Kapitel 1. Planintegraler
|
|
- Gerda Clausen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik for Ingeniører, bd.2. Vi skal nu se, hvorledes man kan indføre et integralbegreb, som tillader én at integrere funktioner af to variable. Dette vil ske i fuldkommen analogi til det allerede i gmnasiet indførte bestemte integral, hvor man kan integrere kontinuerte funktioner over et begrænset interval [a, b]. Som bekendt kan et sådant integral tolkes som et areal (selv om der i mange sammenhænge ikke er knttet denne tolkning til anvendelsen). Vi vil således også i dette kapitel udelukkende beskæftige os med kontinuerte funktioner - men altså nu funktioner af to variable - og integrationsmængden bliver her et begrænset område i planen (dette præciseres lidt senere). Integralet af funktioner af 2 variable (som kaldes planintegralet) defineres nu på en måde, der gør, at det kan tolkes som et volumen helt i analogi med det -dimensionale integralbegreb. Vi tilstræber ikke at give en i matematisk henseende helt stringent fremstilling - hvilket ville være en ganske omstændelig affære. Indførelsen af det ne integralbegreb vil derfor i en vis udstrækning have intuitiv karakter. Således vil vi eksempelvis i argumentationen udelukkende se på funktioner, der ikke er negative. Dette sker kun i den indledende fase, og resultaterne vil have almen gldighed. = f () z z = f (,) a b Areal = b a f ()d Figur.:
2 2 KAPITEL. PLANINTEGRALER Af figur. fremgår, at planintegralet vil betde volumenet mellem et område i -planen og den derover beliggende del af fladen givet ved ligningen z = F(,). Dette på samme måde, som integralet af en funktion af én variabel betder arealet mellem et interval på -aksen og den derover beliggende del af grafen givet ved ligningen = f ().. Planintegral - definition Vi ser nu på et givet område i -planen, om hvilket vi forudsætter, at det er begrænset af en lukket, sammenhængende kurve, der ikke har dobbeltpunkter udover, hvad der ligger i, at kurven er lukket. Det er således herunder forudsat, at området har et bestemt areal Areal() = A. Endvidere lader vi F(, ) være en funktion, hvis definitionsmængde indeholder som delmængde, og som er begrænset på. Vi interesserer os for den mængde i rummet, der nedadtil er begrænset af, til siderne er begrænset af den lodrette clinderflade, der går gennem randen af, og opadtil er begrænset af den del af fladen, der afskæres af denne clinderflade. Denne mængde kaldes Ω, og vi skal nu se, hvorledes vi kan tillægge Ω et volumen V. Vi inddeler i n delområder, 2,, n, hvis arealer vi kalder A,A 2,,A n. Lad os tage delområde nr. i ud (i {,2,,n}) og se på den mængde Ω i i rummet, der - dannet på samme måde, som vi gjorde for - ligger over i. Vi sammenligner nu mængden Ω i med to lodrette clindre, der begge har i som grundflade. Højderne i de to clindre er henholdsvis den mindste værdi g i og største værdi G i af de funktionsværdier for F, der fås, når (,) ligger inden for i. z G i i g i i Areal A i Figur.2: Da volumenet af en clinder er højde gange grundflade, bliver volumenet af de to clindre henholdsvis g i A i og G i A i. Det er oplagt, at hvis vi skal tillægge Ω et volumen V, så må der om dette gælde n i= g i A i V n i= G i A i (.) Man kan nu forestille sig, at man ved at foretage en finere og finere inddeling af vil få en bedre og bedre tilnærmelse til V, idet de to summer i (.) vil nærme sig hinanden mod én fælles værdi V. Dette
3 .2. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I RETVINKLEDE KOORDINATER 3 er også korrekt, hvis funktionen F(, ) er kontinuert. Hvis man imidlertid frafalder dette krav, kan man finde eksempler på, at de to summer nok nærmer sig mod hinanden, men at der uanset hvilken inddeling af man vælger, er en grænse for, hvor tæt de kan komme hinanden. I sådanne tilfælde kan volumenet ikke defineres. Vi fastholder imidlertid her kravet om kontinuitet, og den fælles værdi, som summerne i dette tilfælde nærmer sig mod, kaldes funktionen F s planintegral over området og dette betegnes F(, )dσ Vi sammenfatter ovenstående i følgende boks: Planintegralet er defineret, hvis der findes netop ét tal, der er større end eller lig enhver såkaldt undersum n i= g ia i og mindre end eller lig enhver oversum n i= G ia i (svarende til alle mulige inddelinger af området ). I så fald siges funktionen F at være integrabel over og det pågældende tal kaldes planintegralet af F over. Hvis specielt F er kontinuert i, så er F integrabel over. Det skal uden bevis nævnes, at der for integrable funktioner gælder sætninger, vi kender fra integraler af funktioner af én variabel. Således har man for eksempel; (F (,) + F 2 (,))dσ = F (,)dσ + F 2 (,)dσ k F(,)dσ = k F(, )dσ Nu er det store spørgsmål så: Hvorledes beregner vi planintegralet? I det foregående har vi set, hvorledes det defineres, men der er ikke meget hjælp at hente til en umiddelbar beregning i et konkret tilfælde. Dette drejer de to næste afsnit sig om. Vi vil afslutte dette afsnit ved at bemærke, at man kan finde arealet A() af som planintegralet over af funktionen F(,) =. Dette svarer til, at en skive med tkkelsen og grundfladearealet A har volumenet A = A..2 Udregning af planintegral i retvinklede koordinater Vi ser nu på sådanne plane områder, der er begrænset af linierne = a og = b samt kurverne givet ved = f () og = g(). Her er de to funktioner f og g kontinuerte på [a,b], og det forudsættes, at der inden for dette interval gælder f () g(), se figur.3 Hvis F(,) er en funktion, der er givet at være kontinuert på mængden, kan man vise, at der om planintegralet af F over gælder det vigtige udtrk; b ( g() ) F(,)dσ = F(, )d d (.2) a Integralet på højre side kaldes et dobbeltintegral, og det udregnes, således som skrivemåden angiver. Først udregnes det inderste integral i parantesen. Dette bliver en funktion af. Derefter udføres den anden integration. Vi skal om lidt se, hvorledes (.2) er nem at forstå (og opskrive), når man tolker planintegralet som et volumen. Forinden vil vi se på en konkret udregning ved brug af formlen. f ()
4 4 KAPITEL. PLANINTEGRALER = g() = f () a b Figur.3: Eksempel.. Lad være den plane punktmængde, der er afgrænset af ulighederne ; 2 + således som vist på figur.4, og lad funktionen F være givet ved udtrkket F(,) =. ( ) 2 + F(,)dσ = d d = = 2 = 4 [ 2 2 ] = 2 + = d ( ( 2 + ) 3) d [ 2 ] = 4 = 2 + = Figur.4:
5 .2. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I RETVINKLEDE KOORDINATER 5 Vi vil nu se nærmere på (.2) og gennem figur.5 give en intuitiv forklaring på formlen. Det på figur.5a viste fremhævede snit har arealet A() = =g() = f () F(, )d og den på figur.5b viste skive af tkkelsen d får da (tilnærmelsesvis) volumenet ( =g() ) A()d = F(, )d d = f () Integrationen med hensn til summerer da alle disse skivevolumener op til hele det samlede volumen. Når vi på denne måde deler en mængde Ω i rummet op i skiver og derefter bentter betragtningsmåden ovenfor til at bestemme volumenet af Ω, så siger vi, at vi har brugt skivemetoden. (a) z (b) z a b Areal A() + d d Figur.5: Beregningerne i eksempel. svarer til, at der er foretaget en opdeling i skiver, der er parallelle med z-planen. Ofte kan man imidlertid med fordel dele Ω op i skiver, der er parallelle med z-planen. Det afhænger dels af mængden og dels af selve funktionen, hvilken opdeling, der er at foretrække. I givet fald vil være beskrevet ved = {(,) c d h() k()}. Vi vil i denne forbindelse kntte følgende kommentar til selve måden at skrive dobbeltintegralet på. Almindeligvis anvendes en anden skrivemåde for dobbeltintegralet end den, der er vist i (.2) og benttet i eksempel., nemlig; F(,)dσ = F(,)dσ = b a d c g() d d f () k() h() F(,)d F(,)d (opdeling i skiver parallelle med z-planen) (opdeling i skiver parallelle med z-planen) (.3) En sådan skrivemåde gør det formentlig lettere at aflæse, hvilke integrationsgrænser der kntter sig til hver af de to variable. Det er naturligvis vigtigt at fremhæve, at der ikke er tale om et produkt mellem de to integraler. Man udregner dobbeltintegralerne i (.3) fra højre mod venstre. Vi vil bentte
6 6 KAPITEL. PLANINTEGRALER denne skrivemåde i eksempel.3 nedenfor, så man kan gøre sig fortrolig med formuleringen. Eksempel.2. Lad A være den mængde i planen som er givet ved: Vi ønsker at beregne: Vi får: A f (,)dσ = = = = = 2 = 32 5 A ; f (,)dσ, hvor f (,) = d ( )d 2 ([ ] +2 = 2 ) d ( ( + 2)( ) + 2 ( + 2)2) ( ( 2 ) + ( 2 ) ( 2 )2) d ( ) d 2 [ ] Eksempel.3. Lad være den plane punktmængde, der er afgrænset af ulighederne ; 2 således som vist på figur.6, og lad funktionen F være givet ved udtrkket F(,) = e 2. Hvis vi her vælger en opdeling med skiver, der er parallelle med z-planen, kan planintegralet skrives som F(,)dσ = d 2 e2 d Da vi imidlertid ikke kan udregne integralet af e 2 prøver vi med en opdeling med skiver parallelle med z-planen. Vi formulerer da mængden som de (,) der tilfredsstiller ulighederne ;
7 .3. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I POLÆRE KOORDINATER 7 Med denne formulering fås F(,)dσ = = = 2 F(,)dσ = 4 d [ 2 2 e 2 d ] = = e 2 d, e t dt = 4 e 2 d som ved brug af substitutionen 2 = t, 2d = dt giver [ e t ] = e 4 = 2 = 2 Figur.6:.3 Udregning af planintegral i polære koordinater Undertiden har funktionen F eller integrationsområdet en sådan form, at man i stedet for at bentte de retvinklede koordinater og med fordel kan gå over til polære koordinater r og θ, således som vist på figur.7a. Integrationsområdet forudsættes nu begrænset dels af to linier, der i polære koordinater har ligningerne θ = α og θ = β, og dels af to kurver, der i polære koordinater har ligningerne r = φ(θ) og r = ψ(θ). Vi minder om, at de retvinklede og polære koordinater er forbundet ved ligningerne = r cosθ = r sinθ Endvidere tænkes der ligesom tidligere at foreligge en funktion F(, ), der er kontinuert i. Det kan da vises, at der om planintegralet af F over gælder følgende vigtige formel: β ψ(θ) F(,)dσ = dθ F(r cosθ,r sinθ)rdr (.5) α φ(θ) (.4)
8 8 KAPITEL. PLANINTEGRALER Dette er den polære udgave af (.2). Dette dobbeltintegral kan igen tolkes som et volumen, og (.5) er intuitivt let forståelig, når man sammenholder med figur.7b. Da en cirkelbue med radius r og svarende til en åbningsvinkel v har buelængden rv, vil den med mørke raster viste mængde tilnærmelsesvis være et rektangel med arealet rdrdθ. Volumenet af den søjle, der står herpå og strækker sig op til grafen for F bliver da tilnærmelsesvis F(r cosθ,r sinθ)rdrdθ. Den første integration med hensn til r giver da volumenet over det med raster viste område, hvorefter integrationen med hensn til θ giver det samlede volumen. (Igen skal det pointeres, at selv om planintegralet kan fortolkes som et volumen, så er der i mange sammenhænge ikke knttet en sådan tolkning til anvendelsen). (a) θ = β (b) areal rdθ dr rdθ β r = φ(θ) α r = ψ(θ) θ = α dθ θ r dr Figur.7: Eksempel.4. Lad f (,) = + 2 og lad B være mængden, som i polære koordinater er givet ved: r 2 ; θ π 4 Vi ønsker at (a) tegne B og at (b) beregne B f (,)dσ. (a): Mængden B er skitseret i figur.8. (b): Da = rcos(θ) og = rsin(θ) fås, idet dσ = rdrdθ:
9 .3. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I POLÆRE KOORDINATER 9 B f (,)dσ = = π 4 dr dr π 4 ( rcos(θ) + 2rsin(θ) ) rdθ r 2( cos(θ) + 2sin(θ) ) dθ = r 2[ sin(θ) 2cos(θ) ] θ= π = (2 2 )r2 dr 2 = (2 2 )[ 3 r3] 2 2 = (2 2 )7 3 θ= dr 2 = B 2 Figur.8: Eksempel.5. Lad være den plane punktmængde, der er afgrænset af ulighederne θ π 4 ; θ r 2 Det overlades til læseren at skitsere dette integrationsområde. Der foreligger derligere funktionen F givet i retvinklede koordinater som F(,) = 2 + 2
10 KAPITEL. PLANINTEGRALER Planintegralet kan nu udregnes som F(,)dσ = = = 3 = 3 π 4 π 4 dθ dθ π 4 2 θ 2 θ r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ rdr r 2 dr (8 θ 3 )dθ [ 8θ 4 θ 4 ] π 4 = 2π 3 π4 372 Eksempel.6. For området givet på polær form således som beskrevet ovenfor kan vi finde et simpelt udtrk for arealet A() ved en reduktion af planintegralet på følgende måde: A() = dσ = β α dθ ψ(θ) φ(θ) rdr = 2 β α ( ψ(θ) 2 φ(θ) 2) dθ I det specifikke tilfælde fra eksempel.5 har vi α =, β = π 4, φ(θ) = θ, og ψ(θ) = 2..4 Tngdepunkt I mange anvendelser spiller begrebet tngdepunkt en vigtig rolle. Vi vil her begrænse spørgsmålet til at se på en tnd skive, idet vi lader området repræsentere denne, og vi behandler således spørgsmålet som et plant problem. Der foreligger desuden en massetæthedsfunktion m(, ), hvorved forstås en funktion med den egenskab, at massen af en hvilken som helst (passende pæn) delmængde D af kan udregnes som planintegralet af m over D. Således er den samlede masse af skiven givet som: M = m(, )dσ (.6) Herefter vælger vi i planen en vilkårlig linie l og definerer momentet med hensn til l som: S l = r(, )m(, )dσ (.7) hvor r betegner afstanden fra linien til punktet (,) regnet med fortegn. Linien deler skiven i to dele, hvor alle punkter i den ene del (som man selv vælger) bidrager positivt, og de øvrige punkter bidrager negativt til momentet. Vi vil nu stille os følgende spørgsmål: Findes der et punkt i med den egenskab, at det for enhver linie gennem punktet gælder, at momentet med hensn til linien er nul? For at undersøge dette vælger vi et punkt (ξ,η) og ser på en linie l gennem dette punkt. Liniens vinkel med -aksen betegnes θ. Idet der for et vilkårligt punkt (,) gælder, at afstanden r(,) kan skrives som r(,) = ( ξ )sinθ ( η)cosθ
11 .4. TYNGDEPUNKT r (,) ( η)cosθ l (ξ,η) θ ξ η θ ( ξ )sinθ Figur.9: kan S l skrives som S l = (( ξ )sinθ ( η)cosθ)m(,)dσ = sinθ ( ξ )m(,)dσ cosθ ( η)m(,)dσ (.8) Af dette udtrk fremgår, at S l er nul for enhver værdi af θ, hvis og kun hvis de to planintegraler begge er nul (sæt først θ = og så θ = π 2 ). Vi har altså = = ( ξ )m(,)dσ = ( η)m(,)dσ = m(,)dσ m(,)dσ ξ m(,)dσ = ηm(,)dσ = m(,)dσ ξ M m(,)dσ η M Det fundne punkt kaldes skivens tngdepunkt, og dets koordinater er da givet ved ξ = M η = M m(,)dσ m(,)dσ (.9) Det bemærkes til sidst, at da momentet med hensn til en linie er uafhængigt af det valgte koordinatsstem, så er også tngdepunktets placering uafhængigt af koordinatsstemet.
12 2 KAPITEL. PLANINTEGRALER Eksempel.7. Vi ser på en tnd skive, der har form af en halvcirkel med radius ρ (tegn selv!) = {(r,θ) θ π r ρ} Idet det er givet, at der er konstant massetæthed m, fås ved udregning af planintegralerne i polære koordinater Mξ = Mη = π π dθ dθ ρ ρ r cosθ mrdr = m ρ3 3 r sinθ mrdr = m ρ3 3 π π cosθdθ = sinθdθ = m 2ρ3 3 = m πρ2 2 4ρ 3π Arealet af skiven er πρ2 πρ2 2, således at der med konstant massetæthed m fås: M = m 2. Tngdepunktet har altså koordinaterne ( (ξ,η) =, 4ρ ) (.) 3π
13 .5. OPGAVER 3.5 Opgaver Opgave. Beregn i hvert af de følgende tilfælde planintegralet over den skraverede mængde S. ) S (2 + )dσ 2) S dσ 3) ( 2 2 )dσ S
14 4 KAPITEL. PLANINTEGRALER 4) S 2 ( + 3)( + 2 ) dσ 5) S ( + 2)dσ Opgave.2 (Areal) Find i hvert af de følgende tilfælde arealet af den skraverede mængde S. )
15 .5. OPGAVER 5 2) Opgave.3 (masse) Beregn i hvert af de følgende tilfælde massen af det skraverede plane legeme S med den 2- dimensionale massetæthed f (,) målt i Kg m 2. Alle mål er i meter. ) f (,) = 2 + 2) f (,) =
16 6 KAPITEL. PLANINTEGRALER 3) f (,) = 2 + Opgave.4 (tngdepunkt) Beregn i hvert af følgende tilfælde tngdepunktet for det skraverede plane legeme S med den 2- dimensionale massetæthed f (,) målt i Kg m 2. Alle mål er i meter. ) f (,) = 2) f (,) = 3) f (,) = 5( 2 + )
17 .5. OPGAVER 7 4) f (,) = Opgave.5 (fordampning) Fordampning fra den skraverede plane flade S er på stedet (,) givet ved Kg målt i. Hvor mange kg fordamper fra hele S på time? Alle mål er i me- hm 2 ter. Opgave.6 (befolkningstal) En cirkelrund b har en befolkningstæthed, der i punktet (, ) er indbggere/m2, hvor (,) er bens centrum, og, måles i meter. Beregn antallet af indbggere inden for en radius på m.
Notesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereIntegration. Frank Nasser. 15. april 2011
Integration Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 9, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael ørdam 1 Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler: efinition (Egentlige
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik A 5 timers skriftlig prøve
Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed
Læs mereKurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereIntegration. Frank Villa. 8. oktober 2012
Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter
Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereOversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013
Eksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereOversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs merelineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1
Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereEksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereKommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende
Læs mereI det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π
Sfærisk geometri 26. Sfæriske trekanter 1 Den sædvanlige plangeometri handler, som navnet antyder, om geometri på en»plan«flade. Som model af den virkelige verden er plangeometrien udmærket, blot man holder
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereOversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereEksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst
Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen
Læs mereOpgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015
Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med 12
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereKapitel , altså 360. Hvad er matematik? 1 ISBN
Kapitel 1 Øvelse 1.4 En forklaring kan være, at man gerne vil se hvor godt modellen passer med de historiske data man allerede kender. Hvis modellen ikke passer med disse, kan man heller ikke forvente,
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereIntegralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)
Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014
Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereReeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014
Reeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG
Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSammenhæng mellem variable
Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...
Læs mereMATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE
MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo Forår 3 På dansk ved Jacob Stevne Jørgensen, sommer Forord til den danske udgave Kros noter, som introducerer
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mere