Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 9 - Repetition - Fejlforplantning. Kovariansmatrix. Kovariansmatrix

Transkript

1 Fejlforplntning Lndmålingens fejlteori Lektion 9 Repetition - Fejlforplntning Ksper K Berthelsen - kk@mthudk kk/undervisning/lf11 Institut for Mtemtiske Fg Alorg Universitet Lndmåling involverer ofte estemmelse f størrelser som ikke kn måles direkte, men kn eregnes ud fr ndre målinger: Vinkler - vh differenser f retningsmålinger Areler - vh vinkler og længder Længder - vh trigonometriske reltioner I kurset gennemgår vi hvorledes fejlene på de målre størrelser influerer på de interessnte ikke-målre størrelser Eksempelvis kn relet,, f en treknt estemmes ved 1 sin C, hvor længdemålingerne og smt vinklen C måles med usikkerhed 1/5 /5 Ksper K Berthelsen Ksper K Berthelsen Kovrinsmtrix Kovrinsmtrix Indenfor sttistik er størrelserne vrins og kovrins f særlig interesse idet de eskriver hvorledes vrile vrierer og sm-vrierer ypisk noteres vrins og kovrins f X (X 1, X,, X n ) vh en kovrinsmtrix, K X : vr(x 1 ) cov(x 1, X ) cov(x 1, X n ) cov(x, X 1 ) vr(x ) cov(x, X n ) cov(x n, X 1 ) cov(x n, X ) vr(x n ) Indenfor sttistik er størrelserne vrins og kovrins f særlig interesse idet de eskriver hvorledes vrile vrierer og sm-vrierer ypisk noteres vrins og kovrins f X (X 1, X,, X n ) vh en kovrinsmtrix, K X : vr(x 1 ) cov(x 1, X ) cov(x 1, X n ) σ1 σ 1 σ 1n cov(x, X 1 ) vr(x ) cov(x, X n ) σ 1 σ σ n cov(x n, X 1 ) cov(x n, X ) vr(x n ) σ n1 σ n σn 3/5 4/5 Ksper K Berthelsen Ksper K Berthelsen

2 Kovrinsmtrix Kovrinsmtrix Indenfor sttistik er størrelserne vrins og kovrins f særlig interesse idet de eskriver hvorledes vrile vrierer og sm-vrierer ypisk noteres vrins og kovrins f X (X 1, X,, X n ) vh en kovrinsmtrix, K X : vr(x 1 ) cov(x 1, X ) cov(x 1, X n ) σ1 σ 1 σ 1n cov(x, X 1 ) vr(x ) cov(x, X n ) σ 1 σ σ n cov(x n, X 1 ) cov(x n, X ) vr(x n ) σ 1n σ n σn Dvs K X er symmetrisk pg Indenfor sttistik er størrelserne vrins og kovrins f særlig interesse idet de eskriver hvorledes vrile vrierer og sm-vrierer ypisk noteres vrins og kovrins f X (X 1, X,, X n ) vh en kovrinsmtrix, K X : vr(x 1 ) cov(x 1, X ) cov(x 1, X n ) σ1 0 0 cov(x, X 1 ) vr(x ) cov(x, X n ) 0 σ 0 cov(x n, X 1 ) cov(x n, X ) vr(x n ) Når X i og X j er prvist ufhængige idet der gælder cov(x i, X j ) cov(x j, X i ) for lle i og j cov(x i, X j ) 0 for lle i og j 5/5 6/5 Ksper K Berthelsen Ksper K Berthelsen Lineær trnsformtion Y 1 X 1 + X + + n X n med cov(x i, X j ) 0 for lle i og j, gælder vr(y ) 1vr(X 1 ) + vr(x ) + + nvr(x n ) n i1 i σ i Lineær trnsformtion Y 1 X 1 + X + + n X n med cov(x i, X j ) 0 for lle i og j, gælder vr(y ) 1vr(X 1 ) + vr(x ) + + nvr(x n ) n i1 i σ i Vi kn opskrive ovenstående vh mtricer: σ vr(y ) 0 σ 0 1 n n 7/5 8/5 Ksper K Berthelsen Ksper K Berthelsen

3 Lineær trnsformtion Y 1 X 1 + X + + n X n med cov(x i, X j ) 0 for lle i og j, gælder vr(y ) 1vr(X 1 ) + vr(x ) + + nvr(x n ) n i1 i σ i Vi kn opskrive ovenstående vh mtricer: σ vr(y ) 0 σ 0 1 n 1 σ1 σ 1 n n σn n 9/5 Ksper K Berthelsen Lineær trnsformtion Y 1 X 1 + X + + n X n med cov(x i, X j ) 0 for lle i og j, gælder vr(y ) 1vr(X 1 ) + vr(x ) + + nvr(x n ) n i1 i σ i Vi kn opskrive ovenstående vh mtricer: σ vr(y ) 0 σ 0 1 n 1 σ1 σ n 1 n i σi n σn i1 n 10/5 Ksper K Berthelsen Eksempel - vinkeleregning Vilkårlig trnsformtion R i V i j Vinkler estemmes som differensen mellem to retningsestemmelser Fx er V ij R j R i hvor åde R j og R i er ufhængige stokstiske vrile Vi ntger retningerne er målt med smme nøjgtighed, dvs vr(r j ) vr(r i ) σ R Vrinsen på V ji er givet ved R j I lektion 4 så vi hvorledes vi estemmer vr(y ) når Y er en vilkårlig (differentiel) trnsformtion g f X 1,, X n, ltså Y g(x 1, X,, X n ) g(µ 1, µ,, µ n ) + (X 1 µ 1 ) + + (X n µ n ) Hvor vi ltså lver en liner pproximtion f g omkring (µ 1,, µ n ) σ V vr(v ji ) vr(r j R i ) vr(r j ) + vr(r i ) σ R 11/5 1/5 Ksper K Berthelsen Ksper K Berthelsen

4 Fejlforplntningensloven Vi kn pproximere vrinsen på Y, ( vr(y ) vr g(µ 1, µ,, µ n ) + (X 1 µ 1 ) + + ) (X n µ n ) ( ) ( ) vr(x 1 ) + + vr(x n ) med mtricer Fejlforplntningsloven kn ligeledes formuleres vh mtricer: σy GK X G G: Afhænger f reltionen mellem de oserverre størrelser og Y K X : Vrinserne σi hørende til instrumenterne er typisk oplyst f producenten For vr(x 1 )σ 1,, vr(x n)σ n og vr(y )σ Y er fejlforplntningsloven: ( ) ( ) σy σ1 + + σn ( ) Bemærk t X i ifølge teorien skl evlueres i µi I prksis nvendes værdier tæt på µ i, dvs estimtet for µ i nvendes 13/5 14/5 Ksper K Berthelsen Ksper K Berthelsen med mtricer med mtricer σ Y X σ σ 0 X σ Y X X σ σ 0 σ1 X σ σ n X 15/5 16/5 Ksper K Berthelsen Ksper K Berthelsen

5 med mtricer Fejlforplntning ved relestemmelse σ Y ( X X σ σ 0 σ1 X σ σ n ) ( ) σ1 + + σn X C A c B Arelet kn estemmes ved: 1 sin C 17/5 18/5 Ksper K Berthelsen Ksper K Berthelsen Fejlforplntning nvendt på Fejlforplntning nvendt på Vi nlyserer reludtrykket: 1 sin C Jf fejlforplntningsloven gælder der, σ σ σ 0 Vi nlyserer reludtrykket: 1 sin C Jf fejlforplntningsloven gælder der, σ tn C σ σ 0 σ σ 0 tn C 19/5 0/5 Ksper K Berthelsen Ksper K Berthelsen

6 Fejlforplntning nvendt på Vi nlyserer reludtrykket: 1 sin C Jf fejlforplntningsloven gælder der, σ tn C σ σ 0 σ σ 0 tn C ( ) ( ) ( ) σ + σ + σc tn C Estimt f og σ I noternes eksempel 6 er følgende oplysninger givet: m, 1517 m hvor σ σ 1cm C 9373 gon hvor σ C 000 gon 1/5 /5 Ksper K Berthelsen Ksper K Berthelsen Estimt f og σ I noternes eksempel 6 er følgende oplysninger givet: m, 1517 m hvor σ σ 1cm C 9373 gon hvor σ C 000 gon Dvs vi kn regne estimtet for som 1 sin C m 1517m sin m Estimt f og σ I noternes eksempel 6 er følgende oplysninger givet: m, 1517 m hvor σ σ 1cm C 9373 gon hvor σ C 000 gon Dvs vi kn regne estimtet for som 1 sin C m 1517m sin m ilsvrende kn vi indsætte vores oserverede værdier (estimter for middelværdierne) i udtrykket for σ fr forrige slide: ( ) 8741m σ ) 8741m (001m) +( ) 8741m (001m) +( ( 000gon 11553m 1517m tn 9373 ω 09033m 4 σ σ 09504m ) 3/5 4/5 Ksper K Berthelsen Ksper K Berthelsen

7 Konfidensintervl for Fr tidligere hr vi t x 196 σ n ; x σ n Vi hr kun én oservtion i vores estimt f, dvs n 1 og dermed ; ; /5 Ksper K Berthelsen