Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Transkript

1 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-89 Titanium Introduktion og eksempler Ovenstående forkortelser vil fremover blive brugt i noterne. Repetition Repetitionen består i at årsprøven gennemgås. Resultatet var OK 6,2 i snit Besvarelsesprocenten kan ses herunder: opgave opgave 2 opgave 3 opgave 4 opgave 5 opgave 6 opgave 7 opgave % 53% 70% 59% 7% 78% 35% 56% opgave 9 opgave 0 opgave opgave 2 Helhed i alt karakter % 63% 66% 59% 57% 60% 6,2 Det første hjemmeopgavesæt bliver repetitionsopgaver. Potensvækst Definition af potensfunktion En potensfunktion er en funktion der kan skrives på form: f(x) = x a x R +, a R Bemærk at alle funktioner er defineret for x positiv Funktioner, som er proportionale med potensfunktionerne, kaldes en potensvækst. Eksempler: x 2 x = x /x = x x = x 0,5 x 4/3

2 Grafisk billede: side2 Sætning om potensvækst De funktioner, der har en retlinet graf i et dobbelt logaritmisk koordinatsystem, er netop potensvækst Eksponenten a er liniens hældningskoefficient. Ved en aflæsning skal hældningen måles med lineal. Bemærk at dekaderne på. - og 2.aksen skal have samme længde! b er liniens skæring med y-aksen ( x = ) Øvelser med tegning af grafer på millimeterpapir og på dobbeltlogaritmisk papir. Begge papirer kan udprintes ved hjælp at det lille program SpecialPapir.exe ( freeware ), som I kan finde på min hjemmeside. Monotoniforhold: x a er voksende for a > 0 x a er aftagende for a< 0 x a er konstant for a = 0 Hvis a < 0 krummer grafen som /x Hvis 0< a < krummer grafen som x Hvis a > krummer grafen som x 2

3 Dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. side3 Definition Ved et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem forstås et koordinatsystem, hvor begge akser er logaritmisk inddelt. Da en logaritmisk skala kun indeholder positive tal, kan man i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem kun afsætte punkter (x,y) hvor x,y R + Sætning Grafen for en funktion f(x) er en ret linie i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem hvis og kun hvis f(x) er på formen f(x) = b x a a er liniens hældningskoefficient ( målt med lineal ) og b er liniens skæring med 2.aksen ( x = ) En funktion der kan skrives på formen f(x) = b x a, b R +, a R, kaldes en potens vækst. Bevis for sætningen: y = b x a log(y) = log(b) + log(x a ) log(y) = log(b) + a log(x) Heraf ses, at log(y) afhænger lineært af log(x). Af udtrykket ses også, at b er liniens skæring med 2.aksen, og at a er liniens hældning målt med enhederne (dekaderne på akserne) Sætning om vækst Antag at f(x) = b x a, b R +, a R Så gælder f((+r) x) = ( + r) a f(x) Bevis: f((+r) x) = b ((+r) x) a =b(+r) a x a =(+r) a b x a = ( + r) a f(x) Ovenstående sætning betyder at til lige store relative tilvækster på den uafhængige variabel svarer lige store relative tilvækster på den afhængige variabel. Af ovenstående sætning ses at hvis vækstraten i den uafhængige variabel er r, så er vækstraten i den afhængige variabel ( + r) a

4 Påvisning af potensvækst side4 Man kan undersøge om der er en eksponentiel sammenhæng mellem to størrelser ved at afsætte sammenhørende værdier i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Hvis punkterne tilnærmelsesvis ligger på ret linie, kan vi konstatere en potens sammenhæng. Forskriften for modellerne bestemmes ved at tegne en ret linie, der " bedst muligt " passer til punkterne og bestemme forskriften ved hjælp af to punkter på linien. METODE til påvisning vækstmodellen: Grafisk: ) Vælg enheder på akserne, så figuren bliver så stor som muligt. 2) Afsæt punkterne og vurder om punkterne tilnærmelsesvis ligger på en ret linie. 3) Placer linien sådan at punkternes samlede afvigelse fra linien er mindst mulig, og så afvigelsen er ligelig fordelt på begge sider af linien. 4) Bestem forskriften ud fra to punkter på grafen. Punkterne skal vælges langt fra hinanden. Ved hjælp af power regression på lommeregner ( f.eks. TI-89) eller regneark ( f.eks. Excel) Lineær, eksponentiel og potens regression er fint beskrevet i Knud Nissens TI-89 Titanium Introduktion og eksempler kapitel 6 matematiske modeller s Resultatet af regressionen viser to størrelser: r og r 2, kaldet korrelationskoefficienten og forklaringsgraden. Modellen er acceptabel hvis r 2 er over 0.95 og glimrende hvis r 2 er over Nedenstående billedserie viser en potensregression med TI-89

5 side5 Parabler og andre kurver Liniens ligning Definition Ved en ligning for en figur ( linie, cirkel, parabel m.fl. ) forstås en ligning, som opfyldes af præcis de punkter, der danner figuren. Ligningen for en ret linie Enhver lodret linie har en ligning på formen x = c, hvor c er den fælles førstekoordinat for alle punkterne på linien. Enhver ikke-lodret linie har en ligning på form y = a x + b, hvor a er liniens hældningskoefficient og b er andenkoordinaten til liniens skæring med y-aksen. Enhver ikke-lodret linie har en ligning på form y = y 0 +a (x- x 0 ), hvor a er liniens hældningskoefficient og (y 0,x 0 ) er et punkt på linien. Enhver linie har en ligning på form ax + by + c = 0 Skæring mellem to linier Skæring mellem to linier kan betragtes som løsning af to ligninger med to ubekendte. Vi kan benytte forskellige metoder : I skal kunne beherske metode 4: ) lige store koefficienters metode 2) Indsættelses metoden 3) Isoleringsmetoden 4) Løsning ved hjælp af TI-89 Løs ligningssystemet y = x + 24 y 6 = 2x På kommandolinien skrives solve(y=x+24 and y-6=2x,x) Kommandoen solve findes under menuen F2

6 Parabler side6 Flytning af grafer: Der gælder følgende sætning, om hvordan flytning af grafer påvirker funktioners forskrift. Parallelforskydn ing af en graf Forskriften for den funktion, g, hvis graf er en parallelforskydning af grafen for f med talsættet (a,b), er givet ved: g(x) = f(x a) + b Parallelforskydning af graf med talsættet ( a,b) Eksempler på flytning af grafer Andengradspolynomier - Parabel Andengradspolynomier En funktion, der har en regneforskrift der kan skrives på formen: f(x) = ax 2 + bx + c hvor a, b og c er reelle tal og a 0 kaldes et Andengradspolynomium. Indledning med symmetri og parallelforskydning Definition : En kurve der har ligningen y = a x 2 og alle parallelforskydninger af sådanne kaldes en parabel.

7 Tegning af grafen for f(x) = a x 2 på TI-89 for forskellige værdier af a. side7 Hvis a > 0 vender grenene opad Hvis a < 0 vender de nedad. Parablen er "smal" for a numerisk stor og "bred" for a numerisk lille. Begreberne toppunkt og symmetriakse er indført. a = 2 a = 0,5 a = a = - 0,2 a = - 3 Parallelforskydning af parablen y = a x 2 Parallelforskydning af y = x 2 Parallelforskydes parablen y = ax 2 med koordinatsættet (p,q) fås en parabel med toppunkt i (p,q) med ligningen: y = a(x p) 2 + q Toppunkt for parablen: Sætning om parablens toppunkt Ligningen y = ax 2 + bx + c, a 0, beskriver en parabel med toppunkt i -b 2a, -d 4a, hvor d er deskriminanten: d = b2 4ac y = ax 2 + bx + c, a 0 beskriver altså en parabel. Konstanterne a, b og c kaldes koefficienterne. Deres betydning for det grafiske billede fremgår af ovenstående sætninger. Skal man tegne parablen i et koordinatsystem, skal man først finde toppunktet og så tegne y = ax 2, som om toppunktet er koordinatsystemets begyndelsespunkt. c er skæringen med y-aksen.

8 Ved at se på toppunktets andenkoordinat kan vi få følgende placeringer af parablen for forskellige fortegn for a og d: side8 d < 0 d = 0 d > 0 a > 0 a < 0 Andengradsligningen En ligning af type ax 2 + bx +c = 0, a 0, kaldes en andengradsligning. Løsninger til den kaldes andengradsligningens rødder Sætning om rødderne i andengrads Ligningen Om andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 a 0, gælder, at antallet af rødder afhænger af deskriminanten : d < 0: ingen løsning d = 0: én løsning bestemt ved x = b 2a d > 0: to løsninger bestemt ved x = -b ± d 2a Sætningen er vist i AB ; men vi kan føre et lidt nemmere bevis nu ved at udnytte sætningen om parallelforskydningen med toppunktets koordinater. Bevis: ax 2 + bx +c = 0 a(x b 2a )2 + -d 4a = 0 (x b 2a )2 = d 4a 2 Da venstre side af ligningen altid er positiv eller nul, har ligningen ingen løsninger for d <0 For d = 0 fås (x b 2a )2 = 0

9 x b 2a = 0 x = b 2a for d < 0 fås (x b 2a )2 = d 4a 2 x b 2a = ± d 2a x = b 2a ± d 2a x = b ± d 2a (bemærk at ± 4a 2 = ± 2 a = ± a) Q.E.D side9 Løsning af andengradsligninger med TI-89 Det er hurtigt og nemt at løse andengradsligninger eksakt ved hjælp af TI-89. Man skal blot skrive solve(a x 2 + b x + c = 0,x) Så får man løsningsformlen, hvis renset variablerne a,b og c ( F6 clean up :Clear a-z) Løsningerne kan både udregnes eksakt og som tilnærmede decimaltal. Hvis diskriminanten er negativ returneres værdien false Se i øvrigt afsnittet Variabler og formler i Knud Nissens Introduktion og eksempler. Opløsning i faktorer (Faktorisering af andengradspolynomier): faktorisering Hvis et andengradspolynomium har rødderne α og β kan det faktoriseres: ax 2 + bx + c = a( x α )(x β) Sætningen er klar, da højresiden af ligningen er et andengradspolynomium med rødderne α og β, hvis graf er en parallelforskydning af y = ax 2

10 Omskrivningen ax 2 + bx + c = a( x α )(x β) a( x 2 + b a x + c a ) = a ( x2 αx βx + α β ) side0 x 2 + b a x + c a = x2 + ( α β) x + α β viser at α + β = b/a og α β = c/a Specielt gælder der, hvis a = : Røddernes sum er lig med koefficienten foran x med modsat fortegn Røddernes produkt er lig med sidste led. Anvendelser af faktorisering: forkortning af brøker af polynomier.( se side 29 i B2) Nulreglen Et produkt er nul, hvis og kun hvis en af faktorerne er nul Anvendelse af nulreglen se side 3 i B2. Faktorisering med TI-89 Følgen skærmbilleder viser hvordan man kan faktorisere og udgange udtryk med TI-89: Polynomier Polynomium Definition Et polynomium af grad n er en funktion hvis forskrift kan skrives på formen: f(x) = a n x n + a n- x n a 2 x 2 + a x + a 0 hvor a n 0 Eks: 2x 3 x + a 3 = 2, a 2 = 0, a =, a 0 = (x +) 4 omskrives: (x +) 4 = x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + dvs. a 4 = a 3 = a 2 = a = a 0 = Man kan vise at et n'te gradspolynomium højst har n rødder ( nulpunkter )

11 Keglesnit side Keglesnittene er hyperbler, parabler, ellipser og cirkler Keglesnittene er ikke en del af kernestoffet og er kun kort omtalt. Ligesidet hyperbel Grafen for funktionen f(x) = a bx+c + d kaldes en ligesidet hypebel Ovenstående begreb er behandlet i B2 side 40-4 Eks: f(x) = 4 2x-5 + Definitionsmængden er R\{2½} Lodret asymptote : x = 2½ Vandret asymptote: y = Hyperbel Ligningen for en hyperbel med centrum i koordinatsystemet begyndelsespunkt er : x 2 a 2 y2 b 2 = Ellipse Ligningen for en ellipse med centrum i koordinatsystemet begyndelsespunkt er : x 2 a 2 + y2 b 2 = Cirkel Ligningen for en cirkel med centrum i koordinatsystemet begyndelsespunkt og radius r er : x 2 + y 2 = r 2

12 Differentialregning side2 Indledning til differentialregning Aktivitet: Talfølger og grænseværdi En talfølge {a, a 2,..a n, } siges at have grænseværdien a, hvis a n kommer vilkårligt tæt på a, når n er tilstrækkelig stor. Man siger at a n går mod a for n gående mod uendelig og skriver a n a for n eller lim a n n = a Man kan arbejde med talfølger og grænseværdier på TI-89. Se side 5 i B2 Som noget specielt kan TI-89 arbejde med rekursivt definerede talfølger. Et eksempel er a n+ = a n 2 + a n Dette er en gammel babylonsk algoritme til bestemmelse af 2 Talfølgen {,,2,3,5,8,3,2, } som er defineret rekursivt ved a n = a n- + a n-2 kaldes Fibonacci tallene. Man kan vise at a n + 5 a n- 2 steder i naturen. som er det gyldne snit. Vi finder Fibonaccitallene mange

13 side3 Indledning med tegning af grafen for funktionen f(x) = x 3 4x, og indtegning af tangenter i forskellige kurvepunkter samt en grafisk aflæsning af lokale maksimum- og minimumspunkter. Vi kan finde " det lokale maksimumspunkt ", hvis vi kan finde tangenthældningen udtrykt ved x, og herefter sætte udtrykket lig med nul. Interaktiv øvelse i indledning i differentialkvotient:

14 Differentialkvotient side4 Bestemmelse af hældningen af grafen i ét punkt : METODE: (tretrinsreglen) Udregn funktionstilvæksten Δf = f(x + Δx) f(x) og reducer Udregn differenskvotienten Δf Δx og reducer Undersøg om Δf har en grænseværdi for Δx gående mod nul. Δx En ret linie gennem to punkter på grafen kaldes en sekant. Differenskvotienten er således en sekanthældning. Hvis den har en grænseværdi for Δx gående mod nul, definerer vi hældningen i punktet som denne grænseværdi. Definition af differential - kvotient En funktion siges at være differentiabel i x, hvis differenskvotienten Δf f(x + Δx) f(x) = Δx Δx har en grænseværdi for Δx gående mod nul. lim Δx 0 Δf Δx kaldes differentialkvotienten og betegnes med f '(x) Tangent til en differentiabel kurve Definition af tangent Hvis en funktion f er differentiabel i x 0 med differentialkvotienten f '(x 0 ), så kaldes linien gennem (x 0, f(x 0 )) med hældningskoefficienten f '(x 0 ) for tangenten til grafen for f i røringspunktet (x 0, f(x 0 )) Tangentens ligning: Ligningen for tangenten til grafen for f i røringspunktet (x 0, f(x 0 )): y = f(x 0 ) + f '(x 0 )(x x 0 ) Den lineære funktion, hvis graf er lig med tangenten i punktet (x 0, f(x 0 )), kaldes det approksimerende førstegradspolynomium: p(x) = f(x 0 ) + f '(x 0 )(x x 0 )

15 Bestemmelse af differentialkvotienter for elementære funktioner side5 funktion differentialkvotient med potensnotation: f(x) = f '(x) = 0 (x 0 ) = 0x - f(x) = x f '(x) = (x )' = x 0 f(x) = x 2 f '(x) = 2x (x 2 )' = 2x f(x) = x 3 f '(x) = 3x 2 (x 3 )' = 3x 2 f(x) = x 4 f '(x) = 4x 3 (x 4 )' = 4x 3 f(x) = x f '(x) = - x 2 (x - )' = -x -2 f(x) = x f '(x) = 2 x (x ½ )' = ½x -½ I forbindelse med reduktion i tretrinsreglen er Pascals Trekant nævnt: Eksempelvis bruges 4. række til at udregne: (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Differentialkvotient og tangentligning på TI-89 TI-89 er et stærkt redskab til bestemmelse af differentialkvotienter hvilket nedenstående eksempler viser med al tydelighed: Bemærk at TI-89 kan differentiere symbolsk, og at vi med ovenstående eksempler får regnereglerne:

16 f(a) = a x f (x) = ln(a) a x side6 h(x) = f(x) g(x) h (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( produktreglen ) I ovenstående eksempel er 2 x 2 3 x + 2 indtastet som y, f (2) er beregnet, ligningen for tangenten i (2,f(2)) er beregnet numerisk i grafvinduet og det approksimerende førstegradspolynomium ( taylorpolynomium ) er beregnet eksakt. Bemærk at y = 5 (x 2) + 4 y = 5x 6 På side 49 i Eksempelsamlingen for TI-89 er der også enoversigt over TI-89 's faciliteter til bestemmelse af differentialkvotienter og tangentligninger. Differentialkvotient og kontinuitet: Vi kan groft ( og intuitivt ) inddele de reelle funktioner i tre typer: ) Funktioner med "spring" i grafenfunktioner med "sammenhængende" graf ( de kontinuerte funktioner) 2) Funktioner med "bløde" grafer ( de differentiable funktioner) Sætning: Hvis f er differentiabel i x, så er f kontinuert i x Bemærk at TI-89 tegner grafen for en funktion ved at forbinde gitterpunkter (pixels). Man kan således ikke se eventuelle huller i grafen. At det også kan være svært at observere en variation i grafen, kan ses af nedenstående eksempel: Figuren viser grafen for samme funktion : f(x) = 0,x 2 - x 4 +. På figuren til højre er zoomet kraftigt ind på skæringen med y-aksen. Vi får senere metoder til at undersøge en funktions variation.

17 Regneregler for differentialkvotienter side7 OVERSIGT: Sum og differens Hvis f og er differentiabel i x, så er f + g og f - g differentiable i x og (f ± g )'(x) = f'(x) ± g'(x) Konstant gange en funktion Hvis f og er differentiabel i x og k et reelt tal, så er k f differentiabel i x og (k f) '(x) = k f'(x) Produkt Hvis f og er differentiabel i x, så er f g differentiable i x og (f g )'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) Brøk Hvis f og er differentiabel i x, så er f differentiable i x og g ( f f'(x) g(x) f(x) g'(x) )'(x) = g (g(x)) 2 Potensfunktionerne f(x) = x r hvor r R og x >0 er differentiable med Potens funktion f'(x) = r x r Sammensat funktion Hvis g er differentiabel i x og f er differentiabel i y = g(x), så er f(g(x)) differentiabel i x og (f (g(x)) = f (g(x)) g (x)

18 side8 Bemærkninger til sætningerne: Reglerne om sum, differens, produkt, brøk, sammensat funktion og en konstant gange en funktion kan vises direkte ud fra definitionen på differentiabilitet - dvs. reglerne vises vha. tretrinsreglen. Potensfunktioner. Regnereglen (x r )' = r x r er vist for r = -, 0,,2,3,4. For r = ½ giver sætningen eller ( x) = 2 x (x )' = x = 2 2 x 2 Regnereglen gælder imidlertid for alle reelle eksponenter. Eksempel på anvendelse af reglen om differentiation af en potensfunktion: 3 x x Differentier funktionen f(x) = 4 x METODE: Brøken omskrives til en potens: x x x 3 x x 4 = x x 3 x ( x ) 4 2 = x x 3 4 x x x = = x Vi får da f'(x) = x Differentialkvotienter af nogle andre funktioner f(x) = e x f(x) = a x f(x) = e k x f (x) = e x f (x) = ln(a) a x f (x) = k e k x f(x) = ln(x) f (x) = x f(x) = log(x) f (x) = ln(0) x f(x) = sin(x) f(x) = cos(x) f (x) = cos(x) f (x) = sin(x) f(x) = tan(x) f (x) = + (tan(x)) 2

19 Bestemmelse af differentialkvotient side9 Funktion givet ved forskrift Differentialkvotienten bestemmes vha. regneregler for differentiation eller vha. TI-89 Eks f(x) = 3x 4 + 4x x f (x) = 2x x 2 f ( ) = 7 Funktion givet ved graf Differentialkvotienten i et punkt aflæses ved at tegne en tangent i punktet og udregne hældningen Δx/Δy ( husk at der kan være forskellig enhed på akserne!!) Funktion givet ved en tabel. En model kan evt. findes ved hjælp af regression og forskriften genmmes i variablen y. Herefter kan differentialkvotienten bestemmes. Differentialkvotient som væksthastighed. Væksthastighed skal forstås generelt ændring i y-værdi i forhold til ændring i x-værdi f (x) Δx/Δy Dvs. hvis y er længde målt i kilometer og x er tid målt i timer så er hastigheden ændring i længde pr. time. Hvis y er trykket og x er temperaturen så er hastigheden f (x) ændring i tryk pr. grad. Tangentbestemmelse Vi kan bestemme ligningen for en tangent til en graf givet ved en funktionsforskrift ved hjælp af sætningen: Sætning om tangent Ligningen for tangenten til grafen for f i røringspunktet (x 0, f(x 0 )): y = f(x 0 ) + f '(x 0 )(x x 0 ) TI-89 - bestemmelse af tangent. Tangenten kan bestemmes grafisk ( numerisk ) eller analytisk ( eksakt )

20 Eks. side20 Tangenten til grafen for f(x) = x-2 i ( ;f()) Det approksimerende.gradspolynomium er det samme som Taylorpolynomiet af grad. Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Sætning om monotoni - forhold Hvis f er en differentiabel funktion i et interval I gælder: f'(x) > 0 for alle x I f er voksende i I f'(x) < 0 for alle x I f er aftagende i I f'(x) = 0 for alle x I f er konstant i I Bemærk at hvis f er voksende i I kan vi slutte at f'(x) 0 for alle x og hvis f er aftagende i I kan der sluttes at f'(x) 0 for alle x Sætning om lokalt ekstremum Hvis f er differentiabel i x og har lokalt ekstremum i x gælder der at f'(x) = 0 Bemærk at det omvendte ikke gælder. Der kan f.eks. være vendetangent i punktet. METODE til bestemmelse af monotoniforhold : Antag at f er differentiabel med kontinuert afledet i et interval. Da bestemmes monotoniforholdet for f således: ) Beregn f'(x) 2) Løs f'(x) = 0 3) Tegn en tallinie med nulpunkterne for f'(x) afsat på linien. De deler således tallinien op i nogle delintervaller ( monotoni intervallerne ). 4) Da f'(x) er forudsat kontinuert har f'(x) konstant fortegn i disse intervaller. Find fortegnet for f'(x) i intervallerne ved at indsætte et tal fra intervallet i f'(x). 5) Brug sætningen om monotoniforholdet til at opskrive monotoniintervallerne.

21 side2 Lokale ekstrema: Ifølge sætningen om lokalt ekstremum er f'(x) = 0 i disse punkter. Der er følgende mulige fortegnsvariationer: x x 0 f'(x) + 0 Lokalt maksimum x x 0 f'(x) 0 + Lokalt minimum x x 0 f'(x) 0 Vendetangent x x 0 f'(x) Vendetangent Værdimængde: Antag f er differentiabel i et interval. Fra tidligere sætninger ved vi at værdimængden er et interval, og at maksimum og minimum skal søges blandt punkter, hvor f'(x) er nul og eventuelle endepunkter i intervallet. Hvis definitionsintervallet ikke er lukket og begrænset, skal der foretages en grænseværdi undersøgelse for f(x). Optimering: Metode til løsning af optimeringsproblemer. Indfør en parameter ( variabel ), således at den størrelse der skal optimeres kan udtrykkes som en differentiabel funktion af parameteren. Løsning af problemet bliver så at finde største - eller mindsteværdi for en differentiabel funktion. Eksempel på optimering: En cylinderformet dåse med indhold L liter ønsket fremstillet med mindst muligt materialeforbrug. Hvad er forholdet mellem højde og diameter på dåsen?

22 Rumfanget er givet ved V = π r 2 h Overfladen er givet ved O = 2 π r π r h side22 π r 2 h = L h = L 2 (*) som indsættes i udtrykket for overfladen. π r Hermed får vi overfladen som funktion af r alene: O(r) = 2 π r π r L π r 2 = 2 π r2 + 2L r O (r) = 4 π r 2L r 2 O (r) = 0 4 π r = 2L r 2 πr 2 = L/2r indsat i (*) giver det h = 2r h/2r = Altså skal forholdet mellem diameter og højde være for at bruge mindst materiale til fremstillingen.