Differential- regning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differential- regning"

Transkript

1 Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul

2 Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra wwwmatdk Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole

3 6 Kontinuert funktion 60 Hvornår er f () kontinuert i 0? (6a) Definition (foreløbig) En funktion f () siges at være kontinuert i et tal 0 hvis der gælder f () er defineret i 0 og grafen for f () har ikke et spring i 0 Graf med hul Figur 6b viser grafen for funktionen f ( ) = Om funktionen f () gælder: f () er ikke kontinuert i da f () ikke er defineret i f () er kontinuert i alle andre tal end Den lille ring om punktet (, ) betyder at dette punkt ikke hører med til grafen (Sætningen " f () er ikke defineret i " betyder som bekendt: "Der er ikke nogen funktionsværdi i ", hvilket også kan formuleres sådan: " f () eksisterer ikke") () Figur 6b () Graf med spring Figur 6c viser grafen for funktionen g ( ) = floor( ) Om funktionen g () gælder: () g () er ikke kontinuert i tallene 0, ±, ± 4, L da grafen har et spring i hvert af disse tal () g () er kontinuert i alle andre tal I øvelse 7 står hvad floor( ) betyder, og hvordan man får tegnet dens graf korrekt på lommeregneren Figur 6c Differentialregning Side 006 Karsten Juul

4 60 Øvelse (a) Ved aflæsning på figur 6c skal du bestemme tallene, g (,5 ), g (), g (,9) og g (4) (b) Tegn grafen for en funktion h () som er defineret i ethvert tal og både opfylder at h ( ) =, at h ( 4) = og at der ikke er noget tal 0 mellem og 4 hvor h ( 0 ) = 0 60 Hvis f () springer en værdi over, er der en -værdi hvori f () ikke er kontinuert Figur 6d viser en interaktiv figur fra en computerskærm hvor man ved at trække -punktet hen på et tal kan aflæse funktionsværdien f () Når man lader gennemløbe tallene fra til 8, vil f () bla gennemløbe alle tal mellem f () = og f (8) = 4,6, da der ikke er spring i grafen Dette anskueliggør gyldigheden af sætning (6e) () 4,6 f() 8 () Figur 6d (6e) Sætning Når en funktion f () er kontinuert i to tal a og b samt i ethvert tal mellem a og b gælder ethvert tal mellem de to tal f (a) og f (b) er lig funktionsværdien f () af et tal mellem a og b Differentialregning Side 006 Karsten Juul

5 604 Øvelse Vedrden interaktive skærmfigur på figur 6d (a) Fra trækker vi -punktet mod højre Hvor langt ca skal vi trække -punktet før f () har gennemløbet alle tal fra og med f () til og med f (8)? (b) Hvor mange gange antager f () værdien 4 når gennemløber intervallet [ ; 8]? (c) Tegn en graf for en anden funktion f () hvor f ( ) = og f ( 8) = 4, 6, men hvor f () ikke gennemløber alle tal mellem de to tal f () og f (8) når gennemløber [ ; 8] 605 Intervaller (repetition) Ved et interval forstås som bekendt en sammenhængende del af tallinjen Eksempler på intervaller Tallene større end udgør et interval der skrives ] ; [ Tallet sammen med tallene mellem og 5 udgør et interval der skrives [ ; 5[ Tallene mindre end udgør et interval der skrives ] ; [ Oversigt over alle intervaltyper ] a, b[ [ a ; b[ ] a ; b] [ a ; b] ] ; b[ ] ; b] ] a ; [ [ a ; [ R = ] ; [ a a a a a a b b b b b b Differentialregning Side 006 Karsten Juul

6 606 Sætning om konstant fortegn i interval (6f) Sætning Hvis (*) f () er kontinuert og forskellig fra 0 i ethvert tal i et interval gælder: (**) f () har samme fortegn for alle tal i intervallet Bevis for sætning (6f) Antag at (*) gælder Antag desuden (**) ikke gælder Når (**) ikke gælder, må der være to tal 0 og i intervallet så f ( 0 ) og f ( ) har forskelligt fortegn Da 0 ligger mellem f ) og f ), følger af sætning (6e) at ( 0 ( 0 er lig f () for et tal mellem 0 og Og dette er i modstrid med at der i (*) står at f () er forskellig fra 0 for ethvert tal i intervallet Når (*) gælder, fører det altså til en modstrid at antage at (**) ikke gælder, dvs (**) må gælde når (*) gælder, og det var dette der skulle vises 607 Øvelse Skitsér grafen for en funktion f () der opfylder betingelserne og f () er kontinuert i ethvert tal f ( 7) =, f ( 8) = 4, f ( 9) = og ligningen f ( ) = har kun én løsning eller argumenter for at det ikke kan lade sig gøre Differentialregning Side Karsten Juul

7 608 Polynomier Eksempler på polynomier: Konstanter er polynomier: f ( ) = f ( ) = 5 Førstegradspolynomier: f ( ) = f ( ) = 7 + Andengradspolynomier: f ( ) = f ( ) = + 4 Tredjegradspolynomier: f ( ) = f ( ) = + + Fjerdegradspolynomium: f ( ) Osv (6g) Sætning 4 = 0, + 0,7,5 +,9 + 4,5 Et polynomium er kontinuert i ethvert tal 609 Bestemme fortegn På lommeregneren finder vi at polynomiet + 6 kun har det ene nulpunkt Da + 6 således er forskellig fra 0 og kontinuert i ethvert tal i intervallet ] ; [, vil + 6 have samme fortegn i alle tal i ] ; [ På lommeregneren finder vi at når = er + 6 lig 8, altså et positivt tal Altså er + 6 et positivt tal når er et tal i ] ; [ Figur 6h : + 6 : konstant fortegn, dvs + Differentialregning Side Karsten Juul

8 60 Øvelse (a) Udfør det der er beskrevet i ramme 609 Hvilket fortegn har + 6 hvis er større end? (b) Bestem de intervaller hvor polynomiet har konstant fortegn, og 4 bestem de værdier af for hvilke er negativ 6 Øvelse En funktion er givet ved f ( ) = + 9 (a) Bestem f () 4 (b) Løs ligningen f ( ) = 0 og bestem de værdier af for hvilke f () er positiv Differentialregning Side Karsten Juul

9 7 Monotoniforhold 70 Begreberne "voksende" og "aftagende" (repetition) Figur 7a viser en interaktiv figur fra en computerskærm hvor man ved at trække -punktet hen på et tal kan aflæse funktionsværdien f () På figuren ses: Når vi trækker gennem tallene fra til 9, vil f () hele tiden øges Når vi trækker gennem tallene fra 9 til 4, vil f () hele tiden mindskes () f() 4 () Figur 7a Som bekendt siger man: f () er voksende i [ ; 9] f () er aftagende i [ 9; 4] Er f () både aftagende og voksende i 9? Nej, vi taler ikke om at en funktion er voksende i ét tal Vi taler om at en funktion er voksende i et interval At f () er voksende i [ ; 9] betyder at uanset hvordan man vælger to tal og i [ ; 9] sådan at <, så vil f ( ) < f ( ) At f () er aftagende i [ 9; 4] betyder at uanset hvordan man vælger to tal og i [ 9;4] sådan at <, så vil f ( ) > f ( ) Differentialregning Side Karsten Juul

10 70 Øvelse Vedr funktionen f () fra ramme 70 (a) Angiv to tal og i [ 8,4; 9,4] som opfylder at < og f ( ) < f ( ) (b) Angiv to tal og i [ 8,4; 9,4] som opfylder at < og f ( ) > f ( ) (c) Er f () voksende i [ 8,4; 9,4]? (d) Er f () aftagende i [ 8,4; 9,4]? 70 Øvelse 4 Indtast funktionen f ( ) = 0,75 +,75 og få grafvinduet på figur 7b frem (a) Brug Value til at bestemme funktionsværdien f () (b) Hvor stor kan b være når der skal gælde at f () er aftagende i [ 0; b ]? (Gæt svaret efter at have bestemt relevante funktionsværdier) Figur 7b 704 Monotoniforhold At angive monotoniforholdene for en funktion f () vil sige at angive i hvilke -intervaller f () hhv aftager, vokser eller er konstant På figur 7c er vist grafen for et tredjegradspolynomium f () Grafens toppunkter er P (, 5) og Q (, ) Monotonoforholdene kan angives sådan: f () er voksende i ] ; ], aftagende i [ ; ] og voksende i [ ; [ Figur 7c Differentialregning Side Karsten Juul

11 705 Øvelse Om andengradspolynomiet toppunkt er P (, ) Angiv monotoniforholdene for f () 706 Øvelse f ( ) = a + b + c oplyses at a er negativ, og at grafens Få tegnet grafen for f ( ) = 0,5 +,5 +, 75 på lommeregneren, og eksperimenter med at vælge forskellige udsnit så du får overblik over grafens forløb Gæt ud fra grafen hvordan monotoniforholdene er, og angiv disse 707 Øvelse Tegn grafen for en funktion f () som opfylder: f () er negativ og kontinuert i ethvert tal f () er aftagende i ] ; 0] og voksende i [ 0; [ 708 Øvelse (a) Tegn grafen for en funktion f () sådan at der gælder: f () er aftagende i intervallet I = [0; 8], f () er kontinuert i ethvert tal i I, og f ( 4) = 0, eller sig at det ikke kan lade sig gøre (b) Tegn grafen for en funktion f () sådan at der gælder: f () er ikke voksende i intervallet I = [0; 8], og f () er ikke negativ for noget tal i I, eller sig at det ikke kan lade sig gøre (c) Tegn grafen for en funktion f () sådan at der gælder: f () er ikke voksende i intervallet I = [0; 8], og f () er positiv for hvert tal i I, eller sig at det ikke kan lade sig gøre Differentialregning Side Karsten Juul

12 709 Monotoniforhold og tangenthældning f () Hvis f () er positiv Grafen på figur 7d er tegnet sådan at der gælder (*) tangenthældningen f () er positiv for hvert tal i intervallet I Det ses at der gælder (** ) f () er voksende i intervallet I Hvis man prøver at tegne grafen sådan at (*), men ikke (**) gælder, så bliver man overbevist om at det ikke kan lade sig gøre Man kan bevise at hvis (*) gælder, så gælder (**) også Figur 7d Hvis der er undtagelser fra at f () er positiv Funktionen f () hvis graf er vist på figur 7e, er voksende selv om der er ét punkt hvori tangenthældningen er 0 Selv om der er enkelte undtagelser fra (*), kan man slutte at (**) gælder Figur 7e (7f) Sætning Laf f () være en funktion der er differentiabel i ethvert tal i et interval I Hvis f () er positiv for alle i I, evt med endeligt mange undtagelser, så er f () voksende i I Hvis f () er negativ for alle i I, evt med endeligt mange undtagelser, så er f () aftagende i I 70 Øvelse (a) Om en funktion f () er oplyst at f ( ) = for alle i intervallet ] ; 0[ Brug sætning (7f) til at gøre rede for at f () er aftagende i ] ; 0[ (b) Om en funktion g () er oplyst at g ( ) = for alle i R Som bekendt er g () voksende i R Brug sætning (7f) til at gøre rede for dette Differentialregning Side Karsten Juul

