Kapitel 2. Differentialregning A

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kapitel 2. Differentialregning A"

Transkript

1 Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner Regneregler for differentiation produktregel og brøkregel Hovedsætninger om differentiable funktioner. Monotoniforhold Grafers krumning og den anden afledede (supplerende stof) Supplerende opgaver. Modellering og optimering... 18

2 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer Opgave 2.1 Tangent tegnes i t=50. Hældningskoefficienten aflæses til 1. Dvs. væksthastigheden er 1. Opgave 2.2 f'(x)=6x 2-2x+3 Opgave 2.3 f'(x)=g(x) (g(x) er positiv når f(x) er voksende og g(x) er negativ, når f(x) er aftagende) Opgave 2.4 A er f(x) og B er f'(x). A's hældning bliver mindre og mindre hvorfor B (f') nærmer sig førsteaksen. Opgave 2.5 g(x) = f'(x) (samme argument som i opgave 2.3) Opgave 2.6 g(x) = f'(x) (samme argument som i opgave 2.3) Opgave 2.7 f's hældning er mindre en 4, så derfor er f'(x)=h(x) Opgave 2.8 a) f(2)=4 og f'(2)=13. Grafen er voksende i x=2. Tangentens hældning i x=2 er 13 (er tangenten kendt på dette tidspunkt? b) f(2)=-23 og f'(2)=-24. Grafen er aftagende i x=2. Tangentens hældning i x=2 er -24 (er tangenten kendt på dette tidspunkt? Opgave 2.9 INTERN KOMMENTAR! Jeg er med på det er et grimt eksempel som ikke er differentiabel i vendepunkterne. Jeg har imidlertid ikke rigtig nogle gode tegneredskaber, som kan gøre funktionen mere "blød".

3 Opgave 2.10 Intern kommentar. Skal igen tegnes med bløde kurve Opgave 2.11 Intern kommentar. Skal igen tegnes med bløde kurve

4 Opgave 2.12 Intern kommentar. Skal igen tegnes med bløde kurve Opgave 2.13 b= -6 og c=3 Opgave 2.14 a = 2, b= -3, c = 1 Opgave 2.15 a = 2, b = -2, c = 1 Opgave 2.16 x=1: y = -x 2 x= : y = -x - Opgave 2.17 x= 2: y = (32 2) (afrundet y = x) x= 2: y = (3+2 2) (afrundet y = x) Opgave 2.18 m: y = 24x 120 l: = + (afrundet y = -4,125x + 20,625) Opgave 2.1 Linjens hældning, som er -2 skal være identisk med hældningskoefficienten på funktion i x=1. derfor er f'(1) = -2. Da l er tangent til f(x) i (1,f(1)), så skal begge have samme y-værdi, når x=1. y = =-1. Derfor er f(1) = -1. b = -4 og c = 2 Opgave =

5 Opgave 2.21 = Opgave 2.22 a=6 Opgave 2.23 b=15 Opgave 2.24 a) h 1 er kontinuert men ikke differentiabel b) h 2 er ikke kontinuert og dermed heller ikke differentiabel c) h 3 er ikke kontinuert og dermed heller ikke differentiabel d) h 4 er kontinuert og differentiabel Opgave 2.25 a) a = 6 og b = -9 b) a = -7 og b = 5 c) a = 3, b = 1 og c = -2 Opgave 2.26 a) b) ikke kontinuert c) kontinuert

6 kontinuert

7 d) kontinuert Opgave 2.27 Intern kommentar Der skal vist stå opgave 2.26 i teksten Er ikke helt sikker på at jeg har forstået spørgsmålet a) ikke kontinuert og dermed heller ikke differentiabel b) ikke differentiabel. Sekanthældning vil svige mellem -1 og 1 afhængig af valgte punkter. c) Differentiabel - sekant konvergerer mod 0. d) Differentiabel - sekant konvergerer mod 0. Opgave 2.28 Intern kommentar Det er vist 2.26 og 2.27 opgaveteksten mener? a) = 2 sin cos ikke kontinuert b) = 3 sin cos ikke kontinuert 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner Opgave Bestem en indre og en ydre funktion for følgende funktioner a) Indre: 3x+2 ydre: x 5 b) Indre: 9x+2 ydre: 4x 7 c) indre: 2x-3 ydre: x 8 d) indre: 3x+7 ydre: e) indre: 3x+7 ydre:

8 f) indre: 2px+3 ydre: cos(x) = + = 2. Differentier funktionerne a) b) g'(x)=252(9x+2) 6 c) h'(x)=16(2x-3) 7 d) e) = f) k'(x)= -2psin(2px+3) Opgave Bestem en indre og en ydre funktion for følgende funktioner a) Indre: cos(x)+sin(x) ydre: x 2 b) Indre: x 4 +9 ydre: 3ln(x) c) Indre: 2 + 1, som igen er en sammensat funktion med indre:2x+1 og ydre: ydre: cos(x) d) Indre: 2 + sin(x) ydre: e) Indre: x 3 +5 ydre: f) Finte! cos 2 (x)+sin 2 (x)=1. Ellers to sammensatte funktioner som lægges sammen med indre på henholdsvis cos(x) og sin(x). Den ydre funktion til begge er x 2 g) Indre: x 2 +2x ydre: x -2 h) Sammensat indsat i sammensat. (0,25x-25) 2 : kan ganges ud eller indre: 0,25x-25 og ydre: x 2. e, : indre: (0,25x-25) 2 og ydre e x 2. Differentier funktionerne a) f'(x)=2(cos(x)+sin(x)) (-sin(x) + cos(x)) b) = c) d) = ( ) e) = f) k'(x) = 0 g) = h) 0,5( ), Opgave 2.31 En funktion f er bestemt ved 2 x-0,8 x f( x) = e. a) y=-0.733x+1,954 b) f(x) er voksende i ]- ;0,625[ og aftagende i ]0,625; [ Opgave 2.32 f'(x)=0 har løsningen x=1. f'(0)=2e og f'(2)=-2e, så der er maksimum i x=1 Opgave 2.33 f'(1)= Opgave 2.34 f'(x)=0 har løsningen x=1. f'(0.5)=1 og f'(2)=-0.5, så der er maksimum i x=1 f(x) er voksende i ]0;1[ og aftagende i ]1; [ Opgave 2.35 Y=10.2x Opgave 2.36 a) f(0)=3600 og T 1/2 =4,40 b) 0,146 svarende til 14,6% c) f (5) =-257,9. I år 2007 falder antallet af tigre med 258 styk. Opgave 2.37

9 a) Minimale højde 500 meter. Maksimale højde 2500meter b) f'(200)=15,7. Dvs i det 200. minut stiger ballonen med 15,7 meter Opgave 2.38 a) Maksimale deceleration f(92.91)=98,26 m/s 2

10 2.4 Regneregler for differentiation produktregel og brøkregel Opgave 2.39 a) = 2 + c) = sin 1 cos( ) d) = Opgave 2.40 a) y = 3e 2 x -2e 2 b) = 3 + b) f(x) er aftagende i ] ; [ og voksende i ] ; [ Opgave 2.41 = 3 a) y=-2e x + 2e b) f(x) er aftagende i ] ; 0,414[ og i ]0,414; [ samt voksende i ]-0,414; 0,414[ Opgave 2.42 En funktion f er bestemt ved a) x=1 og x=2 b) y=-7x+7 f x x x x 3 ( ) = ( - 8) ln, > 0. Opgave 2.43 Intern kommentar Figuren ud fra opgave 2.43 passer ikke til funktionen a) y=-2x -2 b) f'(x)=0 har løsningen x= 1,573. f'(1)=-2 dvs. aftagende i ]0; 1,573[. f'(2)=1,77 dvs voksende i ]1,573; [. Opgave 2.44

11 I en model kan den gennemsnitlige årlige CO2 -udledning pr. person som funktion af tiden beskrives ved ,031 C( t) =, t + 38 t hvor C( t) måles i kg, og tiden t betegner antal år efter C (72) =1580,0 kg. Dvs. ifølge modellen vil C0 2 -udledningen pr. person i 2012 stige med 1580,0 kg. 2.5 Hovedsætninger om differentiable funktioner. Monotoniforhold Opgave 2.45 f(x) er aftagende i ]-3;-2[ og ]3;5[. funktionen er voksende i ]-2;3[ og ]5,6[ Opgave 46 k=-22 og k=10 Opgave 2.47 = og = Opgave 2.48 f'(x)=e x +7. e x er altid positiv og derfor er f'(x)>0 for alle x-værdier. Derfor er f(x) voksende. Opgave 2.49 f(x) er aftagende i ]-1;2[ og er voksende i ]- ;-1[ og ]2, [. Opgave 2.50 f(x) er aftagende i ]-1;3[ og er voksende i ]- ;-1[ og ]3, [. Opgave.51 Intern kommentar. Der mangler 2-tal i opgavenummer f(x) er aftagende i ]-1.414;1.414[ og er voksende i ]- ;-1.414[ og ]1.414, [. Lokalt maksimum i (-1.414; 2.886) og lokalt minimum i (1.414 ; ). F(x) er et tredjegradspolynomium, hvor de to vendepunkter ligger på hver sin side af x-aksen. Derfor må f(x) have 3 nulpunkter 1 3 x3-2x + 1 = 0 har løsningerne x=-2.669, x=0.524 og x=2.145 f(x) = x 4 + 2x 3 4: x=1.090 er roden i intervallet [0;2]. Opgave 2.52 a) y= 4x 6 b) f(x) er voksende i ]- ;-3[ og aftagende i ]3, [. Opgave 2.53 a) y = 21x - 22 b) Ja da f'(2)=0 og f'(1)=21 og f'(3)=-19 Opgave 2.54 a) y = 20x - 40 b) f(x) er aftagende i ]- ;-1.225[ og ]0;1.225[ og er voksende ]-1.225;0[ og ]1.225, [.

12 Opgave 55 Intern kommentar. Der mangler 2-tal i opgavenummer a) x = , x=-0.356, x=0.356 og x = b) y = 60x c) f(x) er aftagende i ]- ;-2[ og ]0;2[ og er voksende ]-2;0[ og ]2, [. Opgave 2.56 a) Nulpunkter: x=-3 og x=0. b) f(x) er voksende i ]- ;-3[ og ]-1, [ og er aftagende ]-3;-1[. c) y = 24x 8. b=26 og c=-9 Opgave 2.57 a) y = x b) f(x) er aftagende i ]0;5[ og voksende i ]5; [ c) x 0 = Opgave 2.58 En funktion f er givet ved f ( x) = 3x -8x - 30x + 72x f'(x)= 12x 3-24x 2-60x+72 Der er lokalt minimum i (-2; -125) og (3;0) samt lokalt maksimum i (1; 64) De resterende opgaver i afsnit 2.5 indgår ikke i kernepensum, men kan anvendes til fordybelse i grundbogens afsnit 2.5 Opgave 2.59 For c= 2 er 2 lig hældningen mellem punkterne

13 = Opgave 2.60 To mulige c-værdier: = eller = Opgave 2.61 a) De to endepunkter der er i spil må være (a,a 2 ) og (b,b 2 ). Når disse indsættes i middelværdisætning fås påstanden b) Skyldes kvadratsætningen b 2 a 2 = (b - a) (b + a) c) f'(x)=2x så f'(c) = 2c = a + b. Dermed er c = d) Opgave 2.62 Intern kommentar: Jeg er ikke helt sikker på at jeg har forstår spørgsmålet korrekt. Tegn i et koordinatsystem graferne for de to flys hastigheder. Begge starter og slutter med hastigheden 0 km/t. Arealet under hver af de to grafer er ens (afstanden NY-CPH). Dermed er de to grafer nødt til at skære hinanden mindst en gang eller være sammenfaldende. Ellers kan arealerne ikke blive ens. Opgave 2.63 Intern kommentar: skal tallet c ikke ligge mellem 0 og x, når der kigges på [0;x]? Jeg er ikke helt sikker på at jeg har forstået spørgsmål b) korrekt. a) =. Der indsættes nu i middelværdisætningen: med x på begge sider og indsætter i f: b) Omformer a) til Når x 0 bliver 0<. = = ( ). Ganger <1, så der gælder at < 1. Når x 0 kan vi uden problemer gange med på begge sider i uligheden og efterfølgende addere med 1. Der- med fås 1 + < 1 + Når - 1 x < 0 vil c ligge i samme interval og dermed er >1, da 0 < 1+c < 1 dvs. >1. Da x er negativ, vendes ulighedstegnet når der som før ganges med : < Dermed fås atter 1 + < 1 +.

14 > Opgave 2.64 = x 0 :Da c 0 gælder -2<x<0: >. Middelværdisætningen give = ( ).. Dvs. ( ) Dermed fås samme resultat som før. ( ). Simpel omrokering giver påstanden..når der ganges med x vendes ulighedstegnet, da x<0. Opgave 2.65 Intern kommentar: Bør der ikke byttes rundt på x og y i sætningerne? Giver unødigt arbejde I spørgsmål c skal det vist være i stedet for <. Sin(0)=0! Og hvad med. Eller mangler der forudsætninger. x kan da godt være et stort negativt tal. Mangler antagelsen x>0? a) sin(c) = ( ). Da -1 sin(c) 1 må ( ) værdi omkring tæller og nævner og gange med y-x fås påstanden. b) Bevises efter samme metode som ovenstående. c) Hvis vi benytter y=0 fås sin sin(0) = sin( ) 0 = 1. Ved at sætte numerisk 2.6 Grafers krumning og den anden afledede (supplerende stof) Opgave 2.66 Bestem for hver af følgende funktioner: - den dobbelt afledede - evt. vendepunkter - konveksitetsintervaller (intervaller, hvor grafen er opad hul, henh. nedad hul) Tegn endelig graferne: 3 a) f( x) = ln( x) b) f ( x) = a c) f ( x) = 8x - 6x + 1 c) 4 3 f ( x) = x - 2x + 1 d) 6 4 f ( x) = x - 10x e) f x 2 - ( ) = x e x a) f''(x)= ingen vendepunkter f''(x) er altid negativ dvs nedad hul b) f''(x)=0 INTERN kommentar: er det en fejl at der stå a og ikke x under kvadratroden? Ingen vendepunkter c) f''(x)=48x vendepunkter: (-0.5;3) og ((0.5;-1) nedad hul når x<0 og opad hul, når x>0

15 d) f''(x)=12x 2-12x vendepunkt (1.5;-0.688) opad hul i ]- ;0[ og ]1; [ og nedad hul i ]0;1[ e) f''(x)=30x x 2 vendepunkter (-2.582; ), (0,0) og (2.582; ) opad hul fra ]- ;-2 21[ og }2 21; [ og nedad hul i ]- 2 21; 2 21[

16 f) f''(x)=2e -x 4xe -x + x 2 e -x vendepunkter (0,0) og (2; 0.541) opad hul i ]- ;0.586[ og ]3.414; [. Nedad hul i ]0.586; 3.414[ Opgave 2.67 Intern kommentar: c) skal tilføjes x 1 a) = vendepunkt i x=e + Nedad hul i ]0;1[ og opad hul i ]1; [ b) = + vendepunkter: x= -1 og x=1 Nedad hul: ] ; 2[ og ]0; 2. Opad hul: ] 2; 0[ og ] 2; [ c) = Nedad hul: [1; [ og opad hul: ] ; [ vendepunkt: ingen i definitionsmængden

17 d) = Nedad hul i ]- ;1[ og ]1; [ vendepunkter: ingen Opgave 2.68 Intet vendepunkt, f''(x)=0 når x=. Opad hul i ] ; [ og nedad hul i ] ; [ Opgave 2.69 C=f(x), A = f'(x) og B = f''(x) Opgave 2.70 Intern kommentar: Lidt misvisende med tallene på akserne som ikke er ens B = f(x), C = f'(x) og D = f''(x)

18 2.7 Supplerende opgaver. Modellering og optimering Opgave 2.71 = Areal = + Opgave 2.72 Rumfang = b l h - 9p h Opgave 2.73 k=0 eller k = -32 Opgave.2.74 Intern kommentar: Der skal vist stå " får lokalt ekstremum for x=2") a = -1 og i x=2 er der et lokalt maksimum. Opgave ,43 Opgave 2.76 Intern kommentar: Der skal stå "Find x-værdien og " (x,y) = (-0.794; 0.930) y = y = x Opgave 2.77 a) = 8100 Areal af grundflade er 2x h, så figurens rumfang bliver R(x)=x h 200. Når h indsættes fås b) x = R( x) = 200 x 90 - x 2 2 Opgave 2.78 Intern kommentar: Figuren ser lidt underlig ud omkring B. a) AP = + 40 og PB = b) Vejpris = Billigst når x = 28,03 km Opgave 2.79 a) = + p. Indsætter: O(r)= og forkorter efterfølgende b) 2,416

19 Opgave 2.80 a) y = -4x + 8 b) y = (2a 6)x + 9 a 2 c) Skæring med x-akse: x = +. Skæring med y-akse: y = 9 a2 d) Areal = + 9. Reducer og det ønskede udtryk fremkommer e) Arealet er maksimalt når a = 1, Opgave 2.81 a) 8.66 b) Areal= 2 + 3, Trekantens højde: h=, y=. Indsæt h og y og reducer c) X = Opgave 2.82 a) h=p 3 Areal=h 2r - p r 2 indsæt det fundne h og reducer b) r = 0,318 Opgave 2.83 a) Omkreds = 2x + 2y - p x b) A(x) = -2x x c) x = 25 Opgave 2.84 a) Volumen = 4 + b) h= p + p Overfladeareal= c) r = 0,896 4 p p. Indsæt h og reducer Opgave 2.85 a) =. Overflade= Indsæt h og forkort b) = 5,520 Opgave 2.86 Radius kaldes r: O(r) = + 4 p. Minimum når r = 2.12 Opgave 2.87 x=1,802

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: 333247 2015 Projekt Matematik B-niveau Differentialregning Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Kddafi, Zehra Köse og Tobias Winberg Indledning I dette

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter Optimeringsproblemer med GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Den følgende artikel er skrevet for at illustrere hvor langt man egentlig kan komme med GeoMeter som værktøj i undervisningen,

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Matematik B STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler

Matematik B STX 18. maj 2017 Vejledende løsning  De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik B, STX 18 maj Matematik B, STX 23 maj Matematik B, STX 15 august

Læs mere

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX Anders Jørgensen & Mark Kddafi 2016 matematikhfsvar.page.tl 8. august 2016 15. august 2016 Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014-2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF-E Matematik B Kenneth

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 HTX Vibenhus

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere