Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Transkript

1 Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi og varias for liearkombiatioer Lad X,X,...,X være stokastiske variable. Da gælder E a 0 + a X + + a X = a0 + a EX + + a EX Hvis X,X,...,X desude er uafhægige gælder Var a 0 + a X + + a X = a VarX + + a VarX Hvis X i ere er ormalfordelte, så er summe a 0 + a X + + a X også ormalfordelt. /3 /3 Estimatio af middelværdi Atag X,...,X er uafhægige stokastiske variable med middelværdi µ og varias σ. Vi estimerer µ ved geemsittet X = X + X + + X Afhægige vs. uafhægige måliger Lad X og Y repræsetere måliger foretaget af Bet og Børge uafhægigt af hiade og begge med varias σ og samme middelværdi µ. Atag Bet måler e gag til, hvor has ade målig Z er påvirket af has resultat for de første målig, dvs. Z = X + ν hvor ν er uafhægig af X med e lille varias ω og middelværdi ul. Middelværdi og varias af X: E X = µ Var X = σ Dermed er variase på X + Y / lig σ / mes variase på X + Z/ er σ + ω /4. Dvs. lagt de bedste præcisio med uafhægige måliger. 3/3 Omvedt: VarX Y = σ mes VarX Z = ω, hvad der fejlagtigt kue forlede ladispektørere til at tro, at Børges måliger var mest præcise. 4/3

2 Hvis X i alle ormalfordelte gælder Hvis X i ikke er ormalfordelte hvor tilærmelse bedre jo større. Kofidesiterval X Nµ, σ X Nµ, σ X ±.96 σ ideholder µ med 95% sadsylighed 99% hvis.96 erstattes med.58 Kofidesitervaller for 00 simulerede måleserier hver med 00 måliger X ij N3,, i,j =,...,00 Ca. 95% ideholder sade værdi µ = 3. kofides iterval /3 eksperimet r. 6/3 Avedelse af kofidesiterval Kofidesiterval: geerelt set-up Eggaard A/S vil have målt e lægde med e præcisio på ±5cm. Oversættelse til fejlteori: med meget stor sadsylighed skal forskelle mellem estimat X og sad lægde µ være midre ed 5cm. Fortolker vi stor sadsylighed som 99.9% skal der altså gælde at 3.9σ/ < 5. Eks. = og σ = 5cm. Da gælder 3.9σ/ =.63. Dvs. kravet er ikke opfyldt. Mulig løsig: vælg så Da skal vi have. 3.9σ/ <= 5 > 3.9σ/5 Atag at θ er e ukedt størrelse som estimeres af Y Nθ, τ. Da er et 95% kofidesiterval for θ givet ved [Y.96τ; Y +.96τ] Y kue eksempelvis være et empirisk geemsit af måliger X,...,X med middelværdi θ og varias σ. Da har vi τ = σ / som før. 7/3 8/3

3 Estimatio af varias Estimater I ogle tilfælde er variase σ ukedt. Da må vi estimere σ ud fra data. Som estimator for σ avedes S : S = X i X = Dette estimat er også cetralt, dvs. sætig 7 - vi skipper bevis ES = σ Bemærk: S er empirisk versio af EX µ Xi X Har vi observeret data ka vi estimere µ og σ med x og s. Her udskiftes de stokastiske variable X i i X og S med de observerede x i, x = x i = x + x + + x s = x i x = x i x Både X og S er stokastiske variable trasformatioer af X i ere, mes x og s er realisatioer af disse, X... X X S x... x x s 9/3 0/3 Eksempel - fortsat Fra Eksempel i otere ka vi estimere µ med x og σ med s. 0 x = = 64.5 go 0 x i = = go s = x i x = = go 0 Størrelse s er et mål for øjagtighede af vores observatioer. Jo midre desto mere øjagtige er vores måliger. Approksimativt 95% kofidesiterval erstatter ukedt σ med s: x ±.96 s = [64.509; 64.53] 3 Matlab: Stikprøvegeemsit og -varias Data: >> x = [64.508,64.509,64.5,64.507, 64.50,64.5,64.57,64.50,64.54,64.53]; Bereg stikprøvegeemsit x: >> meax as = Bereg stikprøvevariase s : >> varx as = e-06 Bereg spredige s: >> stdx as = /3 /3

4 Estimatorer - kedt middelværdi µ Bous: Bereg geemsit af observatio 4 til 7: >> meax4:7 as = I situatioer hvor vi keder µ fx. på e øvelsesbae hvor sade lægder og vikler er kedt bruger vi estimatet ŝ til at estimere måligeres øjagtighed: ŝ = x i µ. I disse situatioer er ŝ et cetralt estimat for σ. Dvs: EŜ = E X i µ = E X i µ = σ = σ. Bemærk at VarŜ VarS, dvs. ŝ er et mere øjagtigt estimat ed s. gavligt at bruge al de vide, der er til rådighed 3/3 4/3 Dobbeltmåliger Dobbeltmåliger Udgagspuktet er måliger hvor måligere to og to måler samme størrelse, altså forskellige størrelser i alt. x x 5 x 5 5 x 4 x x Eks.: sidere i et polygo hvor hver sidelægde måles to gage. x 3 x x x 3 4 x x 5 x 5 µ 5 5 x 4 x x µ x 3 x x x 3 µ X X X X... X X... µ 3 x x x x... x x µ 4 Uafhægige måliger af samme kvalitet, dvs. es varias σ. De forskellige størrelser har sade værdier µ,...,µ, dvs: EX = EX = µ... EX = EX = µ. 5/3 6/3

5 Estimat af µ i Estimat af σ Til at estimere µ i avedes estimatet x i = x i + x i. For de tilsvarede estimator X i = X i + X i gælder der: E X i = E X i + X i = EX i + EX i = µ i + µ i = µ i Dvs. x i er et cetralt estimat af µ i. Desude gælder: Var X i = Var X i + X i = VarX i + VarX i = 4 σ + σ = σ. Idet X i og X i måler samme størrelse µ siger deres differes Y i = X i X i oget om målekvalitete. Vi ved EY i = EX i EX i = µ i µ i = 0 VarY i = VarX i + VarX i = σ + σ = σ. Dvs. vi keder de sade middelværdi af Y i, EY i = µ Y = 0. Derfor er ŝ Y = y i µ Y = yi = x i x i et cetralt estimat af σ, hvorved ŝ Y / er et estimat for σ variase på de ekelte målig. 7/3 8/3 Geometrisk ivellemet Modelle s l h t f t f t 3 f 3 t 4 f 4 t i f i l : stadieaflæsig ved tilbagesigte : stadieaflæsig ved fremsigte h = t f + t f + + t f = t t i f i f 5 Vi atager af t i og f i er realisatioer af uafhægige stokatiske variable T i og F i med samme varias σ a, i =,...,. Dee atagelse ka begrudes med at sigteafstade er fast og de samme for alle observatioer. Ydermere bliver h således e realisatio af de stokastiske variabel Dvs: H = T i F i. T F... T F H t f... t f h Totallægde l er opdelt i stykker af lægde s, dvs. l = s l. 9/3 0/3