13 7 Øvelse Om en funktion f () er oplyst at f ( ) = 0 er 0 og f ( ) = og at løsningerne til ligningen Brug sætningerne (6f) og (7f) til at bestemme monotoniforholdene for f () 7 Bestemme monotoniforhold med differentialregning Opgaven Vi vil bestemme monotoniforhold for funktionen f ( ) = Besvarelse Vi finder f ( ) = 4 4 Løsningerne til ligningen f ( ) = 0 er og 0 Tallene og 0 deler tallinjen op i tre intervaller f () har konstant fortegn i hvert af disse da der i hvert af dem gælder at f () er kontinuert og forskellig fra 0 For hvert interval bestemmes fortegnet: Heraf ses: f ( ) =, f ( ) =, f ( ) = 9 I ] ; 0] er f () positiv bortset fra i og 0, og i [ 0; [ er f () negativ bortset fra i 0 Af dette følger: f () er voksende i ] ; 0] og aftagende i [ 0; [ Her skal indføjes en redegørelse for hvordan løsningerne og 0 er bestemt Disse løsninger kan f bestemmes med solve på lommeregneren De kan også bestemmes ved at sætte uden for en parentes og derefter bruge nulreglen Oversigt: : 0 f () : f () : Differentialregning Side Karsten Juul

14 7 Øvelse Vedr opgaveløsningen i ramme 7 (a) Opgaveløseren påstår bla at f () er forskellig fra 0 når er et tal mellem og 0 Hvilken af sætningerne () () nedenfor er opgaveløserens begrundelse herfor? () f () har konstant fortegn i hvert af de intervaller som og 0 deler tallinjen op i () f () er kontinuert i ethvert tal mellem og 0 () Løsningerne til ligningen f ( ) = 0 er og 0 (b) Opgaveløseren siger at f () ikke er positiv for ethvert tal i intervallet ] ; 0], men påstår alligevel at f () er voksende i ] ; 0] Kommentér dette 74 Øvelse Vedr ramme 7 Der er omtalt to måder hvorpå ligningen f ( ) = 0 kan løses Løs ligningen på begge måder 75 Øvelse Brug metoden fra ramme 7 til at bestemme monotoniforholdene for funktionen 4 f ( ) = + 76 Øvelse En funktion f opfylder følgende betingelser: f er differentiabel i R og opfylder følgende: : 6 f () : (a) Angiv monotoniforholdene for f (b) Tegn grafen for en eller anden funktion f som opfylder ovenstående betingelser Differentialregning Side Karsten Juul

15 77 Øvelse Lav en nøjagtig kopi af følgende tallinje og tilføj det manglende så den bliver i overensstemmelse med grafen på figur 7g f (): : 0 Figur 7g Differentialregning Side Karsten Juul

16 8 Lokale ekstrema 80 Lokalt maksimum Oplæg Figur 8a viser en interaktiv figur fra en computerskærm hvor man ved at trække -punktet hen på et tal kan aflæse funktionsværdien f () På førsteaksen er markeret et interval I På figuren ser vi: For alle tal i I er f () mindre end eller lig f () Tallet f (), altså, 4, er ikke maksimum (størsteværdi) for f () da der uden for I er tal hvori f () er større end f () F er f (5) større end f () Man siger at der er lokalt maksimum i Det lokale maksimum er, 4 f(5) () f f () f ( ) (8b) Definition af lokalt maksimum Hvis der for en funktion f () gælder at I 5 f ( ) f ( 0 ) for alle i et interval omkring 0 siger man at og at f () har lokalt maksimum i 0 det lokale maksimum er tallet f ) ( 0 () Figur 8a Differentialregning Side Karsten Juul

17 80 Øvelse Vedr figur 8a (a) Kunne intervallet I være valgt større når der skal gælde at f ( ) f () for alle tal i I? (b) Angiv et interval I omkring så f ( ) f () for alle tal i I, eller sig at det ikke kan lade sig gøre (c) Angiv et interval I omkring, 7 så f ( ) f (,7) for alle tal i I, eller sig at det ikke kan lade sig gøre 80 Lokalt minimum Oplæg På figur 8c er vist grafen for et fjerdegradspolynomium Der findes et interval om så der for alle i intervallet gælder at f ( ) f () Man siger derfor at f () har lokalt minimum i Det lokale minimum er tallet f (), altså Der findes et interval om 5 så der for alle i intervallet gælder at f ( ) f (5) Altså har f () lokalt minimum i 5 Det lokale minimum er For alle i R gælder f ( ), så f () har minimum i 5 og minimum (mindsteværdien) er (8d) Definition af lokalt minimum Hvis der for en funktion f () gælder at f ( ) f ( 0 ) for alle i et interval omkring 0 siger man at og at f () har lokalt minimum i 0 det lokale minimum er tallet f ) ( 0 Figur 8c 804 Øvelse Vedr figur 8c Angiv er tal 0 og et interval omkring 0 så det for alle i intervallet gælder at f ) f ( ) ( 0 Differentialregning Side Karsten Juul

18 805 Lokale ekstrema (8e) Definition Ordet ekstremum er en fællesbetegnelse for maksimum og minimum I flertal hedder det ekstrema Figur 8f viser grafen for en funktion f () () De lokale ekstrema kan angives sådan: Der er lokalt maksimum i og det lokale maksimum er Der er lokalt minimum i og det lokale minimum er 4 + f () 4 + Figur 8f 806 Øvelse (a) Tegn grafen for en funktion f () der opfylder følgende: f () er differentiabel i R f ( ) = 0, men der er ikke lokalt ekstremum i = der er lokalt ekstremum i = 7 og i = (b) Angiv eventuelle lokale ekstrema for funktionen i ramme 7 Differentialregning Side Karsten Juul

19 807 Bestemme lokale ekstrema Opgaven Vi vil bestemme de lokale ekstrema for funktionen f ( ) = For at kunne afgøre i hvilke -værdier der er lokale ekstrema, må vi kende monotoniforholdene for f () Derfor starter vi med at bestemme disse Besvarelse Differentialkvotienten er f ( ) = + 8 Løsningerne til ligningen f ( ) = 0 er 6 og Tallene 6 og deler tallinjen op i tre intervaller f () har konstant fortegn i hvert af disse da der i hvert af dem gælder at f () er kontinuert og forskellig fra 0 For hvert interval bestemmes fortegnet: f ( 7) = 0, f ( 0) = 8, f ( 4) = 0 Vi kan slutte følgende: : 6 f () : f () : Her skal indføjes en redegørelse for hvordan løsningerne 6 og er bestemt Da f ( 6) = 0 og 4 f ( ) =, fås f () har lokalt maksimum i 6 og det lokale maksimum er 0 f () har lokalt minimum i og det lokale minimum er Øvelse Bestem lokale ekstrema for funktionen 4 f ( ) = Differentialregning Side Karsten Juul

20 809 Øvelse Figur 8a i ramme 80 er et billede af en interaktiv figur Når trækkes gennem værdierne fra 0, 5 til 5,, så kan man for hver værdi af aflæse værdien af f () på andenaksen (a) For hvor mange værdier af vil f ( ) =? (b) Hvis vi i f ( ) = a erstatter a med et bestemt tal, så får vi en ligning vi kan løse Vi vil vælge tallet a sådan at den fremkomne ligning har præcis to løsninger Hvad kan vi så f sætte a til? 80 Øvelse (a) I ramme 807 er fandt vi frem til visse oplysninger om en funktion f () Benyt disse oplysninger til at skitsere grafen Der er ikke brug for at udregne flere punkter på grafen da den kun skal bruges som et hjælpemiddel til at besvare spørgsmål (b) (b) For hvilke værdier af a har ligningen f ( ) = a kun én løsning? 8 Bestemme ekstremum med differentialregning Vi vil bestemme minimum for funktionen f ( ) = 0,50 0,9 +,4, > 0 Differentialkvotienten er f ( ) =,50 0,9 Da > 0, er løsningen til ligningen f ( ) = 0 tallet 0,9 = = 0,50990L,50 0,5 f () er kontinuert og har derfor konstant fortegn på hver side af 0, 5 Da f ( 0,) = 0,75 og f ( ) =, fås: : 0 0, 5 f () : M 0 + f () : Da f ( 0,50990L) =,67L, fås af tallinjen: f () har minimum i 0, 5 og minimum er, Differentialregning Side Karsten Juul

21 8 Øvelse Funktionen f ( ) = 0,50 0,9 +,4, < 0 har samme forskrift som funktionen i ramme 8, men definitionsmængden er en anden Brug differentialregning til at bestemme maksimum for f () 8 To typer ekstremumsopgaver For en bestemt type figurer er rumfanget f (), målt i f ( ) = 0,50 0,9 +,4, > 0, hvor er figurens bredde, målt i m Funktionen f () blev behandlet i ramme 8 m, bestemt ved Om de omtalte figurer kan man f stille spørgsmålet (*) Hvad skal bredden være for at rumfanget bliver mindst muligt? eller spørgsmålet (**) Hvad er det mindst mulige rumfang? Hvis spørgsmålet er (*), er svaret 0,5 m, og det er ikke nødvendigt at udregne f ( 0,50990L) Hvis spørgsmålet er (**), er svaret, m 84 Øvelse I en bestemt type konstruktion er der en sammenhæng mellem størrelsen af et rørs overflade og dets afstand fra et andet rør Antag at der er givet en regneforskrift for afstanden f (), målt i cm, som funktion af overfladen, målt i cm Antag at konstruktionen er udført så afstanden er den størst mulige Hvis man skal bestemme overfladens størrelse, skal man så bestemme maksimum for f () eller bestemme det tal hvori f () har maksimum? Differentialregning Side Karsten Juul

22 85 Bestemme ekstrema på grafregner (repetition) Som bekendt kan maksimum og minimum bestemmes på lommeregneren ved hjælp af Math/Maimum og Math/Minimum Minimum for funktion kan bestemmes sådan: - Fra grafskærm vælges Math/Minimum - Om nødvendigt trykkes PilNed til markør står på rigtige graf - Som svar på "Lower Bound?" flyttes markør til grafpunkt lidt til venstre for søgte grafpunkt (med pilrast eller ved at taste -koordinat) og der trykkes ENTER - På tilsvarende måde besvares "Upper Bound?" - Søgte punkts koordinater fremkommer nederst på skærmen Besvarelse af spørgsmålet (**) i ramme 8 Forskriften for f () indtastes På figuren er skærmbilledet skitseret Da grafen for et tredjegradspolynomium ikke kan have flere sving end den viste del af grafen, og da vi kun ser på > 0, er y 0 det søgte tal Ved hjælp af Math/Minimum fås y 0 =,674L, dvs det mindste rumfang er, m Figur 8g 86 Øvelse En haveejer har lavet et raftehegn hvor højden af en rafte, målt i meter, er givet ved f ( ) = 0, ,08 +, 0 < < 5 hvor er raftens afstand fra lågen, målt i meter Se figur 8h (a) Bestem den værdi af hvori f () har maksimum, og forklar hvad du herved har fundet ud af om raftehegnet (b) Bestem maksimum for f (), og forklar hvad du herved har fundet ud af om raftehegnet Figur 8h Differentialregning Side Karsten Juul

23 87 Øvelse En funktion f () er givet ved f ( ) = k, > 0 hvor k er et positivt tal Det oplyses at f () har minimum i Bestem k 88 Øvelse En funktion f () er givet ved 4 f ( ) = + + k hvor k er et reelt tal Det oplyses at maksimum for f () er 50 Bestem k Differentialregning Side Karsten Juul

24 9 Grænseværdi 90 Oplæg om grænseværdi I tabellen er vist værdien af for forskellige værdier af : 0, 60 0, 90 0, 98, 0, 0, 40 : 0, 0 0, 45 0, 49 0, 5 0, 55 0, 70 Som ovenstående antyder, gælder: Vi kan få så tæt på det skal være ved at vælge tæt nok på Derfor siger vi at er grænseværdien af Med symboler skrives grænseværdien sådan: lim Dette symbol betegner altså tallet for gående mod 90 Øvelse I ramme 90 omtales størrelsen f ( ) = Det påstås at vi kan få f () så tæt på det skal være, ved at vælge tæt nok på Antag at vi vil have at afstanden mellem f () og skal være mindre end 0, 000 Angiv et lille interval om så dette er opfyldt for alle der ligger i intervallet og er forskellig fra (Du skal blot gætte intervallet ved at udregne f () for nogle tal der ligger tæt på ) Differentialregning Side Karsten Juul

25 90 Definition af grænseværdi Lad f () være en funktion, og lad a og 0 være tal Man siger at hvis a er grænseværdien af f () for gående mod 0 man kan få f () så tæt det skal være på a ved kun at bruge tal der ligger i et lille interval om 0 og er forskellig fra 0 Denne grænseværdi betegnes lim f ( ) Øvelse Udregn nogle funktionsværdier for funktionen 4 f ( ) = så du kan gætte svar på spørgsmålene nedenfor (a) Hvad er grænseværdien af f () for gående mod? (b) Angiv et interval om så det for alle der ligger i intervallet og er forskellig fra, gælder at afstanden mellem f () og grænseværdien er mindre end 0, Øvelse Figur 9a viser grafen for funktionen f ( ) = (a) Bestem andenkoordinaterne til de to grafpunkter hvis førstekoordinater er og 4 (b) Bestem hældningskoefficienten for linjen gennem disse to punkter Lad hk () betegne hældningskoefficienten for linjen gennem grafpunktet med førstekoordinat og et andet grafpunkt med førstekoordinat Tallet hk (4) er altså det tal der er svaret på (b) (c) Beregn hk (, ), hk (,0) og hk (0,999) Figur 9a (d) Gæt ud fra svarene i (c) grænseværdien af hk () for gående mod Se om dit svar kan passe med figuren Differentialregning Side Karsten Juul

26 906 Vilkårlig store værdier: ingen grænseværdi I tabellen er vist værdien af for forskellige værdier af : 0, 0, 0 0, , 00 0, 0 0, : Som ovenstående antyder, gælder: Uanset hvilket tal a vi vælger, så kan vi få ved at vælge tæt nok på 0 Der er altså ikke noget tal a som er grænseværdi for til at være meget større end a for gående mod Øvelse I ramme 906 omtales størrelsen f ( ) = Angiv et interval om 0 så det for alle 0 der ligger i intervallet og er forskellig fra 0, gælder at f ( ) > Øvelse Figur 9b viser grafen for en funktion f () Lad hk () betegne hældningskoefficienten for linjen der går gennem grafpunktet med førstekoordinat og et andet grafpunkt med førstekoordinat (a) Bestem hk (), hk (,) og hk (,00) (b) Ser det ud til at hk () har en grænseværdi for gående mod? (Begrund svaret) Figur 9b Differentialregning Side Karsten Juul

27 909 Forskellig værdi fra højre og venstre: ingen grænseværdi I tabellen er vist værdien af for forskellige værdier af : 0, 5 0, 0 0 0, 0 0, 5 : Som ovenstående antyder, gælder: Uanset hvor lille et -interval om 0 vi begrænser os til, så vil værdien og værdien både antage Der er altså ikke noget tal a som er grænseværdi for for gående mod 0 90 Øvelse Figur 9c viser grafen for en funktion f () Lad hk () betegne hældningskoefficienten for linjen der går gennem grafpunktet med førstekoordinat og et andet grafpunkt med førstekoordinat (a) Bestem hk (), hk (,) og hk (,9 ) (b) Ser det ud til at hk () har en grænseværdi for gående mod? (Begrund svaret) Figur 9c Differentialregning Side Karsten Juul

28 9 Definition af "kontinuert" Funktionsværdi grænseværdi Den funktion f () hvis graf er vist på figur 9d, er ikke kontinuert i da grafen har et spring ved grafpunktet med førstekoordinat Det ses at f () og lim f ( ) altså forskellige er hhv 5 og 4, Funktionsværdi = grænseværdi Den funktion f () hvis graf er vist på figur 9e, er kontinuert i da grafen ikke har et spring ved grafpunktet med førstekoordinat Figur 9d Det ses at f () og lim f ( ) altså ens begge er 4, (9f ) Definition af "kontinuert" En funktion f () siges at være kontinuert i et tal 0 hvis f () er defineret i 0, Figur 9e f () har en grænseværdi for gående mod 0, og lim f ( ) = f ( 0 ) 0 9 Øvelse Vedr funktionen på figur 9f (a) Bestem hvert af følgende tal eller sig at det ikke eksisterer f ( ), lim f ( ), f ( ), lim f ( ), f (), lim f ( ), f (), lim f ( ) (b) I hvilke tal er f () ikke kontinuert? Figur 9f Differentialregning Side Karsten Juul

29 9 Beregning af grænseværdi Oplæg Da = vil de to funktioner ( ) ( ) = f ( ) =, g( ) = være ens for alle undtagen = Ifølge definitionen af grænseværdi (se ramme 90) er grænseværdien for gående mod fastlagt ved funktionsværdierne i de der er forskellig fra, så da f () og g () er ens for disse, må (* ) lim f ( ) = lim g( ) Da g () er et polynomium, er g () kontinuert, så ifølge definitionen på at være kontinuert (se ramme 9) er (** ) lim g( ) = g() Da g ( ) = =, fås af (*) og (**) at lim f ( ) = Metode Hvis f ( ) = g( ) for 0 og g () er kontinuert i 0, så er lim f ( ) = g( 0 ) 0 Eksempel Vi vil finde grænseværdien af Da + = ( + ) ( ) + + = for gående mod fås grænseværdien ved at sætte ind for i, dvs grænseværdien er Differentialregning Side Karsten Juul

30 94 Øvelse Tegn i hvert sit koordinatsystem graferne for de to funktioner f () og g () som er omtalt i oplægget øverst i ramme 9 95 Øvelse Brug metoden fra ramme 9 til at beregne grænseværdierne + lim og + lim 4 6 Differentialregning Side Karsten Juul

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1

Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. IX Funktioner Side 1 Side 1 Funktion Opgaverne med svar starter på side 2, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 3 med et s foran nummeret. 1001 Figuren viser grafen

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet Øvelser til hæftet Differentialregning fr gymnasiet g hf f () t s f f () 00 Karsten Juul Øvelserne i dette hæfte får eleverne til at pdage hvad det er der fregår i differentialregningen Dette pnår man

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra

Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Opgaver med hjælp Funktioner 2 - med Geogebra Nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema Formålet med denne note er at tegne os frem til nulpunkter, monotoniforhold og ekstrema for en funktion ved hjælp af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression.

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression. Bilag 3: Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksamen og større skriftlig opgave ved studentereksamen og hf. Kommentarer på baggrund af censorernes tilbagemeldinger HF-tilvalgsfag (opgavesæt HF 99-8-1)

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b GUX Matematik Niveau B Prøveform b August 014 GUX matematik B august 014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

FRANSK BEGYNDERSPROG HØJT NIVEAU FORTSÆTTERSPROG TILVALGSFAG HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009

FRANSK BEGYNDERSPROG HØJT NIVEAU FORTSÆTTERSPROG TILVALGSFAG HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 STUDENTEREKSAMEN MAJ 2005 2005-11-2 SPROGLIG OG MATEMATISK LINJE HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2005 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 FRANSK BEGYNDERSPROG

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier. Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Største- og mindsteværdi Uge 11

Største- og mindsteværdi Uge 11 Uge 11 : Definitioner Efterår 2009 : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. : Definitioner : Definitioner Lad A R n og f : A R en reel funktion af n. Punktet a = (a 1, a 2,..., a n )

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 11/12 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Oversigt over gennemførte flerfaglige forløb disse hentes via hjemmesiden

Oversigt over gennemførte flerfaglige forløb disse hentes via hjemmesiden Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 15/16 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer e-mailadresse Hold Handelsgymnasiet Ribe HHX Matematik

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011 Matematik A Studentereksamen stx113-mat/a-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Regneark Excel fortsat

Regneark Excel fortsat Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere