10. Differentialregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "10. Differentialregning"

Transkript

1 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side 51 har vi haft grænseværdibegrebet. Se evt. også side 26 og 27 i Bog 2. Grænseværdibegrebet spiller en meget væsentlig rolle i forbindelse med differentialregning. Vi vil lære mere om grænseværdibegrebet i dette afsnit. Vi vil nu finde grænseværdien for følgende funktion når x 2 f (x) = x + 2 Der er tale om en lineær funktion hvis graf er en linie som ses nedenunder. 1

2 Vi vil nu undersøge hvad der skær funktionsværdien f (x), når x nærmer sig punktet x = 2 fra både højre og ventre, dvs. vi er igang med at finde grænseværdien af funktionen i nærheden af punkt 2. Vi starter med at lave en tabel over x-værdier i nærheden af x = 2 x 2,1 2,05 2,01 2 1,9 1,95 1,99 2 f(x) 4,1 4,05 4,01 4 3,9 3,95 3,99 4 Som ses af tabellen nærmer vi os punktet x = 2 både fra venstre og højre og grænseværdien af f (x) = 4 når x nærmer sig 2. Matematisk skrives denne verbale forklaring lim x 2 f (x) = lim x 2 + f (x) = lim x 2 (x + 2) = 4 Hvad er grænseværdien af f (x) = x + 2, når x nærmer sig -2 fra begge sider? lim x 2 f (x) = lim x 2 + f (x) = lim x 2 f (x) = lim x 2 (x + 2) = 0 2

3 Lad os bruge Geogebra CAS kommandoen Limit[] for at beregnet grænseværdien i punktet x = 2 og x = 2 på følgende måde: Limit[x + 2,2] giver 4 Limit[x + 2, 2] giver 0 Vi prøver nu at undersøge en anden funktions grænseværdi, nemlig en andengradspolynomium hvis graf er en parabel. f (x) = x 2 Grænseværdien når x nærmer sig tallet 2, både fra venstre og højre lim x 2 f (x) = lim x 2 + f (x) = 4 Limit[x 2,2] giver 4 3

4 Et sidste eksempel inden vi fortsætter med bogens eksempler er funktionen f (x) = 1 som skitseres vha. GeoGebra. x 2 Ifølge definitionsmængden er funktionen ikke defineret i x = 2. Grænseværdien i punkt 2 bliver altså; lim x 2 + f (x) = lim x 2 f (x) = lim x 2 1 x 2 = 1 0 = Det betyder at grænseværdien for funktionen, i punktet x = 2 ikke eksisterer og f (x) ikke er kontinueret i x = 2, der skær altså et brud ved x = 2. Se evt. grafen. Limit[1/(x 2),2] giver? hvilket opfattes som ikke eksisterer. Kan du finde funktionens grænseværdi i punkt 3? 4

5 Eksempel Vi vil se på grafen for funktionen f (x) = 1 x Dm f = R \ {0} Funktionen er defineret for alle værdier undtagen tallet nul. Funktionen f (x) nærmer sig nul, når x vokser - x går mod uendelig - og når x aftager -x går mod minus uendelig- Matematisk skrives dette på følgende måde: lm x f (x) = 0 lim x f (x) = 0 5

6 Vi ser også, at f (x) vokser (går mod uendelig), når x nærmer sig nul, og er positiv, dvs. når x nærmer sig nul fra højre og at f (x) aftager (går mod minus uendelig), når x nærmer sig nul og er negativ, dvs. når x nærmer sig nul fra venstre. Dvs. lim x 0 + f (x) = lim x 0 f (x) = Eksempel Vi vil finde grænseværdierne for følgende funktion f (x) = 2 x 2 4 Dm f = R \ {±2} Vi skitserer funktionen vha. GeoGebra Grænsevæerdierne bliver 6

7 lim x 2 f (x) = og lim x 2 + f (x) = lim x f (x) = 0 og lim x f (x) = 0 Kontrolleres vha. grafen ovenover og Limit kommandoen LimitBelow[2/(x 2 4), 2] giver LimitAbove[2/(x 2 4),-2] giver Limit[2/(x 2 4), ] giver 0 Limit[2/(x 2 4), ] giver 0 Gennemregn nu eksempel inden du går videre Definition - Endelig grænseværdi En funktion f siges at have grænseværdien a, når x går mod x 0, hvis f (x) kommer vilkårligt tæt på a, når blot x er tilstrækkelig tæt på x 0. Lad os illustrere dette vha. en figur. lim x x0 f (x) = a lim x x0 + f (x) = lim x x0 f (x) = a 7

8 Eksempel f (x) = x 3 x 2 x 6 Dm f = \{ 2,3} Omskrivning af funktionen foretages f (x) = Nu kan vi bestemme grænseværdierne x 3 (x 3)(x + 2) = 1 x + 2 lim x 3 f (x) = lim x 3 + f (x) = = 1 5 = 0.2 LimitBelow[1/(x + 2), 3] giver 0.2 LimitAbove[1/(x + 2), 3]giver 0.2 LimitBelow[1/(x + 2), 2] giver LimitAbove[1/(x + 2), 2] giver lim x 2 f (x) = og lim x 2 + f (x) = 8

9 Sætning Lad x 0 være et reelt tal. En funktion f har en grænseværdi, når x går mod x 0, hvis f har en grænseværdi, når x går mod x 0 fra venstre og når x går mod x 0 fra højre og disse to grænseværdier er ens. Dvs. hvis lim x x0 + f (x) = lim x x0 f (x) = lim x x0 f (x) Øvelse Bestem følgende grænseværdier og kontrollér ved CAS a) lim x 3 (x 2 + 4x 17) = lim x 3 ( ) = 4 b) lim x 3 ( x2 2x 3 (x + 1)(x 3) ) = lim x 3 ( ) = lim x 3 ( x + 1 2x 6 2(x 3) 2 ) = 4 2 = 2 c) lim x 3 (4 + 9 x + x2 3 x + 1 x 2 ) = lim x 3( ) = 4 d) lim x 3 x = lim x = Øvelse I skal nu lave denne øvelse ved at skitsere funktionerne vha. GeoGebra. Husk også definitionsmængderne og brug LimitAbove og LimitBelov kommandoerne for at se om I er enige med facit bag ved bogen Øvelse Undersøg følgende funktioner når x går mod 2 a) f (x) = x x 2 9

10 Løsning Definitionsmængden er Dm f = R \ {2} og skitsering Inden vi finder grænseværdien kan vi lige reducere funktionen f (x) = x x 2 = x x(1 2 = 1 x ) 1 2 x Grænseværdi for x gående mod 2 både fra venstre og højre findes. lim x 2 ( x ) = lim x 2 +( x ) = LimitBelow[x/(x 2), 2] giver LimitAbove[x/(x 2), 2] giver Men 10

11 x Limit[,2] giver unde f ined som betyder at der ikke findes en (x 2) grænseværdi ved x = 2. Hvorfor? b) g(x) = x x 2 Nævneren af denne funktion skal være større end nul. Dvs. x-2 >0 x < 2 x > 2 Se f. eks. eksempel på side 94 i bog 1. Vi skitserer funktionen Som ses af figuren, vil man forvente at grænsevæerdierne fra venstre og højre er lig med hinanden, dvs plus uendlig når x -værdien nærmer sig 2 fra både venstre og højre. lim x 2 g(x) = lim x 2 +g(x) = LimitBelov[x/(abs(x 2), 2] giver LimitAbove[x/(abs(x 2), 2] giver 11

12 x c) h(x) = (x 2) 2 lim x 2 h(x) = lim x 2 +h(x) = Vi kan kontrollere disse vha. GeoGebra CAS LimitAbove[x/(x 2) 2,2] giver LimitBelow[x/(x 2) 2,2] giver d) k(x) = x x 2 4 Limit[x/(x 2) 2,2] giver 12

13 lim x 2 k(x) = lim x 2 +k(x) = Derfor har funktionen ikke grænseværdi for x LimitAbove[x/(x 2 4),2] giver LimitBelow[x/(x 2 4),2] giver Dette kan også ses affølgende Limit[x/(x 2 4),2] giver unde f ined som betyder at funktionen k(x) ikke har en grænseværdi for x gående mod Øvelse Undersøg følgende funktion, når x går mod 1 og gør rede for om funktionen har en grænseværdi i 1. 13

14 x + 2 f or x 1 f (x) = x 2 f or x > 1 Løsning: Vi starter med at skitsere funktionen lim x 1 f (x) = lim x 1 (x + 2) = (1 + 2) = 3 lim x 1 + f (x) = lim x 1 +(x 2 ) = 1 Funktionen har en knæk ved 1 og har derfor ingen grænseværdi ved x = 1. Dette kan også ses af følgende LimitBelow[(x + 2), 1] giver 3 LimitAbove[x 2,1] giver 1 14

15 10.2 Beregning af grænseværdier Hidtil har vi bestemt grænseværdierne ud fra grafer og logik. Men vi skal også beregne os frem til grænseværdierne ud fra nogle regneregler Regneregler for grænseværdier 1. Grænseværdien af en sum og differens lim x a [ f (x) ± g(x)] = lim x a f (x) ± lim x a g(x) Eksempel: lim x 3 (x 2 + x 3 ) = lim x 3 x 2 + lim x 3 x 3 = = Grænseværdien af et produkt lim x a [ f (x) g(x)] = lim x a f (x) lim x a g(x) Eksempel: lim x 3 (x 2 x + 1) = lim x 3 x 2 lim x 3 x + 1 = 9 2 = Grænseværdien af en brøk f (x) lim x a g(x) = lim x a f (x) lim x a g(x) (lim x a g(x) 0) Eksempel: lim x 1 x x + 1 = lim x 1(x 2 + 2) lim x 1 (3x + 1) =

16 Gennemregn eksemplerne , , ,10.2.5, og , , , ,10.2 inden du går videre. Mange eksempler på grænseværdier er givet nedenunder. Studér dem! 1. lim x 0 (x 3) = 3 2. lim x 2 (4x + 5) = = lim x 1 (x 2 2) = 1 2 = 1 x 2 + 3x x(x + 3) 4. lim x 1 = lim x 1 = lim x 1 (x + 3) = 4 x x 5. lim x 2 x = 2 x 0 ifølge regnereglen på side 80 bog1 x lim x 1 x + 1 = lim (x 1)(x + 1) x 1 = lim x 1 (x 1) = 0 (x + 1) 7. lim x 1 x 2 3x + 2 x 1 8. lim x 0 x(x + 1) x 9. lim h 0 2(3 + h) 2 18 h h(12 + 2h) = lim h 0 h (x + h) 2 x lim h 0 h Øvelse = lim x 1 (x 1)(x 2) (x 2) = lim x 0 (x + 1) = 1 = lim h 0 2(9 + 6h + h 2 ) 18 h = lim h 0 (12 + 2h) = 12 = lim h 0 x 2 + 2xh x 2 h = lim x 1 (x 2) = 1 = lim h h + 2h 2 18 h = lim h 0 (2x) = 2x Bestem grænseværdierne fr x og x for følgende funktioner. a) f (x) = x + 1 2x Vi prøver først at bruge GeoGebras limit kommando Limit[(x + 1)/(2x), ] giver 0.5 Limit[(x + 1)/(2x), ] giver 0.5 Vi kan også beregne grænseværdierne på følgende måde: 16

17 lim x ( x + 1 2x ) = lim x ( lim x ( x + 1 2x ) = lim x ( x(1 + 1 x ) 2x x(1 + 1 x ) 2x ) = lim x ( x 2 ) = = ) = lim x ( x 2 ) = = x + 1 b) g(x) = 2x Giver det samme som i a. Prøv selv x 2 c) h(x) = x 2 4x + 5 Vi kan omskrive funktionen ved at kvadrere både tælleren og nævneren. h(x) = (x 2)2 x 2 4x + 5 lim x ( x2 4x + 4 x 2 (1 4 x 2 4x + 5 ) = lim x + 4 x x ( 2 ) 1 4 x 2 (1 4 x + 5 = lim x ( x + 4 x 2 x 2 ) 1 4 x + 5 ) = 1 x 2 d) k(x) = 3x2 6x 2x 2 + 8x 24 3x 2 6x lim x ( 2x 2 + 8x 24 ) = lim 3x(x 2 x ( 2(x + 6)(x 2) ) = lim 3x x ( 2x + 12 ) = 3x 3 lim x ( x( ) = x ) 2 = 1.5 e) m(x) = 2x 3 3x 2 4x + 4 2x 3 lim x ( 3x 2 4x + 4 ) = lim 2x 3 2x x ( x 2 (3 4 x + 4 ) = lim x ( x 2 ) 3 4 x + 4 ) = x 2 f) Lav selv lim x ( 2x 3 ) = 17

18 Øvelse Bestem følgende grænseværdier a) lim x ( x 3 x(1 3 2x ) = lim x ) x ( ) = 1 2x 2 b) lim x ( sinx x ) = 1 = 0 c) lim x ( 3 x4 ) x 4 ( x 4 ) = lim x x ( 4 1) x 4 ( 1 ) = 1 x 4 + 1) +1 = 1 d) lim x ( 4 3x) x( 4 (2x 7) = lim x 3) x ( x(2 7 ) = 3 x ) 2 18

19 10.3 Den første afledede funktion og tangenter Både differential- og integralregning kaldes Calculus på engelsk og og Calculus er grundlaget for alle ingeniørmæssige og tekniske fag. Derfor er det overordentlig vigtig at kende noget til Calculus da man senere i sin virke som maskinmester, helt sikkert kommer til at bruge Calculus, altså differential- og integralregning, på en eller anden måde. Sætning på side 15 i Bog2 beskrev en lineær funktion med forskriften f (x) = y = αx + q Grafen for en lineær funktion er en ret linie med hældningkoefficienten α og skæring med y-aksen q. Vi skitserer en linie mellem to punkter A(x 1,y 1 ) og B(x 2,y 2 ). Linien er jo grafen for den lineære funktion derfor sammenfældende med funktionen mellem de to punkter som en tangent. Hældningskvotienten er defineret som α = y 2 y 1 = y x 2 x 1 19

20 Læg mærke til at hældningen af tangentlinien er konstant uanset hvilket punktpar man vælger. Men hvordan finder man hældningen, -ved at bestemt punkt- af en funktion der ikke er lineær? Først skal vi være opmøæksomme på at hældningen af en funktion ikke nødvendigvis kan være konstant i funktionens definitionsmængde. Vi går nu ud fra at funktionen er differentiabel i indenfor definitionsmængden. Lad os se på et eksempel igen hvor funktionens graf er en parabel. 20

21 Man kan ligesom før beregne hældningen af den blå tangentlinie da vi kender koordinaterne til de to punkter. Men hvilke hældning finder vi på denne måde? Vi lægger mærke til at liniens hældning ændrer sig i takt med punktet B nærmer sig punkt A. På denne måde kan vi altså finde hældningen mellem to punkter. Men hvad med hældningen i punktet A? Flyttes Punkt B meget tæt på punkt A kan man aflæse en hældning på 2. Det må være hældningen i punkt A når punkt B er meget meget tæt på punkt A uden at være sammenfældende! Det der er meget meget tæt kaldes infinitesimale størrelser - umålelige små størrelser som kaldes differentialer- se side 80 Bog 2. Disse umålelige små størrelser udtrykkes med begrebet grænseværdi da vi 21

22 lader 0, mens punkt B flyttes tættere og tættere over til punkt A. Vi bevarer altså i virkeligheden trekanten og finder grænseværdien som hældning i et bestemt punkt Eksempel Grundlæggende eksempel - forstå eksemplet inden du går videre! Bestem ligningen for tangenten til grafen for funktionen y = f (x) = x 2 i punktet P( 2,4). Løsning: For at finde ligningen for linien i punktet P( 2,4), skal vi først og fremmest finde hældningen af linien i dette punkt. Lige netop i punktet P( 2,4) har både funktionen y = f (x) = x 2 og linien hvis ligningen vi skal finde, samme hældning! 22

23 Vi bestemmer et nyt punkt A som har koordinaterne A((x 0 + ), f (x 0 )) og flytter punktet A imod punkt P. Matematisk udtrykkes dette vha. grænseværdi på følgende måde: α = lim 0 ( y ) = lim 0( y 2 y 1 f (x 0 + ) f (x 0 ) ) = lim 0 x 2 x 1 α = lim 0 (x 0 + ) 2 x 2 0 = lim 0 x x x 2 0 α = lim 0 2x = lim 0 (2 x 0 + ) = 2 x 0 Vi har nu fundet et udtryk for hældningen og lige i punktet P( 2,4) hvor x = 2. Indsættes x 0 = 2 fås; α = 2 x 0 = 2 ( 2) = 4 Nu kender vi et punkt på tangentlinien, nemlig punktet P( 2,4) og vi kender også hældningen af linien i samme punkt, så kan vi beregne tangentlinies ligning på følgende måde: y y 0 = α(x x 0 ) α = 4, P( 2,4) = (x 0,y 0 ) y 4 = 4(x ( 2)) 23

24 y 4 = 4(x + 2) y = 4x 4 Man viser også denne hældning på følgende måde og kalder den første afledede. Som det fremgår af eksemplet ovenover, afhænger tangenthældningen α af x. α = lim 0 ( y ) = dy dx = f (x) Eksempel Bestem den første afledede af funktionen y = f (x) = x Løsning: Eksempel lim 0 ( y ) = f f (x + ) f (x) (x) = lim 0 = lim 0 x + x Bestem den første afledede af funktionen = lim 0 = 1 y = f (x) = x 3 lim 0 ( y ) = f (x + ) 3 x 3 (x) = lim 0 24

25 = lim 0 x 3 + 3x 2 + 3x() 2 + () 3 x 3 = lim 0 (3x 2 + 3x + () 2 = lim 0 3x () 2 = 3x 2 Det at bestemme den første afledede af en funktion f kaldes at differentiere funktionen. Vi får herved en ny funktion - kaldet det afledede funktion af f. Denne funktion repræsenterer hældningskoefficienten for tangenten til grafen for f. Vi fandt f. eks. i de eksempler følgende afledede funktioner. f (x) = x f (x) = 1 f (x) = x 2 f (x) = 2x f (x) = x 3 f (x) = 3x Sætning - Tangentligningen Ligningen for tangenten til grafen for funktionen f i punktet P(x 0, f (x 0 )) er givet ved y f (x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Gennemregn nu eksempel på side 83 vha. sætningen ovenover inden du går videre. 25

26 Øvelse Bestem ligningerne for tangenterne til grafen for funktionen f (x) = x 2 i punkterne P( 1,1) og Q(1,1). Løsning: Lad os skitsere funktionen med det givne punkter: Vi skal altså finde regneforskrifterne for de to tangenter der er tegnet i blå. For at gøre det, skal vi finde hældningerne i punkterne P og Q Vi behøver ikke at finde den første afledede af funktionen da vi allerede har fundet det før, dvs. f (x) = x 2 f (x) = 2x Og vi kender formlen for tangentligningen fra sætning y f (x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) 26

27 Vi beregner hældningen i punktet P( 1,1) = P(x 0,y 0 ). Dvs. f (x 0 ) = 2 ( 1) = 2 Vi skal også beregne hældningen i punktet Q(1,1) = Q(x 0,y 0 ). Dvs. f (x 0 ) = 2 1 = 2 Nu gælder det om at indsætte disse værdier i tangentligningen. Først for punkt P y f (x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) y 1 = 2(x + 1) y = 2x 1 Bagefter for punkt Q y 1 = 2(x 1) y = 2x Øvelse Bestem ligningen for tangenten til grafen for funktionen f (x) = x 3 i punkterne P( 1, 1) og Q(1,1). Løsning: Det er en god ide at skitdere funktionen med de givne punkter, vha. GeoGebra 27

28 Vi skal igen bruge sætning , tangentligningen y f (x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Vi kender den første afledede af funktionen f (x) = x 3 f (x 0 ) = 3x 2 Vi vil finde hældningerne i de to punkter Først i punkt P( 1, 1) f (x 0 ) = ( 1) 3 = 1 f (x 0 ) = f ( 1) = 3( 1) 2 = 3 Bagefter i punkt Q(1,1) f (x 0 ) = f (1) = 3(1) 2 = 3 Man kan se at tangentligningerne har samme hældning, da de er parallelle Tangentligningerne bliver 28

29 y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Først i punkt P( 1, 1) y ( 1) = 3(x + 1) y + 1 = 3(x + 1) y = 3x + 2 For punkt Q(1,1) y 1 = 3(x 1) y = 3x Øvelse Bestem ligningen for tangenten til grafen for funktionen f (x) = 2x i punktet P(3,6).Vink: Brug lidt logik! Løsning: Logikken siger at ligningen har hældningen 2 og punktet P(3, 6) ligger på funktionen. Altså tangentligningen er selve funktionen f (x) = y = 2x Se evt. grafen. 29

30 Hvis man ikke er overbevist,så kan man bruge y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 ) = 2(3) = 6 f (x 0 ) = 2 y 6 = 2(x 3) y = 2x y = 2x 6 30

31 10.4 Differentiabilitet Det at bestemme den afledede funktion kaldes, som nævnt i det foregående afsnit, at differentiére. Men, kan den afledede funktion altid bestemmes? Eller med andre ord, kan alle funktioner differentieres? Definition Givet en funktion f og et tal x Dm f. Da er f differentiabel i x hvis 1. f er defineret i et åbent interval omkring x 2. f er kontinuert i x 3. grænseværdien lim 0 ( y ) eksisterer i x og er endelig. I så fald er den første afledede funktion af f i x givet ved f (x) = lim 0 ( y ) = dy dx Her følger en nærmere forklaring på betydningen af de enkelte punkter i ovenstående definition. 1. Dette betyder, at hvis Dm f er et lukket interval, f.eks. [a;b], så er f ikke differentiabel i endepunkterne, dvs. i x = a og x = b. 2. Fra afsnit 7.8 ved du, at f er kontinuert i x, hvis grafen for f er sammenhængende i x. Dvs. at hvis grafen har et spring i x så er f ikke differentiabel i x. f er differentiabel i x = a, hvis x er et indre punkt i definitionsmængden, dvs. ikke et endepunkt, og hvis grafen for f ikke har spring og ikke har knæk. Prøv at se på figurer på side 84 Bog 2 for at få en ide om 31

32 hvad det betyder. Bemærk, at det kun er grafer for stykkevis definerede funktioner, der kan have spring eller knæk. Alle andre funktioner er differentiable på hele definitionsmængden, pånær hvor grafen eventuelt har lodret tangent samt i eventuelle endepunkter i definitionsmængden Eksempel Funktionen f (x) = x 2,Dm f = R er differentiabel på hele definitionsmængden. Funktionen f (x) = x 3,Dm f = R er differentiabel på hele definitionsmængden. Funktionen f (x) = 1, Dm f = R \ {0} er differentiabel på hele definitions- x mængden. Funktionen f (x) = x,dm f = [0; [ er differentiabel i intervallet ]0; [ men ikke i 0, da det er et endepunkt i Dm f. x 3 f or x < 0 Funktionen f (x) = x 2 f or x 0 er differentiabel på hele definitionsmængden - ingen spring eller knæk i 0 - Vi skitserer grafen. 32

33 x 3 f or x < 0 Funktionen f (x) = x f or x 0 er ikke differentiabel i 0. Der er et spring i nul. Vi skitserer grafen. x 2 f or x < 1 Funktionen f (x) = x + 2 f or x 1 33

34 er ikke differentiabel i 1. Der er et knæk i 1. Vi skitserer grafen Differential og differentialkvotient Tangentens hældningskoefficient er α t = dy = f (x) og isoleres dy fås dy = f (x) Men da tangentens ligning f (x) = x og f (x) = 1 d( f (x)) = f (x) d(x) = 1 dx = Dvs. 34

35 dy = f (x) dx dy dx = f (x) 10.6 Beregning af differentialkvotienter 1 Grænseværdien er defineret som lim 0 ( y ) = f (x) = dy dx Alle tre betegnelser siger det samme. Og vi vil senere kun bruge sidste to da det er nemmere. Vi skal i det følgende finde grænseværdierne for forskellige funktioner. 1. Differentialkvotienten af en konstant y = f (x) = k f (x) = 0 Bevis: lim 0 ( y y ) = lim 0( Eksempel: f (x + ) f (x) ) = lim 0 ( k k ) = lim 0 ( 0 ) = lim 0(0) = 0 y = f (x) = 3 y (x) = f (x) = 0 2. Differentialkvotienten af y = f (x) = x 2 f (x) = 2x Bevis: lim 0 ( y ) = lim f (x + ) f (x) 0( ) = lim 0 ( (x + )2 x 2 ) = lim 0 ( x2 + 2x + () 2 x 2 (2x + ) ) = lim 0 ( ) = lim 0 (2x + ) = 2x 35

36 Eksempel: y = f (x) = x 2 y (x) = f (x) = 2x 3. Differentialkvotienten af y = f (x) = x n Før vi differentiere oventående skal vi lige vide mere om binomialrækker, defineret som (a+b) n = a n +n a n 1 b+ n(n 1) a n 2 b 2 + 2! n(n 1)(n 2) a n 3 b ! a n n a n 1 b + n(n 1) 2! (a b) n = a n 2 b 2 n(n 1)(n 2) a n 3 b ! Binomialrække bruges bl.a. til at finde kvadratoroden, kubikroden, etc. af to-leddede størrelser. (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 2ab + b 2 Kan du så vha. ovenstående finde (a + b) 3 og (a b) 3? Vi skal nu bruge binomialrækken til at finde differentialkvotienten af y = f (x) = x n lim 0 ( f (x + ) f (x) (x + ) n x n ) = lim 0 36

37 (x n + n x n 1 n(n 1) + x n 2 () ) x n = lim n x n 1 n(n 1) + x n 2 () = lim (n x n 1 n(n 1) + x n ) = lim Eksempel: = lim 0 n x n 1 + n(n 1) 2 1 x n = n x n 1 y = f (x) = x 8 y (x) = f (x) = 8 x 7 4. Differentialkvotienten af y = f (x) = αx + q Bevis: lim 0 ( f (x + ) f (x) α(x + ) + q (αx + q) ) = lim 0 ( ) Eksempel: αx + α + q αx q α = lim 0 ( = lim 0 = α y = f (x) = 6x + 4 y (x) = f (x) = 6 37

38 5. Differentialkvotienten af y = f (x) = x f (x + ) f (x) x + x lim 0 ( ) = lim 0 ( ) Ganges både tælleren og nævneren med x + + x lim 0 ( ( x + x)( x + + x) ( x + + ) = x) ( x + ) 2 + x x + x x + ( x) 2 lim 0 ( x + + x) x + x = lim 0 ( x + + ) = lim 0 ( x + + x) = Eksempel: lim 0 1 x + + x = 1 2 x y = f (x) = x = x 1 2 y (x) = f (x) = 1 2 x = 1 2 x 6. Differentialkvotienten af y = f (x) = 1 x lim 0 ( f (x + ) f (x) 1 x + 1 x ) = lim 0 ( ) = lim 0 ( x (x + ) x(x + ) ) = lim 0 ( x x x(x + ) ) = lim 0 ( x (x + ) ) = lim 1 0 x(x + ) = 1 x 2 38

39 Tabel Resultaterne af ovenstående samles i en tabel. Funktion y = f (x) Differentialkvotient dy dx = f (x) k(konstant) 0 x 1 αx + q x 2 α 2x x 3 3x 2 x, x x, x > 0 1 x, x 0 1 x 2, x 0 Nu skal du gennemregne eksemplerne , , og inden du går videre! Man kan bruge GeoGebra s Derivative kommando til at differentiere et udtryk. Se f. eks. følgende: Derivative[x 4 ] giver 4x Øvelse Beregn differentialkvotienten for funktionen y = f (x) = x 4 Løsning: 39

40 Vi bruger regel: y = f (x) = x n y (x) = n x n 1 y (x) = 4 x 3 Du kan prøve GeoGebra Derivative[x 4 ] Øvelse Beregn ligningen for tangenten til grafen for funktionen y = f (x) = x 2, x 0 i punktet P(2,4). Løsning: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) P(2,4) = P(x 0,y 0 ) f (x 0 ) er jo hældningen i x = 2. Vi differentierer udtrykket y (x) = 2x og indsættes x = 2 for at finde hældningen i x = 2 y (2) = 2 2 = 4 40

41 Nu kender vi både hældningen som er 4 og punktet P(2,4) så kan vi finde tangentens ligning y 4 = 4(x 2) y = 4x y = 4x Øvelse Beregn ligningerne for de tangenter til grafen for funktionen y = f (x) = 1 x, x 0 som er parallelle med linien l med ligningen y = 4x + 1 Løsning: Parallelle linier har samme hældning, dvs. vi kender hældningen som er -4. Differentialkvotienten af funktionen giver hældningen i et bestemt punkt. y (x) = 1 x 2 = 4 Vi mangler jo at finde punkterne hvor disse parallle linier tangerer ved at beregne f (x) = 0. x = ± 1 2 Vi finder y-koordinaterne ved at indsætte x-værdierne i funktionen y = f ( 1 2 ) = 2 41

42 y = f ( 1 2 ) = 2 Nu kender vi punkterne ( 1 2, 2) og (1 2,2) Når vi nu kender de punkter hvor linierne tangerer funktionen og kender hældningen så kan vi bare indsætte dem i det følgende y f (x 0 ) = 4(x x 0 ) y + 2 = 4(x ) y = 4x 4 y 2 = 4(x 1 2 ) y = 4x + 4 Se evt. følgende GeoGebra løsning 42

43 Øvelse Beregn ligningerne for de tangenter til grafen for funktionen y = f (x) = x, x 0 som går gennem punktet. Løsning: Vi differentierer udtrykket y = f (x) = 1 2 x Og vi kender regneforskriften for linje y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) eller y y 0 = α(x x 0 ) Dvs. f (x) = y 0 og f (x) = α Læg mærke til at punktet P(1, 5 ) ikke ligger på f (x)! Dvs. at vi ikke kender 4 x 0 som skal findes på følgende måde; y x 0 = 1 2 x 0 (x x 0 ) Tangenten, hvis ligningen bestemmes, går gennem punktet P(1, 5 ). Altså skal 4 tangentligningen være opfyldt, når punktets koordinater indsættes. 43

44 5 4 x 0 = 1 2 x (1 x 0 ) 0 Nu kan vi bruge solve til at finde x-koordinaterne: solve( 5 4 x 0 = 1 2 x 0 (1 x 0 ),x) giver x = 1 4 x = 4 Vi mangler nu at finde y-koordinaterne: f ( 1 4 ) = 1 4 = 1 2 P1(1 4, 1 2 ) f (4) = 4 = 2 P2(4,2) Hældningerne findes f ( 1 4 ) = = 1 f (4) = 1 2 x = 1 4 Nu kender vi både hældningerne og punkterne. Dvs. vi kan lave forskrifterne fo tangenterne y 1 2 = 1(x 1 4 ) y = x y 2 = 1 4 (x 4) y = 1 4 x + 1 PS: Vi brugte kommandoen solve til at finde rødderne af ligningen 5 4 x 0 = 1 2 x 0 (1 x 0 ) Vi prøver nu at regne i hånden. Vi erstatter x = x 0 for nemheds skyld. 44

45 5 4 x = 1 x (1 x) x 0 2 = (1 x) x x(5 4 x) = 2(1 x) 5 x 4x = 2 2x 5 x 2x 2 = 0 Indsættes nu x = u 2u 2 + 5u 2 = 0 Løses denne andengradsligning fås følgende rødder: u = 1 2 u = 2 Da x = u 1 2 = x 2 = x 2 x = 1 2 = x 4x = 1 4 = x x = 1 4 x = 4 45

46 Regneregler for differentialkvotienter Lad u = f (x) og v = g(x) være differentiable funktioner og lad c være et reelt tal(konstant). 1. d(u+v) dx = du dx + dv dx ( f +g) (x) = f (x)+g (x) d(u v) dx d(u v) dx = du dx dv dx = v du dv +u dx dx d( u v ) du v dx = dx u dv dx v 2 d(c u) dx = c du dc ( f g) (x) = f (x) g (x) ( f g) (x) = g(x) f (x)+ f (x) g (x) ( f g ) (x) = g(x) f (x) f (x) g (x) (g(x)) 2 (c f ) (x) = c f (x) Beviser: 1. y = u(x) + v(x) hvor u(x) og v(x) er differentiable funktioner lim 0 ( y ) = lim y(x + ) y(x) [((u + u) + (v + v)) (u + v)] 0 = = lim 0 ( y ) = lim u + u + v + v u v u + v 0 = lim 0 lim 0 ( y ) = lim 0( u + v ) = lim u 0 + lim v 0 46

47 lim 0 ( y ) = du dx + dv dx PS: Husk at dy dx = lim y 0 dy dx = du dx + dv dx Vi lader y = u(x)+v(x) hvor u(x) = f (x) og v(x) = g(x) er fifferentiable funktioner. Alternativ bevis: lim 0 ( y + ) y(x) ) = lim(y(x ) = lim 0 [( f (x + ) + g(x + )) ( f (x) + g(x))] = lim 0 f (x + ) f (x) ( f + g) (x) = f (x) + g (x) + lim 0 g(x + ) g(x) 2. Beviset for difference bliver ( f g) (x) = f (x) g (x) 3. Igen lader vi y = u(x) v(x) hvor u(x) og v(x) er differentiable funktioner 47

48 lim 0 ( y ) = lim 0( y(x + ) y(x) ) = lim 0 (u + u)(v + v) u v = lim 0 [ (u + u)(v + v) (u + u) v + (u + u) v u v ] = lim 0 [(u + u) (v + v) v + v (u + u) u ] = lim 0 (u + u) (v + v) v + lim 0 v (u + u) u = lim 0 (u + u) = u lim 0 = u u (v + v) v + v (u + u) u = u v + v u = u dv dx + v du dx 48

49 4. Vi vil ikke bevise denne sætning 5. Vi vil ikke bevise denne sætning Vi vil i det følgende bruge disse regneregler til at beregne differentialkvotienter af nogle funktioner. Gennemregn eksemplerne , , og ved at lægge mærke til hvordan ovenstående regler anvendes,inden du går videre Øvelse Beregn f ( 1 3 ) for funktionen f (x) = 2x3 5x 2 4x + 10 Løsning: f (x) = 6x 2 10x 4 f ( 1 3 ) = 6 ( 1 3 )2 10 ( 1 3 ) 4 = 6 ( 1 3 ) = Øvelse Beregn vha. produktreglerne differentialkvotienten for hver af følgende funktioner. a) f (x) = (x 2 + 1)(5x 3 + 2) b) g(x) = (2x + 3)(x 2 2x + 1) Løsning: a) f (x) = (x 2 + 1)(5x 3 + 2) 49

50 Vi lader u = (x 2 + 1) og v = (5x 3 d(u v) + 2) og bruger = v du dx dx + u dv dx Indsættes u = (x 2 + 1) u = du dx = 2x v = (5x 3 + 2) v = dv dx = 15x2 dy d(u v) = = f (x) = (x 2 + 1) 15 x 2 + (5x 3 + 2) 2x = 25x x 2 + 4x dx dx Prøv GeoGebra med følgende kommando Derivative[(x 2 + 1) (5 x 3 + 2)] som giver 25x x 2 + 4x b) g(x) = (2x + 3)(x 2 2x + 1) dy dx = f (x) = 2 (x 2 2x + 1) + (2x 2)(2x + 3) = 6x 2 2x Øvelse Beregn differentialkvotienten for følgende funktioner a) f (x) = x + 1 x 1 c) h(x) = x3 x b) g(x) = 2x + 3 3x + 2 d) k(x) = x 2 Løsning: 50

51 Vi bruger regnereglerne for differentiation og kontrollerer med GeoGebra a) f (x) = x + 1 x 1 u = x + 1 u = 1 f (x) = v u u v Kontrol med GeoGebra b) v 2 = v = x 1 v = 1 (x 1) 1 (x + 1) 1 (x 1) 2 = 2 (x 1) 2 2 Derivative[(x + 1)/(x 1)] som giver x 2 2x + 1 g(x) = 2x + 3 3x + 2 u = 2x + 3 u = 2 v = 3x + 2 v = 3 g (x) = v u u v (3x + 2) 2 (2x + 3) 3 5 v 2 = (3x + 2) 2 = (3x + 2) 2 Kontrol med GeoGebra c) 5 Derivative[(2x + 3)/(3x + 2)] giver 9x x + 4 h(x) = 51 x3 x 3 + 2

52 u = x 3 u = 3x 2 h (x) = v u u v Kontrol med GeoGebra v = x v = 3x 2 v 2 = (x3 + 2) 3x 2 x 3 3x 2 (x 3 + 2) 2 = 6x2 (x 3 + 2) 2 Derivative[x 3 /(x 3 + 2)] giver 6 x 2 x 6 + 4x d) k(x) = x 2 u = 1 u = 0 v = 1 + x 2 v = 2x k (x) = v u u v v 2 = (1 + x2 ) 0 1 (2x) (1 + x 2 ) 2 = 2x (1 + x 2 ) 2 Kontrol med Geogebra Derivative[1/(1 + x 2 x )] giver 2 x 4 + 2x Øvelse Nu skal du lave denne øvelse inden du fortsætter videre Beregning af differentialkvotienter 2 Vi skal beregne differentialkvotienterne for flere andre funktioner uden bevis og lave øvelserne. 52

53 Sætning Lad n være et rationalt tal. Potensfunktionen y = x n har differentialkvotienten Denne sætning er bevist tidligere. dy dx = d(xn ) = n x n 1 dx Prøv at gennemregne eksemplerne , , og ved hjælp af ovenstående sætning inden du går videre Sætning Den naturlige logaritmefunktion y = lnx, x > 0 har differentialkvotienten dy dx = d(lnx) = 1 dx x, x > Sætning Logaritmefunktionen med grundtal a y = log a x, x > 0 har differentialkvotienten dy dx = d(log ax) = 1 dx lnx 1 x, x > 0 53

54 Differentialkvotienten af titalslogaritmen y = logx x > 0 dy dx = d(logx) = 1 dx ln10 1 x, x > Sætning Eksponentialfunktionen med grundtal a y = a x har differentialkvotienten dy dx = d(ax ) = lna a x dx Sætning Den naturlige eksponentialfunktion y = e x har differentialkvotienten dy dx = d(ex ) = e x dx 54

55 Tabel Funktion y = f (x) x n lnx, x > 0 log a x, x < 0 logx, x > 0 a x e x Differentialkvotient dy dx = f (x) n x n 1 1 x, x > 0 1 lna 1 x x > 0 1 ln10 1 x, x < 0 lna a x e x Prøv nu kontrollere tabellens differentialkvotienter med Geogebra inden du går videre og gennemregn eksempel og Øvelse Beregn differentialkvotienten for følgende funktioner ved først at gange paranteserne ud (sammenlign med øvelse ) a) f (x) = (x 2 + 1)(5x 3 + 2) b) g(x) = (2x + 3)(x 2 2x + 1) Løsning: a) f (x) = (x 2 + 1)(5x 3 + 2) = 5x 5 + 5x 3 + 2x f (x) = 25x x 2 + 4x b) 55

56 f (x) = (2x + 3)(x 2 2x + 1) = 2x 3 x 2 4x + 3 f (x) = 6x 2 2x Øvelse Beregn differentialkvotienten for følgende funktioner a) f (x) = 2x 5 3x b) g(x) = x 5 + 4x 4 3x 3 + 2x 2 x 1 c) h(x) = 7x 3 + x + x 1 + 5x Løsning: a) f (x) = 2x 5 3x f (x) = 10x 4 6x b) g(x) = x 5 + 4x 4 3x 3 + 2x 2 x 1 f (x) = 5x 4 9x 2 + 4x-1 c) h(x) = 7x 3 + x + x 1 + 5x h (x) = 21x x - 1 x 2 15 x Øvelse Beregn differentialkvotienten for følgende funktioner vha. sætning a) f (x) = 1 b) g(x) = 1 x x 4 c) h(x) = 1 x 3 d) k(x) = x x 7 + x 9 56

57 Løsning: a) f (x) = 1 x = x 1 f (x) = 1 x 1 1 = 1 x 2 b) g(x) = 1 x 4 g (x) = 4 x 5 = 4 x 5 c) h(x) = 1 x 3 h (x) = 3 x 2 d) k(x) = x x 7 + x 9 k(x) = x 1 2 x 7 + x 9 k (x) = 1 2 x x 6 9x 10 = 1 2 x 7x6 9 x Øvelse Beregn differentialkvotienten for følgende funktioner a) f (x) = x4 x + 10 b) g(x) = 1 + x4 x 4 Løsning: a) f (x) = x4 x

58 f (x) = 4x3 (x + 10) 1 x 4 (x + 10) 2 = 3x4 + 40x 3 (x + 10) 2 b) g(x) = 1 + x4 x 4 g (x) = 4x3 x 4 4x 3 (1 + x 4 ) (x 4 ) 2 = 4 x Øvelse Du skal lave denne øvelse inden du går videre. Husk at kontrollere med Geogebra. (Hint: Kig på eksempel på side 93 i bog 2) Øvelse Bestem differentialkvotienterne for følgende funktioner a) y = 2x + e x b) y = 2x e x c) y = x x d) y = x 2 2x Løsning: a) y = 2x + e x y (x) = 2 + e x b) y = 2x e x y (x) = 2 e x + e x 2x = 2e x (1 + x) c) 58

59 y = x x y (x) = 2x + ln2 2x = 2x(1 + ln2) d) y = x 2 2 x y (x) = 2x 2 x + x 2 ln2 2 x = x 2 x (2 + x ln2) Øvelse Du skal lave denne øvelse inden du går videre. Husk at kontrollere med GeoGebra 10.9 Differentiation af sammensatte funktioner Funktioner kan sammensættes på den måde som vi så i afsnit 7.11 i Bog 2, side 34. Fot at differentiere en sammensat funktion skal vi bruge kædereglen Kædereglen Lad y = g(u) og u = f (x) være to differentiable funktioner med differentialkvotienter dy du og du dx. Den sammensatte funktion y = (g f )(x) = g( f (x)) = g(u) hvor u = f (x) har da differentialkvotienten dy dx = dy du du dx Bevis: dy dx = lim 0( y ) = lim 0( (g f ) 59 ) = lim 0 g[ f (x + )] g[ f (x] =

60 g[ f (x + )] g[ f (x)] lim 0 f (x + ) f (x) f (x + ) f (x) = lim 0 g[ f (x + )] g[ f (x)] f (x + ) f (x) f (x + ) f (x) = lim 0 g[ f (x + )] g[ f (x)] f f = dy dx = dy d f d f dx og u = f (x) dy dx = dy du du dx Nu skal du gennemregne eksemplerne ,10.9.3, og inden du går videre Øvelse Bestem differentialkvotienten for følgende funktioner: a) y = ln(x 2 + 1) b) y = 4 x2 Løsning: a) y = ln(x 2 + 1) 60

61 y = ln(u) hvor u = x dy dx = dy du du dx y = ln(u) dy du = 1 u u = x du dx = 2x dy dx = 1 u 2x dy dx = 1 2x (x 2 2x = + 1) (x 2 + 1) b) y = 4 x2 y = 4 u hvor u = x 2 y = 4 u dy du = 4u ln4 u = x 2 du dx = 2x dy dx = dy du du dx dy dx = ln(4) 4 x2 ( 2x) = 2x ln(4) 4 x Øvelse Lav denne øvelse og kontroller vha. GeoGebra Øvelse Lav denne øvelse og kontroller vha. GeoGebra. 61

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Regning med funktioner - TAVLENOTER

Regning med funktioner - TAVLENOTER Sammensat funktion [Elevsamtaler] Jens Thostrup, GUX Nuuk 1 FACIT b) 1 og 3 er de eneste løsninger, der optræder i tabellen Jens Thostrup, GUX Nuuk 2 Regningsarter for funktioner Sumfunktion: (f+g)(x)

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kennet Hansen 5. Differentialregning Hvornår skærer graferne for funktionerne ln og inanden? 5. Differentialregning 5. Differentialregning 5. Funktioner

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Hold Vinter 2016/17 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2015, eksamen maj / juni 2015 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2014/15, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner . Spørgsmål 1: Funktioner Gør rede for udvalgte sætninger vedrørende andengradsfunktioner. Du skal herunder redegøre for differentiation af en andengradsfunktion, samt formlen til at beregne nulpunkterne

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010

MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 2016 MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 Dette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere