Risikoholdning og valg af porteføljeandele

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Risikoholdning og valg af porteføljeandele"

Transkript

1 Handelshøjskolen i København Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Projektvejleder: Lars Thorlund-Petersen Kandidatafhandling på Erhvervsøkonomi-Matematik-Studiet 2004 Risikoholdning og valg af porteføljeandele Af Lau Larsen Anders Plum

2 1 Summary in English The main objective of this thesis is to develop models that can choose optimal asset proportions. These models are basing the choice of optimal asset proportions on the use of utility maximization for investors with exponential utility functions. To solve the different models, we have implemented each one in a computersolution. The first step in the solution is obtained, by simulating the returns of risky assets, assuming that the returns are normally distributed. The second step is to simulate the utility that a riskaverse investor will have of different asset proportions. After completing the simulations it is possible to find the asset proportions that maximize the utility of the investor. The theory behind the development of the models includes relations, stochastic dominance, utility theory and risk profiles. To give an overview of the computational basis of the solution, a description of Monte-Carlo simulation is given. In the section about Procentual rules, we give a solution on how it s possible to set up rules to choose asset proportions, especially a 50%-rule. The proportions given are the least amount an investor should invest in one asset, in a portfolio of two assets. The models we have evolved have the objective, to give one optimal solution in a situation where the investor has to choose between two risky assets. One model includes a riskless asset as well, to enhance the investment possibilities. We have named this model the (2+1)-model, while the first is named the 2-asset model. With these models we have shown, that they give a satisfactory solution. This is shown by analysis of different changes in the parameters of the model, which shows how the asset proportions and utility is affected. The two models are then compared with CAPM, where it is shown that the model with the riskless asset included, performs better than the marketportfolio in CAPM, from a utility-maximizing point of view. To make it possible to construct portfolios with more than two risky assets in this framework, we have constructed a method that can combine the solutions from our 2- asset model, to form solutions with a higher number of assets than two. 1

3 Indholdsfortegnelse 1 SUMMARY IN ENGLISH PROBLEMFORMULERING INDLEDNING BASALE BEGREBER OPBYGNING AF OPGAVEN RELATIONER SPECIFIKKE RELATIONER STOKASTISK DOMINANS STOKASTISK DOMINANS AF 1. GRAD Eksempel på førstegrads dominans STOKASTISK DOMINANS AF 2. GRAD Eksempel på andengrads Stokastisk dominans STOKASTISK DOMINANS AF HØJERE GRAD RISIKO PRÆFERENCER RISIKONEUTRAL RISK LOVERS RISIKOAVERS ANDRE RISIKOTYPER DIVERSIFICERING DIVERSIFICERING MED MARKOVITZ MIDDELVÆRDI-VARIANS BEGREB BETINGELSER FOR DIVERSIFICERING Taleksempel PROCENT-REGLER %-REGLEN ANDRE REGLER MONTE-CARLO SIMULATION METODE Eksempler PORTEFØLJEVALGSMODEL MED 2 AKTIVER METODEBESKRIVELSE

4 Eksempel med fælles tæthed Grundlag for brug af normalfordeling Nyttefunktioner Antagelser for 2-aktiv modellen METODE TIL AT FINDE RISIKOTOLERANCEN R IMPLEMENTERING I MATLAB Test af præcisionen ÆNDRING I PARAMETRENE Ændring i Standardafvigelsen på begge aktiver Ændring i Middelværdi på Y Ændring i Standardafvigelsen på Y Ændring af Risikotolerancen Ændring af korrelationen KONKLUSION PÅ 2-AKTIV MODELLEN FORBEDRINGER TIL PROGRAMMET (2+1)-MODELLEN METODEBESKRIVELSE IMPLEMENTERING I MATLAB Nyttefunktion Gennemgang af programmet ANALYSE AF METODEN Ændring i Middelværdi på Y Ændring i standardafvigelsen på aktiv Y Ændring af risikotolerancen Ændring af korrelationen KONKLUSION PÅ (2+1)-MODELLEN TEST AF (2+1)-MODELLEN MOD CAPM BESKRIVELSE AF CAPM Antagelser for CAPM CML Metode til at finde markedsporteføljen RESULTATER Porteføljeandele af Microsoft og McDonalds Porteføljeandele af Pepsi Cola og Coca-Cola KONKLUSION PÅ SAMMENLIGNING MED CAPM FLERAKTIVSMODELLEN

5 13.1 TRE AKTIVER Metode Normalfordelingsteori Metode til at udlede porteføljevægtene Eksempel med Coca-Cola, Pepsi og Microsoft Løsning LØSNING AF FLERAKTIVMODELLEN MED MERE END 3 AKTIVER KONKLUSION PÅ FLERAKTIVSMODELLEN KONKLUSION LITTERATURLISTE BILAG 1: MATLAB-KODE TIL 2-AKTIV MODELLEN BILAG 2: MATLAB-KODE TIL (2+1)-MODELLEN

6 2 Problemformulering I denne kandidatafhandling viser vi, at det er muligt, at opstille en model for valg af porteføljer, med udgangspunkt i bestemte nyttefunktioner, der giver et bedre resultat end CAPM. Vi fokuserer på metoder til at vælge mellem to aktiver X og Y. Blandt andet viser vi, at der er generelle regler, der kan anvendes af grupper af agenter med samme risikoprofil. Som eksempel på sådan en regel, kan nævnes 50%-reglen: Kan det siges om en risikoavers person (u 0) at denne altid vil vælge mindst 50% af aktiv X, hvis han har valget mellem aktiv X og Y. Som værktøj til metoderne i afhandlingen, benyttes stokastisk dominans af første, anden og tredje grad, samt nyttefunktioner. Til udledning af fordelinger tages computersimulation i brug og der benyttes optimeringsmetoder til at løse problemer omkring porteføljevalg. Vi beskriver teorien bag stokastisk dominans og risikotype hos agenter samt områder inden for diversificering. Derudover beskrives også anden teori, når vi finder det nødvendigt. Vi udvikler en model, der kan løse porteføljevalgsproblemer for 2 risikofyldte aktiver. Denne model undersøges og det vurderes om den kan benyttes til at finde optimale porteføljer. Dernæst udvikler vi en model der også inkluderer et risikofrit aktiv. Dette er med henblik på at øge valgmulighederne for en investor og for at kunne sammenligne med CAPM-modellen (Markedsporteføljen). Grunden til, at vi udvikler disse to modeller er, at vi ikke kender modeller til valg af porteføljer, med mere end et risikofyldt aktiv, som benytter nytteoptimering til at finde aktivernes vægte. Derudover giver denne type model en potentiel investor en eksakt løsning på porteføljevalgsproblemet. 5

7 For at sætte de fundne modeller i perspektiv, vil vi sammenligne dem med porteføljevalgsmodellen CAPM, idet den er den mest udbredte og kendte porteføljevalgsmodel. Målet er, at vise, at de modeller vi udvikler, er mere optimale, at bruge for en risikoavers investor. Det gør vi ved at beskrive, hvorledes vores model tager højde for den enkelte investors nyttefunktion, i modsætning til CAPM. Som en afslutning vil vi vise, hvordan de udviklede modeller kan udvides til, at benyttes til valg af porteføljer med mere end to risikofyldte aktiver. Her er målet at finde en enkel metode, der kan benyttes på empiriske afkast for kendte aktier. 6

8 3 Indledning Der vil ofte være investerings-situationer, hvor beslutninger skal foretages på et usikkert grundlag. Forkerte beslutninger kan koste dyrt. Det er derfor hensigtsmæssigt at finde metoder til at vurdere, hvilke beslutninger der er bedst at tage. Vores fokus i denne opgave er at finde nye metoder til at beslutte, hvordan en investor skal sammensætte en portefølje af finansielle aktiver. Der er flere metoder at vælge imellem til dette formål, og den mest udbredte er CAPM. Det har dog vist sig empirisk, at CAPM ikke er fejlfri, og ikke giver en entydig portefølje, idet der blot findes en efficient rand, hvor alle porteføljer er lige gode. Vi ønsker at finde metoder, der kan undgå disse problemer og give et mere entydigt resultat. Derfor har vi valgt at udvikle metoder, der med udgangspunkt i bestemte grupper af investorers nyttefunktioner kan beregne det optimale valg af porteføljesammensætning. 3.1 Basale begreber Der er tre basale begreber i nytte-teori. Det er nyttefunktioner, forventet nytte og risikopræferencer, der belyses i opgaven. Dette er essentielt, da der er en sammenhæng imellem disse begreber. Nyttefunktioner repræsenterer, hvilken nytte et individ opnår ved at besidde en bestemt formue, det kan være penge eller andre værdifulde aktiver. Det forudsættes, at ethvert individ ønsker, at opnå den størst mulige nytte, og dette vil influere på enhver beslutning. Hvis der skal investeres i et sikkert aktiv, vil aktøren vide hvilken nytte, der vil opnås ved denne investering, og han vil foretage investeringen, hvis nytten er større, end hvis investeringen ikke foretages. Så længe der kun arbejdes med sikre investeringer, er optimering af nytten nogenlunde ligetil. Når der kommer et usikkerhedselement ind i billedet, da er det nødvendigt at vurdere, hvad den forventede nytte af en investering er. Den forventede nytte findes ved at finde nytten af alle sandsynlige udfald af en investering og derefter vægte dem med deres sandsynlighed. Ved at finde den forventede nytte af en investering kan en investor sammenligne med 7

9 nytten af ikke at investere, og derved vælge om den usikre investering skal foretages. Forventet nytte kan også anvendes til at sammenligne forskellige usikre investeringer. Ved at finde den forventede nytte for to usikre investeringer, kan investoren se, hvilken han vil få størst forventet nytte af, og derved hvilken han bør vælge. Det lyder ligetil at finde den forventede nytte af usikre investeringer, men det kan ofte være vanskeligt at finde en investors nøjagtige nyttefunktion. Der er nogen overordnede kategorier, som investorens potentielle nyttefunktioner kan findes i. Han kan være risikoavers, risiko-neutral eller risiko-lover. Disse kategorier dækker meget bredt, og der er mange forskellige typer nyttefunktioner, som en investor kan have. De omtalte kategorier er de, der kaldes individets risikopræferencer. Investorer med forskellige risikopræferencer vil ikke have samme forventede nytte af en usikker investering. Derfor er det vanskeligt at anbefale en bestemt type investering til alle investorer, da det langt fra er sikkert, at alle vil få øget nytten. 3.2 Opbygning af opgaven Målgruppen til denne kandidatafhandling forventes at have en indsigt i økonomi, matematik og statistik, der svarer til niveauet på en højere universitetsuddannelse, hvor matematik og økonomi indgår. Teorien som beskrives her, er den som menes at gå udover, hvad der forventes af målgruppens faglige viden. Store dele af teorien bygger på følgende litteratur: (Sydsæter 1, 1996), (Sydsæter 2, 1996), (Tjur, 1998) og (Tjur, 1999). Der vil, så vidt det er muligt omfang, blive benyttet danske udtryk og betegnelser, men da ikke alle udtryk har en korrekt dansk oversættelse, vil der forekomme engelske udtryk i teksten. For at lette forståelsen af metoderne til valg af porteføljesammensætning, starter vi med en gennemgang af den benyttede teori. Denne teori er beskrevet fra afsnit 4 til afsnit 7. 8

10 I afsnit 4 gennemgås vigtige begreber inden for relationer. Afsnit 5 behandler teorien omkring stokastisk dominans, med beskrivelser af de forskellige grader af dominans. I afsnit 6 gennemgås risikopræferencer og forskellige risikotyper for investorer. Diversificering bliver beskrevet og analyseret i afsnit 7. Efter teoriafsnittene, gennemgås i afsnit 8, procent-regler for porteføljevalg, med fokus på 50%-reglen. I afsnit 9, gennemgås teorien omkring Monte-Carlo, der er baggrund for computerberegningerne til løsning af de udviklede modeller. Afsnit 10, 11 og 13 gennemgås de modeller vi har udviklet til valg af porteføljeandele. Det er henholdsvis 2-aktivs modellen, (2+1)-modellen og fleraktivsmodellen, der bliver beskrevet. I afsnit 12, sammenlignes vores (2+1)-model og 2-aktiv model med CAPM. Konklusion og litteraturliste er at finde i afsnit 14 og 15 og herefter følger bilagene med programkoderne. For at opnå en kontinuitet i metodebeskrivelserne, vil vi i opgaven arbejde os fra de simple modeller frem til de mere avancerede modeller. Vi arbejder os fra modeller med 2 aktiver frem til n aktiver. For at få et resultat der er nemt at fortolke på, har vi valgt primært at beskæftige os med den klasse af nyttefunktioner, der hedder eksponentielle nyttefunktioner. Det gør vi da denne type nyttefunktioner kun har en variabel, der bestemmer en investors risikoprofil. Denne variabel er let at udlede. På baggrund af den beskrevne teori og disse nyttefunktioner udvikles modellerne til porteføljevalg. 9

11 4 Relationer For at give en forståelse af, hvordan agenters præferencer kan rangordnes, bliver præferencerelationer gennemgået i det følgende. Disse præferencerelationer er et vigtigt grundlag for teorien omkring stokastisk dominans og risikoholdning, så de bliver beskrevet, da det er vigtigt at have definitionerne på plads. Vi tager udgangspunkt i teori beskrevet af Kreps (Kreps, 1988). Både hvordan han fremstiller relationer samt deres egenskaber. Der beskrives egenskaber for forskellige relationer, hvor B står for en givet relation (Eksempelvis relationen = ) og B står for den negerede relation (Eksempelvis ). Der findes en lang række egenskaber som relationer kan besidde. I det følgende er beskrevet begreber om relationer der er værd at kende: Refleksiv, hvis xbx for alle x X Irrefleksiv, hvis x B ~ x for alle x X Symmetrisk, hvis xby medfører ybx Asymmetrisk, hvis xby medfører y B ~ x Antisymmetrisk, hvis xby og ybx medfører x = y Transitiv, hvis xby og ybz medfører xbz Negativt transitiv, hvis x B ~ y og y B ~ z medfører x B ~ z Komplet/Forbundet, hvis der gælder for alle x, y X at xby eller ybx eller begge dele. Svagt komplet/svagt forbundet, hvis der gælder for alle x, y X at xby eller ybx eller x = y Acyklisk hvis x1 Bx2, x2bx3, x n 1Bxn medfører x1 xn For at lette forståelsen af ovenstående begreber beskrives en række illustrative eksempler. Der gennemgås 4 simple eksempler, som illustrerer sammenhænge hvor de fleste af relationerne optræder, samt hvilke restriktioner de overholder og hvorfor de gør det. 10

12 Eksempel: X er lig med alle mennesker i Danmark og B er relationen deler mindst et navn Her kan det se at relationen B er refleksiv og symmetrisk. Den er refleksiv, da alle personer, x, står i relation med sig selv, fordi alle x deler mindst et navn med sig selv. Den er symmetrisk, da hvis person x deler mindst et navn med person y, så deler person y også mindst et navn med person x Eksempel: X er lig med alle naturlige tal, og B er relationen større end eller lig med ( ) Her er relationen B refleksiv, antisymmetrisk, transitiv, negativt transitiv, komplet og svagt komplet. Denne relation er refleksiv, fordi et tal x altid er lig med sig selv. Den er antisymmetrisk, da et naturligt tal x, der er større end et tal y ikke også vil være mindre end y. Hvis et tal x er større end eller lig et tal y, som så samtidig er større end eller lig med et tredje tal z, så vil x være større end eller lig med z, hvilket gør relationen transitiv. Relationen er negativt transitiv, da det gælder at hvis et tal x er mindre end eller lig et tal y, som samtidig er mindre end eller lig et tal z, så vil x være mindre end eller lig z. Relationen er komplet og svagt komplet, da et tal x altid vil værre større end eller lig med et andet tal y eller omvendt Eksempel: X R og B er relationen xby hvis x y > 1 Her er relationen B irrefleksiv og symmetrisk. Den er irrefleksiv, fordi den numeriske værdi af to tals difference skal være større end 1, da må de to tal i alle tilfælde være forskellige. Relationen er symmetrisk, da den numeriske værdi af forskellen på x og y altid vil være ens, selvom x og y byttes. 11

13 Eksempel: X R og B er relationen xby hvis x y Z Her er relationen B refleksiv, symmetrisk og transitiv. B er refleksiv da et tal x fratrukket sig selv altid giver 0, som er et heltal. Relationen er symmetrisk, da det gælder, at hvis et tal y subtraheret fra et andet tal x giver et helt tal, så vil x subtraheret fra y også give et heltal. Transitiviteten skyldes, at hvis x y skal give et helt tal, så skal alle decimaler være ens. Det samme gælder for y z og derved vil dette også gælde for x z. Eksempelvis vil 5,3 4,3 være et helt tal og 4,3 2,3 være et helt tal. Så vil 5,3 2,3 også være et helt tal. I afsnit 5 beskrives Stokastisk dominans, som er en præferencerelation, der er refleksiv, antisymmetrisk, transitiv og negativt transitiv. 4.2 Specifikke relationer En meget brugbar relation i forbindelse med nyttefunktioner er stærkt foretrækker. Det skrives som x y, hvis x er stærkt foretrukket frem for y, samt som x / y, hvis x ikke er stærkt foretrukket frem for y. Denne relation har følgende egenskaber: Asymmetri: Hvis x foretrækkes frem for y, så foretrækkes y ikke også frem for x. Denne egenskab gør det muligt at rangordne x og y. Transitivitet: Denne egenskab gør, at alle medlemmer af en mængde kan rangordnes, da det gælder, at når x y og y z, så er x z. Irrefleksivitet: Et element vil ikke foretrækkes frem for sig selv, da det ikke gælder, at x x. Negativ transitivitet: Dette gør, at x ikke foretrækkes stærkt frem for z, når det gælder at x / y og y / z. 12

14 En interessant egenskab er, at man ud fra relationen kan konstruere to andre relationer, som er interessante i denne sammenhæng: x y : Denne relation konstrueres ud fra y / x x ~ y : Denne relation svarer til x / y x / y I megen litteratur bliver relationen konstrueret udfra, altså omvendt af hvad vi gør. Dette gælder især inden for den mikroøkonomiske litteratur, hvor sammenhængen er beskrevet som: x y : bliver konstrueret ud fra x y x / y Relationen kaldes for svagt foretrukket, og den er komplet og transitiv. Denne relation bruges om elementer, hvor x y blot betyder, at x altid foretrækkes mindst lige så meget som y. Den anden relation ~ kaldes for indifferens, og den har egenskaberne refleksiv, symmetrisk og transitiv. Dette er for de tilfælde, hvor et element ikke foretrækkes frem for et andet. Man kan ud fra disse tre relationer udlede følgende egenskaber: x y x y x~ y x y hvis x y x~ y w x, x~ y, y z w y x z Vi vil løbende i opgaven benytte de beskrevne relationer og begreber, uden at komme videre ind på det. 13

15 5 Stokastisk Dominans I dette afsnit opsummeres teorien bag stokastisk dominans, med udgangspunkt i artikler omhandlende stokastisk dominans af Haim Levy (Levy, 1992), af J. Mayer (Mayer, 1977) samt (Hadar, Russell og Seo, 1988). Stokastisk dominans er et vigtigt værktøj i de analyser og modeller, der opstilles senere og det er som tidligere nævnt en præferencerelation, hvilket vil fremgå af den følgende gennemgang. Stokastisk dominans er en metode til at rangordne fordelinger og den findes i varianter fra 1. grads dominans til n te grads dominans. Det er en partiel relation, der er refleksiv, antisymmetrisk, transitiv og negativt transitiv. Dette følger af, at det er en relation mellem to kontinuerte fordelinger af reelle tal. Vi har valgt at belyse den svage form for stokastisk dominans, hvor der ikke er krav om, at A altid foretrækkes strengt frem for B, der skal blot være indifferens. Den svage form vælges da det også er interessant at medtage relationer mellem aktiver, hvor der kan eksistere indifferens. Dette betyder så i princippet, at A vil kunne stokastisk dominere A. Det vil derfor forudsættes i følgende gennemgang, at stokastisk dominans kun vil gælde, hvis A B. Når der forekommer stokastisk dominans af en bestemt grad, vil alle højere grader af stokastisk dominans være gældende. F.eks. hvis A førstegrads dominerer B, så vil A også andengrads dominere B osv. 5.1 Stokastisk dominans af 1. grad For at få et overblik over hvad stokastisk dominans er, beskrives 1. grads dominans først. 1. grads dominans er den stærkeste form for dominans og der er færrest krav der skal være opfyldt for at den gælder. For at beskrive 1. grads dominans (FSD), kigges på to aktiver, X og Y. X har tæthedsfunktionen f(x) og Y har tæthedsfunktionen g(x). Så er Y 1. ordens domineret af X, hvis og kun hvis: 14

16 c c g( x) dx f ( x) dx c u ' 0 Fordelingsfunktionen for g(x) skal være større end eller lig fordelingsfunktionen for f(x). Dette betyder med andre ord, at X altid har større sandsynlighed end Y for at give det største afkast. For at dette skal gælde, skal det samtidig gælde at alle agenter har mindst lige så stor nytte ved et øget afkast, hvilket vil sige at den 1. afledte af nytten skal være større end eller lig 0 (u 0). En anden måde at se FSD på er ved at betragte den forventede nytte for alle afkast, da skal det gælde at: Eu( X ) Eu( X ) F G u U1 Hvor U 1 er alle u, hvor u 0. Hvis dette gælder vil X dominere Y. Det er muligt at opstille sammenhængen mellem (5.1.1) og (5.1.2), ved at betragte ekstreme funktioner der er elementer i den repræsentative mængde U 1. Et sådant element defineres som: for ( ) w u c c w = 1 for w> c Dette er en såkaldt trappefunktion, der er en ægte delmængde af mængden af positivt voksende funktioner. Dette er en ekstrem funktion, da den kun betragter agenter, som enten har en nytte på nul eller på en, alt efter om værdien w af et aktiv ligger over eller under en bestemt værdi c. Der findes ingen nyttefunktioner i mængden af positivt voksende ikke-stigende funktioner, med en mindre hældning end trappefunktionen, da c den har en 1. afledt på u' = 0, w c. Alle agenter med en u ( w ) nyttefunktion vil have en nytte, der ikke falder med afkastet, og de er derfor med i U 1. 15

17 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 u(w) 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0,2 w Figur Tre ekstreme trappefunktioner givet ved u c (w) Ved at betragte flere trappefunktioner, kan man få et billede som i Figur Her ses tre forskellige trappefunktioner. Ved at kombinere disse trappefunktioner opnås en sammensat nyttefunktion, som vist i Figur Ved at betragte denne sammensatte funktion ses det, at man ved at øge antallet af trappefunktioner, kommer tættere på en differentiabel og konkav nyttefunktion, som vil være perfekt ved et uendeligt antal trappefunktioner. Derved illustrerer figuren, at en trappefunktion er en tilnærmelse til en differentiabel funktion, og det ses at trappefunktionen kan bruges som ekstrem-funktion for u 1 (w). 16

18 1,6 1,4 1,2 1 u(w) 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2 w Figur Kombinationer af trappefunktioner fra u c (w) c Ved at betragte nyttefunktionen u ( w ) fra for aktiv X og Y, kan det ses at nytten ved aktiv Y vil være mindst lige så stor som nytten ved aktiv X, hvis værdien af Y højst er den samme som værdien af X. Dette gælder for alle værdier af c. Derfor vil det også gælde for alle andre positive ikke-stigende nyttefunktioner, da denne trappefunktion er mest ekstrem i U 1. Denne relation for den forventede nytte ses i 5.1.2, der ved omskrivning giver: Eu( X ) Eu( X ) Eu( X ) Eu( X ) 0 F G F G Ligeledes kan man slutte, at hvis aktiv X har en tæthedsfunktion, der for alle afkast op til en værdi c altid er mindre end tæthedsfunktionen for aktiv Y, så vil en investor med en C u ( w) - nyttefunktion altid foretrække X mindst lige så meget som Y, da værdien af aktiv X altid vil være mindst lige så stor som for aktiv Y. Denne svage relation er den samme som ses i En omskrivning af giver: 17

19 c c c g( x) dx f ( x) dx ( g( x) f ( x)) dx 0 c Det følger dermed at og er analoge med hinanden. Dette er et interessant resultat, da man derved kan vælge både at betragte stokastisk dominans ud fra en investors forventede nytte af to aktiver, eller man kan afgøre stokastisk dominans ved hjælp af fordelingen af afkast for de to aktiver Eksempel på førstegrads dominans For bedre at kunne forstå idéen bag stokastisk dominans følger her et lille eksempel med 2 aktiver, X og Y. Vi har benyttet et eksempel med afkastet for de to aktiver over otte tidsperioder. De to aktivers afkast ses i Tabel 5.1.1, aktiv X har en middelværdi på 0,01625, mens aktiv Y har en middelværdi på 0, Der er benyttet ækvidistante afkast til at repræsentere de to aktiver. Hver observation vægter med 1/n, altså 1/8 i dette tilfælde. Denne metode er før beskrevet af Fishburn og Lavalle (Fishburn og Lavalle, 1995) Tid X Y 1-0,01-0,02 2-0,02 0,03 3 0,04 0,02 4 0,03 0, ,03 6 0,04-0,01 7 0,02 0,01 8 0,03 0,03 Tabel Afkast for de to aktiver 18

20 Det undersøges nu om et af aktiverne dominerer det andet, for at afgøre om det ene kan siges at foretrækkes frem for det andet, ud fra definitionen for FSD. For at undersøge stokastisk dominans af første grad antages det, at alle agenter har en nytte, der stiger med afkastet. De kumulative sandsynligheder findes ved at rangordne observationerne. Fordelingen af afkastene kendes ikke, hvilket gør, at der bruges diskrete observationer for den kumulative sandsynlighed. x X Y -0,03 0 0,125-0,02 0,125 0,25-0,01 0,25 0, ,375 0,375 0,01 0,375 0,5 0,02 0,5 0,75 0,03 0,75 1 0, Tabel Akkumulerede punktsandsynligheder I Tabel ses de akkumulerede punktsandsynligheder ved hver x-værdi. Det gælder for alle x-værdier at Y(x) X(x). Dermed er kravet i opfyldt, hvormed aktiv A stokastisk dominerer aktiv B af første grad. Det er i eksemplet antaget at fordelingen er kontinuert, selvom den i virkeligheden er diskret. c c g( x) dx f ( x) dx x u ' 0 Grafisk ser den akkumulerede sandsynlighed ud som i følgende figur: 19

21 1,2 Akkumulerede punktsandsynligheder 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Y X 0-0,03-0,02-0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 x Figur Eksempel på diskret akkumuleret sandsynlighedsfunktion for 2 aktiver Som det kan ses så er den akkumulerede sandsynlighed for Y altid mindst lige så stor som for X. Af grafen kan intuitionen ses ved at sandsynlighedsmassen for afkast på Y ligger mere i den negative del af x-aksen end afkast på X. Derfor vil en investor med u 0 altid foretrække X frem for Y, da Y, for alle afkast altid har en mindst lige så stor sandsynlighed som X, for at få det laveste afkast. 5.2 Stokastisk dominans af 2. grad FSD tager ikke højde for agenternes risikopræferencer, idet deres nytte blot skal øges, hvis afkastet øges. Hvis agenter med en mere specifik type risikoprofil skal inkluderes i konceptet om stokastisk dominans, skal der tilføjes yderligere restriktioner på agenternes nyttefunktioner. For risikoaverse agenter gælder, at nyttefunktionen er konkav, dvs. den anden afledte af nyttefunktionen er negativ (u 0). Det skal også stadig gælde at u 0. 20

22 Den Stokastiske dominans af 2. grad (SSD) er som tidligere nævnt en svagere form for dominans end FSD, der stiller et krav om, at agenterne er risikoaverse. Ved at afgrænse dominans-begrebet til investorer med en bestemt risikoprofil, vil der være en større mængde aktiver, hvor Stokastisk dominans begrebet kan bruges til at rangordne dem end ved FSD alene. For SSD gælder, at alle risikoaverse agenter foretrækker aktiv X frem for aktiv Y, hvis og kun hvis: c c G( x) dx F( x) dx c u ' 0, u '' 0 F(x) og G(x) er stamfunktionerne for f(x) og g(x) fra afsnit 5.1, der er fordelingsfunktionerne for hhv. aktiv X og aktiv Y. Disse betingelser angiver Stokastisk dominans af 2. grad. Ved i stedet at betragte den forventede nytte, vil det gælde, at SSD er opfyldt når: Eu( X ) Eu( X ) F G u U 2 Hvor U 2 er alle u, hvor u 0 og u 0. Dette kan fortolkes således, at SSD er opfyldt, når nytten for F(x) er større end nytten for G(x) for alle nyttefunktioner tilhørende risikoaverse agenter. Det er muligt at opstille sammenhængen mellem og ved følgende fremgangsmetode. Mængden af alle risikoaverse agenter er repræsenteret ved U 2 = {u u er ikke-aftagende, kontinuert og konkav på [0,1] og ' u + (0) < }. Én ægte delmængde af U 2 er defineret som U c, hvor det gælder om alle elementer: 21

23 5.2.3 c w-c for w c u ( w) =, hvor 0 < c< 1 0 for w> c Denne funktion ser ud som i Figur ,5 0 c u(w) -0,5-1 -1,5-2 w Figur Graf for u c (w), med et knæk i punktet c Man kan kombinere flere ekstreme funktioner fra u c (w), hvorved man får en funktion som vist i Figur Det kan ses, at dette giver en mere glat funktion og ved sammensætning af uendeligt mange ekstreme funktioner fra u c (w) fås en differentiabel og konkav nyttefunktion. 22

24 u(w) w Figur Kombination af ekstremfunktioner fra u c (w) Theorem 1 (Hadar og Seo, 1988) siger, at enhver agent i U c foretrækker X frem for Y, hvis og kun hvis enhver agent i U 2 foretrækker X frem for Y. Beviset for dette er at lade F og G repræsentere tæthedsfunktionen for hhv. aktiv X og aktiv Y. Så kan den forventede nytte for X skrives som: c u ( x) df( x) = ( x c) df( x) 0 0 c Ved at foretage en partiel integration af højresiden fås: c ( x c) df( x) = F( x) dx 0 0 c 23

25 Dette kan også udledes for aktiv Y, derved fås: u ( x) d[ F( x) G( X)] = [ G( x) F( x)] dx 0 c 0 c Ved en omskrivning af fås c c c G( x) dx F( x) dx [ G( x) F( x)] dx 0 Og af da den forventede nytte for en investor fra U c er u c (w) fås sammenhængen i c Eu( X ) Eu( X ) Eu( X X ) = u ( x) d( F( x) G( x)) 0 F G F G 1 0 Dermed følger det af 5.2.6, at der er en sammenhæng mellem og 5.2.2, ved kun at betragte for værdier af x > Eksempel på andengrads Stokastisk dominans Til dette eksempel på 2. grads dominans benyttes samme type eksempel som i afsnit Det, som vi ønsker at vise er, at selvom der ikke eksisterer dominans af 1. grad imellem to aktiver, så kan der stadig eksistere dominans af højere grad. Dette skyldes, at FSD er den stærkeste form for stokastisk dominans, mens SSD er svagere, da denne type har et større krav på typen af risikopræferencer, som en investor skal besidde. Kravet er, at investoren er risikoavers (u 0 og u 0), hvilket er den risikoprofil, der er mest fremherskende blandt investorer. Der er blevet ændret lidt på afkastene i forhold til eksemplet i afsnit 5.1.1, da FSD ikke skal være opfyldt her. De nye afkast for aktiv X og Y i 8 perioder ses i Tabel

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

Kapitel 12: Valg under usikkerhed

Kapitel 12: Valg under usikkerhed 1 November 25, 2008 2 Usikkerhed Usikre faktorer: Fremtidige priser Fremtidig (real)indkomst Vejret Andre agenters handlinger (strategisk interaktion).... Håndtering af usikkerhed: Forsikring (sundhed,

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Simuleringsmodel for livsforløb

Simuleringsmodel for livsforløb Simuleringsmodel for livsforløb Implementering af indkomststokastik i modellen 9. november 2009 Sune Sabiers sep@dreammodel.dk Indledning I forbindelse med EPRN projektet Livsforløbsanalyse for karakteristiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Korte eller lange obligationer?

Korte eller lange obligationer? Korte eller lange obligationer? Af Peter Rixen Portfolio manager peter.rixen @skandia.dk Det er et konsensuskald at reducere rentefølsomheden på obligationsbeholdningen. Det er imidlertid langt fra entydigt,

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Byggeøkonomuddannelsen

Byggeøkonomuddannelsen Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november 2013 1 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser og småopgaver

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Kapitalstruktur i Danmark. M. Borberg og J. Motzfeldt

Kapitalstruktur i Danmark. M. Borberg og J. Motzfeldt Kapitalstruktur i Danmark M. Borberg og J. Motzfeldt KORT OM ANALYSEN Omfattende studie i samarbejde med Økonomisk Ugebrev Indblik i ledelsens motiver for valg af kapitalstruktur Er der en optimal kapitalstruktur

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Statistik for ankomstprocesser

Statistik for ankomstprocesser Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau

Læs mere

NOTAT VEDR. KAPITEL 6 I ACCOUNTING THEORY Peder Fredslund Møller, Institut for Regnskab

NOTAT VEDR. KAPITEL 6 I ACCOUNTING THEORY Peder Fredslund Møller, Institut for Regnskab NOTAT VEDR. KAPITEL 6 I ACCOUNTING THEORY Peder Fredslund Møller, Institut for Regnskab Formålet med dette notat er at understøtte tilegnelse og forståelse af lærebogens fremstilling af porteføljeteori,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Sell in May? 13. oktober 2015. Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk 2.0% 1.5% 1.0% 0.5% 0.0% -0.5% -1.0%

Sell in May? 13. oktober 2015. Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk 2.0% 1.5% 1.0% 0.5% 0.0% -0.5% -1.0% Sell in May? Af Peter Rixen Senior Porteføljemanager peter.rixen@skandia.dk Det er ikke kun vejret, som har vist sig fra den kedelige side denne sommer. Aktiemarkedet har været ramt af en koldfront, der

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Sandsynlighedsbaserede metoder

Sandsynlighedsbaserede metoder Metodeartikel 29 Sandsynlighedsbaserede metoder Monte Carlo-metoden Daniel Kjær I sidste udgave af Famøs kunne læseren finde første halvdel af en todelt artikelserie om sandsynlighedsbaserede metoder under

Læs mere

Derfor skal du investere

Derfor skal du investere Derfor skal du investere Investering er ofte lig med store kursudsving og mange bekymringer. Er det ikke bedre blot at spare op og undgå risiko? Nej, for hvis du ikke investerer, mister du penge hver dag,

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Opgave nr. 28. Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel

Opgave nr. 28. Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave forår 004 Opgaveløser: Vejleder: Carsten Holdum Peter Toftager Ejlersen Opgave nr. 8 Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 9, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael ørdam 1 Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler: efinition (Egentlige

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Krystalkuglen. Gæt et afkast

Krystalkuglen. Gæt et afkast Nr. 2 - Marts 2010 Krystalkuglen Nr. 3 - Maj 2010 Gæt et afkast Hvis du vil vide, hvordan din pension investeres, når du vælger en ordning i et pengeinstitut eller pensionsselskab, som står for forvaltningen

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

SAS Asset Management. Mikal Netteberg Marianne Hansen Søren Johansen SAS Institute A/S. Copyright 2006, SAS Institute Inc. All rights reserved.

SAS Asset Management. Mikal Netteberg Marianne Hansen Søren Johansen SAS Institute A/S. Copyright 2006, SAS Institute Inc. All rights reserved. SAS Asset Management Mikal Netteberg Marianne Hansen Søren Johansen SAS Institute A/S Agenda Introduktion Arbejdsmetode Overordnet forretningsmæssig kravspecifikation Detailforretningsmæssig kravspecifikation

Læs mere

FINANSIERING 1. Opgave 1

FINANSIERING 1. Opgave 1 FINANSIERING 1 3 timers skriftlig eksamen, kl. 9-1, onsdag 9/4 008. Alle sædvanlige hjælpemidler inkl. blyant er tilladt. Sættet er på 4 sider og indeholder 8 nummererede delspørgsmål, der indgår med lige

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

LÆGERNES PENSIONSBANKS BASISINFORMATION OM VÆRDIPAPIRER - IKKE KOMPLEKSE PRODUKTER

LÆGERNES PENSIONSBANKS BASISINFORMATION OM VÆRDIPAPIRER - IKKE KOMPLEKSE PRODUKTER LÆGERNES PENSIONSBANKS BASISINFORMATION OM VÆRDIPAPIRER - IKKE KOMPLEKSE PRODUKTER Indledning Lægernes Pensionsbank tilbyder handel med alle børsnoterede danske aktier, investeringsbeviser og obligationer

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

En statistisk analyse af aktieafkast

En statistisk analyse af aktieafkast En statistisk analyse af aktieafkast Af cand.scient.oecon. Erik Christiansen IBC Kolding Efterår 2008 Forord Kan man ved bruge af statistiske modeller og de historiske aktiekurser forudsige fremtidens

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

µ = κ (θ); Kanonisk link, θ = g(µ) Poul Thyregod, 9. maj Specialkursus vid.stat. foraar 2005

µ = κ (θ); Kanonisk link, θ = g(µ) Poul Thyregod, 9. maj Specialkursus vid.stat. foraar 2005 Hierarkiske generaliserede lineære modeller Lee og Nelder, Biometrika (21) 88, pp 987-16 Dagens program: Mandag den 2. maj Hierarkiske generaliserede lineære modeller - Afslutning Hierarkisk generaliseret

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Introduktion til GLIMMIX

Introduktion til GLIMMIX Introduktion til GLIMMIX Af Jens Dick-Nielsen jens.dick-nielsen@haxholdt-company.com 21.08.2008 Proc GLIMMIX GLIMMIX kan bruges til modeller, hvor de enkelte observationer ikke nødvendigvis er uafhængige.

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Energi og Økonomi. Kursusgang 2. Dagens program

Energi og Økonomi. Kursusgang 2. Dagens program Energi og Økonomi Kursusgang Poul Alberg Østergaard 1 Dagens program Introduktion til økonomisk analyse med Renter Renters rente Tidsprioritering Tilbagediskontering intern rente Nutidsværdi Annuitet Tilbagebetalingstid

Læs mere

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.

Læs mere

IP-Telefoni. Mikkel Friis-Olsen. Internet-økonomi, forår 2004 Økonomisk Institut Københavns Universitet Onsdag d. 5. maj 2004

IP-Telefoni. Mikkel Friis-Olsen. Internet-økonomi, forår 2004 Økonomisk Institut Københavns Universitet Onsdag d. 5. maj 2004 IP-Telefoni af Mikkel Friis-Olsen Internet-økonomi, forår 2004 Økonomisk Institut Københavns Universitet Onsdag d. 5. maj 2004 1 Indholdsfortegnelse: 1. Indledning side 3 2.1 Efterspørgsel efter telekommunikation

Læs mere

Beskrivelse af nøgletal

Beskrivelse af nøgletal Beskrivelse af nøgletal Carnegie WorldWide Dampfærgevej 26 DK-2100 København Ø Telefon: +45 35 46 35 46 Fax: +45 35 46 36 00 Web: www.carnegieam.dk E-mail: cww@cww.dk 11. marts 2008 Indhold 1 Porteføljeafkast

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen Simpsons Paradoks Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Københavns Universitet 1 Simpsons Paradoks -Et emnearbejde om årsag og sammenhæng

Læs mere

1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger

1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Building 324, Room 220 Danish Technical University

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Markedsudviklingen i 2004 for investeringsforeninger og specialforeninger 1

Markedsudviklingen i 2004 for investeringsforeninger og specialforeninger 1 Markedsudviklingen i 2004 for investeringsforeninger og specialforeninger 1 Konklusioner: Foreningernes samlede formue er vokset med knap 208 mia. kr. i 2004, og udgjorde ultimo året i alt knap 571 mia.

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

Normalfordelingen. Erik Vestergaard

Normalfordelingen. Erik Vestergaard Normalfordelingen Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard, 008. Billeder: Forside: jakobkramer.dk/jakob Kramer Side 7: istock.com/elenathewise Side 8: istock.com/jaroon

Læs mere

Alternative og Illikvide Investeringer. Lasse Heje Pedersen

Alternative og Illikvide Investeringer. Lasse Heje Pedersen Alternative og Illikvide Investeringer Børsmæglerforeningen 2015 Lasse Heje Pedersen Copenhagen Business School and AQR Capital Management Oversigt over Foredrag: Alternative og Illikvide Investeringer

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Kursus i @Risk (stokastisk simulering) Øvelsesmanual

Kursus i @Risk (stokastisk simulering) Øvelsesmanual Kursus i @Risk (stokastisk simulering) Øvelsesmanual Hvorfor @Risk og dette kursus? Større og mere komplekse landbrugsbedrifter kræver gode beslutningsværktøjer. I traditionelle regneark regnes der på

Læs mere

TEORI OG PRAKTISK ANVENDELSE 4. UDGAVE

TEORI OG PRAKTISK ANVENDELSE 4. UDGAVE MICHAEL CHRISTENSEN AKTIE INVESTERING TEORI OG PRAKTISK ANVENDELSE 4. UDGAVE JURIST- OG ØKONOMFORBUNDETS FORLAG Aktieinvestering Teori og praktisk anvendelse Michael Christensen Aktieinvestering Teori

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere