For at komme videre i analysen af dette dynamiske system skal vi beslutte hvilken model vi vil anvende for kraften. Man kan vælge at modellere tennisbolden som en punktpartikel og alene at tage hensyn til tyngdekraften, eller man kan vælge at modellere tennisbolden som en genstand med en endelig udstrækning, hvor det så bliver relevant at tage hensyn til luftmodstanden. Man kan også inddrage tennisboldens rotation (spin). Modellen kan hurtigt blive meget kompliceret. Eksemplet giver nogle af de deltemaer der kan indgå i projektet. 1. Modellering af dynamiske systemer. 2. Eksistens af løsninger til systemer af sædvanlige differentialligninger. Entydighed af løsning. Løsningers afhængighed af begyndelsesbetingelser og parametre. Er der løsninger for vilkårligt lange tidsrum? 1

2 3. Approksimation af løsninger til systemer af sædvanlige differentialligninger. Numeriske og grafiske metoder til undersøgelse af løsningerne. 4. Hvor god en beskrivelse giver den approksimative model af det dynamiske system? 2 Matematiske aspekter De matematiske værktøjer, der er til rådighed til en stringent analyse af et differentialligningssystem som (1.2) er blandt andet den lineære algebra fra 1. semester og calculus fra 2. semester. Derudover kurserne Analyse 1 og Linearitet og differentiabilitet, som skal følges i dette semester. Lad os se på et simpelt problem, en enkelt første ordens differentialligning: dt = ax, a R. (2.1) Det er velkendt at samtlige løsninger er x(t) = ce at, c R en vilkårlig konstant. En entydig løsning fås, hvis man tilføjer en begyndelsesbetingelse, for eksempel x(t 0 ) = x 0, således at løsningen der opfylder denne betingelse er x(t) = x 0 e a(t t 0). En generel første ordens differentialligning for en enkelt funktion x(t) er af formen dt = f(t, x), (2.2) hvor f : Ω R er en funktion, der er defineret på en åben delmængde Ω R 2. En begyndelsesbetingelse er givet ved x(t 0 ) = x 0, (t 0, x 0 ) Ω. (2.3) For at formulere et matematisk resultat er det nødvendigt at gøre antagelser om funktionen f. En mulig antagelse er at forlange, at f : Ω R skal være en kontinuert funktion. Under den antagelse er der altid en løsning til (2.2) der opfylder (2.3), men den er ikke nødvendigvis entydig. Det leder til første problemstilling. Problemstilling 2.1. Formulér præcise betingelser for eksistens og entydighed af løsninger til et begyndelsesværdiproblem (2.2), (2.3). Det resultat man kan formulere generelt er et lokalt eksistensresultat. Det betyder, at løsningen eksisterer i et (lille) interval (t 0 δ, t 0 + δ). Det leder til følgende problemstilling. Problemstilling 2.2. Undersøg eksistens af et maksimalt løsningsinverval I max t 0. Hvis f er defineret på hele R 2, er der betingelser på f der sikrer at I max = R? I anvendelser har man ofte data der er behæftet med fejl. Det er derfor relevant at spørge, at hvis vi har to begyndelsesbetingelser x(t 0 ) = x 0 og x(t 0 ) = x 0, hvor x 0 x 0 er lille, vil de to løsninger også være tæt på hinanden? Hvis det er tilfældet taler man ofte om stabilitet af løsninger. Man kan også spørge om stabilitet hvis vi ser på løsninger til to differentialligninger hvor f(t, x) f(t, x) er lille. dt = f(t, x) og dt = f(t, x), (2.4) Problemstilling 2.3. Undersøg stabilitet af løsninger til et begyndelsesværdiproblem (2.2), (2.3). Dette omfatter en præcisering af hvad der menes med at x 0 x 0 er lille, eller at f(t, x) f(t, x) er lille. 2

3 Der er mange varianter af formuleringen af stabilitet. Det er et meget vigtigt begreb i anvendelser og i modellering. Det vil vise sig at det kan være svært at præcisere hvad man forstår ved stabilitet. I stedet for en enkelt første ordens differentialligning kan man se på et system af første ordens differentialligninger. Et eksempel på et system af to differentialligninger er Begyndelsesbetingelsen er da af formen Ofte anvender man vektornotation [ ] x1 (t) x(t) =, x x 2 (t) 0 = 1 dt = f 1(t, x 1, x 2 ), 2 dt = f 2(t, x 1, x 2 ). x 1 (t 0 ) = x 01, x 2 (t 0 ) = x 02. [ x01 x 02 ], f(t, x) = således at begyndelsesværdiproblemet kan skrives på formen [ ] f1 (t, x 1, x 2 ), f 2 (t, x 1, x 2 ) dt = f(t, x), x(t 0) = x 0. (2.5) Problemstillingerne ovenfor kan generaliseres til et system af N første ordens differentialligninger. Problemstilling 2.4. Formulér resultater for systemer af første ordens differentialligninger, der er analoge med resultaterne for en enkelt første ordens differentialligning. Systemet (1.2) er et system af tre anden ordens sædvanlige differentialligninger. Man kan reducere dette system til et system af seks første ordens differentialligninger. Vi ser først på en enkelt anden ordens differentialligning Vi introducerer d 2 x dt 2 x 1 = x, Ligningen (2.6) kan da skrives som systemet = f(t, x, ). (2.6) dt 1 dt = x 2. 2 dt = f(t, x 1, x 2 ). x 2 = dt. (2.7) Generalisationen til orden højere end to og til systemer af højere ordens differentialligninger er ligefrem. Igen er det en fordel at benytte vektornotation. Det er vigtigt at have kendskab til et antal sædvanlige differentialligninger, der kan løses på lukket form. Et simpelt eksempel er given i (2.1). Det leder til følgende problemstilling. Problemstilling 2.5. Lav et katalog over nogle første og anden ordens sædvanlige differentialligninger, der har løsninger på lukket form. Giv eksempler på systemer af første ordens differentialligninger, der har løsninger på lukket form. 3

4 En vigtig klasse af systemer af første ordens differentialligninger er dem, der af matematikere kaldes lineære og autonome. Autonome systemer kaldes af ingeniører for tidsinvariante systemer. Lad A være en reel N N matrix, og lad x(t) være en vektorfunktion x: I R N, I R. Et lineært og autonomt første ordens system af differentialligninger med en begyndelsesbetingelse er da givet som dt = Ax, x(0) = x 0. (2.8) Ligningen (2.1) er et eksempel på (2.8), svarende til N = 1. Løsningen er givet ved en eksponentialfunktion, se ovenfor. Formelt set er løsningen til (2.8) også givet ved en eksponentialfunktion x(t) = e ta x 0. (2.9) Dette giver først mening når vi har defineret eksponentialfunktionen af en matrix. Heraf følger Problemstilling 2.6. Hvordan kan vi definere e ta, når A er en N N matrix? Hvilke egenskaber har e ta? Hvordan kan vi beregne e ta? 3 Numeriske aspekter I kurset Computerstøttede beregninger er der givet en introduktion til nogle metoder til numerisk løsning af sædvanlige differentialligninger. Man kan vælge at arbejde videre med disse metoder, både for at illustrere løsninger til nogle ligninger, og med henblik på en teoretisk forståelse af de numeriske metoder. Man kan også vælge at studere andre algoritmer til numerisk løsning af differentialligninger. For eksempel implicitte metoder og multistep metoder (Adams-Bashforth-Moulton metoder) Til illustration af løsninger og for eksempel stabilitet/instabilitet kan man også anvende Maple pakken DEtools. Det anbefales som minimum at sætte sig ind i den version af Runge-Kutta metoderne, der kaldes enten Runge-Kutta-Fehlberg eller RKF4(5). Det er en af de oftest anvendte algoritmer til løsning af systemer af sædvanlige differentialligninger. Det er en adaptiv version af den klassiske RK4 algoritme. RKF4(5) justerer automatisk skridtlængden baseret på en på forhånd givet tolerance for den numeriske løsning. De numeriske metoder spiller en vigtig rolle, da de allerfleste differentialligninger ikke kan løses på lukket form. 4 Anvendelser Der er utallige anvendelser af differentialligninger. Nedenfor er angivet et par eksempler. I porjektet anbefales det at vælge én anvendelse, og analysere den baseret både på meget simple modeller og på mere realistiske modeller. 4.1 Rovdyr-byttedyr modeller Nogle af disse modeller blev analyseret ved numeriske eksperimenter i kurset Computerstøttede beregninger. Vi repeterer den basale model. 4

5 Populationen af byttedyr til tiden t er x 1 (t), og populationen af rovdyr er x 2 (t). Udviklingen i tid kan modelleres ved følgende system af differentialligninger 1 dt (t) = αx 1(t) βx 1 (t)x 2 (t), (4.1) 2 dt (t) = γx 2(t) + δx 1 (t)x 2 (t). (4.2) Her er α, β, γ, og δ fire positive parametre, der karakteriserer systemet. Parameteren α er vækstraten for byttedyrene, mens leddet βx 1 (t)x 2 (t) angiver med hvilken rate byttedyrene bliver spist af rovdyrene. Parameteren γ angiver hvor hurtigt rovdyrene uddør, hvis der ingen byttedyr er. Endelig angiver leddet δx 1 (t)x 2 (t) vækstraten i rovdyrene, når de spiser byttedyrene. I de numeriske eksperimenter blev det vist, at løsningskurverne alle var lukkede kurver. Det leder til følgende problemstilling Problemstilling 4.1. Gennemfør en matematisk analyse af alle løsninger til systemet givet ved (4.1) og (4.2). Når den matematiske analyse er gennemført kan man begynde at se på forskellige mulige generalisationer, hvor man for eksempel erstattet den eksponentielle vækstmodel for byttedyrene med den logistiske model. Det leder til systemet 1 dt (t) = αx 1(t) βx 1 (t)x 2 (t) µx 1 (t) 2, 2 dt (t) = γx 2(t) + δx 1 (t)x 2 (t). Alle fem parametre ovenfor er positive. Dette system kan man også forsøge at analysere matematisk, og man kan se på andre mulige generalisationer. 4.2 Pendulet Det matematiske pendul består af en ideel stang ophængt friktionsfrit, så at stangen kan bevæge sig i en lodret plan. For enden af stangen er en masse, der modelleres som en punktpartikel med masse m. Længden at stangen er l, og gravitationskonstanten betegnes med g. Vinklen mellem stangen og en lodret linie gennem ophænget betegnes med θ. Pendulets svingninger er da i denne model bestemt ved følgende differentialligning d 2 θ dt + g sin θ = 0. (4.3) 2 l I en mere detaljeret model kan man inddrage luftmodstand og friktion i ophænget. Man kan også modellere stangen som et fysisk objekt med endelig udstrækning og med en masse, der ikke er nul. I en mere idealiseret model antager man, at man kun ser på små udsving, dvs θ lille. Fra Taylors formel får vi da, at sin θ θ og ligningen bliver da d 2 θ dt + g θ = 0. (4.4) 2 l Det er den ligning der oftest bruges til at beskrive et pendul. Problemstilling 4.2. Gennemfør en matematisk analyse af (4.4). Analysér løsningerne til (4.3) numerisk. Påbegynd en matematisk analyse af (4.3). 5

6 4.3 Kranen Model for det matematiske pendul kan udvides til at beskrive en kran. Kort sagt består en kran af et pendul med en last, hvor pendulet er monteret på en vogn. Bevægelse af lasten beskrives af to koordinater x = (x 1, x 2 ) i R 2 x 1 = y 1 + l sin θ x 2 = l cos θ, hvor l er afstanden fra vognen til lasten, θ er vinklen mellem kablet og lodret retning, og y = (y 1, 0) er vognens position. Bemærk at vognens bevægelse foregår i vandret retning, som opgives af koordinaten y 1. Variablerne x, y og θ kan ses som funktioner af tiden. I mekanik bruger man ofte en anden notation for afledede med hensyn til tid end den matematikere anvender. Hvis x er en variable der afhænger af tiden t, så skriver man ẋ = dt og ẍ = d2 x dt 2. Deres anden afledede med hensyn til tiden giver ẍ 1 = ÿ 1 θ 2 l sin θ + θl cos θ + 2 θ l cos θ + l sin θ, (4.5) ẍ 2 = θ 2 l cos θ θl sin θ 2 θ l sin θ + l cos θ. (4.6) To krafter påvirker lastens bevægelse: tyngdekraft G og friktion F : G = mg, F = k θ l, hvor m er lastens masse, og k er friktionskoefficienten. Newtons anden lov anvendt på lasten giver mẍ 1 cos θ = mẍ 2 G F. (4.7) Ved at sætte (4.5) og (4.6) i (4.7) får vi følgende differential ligning der beskriver θ ændring i tiden l θ = y 1 cos θ g sin θ 2 θ l k θ ml. (4.8) Derudover beskrives vognens bevægelse ved hjælp af Newtons anden lov Mÿ 1 + bẏ 1 m( θ 2 l + g cos θ) sin θ = K, (4.9) hvor M er vognens masse, b er en gnidningskoefficient, K er en ydre kraft (fra vognens motor eller lignende). Udtrykket θ 2 l i (4.9) er centripetalaccelerationen. Ligningerne (4.5), (4.6), (4.8) og (4.9) tilsammen danner en model for kranen dvs. vognen med hængende last. Hvori variablerne l og K kan styres af kranens operatør. 4.4 Masse-fjeder-systemer Mange systemer i vores dagligdag kan modelleres som forskellige kombinationer af masser og fjedre. Det gælder mange systemer, som kan vibrere/oscillere på forskellig vis. Sådanne systemer kan evt. modelleres mere kompleks ved at inkludere dæmpning. Tænk f.eks. på bilers ophæng med støddæmpere, springmadrasser, trampoliner, Hoptimisten osv. 6

7 Figur 1: Hoptimisten. Som et simpelt eksempel på et masse-fjeder-system kan vi betragte en enkelt masse ophængt i en enkelt fjeder uden dæmpning, se Figur 2a. En fjeder udøver en kraft proportional med den længde, fjederen er udstrakt/sammentrykket i forhold til sit ligevægtspunkt (Hooke s lov): F = kx (4.10) hvor k [N/m] er en fjederkonstant, som udtrykker, hvor stærk fjederen er, og x [m] er den udstrakte afstand af fjederen. Det negative fortegn udtrykker, at fjederen trækker/skubber imod træk-/trykretningen. I eksemplet (Figur 2a) vil tyngdekraften ud over fjederen påvirke massen med en kraft: F = ma = m d2 x dt 2 (4.11) hvor m [g] er massen og a [m/s 2 ] er accelerationen her tyngdeaccelerationen a = g. Hvis vi betragter situationen med ligevægt mellem kræfterne, kan vi opstille følgende ligning: F = m d2 x = kx (4.12) dt2 (4.12) udtrykker en differentialligning, som for dette simple system har løsningen: x(t) = A cos(ωt + φ) (4.13) Heraf kan vi se, at massen i dette tilfælde vil oscillere harmonisk (cosinus-funktionen). m m m k k k1 k2 (a) Massefjeder-system. (b) Massefjeder-system med rotation. (c) Massefjeder-system med to fjedre. Figur 2: Eksempler på masse-fjeder-systemer. 7

8 Som sagt kan vi fra dette første simple system udvide systemerne på mange forskellige måder. To eksempler ses i Figur 2b og 2c. I Figur 2b tilføjes endnu en bevægelsesretning; rotation omkring fjederens akse, og i Figur 2c tilføjes endnu en fjeder således, at massen er ophængt på to forskellige fjedre i forlængelse af hinanden. Dette er blot to af uendeligt mange eksempler. Man kunne også betragte to forskellige fjedre forbundet parallelt ved siden af hinanden eller tilføje en dæmpning dvs. et element med friktion, som bremser bevægelsen. Herudover kunne man udvide de nævnte en-dimensionelle eksempler til bevægelser i to eller flere dimensioner. Projektgruppen kan selv finde eksempler på anvendelser til inspiration i opbygningen af systemet. Vejlederne kan her hjælpe med afgrænsning af systemet til en passende kompleksitet. 5 Litteratur Der findes en meget omfattende litteratur om differentialligninger, på mange forskellige niveauer. Her er kun nogle få bøger nævnt. Først nogle af bøgerne anvendt på 1. og 2. semester. Lærebogen fra Calculus [2] har i Chapter 8 en introduktion til differentialligninger. Kompendiet til Calculus [6] har en del resultater vedrørende differentialligninger. Lærebogen fra Computerstøttede beregninger [9] indeholder mange relevante resultater. Appendix E i Langtangens bog [4] har en del information om numerisk løsning af differentialligninger i Python. Bogen af Hirsch et al. [3] indeholder meget information om differentialligninger og dynamiske systemer. Den starter relativt elementært, men når meget langt. En stor del af bogen kræver forudsætninger, som I endnu ike har. Bogen af Betounes [1] er en god matematisk solid introduktion til dynamiske systemer og differentialligninger. Bogen af Møller [5] giver en meget stringent introduktion til sædvanlige differentialligninger. Den helt nye bog af Strang [7] indeholder utrolig meget information om differentialligninger, lineær algebra, og samspillet mellem disse. Bogen er skrevet til ingeniør-studerende, og indeholder ikke stringente matematiske beviser. Men den indeholder mange eksempler og modeller, og korte beskrivelser af hovedresultater for disse. 6 Krav til projektet Der er i studieordningen [8] stillet en række krav til projektet. Kravene under indgangene Viden og Færdigheder vil given mening efterhånden som projektetarbejdet gennemføres. Kravene under Kompetencer kræver nok et par kommentarer. Det første krav er skal ud fra givne forudsætninger kunne ræsonnere og argumentere med matematiske begreber indenfor lineær algebra og matematisk analyse Det betyder at der i projektet skal være korrekte beviser og argumenter for et antal centrale resultater vedrørende samspillet mellem lineær algebra og sædvanlige differentialligninger. Med andre ord, numeriske beregninger er ikke nok for at etablere et resultat. Det andet krav er skal udvikle og styrke sin evne til mundtligt og skriftligt at kunne give en korrekt og præcis matematisk fremstilling 8

9 var også et krav til projektet på 2. semester. I vil opleve at det kræver en betydelig indsats af formulere et matematisk bevis korrekt, både mundtligt og skriftligt. Vedrørende afvejningen mellem de teoretiske og matematiske overvejelser og analyse af konkrete modeller baseret på differentialligninger, så er kravene, at mindst 1 af projektet skal 3 koncentrere sig om det matematisk stringente, og mindst 1 af projektet skal koncentrere sig om 3 analyse af en konkret model eller anvendelse. Litteratur [1] D. Betounes, Differential Equations: Theory and Applications, Springer [2] C. H. Edwards and D. E. Penney, Calculus Early transcendentals, 7th ed., Prentice Hall, [3] M. E. Hirsch, S. Smale, and R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 2nd ed., Elsevier [4] H. P. Langtangen, A Primer on Scientific Computing with Python, 3rd ed., Springer [5] J. S. Møller, Ordinary Differential Equations. An Introduction for Mathematicians, Aarhus Universitet [6] E. B. Saff et al., Complex numbers and differential equations, Custom print (2nd edition), Pearson, [7] G. Strang, Differential Equations and Linear Algebra, SIAM [8] Studieordning for bacheloruddannelsen i matematik-teknologi, [9] P. Turner, Guide to scientific computing, Macmillan Press

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3

Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3 Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Eulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2

Eulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2 Eulers metode Tom Pedersen //Palle Andersen pa,tom@es.aau.dk Aalborg University Eulers metode p. 1/2 Differentialligninger m(t) H(t) d(h(t)) dt = 0.0125m(t) 0.001772 H(t) hvor m(t) er kendt og H(t) skal

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger

Læs mere

Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.

Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7. Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge

Læs mere

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006

Den Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006 Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato

Læs mere

Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method

Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Rasmus Søgaard Christensen (2008 4030) 10. juli 2011 Indhold Indhold 1 1 Introduktion 2 1.1 Systemet under betragtning.......................

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan

Reaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5

Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Vejledende eksamensopgaver 16. januar 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter

Læs mere

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004 Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i

Læs mere

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19

Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

er en n n-matrix af funktioner

er en n n-matrix af funktioner Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1

En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1 En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1 Ole G. Mouritsen og Hans Jørgen Munkholm 21. oktober 2003 1 Hængebroen Et stykke af kablet af den omtalte form har i vort koordinatsystem endepunkter med koordinater

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

Harmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47

Harmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47 Harmonisk oscillator Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47 28. november 2007 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 3 Fremgangsmåde 3 4 Resultatbehandling

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal

Læs mere

Note om Laplace-transformationen

Note om Laplace-transformationen Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede

Læs mere

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2017 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Hf-enkeltfag Fag og niveau Matematik B A, 1 år (2016-2017) Lærer Janne Skjøth Winde Hold maaa (1608) Oversigt over gennemførte

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr

Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr 8. april 2007 Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr Skrevet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund Introduktion

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Fagmodul i Fysik med ændringer 1. februar 2016

Fagmodul i Fysik med ændringer 1. februar 2016 ROSKILDE UNIVERSITET Studienævnet for Fysik Fagmodul i Fysik med ændringer 1. februar 2016 DATO/REFERENCE JOURNALNUMMER 1. februar 2016 2012-1235 Denne fagmodulbeskrivelse erstatter fagmodulbeskrivelsen

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":

Læs mere

HTX. Matematik A. Onsdag den 11. maj Kl GL111 - MAA - HTX

HTX. Matematik A. Onsdag den 11. maj Kl GL111 - MAA - HTX HTX Matematik A Onsdag den 11. maj 2011 Kl. 09.00-14.00 GL111 - MAA - HTX 1 2 Side 1 af 7 sider Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte

Læs mere

Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B

Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B 1 Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B Bent Selchau Indledningsvis vil vi betragte to typer populationsudviklinger, som altid bliver gennemgået i matematikundervisningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2015-forår 2016 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Projekt: Logistisk vækst med/uden høst

Projekt: Logistisk vækst med/uden høst Projekt: Logistisk vækst med/uden høst I dette projekt skal vi arbejde med differentialligninger, specielt med logistisk vækst og med en udvidelse, hvor der indgår høst. Den eksponentielle vækst (type:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2013 Institution Campus Vejle, VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik A Pia Kejlberg

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger en blid start på Differentialligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013 Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi

Læs mere

Note om interior point metoder

Note om interior point metoder MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af

Læs mere

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene

Læs mere

Svingninger & analogier

Svingninger & analogier Fysik B, 2.år, TGK, forår 2006 Svingninger & analogier Dette forsøg løber som tre sammenhængende forløb, der afvikles som teoretisk modellering og praktiske forsøg i fysiklaboratorium: Lokale 43. Der er

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere