Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion
|
|
- Anton Kronborg
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion Thomas Arildsen, Arne Jensen, Rafael Wisniewski Version august Indledning Dette dokument giver en introduktion til projektmodulet på 3. semester matematik-teknologi uddannelsen. Ifølge studieordningen [8] er temaet dynamiske systemer. Dette er et meget bredt tema. I denne introduktion giver vi en afgrænsning af temaet og nogle forslag til emner man kan koncentrere projektet om. Et dynamisk system kan for eksempel være et pendul eller en tennisbold. I begge eksempler er det systemets tidsudvikling man ønsker at studere. Den første afgrænsning af projektet består i at vi studerer systemer der har en kontinuert tidsparameter. En af grundene til denne afgrænsning er, at 4. semesters projekttema er centreret om diskret tid systemer. Derudover er der på 4. semester et kursus i diskret tid systemer. Et dynamisk system med kontinuert tid er oftest beskrevet ved brug af differentialligninger. Vi vil begrænse os til dynamiske systemer der kan beskrives ved hjælp af systemer af sædvanlige differentialligninger. Lad os se på eksemplet med en tennisbold. Der er valgt et koordinatsystem med lodret z-akse. Positionen til tiden t er beskrevet ved en positionsvektor r(t). Hastigheden r(t) og a(t) = d2 dt 2 r(t). Fysikkens love giver og accelerationen til tiden t er givet ved v(t) = d dt en ligning mellem de tre vektorer r(t), v(t) og a(t), den dynamiske ligning. I eksemplet er det Newtons lov, der siger at ma(t) = F(t, r(t), v(t)), (1.1) hvor F er den kraft der påvirker tennisbolden og m er dens masse. Skrevet som et system af differentialligninger er det m d2 r(t) = F(t, r(t), d r(t)). (1.2) dt 2 dt For at komme videre i analysen af dette dynamiske system skal vi beslutte hvilken model vi vil anvende for kraften. Man kan vælge at modellere tennisbolden som en punktpartikel og alene at tage hensyn til tyngdekraften, eller man kan vælge at modellere tennisbolden som en genstand med en endelig udstrækning, hvor det så bliver relevant at tage hensyn til luftmodstanden. Man kan også inddrage tennisboldens rotation (spin). Modellen kan hurtigt blive meget kompliceret. Eksemplet giver nogle af de deltemaer der kan indgå i projektet. 1. Modellering af dynamiske systemer. 2. Eksistens af løsninger til systemer af sædvanlige differentialligninger. Entydighed af løsning. Løsningers afhængighed af begyndelsesbetingelser og parametre. Er der løsninger for vilkårligt lange tidsrum? 1
2 3. Approksimation af løsninger til systemer af sædvanlige differentialligninger. Numeriske og grafiske metoder til undersøgelse af løsningerne. 4. Hvor god en beskrivelse giver den approksimative model af det dynamiske system? 2 Matematiske aspekter De matematiske værktøjer, der er til rådighed til en stringent analyse af et differentialligningssystem som (1.2) er blandt andet den lineære algebra fra 1. semester og calculus fra 2. semester. Derudover kurserne Analyse 1 og Linearitet og differentiabilitet, som skal følges i dette semester. Lad os se på et simpelt problem, en enkelt første ordens differentialligning: dt = ax, a R. (2.1) Det er velkendt at samtlige løsninger er x(t) = ce at, c R en vilkårlig konstant. En entydig løsning fås, hvis man tilføjer en begyndelsesbetingelse, for eksempel x(t 0 ) = x 0, således at løsningen der opfylder denne betingelse er x(t) = x 0 e a(t t 0). En generel første ordens differentialligning for en enkelt funktion x(t) er af formen dt = f(t, x), (2.2) hvor f : Ω R er en funktion, der er defineret på en åben delmængde Ω R 2. En begyndelsesbetingelse er givet ved x(t 0 ) = x 0, (t 0, x 0 ) Ω. (2.3) For at formulere et matematisk resultat er det nødvendigt at gøre antagelser om funktionen f. En mulig antagelse er at forlange, at f : Ω R skal være en kontinuert funktion. Under den antagelse er der altid en løsning til (2.2) der opfylder (2.3), men den er ikke nødvendigvis entydig. Det leder til første problemstilling. Problemstilling 2.1. Formulér præcise betingelser for eksistens og entydighed af løsninger til et begyndelsesværdiproblem (2.2), (2.3). Det resultat man kan formulere generelt er et lokalt eksistensresultat. Det betyder, at løsningen eksisterer i et (lille) interval (t 0 δ, t 0 + δ). Det leder til følgende problemstilling. Problemstilling 2.2. Undersøg eksistens af et maksimalt løsningsinverval I max t 0. Hvis f er defineret på hele R 2, er der betingelser på f der sikrer at I max = R? I anvendelser har man ofte data der er behæftet med fejl. Det er derfor relevant at spørge, at hvis vi har to begyndelsesbetingelser x(t 0 ) = x 0 og x(t 0 ) = x 0, hvor x 0 x 0 er lille, vil de to løsninger også være tæt på hinanden? Hvis det er tilfældet taler man ofte om stabilitet af løsninger. Man kan også spørge om stabilitet hvis vi ser på løsninger til to differentialligninger hvor f(t, x) f(t, x) er lille. dt = f(t, x) og dt = f(t, x), (2.4) Problemstilling 2.3. Undersøg stabilitet af løsninger til et begyndelsesværdiproblem (2.2), (2.3). Dette omfatter en præcisering af hvad der menes med at x 0 x 0 er lille, eller at f(t, x) f(t, x) er lille. 2
3 Der er mange varianter af formuleringen af stabilitet. Det er et meget vigtigt begreb i anvendelser og i modellering. Det vil vise sig at det kan være svært at præcisere hvad man forstår ved stabilitet. I stedet for en enkelt første ordens differentialligning kan man se på et system af første ordens differentialligninger. Et eksempel på et system af to differentialligninger er Begyndelsesbetingelsen er da af formen Ofte anvender man vektornotation [ ] x1 (t) x(t) =, x x 2 (t) 0 = 1 dt = f 1(t, x 1, x 2 ), 2 dt = f 2(t, x 1, x 2 ). x 1 (t 0 ) = x 01, x 2 (t 0 ) = x 02. [ x01 x 02 ], f(t, x) = således at begyndelsesværdiproblemet kan skrives på formen [ ] f1 (t, x 1, x 2 ), f 2 (t, x 1, x 2 ) dt = f(t, x), x(t 0) = x 0. (2.5) Problemstillingerne ovenfor kan generaliseres til et system af N første ordens differentialligninger. Problemstilling 2.4. Formulér resultater for systemer af første ordens differentialligninger, der er analoge med resultaterne for en enkelt første ordens differentialligning. Systemet (1.2) er et system af tre anden ordens sædvanlige differentialligninger. Man kan reducere dette system til et system af seks første ordens differentialligninger. Vi ser først på en enkelt anden ordens differentialligning Vi introducerer d 2 x dt 2 x 1 = x, Ligningen (2.6) kan da skrives som systemet = f(t, x, ). (2.6) dt 1 dt = x 2. 2 dt = f(t, x 1, x 2 ). x 2 = dt. (2.7) Generalisationen til orden højere end to og til systemer af højere ordens differentialligninger er ligefrem. Igen er det en fordel at benytte vektornotation. Det er vigtigt at have kendskab til et antal sædvanlige differentialligninger, der kan løses på lukket form. Et simpelt eksempel er given i (2.1). Det leder til følgende problemstilling. Problemstilling 2.5. Lav et katalog over nogle første og anden ordens sædvanlige differentialligninger, der har løsninger på lukket form. Giv eksempler på systemer af første ordens differentialligninger, der har løsninger på lukket form. 3
4 En vigtig klasse af systemer af første ordens differentialligninger er dem, der af matematikere kaldes lineære og autonome. Autonome systemer kaldes af ingeniører for tidsinvariante systemer. Lad A være en reel N N matrix, og lad x(t) være en vektorfunktion x: I R N, I R. Et lineært og autonomt første ordens system af differentialligninger med en begyndelsesbetingelse er da givet som dt = Ax, x(0) = x 0. (2.8) Ligningen (2.1) er et eksempel på (2.8), svarende til N = 1. Løsningen er givet ved en eksponentialfunktion, se ovenfor. Formelt set er løsningen til (2.8) også givet ved en eksponentialfunktion x(t) = e ta x 0. (2.9) Dette giver først mening når vi har defineret eksponentialfunktionen af en matrix. Heraf følger Problemstilling 2.6. Hvordan kan vi definere e ta, når A er en N N matrix? Hvilke egenskaber har e ta? Hvordan kan vi beregne e ta? 3 Numeriske aspekter I kurset Computerstøttede beregninger er der givet en introduktion til nogle metoder til numerisk løsning af sædvanlige differentialligninger. Man kan vælge at arbejde videre med disse metoder, både for at illustrere løsninger til nogle ligninger, og med henblik på en teoretisk forståelse af de numeriske metoder. Man kan også vælge at studere andre algoritmer til numerisk løsning af differentialligninger. For eksempel implicitte metoder og multistep metoder (Adams-Bashforth-Moulton metoder) Til illustration af løsninger og for eksempel stabilitet/instabilitet kan man også anvende Maple pakken DEtools. Det anbefales som minimum at sætte sig ind i den version af Runge-Kutta metoderne, der kaldes enten Runge-Kutta-Fehlberg eller RKF4(5). Det er en af de oftest anvendte algoritmer til løsning af systemer af sædvanlige differentialligninger. Det er en adaptiv version af den klassiske RK4 algoritme. RKF4(5) justerer automatisk skridtlængden baseret på en på forhånd givet tolerance for den numeriske løsning. De numeriske metoder spiller en vigtig rolle, da de allerfleste differentialligninger ikke kan løses på lukket form. 4 Anvendelser Der er utallige anvendelser af differentialligninger. Nedenfor er angivet et par eksempler. I porjektet anbefales det at vælge én anvendelse, og analysere den baseret både på meget simple modeller og på mere realistiske modeller. 4.1 Rovdyr-byttedyr modeller Nogle af disse modeller blev analyseret ved numeriske eksperimenter i kurset Computerstøttede beregninger. Vi repeterer den basale model. 4
5 Populationen af byttedyr til tiden t er x 1 (t), og populationen af rovdyr er x 2 (t). Udviklingen i tid kan modelleres ved følgende system af differentialligninger 1 dt (t) = αx 1(t) βx 1 (t)x 2 (t), (4.1) 2 dt (t) = γx 2(t) + δx 1 (t)x 2 (t). (4.2) Her er α, β, γ, og δ fire positive parametre, der karakteriserer systemet. Parameteren α er vækstraten for byttedyrene, mens leddet βx 1 (t)x 2 (t) angiver med hvilken rate byttedyrene bliver spist af rovdyrene. Parameteren γ angiver hvor hurtigt rovdyrene uddør, hvis der ingen byttedyr er. Endelig angiver leddet δx 1 (t)x 2 (t) vækstraten i rovdyrene, når de spiser byttedyrene. I de numeriske eksperimenter blev det vist, at løsningskurverne alle var lukkede kurver. Det leder til følgende problemstilling Problemstilling 4.1. Gennemfør en matematisk analyse af alle løsninger til systemet givet ved (4.1) og (4.2). Når den matematiske analyse er gennemført kan man begynde at se på forskellige mulige generalisationer, hvor man for eksempel erstattet den eksponentielle vækstmodel for byttedyrene med den logistiske model. Det leder til systemet 1 dt (t) = αx 1(t) βx 1 (t)x 2 (t) µx 1 (t) 2, 2 dt (t) = γx 2(t) + δx 1 (t)x 2 (t). Alle fem parametre ovenfor er positive. Dette system kan man også forsøge at analysere matematisk, og man kan se på andre mulige generalisationer. 4.2 Pendulet Det matematiske pendul består af en ideel stang ophængt friktionsfrit, så at stangen kan bevæge sig i en lodret plan. For enden af stangen er en masse, der modelleres som en punktpartikel med masse m. Længden at stangen er l, og gravitationskonstanten betegnes med g. Vinklen mellem stangen og en lodret linie gennem ophænget betegnes med θ. Pendulets svingninger er da i denne model bestemt ved følgende differentialligning d 2 θ dt + g sin θ = 0. (4.3) 2 l I en mere detaljeret model kan man inddrage luftmodstand og friktion i ophænget. Man kan også modellere stangen som et fysisk objekt med endelig udstrækning og med en masse, der ikke er nul. I en mere idealiseret model antager man, at man kun ser på små udsving, dvs θ lille. Fra Taylors formel får vi da, at sin θ θ og ligningen bliver da d 2 θ dt + g θ = 0. (4.4) 2 l Det er den ligning der oftest bruges til at beskrive et pendul. Problemstilling 4.2. Gennemfør en matematisk analyse af (4.4). Analysér løsningerne til (4.3) numerisk. Påbegynd en matematisk analyse af (4.3). 5
6 4.3 Kranen Model for det matematiske pendul kan udvides til at beskrive en kran. Kort sagt består en kran af et pendul med en last, hvor pendulet er monteret på en vogn. Bevægelse af lasten beskrives af to koordinater x = (x 1, x 2 ) i R 2 x 1 = y 1 + l sin θ x 2 = l cos θ, hvor l er afstanden fra vognen til lasten, θ er vinklen mellem kablet og lodret retning, og y = (y 1, 0) er vognens position. Bemærk at vognens bevægelse foregår i vandret retning, som opgives af koordinaten y 1. Variablerne x, y og θ kan ses som funktioner af tiden. I mekanik bruger man ofte en anden notation for afledede med hensyn til tid end den matematikere anvender. Hvis x er en variable der afhænger af tiden t, så skriver man ẋ = dt og ẍ = d2 x dt 2. Deres anden afledede med hensyn til tiden giver ẍ 1 = ÿ 1 θ 2 l sin θ + θl cos θ + 2 θ l cos θ + l sin θ, (4.5) ẍ 2 = θ 2 l cos θ θl sin θ 2 θ l sin θ + l cos θ. (4.6) To krafter påvirker lastens bevægelse: tyngdekraft G og friktion F : G = mg, F = k θ l, hvor m er lastens masse, og k er friktionskoefficienten. Newtons anden lov anvendt på lasten giver mẍ 1 cos θ = mẍ 2 G F. (4.7) Ved at sætte (4.5) og (4.6) i (4.7) får vi følgende differential ligning der beskriver θ ændring i tiden l θ = y 1 cos θ g sin θ 2 θ l k θ ml. (4.8) Derudover beskrives vognens bevægelse ved hjælp af Newtons anden lov Mÿ 1 + bẏ 1 m( θ 2 l + g cos θ) sin θ = K, (4.9) hvor M er vognens masse, b er en gnidningskoefficient, K er en ydre kraft (fra vognens motor eller lignende). Udtrykket θ 2 l i (4.9) er centripetalaccelerationen. Ligningerne (4.5), (4.6), (4.8) og (4.9) tilsammen danner en model for kranen dvs. vognen med hængende last. Hvori variablerne l og K kan styres af kranens operatør. 4.4 Masse-fjeder-systemer Mange systemer i vores dagligdag kan modelleres som forskellige kombinationer af masser og fjedre. Det gælder mange systemer, som kan vibrere/oscillere på forskellig vis. Sådanne systemer kan evt. modelleres mere kompleks ved at inkludere dæmpning. Tænk f.eks. på bilers ophæng med støddæmpere, springmadrasser, trampoliner, Hoptimisten osv. 6
7 Figur 1: Hoptimisten. Som et simpelt eksempel på et masse-fjeder-system kan vi betragte en enkelt masse ophængt i en enkelt fjeder uden dæmpning, se Figur 2a. En fjeder udøver en kraft proportional med den længde, fjederen er udstrakt/sammentrykket i forhold til sit ligevægtspunkt (Hooke s lov): F = kx (4.10) hvor k [N/m] er en fjederkonstant, som udtrykker, hvor stærk fjederen er, og x [m] er den udstrakte afstand af fjederen. Det negative fortegn udtrykker, at fjederen trækker/skubber imod træk-/trykretningen. I eksemplet (Figur 2a) vil tyngdekraften ud over fjederen påvirke massen med en kraft: F = ma = m d2 x dt 2 (4.11) hvor m [g] er massen og a [m/s 2 ] er accelerationen her tyngdeaccelerationen a = g. Hvis vi betragter situationen med ligevægt mellem kræfterne, kan vi opstille følgende ligning: F = m d2 x = kx (4.12) dt2 (4.12) udtrykker en differentialligning, som for dette simple system har løsningen: x(t) = A cos(ωt + φ) (4.13) Heraf kan vi se, at massen i dette tilfælde vil oscillere harmonisk (cosinus-funktionen). m m m k k k1 k2 (a) Massefjeder-system. (b) Massefjeder-system med rotation. (c) Massefjeder-system med to fjedre. Figur 2: Eksempler på masse-fjeder-systemer. 7
8 Som sagt kan vi fra dette første simple system udvide systemerne på mange forskellige måder. To eksempler ses i Figur 2b og 2c. I Figur 2b tilføjes endnu en bevægelsesretning; rotation omkring fjederens akse, og i Figur 2c tilføjes endnu en fjeder således, at massen er ophængt på to forskellige fjedre i forlængelse af hinanden. Dette er blot to af uendeligt mange eksempler. Man kunne også betragte to forskellige fjedre forbundet parallelt ved siden af hinanden eller tilføje en dæmpning dvs. et element med friktion, som bremser bevægelsen. Herudover kunne man udvide de nævnte en-dimensionelle eksempler til bevægelser i to eller flere dimensioner. Projektgruppen kan selv finde eksempler på anvendelser til inspiration i opbygningen af systemet. Vejlederne kan her hjælpe med afgrænsning af systemet til en passende kompleksitet. 5 Litteratur Der findes en meget omfattende litteratur om differentialligninger, på mange forskellige niveauer. Her er kun nogle få bøger nævnt. Først nogle af bøgerne anvendt på 1. og 2. semester. Lærebogen fra Calculus [2] har i Chapter 8 en introduktion til differentialligninger. Kompendiet til Calculus [6] har en del resultater vedrørende differentialligninger. Lærebogen fra Computerstøttede beregninger [9] indeholder mange relevante resultater. Appendix E i Langtangens bog [4] har en del information om numerisk løsning af differentialligninger i Python. Bogen af Hirsch et al. [3] indeholder meget information om differentialligninger og dynamiske systemer. Den starter relativt elementært, men når meget langt. En stor del af bogen kræver forudsætninger, som I endnu ike har. Bogen af Betounes [1] er en god matematisk solid introduktion til dynamiske systemer og differentialligninger. Bogen af Møller [5] giver en meget stringent introduktion til sædvanlige differentialligninger. Den helt nye bog af Strang [7] indeholder utrolig meget information om differentialligninger, lineær algebra, og samspillet mellem disse. Bogen er skrevet til ingeniør-studerende, og indeholder ikke stringente matematiske beviser. Men den indeholder mange eksempler og modeller, og korte beskrivelser af hovedresultater for disse. 6 Krav til projektet Der er i studieordningen [8] stillet en række krav til projektet. Kravene under indgangene Viden og Færdigheder vil given mening efterhånden som projektetarbejdet gennemføres. Kravene under Kompetencer kræver nok et par kommentarer. Det første krav er skal ud fra givne forudsætninger kunne ræsonnere og argumentere med matematiske begreber indenfor lineær algebra og matematisk analyse Det betyder at der i projektet skal være korrekte beviser og argumenter for et antal centrale resultater vedrørende samspillet mellem lineær algebra og sædvanlige differentialligninger. Med andre ord, numeriske beregninger er ikke nok for at etablere et resultat. Det andet krav er skal udvikle og styrke sin evne til mundtligt og skriftligt at kunne give en korrekt og præcis matematisk fremstilling 8
9 var også et krav til projektet på 2. semester. I vil opleve at det kræver en betydelig indsats af formulere et matematisk bevis korrekt, både mundtligt og skriftligt. Vedrørende afvejningen mellem de teoretiske og matematiske overvejelser og analyse af konkrete modeller baseret på differentialligninger, så er kravene, at mindst 1 af projektet skal 3 koncentrere sig om det matematisk stringente, og mindst 1 af projektet skal koncentrere sig om 3 analyse af en konkret model eller anvendelse. Litteratur [1] D. Betounes, Differential Equations: Theory and Applications, Springer [2] C. H. Edwards and D. E. Penney, Calculus Early transcendentals, 7th ed., Prentice Hall, [3] M. E. Hirsch, S. Smale, and R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 2nd ed., Elsevier [4] H. P. Langtangen, A Primer on Scientific Computing with Python, 3rd ed., Springer [5] J. S. Møller, Ordinary Differential Equations. An Introduction for Mathematicians, Aarhus Universitet [6] E. B. Saff et al., Complex numbers and differential equations, Custom print (2nd edition), Pearson, [7] G. Strang, Differential Equations and Linear Algebra, SIAM [8] Studieordning for bacheloruddannelsen i matematik-teknologi, [9] P. Turner, Guide to scientific computing, Macmillan Press
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereDet Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik E-OPG 3
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Basisår 2003-2004 Computerstøttet Beregning Naturvidenskab - Datalogi/Software/Matematik 1 Introduktion E-OPG 3 Dette er den tredje store opgave, som skal danne grundlag
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereFordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Analyse 2, forår 2012 Potensrækker Udarbejdet af Arne Jensen 1 Indledning I forbindelse med kurset Matematisk Analyse 2 på Mat 2 afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang af 3 ECTS.
Læs mereComputerstøttet beregning
CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereFysik 2 - Oscillator. Amalie Christensen 7. januar 2009
Fysik 2 - Oscillator Amalie Christensen 7. januar 2009 1 Indhold 1 Forsøgsopstilling 3 2 Forsøgsdata 3 3 Teori 4 3.1 Den udæmpede svingning.................... 4 3.2 Dæmpning vha. luftmodstand..................
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereEulers metode. Tom Pedersen //Palle Andersen. Aalborg University. Eulers metode p. 1/2
Eulers metode Tom Pedersen //Palle Andersen pa,tom@es.aau.dk Aalborg University Eulers metode p. 1/2 Differentialligninger m(t) H(t) d(h(t)) dt = 0.0125m(t) 0.001772 H(t) hvor m(t) er kendt og H(t) skal
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereDen Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006
Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato
Læs mereFri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereDIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Læs mere2. ordens differentialligninger. Svingninger.
arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af
Læs mereOversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereNumeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method
Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Rasmus Søgaard Christensen (2008 4030) 10. juli 2011 Indhold Indhold 1 1 Introduktion 2 1.1 Systemet under betragtning.......................
Læs mereOversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Vejledende eksamensopgaver 16. januar 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereMat 6 projekt Projektoplæg 22. januar 2013
1 Generelt om projektet For nogle af de studerende er 6. semester det semester hvor man skal skrive bachelorprojekt. Andre har allerede skrevet bachelorprojekt i et andet fag. For dem er det et almindeligt
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må
Læs mereDavid Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1
1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereKræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.
Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den
Læs mereHarmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter
Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 19
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 19 Morten Grud Rasmussen 15. november, 2013 1 Mangeskridtsmetoder til løsning af førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.2 side 908] 1.1 Adams-Bashforth-metoder
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at
Læs mereer en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereEn besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1
En besvarelse af Mat-A Fys-A Projekt nr. 1 Ole G. Mouritsen og Hans Jørgen Munkholm 21. oktober 2003 1 Hængebroen Et stykke af kablet af den omtalte form har i vort koordinatsystem endepunkter med koordinater
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2017-forår 2018 Institution Videndjurs, Grenaa Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereUddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne
Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mereOpgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:
Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2017 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Hf-enkeltfag Fag og niveau Matematik B A, 1 år (2016-2017) Lærer Janne Skjøth Winde Hold maaa (1608) Oversigt over gennemførte
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2013 Institution Campus Vejle, VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik A Pia Kejlberg
Læs mereHarmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47
Harmonisk oscillator Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47 28. november 2007 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 3 Fremgangsmåde 3 4 Resultatbehandling
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2019 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik A Jane Madsen X2maA18s
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereKræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011
Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereÅrsplan for 7. klasse, matematik
Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereStudieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr
8. april 2007 Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr Skrevet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund Introduktion
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereStudieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr
8. april 2007 Studieretningsprojekt i matematik og biologi Lotka-Volterra modellen en beskrivelse af forholdet mellem byttedyr og rovdyr Skrevet af Flóvin Tór Nygaard Næs og Lise Danelund Introduktion
Læs mereSelam Friskole Fagplan for Matematik
Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt
Læs mereIntroduktion til den afledede funktion
Introduktion til den afledede funktion Scenarie: Rutsjebanen Tilsigtede viden Bredere kompetencemål Nødvendige matematiske forudsætninger Tid Niveau Materialer til rådighed At give en forståelse for konceptet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereFagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne
Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereEmne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter
Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mere