6 Variase af højdemålige Variase af H bestemmes ved VarH = Var T i F i = = [VarT i + VarF i ] σa + σa = σ a Fra tidligere slide ved vi, at = l/s l. Der gælder derfor σ l = VarH = lσ a/s l. Erfariger viser at σ a / s l ku i rige grad afhæger af s l år s l < 00 m. Således idføres kilometerspredige σ k = σ a / s l, dvs. σ a = σ k sl. Kofidesiterval for højde Spredige på et geometrisk ivellemet over lægde l er således σ l = lσ k. Et 95% kofides iterval for de ukedte højde er H ±.96 lσ k jf. tidligere slide om kofidesiterval i geerelt set-up Eksempel: h = 000mm, σ k = 3mm/ km og l = 4km. Realiseret kofidesiterval 000 ±.96 4km3mm/ km = [988; 0] Heraf følger σ l = VarH = lσ a/s l = lσ k /3 /3 Lieær trasformatio repetitio Vilkårlig trasformatio af X Sætig: Lieær trasformatio af SV Hvis X er e stokastisk variabel, og a,b R, så gælder EaX + b = aex + b, VaraX + b = a VarX. Spørgsmål: Hvorda hådterer vi ikke-lieære trasformatioer? 6 Lad X være e stokastisk variabel med samt tæthedsfuktio fx. EX = µ og VarX = σ. Y = gx: vilkårlig differetiabel trasformatio af X. Middelværdie af Y = gx: EY = gxf Xx. Problem: Middelværdie EY er ofte vaskelig at berege. Løsig: Vi lieariserer trasformatioe gx. 3/3 Eksempel på trasformatioer i ladmålig: trigoometriske fuktioer, afstadsformel. 4/3

7 Lieariserig Lieariserig Lieær approximatio af g omkrig µ: Y = gx gµ + g µx µ = g µx g µµ + gµ = ax + b, hvor a = g µ og b = g µµ + gµ. ax + b gx gµ µ Vi har e approksimatio af gx: Y ax + b, hvor a = g µ og b = g µµ + gµ. Heraf følger approksimativ middelværdi og varias for Y : EY aex + b = g µµ g µµ + gµ = gµ VarY a VarX = g µ σ, hvor approximatioere er gode, hvis σ er lille. 5/3 6/3 Lieariserig: Eksempel Lieariserig: Eksempel forts. Atag X N µ,σ og Y = gx = expx. E lieariserig af expx omkrig x = µ giver: g x = d expx = expx gx gµ + g µx µ = expµ + expµx µ. Heraf følger: EY gµ = expµ VarY g µ σ = expµ σ = expµσ Vi har derfor, at Y er tilærmet ormalfordelt, med middelværdi expµ og varias expµσ : Y N expµ, expµσ. 7 Atag ige X N µ,σ og Y = gx = expx. To eksempler, hvor µ =, og σ = 0.5 vestre og σ = 0. højre. X N ; 0,5 Y N exp; exp0, Approx. Sade. X N ; 0, Y N exp; exp0, 3 4 Til vestre er de relative varias for X σ /µ = 0,5 og til højre er de relative varias for X 0,0. Jo midre relativ varias jo bedre er approksimatioe. Approx. Sade. 7/3 8/3

8 Lieariserig estimatio af trasformeret størrelse Atag vi vil estimere θ = hµ hvor vi ka estimere µ vha. X baseret på e stikprøve X,...,X af uafhægige stokastiske variable med middelværdi µ og varias σ. Da er vores estimat ˆθ = h X Pr. lieariserig og cetral græseværdisætig har vi ˆθ Nθ,h µ σ / Trigoometriske fuktioer: Go og radiaer Lad si r x og six betege sius år vikle x er målt i hhv. radiaer og go. Tilsvarede for cosius og tages. Vi har π sic = si r 400 go C = si r ω C, Dermed er et approksimativ 95% kofidesiterval givet ved ˆθ ±.96 h X σ/ I praksis er σ ofte ukedt og erstattes af estimatet s baseret på X,...,X. hvor er e koverterigs-faktor. ω = 00 go, π 9/3 30/3 Trigoometriske fuktioer: Differetitatio Vi har regeregler for differetiatio af trigometriske fuktioer, år vikle er målt i radiaer. Fx. d si r x = cos r x. Når vikle er målt i go får vi: d six = d si r ω x = cos r ω x ω = cosx ω. Koverterigs-faktore ω = π/00 go optræder på samme måde ved differetiatio af cosius og tages: 8 d cosx = six ω og d tax = + tax ω 3/3