Kapitel 1. Planintegraler

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kapitel 1. Planintegraler"

Transkript

1 Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik for Ingeniører, bd.2. Vi skal nu se, hvorledes man kan indføre et integralbegreb, som tillader én at integrere funktioner af to variable. Dette vil ske i fuldkommen analogi til det allerede i gmnasiet indførte bestemte integral, hvor man kan integrere kontinuerte funktioner over et begrænset interval [a, b]. Som bekendt kan et sådant integral tolkes som et areal (selv om der i mange sammenhænge ikke er knttet denne tolkning til anvendelsen). Vi vil således også i dette kapitel udelukkende beskæftige os med kontinuerte funktioner - men altså nu funktioner af to variable - og integrationsmængden bliver her et begrænset område i planen (dette præciseres lidt senere). Integralet af funktioner af 2 variable (som kaldes planintegralet) defineres nu på en måde, der gør, at det kan tolkes som et volumen helt i analogi med det -dimensionale integralbegreb. Vi tilstræber ikke at give en i matematisk henseende helt stringent fremstilling - hvilket ville være en ganske omstændelig affære. Indførelsen af det ne integralbegreb vil derfor i en vis udstrækning have intuitiv karakter. Således vil vi eksempelvis i argumentationen udelukkende se på funktioner, der ikke er negative. Dette sker kun i den indledende fase, og resultaterne vil have almen gldighed. = f () z z = f (,) a b Areal = b a f ()d Figur.:

2 2 KAPITEL. PLANINTEGRALER Af figur. fremgår, at planintegralet vil betde volumenet mellem et område i -planen og den derover beliggende del af fladen givet ved ligningen z = F(,). Dette på samme måde, som integralet af en funktion af én variabel betder arealet mellem et interval på -aksen og den derover beliggende del af grafen givet ved ligningen = f ().. Planintegral - definition Vi ser nu på et givet område i -planen, om hvilket vi forudsætter, at det er begrænset af en lukket, sammenhængende kurve, der ikke har dobbeltpunkter udover, hvad der ligger i, at kurven er lukket. Det er således herunder forudsat, at området har et bestemt areal Areal() = A. Endvidere lader vi F(, ) være en funktion, hvis definitionsmængde indeholder som delmængde, og som er begrænset på. Vi interesserer os for den mængde i rummet, der nedadtil er begrænset af, til siderne er begrænset af den lodrette clinderflade, der går gennem randen af, og opadtil er begrænset af den del af fladen, der afskæres af denne clinderflade. Denne mængde kaldes Ω, og vi skal nu se, hvorledes vi kan tillægge Ω et volumen V. Vi inddeler i n delområder, 2,, n, hvis arealer vi kalder A,A 2,,A n. Lad os tage delområde nr. i ud (i {,2,,n}) og se på den mængde Ω i i rummet, der - dannet på samme måde, som vi gjorde for - ligger over i. Vi sammenligner nu mængden Ω i med to lodrette clindre, der begge har i som grundflade. Højderne i de to clindre er henholdsvis den mindste værdi g i og største værdi G i af de funktionsværdier for F, der fås, når (,) ligger inden for i. z G i i g i i Areal A i Figur.2: Da volumenet af en clinder er højde gange grundflade, bliver volumenet af de to clindre henholdsvis g i A i og G i A i. Det er oplagt, at hvis vi skal tillægge Ω et volumen V, så må der om dette gælde n i= g i A i V n i= G i A i (.) Man kan nu forestille sig, at man ved at foretage en finere og finere inddeling af vil få en bedre og bedre tilnærmelse til V, idet de to summer i (.) vil nærme sig hinanden mod én fælles værdi V. Dette

3 .2. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I RETVINKLEDE KOORDINATER 3 er også korrekt, hvis funktionen F(, ) er kontinuert. Hvis man imidlertid frafalder dette krav, kan man finde eksempler på, at de to summer nok nærmer sig mod hinanden, men at der uanset hvilken inddeling af man vælger, er en grænse for, hvor tæt de kan komme hinanden. I sådanne tilfælde kan volumenet ikke defineres. Vi fastholder imidlertid her kravet om kontinuitet, og den fælles værdi, som summerne i dette tilfælde nærmer sig mod, kaldes funktionen F s planintegral over området og dette betegnes F(, )dσ Vi sammenfatter ovenstående i følgende boks: Planintegralet er defineret, hvis der findes netop ét tal, der er større end eller lig enhver såkaldt undersum n i= g ia i og mindre end eller lig enhver oversum n i= G ia i (svarende til alle mulige inddelinger af området ). I så fald siges funktionen F at være integrabel over og det pågældende tal kaldes planintegralet af F over. Hvis specielt F er kontinuert i, så er F integrabel over. Det skal uden bevis nævnes, at der for integrable funktioner gælder sætninger, vi kender fra integraler af funktioner af én variabel. Således har man for eksempel; (F (,) + F 2 (,))dσ = F (,)dσ + F 2 (,)dσ k F(,)dσ = k F(, )dσ Nu er det store spørgsmål så: Hvorledes beregner vi planintegralet? I det foregående har vi set, hvorledes det defineres, men der er ikke meget hjælp at hente til en umiddelbar beregning i et konkret tilfælde. Dette drejer de to næste afsnit sig om. Vi vil afslutte dette afsnit ved at bemærke, at man kan finde arealet A() af som planintegralet over af funktionen F(,) =. Dette svarer til, at en skive med tkkelsen og grundfladearealet A har volumenet A = A..2 Udregning af planintegral i retvinklede koordinater Vi ser nu på sådanne plane områder, der er begrænset af linierne = a og = b samt kurverne givet ved = f () og = g(). Her er de to funktioner f og g kontinuerte på [a,b], og det forudsættes, at der inden for dette interval gælder f () g(), se figur.3 Hvis F(,) er en funktion, der er givet at være kontinuert på mængden, kan man vise, at der om planintegralet af F over gælder det vigtige udtrk; b ( g() ) F(,)dσ = F(, )d d (.2) a Integralet på højre side kaldes et dobbeltintegral, og det udregnes, således som skrivemåden angiver. Først udregnes det inderste integral i parantesen. Dette bliver en funktion af. Derefter udføres den anden integration. Vi skal om lidt se, hvorledes (.2) er nem at forstå (og opskrive), når man tolker planintegralet som et volumen. Forinden vil vi se på en konkret udregning ved brug af formlen. f ()

4 4 KAPITEL. PLANINTEGRALER = g() = f () a b Figur.3: Eksempel.. Lad være den plane punktmængde, der er afgrænset af ulighederne ; 2 + således som vist på figur.4, og lad funktionen F være givet ved udtrkket F(,) =. ( ) 2 + F(,)dσ = d d = = 2 = 4 [ 2 2 ] = 2 + = d ( ( 2 + ) 3) d [ 2 ] = 4 = 2 + = Figur.4:

5 .2. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I RETVINKLEDE KOORDINATER 5 Vi vil nu se nærmere på (.2) og gennem figur.5 give en intuitiv forklaring på formlen. Det på figur.5a viste fremhævede snit har arealet A() = =g() = f () F(, )d og den på figur.5b viste skive af tkkelsen d får da (tilnærmelsesvis) volumenet ( =g() ) A()d = F(, )d d = f () Integrationen med hensn til summerer da alle disse skivevolumener op til hele det samlede volumen. Når vi på denne måde deler en mængde Ω i rummet op i skiver og derefter bentter betragtningsmåden ovenfor til at bestemme volumenet af Ω, så siger vi, at vi har brugt skivemetoden. (a) z (b) z a b Areal A() + d d Figur.5: Beregningerne i eksempel. svarer til, at der er foretaget en opdeling i skiver, der er parallelle med z-planen. Ofte kan man imidlertid med fordel dele Ω op i skiver, der er parallelle med z-planen. Det afhænger dels af mængden og dels af selve funktionen, hvilken opdeling, der er at foretrække. I givet fald vil være beskrevet ved = {(,) c d h() k()}. Vi vil i denne forbindelse kntte følgende kommentar til selve måden at skrive dobbeltintegralet på. Almindeligvis anvendes en anden skrivemåde for dobbeltintegralet end den, der er vist i (.2) og benttet i eksempel., nemlig; F(,)dσ = F(,)dσ = b a d c g() d d f () k() h() F(,)d F(,)d (opdeling i skiver parallelle med z-planen) (opdeling i skiver parallelle med z-planen) (.3) En sådan skrivemåde gør det formentlig lettere at aflæse, hvilke integrationsgrænser der kntter sig til hver af de to variable. Det er naturligvis vigtigt at fremhæve, at der ikke er tale om et produkt mellem de to integraler. Man udregner dobbeltintegralerne i (.3) fra højre mod venstre. Vi vil bentte

6 6 KAPITEL. PLANINTEGRALER denne skrivemåde i eksempel.3 nedenfor, så man kan gøre sig fortrolig med formuleringen. Eksempel.2. Lad A være den mængde i planen som er givet ved: Vi ønsker at beregne: Vi får: A f (,)dσ = = = = = 2 = 32 5 A ; f (,)dσ, hvor f (,) = d ( )d 2 ([ ] +2 = 2 ) d ( ( + 2)( ) + 2 ( + 2)2) ( ( 2 ) + ( 2 ) ( 2 )2) d ( ) d 2 [ ] Eksempel.3. Lad være den plane punktmængde, der er afgrænset af ulighederne ; 2 således som vist på figur.6, og lad funktionen F være givet ved udtrkket F(,) = e 2. Hvis vi her vælger en opdeling med skiver, der er parallelle med z-planen, kan planintegralet skrives som F(,)dσ = d 2 e2 d Da vi imidlertid ikke kan udregne integralet af e 2 prøver vi med en opdeling med skiver parallelle med z-planen. Vi formulerer da mængden som de (,) der tilfredsstiller ulighederne ;

7 .3. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I POLÆRE KOORDINATER 7 Med denne formulering fås F(,)dσ = = = 2 F(,)dσ = 4 d [ 2 2 e 2 d ] = = e 2 d, e t dt = 4 e 2 d som ved brug af substitutionen 2 = t, 2d = dt giver [ e t ] = e 4 = 2 = 2 Figur.6:.3 Udregning af planintegral i polære koordinater Undertiden har funktionen F eller integrationsområdet en sådan form, at man i stedet for at bentte de retvinklede koordinater og med fordel kan gå over til polære koordinater r og θ, således som vist på figur.7a. Integrationsområdet forudsættes nu begrænset dels af to linier, der i polære koordinater har ligningerne θ = α og θ = β, og dels af to kurver, der i polære koordinater har ligningerne r = φ(θ) og r = ψ(θ). Vi minder om, at de retvinklede og polære koordinater er forbundet ved ligningerne = r cosθ = r sinθ Endvidere tænkes der ligesom tidligere at foreligge en funktion F(, ), der er kontinuert i. Det kan da vises, at der om planintegralet af F over gælder følgende vigtige formel: β ψ(θ) F(,)dσ = dθ F(r cosθ,r sinθ)rdr (.5) α φ(θ) (.4)

8 8 KAPITEL. PLANINTEGRALER Dette er den polære udgave af (.2). Dette dobbeltintegral kan igen tolkes som et volumen, og (.5) er intuitivt let forståelig, når man sammenholder med figur.7b. Da en cirkelbue med radius r og svarende til en åbningsvinkel v har buelængden rv, vil den med mørke raster viste mængde tilnærmelsesvis være et rektangel med arealet rdrdθ. Volumenet af den søjle, der står herpå og strækker sig op til grafen for F bliver da tilnærmelsesvis F(r cosθ,r sinθ)rdrdθ. Den første integration med hensn til r giver da volumenet over det med raster viste område, hvorefter integrationen med hensn til θ giver det samlede volumen. (Igen skal det pointeres, at selv om planintegralet kan fortolkes som et volumen, så er der i mange sammenhænge ikke knttet en sådan tolkning til anvendelsen). (a) θ = β (b) areal rdθ dr rdθ β r = φ(θ) α r = ψ(θ) θ = α dθ θ r dr Figur.7: Eksempel.4. Lad f (,) = + 2 og lad B være mængden, som i polære koordinater er givet ved: r 2 ; θ π 4 Vi ønsker at (a) tegne B og at (b) beregne B f (,)dσ. (a): Mængden B er skitseret i figur.8. (b): Da = rcos(θ) og = rsin(θ) fås, idet dσ = rdrdθ:

9 .3. UDREGNING AF PLANINTEGRAL I POLÆRE KOORDINATER 9 B f (,)dσ = = π 4 dr dr π 4 ( rcos(θ) + 2rsin(θ) ) rdθ r 2( cos(θ) + 2sin(θ) ) dθ = r 2[ sin(θ) 2cos(θ) ] θ= π = (2 2 )r2 dr 2 = (2 2 )[ 3 r3] 2 2 = (2 2 )7 3 θ= dr 2 = B 2 Figur.8: Eksempel.5. Lad være den plane punktmængde, der er afgrænset af ulighederne θ π 4 ; θ r 2 Det overlades til læseren at skitsere dette integrationsområde. Der foreligger derligere funktionen F givet i retvinklede koordinater som F(,) = 2 + 2

10 KAPITEL. PLANINTEGRALER Planintegralet kan nu udregnes som F(,)dσ = = = 3 = 3 π 4 π 4 dθ dθ π 4 2 θ 2 θ r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ rdr r 2 dr (8 θ 3 )dθ [ 8θ 4 θ 4 ] π 4 = 2π 3 π4 372 Eksempel.6. For området givet på polær form således som beskrevet ovenfor kan vi finde et simpelt udtrk for arealet A() ved en reduktion af planintegralet på følgende måde: A() = dσ = β α dθ ψ(θ) φ(θ) rdr = 2 β α ( ψ(θ) 2 φ(θ) 2) dθ I det specifikke tilfælde fra eksempel.5 har vi α =, β = π 4, φ(θ) = θ, og ψ(θ) = 2..4 Tngdepunkt I mange anvendelser spiller begrebet tngdepunkt en vigtig rolle. Vi vil her begrænse spørgsmålet til at se på en tnd skive, idet vi lader området repræsentere denne, og vi behandler således spørgsmålet som et plant problem. Der foreligger desuden en massetæthedsfunktion m(, ), hvorved forstås en funktion med den egenskab, at massen af en hvilken som helst (passende pæn) delmængde D af kan udregnes som planintegralet af m over D. Således er den samlede masse af skiven givet som: M = m(, )dσ (.6) Herefter vælger vi i planen en vilkårlig linie l og definerer momentet med hensn til l som: S l = r(, )m(, )dσ (.7) hvor r betegner afstanden fra linien til punktet (,) regnet med fortegn. Linien deler skiven i to dele, hvor alle punkter i den ene del (som man selv vælger) bidrager positivt, og de øvrige punkter bidrager negativt til momentet. Vi vil nu stille os følgende spørgsmål: Findes der et punkt i med den egenskab, at det for enhver linie gennem punktet gælder, at momentet med hensn til linien er nul? For at undersøge dette vælger vi et punkt (ξ,η) og ser på en linie l gennem dette punkt. Liniens vinkel med -aksen betegnes θ. Idet der for et vilkårligt punkt (,) gælder, at afstanden r(,) kan skrives som r(,) = ( ξ )sinθ ( η)cosθ

11 .4. TYNGDEPUNKT r (,) ( η)cosθ l (ξ,η) θ ξ η θ ( ξ )sinθ Figur.9: kan S l skrives som S l = (( ξ )sinθ ( η)cosθ)m(,)dσ = sinθ ( ξ )m(,)dσ cosθ ( η)m(,)dσ (.8) Af dette udtrk fremgår, at S l er nul for enhver værdi af θ, hvis og kun hvis de to planintegraler begge er nul (sæt først θ = og så θ = π 2 ). Vi har altså = = ( ξ )m(,)dσ = ( η)m(,)dσ = m(,)dσ m(,)dσ ξ m(,)dσ = ηm(,)dσ = m(,)dσ ξ M m(,)dσ η M Det fundne punkt kaldes skivens tngdepunkt, og dets koordinater er da givet ved ξ = M η = M m(,)dσ m(,)dσ (.9) Det bemærkes til sidst, at da momentet med hensn til en linie er uafhængigt af det valgte koordinatsstem, så er også tngdepunktets placering uafhængigt af koordinatsstemet.

12 2 KAPITEL. PLANINTEGRALER Eksempel.7. Vi ser på en tnd skive, der har form af en halvcirkel med radius ρ (tegn selv!) = {(r,θ) θ π r ρ} Idet det er givet, at der er konstant massetæthed m, fås ved udregning af planintegralerne i polære koordinater Mξ = Mη = π π dθ dθ ρ ρ r cosθ mrdr = m ρ3 3 r sinθ mrdr = m ρ3 3 π π cosθdθ = sinθdθ = m 2ρ3 3 = m πρ2 2 4ρ 3π Arealet af skiven er πρ2 πρ2 2, således at der med konstant massetæthed m fås: M = m 2. Tngdepunktet har altså koordinaterne ( (ξ,η) =, 4ρ ) (.) 3π

13 .5. OPGAVER 3.5 Opgaver Opgave. Beregn i hvert af de følgende tilfælde planintegralet over den skraverede mængde S. ) S (2 + )dσ 2) S dσ 3) ( 2 2 )dσ S

14 4 KAPITEL. PLANINTEGRALER 4) S 2 ( + 3)( + 2 ) dσ 5) S ( + 2)dσ Opgave.2 (Areal) Find i hvert af de følgende tilfælde arealet af den skraverede mængde S. )

15 .5. OPGAVER 5 2) Opgave.3 (masse) Beregn i hvert af de følgende tilfælde massen af det skraverede plane legeme S med den 2- dimensionale massetæthed f (,) målt i Kg m 2. Alle mål er i meter. ) f (,) = 2 + 2) f (,) =

16 6 KAPITEL. PLANINTEGRALER 3) f (,) = 2 + Opgave.4 (tngdepunkt) Beregn i hvert af følgende tilfælde tngdepunktet for det skraverede plane legeme S med den 2- dimensionale massetæthed f (,) målt i Kg m 2. Alle mål er i meter. ) f (,) = 2) f (,) = 3) f (,) = 5( 2 + )

17 .5. OPGAVER 7 4) f (,) = Opgave.5 (fordampning) Fordampning fra den skraverede plane flade S er på stedet (,) givet ved Kg målt i. Hvor mange kg fordamper fra hele S på time? Alle mål er i me- hm 2 ter. Opgave.6 (befolkningstal) En cirkelrund b har en befolkningstæthed, der i punktet (, ) er indbggere/m2, hvor (,) er bens centrum, og, måles i meter. Beregn antallet af indbggere inden for en radius på m.

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 9, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael ørdam 1 Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler: efinition (Egentlige

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012 Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Prøveeksamen i Calculus

Prøveeksamen i Calculus Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo Forår 3 På dansk ved Jacob Stevne Jørgensen, sommer Forord til den danske udgave Kros noter, som introducerer

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

DTU. License to Thrill

DTU. License to Thrill XM @ DTU License to Thrill Den bedste rette linje S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bgning 303S, DTU DK-800 Kgs. Lngb 1 Den bedste rette linje Hvordan findes den "bedste"rette linje

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består

Læs mere

Integralregning ( 23-27)

Integralregning ( 23-27) Integralregning ( -7) -7 Side Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() =, + 7 ) f() = 7 + 7 c) f() = ep() + ln() d) f() = e ep() + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo 5.kapitel skrevet af: Jan Philip Solovej Institut for de Matematiske Fag Københavns Universitet Forår 3 På

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Anvendelser af integralregning

Anvendelser af integralregning Anvendelser af integralregning I 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er til at løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016 Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere