Uskelnelige kvantepartikler

Transkript

1 Kvantemekanik 3 Side af 4 Inden for den klassiske determinisme kan man med kendskab til de kræfter, der virker på et partikelsystem, samt begyndelsesbetingelserne for position og hastighed, vha. Newtons love i princippet fremskrive ethvert partikelsystems bevægelse. Dette indebærer, at man i princippet vil kunne holde rede på hver enkelt partikels bevægelse og dermed kunne skelne partiklerne fra hinanden, selvom de måtte være identiske. Men inden for KM har partikler som bekendt først veldefineret position og hastighed i det øjeblik, disse bestemmes. Hvis man f.eks. måler positionen af de to elektroner i et heliumatom og i den,? forbindelse navngiver dem og, så vil man ved en senere måling ikke kunne identificere, hvilken elektron, der er nummer hhv., idet man i henhold til usikkerhedsrelationen ikke kan følge deres bevægelse.,? Så inden for KM er identiske partikler fundamentalt uskelnelige. Bemærk, at ovenstående forudsætter overlap mellem de identiske kvantepartiklers sandsynlighedstætheder. To elektroner hørende til to forskellige brintatomer vil således være skelnelige, mens to elektroner i samme heliumatom vil være uskelnelige. Partikelsystemet kunne snildt tænkes at bestå af så mange partikler, at selv den hurtigste computer på jorden ikke ville kunne gennemføre beregningen i praksis, men dette ændrer ikke ved, at det klassisk set i princippet er muligt. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007

2 Kvantemekanik 3 Side af 4 Et system bestående af to identiske kvantepartikler, i det flg. betegnet og, er kendetegnet ved en topartikel-bølgefunktion, ;, (3.) (r r t) hvor den stedvektor, der står først, repræsenterer kvantepartikel og så fremdeles. Sandsynligheden for at finde V og V er 3 3 ( r, r ; t) d rd r V V hvor, (3.) 3 d r= dxdydz er volumenelementet hørende til stedvektoren r, og normeringsbetingelsen er tilsvarende 3 3, ; =. (3.3) ( r r t) 3 3 d rd r Sandsynligheden for V og V er opg.y ( r, r ; t) d rd r = (, ; ) V V V r r t d rd V r, (3.4) og da kvantepartiklerne er uskelnelige, er sandsynlighederne i udtryk (3.) og (3.4) de samme, så da V og V er vilkårlige fås ( r, r ; t) = ( r, r ; t). (3.5) Udtryk (3.5) er således (den fælles) opholdssandsynlighedstæthed for den ene kvantepartikel omkring r og den anden omkring r. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007

3 Kvantemekanik 3 Side 3 af 4 Af udtryk (3.5) følger i ( r, r ; t) = e δ ( r, r; t) eller efter et variabelskift r r i r, r; t e δ = r, r ; t som indsat i udtryk (3.6) giver ( ) ( ) r r t e r r t i ( ) = ( ) ( δ, ;, ; ), (3.6), (3.7), (3.8) svarende til 3 i e δ = ±. (3.9) Topartikel-bølgefunktionen for to identiske, og derved uskelnelige, kvantepartikler har således udvekslingssymmetri : r, r ; t =± r, r; t For og ( ) ( ) ( r, r ; t) = ( r, r; t) ( r, r ; t) = ( r, r; t). (3.0) (3.) (3.) er bølgefunktionen således hhv. symmetrisk og antisymmetrisk i en ombytning af r og r. Hvilken stedvektor, der kaldes hhv. r og, er vilkårligt, på samme måde som at f x, y x y f yx, = yx er to måder at skrive den samme funktion på. 3 At udtryk (6.4) medfører udtryk (6.5) følger således af et lignende argument med variabelskift x x. r ( ) = og ( ) Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007

4 Kvantemekanik 3 Side 4 af 4 Ovenstående kan generaliseres til enhver mangepartikel-bølgefunktion for N identiske partikler, som således er enten symmetrisk eller antisymmetrisk i en ombytning af to stedvektorer: r, r, r,, r ; t =± r, r, r,, r ; t. (3.3) ( 3 N ) ( 3 N ) Eksempel Hamiltonoperatoren for to identiske, ikke-vekselvirkende 4 kvantepartikler i et D harmonisk oscillator-potential er givet ved ˆ H = + m x + mω x. (3.4) m ω x m x De to kvantepartikler i samme egentilstand : Som det fremgår af opg. 0., er de to kvantepartikler i så fald i en egentilstand for topartikel-hamiltonoperatoren i udtryk (3.4) givet ved E E i t i nt nn x x t n x t n x t n x e n x e n (, ; ) = (, ) (, ) = ( ) ( ) i( n+ ) ωt = φn( x ) φn( x ) e, φ φ idet den tilhørende energi er Enn = En = n+ ω = + ω, ( n ) n (3.5) (3.6) og idet enkeltpartikel-egentilstandene n og de tilhørende enkeltpartikel-energier E n fremgår af opg. H. 4 Havde der været en vekselvirkning de to kvantepartikler imellem, ville der have været et ekstra led i Hamiltonoperatoren, der repræsenterede denne vekselvirkning. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007

5 Kvantemekanik 3 Side 5 af 4 Af udtryk (3.5) fremgår det, at nn ( x, x ; t) nn ( x, x; t) =, (3.7) svarende til at topartikel-egentilstanden er symmetrisk, når to identiske kvantepartikler er i samme enkeltpartikel-egentilstand. De to kvantepartikler i forskellige egentilstande n og n' : I så fald findes to degenererede løsninger med tilhørende energi ( ) = n ( ) ( ) nn' n' (, ; ) = ( ) n ( ) nn ' n' En + E i n' t x, x ; t φ x φ x e, x x t φ x φ x e ( ) En + E i n' t (3.8) E ' = E ' = En + E ' = n+ n' + ω. (3.9) nn n n n Hvis nn' skal repræsentere en topartikel-tilstand for de to uskelnelige kvantepartikler, skal den ifølge udtryk (3.0) have udvekslingssymmetri: svarende til n ( x, x ; t) ( x, x; t) =±, (3.0) nn' nn' ( x ) ( x ) n( x ) ( ) φ φ =± φ φ x. (3.) n' n' Men ifølge Fig. 6. s. 3 i lærebogen er f.eks. så nn', og tilsvarende ' ( 0) ( ) 0 ( ) ( 0) φ φ = ± φ φ, (3.) nn, har ikke udvekslingssymmetri og kan dermed ikke repræsentere en topartikel-tilstand for de to identiske kvantepartikler. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007

6 Kvantemekanik 3 Side 6 af 4 Så en topartikel-egentilstand må være en linearkombination af de to degenererede løsninger nn' og nn ' : ( x, x ; t) c ( x, x ; t) c ( x, x ; t) = +, (3.3) nn' n' n hvor c er sandsynligheden for at partikel er kendetegnet ved kvantetal n og er kendetegnet ved kvantetal n, og omvendt for c, sådan at c c + =. (3.4) Da kvantepartiklerne er uskelnelige, er begge ovenstående scenarier lige sandsynlige, så = c c, og dermed fås to mulige linearkombinationer i form af en symmetrisk tilstand med c = c = og en antisymmetrisk tilstand med c=, c = : 5 S( x, x; t) = in ( + n' + ) ωt φ n( x ) φn' ( x ) + φn' ( x) φn( x) e, (3.5) A( x, x; t) = in ( + n' + ) ωt φ n( x ) φn' ( x ) φn' ( x) φn( x) e. 6 (3.6) 5 En tilstand som dem i udtryk (3.5) og (3.6), hvor et antal identiske kvantepartikler er i en superposition af at være i et tilsvarende antal kvantetilstande, kaldes en sammenfiltret tilstand, idet enkeltpartikel-tilstandene er filtret sammen på en sådan måde, at det ikke giver mening at afgøre, hvilken kvantepartikel, der er i hvilken tilstand. Det tilsvarende engelske udtryk er entangled state, og man taler derfor om entanglement. 6 Bemærk, at en sådan antisymmetrisk topartikel-tilstand kan skrives som en såkaldt Slater-determinant : ( r, t) ( r, t) n n ( r, r ; t) = A, ( r, t) ( r, t) n' n' der umiddelbart kan generaliseres til N identiske partikler: ( r, t) ( r, t) n n N ( r, r,, r ; t) =. A N N! r, t r, t nn ( ) ( ) nn N Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007

7 Kvantemekanik 3 Side 7 af 4 Udvekslingskraften Sandsynlighedstætheden for at finde de to kvantepartikler fra ovenstående eksempel i samme punkt er givet ved φ φ φ φ φ φ ( x, x; t) = n( x) ( x) + ( x) n( x) = n( x) ( x) S n' n' n' A ( xxt), ; = 0. nn' ( xxt) ( xxt) =, ; =, ;, n' n (3.7) To uskelnelige kvantepartikler kendetegnet ved en symmetrisk bølgefunktion har således dobbelt så stor sandsynlighedstæthed for at blive fundet i samme punkt, som hvis der var tale om skelnelige kvantepartikler. Til gengæld er sandsynlighedstætheden nul, hvis der er tale om uskelnelige kvantepartikler kendetegnet ved en antisymmetrisk bølgefunktion. Ifølge udtryk (3.4) vekselvirker de to identiske kvantepartikler ikke, og der er derfor ingen kraftpåvirkning imellem dem i klassisk forstand, men jf. ovenstående er der alligevel en ren KM kraft kaldet udvekslingskraften, der således er tiltrækkende, hvis de to kvantepartikler er kendetegnet ved en symmetrisk bølgefunktion, og frastødende, hvis bølgefunktionen er antisymmetrisk. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007

8 Kvantemekanik 3 Side 8 af 4 Singlet- og triplet-tilstande Ifølge KM indeholder en kvantepartikels bølgefunktion ( rt), ~ alle informationer om kvantepartiklens bevægelse. Men ifølge KM0 er en kvantepartikel, udover sine bevægelsesegenskaber, også kendetegnet ved et spin, som således ikke indeholder information om. Samlet set er kvantepartiklen således kendetegnet ved en kvantetilstand Φ, der indeholder information om såvel bevægelsesegenskaber som spin. I de tilfælde hvor et system af kvantepartiklers bevægelse og spin er uafhængige af hinanden 7, kan systemets samlede kvante-egentilstand skrives Φ = χ, (3.8) hvor er den rumlige del, og χ er spin-delen. Betragt et system bestående af to uskelnelige elektroner, der ifølge udtryk (0.8) hver er kendetegnet ved s i, s, m = i +, svarende til spin-egentilstandene spin ned χ (3.9), og spin op χ. (3.30), 7 Stern-Gerlach-forsøget beskrevet KM9 s. -3 er et eksempel på et system, hvor bevægelsen og spinnet er koblet, og hvor kvantetilstanden dermed ikke er separabel som i udtryk (3.8). Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007

9 Kvantemekanik 3 Side 9 af 4 Som vist på figuren 8 kan de to elektroners spin enten forstærke hinanden, sådan at systemet samlet set får spinkvantetal s ' =, eller udslukke hinanden, sådan at systemet får spinkvantetal s ' = 0. For ' s = er der tre mulige projektioner, svarende til m { } derfor en triplet. For ' 0 singlet. s = er der kun én mulig projektion ( m s' = 0) s', 0,, og dette kaldes, og dette kaldes derfor en De tre triplet-tilstande er symmetriske i en ombytning af partikelindeks: χ χ χ,,0, + =, = + =,, (3.3) hvorimod singlet-tilstanden er antisymmetrisk: =. (3.3) χ 0,0 Spin-delen har således udvekslingssymmetri, ligesom den rumlige del. 8 Eisberg & Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles, nd ed., Wiley. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007

10 Kvantemekanik 3 Side 0 af 4 Bosoner og Fermioner Ifølge udtryk (3.8) har udvekslingssymmetrien af en mangepartikel-egentilstand Φ flg. sammenhæng med udvekslingssymmetrien af den rumlige del og spindelen χ : χ Φ S S S Boson d) S A A Fermion a), c) A S A Fermion b) A A S Boson Alle kvantepartikler inddeles således i to kategorier: Bosoner 9 : Systemer bestående af identiske bosoner er kendetegnet ved mangepartikeltilstande 0, der er symmetriske i en ombytning af to partikelindeks. Bosoner kan vises at have heltalligt spin, og fotoner (spin ) og heliumatomer (spin 0) er således eksempler på bosoner. Fermioner : Systemer bestående af identiske fermioner er kendetegnet ved mangepartikeltilstande, der er antisymmetriske i en ombytning af to partikelindeks. Fermioner kan vises at have halvtalligt spin, og elektroner, protoner og neutroner (spin ) er således eksempler på fermioner. 9 Opkaldt efter den indiske fysiker Satyendranath Bose. 0 Når det gælder for egentilstandene, gælder det også for en vilkårlig tilstand i form af en overlejring af disse egentilstande. Opkaldt efter den italienske fysiker Enrico Fermi. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007

11 Kvantemekanik 3 Side af 4 a) Ifølge udtryk (3.7) er den rumlige del af kvantetilstanden for identiske kvantepartikler symmetrisk, når kvantepartiklerne befinder sig i samme rumlige tilstand. Så hvis der er tale om fermioner, hvis samlede tilstand er antisymmetrisk, må spindelen være antisymmetrisk. To elektroner i samme rumlige tilstand er således i en antisymmetrisk singletspintilstand, hvori de to elektroner jf. Figure 9- s. 9 har hhv. spin op og spin ned og dermed udligner hinandens spin. Paulis udelukkelsesprincip Argumentet, der ledte frem til udtryk (3.7), kunne lige såvel have været gennemført for den samlede kvantetilstand Φ, som således må være symmetrisk, hvis (to eller flere) kvantepartikler befinder sig i samme kvantetilstand. Da fermioner er kendetegnet ved antisymmetriske kvantetilstande, gælder altså flg. udsagn, der er kendt som Paulis udelukkelsesprincip : Der kan kun være én fermion i en kvantetilstand. Som det fremgik af forrige afsnit, kan der således være to elektroner i en rumlig tilstand, idet de to elektroner i så fald har hhv. spin op og spin ned. b) Da bosoner netop er kendetegnet ved symmetriske kvantetilstande, gælder dette udelukkelsesprincip ikke for bosoner. Dermed er der f.eks. ingen grænse for, hvor mange fotoner, der kan være i samme kvantetilstand, hvilket bla. er en nødvendig forudsætning for i en laser vha. stimuleret emission at skabe en lavine af fotoner, der alle er i samme kvantetilstand og dermed forstærker hinanden. De to elektroners spin siges at være parret. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007

12 Kvantemekanik 3 Side af 4 c) Hvis to elektroner er i en symmetrisk triplet-spintilstand, hvor deres spin forstærker hinanden, er de kendetegnet ved en antisymmetrisk rumlig tilstand og dermed ifølge s. 7 en frastødende udvekslingskraft. Da elektroner i et stof ikke alle kan have modsatrettede spin, bærer denne frastødende udvekslingskraft mellem elektroner med samme spin en stor del af ansvaret for stofs fundamentale modstand mod at blive presset sammen. d) Omvendt vil to elektroners singlet-spintilstand føre til en tiltrækkende udvekslingskraft, der kan føre til dannelsen af kovalente bindinger, hvor to atomer deler de to elektroner imellem sig. Bose-Einstein-kondensat Et såkaldt Bose-Einstein-kondensat 3 er en samling af atomer, der har heltalligt spin og dermed er bosoner, og som ved afkøling til nær det absolutte nulpunkt er kondenseret til en og samme kollektive grundtilstand. Dette kondensat har et brydningsindeks, hvis realdel er så ubegribeligt stort, at lys udbreder sig med gåtempo(!) igennem kondensatet, samtidigt med at imaginærdelen af brydningsindekset (absorptionen) er så tilpas lille, at kondensatet i sin væsentlighed tillader lyset at passere 4. Superledning Superledning opstår i visse superledende materialer ved temperaturer nær det absolutte nulpunkt, ved at elektronpar opfører sig som bosoner og parvist leder strøm uden elektrisk modstand. 3 Opkaldt efter Bose og Einstein, som i 95 forudsagde muligheden for dets eksistens. I 999 blev den danske fysiker Lene Vestergaard Hau kendt for at sænke lysets fart til 60 km/t, en rekord, der senere er slået. I 00 lykkedes det således Lene Haus gruppe helt at standse lysets udbredelse i en sky af Bose-Einstein-kondenserede natriumatomer for så efterfølgende at slippe lyset fri igen. 4 Normalt har real- og imaginærdel en tendens til at følges ad. I et metal f.eks. er realdelen af brydningsindekset så stor, at lysets udbredelsesfart er sænket rundt regnet 000 gange, men imaginærdelen er tilsvarende så stor, at lyset kun udbreder sig en ganske kort afstand i metallet, førend det bliver absorberet. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007

13 Kvantemekanik 3 Side 3 af 4 Teleportation Et heliumatom i sin grundtilstand indeholder to uskelnelige elektroner, der befinder sig i samme rumlige tilstand (grundtilstanden) og dermed har hhv. spin op og spin ned. Elektronernes samlede bølgefunktion er således en sammenfiltret tilstand/entangled state i form af en superposition af elektron spin op, elektron spin ned og det omvendte. Hvis man måler spinnet af den ene elektron og f.eks. får spin op, så ved man samtidigt, at den anden elektron aht. udelukkelsesprincippet nødvendigvis har spin ned. Men hvad ville der så ske, hvis man tog de to elektroner og førte dem bort fra hinanden uden at forstyrre deres kvantetilstand for så efterfølgende at måle deres spin så hurtigt efter hinanden, at information (selv med lysets fart) ikke kan nå at udbrede sig fra den ene elektron til den anden?... Da ideen til dette tankeeksperiment i sin opstod, var Einstein og Bohr uenige om dets udfald. Einstein mente, at de to spin pga. adskillelsen i rum ville være ukorrelerede, sådan at man ville måle det samme eller det modsatte spin med 50 % sandsynlighed 5, hvorimod de to spin ifølge Bohr stadig være korrelerede, sådan at man ville måle to forskellige spin. 5 Det berømte Einstein-Podolski-Rosen-paradoks fra 935 går således på, at KM enten er en ufuldstændig teori i modstrid med sig selv eller også involverer absurditeter såsom f.eks. ikke-lokal korrelation. Heraf konkluderede EPR (efter de flestes mening i dag fejlagtigt), at KM var ufuldstændig, og Einstein brugte de sidste mange år af sit liv i en frugtesløs søgen efter den teori om alting, der kunne forene alle teorier og herunder fuldstændiggøre KM. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007

14 Kvantemekanik 3 Side 4 af 4 I 98 gennemførte franskmanden Alain Aspect sit berømte eksperiment 6, der viste, at Bohr havde haft ret 7 Dette viste, at kvantetilstande kan være korrelerede på trods af rumlig adskillelse ( ikke-lokal korrelation ), og denne erkendelse understøttede muligheden for teleportation af kvantetilstande fra et sted i rummet til et andet 6 I praksis sendte Aspect to fotoner med modsatte, korrelerede spin i hver sin retning og målte deres spin vha. en polarisator, men den kvalitative konklusion er den samme. 7 Det er vigtigt at bemærke, at dette ikke er et brud på relativitetsteorien, idet denne siger, at information ikke kan udbrede sig hurtigere end lyset, og her er ikke tale om information, men om sekvenser af spin op og ned, som forekommer uforudsigeligt. Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 7/04/007