Oversigt [LA] 6, 7, 8

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Oversigt [LA] 6, 7, 8"

Transkript

1 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller princippet Beregn invers matrix Calculus Uge

2 To ubekendte grafisk [LA] 6 Lineære ligningssystemer Figur y 2x y = 1 (1,1) skæringspunkt 1 x x + y = 2 To ligninger i to ubekendte Calculus Uge

3 Ligninger på matrix form [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a m1 x a mn x n = b m På matrix form A = (a ij ) m n-matrix, b = (b i ) m-søjle, x = (x j ) n-søjle Ax = b. Calculus Uge

4 Koefficient matrix Definition 6.4 Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix 2. b = 0 homogent system 3. b 0 inhomogent system 4. Partikulær løsning en funden løsning, fuldstændig løsning mængden af alle løsninger Calculus Uge

5 Løsningsrummet [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem med n ubekendte Ax = 0 er et lineært underrum N A R n kaldet løsningsrummet eller nulrummet. Dimensionen er antal frihedsgrader. dim N A Calculus Uge

6 Løsningsrummet [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem med n ubekendte Ax = 0 er et lineært underrum N A R n kaldet løsningsrummet eller nulrummet. Dimensionen er antal frihedsgrader. dim N A Bevis Ax = 0, Ay = 0 A(x + y) = 0 Calculus Uge

7 Uendelig mange løsninger [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.10 For et homogent ligningssystem Ax = 0 er følgende ækvivalent: 1. Der er en løsning Der er uendelig mange løsninger. 3. Nulrummet N A Antallet af frihedsgrader er > 0. Calculus Uge

8 Uendelig mange løsninger [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.10 For et homogent ligningssystem Ax = 0 er følgende ækvivalent: 1. Der er en løsning Der er uendelig mange løsninger. 3. Nulrummet N A Antallet af frihedsgrader er > 0. Bevis Benyt, at et ikke-nul underrum er en uendelig mængde. Calculus Uge

9 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.12 x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus Uge

10 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel x 3 = x 4 og x 1 = x 2. x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus Uge

11 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel x 3 = x 4 og x 1 = x x 4 og x 2 kan vælges frit. x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus Uge

12 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = x 2 x 2 x 4 = x 2 x x Calculus Uge

13 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = x 2 x 2 x 4 = x 2 x x Løsningsrummet er span af vektorerne 1 1 0, Calculus Uge

14 Uafhængige søjler [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.13 Søjlerne a 1,...,a n i en m n-matrix A er lineært uafhængige, hvis og kun hvis nulrummet N A = 0. Calculus Uge

15 Uafhængige søjler [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.13 Søjlerne a 1,...,a n i en m n-matrix A er lineært uafhængige, hvis og kun hvis nulrummet N A = 0. Bevis Matrixmultiplikationen giver Ax = j x j a j Så x N A er 0, når søjlerne er lineært uafhængige. Calculus Uge

16 Løsninger og nulrum [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.15 Givet en partikulær løsning u til det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax = b så er løsningsmængden {x R n Ax = b} = u + N A Calculus Uge

17 Løsninger og nulrum [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.15 Givet en partikulær løsning u til det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax = b så er løsningsmængden {x R n Ax = b} = u + N A Bevis Simple regneregler for matrix multiplikationen giver Au = b, Ax = 0 A(u + x) = b Calculus Uge

18 Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Afkryds det sande: (a) (b) (c) Calculus Uge

19 Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Afkryds det sande: (a) (b) (c) Løsning Gør prøve A 0 = 0 b Calculus Uge

20 Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Løsning Gør prøve Afkryds det sande: A 0 = 0 b (a) (b) (c) Calculus Uge

21 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.17 x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 Calculus Uge

22 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.17 x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 1. x 3 = 2, x 1 = 1 og x 2 = x 4 = 0 Calculus Uge

23 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.17 x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 1. x 3 = 2, x 1 = 1 og x 2 = x 4 = 0 2. Giver en partikulær løsning (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (1, 0, 2, 0) Calculus Uge

24 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 x 2 x 2 2 x 4 = x x x Calculus Uge

25 2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 x 2 x 2 2 x 4 = x x x Løsningsmængden er (1, 0, 2, 0) plus en vilkårlig vektor fra underrummet af alle linearkombinationer af vektorerne ( 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) Calculus Uge

26 Konsistens [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.18 Det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax = b har en løsning, hvis og kun hvis b Span(a 1,...,a n ), altså b er en linearkombination af søjlerne i koefficientmatricen. Calculus Uge

27 Konsistens [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.18 Det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax = b har en løsning, hvis og kun hvis b Span(a 1,...,a n ), altså b er en linearkombination af søjlerne i koefficientmatricen. Bevis Matrixmultiplikationen giver en linearkombination af søjler Ax = j x j a j = b Calculus Uge

28 Søjlerum og rang [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition For en m n-matrix A er søjlerummet R A = Span(a 1,...,a n ) underrummet i R m udspændt af søjlerne i A og rækkerummet R A T = Span(a 1,...,a m ) underrummet i R n udspændt af rækkerne i A. Calculus Uge

29 Søjlerum og rang [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition For en m n-matrix A er søjlerummet R A = Span(a 1,...,a n ) underrummet i R m udspændt af søjlerne i A og rækkerummet R A T = Span(a 1,...,a m ) underrummet i R n udspændt af rækkerne i A. Dimensionen af søjlerummet kaldes rangen rang A = dim Span(a 1,...,a n ) Calculus Uge

30 3 ligninger 4 ubekendte Eksempel rækkereduktion 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge

31 3 ligninger 4 ubekendte Eksempel rækkereduktion 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge

32 Eliminer en ubekendt Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge

33 Eliminer en ubekendt Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 8x x 4 = 18 Calculus Uge

34 Eliminer endnu en Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 8x x 4 = 18 Calculus Uge

35 Eliminer endnu en Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 8x x 4 = 18 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 3 3x 4 = 6 Calculus Uge

36 En ubekendt er fri Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 3 3x 4 = 6 Calculus Uge

37 En ubekendt er fri Eksempel fortsat Heraf 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 3 3x 4 = 6 x 3 = 3 + 3x 2 4 x 2 = 4 2x 3 6x 4 = 2 9x 4 x 1 = 8 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4 3x 4 Calculus Uge

38 Brug matrixform Eksempel fortsat Løsning x 3 = x 4 x 2 = 2 9x 4 x 1 = 4 3x 4 Calculus Uge

39 Brug matrixform Eksempel fortsat Løsning x 3 = x 4 x 2 = 2 9x 4 x 1 = 4 3x 4 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 = 4 3x 4 2 9x x 2 4 = x x Calculus Uge

40 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Calculus Uge

41 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Calculus Uge

42 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Calculus Uge

43 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Addition af et multiplum af en ligning til en anden Calculus Uge

44 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Addition af et multiplum af en ligning til en anden 1. Bevarer løsningsmængden. Calculus Uge

45 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Addition af et multiplum af en ligning til en anden 1. Bevarer løsningsmængden. 2. Bringer ligningssystemet på række-echelon form, trappeform. Calculus Uge

46 Eliminations strategi Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Addition af et multiplum af en ligning til en anden 1. Bevarer løsningsmængden. 2. Bringer ligningssystemet på række-echelon form, trappeform. 3. Løsningsmængden kan opskrives ved baglæns substitution. Calculus Uge

47 Skalpellen frem, fjern ubekendte Eksempel 7.4 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge

48 Skalpellen frem, fjern ubekendte Eksempel 7.4 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge

49 Skær videre Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge

50 Skær videre Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x x x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 6x x 4 = 18 Calculus Uge

51 Videre Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 6x x 4 = 18 Calculus Uge

52 Videre Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 6x x 4 = 18 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 4 = 6 Calculus Uge

53 Afslut bagfra Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 4 = 6 Calculus Uge

54 Afslut bagfra Eksempel fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 4 = 6 Heraf x 4 = 2 x 2 = 4 2x 3 6x 4 = 16 2x 3 x 1 = 8 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 2 Calculus Uge

55 En fri tre bundne Eksempel fortsat Løsning x 4 = 2 x 2 = 16 2x 3 x 1 = 2 Calculus Uge

56 En fri tre bundne Eksempel fortsat Løsning x 4 = 2 x 2 = 16 2x 3 x 1 = 2 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 = x 3 x 3 = x Calculus Uge

57 Rækkeoperationer reduceret matrix Definition 7.5 Rækkeoperationer på en matrix Calculus Uge

58 Rækkeoperationer reduceret matrix Definition 7.5 Rækkeoperationer på en matrix Ombytning af to rækker Calculus Uge

59 Rækkeoperationer reduceret matrix Definition 7.5 Rækkeoperationer på en matrix Ombytning af to rækker Multiplikation af række med tal 0 Calculus Uge

60 Rækkeoperationer reduceret matrix Definition 7.5 Rækkeoperationer på en matrix Ombytning af to rækker Multiplikation af række med tal 0 Addition af et multiplum af en række til en anden Calculus Uge

61 Rækkeoperationer reduceret matrix Definition 7.5 Rækkeoperationer på en matrix Ombytning af to rækker Multiplikation af række med tal 0 Addition af et multiplum af en række til en anden Bringer matricen på (reduceret) række-echelon form (trappeform), 1 på pivot indgange 0 0 1?? 0?? ?? Calculus Uge

62 Strategi på matrix form Bemærkning 7.6 Fra et lineært ligningssystem tilordnes en augmenteret matrix Ax = b (A b) Calculus Uge

63 Strategi på matrix form Bemærkning 7.6 Fra et lineært ligningssystem tilordnes en augmenteret matrix Ax = b (A b) Rækkeoperationer på et ligningssystem svarer til rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Calculus Uge

64 Strategi på matrix form Bemærkning 7.6 Fra et lineært ligningssystem tilordnes en augmenteret matrix Ax = b (A b) Rækkeoperationer på et ligningssystem svarer til rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Det reducerede ligningssystem opskrives fra den reducerede matrix. Calculus Uge

65 Strategi på matrix form Eksempel (7.4 igen) 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = 34 Calculus Uge

66 Strategi på matrix form Eksempel (7.4 igen) 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x x x 4 = Calculus Uge

67 Øvelse gør mester Eksempel fortsat Calculus Uge

68 Øvelse gør mester Eksempel fortsat Calculus Uge

69 Atter øvelse Eksempel fortsat Calculus Uge

70 Atter øvelse Eksempel fortsat Calculus Uge

71 Afslut elegant Eksempel fortsat Calculus Uge

72 Afslut elegant Eksempel fortsat Det reducerede ligningssystem x 1 = 2 x 2 + 2x 3 = 16 x 4 = 2 Calculus Uge

73 En fri tre bundne Eksempel fortsat Løsning x 4 = 2 x 2 = 16 2x 3 x 1 = 2 Calculus Uge

74 En fri tre bundne Eksempel fortsat Løsning x 4 = 2 x 2 = 16 2x 3 x 1 = 2 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 = x 3 x 3 = x hvor x 3 vælges frit. Calculus Uge

75 Struktur er sagen Sætning 7.8 Givet et ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end ligninger. 1. Hvis systemet er homogent, så har det uendelig mange løsninger. 2. Hvis systemet er konsistent, så har det uendelig mange løsninger. Calculus Uge

76 Struktur er sagen Sætning 7.8 Givet et ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end ligninger. 1. Hvis systemet er homogent, så har det uendelig mange løsninger. 2. Hvis systemet er konsistent, så har det uendelig mange løsninger. Bevis Den reducerede koefficientmatricen har mindst 1 pivotfri søjle ?? 0?? ?? Calculus Uge

77 Konsistens Sætning 7.10 Det inhomogene ligningssystem Ax = b er konsistent, hvis og kun hvis række-echelon formen af den augmenterede matrix (A b) ikke har en pivot i sidste søjle. Calculus Uge

78 Konsistens Sætning 7.10 Det inhomogene ligningssystem Ax = b er konsistent, hvis og kun hvis række-echelon formen af den augmenterede matrix (A b) ikke har en pivot i sidste søjle. Bevis Række-echelon formen 0 0 1?? 0?? c ?? c c r giver løsning x ji = c i og øvrige x j = 0. Calculus Uge

79 Test ligningssystem Test Et homogent lineært ligningssystem med 4 ubekendte og 3 ligninger har: (a) Altid højst 1 løsning. (b) Altid uendelig mange løsninger. (c) Undertiden ingen løsninger. (d) Mindst 1 løsning. Afkryds de to rigtige: (a) (b) (c) (d) Calculus Uge

80 Test ligningssystem Test Et homogent lineært ligningssystem med 4 ubekendte og 3 ligninger har: (a) Altid højst 1 løsning. (b) Altid uendelig mange løsninger. (c) Undertiden ingen løsninger. (d) Mindst 1 løsning. Afkryds de to rigtige: Løsning Sætning 7.8 sikrer uendelig mange løsninger. (a) (b) (c) (d) Calculus Uge

81 Test ligningssystem Test Et homogent lineært ligningssystem med 4 ubekendte og 3 ligninger har: (a) Altid højst 1 løsning. (b) Altid uendelig mange løsninger. (c) Undertiden ingen løsninger. (d) Mindst 1 løsning. Afkryds de to rigtige: Løsning Sætning 7.8 sikrer uendelig mange løsninger. (a) (b) (c) (d) Calculus Uge

82 En sjov variation Eksempel 7.12 Løs matrixligningen ( ) ( ) 2 1 x 11 x x 21 x 22 = ( ) Calculus Uge

83 En sjov variation Eksempel 7.12 Løs matrixligningen ( ) ( ) 2 1 x 11 x x 21 x 22 Skrives som ligningssystemet = ( ) x 11 + x 21 = 1 5x x 21 = 0 2x 12 + x 22 = 0 5x x 22 = 1 Calculus Uge

84 Det er rigtig sjovt Calculus Uge

85 Det er rigtig sjovt , ( ) x 11 x 12 x 21 x 22 = ( ) Calculus Uge

86 Operationer og multiplikation [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.3 Rækkeoperationer på en m n-matrix A fremkommer ved Calculus Uge

87 Operationer og multiplikation [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.3 Rækkeoperationer på en m n-matrix A fremkommer ved Udfør rækkeoperationen på m m-enhedsmatricen og få en elementærmatrix E Calculus Uge

88 Operationer og multiplikation [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.3 Rækkeoperationer på en m n-matrix A fremkommer ved Udfør rækkeoperationen på m m-enhedsmatricen og få en elementærmatrix E Venstre multiplicer den oprindelige matrix med den fremkomne elementærmatrix EA. Calculus Uge

89 Smart overbevisende Ombytning af to rækker ( ) ( ) 0 1 a 11 a a 21 a 22 = [LA] 8 Elementærmatricer ( ) a 21 a 22 a 11 a 12 Calculus Uge

90 Smart overbevisende Ombytning af to rækker ( ) ( ) 0 1 a 11 a a 21 a 22 = [LA] 8 Elementærmatricer ( ) a 21 a 22 a 11 a 12 Multiplikation af række med tal r 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 a 11 a 12 a 11 a 12 = 0 r a 21 a 22 ra 21 ra 22 Calculus Uge

91 Smart overbevisende Ombytning af to rækker ( ) ( ) 0 1 a 11 a a 21 a 22 = [LA] 8 Elementærmatricer ( ) a 21 a 22 a 11 a 12 Multiplikation af række med tal r 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 a 11 a 12 a 11 a 12 = 0 r a 21 a 22 ra 21 ra 22 Addition af et multiplum af en række til en anden ( ) ( ) 1 r a 11 a a 21 a 22 = ( a 11 + ra 21 a 12 + ra 22 a 21 a 22 ) Calculus Uge

92 Rangformlen [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.4 For en m n-matrix A gælder: 1. Antal pivot er er rangen ranga. 2. Antal pivot er dimensionen af rækkerummet ranga T. 3. Antal af søjler uden pivot er er antal af frihedsgrader dim N A. 4. Antal frihedsgrader plus antal pivot er er antal søjler, rangformlen dim N A + ranga = n Calculus Uge

93 Enten-eller Sætning 8.7 En kvadratisk matrix kan ved rækkeoperationer enten føres over i identitetsmatricen eller føres over i en matrix med en nulrække nederst Calculus Uge

94 Enten-eller Sætning 8.7 En kvadratisk matrix kan ved rækkeoperationer enten føres over i identitetsmatricen eller føres over i en matrix med en nulrække nederst Bevis Matricen på reduceret trappeform 1? Calculus Uge

95 Ensidig invers er tosidig [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.8 Lad A,B være kvadratiske matricer af samme størelse. Så gælder AB = I BA = I En højre invers er også en venstre invers. Calculus Uge

96 Ensidig invers er tosidig [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.8 Lad A,B være kvadratiske matricer af samme størelse. Så gælder AB = I BA = I En højre invers er også en venstre invers. Bevis Hvis AB = I har alle ligningssystemer Ax = b en løsning x = Bb. Den reducerede form af A kan da ikke have en 0-række og er derfor enhedsmatricen I. Altså findes en matrix C så CA = I. Til slut er C = C(AB) = (CA)B = B. Calculus Uge

97 Invertibel som produkt [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.10 En invertibel matrix kan skrives som et produkt af elementærmatricer. Hvis E 1,...,E k er elementærmatricer svarende til rækkeoperationer, som fører en matrix A i identitetsmatricen, så er A = E 1 1 E k 1 Calculus Uge

98 Invertibel som produkt [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.10 En invertibel matrix kan skrives som et produkt af elementærmatricer. Hvis E 1,...,E k er elementærmatricer svarende til rækkeoperationer, som fører en matrix A i identitetsmatricen, så er A = E 1 1 E k 1 Bevis Der findes en følge af elementærmatricer E 1,...,E k så produktet E k E 1 A = I. Så fås, at A = E 1 1 E k 1 og da de inverse til elementærmatricer igen er elementærmatricer haves produktfremstillingen. Calculus Uge

99 Invers ved operationer [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.13 En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis dens reducerede form er enhedsmatricen I. I så fald er den augmenterede matrix (A I) (I A 1 ) Calculus Uge

100 Invers ved operationer [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.13 En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis dens reducerede form er enhedsmatricen I. I så fald er den augmenterede matrix (A I) (I A 1 ) Den inverse matrix beregnes ved rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Calculus Uge

101 Invers 2x2-matrix Eksempel 8.14 Løs matrixligningen, i.e. beregn invers, ( ) ( ) 2 1 x 11 x 12 = 5 3 x 21 x 22 ( ) Calculus Uge

102 Invers 2x2-matrix Eksempel 8.14 Løs matrixligningen, i.e. beregn invers, ( ) ( ) 2 1 x 11 x 12 = 5 3 x 21 x 22 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) Calculus Uge

103 Invers 2x2-matrix Eksempel fortsat Rækkereduktionen ( ) ( ) Calculus Uge

104 Invers 2x2-matrix Eksempel fortsat Rækkereduktionen ( ) ( ) giver den inverse ( ) 1 ( ) = Calculus Uge

105 Invers 2x2-matrix Eksempel - forsat Gør prøve ( ) 1 ( ) = Calculus Uge

106 Invers 2x2-matrix Eksempel - forsat Gør prøve ( ) 1 ( ) = Udregn ( ) ( ) = ( ) Calculus Uge

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode (håndregning),

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,

Læs mere

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 4 udgave 04 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer,

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 6. udgave 2016 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler dels med regnemidler.

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Sudoku. Jørgen Brandt. Sudoku 1

Sudoku. Jørgen Brandt. Sudoku 1 Jørgen Brandt 1 Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends 2 3 9 7 1 4 7 2 8 5 2 9 1 8 7 4 3 6 7 1 7 9 3 2 6 5 2 Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Hemmeligheden bag 2 3 9 7 1 4 7 2 8 5 2 9 1 8 7 4

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2

Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2 Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Matematik H1. Lineær Algebra

Matematik H1. Lineær Algebra Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Matematik H1. Lineær Algebra

Matematik H1. Lineær Algebra Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August ii 3 oplag, juni 5 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen LINEÆR ALGEBRA 31. januar 2003 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003. Udtrykt meget groft gennemgås kapitel 1 3. Som regel

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax

Læs mere

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Prøveeksamen A i Lineær Algebra

Prøveeksamen A i Lineær Algebra Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER. Usikkerhedsberegning

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER. Usikkerhedsberegning MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER LINEÆRE LIGNINGER Usikkerhedsberegning med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 = x x x x. udgave 0 FORORD Dette

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere