Analyse ved røntgendiffraktion
|
|
- Philippa Freja Frank
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Analyse ved røntgendiffraktion - Rietveld-metoden Af Svend Erik Rasmussen Geologisk Institut Aarhus Universitet. Skarpe veldefinerede røntgenreflekser kan opnås ved at sende monokromatisk røntgenstråling ind mod en pulverformig krystallinsk prøve. Ud fra kendskab til krystalstrukturer med mere kan pulverdiffraktogrammer beregnes for såvel rene faser som for blandinger. Ud fra observerede data kan man ved sammenligning med beregnede værdier opnå kvantitative modalanalyser ved en metode kaldet Rietveld-metoden. I 1912 fandt M. von Laue sammen med P. Knipping og W. L. Friedrich at røntgenstråling spredes fra krystaller efter et interferensprincip således at spredningen er begrænset til bestemte vinkler. Heraf kunne der drages to konklusioner: 1. Røntgenstråling måtte opfattes som en bølgebevægelse. 2. Krystallers atomer er arrangeret systematisk som i et gitter. Figuren øverst på denne side viser deres opstilling hvor røntgenstrålen passerer gennem krystallen. W. L. Bragg viste i 1913 at spredningen af røntgenstråling kunne opfattes som en refleksion af strålingen fra planer gennem krystallen som antydet i mellemste figur og at betingelsen for refleksion kunne udtrykkes ved ligningen: λ = 2dsinθ hvor λ er strålingens bølgelængde θ er refleksionsvinklen og d afstanden mellem de reflekterende planer. Ligningen som kaldes Braggs lov har vist sig at være særdeles nyttig og betydningsfuld. En meget forenklet tegning figuren nederst til højre viser princippet for et instrument der bygger på anvendelsen af ovenstående formel. De første eksperimenter De første eksperimenter med røntgendiffraktion blev udført med ret store énkrystaller. I 1916 viste Debye og Scherrer imidlertid at skarpe veldefinerede røntgenreflekser kunne opnås ved at sende monokromatisk røntgenstråling ind mod en pulverformig krystallinsk prøve. De påviste at linjerne Princippet for Laue Friedrich Knipping eksperimentet. Et snævert bundt af polykromatisk røntgenstråling sendes gennem krystallen og spredningen af strålingen registreres på en fi lm hvis plan er vinkelret på røntgenstrålen. (Grafi k: UVH modifi ceret efter Bijvoet J. M.Kolkmeyer N. H. & Mac- Gillavry C. H. (1951) X- Ray Analysis of Crystals) Vinklen for den indfaldne stråling med bølgelængde λ i er θ der er lig refl eksionsvinklen. Afstanden mellem de refl ekterende planer er d. Forskellen i vejlængde mellem den indfaldne og den refl ekterede stråling er AB d + BC og AB = BC. Figuren A C viser at AB= dsinθ og forskellen i vejlængde er da AB B + BC = 2dsinθ. Hvis to successive bølgetog skal forstærke hinanden skal vejforskellen være et helt antal bølgelængder hvilket udtrykkes ved ligningen: nλ = 2dsinθ. (Grafi k: UVH modifi ceret efter forlæg af uvis oprindelse) Røntgenstråle Spalte Spalte Krystal Ved hjælp af spalten S 1 udvælges et snævert strålebundt der rammer krystallen under vinklen θ. Stråling spredes fra krystallen i alle retninger men kun den del der refl ekteres med vinklen θ vil kunne komme ind i detektoren gennem spalten S 2. Krystal og detektor kan dreje om en fælles akse således at indfaldsvinkel og refl eksi- Røntgenrør Spalte 1 (S 1 ) Spalte 2 (S 2 ) Presset pulverprøve/krystal Detektor onsvinkel er ens. Det viste sig senere at en presset pulverprøve anbragt på krystallens plads kunne refl ektere røntgenstråling. (Grafi k: UVH modifi ceret efter forlæg af uvis oprindelse) fremkom som resultat af at der blandt de mange små krystalkorn altid var nogle der lå på en sådan måde at Braggs lov var opfyldt for de planer man kan lægge igennem krystalgitret. De konkluderede også at Film man ved deres metode kunne skelne mellem mikrokrystallinske og egentligt amorfe stoffer. Fotoet øverst på næste side viser et pulverdiagram af silicium optaget ved hjælp af Debye-Scherrer-teknikken. 16 GeologiskNyt 6/9
2 Den spredte røntgenstråling er her registreret på fi lm. Filmregistrering anvendes nu praktisk taget ikke mere til røntgendiffraktion. (Foto: Forfatteren) Debye og Scherrer benyttede en transmissionsteknik hvor røntgenstrålingen sendes igennem en cylindrisk prøve. Man fandt imidlertid hurtigt ud af at man også kunne bruge den af Bragg udviklede metode på pressede pulverprøver som antydet i figuren nederst på foregående side. Instrumenter baseret på den grundmetode er i dag måske de mest udbredte til pulverdiffraktion. Et pulverdiagram optaget med et moderne diffraktometer er vist i figuren nedenfor. Kvalitativ faseanalyse Røntgenpulverdiffraktion blev i de første år efter metodens fremkomst hovedsageligt brugt til analyse af simple krystalstrukturer men fik senere den største udbredelse som analytisk hjælpeværktøj i kemi og mineralogi. Der er i USA i årenes løb blevet opbygget en database kaldet Powder Diffraction File PDF med standardiserede oplysninger om pulverdiagrammer fra ca. 19. forbindelser. Når der er flere faser tilstede i en pulverprøve giver hver fase sit diagram uafhængigt af tilstedeværelsen af andre faser. Det er baggrunden for at man siger at et stofs pulverdiagram kan opfattes som stoffets fingeraftryk. Figuren øverst på næste side viser et eksempel på diffraktogrammer af henholdsvis rent kvarts ren calcit og en blanding af kvarts og calcit. Kvantitativ faseanalyse Identifikation af et rent stof der er registreret i ovennævnte database er i dag en rutineopgave men ofte står kemikere og især geologer over for den opgave at analysere flerfasesystemer og også gerne at kunne give en kvantitativ analyse af faserne. Mineraloger har i mange år med held anvendt polarisationsmikroskopet til identifikation af mineraler og også til kvantitative evalueringer men også her har røntgendiffraktion bidraget til øget sikkerhed i analysen. Den teknologiske udvikling har ført til at det er muligt at anvende både store datamængder og raffinerede programsystemer på relativt billige personlige computere. Som regel er anskaffelse af database og tilhørende programmel en større udgift end købet af en computer. Ved den kvantitative analyse af flerfasesystemer kan man ikke direkte anvende intensiteter af udvalgte diffraktionslinjer fra de enkelte komponenter til en kvantitativ analyse. Man er her henvist til sammenligning med kendte standarder for at opnå pålidelige resultater. Der er forskellige metoder til brug af standarder men de vil ikke blive nærmere omtalt her da formålet er at beskrive en standardfri metode. Bestemmelsen af en kemisk forbindelses struktur ud fra røntgenkrystallografiske målinger er ikke en rutineopgave men et pulverdiffraktogram kan helt entydigt beregnes ud fra en kendt struktur. For et flerfasesytem hvor strukturerne af de enkelte faser er kendte kan man beregne diffraktogrammet for systemet som helhed og bestemme de relative mængder af de indgående forbindelser ved at tilpasse observerede intensiteter med beregnede ved iterative metoder. En udbredt metode kaldes Rietveld-metoden efter en hollandsk videnskabsmand der oprindeligt anvendte den til forfining af atompositioner i krystalstrukturanalyser. Metoden er endnu ikke en ren rutinemetode men erfarne brugere kan opnå resultatet der ikke eller kun vanskeligt kan opnås med andre metoder. Metoden bygger på følgende grundlag: λ 2 e 4 n I = K 3 2πrm 2 ec 4 2 V 2 F(hkl) cos2 θ cos 2 2θ m sin 2 θ sin θ For en ren fase er intensiteten I af en pulverlinje der er målt ved hjælp af et røntgendiffraktometer givet ved nedenstående udtryk hvor: K: er en proportionalitetsfaktor λ: røntgenstrålens bølgelængde e: elektronens ladning r: diffraktometrets radius m e : elektronens masse c: lysets hastighed n: multipliciteten for pulverlinjen V: enhedscellens volumen hkl: Miller-indices for pulverlinjen F(hkl): Strukturfaktoren for linjen θ: Bragg-vinklen θ m : monokromatorkrystallens refleksionsvinkel F(hkl) = Σf j exp[2πi(hx j + ky j + lz j )]exp[-b j sin 2 θ/λ 2 ] f j : atomspredningsfaktoren for atom j x j y j z j : koordinater for atom j B j : Debye-Waller faktor (svingningsfaktor) for atom j W α : vægtbrøken for fasen α ρ α : massefylden for fasen α μ M- : massefylden for hele prøven W α ρ α μ M - (1) Bjergart fra Pakistan θ Pulverdiagram optaget med et moderne diffraktometer. (Grafi k: UVH modifi ceret efter forfatterens forlæg) GeologiskNyt 6/9 17
3 For en given kemisk forbindelse fx et mineral er Bragg-vinklerne θ i for mineralets pulverdiagram uafhængige af tilstedeværelsen af andre mineraler. Intensitetsforholdene påvirkes imidlertid af tilstedeværelsen af andre faser. Ligning (1) ser måske lidt overvældende ud men de fleste størrelser er kendte eller kan let beregnes. Rietveld-metoden bygger på at samtlige faser i en blanding er identificeret og at krystalstrukturerne af samtlige faser er kendte. For en tilfældig vinkel 2θ i i et diffraktogram vil bidragene til intensiteten I(2θ i ) for en enkelt fase α i almindelighed komme fra flere mere eller mindre overlappende Bragg-reflekser samt fra en baggrund. Udtrykket kan generelt formuleres således: Kvarts Calcit Kvarts+calcit I(2θ i ) = S(α)Σ hkl [L(2θ i ) F(hkl) 2 φ(2θ i -2θ(hkl)] + b(2θ i ) (2) θ hvor: S(α): er en skalafaktor L(2θ i ): en geometrisk faktor jvf. ligning (1) F(hkl): er en strukturfaktor jvf. ligning (1) φ: er en funktion der beskriver en refleksionsprofil der er centreret omkring 2θ hkl maksimum-vinklen for refleksen hkl b(2θ i ): er en baggrundsintensitet. I beregningen af F(hkl) indgår enhedscelleparametrene a b c α β γ samt strukturparametrene og Debye-Waller-faktoren. I beregningen af φ indgår typisk seks til tolv parametre. Ved en mindste kvadraters analyse tilpasses beregnede I(2θ i ) værdier til observerede. Generelt forfines skalafaktoren enhedscelleparametrene og profilparametrene samt en baggrundsfunktion. For en enkelt ren fase kan endvidere de strukturelle parametre x j y j z j forfines. For en blanding må man normalt indskrænke sig til Eksemplet viser at linjerne for et tofasesystem er summen af linjerne fra de to enkelte faser. Dette er grundlaget for anvendelsen af pulverdiffraktion til både kvalitativ og kvantitativ faseanalyse. (Grafi k: UVH modifi ceret efter forfatterens forlæg) at forfine hver fases skalafaktor enhedscelleparametre profilparametre og en fælles baggrundsfunktion. Bemærk at i ligning (1) indgår størrelsen W α ρ α μ M - i skalafaktorerne der således indeholder oplysning om prøvens kvantitative sammensætning. Forholdene mellem skalafaktorerne for de enkelte faser kan derfor omregnes til et sæt af vægtbrøker for faserne. Der findes en række effektive Public Domains dvs. gratis programmer til Rietveld-metoden der kan fås via Internettet. Anvendelsen af dem kræver en betydelig computerkapacitet dog ikke mere end hvad der i dag normalt findes i en personlig computer men hvad der er mere vigtigt forudsætter en korrekt anvendelse af metoden en del indsigt i krystallografi og den teoretiske baggrund for diffraktionsprocesserne. I reference 4) beskrives resultaterne fra en undersøgelse hvor seks ens prøver blev analyseret i en række forskellige laboratorier. Det viste sig at der var en ret stor spredning i analyseresultaterne omend flertallet gav acceptable resultater. Væsentlige unøjagtigheder fandtes især med prøver der indeholdt stoffer med ekstrem ydre form såsom nåle- eller pladeform hvorved der forekom en foretrukken orientering af krystallitterne. Store forskelle i absorptionskoefficienter mellem forskellige faser kan også give væsentlige fejl medmindre der korrigeres for denne effekt hvad de færreste programmer gør. Man gør derfor klogt i ikke at antage at enhver Rietveld-analyse giver ufejlbarlige resultater. Data fra Geologisk Institut Aarhus I foråret 27 blev der på Geologisk Institut ved Aarhus Universitet anskaffet et røntgenpulverdiffraktometer af højeste kvalitet. I den forbindelse ønskede lektor Ole Bjørslev Nielsen at efterprøve apparatet ved at vurdere nye data af kendte standardmineraler og af blandinger deraf. Anne Thoisen og Charlotte Rasmussen optog med stor omhu diagrammer af 1 standard-mineraler (kaldet monomineraler der burde bestå af én enkelt fase) samt en lerprøve kaldet L4 der ikke vil blive omtalt nærmere her da studiet af lermineraler er en videnskab i sig selv. Endvidere blev der lavet en række blandinger af standardprøverne. Monomineralerne var følgende: Anhydrit CaSO 4 aragonit CaCO 3 baryt BaSO 4 calcit CaCO 3 dolomit CaCO 3 MgCO 3 gips CaSO 4 5H 2 O kvarts SiO 2 magnesit MgCO 3 mikroklin KAl- Si 3 og plagioklas som specificeres senere samt salt NaCl. Blandingerne omfattede blandt andre 9 kombinationer {A B} hvor der for hver kombination blev lavet tre blandingsforhold: A x B 1-x hvor x var henholdsvis 25 5 og 75 altså 27 blandinger. De udvalgte standardprøver var: aragonit calcit dolomit gips kvarts og L4. Imidlertid blev ikke alle kombinationer af disse stoffer fremstillet. Endvidere blev der lavet blandinger med 99 % kvarts og 1 % calcit samt af 99 % calcit og 1 % kvarts. Ovennævnte diagrammer blev overladt til mig med henblik på en analyse efter Rietveld-metoden. Analysen viste at anhydrit aragonit baryt calcit gips kvarts plagioklas og salt inden for måleusikkerheden var énfasesystemer. 18 GeologiskNyt 6/9
4 Programmet GSAS (General Structure Analysis System) blev anvendt til samtlige analyser. Rietveld-analyser på monomineraler Kvarts Da kvarts ofte anvendes som en sekundær standard i pulverdiffraktometri var en detaljeret sammenligning med de data der angives i PDF-databasen af særlig interesse. De i PDF-basen angivne værdier er for en énkrystal af kvarts der blev knust til pulver. Nogle vigtige sammenligninger vises i tabellen nedenfor til venstre. De i parentes anførte tal for gitterkonstanterne a og c for PDF-data er sandsynligvis 2σ-værdier. Det ses at differensen mellem a PDF og a Rietveld er 2 Å og differensen mellem c PDF og c Rietveld er 3 Å altså ca. 2σ. I statistikersprog ville man sige at man har mindre end 5 % sandsynlighed for at begå en fejl hvis man forkaster den nulhypotese at Århus-data og PDF-data hidrører fra forskellige typer materiale. Man kan således konkludere at Århus-diffraktometret giver data der er i god overensstemmelse med internationalt anerkendte værdier. I figuren øverst på denne side vises i grafisk form resultatet af Rietveld-analysen af kvarts: For de øvrige énfasesystemer er konklusionerne lidt anderledes. Afvigelserne imellem data fra Århus og fra PDF er ganske vist så små at identifikationen ikke kan drages i tvivl men i nogle tilfælde er der evidens for at der er små forskelle i kemisk sammensætning mellem prøverne fra Århus og dem fra PDF. For eksempel tyder resultaterne for baryt BaSO 4 fra Århus på at Tællinger θ Beregnet diffraktogram Eksperimentelle data Differensen Den røde farve viser de eksperimentelle data den grønne kurve det beregnede diffraktogram og den violette kurve nederst i billedet viser differensen mellem observerede og beregnede værdier. (Grafi k: UVH modifi ceret efter forfatterens forlæg) 2-3 % af bariumatomerne i prøven er erstattet af strontiumatomer. For salt NaCl gælder det at Århus-prøven kan indeholde små mængder af kalium og/eller brom. For plagioklas der defineres som en fast opløsning af albit NaAlSi 3 og anorthit CaAl 2 Si 2 angives sammensætningen ofte ved formlen Ab x An 1-x. Mineralet andesin der i PDF-filen er anført med sammensætningen: 62NaAlSi 3 38CaAl 2 Si 2 forkortet som Ab.62 An.38 viste god overensstemmelse med data for Århus-prøven. Den struktur der blev udgangspunkt for forfiningen beskrives imidlertid som Ab.52 An.48 et mineral fra Hogarth Ranges Australien. Strukturdata fra dette mineral kunne forklare 2θ-værdierne for alle linjerne men det blev nødvendigt også at forfine på strukturkoordinaterne for at få en tilfredsstillende overensstemmelse med intensiteterne men der blev ikke ændret på den kemiske sammensætning. Gitterkonstanterne vises i tabellen nedenfor til højre: De relative afvigelser mellem cellelængderne fra PDF-værdierne og dem fra Rietveld-forfiningen er som følger: Δa/a = 6 Gitterkonstanter for kvarts fra Rietveld-analyse i Ångström-værdier: Gitterkonstanter for en plagioklas Århus-data: a c Volumen a b c alpha beta gamma Volumen Resultat Resultat Sigma σ Sigmas σ PDF-data (2) 5453 (4) 113 PDF-data GeologiskNyt 6/9 19
5 A B D C E Billede af en tilfældig prøve under fremstilling. I baggrunden ses færdige prøver. (Foto: Sune Holm 28) % Δb/b = 8 % Δc/c = 1 %. Da der er tale om to lidt forskellige kemiske sammensætninger kan der ikke drages andre konklusioner end at relativt små forskelle i kemisk sammensætning ikke forhindrer en identifikation af plagioklaser ud fra XRDmetoden. Standarderne for dolomit lermineralet L4 magnesit og mikroklin viste sig at være flerfasesystemer. Dolomit Ren dolomit har formlen Ca.5 Mg.5 CO 3. Nogle af Mg 2+ -ionerne i gitteret kan erstattes med for eksempel Fe 2+ -ioner hvilket fører til en ekspansion af krystalgitret. PDFfilen indeholder fx data for mineralet Ankerit der angives med formlen: Ca(Fe.545 Mg.431 Mn.31 Ca.11 )(CO 3 ) 2 og som er isostrukturelt (isostrukturel: som har samme struktur) med dolomit men med en enhedscelle hvis volumen er 2 % større end den rene dolomits. Århus-dolomitprøven indeholder kvarts og desuden ser det ud som om der er to kun lidt forskellige dolomitfaser tilstede hvor den ene fase synes at være jernholdig da enhedscellens volumen er 1 % større end ren dolomits. Ifølge Rietveld-forfiningen er prøvens sammensætning som vist i tabellen nedenfor. Magnesit Magnesit-standarden består overvejende af magnesit 945 % men indeholder desuden også kvarts 38 % og formentligt lidt dolomit ca. 17 %. Formodningen om tilstedeværelsen af dolomit bygger på tilstedeværelsen af en enkelt linje samt på at den kemisk set er plausibel. Prøvens sammensætning ifølge Rietveld-forfiningen: Masseprocent Sigmas σ Ren dolomit 6719 % 13 % Kvarts 431 % 11 % Dolomit med Fe 285 % 2 % Foto af central del af diffraktometret. A: Indfaldende stråle B: Prøvens placering C: Detektor D: Prøvearm til automatisk anbringelse af prøver og E: Prøveholder. (Foto: UVH) Mikroklin Data for mineralet mikroklin KAlSi 3 findes i PDF-databasen og alle linjer derfra samt adskillige andre findes i diagrammet for Århus-prøven. En nærmere analyse viser at der foruden mikroklin er plagioklas albit og kvarts i prøven. Sammensætningen Ab.62 An.38 fra ovennævnte plagioklasstandard sammen med Na-albit og kvarts gav et resultat der gjorde det muligt at forklare hele diffraktogrammet. Det virker bemærkelsesværdigt at man kan udføre en forfining med tre feldspat-mineraler samt kvarts på en mineralprøve. Den kvantitative sammensætning er ifølge Rietveld-forfiningen således: Mikroklin KAlSi % Plagioklas Ab.62 An % Albit NaAlSi 3 18 % Kvarts 4 % Rietveld-analyser på blandinger Følgende kombinationer er analyseret ved hjælp af Rietveld-forfininger: kvarts-aragonit; kvarts-calcit; kvarts-dolomit; kvarts-gips. Da der er tale om binære Figuren viser relationen mellem det nominelle %- indhold af kvarts og det fundne fra Rietveld-forfi ningerne. Regressionslinjen for de tre værdier ligger tæt ved den teoretiske linje interpolationer vil være pålidelige men ekstrapolationer vil være fejlbehæftede. (Grafi k: UVH modifi ceret efter forfatterens forlæg) Charlotte Rasmussen anbringer prøver i diffraktometret. (Foto: UVH) blandinger anføres kun resultaterne for kvarts. A: Kvarts - Aragonit Rietveld-forfiningerne for kvarts-aragonitblandingerne viser forholdsvis god overensstemmelse mellem nominelle og fundne blandingsforhold og overensstemmelsen bliver bedre jo højere kvartsindholdet er. Differensen mellem nominelle og fundne værdier overstiger ganske vist mangefold de af programmet beregnede standardafvigelser (σ) men da disse er beregnede ud fra en matematisk model der bygger på en række forudsætninger som ikke fuldstændigt kan opfyldes skal man ikke tillægge disse σ-værdier for megen vægt. For blandingen med 25 % kvarts findes 2883 % altså en relativ afvigelse på 15 % men for 5 % kvarts er afvigelsen kun 3 % og for 75 % er den på 24 %. I alle tre tilfælde overestimeres kvartsindholdet. Nedenstående figur viser relationen mellem det nominelle %-indhold af kvarts og det fundne fra Rietveld-forfiningerne. Kvarts-aragonit GeologiskNyt 6/9
6 Kvarts-calcit Kvarts-dolomit Quartz- Dolomite theoretical line red R ietveld % Kvartsindholdet bestemmes generelt lidt for højt hér. (Grafi k: UVH modifi ceret efter forfatterens forlæg) Nominal % Alle kvartsværdier bestemt ved Rietveld-metoden er for høje. (Grafi k: UVH modifi ceret efter forfatterens forlæg) B: Kvarts - Calcit For kvarts-calcit-blandingerne er billedet lidt anderledes. Her har vi både nominelle og Rietveld-værdier nær skalaens endepunkter. For blandingen med nominelt 99 % kvarts findes 9891 % hvilket må siges at være tilfredsstillende. Ligeledes for blandingen med 1 % kvarts hvor der findes 16 % hvilket er acceptabelt for så små mængder. Regressionslinjens hældningskoefficient er 986. Kvartsindholdet her bestemmes generelt lidt for højt se figuren øverst til venstre på denne side I disse beregninger regnes der med at calcit viser foretrukken orientering efter 1 4. C: Kvarts - Dolomit Som tidligere omtalt kompliceres kvarts-dolomit-blandingernes forhold af at dolomitstandarden indeholder 43 % kvarts og at dolomitten synes at bestå af to lidt forskellige dolomit-faser hvoraf den ene kaldes dolomit med Fe. Lineariteten mellem nominelt og Rietveld-bestemt kvartsindhold er god. Regressionsliniens hældningskoefficient er 993 men som det ses på grafen øverst til højre på denne side er alle kvartsværdier bestemt ved Rietveld-metoden for høje. D: Kvarts - Gips For kvarts-gips-blandingerne er forholdene anderledes. Her ses kvartsindholdet at være væsentligt lavere end det nominelle. Som det ses på figuren nedenfor er sammenhængen mellem de nominelle kvartsprocenter og dem der er fundet ved Rietveld-metoden nogenlunde lineær men kurven ligger langt under den teoretiske værdi og der er her ikke parallelitet mellem den observerede og den teoretiske linje. I beregningerne indgår der en antagelse af at gips viser foretrukken orientering efter 1. Konklusion Disse fire eksempler viser at man for binære blandinger kan få en god lineær sammenhæng mellem nominelle værdier og værdier fra Rietveld-forfininger. I nogle tilfælde får man også relativt nøjagtige bestemmelser. Der er publikationer der beretter om meget præcise bestemmelser af flerfasesystemer. Præcisionen afhænger blandt andet af hvor god prøvetilberedningen og tællestatistikken er. Det bør endvidere bemærkes at den præcision hvormed indholdet af en fase kan bestemmes aftager med antallet af faser i prøven. Flere af de her anførte eksempler viser imidlertid at man ikke uden videre kan regne med at man ved Rietveld-metoden altid får korrekte resultater. Især ikke når én eller flere komponenter udviser foretrukken orientering som fx ved gips. Om end formålet her har været at beskrive en standardfri metode bør det dog nævnes at man kan forøge sikkerheden i analysen ved at tilføje en standardsubstans i kendt mængde. Tilsætning af en standard er en 1 8 Kvarts-gips Kvartsindholdet ses hér at være væsentligt lavere end det nominelle. (Grafi k: UVH modifi ceret efter forfatterens forlæg) GeologiskNyt 6/9 21
7 nødvendighed hvis man ønsker at kvantificere mængden af en amorf fase. Endvidere er det værd at nævne at et ofte overset aspekt ved Rietveld-metoden er den ekstra sikkerhed man opnår for den kvalitative analyse når man også kvantitativt kan gøre rede for tilstedeværelsen af hver enkel fase i et multifasesystem. Forfatteren takker Ole Bjørslev Nielsen Charlotte Rasmussen og Anne Thoisen for godt samarbejde og for fri adgang til indsamlede data. Endvidere takker han Ulla V. Hjuler og Charlotte Rasmussen for hjælp til forbedring af præsentationen af billedmaterialet. Referencer: 1) Rietveld H. M. (1967). Line Profi les of Neutron Powder-Diffraction Peaks for Structure Refi nement Acta Cryst.Vol ) Rietveld H. M. (1969). A Profi le Refi - nement Metod for Nuclear and Magnetic Structures J. Appl. Cryst. Vol ) Larson A. C. and Von Dreele R. B. (21). General Structure Analysis System ( GSAS ) Los Alamos National Laboratory Report LAUR ) Scarlett N. V. Y. Madsen I. C. Cranswick L. M. D. Lwin T. Groleau G. Stephenson G. Aylmore M. and Agron-Olshina N. (22). Outcomes of the International Union of Crystallography Commission on Powder Diffraction Round Robin on Quantitative Phase Analysis: samples synthetic bauxite natural granodiorite and pharmaceuticals J. Appl. Cryst. Vol Gipskrystal. Den ydre form af krystaller bevares normalt ved pulverisering. Derfor vil små gipskrystaller fortrinsvis lægge sig på den store flade side i prøver til pulverdiffraktion. Det kaldes foretrukken orientering. (Foto: Ole Johnsen Geologisk Museum) Kondomer som klimahjælper Den britiske tænketank Optimum Population Trust (OPT) har beregnet at 33 kr. brugt på kondomer og p-piller i ulandene kan reducere CO 2 -udslippet med et ton hvilket gør det til et langt billigere klimaindsatsområde end at investere i fx sol- og vindenergi. Ifølge tænketanken får man langt mere for pengene i form af CO 2 -reduktion hvis i-landene investerer i familieplanlægning og gratis uddeling af præventionsmidler i udviklingslandene end hvis tilsvarende beløb var blevet anvendt på alternative energikilder. Ifølge OPT vil det koste 1.88 mia. kr. at reducere befolkningstilvæksten med 5 mio. frem til 25 svarende til en CO 2 -reduktion på 34 gigaton. Til sammenligning vil det koste næsten fem trillioner kr. at opnå samme reduktion gennem grønne teknologier. Verdens befolkning vokser i øjeblikket med 84 mio. mennesker om året og ifølge FN vil Jordens befolkning vokse fra 68 mia. i dag til ca. 9 mia. i 25. Miljøstrateg ved OPT David Burton opfordrede politikerne til at sætte befolkningstilvæksten på dagsordenen ved klimatopmødet i København idet CO 2 -udslippets størrelse i stor udstrækning afhænger af Verdens befolknings størrelse. David Burton fremhæver Iran som et godt eksempel trods det despotiske og brutale muslimske teokrati der styrer landet. På ti år har man stoppet befolkningstilvæksten i Iran ved at undervise nygifte par således at gennemsnittet i dag er to fødte børn pr. kvinde. OPT som bl.a. støttes af profiler som David Attenborough der i mange år stod bag legendariske naturudsendelser på BBC opfordrer via dets hjemmeside enkeltpersoner og virksomheder til at beregne deres CO 2 -aftryk og donere penge til prævention og familieplanlægning i ulandene. JP/SLJ Enge og moser forsvinder Enge bliver i stigende grad pløjet op og flere og flere moser bliver fyldt op med jord af landmænd som ikke overholder naturfredningslovgivningen. Danmarks Naturfredningsforening er på vej med omkring 25 sager om ødelagt natur alene i Faaborg- Midtfyn kommune. Foreningens direktør René la Cour Sell er af den opfattelse at der i stort set hver eneste kommune i Danmark kan føres sager hvor landmænd har overtrådt naturfredningsbestemmelserne. Ved at sammenligne gamle luftfotos med nyere overblikskort er det lykkedes foreningen at finde sagerne om overtrædelse af naturbeskyttelsesloven i Faaborg-Midtfyn kommune. Ritzau/SLJ Jordskælv i Argentina Et jordskælv målt til 61 på Richter-skalaen rystede 16. november det nordlige Argentina nær grænsen til Chile og Bolivia ifølge USA s Geologiske Overvågning (USGS). Skælvet ramte dele af Andesbjergene omkring 19 km nordvest for San Salvador de Jujuy. Der var ikke umiddelbart meldinger om hverken ødelæggelser eller tilskadekomne. AFP/SLJ 22 GeologiskNyt 6/9
MÅLING AF MELLEMATOMARE AFSTANDE I FASTE STOFFER
MÅLING AF MELLEMATOMARE AFSTANDE I FASTE STOFFER Om diffraktion Teknikken som bruges til at måle precise mellematomare afstande i faste stoffer kaldes Røntgendiffraktion. 1 Diffraktion er fænomenet hvor
Læs mereRøntgenpulverdiffraktion i 90 år
Røntgenpulverdiffraktion i 90 år Historien viser, hvordan grundforskning på en uforudsigelig måde fører frem til udvikling af praktisk anvendelige analysemetoder Af Svend Erik Rasmussen, Geologisk Institut,
Læs mereKrystallografi er den eksperimentelle videnskab der anvendes til bestemmelse af atomernes positioner I faste stoffer.
Krystallografi er den eksperimentelle videnskab der anvendes til bestemmelse af atomernes positioner I faste stoffer. Kilde: Wikipedia INTRO? Sildenafil, trade name VIAGRA TM, chemical name 5-[2-ethoxy-5-(4-methylpiperazin-1-ylsulfonyl)phenyl]-1-
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereRøntgenpulverdiffraktion
Røntgenpulverdiffraktion - 90 år med Debye-Scherrer-metoden Af professor emeritus Svend Erik Rasmussen, Geologisk Institut, Aarhus Universitet. Med Bragg s lov og Debye-Scherrer-metoden åbnedes nye døre
Læs mereRøntgenspektrum fra anode
Røntgenspektrum fra anode Elisabeth Ulrikkeholm June 24, 2016 1 Formål I denne øvelse skal I karakterisere et røntgenpektrum fra en wolframanode eller en molybdænanode, og herunder bestemme energien af
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereOptisk gitter og emissionsspektret
Optisk gitter og emissionsspektret Jan Scholtyßek 19.09.2008 Indhold 1 Indledning 1 2 Formål og fremgangsmåde 2 3 Teori 2 3.1 Afbøjning................................... 2 3.2 Emissionsspektret...............................
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereNaturvidenskabelig ekskursion med Aarhus Universitet
Naturvidenskabelig ekskursion med Aarhus Universitet Tema: salt og bunddyr Biologi kemi Indhold Program for naturvidenskabelig ekskursion med Aarhus Universitet.... 3 Holdinddeling... 3 Kemisk Institut:
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereEksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor
Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias
Læs mere5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14
Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5
Læs mereEksamen i fysik 2016
Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereHårde nanokrystallinske materialer
Hårde nanokrystallinske materialer SMÅ FORSØG OG OPGAVER Side 54-59 i hæftet Tegnestift 1 En tegnestift er som bekendt flad i den ene ende, hvor man presser, og spids i den anden, hvor stiften skal presses
Læs mereInterferens og gitterformlen
Interferens og gitterformlen Vi skal studere fænomenet interferens og senere bruge denne viden til at sige noget om hvad der sker, når man sender monokromatisk lys, altså lys med én bestemt bølgelængde,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 1stx131-MAT/A-24052013 Fredag den 24. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereIb Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1
Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er
Læs mereVejledende besvarelse
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100
Læs mereKrystalstrukturer og egenskaber. Opgaver. Karl P. Larsen
Krystalstrukturer og egenskaber Opgaver Karl P. Larsen Indledning Den krystallinske tilstand er karakteriseret ved en repetition af stoffets mindste bestanddele i tre uafhængige dimensioner, hvorved der
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereResonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Læs mereLysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009
Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.
Læs mereKapitel 13 Reliabilitet og enighed
Kapitel 13 Reliabilitet og enighed Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 Version 11. april 2011 1 / 23 Indledning En observation er sammensat af en sand værdi og en målefejl
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereModul 12: Regression og korrelation
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 12: Regression og korrelation 12.1 Sammenligning af to regressionslinier........................ 1 12.1.1 Test for ens hældning............................
Læs mereC) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.
C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereAnalyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi
Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi Denne gennemgang omhandler figur 13 i Regn med biologi. Man kan sagtens lave beregninger på egne data. Forsøgsmæssigt kræver det bare en tommestok tapet
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereMatematik B STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik B, STX 18 maj Matematik B, STX 23 maj Matematik B, STX 15 august
Læs mereOpgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:
7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)
Læs mereBevægelse op ad skråplan med ultralydssonde.
Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde. Formål: a) At finde en formel for accelerationen i en bevægelse op ad et skråplan, og at prøve at eftervise denne formel, ud fra en lille vinkel og vægtskål
Læs mereFaldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v
Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker
Læs mereNaturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske Miljømålinger NOTAT
Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske Miljømålinger NOTAT Til: Brugere af Bekendtgørelse om kvalitetskrav til miljømålinger udført af akkrediterede laboratorier, certificerede personer mv.
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereEpidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april
Århus 8. april 2011 Morten Frydenberg Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Opgave 1 ( gruppe 1: sp 1-4, gruppe 5: sp 5-9 og gruppe 6: 10-14) I denne opgaveser vi på et
Læs mereØvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen
Indhold Bølgeegenskaber vha. simuleringsprogram... 2 Forsøg med lys gennem glas... 3 Lysets brydning i et tresidet prisme... 4 Forsøg med lysets farvespredning... 5 Forsøg med lys gennem linser... 6 Langsynet
Læs mereInterferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden
Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden På figuren er inegnet retninger (de røde linjer) med
Læs mereTilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge
Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher
Læs mere1 Sammenligning af 2 grupper Responsvariabel og forklarende variabel Afhængige/uafhængige stikprøver... 2
Indhold 1 Sammenligning af 2 grupper 2 1.1 Responsvariabel og forklarende variabel......................... 2 1.2 Afhængige/uafhængige stikprøver............................ 2 2 Sammenligning af 2 middelværdier
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereAppendiks 1. I=1/2 kerner. -1/2 (højere energi) E = h ν = k B. 1/2 (lav energi)
Appendiks NMR-teknikken NMR-teknikken baserer sig på en grundlæggende kvanteegenskab i mange atomkerner, nemlig det såkaldte spin som kun nogle kerner besidder. I eksemplerne her benyttes H og 3 C, som
Læs mereHypotese Start med at opstille et underbygget gæt på hvor mange ml olie, der kommer ud af kridt-prøven I får udleveret.
Forsøg: Indvinding af olie fra kalk Udarbejdet af Peter Frykman, GEUS En stor del af verdens oliereserver, bl.a. olien i Nordsøen findes i kalkbjergarter. 90 % af den danske olieproduktion kommer fra kalk
Læs mereRapport uge 48: Skråplan
Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................
Læs mereHvad skal vi lave? Responsvariabel og forklarende variabel Afhængige/uafhængige stikprøver
Hvad skal vi lave? 1 Sammenligning af 2 grupper Responsvariabel og forklarende variabel Afhængige/uafhængige stikprøver 2 Sammenligning af 2 middelværdier Uafhængige stikprøver Uafhængige stikprøver -
Læs mereOpgaver i solens indstråling
Opgaver i solens indstråling I nedenstående opgaver skal vi kigge på nogle aspekter af Solens indstråling på Jorden. Solarkonstanten I 0 = 1373 W m angiver effekten af solindstrålingen på en flade med
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må
Læs mereØvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant
Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7 Formål
Læs mereMatematik A 5 timers skriftlig prøve
Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6
Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået
Læs mereOvenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.
Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder
Læs mereMatematik på Humlebæk lille Skole
Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder
Læs mereTOMOGRAFIKOGEBOGEN. Elisabeth Ulrikkeholm
TOMOGRAFIKOGEBOGEN Elisabeth Ulrikkeholm 1 Princip og teori Man kan bruge røntgenstråling til at lave en 3-d model af et objekt. Dette kan gøres fordi forskellige materialer absorberer røntgenstråling
Læs mereVIGTIGT - Korrektion vedr. medicinsk udstyr Brilliance CT-systemer og Gemini- og Precedence-systemer, der anvender Brilliance CT
CT/AMI -1/2- FSN 72800599_88200461 15. maj 2013 Problemer med CTDI vol -faktorer på Philips CT-systemer Kære kunde, Der er konstateret et problem på Philips Gemini- og Precedence-systemer, der anvender
Læs mereA KURSUS 2014 ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING. Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi
A KURSUS 2014 Diagnostisk Radiologi : Fysik og Radiobiologi ATTENUATION AF RØNTGENSTRÅLING Erik Andersen, ansvarlig fysiker CIMT Medico, Herlev, Gentofte, Glostrup Hospital Attenuation af røntgenstråling
Læs mereGUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1
GUX-013 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve
Læs mereBestemmelse af plasticitetsindeks ud fra glødetab på uorganisk materiale
Bestemmelse af plasticitetsindeks ud fra glødetab på uorganisk materiale Peter Stockmarr Grontmij Carl Bro as, Danmark, peter.stockmarr@grontmij-carlbro.dk Abstract Det er muligt at vise sammenhæng mellem
Læs mereDavid Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1
1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA
STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform a 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 10 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereLars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.
Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt
Læs mereGUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA
GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt
Læs mereFolkeskolens afgangsprøve Maj-juni 2006 Fysik / kemi - Facitliste
Folkeskolens afgangsprøve Maj-juni 2006 1/25 Fk5 Opgave 1 / 20 (Opgaven tæller 5 %) I den atommodel, vi anvender i skolen, er et atom normalt opbygget af 3 forskellige partikler: elektroner, neutroner
Læs mereBestemmelse af hydraulisk ledningsevne
Bestemmelse af hydraulisk ledningsevne Med henblik på at bestemme den hydrauliske ledningsevne for de benyttede sandtyper er der udført en række forsøg til bestemmelse af disse. Formål Den hydrauliske
Læs mereLøsning til eksamensopgaven i Basal Biostatistik (J.nr.: 1050/06)
Afdeling for Biostatistik Bo Martin Bibby 23. november 2006 Løsning til eksamensopgaven i Basal Biostatistik (J.nr.: 1050/06) Vi betragter 4699 personer fra Framingham-studiet. Der er oplysninger om follow-up
Læs mereGennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()
Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices
Læs mereKRITERIER FOR TILFREDSSTILLENDE PRÆSTATION I
KRITERIER FOR TILFREDSSTILLENDE PRÆSTATION I PRÆSTATIONSPRØVNING - SAMMENLIGNING MELLEM BKG. 866 OG FORSLAG TIL REVIDERET BEKENDTGØRELSE 1 Baggrund Ved høring af revideret bekendtgørelse om analysekvalitet
Læs mereMatematik FP9. Folkeskolens prøver. Prøven med hjælpemidler. Torsdag den 3. maj 2018 kl
Matematik FP9 Folkeskolens prøver Prøven med hjælpemidler Til dette opgavesæt hører en regnearksfil. Torsdag den 3. maj 2018 kl. 10.00-13.00 Ved prøven må der anvendes alle de specifikke hjælpemidler,
Læs mereBenchmarking på anbringelsesområdet i Aabenraa Kommune
Benchmarking på anbringelsesområdet i Aabenraa Kommune Aabenraa Kommune har henvendt sig til for at få belyst, hvilke forhold der er afgørende for udgiftsbehovet til anbringelser, og for at få sat disse
Læs mereLæring af test. Rapport for. Aarhus Analyse Skoleåret
Læring af test Rapport for Skoleåret 2016 2017 Aarhus Analyse www.aarhus-analyse.dk Introduktion Skoleledere har adgang til masser af data på deres elever. Udfordringen er derfor ikke at skaffe adgang
Læs mereMatematik B. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl stx141-MAT/B
Matematik B Studentereksamen 2stx141-MAT/B-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereMODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING
MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1 - ELEKTROMAGNETISKE BØLGER I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling (EM- stråling). I skal lære noget om synligt lys, IR- stråling, UV-
Læs mereLøsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014
Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen
Læs merei tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale
Læs mereSolindstråling på vandret flade Beregningsmodel
Solindstråling på vandret flade Beregningsmodel Formål Når solens stråler rammer en vandret flade på en klar dag, består indstrålingen af diffus stråling fra himlen og skyer såvel som solens direkte stråler.
Læs mereIndhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4
BH Test for normalfordeling i WordMat Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 Grupperede observationer Vi tager udgangspunkt i
Læs mereNye metoder til bestemmelse af KCl i halm
RESUME for Eltra PSO-F&U projekt nr. 3136 Juli 2002 Nye metoder til bestemmelse af KCl i halm Indhold af vandopløselige salte som kaliumchlorid (KCl) i halm kan give anledning til en række forskellige
Læs mereForsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 6. november 2007 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 41 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereTOTALVÆRDI INDEKLIMA DOKUMENTATION
& TOTALVÆRDI INDEKLIMA DOKUMENTATION Til understøtning af beregningsværktøjet INDHOLDSFORTEGNELSE Introduktion 01 Beregningsværktøj - temperatur 02 Effect of Temperature on Task Performance in Office
Læs mere1. Er Jorden blevet varmere?
1. Er Jorden blevet varmere? Af Peter Bondo Christensen og Lone Als Egebo Ja, kloden bliver varmere. Stille og roligt får vi det varmere og varmere. Specielt er det gået stærkt gennem de sidste 50-100
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion
Læs mereMatematik og samfundsfag Gini-koefficienten
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten Den såkaldte Gini-koefficient, introduceret i 92 i en artikel af den italienske statistiker, demograf og sociolog Corrado
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereFærdigheds- og vidensområder
Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mere