Risikoholdning og valg af porteføljeandele

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Risikoholdning og valg af porteføljeandele"

Transkript

1 Handelshøjskolen i København Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Projektvejleder: Lars Thorlund-Petersen Kandidatafhandling på Erhvervsøkonomi-Matematik-Studiet 2004 Risikoholdning og valg af porteføljeandele Af Lau Larsen Anders Plum

2 1 Summary in English The main objective of this thesis is to develop models that can choose optimal asset proportions. These models are basing the choice of optimal asset proportions on the use of utility maximization for investors with exponential utility functions. To solve the different models, we have implemented each one in a computersolution. The first step in the solution is obtained, by simulating the returns of risky assets, assuming that the returns are normally distributed. The second step is to simulate the utility that a riskaverse investor will have of different asset proportions. After completing the simulations it is possible to find the asset proportions that maximize the utility of the investor. The theory behind the development of the models includes relations, stochastic dominance, utility theory and risk profiles. To give an overview of the computational basis of the solution, a description of Monte-Carlo simulation is given. In the section about Procentual rules, we give a solution on how it s possible to set up rules to choose asset proportions, especially a 50%-rule. The proportions given are the least amount an investor should invest in one asset, in a portfolio of two assets. The models we have evolved have the objective, to give one optimal solution in a situation where the investor has to choose between two risky assets. One model includes a riskless asset as well, to enhance the investment possibilities. We have named this model the (2+1)-model, while the first is named the 2-asset model. With these models we have shown, that they give a satisfactory solution. This is shown by analysis of different changes in the parameters of the model, which shows how the asset proportions and utility is affected. The two models are then compared with CAPM, where it is shown that the model with the riskless asset included, performs better than the marketportfolio in CAPM, from a utility-maximizing point of view. To make it possible to construct portfolios with more than two risky assets in this framework, we have constructed a method that can combine the solutions from our 2- asset model, to form solutions with a higher number of assets than two. 1

3 Indholdsfortegnelse 1 SUMMARY IN ENGLISH PROBLEMFORMULERING INDLEDNING BASALE BEGREBER OPBYGNING AF OPGAVEN RELATIONER SPECIFIKKE RELATIONER STOKASTISK DOMINANS STOKASTISK DOMINANS AF 1. GRAD Eksempel på førstegrads dominans STOKASTISK DOMINANS AF 2. GRAD Eksempel på andengrads Stokastisk dominans STOKASTISK DOMINANS AF HØJERE GRAD RISIKO PRÆFERENCER RISIKONEUTRAL RISK LOVERS RISIKOAVERS ANDRE RISIKOTYPER DIVERSIFICERING DIVERSIFICERING MED MARKOVITZ MIDDELVÆRDI-VARIANS BEGREB BETINGELSER FOR DIVERSIFICERING Taleksempel PROCENT-REGLER %-REGLEN ANDRE REGLER MONTE-CARLO SIMULATION METODE Eksempler PORTEFØLJEVALGSMODEL MED 2 AKTIVER METODEBESKRIVELSE

4 Eksempel med fælles tæthed Grundlag for brug af normalfordeling Nyttefunktioner Antagelser for 2-aktiv modellen METODE TIL AT FINDE RISIKOTOLERANCEN R IMPLEMENTERING I MATLAB Test af præcisionen ÆNDRING I PARAMETRENE Ændring i Standardafvigelsen på begge aktiver Ændring i Middelværdi på Y Ændring i Standardafvigelsen på Y Ændring af Risikotolerancen Ændring af korrelationen KONKLUSION PÅ 2-AKTIV MODELLEN FORBEDRINGER TIL PROGRAMMET (2+1)-MODELLEN METODEBESKRIVELSE IMPLEMENTERING I MATLAB Nyttefunktion Gennemgang af programmet ANALYSE AF METODEN Ændring i Middelværdi på Y Ændring i standardafvigelsen på aktiv Y Ændring af risikotolerancen Ændring af korrelationen KONKLUSION PÅ (2+1)-MODELLEN TEST AF (2+1)-MODELLEN MOD CAPM BESKRIVELSE AF CAPM Antagelser for CAPM CML Metode til at finde markedsporteføljen RESULTATER Porteføljeandele af Microsoft og McDonalds Porteføljeandele af Pepsi Cola og Coca-Cola KONKLUSION PÅ SAMMENLIGNING MED CAPM FLERAKTIVSMODELLEN

5 13.1 TRE AKTIVER Metode Normalfordelingsteori Metode til at udlede porteføljevægtene Eksempel med Coca-Cola, Pepsi og Microsoft Løsning LØSNING AF FLERAKTIVMODELLEN MED MERE END 3 AKTIVER KONKLUSION PÅ FLERAKTIVSMODELLEN KONKLUSION LITTERATURLISTE BILAG 1: MATLAB-KODE TIL 2-AKTIV MODELLEN BILAG 2: MATLAB-KODE TIL (2+1)-MODELLEN

6 2 Problemformulering I denne kandidatafhandling viser vi, at det er muligt, at opstille en model for valg af porteføljer, med udgangspunkt i bestemte nyttefunktioner, der giver et bedre resultat end CAPM. Vi fokuserer på metoder til at vælge mellem to aktiver X og Y. Blandt andet viser vi, at der er generelle regler, der kan anvendes af grupper af agenter med samme risikoprofil. Som eksempel på sådan en regel, kan nævnes 50%-reglen: Kan det siges om en risikoavers person (u 0) at denne altid vil vælge mindst 50% af aktiv X, hvis han har valget mellem aktiv X og Y. Som værktøj til metoderne i afhandlingen, benyttes stokastisk dominans af første, anden og tredje grad, samt nyttefunktioner. Til udledning af fordelinger tages computersimulation i brug og der benyttes optimeringsmetoder til at løse problemer omkring porteføljevalg. Vi beskriver teorien bag stokastisk dominans og risikotype hos agenter samt områder inden for diversificering. Derudover beskrives også anden teori, når vi finder det nødvendigt. Vi udvikler en model, der kan løse porteføljevalgsproblemer for 2 risikofyldte aktiver. Denne model undersøges og det vurderes om den kan benyttes til at finde optimale porteføljer. Dernæst udvikler vi en model der også inkluderer et risikofrit aktiv. Dette er med henblik på at øge valgmulighederne for en investor og for at kunne sammenligne med CAPM-modellen (Markedsporteføljen). Grunden til, at vi udvikler disse to modeller er, at vi ikke kender modeller til valg af porteføljer, med mere end et risikofyldt aktiv, som benytter nytteoptimering til at finde aktivernes vægte. Derudover giver denne type model en potentiel investor en eksakt løsning på porteføljevalgsproblemet. 5

7 For at sætte de fundne modeller i perspektiv, vil vi sammenligne dem med porteføljevalgsmodellen CAPM, idet den er den mest udbredte og kendte porteføljevalgsmodel. Målet er, at vise, at de modeller vi udvikler, er mere optimale, at bruge for en risikoavers investor. Det gør vi ved at beskrive, hvorledes vores model tager højde for den enkelte investors nyttefunktion, i modsætning til CAPM. Som en afslutning vil vi vise, hvordan de udviklede modeller kan udvides til, at benyttes til valg af porteføljer med mere end to risikofyldte aktiver. Her er målet at finde en enkel metode, der kan benyttes på empiriske afkast for kendte aktier. 6

8 3 Indledning Der vil ofte være investerings-situationer, hvor beslutninger skal foretages på et usikkert grundlag. Forkerte beslutninger kan koste dyrt. Det er derfor hensigtsmæssigt at finde metoder til at vurdere, hvilke beslutninger der er bedst at tage. Vores fokus i denne opgave er at finde nye metoder til at beslutte, hvordan en investor skal sammensætte en portefølje af finansielle aktiver. Der er flere metoder at vælge imellem til dette formål, og den mest udbredte er CAPM. Det har dog vist sig empirisk, at CAPM ikke er fejlfri, og ikke giver en entydig portefølje, idet der blot findes en efficient rand, hvor alle porteføljer er lige gode. Vi ønsker at finde metoder, der kan undgå disse problemer og give et mere entydigt resultat. Derfor har vi valgt at udvikle metoder, der med udgangspunkt i bestemte grupper af investorers nyttefunktioner kan beregne det optimale valg af porteføljesammensætning. 3.1 Basale begreber Der er tre basale begreber i nytte-teori. Det er nyttefunktioner, forventet nytte og risikopræferencer, der belyses i opgaven. Dette er essentielt, da der er en sammenhæng imellem disse begreber. Nyttefunktioner repræsenterer, hvilken nytte et individ opnår ved at besidde en bestemt formue, det kan være penge eller andre værdifulde aktiver. Det forudsættes, at ethvert individ ønsker, at opnå den størst mulige nytte, og dette vil influere på enhver beslutning. Hvis der skal investeres i et sikkert aktiv, vil aktøren vide hvilken nytte, der vil opnås ved denne investering, og han vil foretage investeringen, hvis nytten er større, end hvis investeringen ikke foretages. Så længe der kun arbejdes med sikre investeringer, er optimering af nytten nogenlunde ligetil. Når der kommer et usikkerhedselement ind i billedet, da er det nødvendigt at vurdere, hvad den forventede nytte af en investering er. Den forventede nytte findes ved at finde nytten af alle sandsynlige udfald af en investering og derefter vægte dem med deres sandsynlighed. Ved at finde den forventede nytte af en investering kan en investor sammenligne med 7

9 nytten af ikke at investere, og derved vælge om den usikre investering skal foretages. Forventet nytte kan også anvendes til at sammenligne forskellige usikre investeringer. Ved at finde den forventede nytte for to usikre investeringer, kan investoren se, hvilken han vil få størst forventet nytte af, og derved hvilken han bør vælge. Det lyder ligetil at finde den forventede nytte af usikre investeringer, men det kan ofte være vanskeligt at finde en investors nøjagtige nyttefunktion. Der er nogen overordnede kategorier, som investorens potentielle nyttefunktioner kan findes i. Han kan være risikoavers, risiko-neutral eller risiko-lover. Disse kategorier dækker meget bredt, og der er mange forskellige typer nyttefunktioner, som en investor kan have. De omtalte kategorier er de, der kaldes individets risikopræferencer. Investorer med forskellige risikopræferencer vil ikke have samme forventede nytte af en usikker investering. Derfor er det vanskeligt at anbefale en bestemt type investering til alle investorer, da det langt fra er sikkert, at alle vil få øget nytten. 3.2 Opbygning af opgaven Målgruppen til denne kandidatafhandling forventes at have en indsigt i økonomi, matematik og statistik, der svarer til niveauet på en højere universitetsuddannelse, hvor matematik og økonomi indgår. Teorien som beskrives her, er den som menes at gå udover, hvad der forventes af målgruppens faglige viden. Store dele af teorien bygger på følgende litteratur: (Sydsæter 1, 1996), (Sydsæter 2, 1996), (Tjur, 1998) og (Tjur, 1999). Der vil, så vidt det er muligt omfang, blive benyttet danske udtryk og betegnelser, men da ikke alle udtryk har en korrekt dansk oversættelse, vil der forekomme engelske udtryk i teksten. For at lette forståelsen af metoderne til valg af porteføljesammensætning, starter vi med en gennemgang af den benyttede teori. Denne teori er beskrevet fra afsnit 4 til afsnit 7. 8

10 I afsnit 4 gennemgås vigtige begreber inden for relationer. Afsnit 5 behandler teorien omkring stokastisk dominans, med beskrivelser af de forskellige grader af dominans. I afsnit 6 gennemgås risikopræferencer og forskellige risikotyper for investorer. Diversificering bliver beskrevet og analyseret i afsnit 7. Efter teoriafsnittene, gennemgås i afsnit 8, procent-regler for porteføljevalg, med fokus på 50%-reglen. I afsnit 9, gennemgås teorien omkring Monte-Carlo, der er baggrund for computerberegningerne til løsning af de udviklede modeller. Afsnit 10, 11 og 13 gennemgås de modeller vi har udviklet til valg af porteføljeandele. Det er henholdsvis 2-aktivs modellen, (2+1)-modellen og fleraktivsmodellen, der bliver beskrevet. I afsnit 12, sammenlignes vores (2+1)-model og 2-aktiv model med CAPM. Konklusion og litteraturliste er at finde i afsnit 14 og 15 og herefter følger bilagene med programkoderne. For at opnå en kontinuitet i metodebeskrivelserne, vil vi i opgaven arbejde os fra de simple modeller frem til de mere avancerede modeller. Vi arbejder os fra modeller med 2 aktiver frem til n aktiver. For at få et resultat der er nemt at fortolke på, har vi valgt primært at beskæftige os med den klasse af nyttefunktioner, der hedder eksponentielle nyttefunktioner. Det gør vi da denne type nyttefunktioner kun har en variabel, der bestemmer en investors risikoprofil. Denne variabel er let at udlede. På baggrund af den beskrevne teori og disse nyttefunktioner udvikles modellerne til porteføljevalg. 9

11 4 Relationer For at give en forståelse af, hvordan agenters præferencer kan rangordnes, bliver præferencerelationer gennemgået i det følgende. Disse præferencerelationer er et vigtigt grundlag for teorien omkring stokastisk dominans og risikoholdning, så de bliver beskrevet, da det er vigtigt at have definitionerne på plads. Vi tager udgangspunkt i teori beskrevet af Kreps (Kreps, 1988). Både hvordan han fremstiller relationer samt deres egenskaber. Der beskrives egenskaber for forskellige relationer, hvor B står for en givet relation (Eksempelvis relationen = ) og B står for den negerede relation (Eksempelvis ). Der findes en lang række egenskaber som relationer kan besidde. I det følgende er beskrevet begreber om relationer der er værd at kende: Refleksiv, hvis xbx for alle x X Irrefleksiv, hvis x B ~ x for alle x X Symmetrisk, hvis xby medfører ybx Asymmetrisk, hvis xby medfører y B ~ x Antisymmetrisk, hvis xby og ybx medfører x = y Transitiv, hvis xby og ybz medfører xbz Negativt transitiv, hvis x B ~ y og y B ~ z medfører x B ~ z Komplet/Forbundet, hvis der gælder for alle x, y X at xby eller ybx eller begge dele. Svagt komplet/svagt forbundet, hvis der gælder for alle x, y X at xby eller ybx eller x = y Acyklisk hvis x1 Bx2, x2bx3, x n 1Bxn medfører x1 xn For at lette forståelsen af ovenstående begreber beskrives en række illustrative eksempler. Der gennemgås 4 simple eksempler, som illustrerer sammenhænge hvor de fleste af relationerne optræder, samt hvilke restriktioner de overholder og hvorfor de gør det. 10

12 Eksempel: X er lig med alle mennesker i Danmark og B er relationen deler mindst et navn Her kan det se at relationen B er refleksiv og symmetrisk. Den er refleksiv, da alle personer, x, står i relation med sig selv, fordi alle x deler mindst et navn med sig selv. Den er symmetrisk, da hvis person x deler mindst et navn med person y, så deler person y også mindst et navn med person x Eksempel: X er lig med alle naturlige tal, og B er relationen større end eller lig med ( ) Her er relationen B refleksiv, antisymmetrisk, transitiv, negativt transitiv, komplet og svagt komplet. Denne relation er refleksiv, fordi et tal x altid er lig med sig selv. Den er antisymmetrisk, da et naturligt tal x, der er større end et tal y ikke også vil være mindre end y. Hvis et tal x er større end eller lig et tal y, som så samtidig er større end eller lig med et tredje tal z, så vil x være større end eller lig med z, hvilket gør relationen transitiv. Relationen er negativt transitiv, da det gælder at hvis et tal x er mindre end eller lig et tal y, som samtidig er mindre end eller lig et tal z, så vil x være mindre end eller lig z. Relationen er komplet og svagt komplet, da et tal x altid vil værre større end eller lig med et andet tal y eller omvendt Eksempel: X R og B er relationen xby hvis x y > 1 Her er relationen B irrefleksiv og symmetrisk. Den er irrefleksiv, fordi den numeriske værdi af to tals difference skal være større end 1, da må de to tal i alle tilfælde være forskellige. Relationen er symmetrisk, da den numeriske værdi af forskellen på x og y altid vil være ens, selvom x og y byttes. 11

13 Eksempel: X R og B er relationen xby hvis x y Z Her er relationen B refleksiv, symmetrisk og transitiv. B er refleksiv da et tal x fratrukket sig selv altid giver 0, som er et heltal. Relationen er symmetrisk, da det gælder, at hvis et tal y subtraheret fra et andet tal x giver et helt tal, så vil x subtraheret fra y også give et heltal. Transitiviteten skyldes, at hvis x y skal give et helt tal, så skal alle decimaler være ens. Det samme gælder for y z og derved vil dette også gælde for x z. Eksempelvis vil 5,3 4,3 være et helt tal og 4,3 2,3 være et helt tal. Så vil 5,3 2,3 også være et helt tal. I afsnit 5 beskrives Stokastisk dominans, som er en præferencerelation, der er refleksiv, antisymmetrisk, transitiv og negativt transitiv. 4.2 Specifikke relationer En meget brugbar relation i forbindelse med nyttefunktioner er stærkt foretrækker. Det skrives som x y, hvis x er stærkt foretrukket frem for y, samt som x / y, hvis x ikke er stærkt foretrukket frem for y. Denne relation har følgende egenskaber: Asymmetri: Hvis x foretrækkes frem for y, så foretrækkes y ikke også frem for x. Denne egenskab gør det muligt at rangordne x og y. Transitivitet: Denne egenskab gør, at alle medlemmer af en mængde kan rangordnes, da det gælder, at når x y og y z, så er x z. Irrefleksivitet: Et element vil ikke foretrækkes frem for sig selv, da det ikke gælder, at x x. Negativ transitivitet: Dette gør, at x ikke foretrækkes stærkt frem for z, når det gælder at x / y og y / z. 12

14 En interessant egenskab er, at man ud fra relationen kan konstruere to andre relationer, som er interessante i denne sammenhæng: x y : Denne relation konstrueres ud fra y / x x ~ y : Denne relation svarer til x / y x / y I megen litteratur bliver relationen konstrueret udfra, altså omvendt af hvad vi gør. Dette gælder især inden for den mikroøkonomiske litteratur, hvor sammenhængen er beskrevet som: x y : bliver konstrueret ud fra x y x / y Relationen kaldes for svagt foretrukket, og den er komplet og transitiv. Denne relation bruges om elementer, hvor x y blot betyder, at x altid foretrækkes mindst lige så meget som y. Den anden relation ~ kaldes for indifferens, og den har egenskaberne refleksiv, symmetrisk og transitiv. Dette er for de tilfælde, hvor et element ikke foretrækkes frem for et andet. Man kan ud fra disse tre relationer udlede følgende egenskaber: x y x y x~ y x y hvis x y x~ y w x, x~ y, y z w y x z Vi vil løbende i opgaven benytte de beskrevne relationer og begreber, uden at komme videre ind på det. 13

15 5 Stokastisk Dominans I dette afsnit opsummeres teorien bag stokastisk dominans, med udgangspunkt i artikler omhandlende stokastisk dominans af Haim Levy (Levy, 1992), af J. Mayer (Mayer, 1977) samt (Hadar, Russell og Seo, 1988). Stokastisk dominans er et vigtigt værktøj i de analyser og modeller, der opstilles senere og det er som tidligere nævnt en præferencerelation, hvilket vil fremgå af den følgende gennemgang. Stokastisk dominans er en metode til at rangordne fordelinger og den findes i varianter fra 1. grads dominans til n te grads dominans. Det er en partiel relation, der er refleksiv, antisymmetrisk, transitiv og negativt transitiv. Dette følger af, at det er en relation mellem to kontinuerte fordelinger af reelle tal. Vi har valgt at belyse den svage form for stokastisk dominans, hvor der ikke er krav om, at A altid foretrækkes strengt frem for B, der skal blot være indifferens. Den svage form vælges da det også er interessant at medtage relationer mellem aktiver, hvor der kan eksistere indifferens. Dette betyder så i princippet, at A vil kunne stokastisk dominere A. Det vil derfor forudsættes i følgende gennemgang, at stokastisk dominans kun vil gælde, hvis A B. Når der forekommer stokastisk dominans af en bestemt grad, vil alle højere grader af stokastisk dominans være gældende. F.eks. hvis A førstegrads dominerer B, så vil A også andengrads dominere B osv. 5.1 Stokastisk dominans af 1. grad For at få et overblik over hvad stokastisk dominans er, beskrives 1. grads dominans først. 1. grads dominans er den stærkeste form for dominans og der er færrest krav der skal være opfyldt for at den gælder. For at beskrive 1. grads dominans (FSD), kigges på to aktiver, X og Y. X har tæthedsfunktionen f(x) og Y har tæthedsfunktionen g(x). Så er Y 1. ordens domineret af X, hvis og kun hvis: 14

16 c c g( x) dx f ( x) dx c u ' 0 Fordelingsfunktionen for g(x) skal være større end eller lig fordelingsfunktionen for f(x). Dette betyder med andre ord, at X altid har større sandsynlighed end Y for at give det største afkast. For at dette skal gælde, skal det samtidig gælde at alle agenter har mindst lige så stor nytte ved et øget afkast, hvilket vil sige at den 1. afledte af nytten skal være større end eller lig 0 (u 0). En anden måde at se FSD på er ved at betragte den forventede nytte for alle afkast, da skal det gælde at: Eu( X ) Eu( X ) F G u U1 Hvor U 1 er alle u, hvor u 0. Hvis dette gælder vil X dominere Y. Det er muligt at opstille sammenhængen mellem (5.1.1) og (5.1.2), ved at betragte ekstreme funktioner der er elementer i den repræsentative mængde U 1. Et sådant element defineres som: for ( ) w u c c w = 1 for w> c Dette er en såkaldt trappefunktion, der er en ægte delmængde af mængden af positivt voksende funktioner. Dette er en ekstrem funktion, da den kun betragter agenter, som enten har en nytte på nul eller på en, alt efter om værdien w af et aktiv ligger over eller under en bestemt værdi c. Der findes ingen nyttefunktioner i mængden af positivt voksende ikke-stigende funktioner, med en mindre hældning end trappefunktionen, da c den har en 1. afledt på u' = 0, w c. Alle agenter med en u ( w ) nyttefunktion vil have en nytte, der ikke falder med afkastet, og de er derfor med i U 1. 15

17 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 u(w) 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0,2 w Figur Tre ekstreme trappefunktioner givet ved u c (w) Ved at betragte flere trappefunktioner, kan man få et billede som i Figur Her ses tre forskellige trappefunktioner. Ved at kombinere disse trappefunktioner opnås en sammensat nyttefunktion, som vist i Figur Ved at betragte denne sammensatte funktion ses det, at man ved at øge antallet af trappefunktioner, kommer tættere på en differentiabel og konkav nyttefunktion, som vil være perfekt ved et uendeligt antal trappefunktioner. Derved illustrerer figuren, at en trappefunktion er en tilnærmelse til en differentiabel funktion, og det ses at trappefunktionen kan bruges som ekstrem-funktion for u 1 (w). 16

18 1,6 1,4 1,2 1 u(w) 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2 w Figur Kombinationer af trappefunktioner fra u c (w) c Ved at betragte nyttefunktionen u ( w ) fra for aktiv X og Y, kan det ses at nytten ved aktiv Y vil være mindst lige så stor som nytten ved aktiv X, hvis værdien af Y højst er den samme som værdien af X. Dette gælder for alle værdier af c. Derfor vil det også gælde for alle andre positive ikke-stigende nyttefunktioner, da denne trappefunktion er mest ekstrem i U 1. Denne relation for den forventede nytte ses i 5.1.2, der ved omskrivning giver: Eu( X ) Eu( X ) Eu( X ) Eu( X ) 0 F G F G Ligeledes kan man slutte, at hvis aktiv X har en tæthedsfunktion, der for alle afkast op til en værdi c altid er mindre end tæthedsfunktionen for aktiv Y, så vil en investor med en C u ( w) - nyttefunktion altid foretrække X mindst lige så meget som Y, da værdien af aktiv X altid vil være mindst lige så stor som for aktiv Y. Denne svage relation er den samme som ses i En omskrivning af giver: 17

19 c c c g( x) dx f ( x) dx ( g( x) f ( x)) dx 0 c Det følger dermed at og er analoge med hinanden. Dette er et interessant resultat, da man derved kan vælge både at betragte stokastisk dominans ud fra en investors forventede nytte af to aktiver, eller man kan afgøre stokastisk dominans ved hjælp af fordelingen af afkast for de to aktiver Eksempel på førstegrads dominans For bedre at kunne forstå idéen bag stokastisk dominans følger her et lille eksempel med 2 aktiver, X og Y. Vi har benyttet et eksempel med afkastet for de to aktiver over otte tidsperioder. De to aktivers afkast ses i Tabel 5.1.1, aktiv X har en middelværdi på 0,01625, mens aktiv Y har en middelværdi på 0, Der er benyttet ækvidistante afkast til at repræsentere de to aktiver. Hver observation vægter med 1/n, altså 1/8 i dette tilfælde. Denne metode er før beskrevet af Fishburn og Lavalle (Fishburn og Lavalle, 1995) Tid X Y 1-0,01-0,02 2-0,02 0,03 3 0,04 0,02 4 0,03 0, ,03 6 0,04-0,01 7 0,02 0,01 8 0,03 0,03 Tabel Afkast for de to aktiver 18

20 Det undersøges nu om et af aktiverne dominerer det andet, for at afgøre om det ene kan siges at foretrækkes frem for det andet, ud fra definitionen for FSD. For at undersøge stokastisk dominans af første grad antages det, at alle agenter har en nytte, der stiger med afkastet. De kumulative sandsynligheder findes ved at rangordne observationerne. Fordelingen af afkastene kendes ikke, hvilket gør, at der bruges diskrete observationer for den kumulative sandsynlighed. x X Y -0,03 0 0,125-0,02 0,125 0,25-0,01 0,25 0, ,375 0,375 0,01 0,375 0,5 0,02 0,5 0,75 0,03 0,75 1 0, Tabel Akkumulerede punktsandsynligheder I Tabel ses de akkumulerede punktsandsynligheder ved hver x-værdi. Det gælder for alle x-værdier at Y(x) X(x). Dermed er kravet i opfyldt, hvormed aktiv A stokastisk dominerer aktiv B af første grad. Det er i eksemplet antaget at fordelingen er kontinuert, selvom den i virkeligheden er diskret. c c g( x) dx f ( x) dx x u ' 0 Grafisk ser den akkumulerede sandsynlighed ud som i følgende figur: 19

21 1,2 Akkumulerede punktsandsynligheder 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Y X 0-0,03-0,02-0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 x Figur Eksempel på diskret akkumuleret sandsynlighedsfunktion for 2 aktiver Som det kan ses så er den akkumulerede sandsynlighed for Y altid mindst lige så stor som for X. Af grafen kan intuitionen ses ved at sandsynlighedsmassen for afkast på Y ligger mere i den negative del af x-aksen end afkast på X. Derfor vil en investor med u 0 altid foretrække X frem for Y, da Y, for alle afkast altid har en mindst lige så stor sandsynlighed som X, for at få det laveste afkast. 5.2 Stokastisk dominans af 2. grad FSD tager ikke højde for agenternes risikopræferencer, idet deres nytte blot skal øges, hvis afkastet øges. Hvis agenter med en mere specifik type risikoprofil skal inkluderes i konceptet om stokastisk dominans, skal der tilføjes yderligere restriktioner på agenternes nyttefunktioner. For risikoaverse agenter gælder, at nyttefunktionen er konkav, dvs. den anden afledte af nyttefunktionen er negativ (u 0). Det skal også stadig gælde at u 0. 20

22 Den Stokastiske dominans af 2. grad (SSD) er som tidligere nævnt en svagere form for dominans end FSD, der stiller et krav om, at agenterne er risikoaverse. Ved at afgrænse dominans-begrebet til investorer med en bestemt risikoprofil, vil der være en større mængde aktiver, hvor Stokastisk dominans begrebet kan bruges til at rangordne dem end ved FSD alene. For SSD gælder, at alle risikoaverse agenter foretrækker aktiv X frem for aktiv Y, hvis og kun hvis: c c G( x) dx F( x) dx c u ' 0, u '' 0 F(x) og G(x) er stamfunktionerne for f(x) og g(x) fra afsnit 5.1, der er fordelingsfunktionerne for hhv. aktiv X og aktiv Y. Disse betingelser angiver Stokastisk dominans af 2. grad. Ved i stedet at betragte den forventede nytte, vil det gælde, at SSD er opfyldt når: Eu( X ) Eu( X ) F G u U 2 Hvor U 2 er alle u, hvor u 0 og u 0. Dette kan fortolkes således, at SSD er opfyldt, når nytten for F(x) er større end nytten for G(x) for alle nyttefunktioner tilhørende risikoaverse agenter. Det er muligt at opstille sammenhængen mellem og ved følgende fremgangsmetode. Mængden af alle risikoaverse agenter er repræsenteret ved U 2 = {u u er ikke-aftagende, kontinuert og konkav på [0,1] og ' u + (0) < }. Én ægte delmængde af U 2 er defineret som U c, hvor det gælder om alle elementer: 21

23 5.2.3 c w-c for w c u ( w) =, hvor 0 < c< 1 0 for w> c Denne funktion ser ud som i Figur ,5 0 c u(w) -0,5-1 -1,5-2 w Figur Graf for u c (w), med et knæk i punktet c Man kan kombinere flere ekstreme funktioner fra u c (w), hvorved man får en funktion som vist i Figur Det kan ses, at dette giver en mere glat funktion og ved sammensætning af uendeligt mange ekstreme funktioner fra u c (w) fås en differentiabel og konkav nyttefunktion. 22

24 u(w) w Figur Kombination af ekstremfunktioner fra u c (w) Theorem 1 (Hadar og Seo, 1988) siger, at enhver agent i U c foretrækker X frem for Y, hvis og kun hvis enhver agent i U 2 foretrækker X frem for Y. Beviset for dette er at lade F og G repræsentere tæthedsfunktionen for hhv. aktiv X og aktiv Y. Så kan den forventede nytte for X skrives som: c u ( x) df( x) = ( x c) df( x) 0 0 c Ved at foretage en partiel integration af højresiden fås: c ( x c) df( x) = F( x) dx 0 0 c 23

25 Dette kan også udledes for aktiv Y, derved fås: u ( x) d[ F( x) G( X)] = [ G( x) F( x)] dx 0 c 0 c Ved en omskrivning af fås c c c G( x) dx F( x) dx [ G( x) F( x)] dx 0 Og af da den forventede nytte for en investor fra U c er u c (w) fås sammenhængen i c Eu( X ) Eu( X ) Eu( X X ) = u ( x) d( F( x) G( x)) 0 F G F G 1 0 Dermed følger det af 5.2.6, at der er en sammenhæng mellem og 5.2.2, ved kun at betragte for værdier af x > Eksempel på andengrads Stokastisk dominans Til dette eksempel på 2. grads dominans benyttes samme type eksempel som i afsnit Det, som vi ønsker at vise er, at selvom der ikke eksisterer dominans af 1. grad imellem to aktiver, så kan der stadig eksistere dominans af højere grad. Dette skyldes, at FSD er den stærkeste form for stokastisk dominans, mens SSD er svagere, da denne type har et større krav på typen af risikopræferencer, som en investor skal besidde. Kravet er, at investoren er risikoavers (u 0 og u 0), hvilket er den risikoprofil, der er mest fremherskende blandt investorer. Der er blevet ændret lidt på afkastene i forhold til eksemplet i afsnit 5.1.1, da FSD ikke skal være opfyldt her. De nye afkast for aktiv X og Y i 8 perioder ses i Tabel

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Kapitel 12: Valg under usikkerhed

Kapitel 12: Valg under usikkerhed 1 November 25, 2008 2 Usikkerhed Usikre faktorer: Fremtidige priser Fremtidig (real)indkomst Vejret Andre agenters handlinger (strategisk interaktion).... Håndtering af usikkerhed: Forsikring (sundhed,

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Hvor: D = forventet udbytte. k = afkastkrav. G = Vækstrate i udbytte

Hvor: D = forventet udbytte. k = afkastkrav. G = Vækstrate i udbytte Dec 64 Dec 66 Dec 68 Dec 70 Dec 72 Dec 74 Dec 76 Dec 78 Dec 80 Dec 82 Dec 84 Dec 86 Dec 88 Dec 90 Dec 92 Dec 94 Dec 96 Dec 98 Dec 00 Dec 02 Dec 04 Dec 06 Dec 08 Dec 10 Dec 12 Dec 14 Er obligationer fortsat

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Rettevejledning til 1. obligatoriske opgave Beslutninger og strategi

Rettevejledning til 1. obligatoriske opgave Beslutninger og strategi Rettevejledning til. obligatoriske opgave Beslutninger og strategi Christian S. Liebing og Tobias N. Thygesen Forår 00. version. Opgave Betragter en agent med vnm-præferencer. Vi får oplyst, at agenten

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:

Læs mere

Repetition Stokastisk variabel

Repetition Stokastisk variabel Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Simuleringsmodel for livsforløb

Simuleringsmodel for livsforløb Simuleringsmodel for livsforløb Implementering af indkomststokastik i modellen 9. november 2009 Sune Sabiers sep@dreammodel.dk Indledning I forbindelse med EPRN projektet Livsforløbsanalyse for karakteristiske

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier

Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Hjemmeprøve 1 Efterår 2013: Afkast og risiko ved investering i aktier Udviklingen i OMXC20 aktieindekset 2008 2013 1 1 OMXC20 er et indeks over de 20 mest omsatte aktier på Nasdaq OMX Copenhagen ( Københavns

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Investerings- og finansieringsteori

Investerings- og finansieringsteori Sidste gang: Beviste hovedsætningerne & et nyttigt korollar 1. En finansiel model er arbitragefri hvis og kun den har et (ækvivalent) martingalmål, dvs. der findes et sandsynlighedsmål Q så S i t = E Q

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS Oversigt BILAG I I THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS I I II BILAG II III GENNEMSIGTIGHEDENS BETYDNING III MATEMATISK APPENDIKS V GENERELT TILBAGEDISKONTERINGSFAKTOREN

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Kapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere præferencer?

Kapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere præferencer? Kapitel 3: Præferencer Hvordan skal vi modellere præferencer? 1. Paradigme (husk fra forrige kapitel): Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Vi har set på hvordan man kan

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Bilag 7. SFA-modellen

Bilag 7. SFA-modellen Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2

Læs mere

Bilag A. Dexia-obligationen (2002/2007 Basis)

Bilag A. Dexia-obligationen (2002/2007 Basis) Bilag A Dexia-obligationen (2002/2007 Basis) Også kaldet A.P. Møller aktieindekseret obligation (A/S 1912 B). Dette værdipapir som i teorien handles på Københavns Fondsbørs (omend med meget lille omsætning)

Læs mere

Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen

Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen 1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient

Læs mere

Note om Monte Carlo eksperimenter

Note om Monte Carlo eksperimenter Note om Monte Carlo eksperimenter Mette Ejrnæs og Hans Christian Kongsted Økonomisk Institut, Københavns Universitet 9. september 003 Denne note er skrevet til kurset Økonometri på. årsprøve af polit-studiet.

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER

UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER Undervisningseffekten udregnes som forskellen mellem den forventede og den faktiske karakter i 9. klasses afgangsprøve. Undervisningseffekten udregnes

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

Kapitel 4: Nyttefunktioner

Kapitel 4: Nyttefunktioner Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte betragtet som en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten er kardinal: Størrelsen på nyttedifferencer har betydning.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004

Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004 1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen.

Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen. Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen. FORSYNINGSSEKRETARIATET OKTOBER 2011 INDLEDNING... 3 SDEA...

Læs mere

Korte eller lange obligationer?

Korte eller lange obligationer? Korte eller lange obligationer? Af Peter Rixen Portfolio manager peter.rixen @skandia.dk Det er et konsensuskald at reducere rentefølsomheden på obligationsbeholdningen. Det er imidlertid langt fra entydigt,

Læs mere

Kapitel 1. statusseminar HERE GOES TEXT

Kapitel 1. statusseminar HERE GOES TEXT Kapitel 1 statusseminar HERE GOES TEXT 1 Kapitel Problemanalyse.1 Indledning I mange år har evolutionsteorien været centrum for en stærk debat. De som er enige om en evolution, er dog ikke altid enige

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Kapitel 7 Introduktion til statistik Organisering af data Diskrete variabler Kontinuerte variabler Beskrivende statistik Fraktiler Gennemsnit Empirisk varians og spredning Empirisk korrelationkoe

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Kapitel 13 Reliabilitet og enighed

Kapitel 13 Reliabilitet og enighed Kapitel 13 Reliabilitet og enighed Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 Version 11. april 2011 1 / 23 Indledning En observation er sammensat af en sand værdi og en målefejl

Læs mere