Specialeafhandling. M a te m a t i k ke n b a g p u s l e s p i l. Speciale for Cand.Scient. graden i matematik

Transkript

1 Specialeafhandling Speciale for Cand.Scient. graden i matematik DET NATURVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET M a te m a t i k ke n b a g p u s l e s p i l m e d s æ r l i g a nve n d e l s e p å R u b i ks te r n i n g o g 15 - s p i l l et STUDIENÆVN FOR DE MATEMATISKE FAG KØBENHAVNS UNIVERSITET UNIVERSITETSPARKEN KØBENHAVN Ø

2

3 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Prolog Spil, Matematik og Rubiks terning Permutationspuslespil og Matematik Algoritmer af guddommelig status Spil som matematik-ambassadør En stor familie af permutationspuslespil Om funktioner Om Rubiks terning Kort om Rubiks terninger Om 3x3-terningen Konstruktion Operation, proces, tilstand og konfiguration Første matematiske paralleller En operation som permutation Singmasters notation Processer, permutationer og deres orden Grupper og permutationspuslespil spillet En stor familie Permutationspuslespil og grupper Definition af en gruppe Fra spil til gruppe Identificering af Rubiks gruppe og 15-gruppen Permutationspuslespillenes matematik Mere om permutationer Cykelnotation og r-cykler Cykelsætningen Om ordenen af permutationer Basale gruppe-begreber Grundlæggende gruppeteori Rubiks gruppe som endelig gruppe Undergrupper og Rubiks gruppe Undergrupper i R Rubiks gruppe som undergruppe Grundlæggende grupper Den cykliske gruppe af orden n

4 3.3.2 Den symmetriske gruppe af n elementer Den alterende gruppe af n elementer Permutationspuslespil og paritet Om 3-cykler og paritet Paritetskrav i Rubiks terning Gruppen af 15-spillet Kommutatorer og konjugeringer Kommutatorer Konjugeringer Baner og gruppevirkninger Om at sammenligne grupper Det direkte produkt af to grupper Sideklasser og kvotientgrupper Lagranges sætning Normale undergrupper Kvotientgrupper og isomorfisætning Kvotientgrupper En isomorfisætning Rubiks gruppe Et semi-direkte produkt Hovedsætningen i Rubiks teori Den ulovlige G Hovedsætning i Rubiks teori Den lovlige R Konsekvenser og andre resultater Kvotientgruppen G/R Elementer af maksimal orden Undergrupper af bestemt orden Gruppeteoretiske løsninger Gruppeteoretiske løsninger til standardproblemet Standardproblemet Indlejrede undergrupper Brug af kvotientgrupper Brug af kommutatorgruppen En løsningsstrategi til Rubiks terning Strategier Data-anvendt løsninger Guds algoritme Thistlethwaites algoritme Videre fremskridt på Guds tal Guds algoritme for lommeterningen Epilog Bibliografi

5 Prolog Rynken forsvandt. Blikket blev mindre stift. Kan du løse den så? lyder det fra en lettet ikke matematik-kyndig. Lettet, for overhovedet at kunne forstå, hvad mit speciale drejer sig om når vedkommende nu har turdet at spørge. Spørgsmålet kommer befriende og som en selvfølge, for hvad skal man med den, hvis ikke man skal løse den? Den er min Rubiks terning, som jeg ikke har tøvet med at hive frem ved denne lejlighed. For, tør jeg sige det, lettelsen går også den anden vej, for på trods af det morsomme i at fortælle, at jeg skriver om noget så genkendeligt som spil, er det nu meget rart at kunne forklare i store træk og med et dagligdags ordforråd, hvad mit hovedemne er. Dette dokument er skrevet med henblik på opnåelse af kandidatgraden i Matematik. Figurerne i det følgende er lavet ved hjælp af programmerne drawrubik[5], rubik[16], CubeTwister[18] og xrubik[6]. Skønt det er bedst at have Rubiks terning ved hånden, kan rubik[16] også bruges til at simulere eksemplerne i det følgende. København, den 2. Maj

6

7 Kapitel 1 Spil, Matematik og Rubiks terning 1.1 Permutationspuslespil og Matematik Der findes mange slags spil, og de fleste kan beskrives og studeres ved hjælp af matematik. De pågældende områder af matematik, som så berøres, varierer alt afhængigt af spillet. Vi skal her være lidt egoistiske og beskæftige os med de spil, som er skabt til at spilles alene. Sådanne hedder tit et-persons spil, og i sådanne spil er der ikke tale om, hvem vinderen er, men snarere om man har vundet. Mere præcist skal vi se på de spil, som populært kaldes mekaniske spil eller matematiske spil. Vi kalder dem permutationspuslespil. De såkaldte Rubiks terninger figur 1.1(a) og 15-spillet figur 1.1(b) er blot en populær håndfuld af dem. (a) (b) Figur 1.1. Billederne er lånt af Wikipedia[19]. De har forskellige farver, forskellige former, forskellige størrelser, men de spilles alle sammen med den samme overordnede fremgangsmåde. Deres brikker i en eller anden forstand skal flyttes for at opnå et foruddefineret mønster. De af spillets tilladte operationer eller træk flytter én eller flere brikker ad gangen alt afhængigt af spillet. Spillet løses ved at finde frem til en række operationer, som fører frem til det ønskede mønster. I tilfældet af Rubiks terninger, skal man dreje sig frem til mønstret, hvor fladerne hver især er farvet ens, alene ved at dreje på siderne. Hvad 15-spillet angår, skal man glide sig frem til en bestemt rækkefølge af brikkerne udfra tal eller et billede. Det er altså det enkelte spil, som bestemmer de tilladte operationer og selvfølgelig også sværhedsgraden af spillet. Permutationspuslespil er en matematisk betegnelse. Det vil sige, at de egenskaber, som et permutationspuslespil skal opfylde, er motiveret af den struktur, som vi vil have trækkerne i et permutationspuslespil til at udgøre. For en ikke-matematiker kan den i afsnit 2.4 givne definition virke lidt arbitrær, men for en matematiker er den skræddersyet, så man kan få en permutationsgruppe ud af et permutationspuslespil. Forskellige spil, forskellige regler, forskellige permutationsgrupper. Skønt strukturen af permutationspuslespil kan komme under en fælles betegnelse, er det ikke ensbetydende med, at permutationsgrupperne er ens. Det betyder blot, at de hver især kan undersøges med de samme matematiske værktøjer. Vi vil således vise i slutningen af kapitel 2, hvordan definitionen af et permutationspuslespil i spil-forstand kan måles op med en matematisk gruppe. Igen er det det enkelte spil, der bestemmer gruppens struktur og sværhedsgrad, og især hvordan den identificeres. 7

8 Et spils permutationsgruppe er fagligt interessant at undersøge, det vil sige at se dens forhold til andre kendte grupper. Som matematiker er det en opmuntrende oplevelse at stå med en håndfast repræsentation af en gruppe, man ellers er vant til at betragte abstrakt. Udover at Rubiks gængse 3x3-terning betragtes som kongen blandt permutationspuslespil, og at den påstås at være det mest sælgende legetøj nogensinde, er dens gruppe Rubiks gruppe, som vi senere skal kalde den specielt velegnet til at studere, både som værktøj til at formidle gruppeteori, men også som fagligt ikke-triviel gruppe. Matematik bruges her blot til at systematisere og formalisere spil-relaterede egenskaber såvel som konstruktionsmæssige konsekvenser. Derfra er det interessant at se, hvordan man kan bruge resultater om en bestemt permutationsgruppe til at kunne løse det pågældende spil. Så vi ser i første omgang både på Rubiks terning og 15-spillet som eksempler på permutationspuslespil, og på hvordan et spil kan laves om til en matematisk gruppe. Det område af matematik om permutationsgrupper fremlægges derefter i kapitel 3, og vi bruger dér både Rubiks terning og 15-spillet til at eksemplificere definitionerne og de matematiske resultater. Gruppen for 15-spillet bestemmes i samme kapitel, mens vi undersøger Rubiks gruppe i kapitel 4, og i kapitel 5 ser på, hvordan man kan bruge gruppeteori til at producere løsninger til Rubiks terning. 1.2 Algoritmer af guddommelig status Der findes mange løsningsopskrifter til Rubiks terning. Det er dog ikke meningen at præsentere en færdigpakket opskrift her, så læsere, som er interesseret i dette, henvises til [13], [2] eller [8]. Dog kan vi sige, at den overordnede fælles fremgangsmåde er at kunne producere rækker af operationer processer som flytter på nogle brikker og lader andre være uberørte. Det er strategien, der afgør hvilke processer, der er brug for. Den mest kendte strategi i løsningen af Rubiks terning blev opfundet af Jessica Fridrich i starten af 1980 erne og kaldes populært lag-metoden. Står man med en blandet terning, er en løsning følgen af de drejninger, der fører til en løst terning, og dens længde er løsningens antal drejninger. Denne er et afgørende spørgsmål i speed-cubing at løse terningen mod uret for jo færre drejninger desto hurtigere løsning. Dette fører til et lige så interessant spørgsmål, nemlig at finde frem til den optimale løsning, altså den korteste løsning i antal af operationer. Denne problemstilling at finde optimale løsninger er opstået med den første Rubiks terning, og er tæt knyttet til anvendelse af computerkraft. Grundet det oplagte store antal muligheder, er dét at finde frem til den optimale løsning af en af Rubiks terninger næppe noget deltagere i speed-cubing kan, og undersøgelsen af optimale løsninger er derfor beregnet til computere og ikke mennesker. En brugbar algoritme altså en algoritme, som tager hensyn til nutidens computeres begrænsning i både hukommelse og tid som kan producere optimale løsninger til hver af et permutationspuslespils mulige konfigurationer, kaldes farverrigt Guds algoritme. Der findes i dag algoritmer, som man ved, kan løse enhver konfiguration af Rubiks terning på højst 40 kvarte omgange. De producerede løsninger er dog ikke optimale, skønt de sikkert er meget tæt på. Til sammenligning har den førnævnte lag-metode en gennemsnitlig længde på 100 kvarte omgange. Til gengæld findes der en algoritme, som har løst ti tilfældige konfigurationer af Rubiks terninger optimalt. Denne algoritme er dog ikke blevet kørt på samtlige mulige konfigurationer af Rubiks terning. Altså ved man til dags dato ikke, hvor lang den længste optimale løsning til Rubiks terning er. 8

9 Guds algoritme for den lille udgave af Rubiks terning 2x2-terningen eller lommeterningen findes, og den længste optimale løsning for den er på 14 kvarte omgange. I kapitel 5 kommer vi specifikt ind på, hvorfor samme fremgangmåde ikke kan bruges til den gængse Rubiks terning. 1.3 Spil som matematik-ambassadør Der har på det seneste været tale om at lade gymnasieelever i 3.g måske mulige kommende matematikstuderende snuse lidt til, hvad matematikstudiet tilbyder, alt sammen som en del af den gymnasiale uddannelse. Et spil er en sjovere og mindre abstrakt anvendelse af matematik i hverdagen. Det er næppe sandsynligt, at hele den følgende fremlagte gruppeteori er fagligt tilgængelig for den gennemsnitlige, nyudsprungne student. Det er dog reelt at tro, at sådanne læsere kan få glæde af den første del. Dér, hvor gymnasieelever er vant til at se Algebra, som f.eks. addition, multiplikation og løsning af andengradsligninger, vil de se deres abstraktionsniveau forhøjet, og se Algebra på en mere abstrakt måde ved grundlæggende at knytte en operation til en mængde. Samtidigt er det mit indtryk, at læsere med baggrund i gruppeteori ligeledes vil få glæde af at se Rubiks gruppe blive til og se kendte matematiske begreber og resultater knyttet til Rubiks terning. Det er min forventning at se sådanne læsere nikke hele vejen gennem de første kapitler og rynke på panden gennem de sidste kapitler. 9

10

11 Kapitel 2 En stor familie af permutationspuslespil 2.1 Om funktioner Funktioner bliver introduceret meget løst i folkeskolen, og det er almindeligt, men uhensigtsmæssigt, at tænke på en funktion som blot en opskrift til at producere tal. En funktion er et veldefineret matematisk objekt, og det er derfor her på sin plads at komme med en formel definition. Definition 2.1. Enfunktionf fra definitionsmængden D til billedmængden B er en forskrift, som knytter hvert element x D til præcist ét element af y B. Mængderne B og D forudsættes ikke-tomme. Man skriver f: D B, og hvis y 0 B knyttes til x 0 D skrives f(x 0 ) = y 0. Elementet y 0 kaldes billedet af x 0, og x 0 kaldes urbilledet af y 0. I praksis tiltaler man f som funktionen f fra D til B. Eksempel 2.2. Et eksempel på en funktion er f: N N, med forskriften f(x)=x. Man kan også definere en funktion ved mængdelære, og jeg synes, at denne indfaldsvinkel er en smule skarpere, på trods af, at den kræver mere matematisk forståelse. En funktion knytter grundlæggende hvert element af definitionsmængden med ét element fra billedmængden, som forskriften peger på. Således er en funktion fuldt defineret ved en information om, hvilket element fra billedmængden knyttes til et bestemt element fra definitionsmængden. Altså kan man definere en funktion f ved f = {(x, f(x)) x D}, givet at billedmængden er kendt. Dette medfører, at for mængden D B = {(x, y) x D, y B}, også kaldet det kartesiske produkt af D og B, gælder, at en vilkårlig funktion f: D B er en delmængde af D B. At forskriften er defineret på hele definitionsmængden kan formuleres som: x D, y B, så(x, y) f Entydigheden af billedet af x D kan ligeledes formuleres: (x, y) f og(x,z) f y =z Ovenstående definition rejser en problematik, nemlig hvilken indflydelse, størrelsen af billedmængden har. Betragt for eksempel mængderne A = {1, 2, 3}, B = A {4} og funktionerne f 1 og f 2, defineret så f 1 :A A og f 2 :A B, med forskrifterne f 1 (x)= f 2 (x)=x, x A. Ovenstående illustrerer, at billedmængden er med til at bestemme, hvilke egenskaber en funktion har. For uanset hvilken definition, man foretrækker, er der intet, der forhindrer et element af B i ikke at blive knyttet til noget element af D. Elementet {4} fra billedmængden af funktionen f 2 er f.eks. ikke knyttet til noget element fra A. 11

12 Betragt derfor mængden Im(f) = {y B x D: (x, y) f)}, som også kan betegnes ved f(d) = {y B x D, f(x) = y}. Elementerne i denne mængde er naturligt en delmængde af B, og har den egenskab, at de er knyttet til mindst et element i D, netop fordi det er sådan mængden er defineret. Altså: f(d) B. I tilfældet af funktionen f 1 gælder endvidere, at f(d) =B. En funktion med sådan en egenskab kaldes en surjektion. Definition 2.3. En funktion f: D B kaldessurjektiveller en surjektion, hvis f(d) = B. Man kan også tiltale den surjektive funktion f ved funktionen f fra Dp B. Altså gælder for en surjektiv funktion, at alle elementer i billedmængden er knyttet til mindst ét element fra definitionsmængden. Ligeledes er der intet, der forhindrer et element af B i at blive knyttet til flere elementer af D. Er det ikke tilfældet, kaldes funktionen en injektion. Definition 2.4. En funktion f: D B kaldesinjektiveller en injektion, såfremt der gælder for x 1 og x 2 D,x 1x 2 f(x 1 )f(x 2 ). En injektiv funktion kaldes også én-til-én. Med andre ord gælder for injektive funktioner, at elementer i billedmængden knyttes til højst et element fra definitionsmængden. Et eksempel på en funktion, som ikke er injektiv er f: Z N, f(x) = x 2, da f( 1) = f(1) = 1. Denne funktion er i øvrigt heller ikke surjektiv, da der f.eks. ikke findes noget element x i Z, så f(x)=2. densinverse Definition 2.5. En funktion kaldesbijektiveller en bijektion, såfremt den både er injektiv og surjektiv. Funktionen fra eksempel 2.2 er et simpelt eksempel på en bijektiv funktion. Lemma 2.6. Lad f: D B være en bijektiv funktion. Vi kan entydigt definere f 1 :B D med forskriften: Endvidere er f 1 ligeledes en bijektion. y B gælder f 1 (y)=x, hvor y = f(x) Bevis. Vi skal først sikre os, at forskriften f 1 er defineret på hele definitionsmængde. Altså skal vi være sikre på, at der findes x D, så f(x) = y, for alle y B. Dette sikres af f s surjektivitet. Vi skal nu sikre os, at f 1 knytter ét element af B til hvert element af D. Dette er tilfældet, da f er injektiv. densammen- Altså har vi gjort rede for eksistensen af f 1 med den ønskede forskrift. Da f er en funktion, er den defineret på hele definitionsmængden, og derfor er der ingen elementer fra D, som f 1 ikke knytter. Dermed er f 1 surjektiv. Da f knytter hvert element af D til præcist ét element af B, har hvert element af D præcist ét urbillede under f 1, og dette gør rede for, at f 1 er injektiv. Altså er f 1 bijektiv. Definition 2.7. Lad f: S 1 S 2 og g: S 2 S 3 være to funktioner. Vi definerer sattefunktionf g: S 1 S 3 ved forskrift (f g)(x) = g(f(x)). Den sammensatte funktion f g læses f bolle g. Advarsel 2.8. Ovenstående definition af den sammensatte funktion er omvendt i forhold til det fleste andre lærebøger. Det er bevidst for klarhedens skyld i det følgende, og har ingen indflydelse, så længe definitionen holdes konsekvent. 12

13 Lemma 2.9. Sammensætning er associativ. Altså for vilkårlige funktioner f, g og h med passende definitions- og billedmængder gælder, at (f g) h= f (g h). Bevis. Lad x være et element i definitionsmængden for f. Vi har: (f (g h))(x)=(g h)(f(x))=h(g(f(x)))=h((f g)(x)) =((f g) h)(x) Altså har (f g) h og f (g h) samme forskrift. Lemma Lad f: S 1 S 2 og g: S 2 S 3 være to injektive (hhv. surjektive, bijektive) funktioner. Da er den sammensatte funktion f g ligeledes injektiv (hhv. surjektiv, bijektiv). Bevis. Vi viser først det injektive tilfælde og betragter to elementer s 1 og s 2 fra S 1, og antag, at (f g)(s 1 ) =(f g)(s 2 ). Vi ønsker at konkludere, at s 1 =s 2. Vi har: (f g)(s 1 )=(f g)(s 2 ) g(f(s 1 ))= g(f(s 2 )) (2.1) Da g er injektiv, fås af (2.1), at f(s 1 ) = f(s 2 ), og da f ligeledes antages injektiv fås endvidere s 1 = s 2. Altså er f g injektiv. Antag nu, at f og g er surjektiv, og betragt et vilkårligt element y S 3. Vi ønsker at vise, at der findes mindst ét element x S 1 så y = (f g)(x). Da g er surjektiv, findes der mindst et element s 2 S 2, så y = g(s 2 ). Ligeledes, da f er surjektiv, findes der mindst et element x S 1, så s 2 = f(x). Altså til en vilkårlig y S 3, har vi fundet mindst et element x S 1, så der gælder y = g(s 2 )= g(f(x))=(f g)(x). Dermed er f g surjektiv. Det bijektive tilfælde følger af ovenstående. Definition 2.11.Identitetsfunktionenpå S, I S : S S defineres ved forskriften I S (x) = x, x S. Specielt er identitetsfunktionen en bijektion. Er S underforstået, skrives identitetsfunktionen blot Id. Lemma Lad f:d B og g:b C være funktioner. Der gælder: i. f I B =I D f = f. ii. Antag f bijektiv. Der gælder, f f 1 =I D, og f 1 f =I B. iii. Antag f og g bijektive. Der gælder, at (f g) 1 = g 1 f 1. Bevis. Lad d D. i. Først kan vi bemærke, at definitions- og billedmængden for I D f, f I B og f er de samme. Vi skal derfor blot undersøge, om de har ens forskrift. På den ene side gælder, at (f I B )(x) = I B (f(x)) = f(x), x D. På den anden side har vi: (I D f)(x)= f(i D (x))= f(x), x D. Da kan vi konkludere det påståede. ii. Antag, at f er bijektiv. Den inverse f 1 er veldefineret ifølge lemma 2.6. Funktionerne f f 1 og I D har samme definitions- og billedmængde. Vi skal nu undersøge, om de har samme forskrift. Der findes ét element b i B, så f(d) =b. Omvendt gælder f 1 (b)=d. Altså, (f f 1 )(d)= f 1 (f(d))= f 1 (b)=d=i D (d). Hermed er første del bevist. For den anden del starter vi med at bemærke, at funktionerne f 1 f og I B har samme definitions- og billedmængde. 13

14 Vi har: (f 1 f)(b)= f(f 1 (b))= f(d) =b=i B (b) Hermed er den anden del bevist. iii. Da f og g er bijektive, er f g ligeledes bijektiv. Definitionsmængden for funktionerne på begge sider af lighedstegnet er C, mens billedmængden er D. (f g) g 1 f 1 = f (g g 1 ) f 1 = f f 1 =I C Altså er f g inverse til g 1 f 1, hvorfor det påståede gælder. 2.2 Om Rubiks terning Kort om Rubiks terninger Rubiks terning findes i flere størrelser, skønt den ungarske skulptør-og arkitekturprofessor Ernõ Rubik blot har patenteret de to af dem. Lommeterningen 2x2-terningen på figur 2.1(a) blev patenteret i marts 1983, mens 3x3-udgaven på figur 2.1(b), altså den, som man normalt forbinder med Rubiks terning, blev opfundet i 1974 og patenteret i januar året efter. De øvrige populære størrelser såsom Rubiks hævn 4x4-terningen, figur 2.1(c) og professorterningen 5x5-terningen, figur 2.1(d) blev patenteret henholdsvis af Peter Sebesteny i december 1983, og Udo Krell i juli (a) (b) (c) (d) Figur 2.1. De forskellige såkaldte Rubiks terninger. Uanset størrelsen er fremgangsmåden den samme. At løse en Rubiks terning er at dreje sig frem til den løste tilstand altså tilstanden, hvor siderne er helfarvede. Set fra et matematisk synspunkt er den tilstand ikke mere speciel end en hvilken som helst anden tilstand, men det er nu meget praktisk at bruge den som reference, enten som start- eller sluttilstand. At løse en Rubiks terning er at vælge den løste tilstand som sluttilstand og finde en følge af drejninger, som fører frem til den Om 3x3-terningen Konstruktion Vi kigger specielt på den gængse 3x3-terning i det følgende blot terningen og skal her til at sætte notationen fast. Selvom vi kommer specifikt ind på terningen her, kan meget af det følgende nemt overføres til andre størrelser. 14

15 (a) (b) (c) (d) Figur 2.2. Den indre mekanisme til terningen ses på figur 2.2(a). Den består af seks uadskillelige arme, for enden af hvilke småterninger er monteret. Figur 2.2(b) illustrerer, hvordan den indre mekanisme sidder, når Rubiks terning er samlet. Den ydre flade på hver af de småterninger for enden af armene, er farvet ved hjælp af klistremærker og deres eneste bevægelsesfrihed er en rotation om sig selv. Når terningen er samlet, består den af 26 småterninger af tre typer: Vinduer, hjørner og kanter. Vinduerne betegner de småterninger, som er placeret for enden af armene af den indre mekanisme. Der er i alt seks af dem. Hjørnerne betegner de småterninger, som sidder i hjørnerne af den samlede Rubiks terning, som illustreret på figur 2.2(c). De har tre farvede flader, og der er i alt otte af dem. Kanterne sidder mellem to hjørner, som illustreret på figur 2.2(d). De har to farvede flader, og der er i alt 12 af dem. Vi betegner ved fladerne de småterningers farvede flader. Alle de småterninger holdes samlet af den opfindsomme konstruktion, og gør, at hver side af den samlede terning er inddelt i seks små, farvede kvadrater i en total af 54 for hele terningen. At vinduerne kan rotere om deres respektive akse, gør det muligt at dreje en hel side med eller mod uret uden begrænsning. En drejning af en vilkårlig side på 90, 180 eller 270 grader modulo 360 ændrer grundlæggende blot farvningen af terningen Operation, proces, tilstand og konfiguration Der er seks sider, man kan dreje på. Sider, som har småterninger tilfælles kaldes naboer. Da forskellige terninger godt kan have forskellige farver, er det umiddelbart en dårlig idé at betegne en side med den farve, som vinduet bærer, og vi betegner derfor en side med dens placering i forhold til brugeren. Derfor fastsætter vi terningen i rummet og betegner de forskellige sider som følger: Venstreside ved V Højreside ved H Forsiden ved F Bagsiden ved B Nedresiden ved N Øvresiden ved O Denne notation, som er repræsenteret på figur 2.3(a), giver læsere med terninger med andre sæt farver eller farver med andre indbyrdes positioner mulighed for at følge med. Vores terning er fastsat således, at siden med det hvide vindue vender mod os og siden med det røde vindue vender mod himlen. En stereografisk repræsentation af terningen med denne orientering ses på figur 2.3(b). Denne måde at repræsentere terningen på har den egenskab, at den viser fem sider ad gangen. Terningen ses fra oven, og siden med det røde vindue ses derfor i midten. Vi vil dog nogle gange foretrække enten en mere klassisk repræsentation af terningen, som på figur 2.3(c), eller lejlighedsvis en eksploderet version som på figur 2.3(d). 15

16 (a) (b) (c) (d) (e) Figur 2.3. Definition Enoperation eller et træk er en drejning af én af siderne F, N, H, O, B eller V en kvart omgang. Operationen betegnes ved navnet på den pågældende side, og tilføjes 1 som eksponent, når der drejes mod uret. Eksempel Figur 2.3(e) repræsenterer et stereografisk syn af terningen efter en udførsel af operationen F på en løst terning. Definition Enprocesbetegner en muligvis tom følge af operationer. Processen skrives ved at skrive navnet på operationerne i den rækkefølge, hvori de skal udføres. Længden af en proces er dens antal operationer. Specielt har den tomme proces længde nul. For processen FV 1 skal man altså først dreje siden F en kvart omgang med uret, hvorefter siden V skal drejes mod uret en kvart omgang. Længden af denne proces er to. Eksempel En mere avanceret proces er HHFFBBV VOOHHFFBBVV. Denne proces er ikke helt tilfældig og kan også betegnes NN. Dette illustrerer, at tilsynladende forskellige processer kan have samme effekt på terningen. Bemærkning Rækkefølgen i en proces er vigtig, idet processen F H eksempelvis ikke omdeler fladerne som processen H F. Man siger, at operationerne ikke er kommutative. Dog betyder det ikke, at samtlige operationer ikke kommuterer. Der gælder eksempelvis, at FB og BF omdeler fladerne ens. Det er her på sin plads at komme ind på terningens farvning. Konstruktionsmæssige krav gør, at der i vores terning f.eks. skal være et hjørne farvet i rød, grøn og hvid, og ligeledes en kant farvet i blå og gul. Skulle man farve terningen helt tilfældigt, men stadigvæk respektere disse krav, ville det svare til at tage alle de småterninger af, og samle terningen igen helt tilfældigt. Alle de mulige farvninger af terningen opnået på den måde kalder vi for tilstande. Definition Entilstander den resulterende farvning af terningens 54 små kvadratter opnået ved tilfældigt at samle den adskilte terning. Det er nu interessant at undersøge, hvor mange tilstande der er. Vi begynder med at sætte hjørnerne på plads, og indser, at der er otte muligheder for den første terning, syv for den næste, seks for den tredje, osv..., hvilket giver, at der er 8! måder at placere otte hjørner på terningens otte hjørne-pladser. Alle disse hjørner kan vende på tre forskellige måder. Betragter vi f.eks. hjørnet med farvene rød, grøn og hvid, og sætter den i det øverste venstre hjørne af siden F, kan den hvide flade f.eks. ende med at være synlig på siden F, og i dette tilfælde vil den røde og den grønne flade sidde henholdsvis på siderne O og V. Man kunne dog vende den, så den røde eller den grønne flade var på siden F, og det ville naturligt bestemme, hvilke sider de to andre flader skulle høre til. Så alt i alt er der 3 8 8! måder at placere hjørnerne på. En tilsvarende argumentation giver, at der er ! måder at placere kanterne på. Altså er der ialt ! 12! forskellige tilstande. 16

17 Det er imidlertid ikke alle tilstande, man kan dreje sig frem til fra en løst terning. Vi skal se lidt senere, at det kun drejer sig om en tolvtedel af dem. Definition Ved engyldigtilstandellerkongurationforstås en tilstand, som kan opnås ved en proces påført den løste tilstand. Inden vi bevæger os ud i matematikken, skal vi lige slå et par sidste notationer fast. Notation En gentagelse af en proces kan skrives som en eksponent med det antal gange, den gentages. Altså kan FF eksempelvis betegnes ved F 2, og FVFV kan betegnes ved (FV ) 2. Generelt har vi for processen P: PPPP = P i?i gange 2.3 Første matematiske paralleller En operation som permutation Grundlæggende er hver enkel operations virkning en omdeling af farvene. At de småterninger bliver flyttet, er en konsekvens af konstruktionen af terningen. Vi kan derfor beskrive en operation ved at give informationen om hvor, hver enkel flade bliver flyttet til. Matematisk kan dette gøres ved at nummerere samtlige flader af de småterninger. Nummereringen vil gå naturligt fra 1 til 54. Hver operation kan nu defineres som en funktion med mængden af alle de nummererede flader Z 54 = {1, 2,, 54} som definitions- og billedmængde. Forskriften defineres nu for hvert element i Z 54 at være nummereret på den plads, som i får. Vi kan dog reducere definitions- og billedmængden med seks elementer og betragter Z 48 = {1, 2,, 48} i stedet for, idet ingen operation kan flytte på vinduerne. For F har vi eksempelvis: F: Z 48 Z 48 i Nummeret på fladen som fladen med nummer i flyttes til, Ligeledes kan man definere de fem andre operationer. På figur 2.4(a) er hele terningen repræsenteret i en eksploderet version, og fladerne er blevet nummereret fra 1 til 48. En repræsentation af terningen med samme nummerering ses på figur 2.4(b) efter udførslen af F. Der gælder eksempelvis, at F(17) = 19, F(19) = 24, osv, F(6) = 25, F(25) = 43, osv, F(1) = 1, F(2) = 2, osv... (a) (b) Figur

18 Mere generelt kan man betragte mængden Z n = {1, 2,, n} med n elementer. De n elementer kan opfattes som nummererede pladser med et objekt i sig, og vi kan definere funktionen σ: Z n Z n, som grundlæggende bytter rundt på objekterne, altså med forskriften σ(i), værende nummeret på den plads, som objektet i pladsen i er kommet over. Lemma Funktionen σ er en bijektion. Bevis. Først vises, at σ er injektiv. Betragt x og y i Z n, så σ(x) = σ(y). Da der kun kan være et objekt pr. plads, medfører det, at x = y, altså er σ injektiv. Surjektiviteten kommer af, at alle n objekter fordeles i de n pladser, og dermed er der ingen ledig plads. Definition Enpermutationer en bijektiv funktion fra en endelig mængde på sig selv. De grundlæggende operationer i Rubiks terning kan altså defineres som permutationer af Z 48. De kan dog også opfattes som permutationer på Z 20, idet en operation i stedet for kan opfattes som en permutation af de 20 småterninger. Vælger man at gøre det, ser man implicit bort fra, hvordan de småterninger vender, og er kun interesseret i de småterninger som hele. Dette vil vise sig at være frugtbart. Bemærkning At hjørner ikke kan blive til kanter og omvendt, fortæller os, at vi kan betragte en operation som en kombination af en permutation af de otte hjørner altså en permutation på Z 8, en permutation af de tolv kanter altså en permutation på Z 12, og en angivelse af den enkelte ternings orientering. Dette vil komme helt naturligt lidt senere Singmasters notation Det er praktisk at omtale en bestemt småterning. En plads navngives således ved at skrive alle de sider, som den siddende småternings flader vender ud til. Eksempelvis betegnes den øverste plads til venstre på side F altså beregnet til et hjørne ved fvo. Ligeledes betegnes den øverste plads på side H mellem de to hjørner ved ho, og vinduet på side V betegnes blot ved v. Rækkefølgen er ligegyldig. Således betegner pladserne fvo og vfo den samme plads. Læseren kan med fordel bruge figur 2.5(a) til at huske navngivningen. Pladserne ændrer ikke navn efter en påført proces, da terningen er fastsat i rummet. (a) Figur 2.5. Dette giver os den nødvendige notation til at beskrive operationerne som permutationer af Z 20. Altså, når vi skriver F (fvo)=foh, betyder det, at den småterning i pladsen fvo kom over til pladsen foh. Almindeligvis vil den enkelte småterning blive døbt af den plads, den sidder i. Således er småterningen fvo en forkortelse for den småterning, som sidder i pladsen fvo. Vi kalder denne notation for Singmaster-notationen, opkaldt efter dens opfinder og terningpioner David Singmaster[2, 8]. 18

19 2.3.3 Processer, permutationer og deres orden At de grundlæggende operationer kan opfattes som permutationer tillader os at bruge resultater om bijektive funktioner fra afsnit 2.1, og dermed kan vi begynde at beskrive processer i terningen udfra fra de matematiske definitioner. Vi kan eksempelvis i henhold til lemma 2.6 definere den inverse til en operation. For F her som en permutation af Z 48 defineres inversen ved: F 1 : Z 48 Z 48 j i, hvorf(i)= j Operationsmæssigt fortæller denne definition, at permutationen F 1 fortryder en eventuel udførsel af F, altså, at F 1 er funktionen, som kan opnås ved dreje fladen F en kvart omgang mod uret. Dette er i overensstemmelse med, hvad vi tidligere selv har defineret operationen F 1 til. Ligeledes for inversen til de andre operationer. Hvis man betragter den sammensatte funktion O 1 O n, hvor O i er en permutation taget i mængden {F, V, O, B, N, H }, ender vi med en permutation, som kan opnås med processen P = O 1 O 2O n. Dette er årsagen til, at vi ikke har defineret sammensatte funktioner helt standard, som noteret i advarslen 2.8. Da permutationer er associative, gælder ligeledes, at processen F V H, eksempelvis kan betragtes som processen FV efterfulgt af H, eller F efterfulgt af VH, eller F efterfulgt af V efterfulgt af H. Identitetsfunktionen svarer til de processer, som efterlader en ternings tilstand uberørt, og FF 1 eller V 4 er blot et par eksempler på sådanne processer. Vi har tidligere defineret den tomme proces til at være processen af længde nul. Denne proces efterlader også terningens tilstand uberørt og svarer også til identitetsfunktionen. Den tomme proces kan også betragtes som en gentagelse af en proces P nul gange, altså ifølge vores notation en udførsel af P 0. Endvidere har funktionen f =O 1 O n, hvor O i er taget i mængden {F,V,O,B,N,H }, en inverse f 1 = O 1 n O 1 1 ifølge lemma 2.12(iii), og kan opnås med processen O n 1O 1 1. Endvidere gælder ved lemma 2.12(ii), at denne proces bringer terningen tilbage til den oprindelige tilstand. Altså kan man altid fortryde en proces P = O 1O n ved at fortryde hver eneste operation i omvendt rækkefølge, altså ved at udføre O n 1O 1 1. Denne proces kalder vi for den inverse til P og betegner den P 1. Disse overvejelser gør, som vi senere skal se, at de mulige permutationer i Rubiks terning udgør en gruppe. Definition Lad ρ være en permutation på Z n.ordenenaf ρ er det mindste naturlige tal i >0, så ρ i =I Zn, hvor ρ i = ρ ρ ρ.?i gange Så har man en proces P, er ordenen af P det mindste naturlige tal i > 0, så en udførsel af P i giver den samme tilstand som den oprindelige. Ordenen af F, betragtet som en permutation på Z 48 eller Z 20, er det mindste naturlige tal i > 0, så F i = Id. Vi prøver med 1, 2, 3 og finder frem til, at ordenen af F er fire. Ligeledes med de andre operationer, og dermed har alle de grundlæggende operationer betragtet som permutationer på Z 48, men også som permutation på Z 20 orden fire. Ordenen af en proces er ikke altid så åbenlys, og kræver lidt mere viden om permutationer. Det kigger vi på i næste kapitel. Imidlertid gælder et forundrende resultat til de fleste. Sætning Enhver proces har endelig orden. 19

20 Bevis. Betragt en proces P. Da antallet af tilstande er endeligt, vil vi efter måske mange gentagelser af P komme tilbage til en tidligere tilstand. Det viser dog ikke, at vi kommer tilbage til den oprindelige tilstand. Antag, at første gang vi gentager en tilstand T er efter m gentagelser af processen, og antag yderligere, at vi opnåede T for første gang efter k gentagelser, k < m. Der gælder specielt, at k er det eneste naturlige tal mindre end m, for hvilket P k = P m. Er k = 0 er vi færdige, da den første tilstand, som bliver gentaget, er selve start-tilstanden. Antag derfor, at 1 k, altså, at den første tilstand, som bliver gentaget, ikke er start-tilstanden. Der gælder, at P k = P m. Vi kigger nu på processerne P k P 1 og P m P 1. Disse to processer gentager P helholdsvis k og m gange efterfulgt af en fortrydelse af P. Men dette er det samme som henholdsvis (k 1) og (m 1) gentagelser af processen P. Vi har: P k P 1 = P k 1 = P m P 1 = P m 1 Altså er tilstanden efter (k 1) gentagelser og (m 1) gentagelser den samme, hvilket strider imod vores valg af k og m. Ergo k 1, og derfor må k =0. Ovenstående resultat fortæller, at man på et tidspunkt kommer tilbage til en løst terning, når man udfører den samme proces igen og igen, givet at start-tilstanden var den løste tilstand. Dette giver dog ikke nogen løsningsstrategi. Starter man med en blandet terning og udfører den samme proces et vist antal gange, kommer man igennem et vist antal tilstande, men der er intet, der sikrer, at den løste tilstand er en af dem. De grundlæggende operationer, som har orden fire, går f.eks. blot fire tilstande igennem før start-tilstanden opnås igen. Teoretisk set skulle man finde en proces, som har orden det totale antal af konfigurationerne for at være sikker på at få en løst terning. Dette fører os til et godt spørgsmål, nemlig, hvad den højeste mulige orden er, og hvilke(n) proces(ser) har den. Det viser sig, at den højeste orden, en proces kan have, er Et eksempel på sådan en proces er HFFB 1 OB 1. Det vil vi komme ind på lidt senere. 2.4 Grupper og permutationspuslespil I første kapitel var jeg inde på, at man definerer permutationspuslespil udfra den struktur gruppe som vi gerne vil arbejde med. Vi skal imidlertid se, at definitionen af et permutationspuslespil synes at være lidt bredere, end man umiddelbart synes er nødvendigt, men det gør vi for også at omfatte spil, som man også kan få en gruppe ud af. For at eksemplificere dette præsenteres et andet permutationspuslespil med lidt andre egenskaber end Rubiks terning spillet 15-spillet er popularitetsmæssigt forgænger til Rubiks terning. Det stammer fra midten af det 19. århundrede. Der har været debat omkring hvem, der opfandt spillet, og der hører en sød lille historie til dette. Den interesserede læser henvises til [19]. Spillet består af en ramme opdelt i 16 pladser, hvori 15 lige store, kvadratiske, nummererede brikker er sat, som illustreret på figur 2.6(a). I nogle udgaver kan brikkerne repræsentere en del af et billede fremfor at være nummererede. Naboer til det tomme felt kan glides ind i det, og på den måde kan man rykke rundt på brikkerne. 20

21 (a) (b) Figur 2.6. De grundlæggende operationer eller træk i 15-spillet er en ombytning af det tomme felt med en af dens naboer, og de betegnes på følgende måde. H betegner en ombytning af det tomme felt med dens højre nabo V betegner en ombytning af det tomme felt med dens venstre nabo O betegner en ombytning af det tomme felt med dens overbo N betegner en ombytning af det tomme felt med dens underbo Det tomme felt kan opfattes som den 16. brik, og i den forstand er en eller en følge af træk en permutation på Z 16. Disse træk er illustreret på figur 2.6(b). En proces i 15-spillet defineres i analogi med Rubiks terning som en muligvis tom følge af træk. Bemærk, at lovligheden af en proces forudsætter det tomme felt placeret hensigtsmæssigt. Fra den løste tilstand figur 2.6(a) er alle processer, der starter med H, eksempelvis ulovlige. Formålet med spillet er at glide sig frem til den løste tilstand, altså tilstanden, hvor brikkerne er kommet i den ønskede rækkefølge figur 2.6(a). Den grundlæggende spilmæssige forskel mellem Rubiks terning og 15-spillet er, at man altid har de samme træk til rådighed i Rubiks terning, uanset hvilken tilstand, man er kommet i. Altså vil man altid kunne udføre to vilkårlige processer efter hinanden. Dette gælder ikke i 15-spillet, simpelthen fordi den ene proces efterlader det tomme felt et sted, så den efterfølgende proces er ulovlig. Denne simple bemærkning gør, som vi skal se senere, at vi ikke kan få en permutationsgruppe på samme måde som for Rubiks terning. I analogi med Rubiks terning defineres en tilstand som den resulterende opstilling af de 15 små kvadratter omdelt i de 16 pladser i rammen. Imidlertid interesserer vi os kun for de tilstande, som man kan glide sig frem til, og som indeholder den løste tilstand. Definition Engyldigtilstand ellerkonguration man kan glide sig frem til fra den løste tilstand. i 15-spillet er en tilstand, Det vil stå klart om lidt, at det er blot en delmængde af de gyldige tilstande, som er interessante for os, og vi definerer derfor ved en lovlig konfiguration, en gyldig tilstand, hvor det tomme felt er placeret nederst til højre. Den løste tilstand er en lovlig konfiguration En stor familie Rubiks terning og 15-spillet tilhører den samme familie af permutationspuslespil. Vi har undersøgt egenskaber til Rubiks terning, og vi har set, at nogle af dem er terningens egne. Således skal vi rydde lidt op og giver her en definition af permutationspuslespil. 21

22 Begreberne træk eller operationer kan intuitivt generaliseres til permutationspuslespil som de mindste lovlige muligheder bestemt af spillets regler. Det samme gælder for tilstande og konfigurationer. Intuitivt er tilstand det øjensynlige eller anden visuel opstilling, som er et resultat af en muligvis tom følge af træk. Definition Et t-personsspiler et spil, som opfylder følgende betingelser. Til enhver tid råder spilleren over et endeligt antal træk. Til enhver tid er der en følge af træk, der fører til en løsning. Der er intet skjult. Spilleren har fuldt overblik over dens muligheder. Om et bestemt træk er muligt i forløbet af spillet kan ikke afhænge af tidligere træk. Denne definition af et ét-persons spil gives i analogi med den gængse definition af et to-personers spil[10]. Den sidste betingelse udelukker f.eks. spil som skak, hvor kongen eksempelvis kun kan lave en rokade, hvis ikke den er blevet flyttet før. Definition Etpermutationspuslespil eller blotpuslespil er et ét-persons spil, som opfylder følgende betingelser. i. For en n > 1, alt afhængigt af spillets konstruktion, svarer hvert træk til en entydig permutation af Z n. ii. Hvis en af permutationerne af Z n fra(i)svarer til flere forskellige træk, så skal de tilstande, opnået ved disse træk, ikke kunne skelnes. iii. Hvert træk skal kunne fortrydes i den forstand, at efter udførslen af et træk T skal der findes et træk T 1, som fører til tilstanden før, T blev udført. iv. Hvis T 1 er en lovlig følge af træk svarende til permutationen σ 1, og hvis T 2 er en lovlig følge af træk svarende til permutationen σ 2, så er trækket T 1 efterfulgt af T 2 enten ulovligt eller svarer til permutationen σ 1 σ 2. Som vi skal se i næste afsnit, er det en matematisk-orienteret definition, idet den sætter det ønskede forhold mellem spillets konstruktion, regler og permutationer. Eksempel Rubiks terning og 15-spillet kan opfattes som permutationspuslespil af ovenstående overvejelser Permutationspuslespil og grupper Definition af en gruppe Vi er nu kommet til grundstenen i gruppeteori, nemlig begrebet gruppe, som vi her giver en definition af. Definition Vi betegner ved engruppeen mængde G udstyret med en binær operation, som opfylder følgende betingelser. Associativitet. g 1, g 2, g 3 G,(g 1 g 2 ) g 3 = g 1 (g 2 g 3 ) Neutraltelement. e G, g G, g e=e g = g Inverselement. g G, h G, g h=h g =e Afslutning. g 1, g 2 G, g 1 g 2 G 22

23 Gruppen betegnes (G, ), og kaldes endelig, såfremt mængden G indeholder et endeligt antal elementer. En gruppe er altså en struktur, eller rettere sagt en mængde og en operation knyttet til den, og det eneste vi kræver, er de ovenstående fire aksiomer. Der findes mange grupper. Den interesserede læser kan vise, at de hele tal udstyret med den sædvanlige addition altså (Z,+) er en gruppe med neutralt element 0. Dog er (Z, ) ingen gruppe, idet operationen ikke er associativ, da (1 2) 31 (2 3). De reelle tal udstyret med den sædvanlige multiplikation altså (R,.) er ingen gruppe, idet det reelle tal 0 har ingen inverse under multiplikation. De reelle tal fratrukket tallet 0 og udstyret med den sædvanlige multiplikation altså (R\{0},.) er til gengæld en gruppe med neutralt element 1. Eksempel Gruppen ({e}, ) bestående af blot det neutrale element for operationen er den mindste gruppe, man kan opnå og kaldes den trivielle gruppe Fra spil til gruppe Vi skal nu se, hvordan vi kan få en gruppe ud af de spil, som opfylder definition Først og fremmest kræver betingelse (i), at spillet har n brikker i en eller anden forstand, og at hver enkel af spillets træk svarer til en permutation af disse brikker. Udføres træk efter hinanden gælder ved (iv), at den opnåede permutation er den sammensatte af trækkenes permutation. Lad T være mængden af alle de muligvis tomme lovlige følger af træk udført på alle de lovligt opnået tilstande af spillet, og lad S n være mængden af alle de mulige permutationer på Z n. Definition 2.28 inducerer en funktion δ: T S n, som grundlæggende knytter hver lovlig følge af træk i T til en entydig permutation af Z n. Surjektiviteten af δ er ikke altid sikret, idet vi i tilfældet af Rubiks terning har set, at der er nogle tilstande, som man ikke kan dreje sig frem til. Injektivitet er ikke altid sikret, idet vi tillader i (ii), at flere følger af træk kan svare til den samme permutation. Hvis ikke det var tilfældet, ville Rubiks terning ikke kunne være et permutationspuslespil, idet processerne F 4 og V 4 eksempelvis svarer til den samme permutation, nemlig identiteten. Vi ønsker ligeledes konsistens, altså at en permutation kun på én måde ændrer det øjensynlige. Det sikrer vi også med (ii). Betragt to lovlige følger af træk P 1 og P 2 i T og antag, at de kan udføres efter hinanden. Vi kan omformulere definition 2.28(iv) til δ(t 1 efterfulgt af T 2 )=δ(t 1 ) δ(t 2 ). Det står nu klart, at δ(t) er en delmængde af S n. Vi prøver at vise, at (δ(t), ) udgør en gruppe. Det kan vi næsten, men også kun næsten. Da δ(t) er en mængde af permutationer sikres associativiteten af lemma 2.9. Det neutrale element er identitetsfunktionen på Z n ved lemma 2.12(i), og sikres at findes i δ(t), da ethvert træk kan fortrydes. Mere formelt har vi δ(t efterfulgt af T 1 )=Id. At de to træk T og T 1 altid vil kunne udføres efter hinanden sikres af definition 2.28(iii). Specielt gælder nu, at en følge af træk altid kan fortrydes ved at fortryde hvert eneste træk i omvendt rækkefølge, og dermed har en følge af træk P en inverse P 1, for hvilken der gælder, δ( P efterfulgt af P 1 )=Id=δ(P) δ(p 1 ) Specielt er P og P 1 hinandens inverser, og der gælder ligeledes δ( P 1 efterfulgt af P)=Id=δ(P 1 ) δ(p) Altså for vilkårlig σ = δ(p) i δ(t) findes σ 1 =δ(p 1 ) i δ(t) med σ σ 1 =σ 1 σ = Id. 23

24 Det er nu, at næsten kommer ind i billedet, for (δ(t), ) er ikke altid afsluttet. For vilkårlige elementer P 1 og P 2 i T, kan P 1 efterfulgt af P 2 være ulovlig, altså en følge af træk, som ikke kan udføres. I 15-spillet svarer dette til at tage to følger af træk, hvor det første efterlader det tomme felt uhensigtsmæssigt. Konsekvensen er, at δ(p 1 ) δ(p 2 ) ikke nødvendigvis findes i δ(t). Kan man så sige, at definition 2.28 omfatter for mange spil? En umiddelbar tanke er at ændre definitionen, så man kun tillader spil, hvor alle elementer i T kan udføres efter hinanden. Det virker, men udelukker spil, som man alligevel kan få en gruppe ud af. Sagen er, at man ikke nødvendigvis er interesseret i, at (δ(t), ) skal udgøre en gruppe for enhver pris. For sådanne spil kan man nøjes med at vælge de følger af træk T s i T, som kan sammensættes. Bemærk nu, at inverser til elementer i T s selv ligger i T s, idet vi har bemærket, at man altid vil kunne udføre en følge af træk og dens inverse efter hinanden. Følgelig er (δ(t s ), ) er gruppe. Spil, hvor denne fremgangsmåde er nødvendig, er som sagt 15-spillet men også Square 1 puzzle. Interesserede læsere i dette spil henvises til [7] Identificering af Rubiks gruppe og 15-gruppen Vi er nu i stand til at identificere permutationsgrupper i både Rubiks terning og 15-spillet. Hvad 15-spillet angår, skal vi vælge de træk, som forudsætter og efterlader det tomme felt samme sted. Da den løste tilstand skal kunne opnås, vælger vi naturligvis alle de lovlige følger af træk i 15-spillet, som kan udføres på en lovlig konfiguration, og som efterlader spillet i en lovlig konfiguration. Denne mængde kalder vi for T 15. Da samtlige elementer i T 15 nu kan udføres efter hinanden, gælder afslutningsbetingelsen, og (δ(t 15 ), ) udgør en gruppe. Da det tomme felt nu hører fast til nederst til højre, består gruppen af 15-spillet også betegnet 15-gruppen af alle de permutationer af de 15 brikker, som lovligt kan opnås. Vi undersøger denne gruppe i kapitel 3. Så meget skal vi ikke gøre ud af det for at få en permutationsgruppe ud af Rubiks terning. Mængden T for terningen betegnes T r og består naturligt af alle de mulige følger af træk taget i mængden {F, V, H, O, N, B}. Ved en endt proces, har man de samme muligheder igen, og to processer i T r vil altid kunne udføres efter hinanden. Derfor gælder afslutningsbetingelsen trivielt for (δ(t r ), ), som så udgør Rubiks gruppe. Rubiks terning er af denne grund også berømt for at være et håndfast eksempel på en gruppe. Rubiks gruppe består altså af alle de permutationer af de 48 flader opnået ved at dreje på siderne. Vi undersøger denne gruppe i kapitel 4. 24

25 Kapitel 3 Permutationspuslespillenes matematik 3.1 Mere om permutationer Cykelnotation og r-cykler Vi skal nu grave dybere i permutationernes verden. Vi har set, at en permutation er en bijektiv funktion fra en mængde X på den selv, og at en permutation kan opfattes som en omdeling af X objekter på de X pladser. Vi kan derfor med fordel antage X til at være Z n = {1,2,,n}, hvor en nummerering allerede er tilgængelig. En universal notation for en permutation stilles op i to rækker, hvor elementerne i den øverste række betegner pladserne, hvor objekterne oprindeligt var, og den nederste række angiver, hvor objekterne bliver flyttet til. 3 Notation 3.1. Lad σ være en permutation på Z n. Man kan beskrive σ eksplicit ved: ( ) 1 2 n σ: σ(1) σ(2) σ(3)σ(n) Denne notation kaldes tabelnotationen. Eksempel 3.2. Følgende permutationer i tabelnotation er alle de mulige permutationer på Z 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,,, Definition 3.3. Lad σ være en permutation af Z n. Et element af Z n vil enten bliveyttet, altså opfylde σ(x)x eller værekspunktfor σ, altså opfylde σ(x) = x. To permutationer σ og τ af Z n kaldesdisjunkte, såfremt mængden af elementer, der flyttes af σ er disjunkt med mængden af elementer, der flyttes af τ. Lemma 3.4. Lad σ og τ være to disjunkte permutationer af Z n, da gælder σ τ =τ σ Bevis. Lad i Z n. Enten σ eller τ flytter på i eller også flytter hverken σ eller τ på i. I det første tilfælde, antag, at σ flytter på i. Vi har σ τ(i) = τ(σ(i)) = σ(i). På den anden side, τ σ(i)=σ(τ(i))=σ(i), da τ og σ er disjunkte. I det andet tilfælde har vi τ σ(i) =σ(τ(i)) =σ(i)=i og σ τ(i)=τ(σ(i))=τ(i)=i. Definition 3.5. Lad a 1, a 2, a r Z n, r < n. Ved symbolet (a 1 a 2a r ) menes en permutation σ: Z n Z n med forskrift σ(a 1 )=a 2,σ(a 2 )=a 3,,σ(a r )=a 1, og σ(i)=i, foria 1,a 2,,a r 25

26 Med andre ord betegner (a 1 a 2a r ), at σ flytter objektet på pladsen a 1 over på pladsen a 2, objektet på pladsen a 2 over på pladsen a 3, osv..., objektet på pladsen a r over på pladsen a 1. Alle andre objekter på de andre pladser er fikspunkter for σ. Sådan en permutation kaldescyklisk, og symbolet (a 1 a 2a r ) kaldes en cykel. Længden af cyklen (a 1 a 2a r ) er r, og en cykel af længde r kaldes enr-cykel. Specielt kaldes en 2- cykel for en transposition. Det følger af definition 3.3, at to cykliske permutationer (a 1 a 2a r ) og (b 1 b 2b s ) er disjunkte, såfremt mængderne {a 1, a 2,, a r } og {b 1, b 2,, b s } er disjunkte. Tilsyneladende kan forskellige r-cykler beskrive den samme cykliske permutation, idet der umiddelbart gælder: (a 1 a 2a r ) =(a i a i+1a r a 1a i 1 ), for1 i r (3.1) Altså for en cyklisk permutation er det det første element i cyklen, der bestemmer. Eksempel 3.6. Lad τ være en permutation på Z 3, så τ(1) = 2, τ(2) = 3 og τ(3) = 1. Da kan τ skrives som r-cyklerne (1 2 3), (2 3 1) eller (3 1 2) Cykelsætningen Betragt permutationen på Z 6 i tabelnotationen ( ) σ: Vi begynder med objektet på pladsen 1, ser hvilken plads den får, og følger så det objekt, som var på denne plads, og fortsætter indtil et objekt optager pladsen 1 igen. σ(1)=3,σ(3)=2,σ(2)=4og σ(4)=1 Vi kan opsummere dette ved γ 1 = ( ), for γ 1 (i) = σ(i) for i = 1, 2, 3 eller 4. Vi fortsætter med den næste plads, som ikke er i γ 1 og finder pladsen 5. σ(5)=6 og σ(6) =5 Altså har vi nu en transposition γ 2 = (5 6), med γ 2 (i) = σ(i) for i = 5 eller 6, og vi har ikke flere elementer af Z 6, som ikke er i enten γ 1 eller γ 2. Permutationerne γ 1 og γ 2 er disjunkte, og vi har σ = γ 1 γ 2 =( ) (5 6). Hvad har vi gjort? Vi har skrevet σ som en sammensætning af disjunkte cykler. Vi skal bruge resten af afsnittet til at vise, at enhver permutation kan skrives som en sammensætning af disjunkte cykler. Lad så σ være en vilkårlig permutation på Z n, og lad a Z n. Vi betragter nu mængden B a (σ) = {a 1 = a, σ(a 1 ) = a 2, σ(a 2 ) = a 3,} bestående af elementer af Z n. Da Z n er endelig, vil der efter lad os sige r elementer opstå den første gentagelse af et element af Z n. Altså vil vi have en følge a 1, a 2,, a r bestående af forskellige elementer, hvor σ(a r ) = a r+1, og a r+1 er den første gentagelse af et element a i allerede i følgen a 1, a 2,, a r. Er i 2 fås a i = a r+1 σ(a i 1 ) = σ(a r ). Da σ er en permutation og dermed er injektiv, følger a i 1 = a r, og dette strider mod, at elementerne a 1, a 2,, a r var forskellige. Derfor, i = 1, og så σ(a r ) = a r+1 = a 1. Mængden B a (σ) kan altså opfattes som en periodisk følge af elementerne {a 1,a 2,,a r }. Definition 3.7. Lad σ være en permutation på Z n, og lad a Z n.banenfor a i σ, betegnet B a, består af de r forskellige elementer, som bliver gentaget i B a (σ). Altså er banen for a mængden B a = {a 1,a 2,,a r }, hvor a=a 1,σ(a i )=a i+1 for 1 i<r, og σ(a r )=a 1 (3.2) 26

27 Eksempel 3.8. Lad σ være en permutation på Z 6, som i (3.2). B 1 = {1,3,2,4} og B 5 = {5,6}. Hvis b = a i B a, kan vi opstille banerne for a og b på følgende måde, hvor man kan sætte et lighedstegn mellem elementerne, som er opstillet oven på hinanden. B a (σ)={ a=a 1, a 2,, a i 1, a i, a i+1,, a r, a 1,, a i 1, a i,} B b (σ)={ b=b 1, b 2,, b r i+1, b r i+2,, b r, b r+1,} Altså har vi B b =B a. Dette har til følge, at to baner, som har et element tilfælles, er ens, og derfor er to baner enten disjunkte eller ens. Endvidere er en bane aldrig tom, idet banen B a mindst indeholder elementet a. Specielt gælder der for fikspunktet a, at B a = {a}. Altså er det muligt at opskrive Z n kaldesbanens som foreningsmængden af alle banerne for σ. Man siger, at banerne udgør en klassedeling af Z n. Definition 3.9. Lad σ være en permutation på Z n, og lad a Z n. Banen B a = {a 1, a 2,, a r } definerer implicit en cyklisk permutation γ på Z n med r-cykel (a 1 a 2a r ) og tilh rendecykel. Sætning [Cykelsætning] Lad σ være en permutation af Z n, lad B 1, B 2,, B m være banerne for σ og lad γ 1, γ 2,, γ m være deres tilhørende cykler. Da gælder ligningen, σ = γ 1 γ 2 γ m (3.3) Bevis. Ligningen (3.3) har på dens venstre side en permutation af Z n. Ifølge sætningen om sammensætning af permutationer, er højresiden ligeledes en permutation af Z n. For at vise ligningen (3.3) skal vi altså blot vise, at de begge har samme forskrift for alle x i Z n. Lad os derfor betragte x Z n. Da hvert element af Z n tilhører netop én bane, kan vi antage, at der findes et entydigt i, 1 i m, så x B i med tilhørende cykel γ i. Der gælder, ifølge definition 3.7, at σ(x) og x ligger i samme bane, hvorfor der gælder σ(x) = γ i (x). Venstre-siden af ligningen (3.3) giver dermed γ i (x) som værdi. For at beregne γ 1 γ 2 γ m (x) argumenterer vi, at x kun bliver flyttet af γ i. Da x og γ i (x) ligger i samme bane, er γ i (x) fikspunkt for de andre r-cykler, hvorfor værdien af højresiden er γ 1 γ 2 γ m (x) = γ i kaldescykelstrukturen. Hvordan man fremstiller en cykelnotation for en bestemt permutation σ ligger næsten sæt- (x)=σ(x). En anden måde at statuere dette resultat på er, at enhver permutation kan skrives som en sammensætning af disjunkte, cykliske permutationer. Enhver fremstilling af en permutation som en sammensætning af disjunkte, cykliske permutationer kaldes encykelnotation. Ovenstående resultat har også til følge, at to cykelnotationer for den samme permutation har samme antal cykler af en vis længde. Det er en permutations aftryk og ning 3.10: Find samtlige baner for permutationen. Permutationen kan nu skrives op som en sammensætning af banerens tilhørende cykler. Rækkefølgen er ligegyldig ved lemma 3.4, idet de producerede cykler er disjunkte. Et eksempel derpå er allerede blevet givet for permutationen defineret i (3.2). Lemma Lad σ være en r-cykel. Da kan σ skrives som en sammensætning af r 1 transpositioner. Bevis. Der gælder øjensynligt, at σ =(a 1 a 2a r ) =(a 1 a 2 ) (a 1 a r 1 ) (a 1 a r ). 27

28 Eksempel Med nummereringen i henhold til figur 2.4 er en fremstilling af de grundlæggende operationer opfattet som permutation af Z 48 som en sammensætning af disjunkte cykler: F = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) En cykelnotation for de grundlæggende operationer opfattet som permutation af Z 20 opnås med Singmaster-notationen. F = (fvo foh fhn fnv) (fo fh fn fv) V = (vbo vof vfn vnb) (vo vf vn vb) H = (rfo rob rbn rnf) (ro rb rn rf) O = (ofv ohf obh ovb) (of oh ob ov) B = (bov bvn bnh bho) (bo bv bn bh) N = (nvb nfv nhf nbh) (nb nv nf nh) At en kant ikke kan blive til et hjørne afspejler sig også i formen af cykelnotationen Om ordenen af permutationer Vi har i definitionen 2.24 angivet, hvad ordenen af en permutation er. Lemma Den cykliske permutation τ =(a 1 a 2a r ) af Z n, r n, har orden r. Bevis. Vi skal vise, at for alle x Z n gælder τ r (x) = x, og at r er det mindste naturlige tal, så dette gælder for alle elementer i Z n. Lad x Z n, som ikke er blandt {a 1, a 2, a 3,, a r }. Der gælder, at τ(x) = x, hvorfor x har orden 1. Ethvert multiplum af 1 altså alle de naturlige tal vil derfor opfylde τ r (x) = x. Vi kan således begrænse os til tilfældet, hvor x er blandt elementerne {a 1,a 2,a 3,,a r }. Antag derfor, at x = a i, 1 i r. Der gælder øjensynligt, at τ r (a i ) = a i. Altså har vi vist, at τ r (x) = x, x Z n. At r er det mindste naturlige tal, for hvilket det gælder, følger af, at elementer i mængden {a 1,a 2,a 3,,a r } er forskellige, altså at ingen elementer bliver gentaget. I eksemplet 3.12 er de grundlæggende operationer for terningen skrevet som en sammensætning af disjunkte cykler af længde 4. Vi ved i forvejen, at F både på Z 48 og Z 20 har orden 4, men får man en vilkårlig og mere kompliceret permutation skrevet op som en sammensætning af disjunkte cykler, kan man bruge følgende resultat. Lemma Lad σ Z n, og lad γ 1 γ 2 γ k være en cykelnotation for σ. Ordenen af σ er det mindste fælles multiplum af længderne r 1,r 2,,r k af cyklerne γ 1, γ 2,, γ k. Bevis. Betragt de k disjunkte cykliske permutationer γ i af Z n af længde r i. Lad symbolet mfm(r 1,,r k ) betegne det mindste fælles multiplum af længderne r 1,,r k. Vi viser pr. induktion på k, at γ 1 γ 2 γ k har orden mfm(r 1,,r k ). 28

29 For k = 1, har vi σ = γ 1 = γ 1 Id, hvorfor σ er cyklisk, så dens orden er ifølge lemma 3.13 r 1 = mfm(r 1,1), da identitetsfunktionen har orden 1. Antag derfor, at resultatet gælder for k 1, altså at ordenen af τ = γ 1 γ 2 γ k 1 er mfm(r 1,, r k 1 ) = m. Vi har σ = τ γ k = γ 1 γ 2 γ k 1 γ k. Ifølge lemma 3.13 har γ k orden r k. Vi har, σ mfm(m,r k) = (τ γ k ) mfm(m,r k) = τ mfm(m,r k) γ k mfm(m,r k ) (3.4) = Id (3.5) hvor (3.4) følger af lemma 3.4, da τ og γ k er disjunkte, og (3.5) følger af, at eksponenterne er multipler af permutationernes orden. Vi mangler nu at vise, at der ikke findes t < mfm(m, r k ), t N, så σ t = Id. Antag derfor, at t findes, så vi har σ t = (τ γ k ) t = Id. Da σ og γ k er disjunkte, er σ t = Id og γ t k = Id, hvorfor t er et multiplum af både m og r k. Men da det antages, at t < mfm(m, r k ), kan det ikke lade sig gøre. Altså har vi vist, at ordenen af en sammensætning af k disjunkte cykliske permutationer γ i af Z n af længde r i er mfm(m,r k ), som også kan skrives mfm(r 1,,r k ). Da to cykelnotationer for en permutation består af cykler, hvis længder stemmer overens, følger påstanden. Vi anvender ovenstående lemma på processen P = HFFB 1 OB 1, hvis orden blev påstået at være 1260 som permutation af Z 48 i afsnit En cykelnotation for P er, P = ( ) (2 47) ( ) ( ) ( ) (34 39) Ovenstående består af to 2-cykler, én 4-cykel, én 9-cykel, én 14-cykel og én 15-cykel. Altså er ordenen af P ifølge lemma 3.14: mfm(2,4,9, 14, 15)= =1260 Singmaster-notationen bruges nu, og en cykelnotation for P, betragtet som en permutation af Z 20 er, P =(fh of nf ov bh nh fv) (bv oh) (nb ob) (obv ofh nvb nbh ohb) (nfv ovf nhf) Ovenstående cykelnotation består af en 7-cykel, to 2-cykler, en 5-cykel, og en 3-cykel. Ifølge lemma 3.14 har P orden mfm(2,2,7,5,3)=210. At P har orden 210 som permutation på Z 20, men orden 1260 som permutation på Z 48, fortæller os, at alle småterningerne vender tilbage til deres oprindelige pladser efter 210 gentagelser af P, skønt enkelte småterninger bliver vendt eller drejet i forhold til den oprindelige tilstand. Vi ønsker så at vide, hvordan fladerne på småterningerne bliver permuteret, og betragter derfor Q = P 210 som en permutation på Z 48. Det følger, at Q nødvendigvis må have orden =6. Vi kigger derfor på Q, Q 2, Q 3, Q 4 og Q 5, som illustreret på figur 3.1. Bemærkning Når vi, som nu, vil eksemplificere en proces virkning på Rubiks terning, er det naturligt at vælge den løste tilstand som start-tilstand, hvorfor en proces antages at påføres den løste tilstand, medmindre andet er specificeret. 29

30 (a) Q (b) Q 2 (c) Q 3 (d) Q 4 (e) Q 5 Figur 3.1. Efter udføreslen af Q er det blot fem småterninger, som ikke vender rigtigt. Det drejer sig om bv -, fov -, fvn -, oh -, og nhf -terningerne, altså tre hjørner og to kanter. Altså bliver disse vendt eller drejet efter hver udførsel af Q. Hvad kanterne angår, bliver de vendt efter hver udførsel af Q, hvorfor de vender rigtigt efter hveranden udførsel af Q. Altså må en cykelnotation for Q indeholde to transpositioner. Ligeledes for hjørnerne. Disse bliver drejet og vender rigtigt efter hver tredje udførsel af Q. Derfor må enhver cykelnotation for Q indeholde tre 3-cykler. Følgelig er ordenen af Q tallet mfm(2,3)=6. Det oplyses, at Q=(5 26)( )(12 37)( )( ). 3.2 Basale gruppe-begreber Grundlæggende gruppeteori Vi lader permutationerne være et øjeblik, men vender tilbage til dem lidt senere. Vi kigger i stedet for på grupper, som vi har defineret i forrige kapitel. De relativt få krav fra definition 2.30 er allerede brugbare i den forstand, at de inducerer generelle resultater om grupper, altså uanset gruppens operation og naturen af gruppens elementer. Notation Når man arbejder med en gruppe som struktur, er operationens sande natur overflødig, hvorfor symbolet for operationen også vil blive udeladt i regnestykkerne. Specielt betegner gruppen G en mængde G udstyret med en passende operation. Endvidere, når operationen udføres mellem to elementer a og b i G skrives blot ab fremfor eksempelvis a b, som man egentligt burde i forhold til definition Da operationen opfører sig notationsmæssigt som den velkendte multiplikation, tiltales a b somproduktetaf a og b. Endvidere, for g G fastsætter vi følgende notation. For n N, g n = ggg. Specielt sættes g 0 =e, hvor e er det neutrale element i G.?n gange Symbolet g 1 betegner det inverse element til g i G. For n N, g n =(g 1 ) n. Specielt er g 0 =(g 1 ) 0 =e, da g 1 G. Ovenstående notation er blot en formalisering til alle grupper af den notation, vi allerede har brugt med permutationer. Definition Lad G være en gruppe, og lad g,h G. Vi siger, at g og h kommuterer, hvis gh = hg. Gruppen G kaldeskommutativ ellerabelsk såfremt samtlige par af elementer i gruppen kommuterer. 30

31 Lemma Lad G være en gruppe, og lad g,h G. Der gælder følgende potensregler: i. g p+n = g p g n ii. g pn =(g p ) n iii. (gh) n = g n h n, når gh=hg Bevis. i. g p+n = gggggg?p+n gange = ggg ggg = g p g n.?p gange?n gange ii. g pn = ggg = ggg ggg ggg?pn gange?p gange?p gange?p gangeggg?p gange = g p g pgp =(g p ) n.?n gange iii. (gh) n = ghghgh?n gange gh gh=hg = gggghhh= g n h n. Gruppeoperationen er en binær operation, som også kaldes for en binær funktion. Dette indebærer, at for en operation f: G G G, er f(g, h) G entydig. Dette medfører, at for vilkårlige g,h og k i G, gælder g =h gk =hk. Det omvendte gælder også ved følgende lemma. Lemma Lad G være en gruppe og lad g, h og k være elementer i G. Hvis gk = hk, da gælder der g =h. Ligeledes medfører kg =kh, at g = h. Bevis. Vi viser det første tilfælde. En tilsvarende argumentation viser det andet tilfælde. Lad g,h og k være som defineret. Vi har: gk = hk gkk 1 =hkk 1 g(kk 1 ) =h(kk 1 ) ge=he g =h Lemma I en gruppe G er det neutrale element entydigt. Bevis. Antag, at der findes to neutrale elementer e 1 og e 2. Der gælder e 1 = e 1 e 2 =e 2. Lemma Lad G være en gruppe, og lad g G. Da er g 1 entydigt. Bevis. Antag, at der findes h, k G, så gh = e, og gk = e. Da gælder gh = gk. Ved lemma 3.19 gælder, at h=k. Altså er inverser entydigt bestemte. Lemma Lad G være en gruppe, og lad g,h G, så gh= e. Da gælder hg =e. Bevis. Vi viser, at inversen til g er h. Lad g 1 være inversen til g. Da gælder specielt: gg 1 =e= gh Ved lemma 3.19 har vi nu g 1 =h, hvorfor h er inversen til g. Altså gælder hg = e. 31

32 Generelt set er invers-egenskaben dual, idet vi har (g 1 ) 1 = g Rubiks gruppe som endelig gruppe Definition Lad G være en gruppe.ordenenaf G, betegnet G er antallet af elementer i G, såfremt G er en endelig mængde. I så fald kaldes gruppenendelig. Er G en uendelig mængde skrives G =, og gruppen kaldesuendelig. Endvidere kaldes det mindste positive naturlige tal n, så g n = e (hvis den findes) g s orden, og man skriver g =n. Vi har i forrige kapitel defineret Rubiks gruppe til at bestå af mængden δ(t r ) af alle de permutationer, man kan dreje sig frem til, udstyret med som gruppeoperation. Da det følgende skal handle meget om Rubiks gruppe, er det praktisk at navngive denne gruppe, og vi kalder den for R. Det er her vigtigt at gøre klart, at R består af permutationer, altså bijektive funktioner af Z 48, og svarer til de permutationer af de 48 flader af terningen, som man kan dreje sig frem til. Alle processer skabt som en muligvis tom følge af elementer taget i {F, V, H, O, N, B} svarer til en entydig permutation og er med i R. Processerne F 3 og F 7 er dog eksempelvis det samme element i R, idet de omdeler de 48 flader på samme måde. Rubiks gruppe er en ikke-kommutativ gruppe, idet FR og RF eksempelvis ikke er samme permutation. Da der øjensynligt er et endeligt antal måder at omdele de 48 flader på, er Rubiks gruppe dog endelig. Gruppen for 15-spillet er også en endelig gruppe, idet der findes endelige mange måder at omdele 15 brikker på 15 pladser, skønt vi om lidt skal se, at dette er en grov opadbegrænsning for, hvor mange permutationer, der kan opnås. Af definitionen 2.28 følger nu, at enhver gruppe bestående af permutationer svarende til følger af træk i et permutationspuslespil, er endelig. Vi vil derfor rette vores studier af grupper til det endelige tilfælde. Lemma Lad G være en endelig gruppe, og lad g G. Ethvert element i G har endelig orden. Bevis. Lad g G. Alle potenser af g, altså g i for i = 1, 2, 3,, er elementer i G, og da G er endelig, må der på et tidspunkt gentages et element af G i følgen g, g 2, g 3,og derfor findes der naturlige tal k og j, k > j, så g k = g j. Der gælder: g k g 1g 1?j gange = g k j = g j g 1g 1?j gange Da k j > 0, kan vi konkludere, at g har højst orden k j, hvilket gør rede for, at elementer i en endelig gruppe har endelig orden. Dermed har alle elementer i R endelig orden. Men dette resultat har vi allerede set, idet vi har vist, at enhver proces har endelig orden. Ovenstående lemma bekræfter dette mere formelt, og fastlægger, at det ikke kun gælder for Rubiks terning, men er en generel egenskab for elementer i en endelig gruppe. Følgelig gælder det også for 15-spillet. Starter man med en lovlig konfiguration, og udfører den samme følge af træk, så man ender i en lovlig konfiguration, vil man komme tilbage til start-tilstanden. Lemma Lad G være en endelig gruppe, og lad g G. Da findes der n N, så g 1 = g n. =e 32

33 Bevis. Hvis g = e, gælder lemmaet trivielt, idet n = 1 passer glimrende. Antag derfor ge. Da gruppen er endelig, har g endelig orden ved lemma 3.24, og derfor findes der et m N, så g m =e. Da ge, har vi, at m>1. Sæt derfor n=m 1. Vi har: gg n = g 1+m 1 = g m =e Ved lemma 3.22 gælder, at g n er inversen til g, altså g 1 = g n. I permutationspuslespil-sammenhæng fortæller ovenstående lemma, at den inverse til en følge af træk T kan opnås ved tilpas mange gentagne anvendelser af T. Det ligger også i beviset, at g m 1 = g 1, hvor m er ordenen af elementet g, hvorfor eksempelvis F 3 = F 1 i Rubiks terning. Definition Lad G være en gruppe, og lad S være en delmængde af G. Vi siger, at G er frembragtafs, og skriver G=<S >, såfremt hvert element af G kan skrives som et endeligt produkt med gruppeoperationen af elementer af S og deres inverser. Elementerne af S kaldesfrembringerne. Da en proces i Rubiks terning er en følge af de grundlæggende operationer, følger specielt R = < F, V, H, O, N, B >. Der gælder her, at inverserne ikke er nødvendige for at frembringe hele gruppen, men dette er et resultat, som kan generaliseres til alle endelige grupper. Lemma Lad G være en endelig gruppe, og lad S være en delmængde af G. Da er gruppen G frembragt af S, altså G = < S >, hvis og kun hvis samtlige elementer af gruppen G kan skrives som et endeligt produkt (med gruppens operation) af elementerne i S. Bevis. Vi viser de to veje.. Antag først, at gruppens samtlige elementer kan skrives som et endeligt produkt af elementerne i S. Da er G=<S > ifølge definition Antag nu, at G = < S >, og betragt et vilkårligt element g G. Da kan g skrives som et endeligt produkt af elementer i S og deres inverser, altså, har vi g =s 1 s 2s n 1 s n, for n N. Alle s i erne har den egenskab, at s i, 1 i n, enten s i S eller s 1 i S. For s i erne i førstnævnte tilfælde gør vi ikke noget. Dem i andet tilfælde kan omskrives ved hjælp af lemma Vi har nu omskrevet g som et endeligt produkt bestående udelukkende af elementer fra S Undergrupper og Rubiks gruppe Undergrupper i R Definition En ikke tom delmængde H af en gruppe G kaldes enundergruppe, såfremt H, udstyret med samme operation som G, også er en gruppe. Vi betragter en ikke-tom delmængde S af en endelig gruppe G og kigger på < S >. Elementerne i S er associative, da dette nedarves direkte fra G. For g S, har g ved lemma 3.24 endelig orden lad os sige n og da potenserne g, g 2, g 3,, g n 1, g n = e er i < S >, indeholder < S > det neutrale element. Til sidst for h < S >, skrives h som et produkt af elementer i S, hvorfor samtlige potenser af h også kan skrives som et produkt af elementer i S. Ved lemma 3.25 er h 1 altså også med i < S >, og vi har dermed bevist, at < S > udgør en undergruppe af eller hele G. De mindste ikke-trivielle af slagsen er < g > = {g, g 2, g 3,, g n 1, g n = e} ved lemmaerne 3.24 og 3.27, og < g > er en endelig kommutativ undergruppe af G af orden n. 33

34 Det er meget interessant, hvad Rubiks terning angår, for en ikke tom delmængde af elementer af R frembringer en undergruppe af R. Spilmæssigt indeholder sådan en undergruppe alle de permutationer, man kan opnå udelukkende med frembringerne. Dette betyder, at undergruppen < S > er gruppen af spillet, hvor de tilladte træk er blevet begrænset til netop frembringerne. Undergruppen < F, H > af R er eksempelvis gruppen af spillet på terning, hvor man må blande og løse terningen udelukkende med processerne F og H. At begrænse sig til et par processer i terningen og kigge på dens virkning gør, at man bedre kan lære processer, som flytter bestemte småterninger. En proces skabt udelukkende med F og H har mindst 5 småterninger som fikspunkter. Rent gruppeteorimæssigt er det også interessant at se, hvor stor en del af R, der bliver frembragt. Det er overraskende nok svært at finde små undergrupper frembragt af simple processer. Størrelsen bliver ret hurtigt stor, måske på nær med de helt simple. For eksempel er undergrupper frembragt af den ene grundlæggende operationer < F > eller < H > har trivielt orden 4. Undergrupper frembragt af to af de grundlæggende operationer, som ikke er disjunkte for eksempel<f,b >, <V,H > har orden Eksempel Vi vælger to af de grundlæggende operationer X og Y i {F,V,H,O,N,B}, og kigger på < X 2, Y 2 >. Der er tale om en undergruppe af R, som svarer til at begrænse de tilladte drejninger til siderne X og Y, og med halve drejninger ad gangen. Er siderne ikke naboer, kan de drejes uafhængigt af hinanden, og sådanne undergrupper har orden 4. Et par eksempler derpå er < F 2, B 2 > eller < V 2, H 2 >. Endvidere er disse grupper eksempler på det direkte produkt af to grupper, som vi vil definere lidt senere. Er siderne naboer, er der tale om en større gruppe, og disse undergrupper kaldes for tokvadrater undergrupper. Vi kigger på U = < H 2, O 2 >. Det er en tung, men ikke svær opgave at finde frem til dens elementer: U = {e, H 2, H 2 O 2, O 2 H 2, H 2 O 2 H 2, (H 2 O 2 ) 2, (H 2 O 2 ) 2 H 2, (H 2 O 2 ) 3, (H 2 O 2 ) 3 H 2, (H 2 O 2 ) 4, (H 2 O 2 ) 4 H 2,(H 2 O 2 ) 5,(H 2 O 2 ) 5 H 2 } Altså har U orden 12. Ved symmetri har alle to-kvadratter undergrupper orden 12. Lad os kigge på (H 2 O 2 ) 3, som er et element i U. Det er en forholdsvis nem proces at udføre og huske, som har disjunkt cykelnotation (2 7) (18 34) (21 36) (28 29). Den bytter altså om på to par kanter. Ved symmetri bytter (X 2 Y 2 ) 3 også om på to par kanter, hvor X og Y er to sider af Rubiks terning med småterninger tilfælles. På figur 3.2 er illustreret, hvordan nogle af disse processer virker på den løste tilstand. (a) - (H 2 O 2 ) 3 (b) - (H 2 N 2 ) 3 (c) - (V 2 F 2 ) 3 (d) - (V 2 F 2 ) 3 set fra bunden Figur 3.2. En anden måde at karakterisere undergrupper i R er med den fælles virkning gruppe-elementerne har på terningen. Ovenstående processer (X 2 Y 2 ) 3, hvor X og Y er naboer er eksempler på processer, som ikke flytter på hjørner. Sammensætning af to permutationer, som ikke flytter på hjørner igen, er en permutation, som ikke flytter på hjørner. Identitetsfunktionen flytter heller ikke på hjørner, og den inverse til en permutation, som ikke flytter på hjørner, flytter heller ikke på hjørner. Mængden af alle de permutationer svarende til processer, som ikke flytter på hjørner, udgør altså en undergruppe. 34

35 Et andet eksempel på en undergruppe er mængden af alle de permutationer af R, som har som fikspunkter mindst alle småterninger, som ikke er en del af siden O. Denne undergruppe er blevet studeret specielt meget, idet en populær metode til at løse terningen løser lag efter lag og slutter med siden O Rubiks gruppe som undergruppe Hvis man tillader som træk at skille terningen ad og samle den igen, har vi allerede beregnet, at mængden G af alle permutationer, som opnås, har 8! ! elementer. Mængden R er trivielt en delmængde af denne mængde, og da G øjensynligt udgør en gruppe, er R en undergruppe af G. Vi vil derfor kunne udlede informationer om R ved at betragte R som undergruppe af G. Ordenen af G er G =3 8 8! 12! Grundlæggende grupper Vores mål er at studere strukturen af Rubiks gruppe, det vil sige undersøge dens forhold til andre kendte grupper. Før vi kan gøre det, skal vi kende til andre grupper. Vi kommer her ind på den cykliske gruppe af orden n betegnet C n og den symmetriske gruppe af n elementer betegnet S n Den cykliske gruppe af orden n Definition En gruppe G kaldes cyklisk, såfremt den er frembragt af et element g G, altså G=< g >. Det følger specielt, at en undergruppe frembragt af et element g i en endelig gruppe G er en endelig cyklisk gruppe, idet < g > = {g, g 2, g 3,, g n 1, g n = e}. For det uendelige tilfælde kan vi betragte (Z, + ) som gruppe. Hvert element i Z kan trivielt skrives som en endelig sum af 1 er eller ( 1) er. Af denne grund har vi Z= <1> med addition som gruppeoperation. Vi kigger nu på mængden {0, 1, 2,, n 1}, n 1. Tager vi to elementer a og b i denne mængde, findes der entydige positive naturlige tal q og r, så a + b = q n + r, med r < n. Vi kan altså definere en operation på {0, 1, 2,, n 1}, nemlig addition modulo n, betegnet med symbolet +, så a + b = r (mod n). Med andre ord er addition modulo n resten af heltalsdivisionen af a+b med n. Eksempel Vi har eksempelvis = 4 (mod 5), da 4 = , og = 0 (mod 5), da 3+2= Mængden {0, 1,, n 1}, med n 1, udstyret med addition modulo n udgør en gruppe, hvor det neutrale element er 0. Eksistensen af det inverse element til a retfærdiggøres af den gængse addition, idet n a {0,1,,n 1} og har de ønskede egenskaber. Associativitet nedarves af associativitet af den gængse addition. Afslutningsbetingelsen følger af definitionen af operationen. Da hvert element i gruppen kan skrives som en endelig sum af 1 er, er denne gruppe frembragt af det ene element nemlig 1 hvorfor den kaldes den cykliske gruppe af orden n og betegnes C n. Denne gruppe er specielt kommutativ. Det er bemærkelsesværdigt, at operationen, knyttet til mængden, afhænger af mængdens størrelse. 35

36 I virkeligheden er det hovedsagligt C 2 og C 3, der er relevant for Rubiks terning, og da disse er tilpas små, kan man beskrive operationen på disse grupper fuldt ud ved den såkaldte operationstabel. C 2 : + (mod 2) C 3 : + (mod 3) Den symmetriske gruppe af n elementer I forrige kapitel har vi betegnet ved S n mængden af alle de permutationer på Z n. Med andre ord indeholder S n samtlige permutationer af n objekter på n pladser. Et simpelt kombinatorisk argument giver, at man har n elementer til rådighed på den første plads, n 1 elementer på den anden plads, osvaltså er der n (n 1) (n 2)2 1=n! forskellige elementer i S n. Sætning (S n, ) udgør en gruppe og kaldes den symmetriske gruppe af n elementer. Bevis. Vi skal så her gøre formelt rede for, at mængden af alle de permutationer på Z n udstyret med udgør en gruppe. Associativitet følger af lemma 2.9. Det neutrale element er identitetsfunktionen på Z n, og de efterlyste egenskaber gælder ved lemma 2.12(i). Eksistensen af det inverse element retfærdiggøres af lemma 2.6 og har de ønskede egenskaber ved lemma 2.12(ii). For vilkårlige σ og ρ permutationer i S n gælder, at definitions- og billedmængden af den sammensatte funktion σ ρ også er Z n, hvilket gør rede for, at σ ρ S n. En gruppe af permutationer med som operation kaldes i almindelighed en permutationsgruppe, hvorfor S n er en permutationsgruppe. Det er dog udbredt at forbeholde betegnelsen permutationsgruppe til undergrupper af S n. De grupper, som vi kan få ud af permutationspuslespil vil bestå af permutationer, og dermed være en permutationsgruppe, eller rettere sagt, en undergruppe af S n, men passende n. Rubiks gruppe er følgelig en undergruppe af S 48. Notation For at lette notationen, og i overensstemmelse med den gældende gruppenotation, vil vi fra nu udlade ved sammensætning af permutationer. Således vil f g blive betegnet fg. Betragt en r-cykel (a 1 a 2a r ). Vi har specielt, at (a 1 a 2a r )(a r a r 1a 1 )=Id og(a r a r 1a 1 )(a 1 a 2a r )=Id Det betyder, at inversen til en r-cykel selv er en r-cykel med elementerne i omvendt rækkefølge. Specielt er en transposition og dens inverse den samme permutation. For σ med cykelnotation σ = γ 1 γ 2γ k gælder nu, at σ 1 = γ 1 k γ k 1 1γ 1 1. Af ovenstående er inverserne til γ i erne parvis disjunkte, og derfor har vi ved lemma 3.4, σ 1 = γ 1 1 γ 2 1γ 1 k Den alterende gruppe af n elementer Vi har set i afsnit 3.1.2, at banerne for en permutation σ S n udgør en klassedeling af Z n. Vi kan derfor definere ved m(σ) antallet af baner for σ, og lade m r (σ) betegne antallet af baner af længde r. 36

37 Definition Lad σ S n. Vi definerer funktionen ǫ:s n {1, 1} med forskrift, Funktionen ǫ kaldes fortegnet. ǫ(σ) =( 1) k,k =n m(σ), σ S n Dermed har en bestemt permutation af S n enten fortegn 1 eller 1. Da identiteten på Z n kun har fikspunkter, har den n baner hver bestående af ét element. Derfor er fortegnet for ǫ(id) =( 1) n n =1. En r-cykel på Z n har en bane af længde r og n r baner af længde 1, hvorfor en r-cykel har fortegn ( 1) r 1. En transposition har fortegn ( 1) n (n 1) = 1. Lemma Lad τ være en transposition og lad σ være en permutation, begge på Z n. Der gælder ǫ(στ) =( 1)ǫ(σ). Bevis. Antag, at τ ombytter elementerne a og b af Z n. Vi har set, at banerne for a og b i σ er enten disjunkte eller ens. Antag, at de er disjunkte, og lad B a (σ)={a 1 =a,a 2,,a p } og B b (σ)={b 1 =b,b 2,,b q } Vi konstruerer banen for a i στ. For 1 i p 1 gælder στ(a i ) = τ(a i+1 ) = a i+1, da τ ikke flytter på a 2,, a p. Derefter gælder στ(a p ) = τ(a 1 ) = τ(a) = b = b 1, og for 1 i q 1, har vi στ(b i )=b i+1. Endelig, har vi στ(b q )=τ(b 1 )=τ(b)=a=a 1. Altså har vi vist, at: B a (στ) = {a 1 =a,a 2,,a p,b 1 =b,b 2,,b q } Banerne for a og b bliver altså slået sammen. De øvrige baner for σ, hvis elementer ikke flyttes af τ, er også baner for στ. Altså har vi vist, at m(στ) =m(σ) 1. Antag nu banerne for a og b i σ er ens. Vi kan antage, at B a (σ)={a 1 =a,a 2,,a p,b 1 =b,b 2,,b q } Vi kigger nu på banen B a (στ). For 1 i p 1, har vi στ(a i ) = a i+1. Nu finder vi frem til, at στ(a p ) = τ(b 1 ) = τ(b) = a = a 1. Altså har vi vist, at B a (στ) = {a 1 = a, a 2,, a p } og tilsvarende er B b (στ) = {b 1 = b, b 2,, b q }. Banen for a og b bliver altså splittet i to, mens de øvrige baner for σ, hvis elementer ikke flyttes af τ, også er baner for στ. Altså m(στ)=m(σ)+1. Vi kan nu udregne fortegnet for στ. Der gælder ǫ(στ)=( 1) n m(τσ) =( 1) n m(σ)±1 =( 1)ǫ(σ) Sætning Lad σ og µ være permutationer af S n. Der gælder, ǫ(µσ)=ǫ(µ)ǫ(σ). Bevis. Lad os betragte en cykelnotation for σ. Ifølge lemma 3.11 kan hver r-cykel i cykelnotationen omskrives som en sammensætning af r 1 transpositioner. Altså kan σ skrives som en sammensætning af (r 1)m r (σ) = rm r (σ) m r (σ) = n m(σ) transpositioner. Lad k =n m(σ). Da har vi µσ = µτ 1τ k, hvorτ i er en transposition Ifølge lemma 3.35, er ǫ(µτ 1 ) =( 1)ǫ(µ). Gør vi det k gange, fås ǫ(µσ)=ǫ(µτ 1τ k )=( 1) k ǫ(µ)=ǫ(µ)ǫ(σ) 37

38 Definition 3.37.Paritetenaf en permutation σ S n defineres som pariteten af antallet af cykler af lige længde i en disjunkt cykelnotation. Specielt er identiteten lige, da en disjunkt cykelnotation for denne består af nul cykler af lige længde. Sætning En permutation, der er skrevet som sammensat af transpositioner, har samme paritet som antallet af disse. Bevis. Betragt σ S n, en cykelnotation for den σ = γ 1 γ 2 γ m, og antag, at den består af t lige cykler. Antag yderligere, at elementerne a og b flyttes af σ, og betragt transpositionen τ =(a b). Vi kigger på pariteten af στ. Enten er a og b i den samme bane for σ og optræder dermed i den samme γ k i cykelnotationen, eller også tilhører de hver deres bane og optræder dermed i de forskellige cykler γ a og γ b i cykelnotationen. Vi har behandlet begge tilfælde i beviset for lemma 3.35 og gengiver her de interessante resultater. I det første tilfælde fandt vi frem til, at B a (στ) og B b (στ) er disjunkte. Hvis γ k er af lige længde, består begge baner B a (στ) og B b (τσ) af enten et lige antal elementer eller også et ulige antal elementer. En disjunkt cykelnotation for στ vil altså bestå af enten t 1+2=t+1 eller også t 1 cykler af lige længde. Hvis γ k er ulige, vil kun den ene af B a (στ) eller B b (στ) bestå af et ulige antal elementer. En disjunkt cykelnotation for στ vil altså bestå af t + 1 cykler af lige længde. Uanset tilfældet, vil στ have modsat paritet som σ. I andet tilfælde fandt vi frem til at b ligger i B a (στ). Hvis γ a og γ b består begge af et ulige eller et lige antal elementer, vil B a (στ) bestå af et lige antal elementer, og en disjunkt cykelnotation for στ vil bestå af enten t + 1 eller også t = t 1 cykler af lige længde. Hvis kun den ene af γ a eller γ b består af et ulige eller lige antal elementer, vil B a (στ) bestå af et ulige antal elementer, og en disjunkt cykelnotation for στ vil bestå af t 1 cykler af lige længde. Så også i dette tilfælde vil στ have modsat paritet som σ. Så uanset hvad har στ modsat paritet som σ. Ifølge lemma 3.11 kan hver γ i skrives som en sammensætning af transpositioner, hvorfor vi kan antage, at σ kan skrives som sammensat af q transpositioner, så σ =τ 1 τ 2τ q Da τ i erne er transpositioner, er de deres egen inverse. Så ved at sammensætte på begge sider med τ 1 q = τ q fås στ q = τ 1τ q 1, og στ q skifter paritet i forhold til σ. Specielt skifter στ q τ q 1τ 1 paritet q gange og er lige, da στ q τ q 1τ 1 = Id. Af dette følger, at pariteten af σ er den samme som pariteten af q. Sætning En permutation σ S n er lige, hvis og kun hvis den har fortegn 1 og ulige, hvis og kun hvis den har fortegn 1. Bevis. Vi viser tilfældet for de lige permutationer. En tilsvarende argumentation viser det ulige tilfælde. Antag, at σ er lige. Ved sætning 3.38 består σ, skrevet som en sammensætning af transpositioner, af et lige antal af dem. Altså, ǫ(σ) =ǫ(τ 1τ 2k )=( 1) 2k =1 ifølge sætning Omvendt, antag at ǫ(σ) = 1. Betragt σ skrevet som en sammensætning af transpositionerne τ 1,, τ k. Ifølge sætning 3.36 har vi ǫ(σ) = ǫ(τ 1τ k ) = ǫ(τ 1 )ǫ(τ k ) = ( 1) k = 1. Da må k være lige. Ved sætning 3.38 er σ lige. 38

39 Vi fokuserer nu på mængden L af de lige permutationer i S n. Da identiteten har lige fortegn, er den med i mængden L. Endvidere, givet to lige permutationer, kan deres sammensatte øjensynligt også skrives som en sammensætning af et lige antal transpositioner. Til sidst, da en transposition er sin egen inverse, er den inverse til en lige permutation også en lige permutation. Dette betyder, at mængden af de lige permutationer i S n udgør en undergruppe. Den betegnes A n og kaldes den alterende gruppe af n elementer. Mængden U af de ulige permutationer udgør ikke en undergruppe. For det første er identiteten ikke ulige, og for det andet er den sammensatte af to ulige permutationer en lige permutation. Det er nu interessant at undersøge ordenen af A n. For n = 1 består A n af ét element, nemlig identiteten. Lad n 2, og betragt en vilkårlig transposition af S n. Da en transposition har fortegn 1, og i lyset af sætning 3.36, kan vi definere funktionen ϕ: L U ϕ(σ) = στ, σ L, hvor τ er en transposition. Med funktionen φ: U L, φ(µ) = µτ, µ U, gælder φϕ(µ) = µττ = µ og ϕφ(σ) = σττ = σ, hvorfor φ er den inverse funktion til ϕ. Altså er φ bijektiv, og det følger, at L og U har samme antal elementer i sig. Da en permutation enten er lige eller ulige, følger det, at der er netop S n = n! lige permutationer. Altså har vi A 2 2 n = n!. 2 Lemma Lad H være en gruppe frembragt af alle mulige 3-cykler af S n. Da er H =A n. Bevis. Da en 3-cykel er lige, følger det umiddelbart sætning 3.36, at enhver sammensætning af 3-cykler er lige, og derfor har vi H A n. Betragt nu en permutation σ af A n. Da kan den skrives som en sammensætning af et lige antal transpositioner. Vi fremstiller σ som et produkt af 3-cykler ved at tage to transpositioner ad gangen, og omskriver deres sammensætning på følgende måde. Har de et element tilfælles, omskriver vi (a b) (a c) til(a c b). Er de disjunkte, omskriver vi (a b) (c d) til(a c b) (b d c). Derved kan man opnå en fremstilling af σ som en sammensætning af 3-cykler. Altså har vi vist, at A n H. Dermed er A n =H. 3.4 Permutationspuslespil og paritet Om 3-cykler og paritet Mange permutationspuslespil har et paritetskrav, det vil sige, at konstruktionen af spillet eller reglerne gør, at enhver lovlig følge af træk er en lige permutation. Det betyder gruppeteorimæssigt, at deres permutationsgrupper er en undergruppe af A n, hvor n er antallet af spillets brikker. Dette har til følge, at alle de ulige permutationer ikke vil kunne udføres, heriblandt den mindste af dem alle, nemlig transpositionen. De mindste ændringer i sådanne spil pånær identiteten er 3-cykler, hvis de kan udføres. Ved blot at forbyde de ulige permutationer er underholdningsværdien forhøjet. Hvis gruppen af spillet er hele A n, og i lyset af lemma 3.40, er det blot om at sætte brikkerne på plads ved gentagne 3-cykler. Er gruppen blot en undergruppe af A n, findes der 3- cykler, som man ikke kan udføre, og hvilke er tit ikke trivielt at vide på forhånd. Nu betyder det ikke, at produktionen af følger af træk, som svarer til 3-cykler nemmere af den grund. 39

40 3.4.2 Paritetskrav i Rubiks terning En r-cykel (a 1a r ) er lige hvis og kun hvis r er ulige. De grundlæggende operationer i Rubiks terning, set som permutationer i S 20 altså en permutation af de uorienterede småterninger er sammensætninger af et lige antal ulige permutationer (eksempel 3.12), hvorfor enhver permutation af småterningerne er en lige permutation. Dette betyder, at der eksempelvis ingen proces findes, som for eksempel blot bytter om på to kanter eller to hjørner, idet den tilsvarende permutation af S 20 ville være en transposition, altså en ulige permutation. Tilstande illustreret på figur 3.3(a) kan derfor ikke løses. Endvidere svarer en permutation af de uorienterede småterninger til den sammensatte af en permutation af kanterne og en permutation af hjørnerne. For at den sammensatte kan være lige, må de enten begge to være lige eller begge to ulige. Hvis vi nu betragter elementerne i R. De grundlæggende operationer skrevet som i eksempel 3.12 kan betragtes som sammensætninger af en lige permutation af kanternes flader, og en ulige permutation af hjørnenes flader. Ethvert element i R er derfor en lige permutation i kanternes flader. En permutation, hvis virkning på kanterne er en vending af et ulige antal kanter, er derfor ikke med i Rubiks gruppe, og det er eksempelvis umuligt at løse tilstanden illustreret på figur 3.3(b). Endnu en tilstand, som ikke kan løses, er den illustreret på figur3.3(c), men er ikke en konsekvens af paritetskravene. Det kommer vi ind på i kapitel 4. (a) (b) (c) (d) Figur 3.3. Alt dette er med til at gøre Rubiks terning så svær at løse. Processer, som flytter meget lidt, er ikke trivielle at finde. Nogle af de mindste ændringer i terningen er følgende: At cykle tre hjørner rundt eksempelvis ved F 1 OBO 1 FOB 1 O 1. At dreje to hjørner eksempelvis VN 1 V 1 F 1 N 1 FOF 1 NFVNV 1 O 1. At cykle tre kanter rundt eksemplevis ved HV 1 O 2 H 1 VF 2. At vende to kanter eksemplevis FHBVOV 1 OB 1 H 1 F 1 V 1 O 1 LO 1. Den sidstnævnte proces er illustreret på figur 3.3(d) Gruppen af 15-spillet Vi er nu udstyret til at kigge nærmere på gruppen af 15-spillet. Lad spillet have brikkerne nummereret som på figur 2.6(a), og lad det tomme felt have nummerering 16. Vi gengiver, at gruppen af 15-spillet indeholder de lovlige følger af træk udført på en lovlig konfiguration, og som efterlader spillet i en lovlig konfiguration. Altså er en permutation i gruppen af 15-spillet undergruppe af S 16, hvor 16 er et fikspunkt. Gruppen af 15-spillet er altså en undergruppe af S

41 Vi betragter nu en vilkårlig lovlig følge af træk F, der fører fra en lovlig konfiguration til en anden. Hvis vi nu repræsenterer spillet som et ternet bræt figur 3.4(a) og følger det tomme felts færden ved en følge af træk, skifter farven på feltet, hvor 16 står, for hvert træk. Da 16 starter og slutter på samme felt, kan permutationen, som svarer til F, skrives som en sammensætning af et lige antal transpositioner, hvor 16 indgår. (a) (b) Figur 3.4. Altså er enhver permutation i 15-gruppen lige, og dermed er 15-gruppen en undergruppe af A 15. Dette giver os mulighed for at identificere de ugyldige i modsætning til gyldige tilstande. Det mest berømte eksempel er illustreret på figur 3.4(b). Ved at spørge om man kan løse denne tilstand, efterlyser man en følge af træk påført denne, som fører til den løste tilstand. Antag, at sådan en findes. Denne permutation har disjunkt cykelnotation (14 15), som er ulige, og dermed ikke med i 15-gruppen, hvorfor tilstanden illustreret på figur 3.4(b) er umulig at løse. Vi skal nu vise, at 15-gruppen er hele A 15. Da vi har vist, at 15-gruppen A 15, er der tilbage at vise, at A 15 selv er en undergruppe af 15-gruppen. Vi begynder med en lovlig konfiguration, og betragter tre brikker a, b og c, som er naboer i samme række. Flyt det tomme felt lige under c, hvis det kan lade sig gøre, og ellers lige over c. Er det tomme felt lige under c, er vi i tilfældet repræsenteret på figur 3.5(a). Permutationen (16 c)(16 b)(16 a)(16 x)(16 y) fører til den lokale konfiguration på figur 3.5(b), og permutationen (16 a)(16 b)(16 c)(16 a) fører videre til figur 3.5(c). Nu fører (16 y)(16 x)(16 b)(16 c)(16 a) til figur 3.5(d). Det tomme felt kan nu føres tilbage til sin oprindelige plads ved at permutere med de samme brikker som på vej dertil. Vi er altså gledet frem til en konfiguration, hvor b har taget a s plads, c har taget b s plads, og a har taget c s plads. Alle de andre brikker er ikke blevet flyttet. Den samlede permutation har disjunkt cykelnotation (a c b). (a) (b) (c) (d) Figur 3.5. Er det tomme felt lige over c, kan man vende ovenstående figurer og bruge de spejlvendte permutationer til at permutere cyklisk på a, b og c. Er a, b og c i samme søjle, kan vi dreje spillet 90 grader og bruge ovenstående. Vi har altså vist, at vi kan udføre en 3-cykel med nabo-brikker på samme række eller søjle, hvorfor sådanne 3-cykler er med i 15-gruppen. 41

42 Betragt nu tre vilkårlige brikker a, b og c. Ved gentagne 3-cykler i søjler, kan vi stille dem op, så a er på første række, b er på anden række og c er på tredje række. Ved 3-cykler i deres respektive rækker, kan vi stille a, b og c i samme søjle yderst til højre, hvor de kan permuteres ved at følge ovenstående, så b tager a s plads, a tager c s plads, og b tager a s plads. Vi kan nu igen ved 3-cykler udføre inverser til de permutationer, som har bragt a, b og c yderst til højre og inverser til de permutationer, der har bragt dem på første, anden og tredje række. Resultatet er en konfiguration, hvor b tager a s plads, c tager b s plads, og a tager c s plads, mens alle de andre brikker er fikspunkter. Altså kan vi udføre (a c b), hvor a, b og c er vilkårlige brikker. Man kan dermed konkludere, at 15-gruppen må indeholde alle produkter af alle mulige 3-cykler i S 15. Altså er A 15 en undergruppe af 15-gruppen ved lemma Dermed har vi vist, at Sætning Gruppen af 15-spillet er A 15. Vi kan nu svare på, hvor mange forskellige konfigurationer, der kan opnås i 15-spillet, med det tomme felt nederst til højre. Der er præcist 15! Kommutatorer og konjugeringer Når man som menneske modsat computer prøver at løse et permutationspuslespil herunder Rubiks terning er man nødt til at bide den over, det vil sige, at man sætter brikkerne på plads lidt efter lidt, og det er strategien, der bestemmer, hvilke brikker der skal først, og hvilke, brikker der skal sidst. Nogle strategier for terningen går ud på at løse den lag efter lag, mens andre sætter hjørnerne på plads efterfulgt af kanterne. Uanset strategien bliver det vigtigt på et eller andet tidspunkt at kunne producere processer med mange fikspunkter, så de brikker, der er på plads, ikke flyttes. Sådanne kan produceres ved hjælp af kommutatorer og konjugeringer Kommutatorer Definition Lad G være en gruppe, og lad g, h G.Kommutatorenfor g og h er elementet [g,h]= ghg 1 h 1. Kommuterer elementerne g og h altså gælder gh = hg har vi [g, h] = e. Er G en permutationsgruppe, kan kommutatoren af to elementer opfattes som et mål for hvor meget de to elementer kommuterer. For to permutationer, som er næsten disjunkte, vil deres kommutator være en permutation, som flytter meget lidt. Kommutatorer er derfor meget anvendelige indenfor permutationspuslespil, hvad produktionen af følger af træk med mange fikspunkter angår. Specielt kan vi kun producere lige permutationer med kommutatorer, som næste resultat viser. Lemma Lad σ,τ S n. Da gælder [σ,τ] A n. Bevis. En permutation og sin inverse har øjensynligt samme cykelstruktur (samme antal af cykler i en vis længde i en cykelnotation). Det følger, at σ og σ 1 og af samme grund τ og τ 1 er enten begge lige eller begge ulige, hvorfor [σ,τ] er lige. 42

43 Lemma Lad σ, τ S n så der findes netop ét element x Z n, som flyttes af både σ og τ. Da er [σ,τ] en 3-cykel. Bevis. Vi viser først, at z Z n \{x, σ 1 (x), τ 1 (x)} er fikspunkt for [σ,τ]. Da z ikke flyttes af både σ og τ, er der tre tilfælde. Antag først, at z flyttes af hverken σ eller τ. Da flyttes z heller ikke af σ 1 eller τ 1, hvorfor [σ,τ](z) =z. Antag nu, at z flyttes af σ men ikke af τ. Da σ flytter på z, og da zσ 1 (x), følger σ(z)x, hvorfor τ ikke flytter på σ(z). Da z ikke flyttes af τ, og dermed heller ikke af τ 1, har vi, [σ,τ](z)=στσ 1 τ 1 (z)=τσ 1 τ 1 (σ(z)) =σ 1 τ 1 (σ(z))=τ 1 (z)=z Det sidste tilfælde, hvor z flyttes af τ men ikke af σ, viser tilsvarende [σ,τ](z) =z. Vi har altså vist, at der er højst tre elementer af Z n, som flyttes af [σ, τ]. Vi har nu tre tilfælde. Hvis permutationen [σ, τ] har x, σ 1 (x) og τ 1 (x) som fikspunkter, er [σ, τ] identiteten. Dette er imidlertid umuligt, idet [σ,τ](x)=στσ 1 τ 1 (x)=τσ 1 τ 1 (σ(x))=τ 1 (x)x (3.6) Hvis permutationen [σ,τ] har den ene af x,σ 1 (x) og τ 1 (x) som fikspunkt, er [σ, τ] en transposition. Dette er også umuligt, da lemma 3.43 sikrer, at [σ,τ] er lige. Vi har altså kun det sidste tilfælde tilbage, altså er ingen af x, σ 1 (x) eller τ 1 (x) fikspunkter, hvorfor [σ, τ] er en 3-cykel. ogz-kommutatoren Vi kan nu begynde at producere kommutatorer for Rubiks terning og begynder naturligt med kommutatorer produceret af nogle af de grundlæggende operationer. Definition Lad W og X være to af de grundlæggende operationer, så siderne W og X [W,X]=WXW 1 X 1 er naboer. Da ery-kommutatoren [W,X 1 ]=WX 1 W 1 X, Disse to kommutatorer har fået deres navn ved det mønster, som de flyttede småterninger udgør. På figur 3.6(a) og (b) er illustreret henholdsvis virkningen af en Y-kommutator og en Z-kommutator på en løst terning, hvor de flyttede småterninger er mørklagte til lejligheden. (a) Y-kommutator [L, F 1 ] (b) Z-kommutator [L, F] (c) [[B, L 1 ], [F, R]] Figur 3.6. Vi kan nu anvende lemma 3.44 på eksempelvis [B, L 1 ] og [F, R]. De har blot småterningen fvo, som de begge flytter på. Da er [[B, L 1 ], [F, R]] en 3-cykel som permutation af S 20, og dens virkning på den løste tilstand ses på figur 3.6(c). 43

44 Eksempel Da kommutatorer virker mest hensigtsmæssige på processer, som er næsten disjunkte, prøver vi med [P, O], hvor P = H 1 NHFNF 1. Processen P kaldes en monotwist, da den drejer foh, og det er den eneste småterning der bliver berørt af P på side O. At andre småterninger også flyttes betyder ikke noget her, for kommutatorerne [P, O], [P, O 2 ] og [P,O 1 ], som anvist på figur 3.7(a,b,c), viser sig at dreje på blot to hjørner. (a) [P, O] (b) [P, O 2 ] (c) [P, O 1 ] Figur 3.7. Definition Lad G være en gruppe. Gruppen G frembragt af alle de kommutatorer {[g,h] g,h G} kaldeskommutatorgruppenaf G. Den kan også betegnes <[G, G] >. Bemærk, at kommutatorgruppen ikke er mængden af alle de kommutatorer idet denne mængde ikke nødvendigvis er en gruppe men derimod er frembragt af alle kommutatorer. Specielt kan læseren overbevise sig selv om, at kommutatorgruppen for G er undergruppe af G. Vi skal bestemme kommutatorgruppen for Rubiks terning i kapitel 4. Lemma Kommutatorgruppen S n n 4, er A n. for S n, n 4 er A n. Kommutatorgruppen A n for A n, Bevis. Lad σ og ϕ være permutationer af S n. Ifølge lemma 3.43 er [σ, ϕ] en lige permutation, hvorfor S n A n. Lad γ være en lige permutation af S n. Permutationen γ kan ved sætning 3.38 skrives som et produkt af et lige antal transpositioner. Altså har vi γ = τ 1 τ 2τ 2k, for passende k. Nu, da n 4, kan vi antage τ i τ i+1 =(a b)(c d). Vi har, (a b)(c d) = (c a)(c b)(a c)(b c)(d b)(d c)(b d)(c d) = (c a)(c b)(c a) 1 (c b) 1 (d b)(d c)(d b) 1 (d c) 1 = [(c a),(c b)][(d b),(d c)] Vi kan altså omskrive τ i τ i+1 til et produkt af kommutatorer for i = 1, 3,.2k 1, og vi kan dermed skrive γ som et produkt af kommutatorer. Altså er A n S n for n 4, og følgelig er S n =A n. Anden del af lemmaet kan nu vises tilsvarende. Vi har A n A n, da A n er en undergruppe af A n. Ovenstående regnestykke kan nu bruges til også at vise A n A n, hvorfor A n =A n Konjugeringer Definition Lad g og h være i G. Da kaldes elementet g h =hgh 1 den konjugerede af g med h. 44

45 Konjugering er nok det vigtigste værktøj, når man vil løse Rubiks terning, idet det anvendes til at lave nye processer fra gamle. Antag for eksempel, at vi har fundet ud af, at processen P = H 1 VF 2 HV 1 O 2 er en 3-cykel af kanterne ob, fo og fn, altså, at P har disjunkt cykelnotation (ob fo fn) som permutation af S 20. Vi vil imidlertid gerne have en 3-cykel i kanterne oh, ov og of. Vi udfører T = F 2 O, så kanten på pladsen fo flyttes til pladsen fn, kanten på pladsen oh flyttes til pladsen fo, og kanten på pladsen ov flyttes til pladsen ob. Andre småterninger bliver berørt af det, men det ser vi bort fra et øjeblik. En udførsel af P vil cykle de tre ønskede småterninger rundt. En udførsel af T 1 bringer småterningerne tilbage til deres pladser, på nær de tre, som er blevet permuteret. Altså har permutationen TPT 1 disjunkt cykelnotation (ov oh fo). Har man en proces, som flytter bestemte småterninger, kan man altså bruge konjugering til at lade samme proces flytte på andre småterninger i stedet for. Det viser vi formelt i næste lemma. Definition Man siger, at g 1 og g 2 er konjugerede i G, hvis der findes h G, så g 1 = g 2 h. Bemærkning Er g 1 og g 2 konjugerede, findes der et h G, så g 1 = hg 2 h 1. Men så har vi også g 2 = h 1 g 1 h. Derfor findes også k = h 1 G, så g 2 = kg 1 k 1, hvorfor g 2 og g 1 er konjugerede. Er to gruppeelementer konjugerede, er rækkefølgen, man siger det i, underordnet. Lemma Lad g 1 og g 2 være elementer i S n. Da er g 1 og g 2 konjugerede i S n, hvis og kun hvis, de har samme cykelstruktur. Bevis. Først viser vi den ene vej. Antag, at g 1 og g 2 er konjugerede i S n, så der findes h G, så g 1 =h 1 g 2 h. Betragt i Z n, med g 2 (i)= j. Der er i og j i samme bane for g 2. Vi har nu, h 1 g 2 h(h(i))= g 2 h(i) =h(j) =hg 1 (i)= g 1 (h(i)) hvilket viser, at h(i) og h(j) er i samme bane for g 1. Altså har banerne for g 1 og g 2 samme størrelse. Vi viser nu den anden vej. Antag, at g 1 og g 2 har samme cykelstruktur. Vi kan skrive g 1 og g 2, så man starter med de mindste cykler. g 2 =(i 1,1i 1,k1 )(i 2,1i 2,k2 )(i r,1i r,kr ) g 1 =(i 1,1 i 1,k1 )(i 2,1 i 2,k2 )(i r,1 i r,kr ) (3.7) hvor 1 < k 1 k 2 k r n. Da cyklerne er disjunkte, kan vi konstruere h S n, med forskrift h(i j,l ) = i j,l, for alle i j,l, som optræder i (3.52). De andre elementer af Z n er fikspunkter for h. Følgelig er hg 2 h 1 (i j,l )= g 2 h 1 (i j,l ) =h 1 (g 2 (i j,l ))= g 1 (i j,l ), i j,l i(3.52) For x fikspunkt af h gælder, at x også er fikspunkt for både g 1 og g 2. Så her gælder der, hg 2 h 1 (x)=h 1 (g 2 (x))=x= g 1 (x). Altså har vi vist, at g 1 =hg 2 h 1. Det er netop det, der er kernen i konjugering. Konjugerer man en 3-cykel, vil man ende med en anden 3-cykel. Med de tidligere eksempler på processer, er vi nu teoretisk set i stand til at producere 3-cykler af vilkårlige hjørner eller kanter. Ligeledes vil den konjugerede til en permutation, som drejer på to hjørner eller vender på to kanter, også dreje på to hjørner eller vende på to kanter. Definition Centret Z(G) af en gruppe G er mængden af elementer i G, som kommuterer med alle elementer i G. Altså, har vi Z(G)={g G gh=hg, h G}. 45

46 Det er klart, at centret af en gruppe aldrig er tomt, idet det mindst indeholder det neutrale element. For g Z(G), har vi g 1 h = hg 1. Endvidere gælder for g,k Z(G), gkh=hgk, h G. Associativitet nedarves fra G, så centret i en gruppe G udgør en undergruppe af G. Derudover er Z(G) = G G er kommutativ. Specielt er Z(G) kommutativ. Lad g Z(G), og lad h G. Da har vi gh = hg g = hgh 1, hvorfor elementerne i Z(G) er invariant under konjugering. Denne overvejelse hjælper med at se formen på elementerne i centret af R, for disse må først og fremmest lade småterningerne forblive på deres pladser. Med andre ord må den tilsvarende permutation af S 20 være identiteten. Endvidere vil elementerne i Z(R) have ens virkning på samtlige kanter og ens virkning på samtlige hjørner. Processen, som vender samtlige kanter og lader hjørnene være uberørte, må derfor være en del af Z(R). Denne proces er kendt og kaldes en superflip. Den kan skrives som: HVFBONHVFBOF 2 H 1 VN 2 F 1 H 2 V 2 N 2 HV 1 F 2 NH 2 V 2 N Endvidere burde processer, som drejer samtlige hjørner lige meget, også være med i centret. Vi skal imidlertid se, at sådanne processer er umulige i Rubiks terning, og vi skal bestemme centret af Rubiks terning mere formelt i kapitel 4. Lemma Centret af S n, n 3 er triviel. Bevis. Lad σe S n, n 3. Da kan vi antage σ(a) = b, for a, b Z n. Betragt c Z n. Permutationen (a c)σ afbilder c til b, mens permutationen σ(a c) afbilder a til b, så σ og (a c) kommuterer ikke, hvorfor σ ikke er i Z(S n ). Dermed er Z(S n ), n 3, triviel. Centret af 15-gruppen er triviel, som næste lemma viser. Lemma Centret af A n, n 4, er triviel. Bevis. Lad σe A n, n 4. Da kan vi antage σ(a) = b, for a, b Z n. Vi viser nu, at σ ikke kan være i Z(A n ). Betragt 3-cyklen (a c d), hvor c og d er elementer i Z n forskellige fra a og b. Den lige permutation (a c d) er i A n, hvorfor samtlige elementer i centret af A n kommuterer med den. Den sammensatte permutation (a c d) σ flytter d til b, mens permutationen σ(a c d) flytter a til b. Altså kommuterer σ og (a c d) ikke, hvorfor σ ikke kan være i centret. Dermed er Z(A n ), n 4 triviel. 3.6 Baner og gruppevirkninger en gruppe G på en ikke-tom mængde A er i. a A gælder f(a,e)=a,. Definition En (højre-)gruppevirkningaf en funktion f:a G A med følgende egenskaber: ii. For g,h G gælder f(f(a, g),h)= f(a, gh), a A. Findes en sådan gruppevirkning af G på A, siger man, at gruppen Gvirkerp A. Har man en gruppevirkning f af G på A, kan vi for hvert element g G definere funktionen f g :A A med forskrift f g (a) = f(a, g), a A. Betingelsen (i) fra ovenstånde definition kan omformuleres til at f e = Id og (ii) kan omformuleres til f g f h = f gh g, h G. Man kan derfor tænke på en gruppevirkning som en mængde af funktioner {f g :A A g G}, for hvilke der gælder de omformulerede betingelser (i) og (ii). 46

47 Dette er relevant indenfor permutationspuslespil, hvor formålet med spillene er at opnå en foruddefineret tilstand. Vi gengiver fra definition 2.28 for permutationspuslespil, at hvis en permutation svarer til forskellige følger af træk, så skal de opnåede tilstande ikke kunne skelnes. Dette betyder også, at for hvert g i permutationsgruppen, kan vi definere f g : A A, hvor A er mængden af de opnåelige tilstande, og hvor f g (a) er entydig for alle a A. Nu har vi (i) trivielt, da f e = Id. For en lovlig følge af træk P 1, som svarer til permutationen g, og en lovlig følge af træk P 2, som svarer til permutationen h, sikrer (iv) fra definition 2.28, at P 1 efterfulgt af P 2 hvis de kan udføres efter hinanden svarer til permutationen gh. Følgelig har vi f gh = f g f h. Gruppen af et permutationspuslespil virker altså på mængden af de opnåelige tilstande. Betragt mængden T af alle tilstande i Rubiks terning, altså alle de farvninger, som kan opnås ved tilfældigt at samle den adskilte terning. Lad f: T R T være naturligt defineret, så for alle (T, P) T R, er f(t, P) den resulterende tilstand, som terningen kommer i efter at have udført en proces, som svarer til P på terningen i tilstand T. Funktionen f er en gruppevirkning af R på T. Ligeledes virker 15-gruppen på mængden af de mulige permutationer af de 15 nummererede brikker. Definition Lad gruppen G virke på mængden A. Da erbanenfor a A under denne gruppevirkning mængden {f g (a) g G}. Antag nu, at et element c A ligger både i banen for a A og for b A. Altså findes der g 1, g 2 G, så f g1 (a)= f g2 (b)=c. Da a= f g1 g 1 1(a)= f g1 1(f g1 (a))= f g1 1(c) følger, at a= f g1 1(c)= f g1 1(f g2 (b))= f g2 g 1 1(b) Altså ligger a i banen for b, hvorfor banerne for a og b er ens. Med andre ord, har to baner et element tilfælles, er disse to baner ens. Da banen for a indeholder mindst elementet a, da f e (a) = a, er en bane aldrig tom. Mængden A kan følgelig inddeles i ikke-tomme baner og udgør derfor en klassedeling af A. Banen for en tilstand T 0 under gruppevirkningen R er alle de tilstande, man kan dreje sige frem til fra T 0. Hvis T 0 er den løste tilstand, består banen for T 0 af alle konfigurationerne i Rubiks terning. Antallet af baner, som mængden T af tilstande i Rubiks terning deles i, er interessant at undersøge, og dette bliver gjort i næste kapitel. Eksempel Antallet af baner i 15-spillet under virkning af 15-gruppen på mængden af de mulige permutationer af de 15 nummererede brikker er to. Definition Lad en gruppe G virke på en mængde A. Gruppevirkningen kaldestransitiv, såfremt for hvert par (a,b), a,b A findes g G så f g (a) =b. Med andre ord er en gruppevirkning transitiv, såfremt et vilkårligt element af A kan sendes over til et vilkårligt element af A. Følgelig er alle elementer af A i samme bane ved en transitiv gruppevirkining på A. Gruppevirkningen af R på T er ikke transitiv. Dog virker G transitivt på mængden T, og R virker ligeledes transitivt på mængden T k T af alle konfigurationer. Definition Lad en gruppe G virke på en mængde A. Gruppen G virkerfritpå A, såfremt f g (a)=a, a A medfører g =e. 47

48 Der gælder øjensynligt, at både G og R virker frit på både T og T k. Dette gælder dog ikke for alle permutationspuslespil. Har et spil brikker, som ikke kan skelnes med det blotte øje, er gruppevirkningen af permutationsgruppen på mængden af tilstande ikke fri, idet nogle permutationer blot kan permutere ens brikker, hvorfor start- og slut-tilstanden ser ens ud. Lemma Lad G være en gruppe, som virker transitivt og frit på en mængde A. Der findes en bijektiv funktion mellem G og A. Bevis. Lad f være en transitiv, fri gruppevirkning af G på A, og lad a A. Vi definerer for hvert a A funktionen f a : G A med forskrift f a (g) = f(a, g), g G. Specielt gælder for f, at f a (e) = a og f a (g 1 g 2 ) = f(a, g 1 g 2 ) = f a (g 1 ) f a (g 2 ). Billedet f a (G) består af elementerne i banen for a. Da f er transitiv, har vi f(g)=a, hvorfor f a er surjektiv. Lad g 1, g 2 G, og antag, at f a (g 1 )= f a (g 2 ). Vi har, f a (g 2 g 1 1 )= f a (g 2 ) f a (g 1 1 )=f a (g 1 ) f a (g 1 1 )= f a (g 1 g 1 1 )= f a (e)=a Da f antages at virke frit på A, har vi, at g 2 g 1 1 =e, hvorfor g 1 = g 2. Altså er f a injektiv. Ovenstående lemma opretter en enestående korrespondence mellem en gruppe og den mængde, som den virker transitivt og frit på. En af konsekvenserne er, hvad vi egentligt har antaget hidtil. Antallet af konfigurationer i Rubiks terning er lig med ordenen af R. 3.7 Om at sammenligne grupper Definition Lad (G 1, ) og (G 2, ) være to grupper. En funktion f: G 1 G 2, som opfylder f(a b)= f(a) f(b) for alle a og b G 1 kaldes enhomomor. Eksempel Man kan vise, at { 1, 1} udstyret med den sædvanlige multiplikation udgør en gruppe med 1 som neutralt element. Fortegnet ǫ: S n {1, 1} udgør en gruppehomomorfi, idet vi allerede har vist, at ǫ(στ) =ǫ(τ) ǫ(σ). En homomorfi har den forunderlige egenskab, at den er strukturbevarende, som næste lemma viser. Lemma Lad f:g 1 G 2 være enhomomor. Der gælder: i. f(e 1 )=e 2, hvor e 1 (hhv. e 2 ) er det neutrale element i G 1 (hhv. G 2 ) ii. f(g 1 )= f(g) 1, for alle g G 1 Bevis. Antag, at G 1 har operation, og at G 2 har operation. Lad g G 1. i. e 2 = f(g) 1 f(g)= f(g) 1 f(g e 1 )= f(g) 1 f(g) f(e 1 )= f(e 1 ) ii. f(g) 1 = f(g) 1 e 2 = f(g) 1 f(e 1 )= f(g) 1 f(g g 1 )= f(g 1 ). Eksempel Hver permutation af R inducerer en permutation af de otte hjørner altså en permutation af S 8 og de tolv kanter altså en permutation af S 12 når småterningerne betragtes uorienterede. Vi kan altså definere ρ: R S 8, hvor ρ(g) er den tilsvarende permutation af de uorienterede hjørner. På samme måde kan vi nu definere funktionen σ: R S 12, hvor σ(g) er den tilsvarende permutation af de uorienterede kanter. Både ρ og σ er homomorfier. 48

49 enautomor. En isomorfi f mellem to grupper G 1 og G 2 er en stærk egenskab, for den ene gruppe kan Definition Lad G 1 og G 2 være endelige grupper. En homomorfi f: G 1 G 2 kaldes isomor, såfremt f er en bijektion. I så fald siges G 1 og G 2 at være isomorfe, og vi skriver G 1<G 2. En isomorfi med samme gruppe som definition- og billedmængde kaldes opfattes som en kopi af den anden gruppe. Det indebærer først og fremmest, at G 1 og G 2 har samme orden. Derudover sikrer homomorfi-egenskaben, at de to operationer opfører sig ens, hver i deres respektive mængder. Har et element g G 1 orden r, så har f(g) orden r i G 2. En isomorfi er altså det gruppeteoretiske lighedstegn mellem to grupper. Eksempel Vi kigger på en undergruppe af R, nemlig < F > = {Id, F, F 2, F 3 }. Denne gruppe, og alle undergrupper af R frembragt af den ene grundlæggende operation, er isomorf med C 4. Eksempel Vi kigger nu lidt på lommeterningen. Gruppen af lommeterningen R 2 består af permutationer af S 24. Enhver proces på Rubiks terning vil kunne udføres på lommeterningen. Endvidere udgør de permutationer af hjørnernes flader af Rubiks terning en gruppe, som er isomorf med R 2. Eksempel Grupper af orden to er isomorfe. Billedet af homomorfien f:g 1 G 2 er, som vi har set i afsnit 2.1, Im(f)={g G 2 g 1 G 1, f(g 1 )= g} homomorfien. Ker(f)={g G 1 f(g)=e 2 } Vi betragter nu mængden af elementer i G 1, hvis billede ved f er det neutrale element i G 2. Denne mængde kaldeskernenaf Lemma Lad f:g 1 G 2 være en homomorfi mellem to grupper. Da er f injektiv hvis og kun hvis Ker(f)={e 1 }. Bevis. Lad g, h G 1. Antag, at f(g) = f(h). Da f er homomorfi, har vi f(gh 1 ) = e 2. Altså, gh 1 Ker(f), hvorfor gh 1 =e 1, og vi får g =h, hvilket viser den ene vej. Antag omvendt, at f er injektiv. Da medfører f(g) = e 2 = f(e 1 ), at g = e 1, hvorfor kernen af f er triviel. 3.8 Det direkte produkt af to grupper Foreløbigt kender vi kun få grupper. Udfra to grupper er der en naturlig måde at konstruere en tredje gruppe på. Vi kigger på det direkte produkt af to grupper. Definition Lad G 1 og G 2 være to grupper. Vi udstyrer det kartesiske produkt G 1 G 2 med operationen, defineret ved (g 1, g 2 ),(g 1, g 2 ) G 1 G 2,(g 1, g 2 ) (g 1, g 2 )=(g 1 g 1, g 2 g 2 ) Det er klart, at (G 1 G 2, ) udgør en gruppe og kaldes det direkte produkt af G 1 og G 2. 49

50 I Rubiks terning er mange undergrupper isomorfe med det direkte produkt af to andre. Vi kan eksempelvis tage det direkte produkt af < F > og < B >, nemlig N = < F > < B >. Denne gruppe har orden 16, og elementerne i N er: {(e, e), (e, F), (e, F 2 ), (e, F 3 ), (B, e), (B, F), (B, F 2 ), (B, F 3 ), (B 2, e), (B 2, F), (B 2, F 2 ), (B 2, F 3 ), (B 3,e),(B 3,F),(B 3,F 2 ),(B 3,F 3 )} Betragt nu funktionen α: < F > < B > < F, B >, defineret ved α((f, b)) = fb, f < F > b < B >. Funktionen α er en homomorfi, da N øjensynligt er kommutativ. Vi viser, at α er en isomorfi. Lad (f 1,b 1 ) og(f 2,b 2 ) N. Vi har, α((f 1,b 1 ))=α((f 2,b 2 )) f 1 b 1 = f 2 b 2 f 1 = f 2 og b 1 =b 2, da F og B er disjunkte. Altså har vi (f 1,b 1 )=(f 2,b 2 ), hvorfor α er injektiv. Surjektivitet af α følger af, at undergruppen <F,B > også har 16 elementer. Med andre ord er N og < F, B > isomorfe, og følgelig kan undergrupper < X, Y >, hvor X og Y er flader uden småterninger tilfælles, betragtes som direkte produkter. forh jre-ogvenstre-sideklassermoduloh. 3.9 Sideklasser og kvotientgrupper Lagranges sætning Definition Lad H være en undergruppe af en endelig gruppe G, og lad g G. Da kaldes mængderne Hg = {hg h H } og gh = {gh h H } henholdsvis Vi betegner ved [G: H] antallet af venstre- eller højre- sideklasser modulo H, og det kaldesindeksetaf H. Mængden af alle venstre-sideklasser modulo H betegnes G/H og mængden af alle højre-sideklasser modulo H betegnes H/G. Betragt et element g G. At H er en undergruppe, giver e H, og da g = ge er g g H. Så derfra kan vi konkludere, at g i hvert fald tilhører en sideklasse, og dermed at en sideklasse aldrig er tom. Antag nu, at g ligger i en anden sideklasse g H. Der findes h 0 H, så g = g h 0. Følgelig har vi g = gh 0 1. Altså gælder h H, gh = g h 0 h, og g h = gh 0 1 h. Da både h 0 h og h 0 1 h ligger i H, gælder både gh g H og g H gh, altså har vi gh = g H. Vi har altså netop vist, at to venstre-sideklasser, som har et element tilfælles, er ens. Følgelig ligger hvert element af G i netop én venstre-sideklasse modulo H, nemlig gh. Da hver venstre-sideklasse indeholder mindst ét element, udgør alle venstre-sideklasser modulo H en klassedeling af G. Endvidere er H selv en venstre-sideklasse, nemlig e H, og H er derfor den eneste venstre-sideklasse eller højre som også er en undergruppe af G. En tilsvarende argumentation føres for højre-sideklasser. Vi definerer nu funktionen f g : H gh, med forskrift f g (h) = gh, h H. Funktionen f g er øjensynlig surjektiv, og tilmed også injektiv ved brug af lemma Altså er f g bijektiv, hvorfor mængderne H og gh er lige store. Dette betyder, at sideklasserne modulo H venstre eller højre har samme antal elementer, og da de er disjunkte gælder, at ordenen af G kan opnås ved at lægge antallet af elementer for samtlige venstre-sideklasser sammen. Med andre ord har vi lige vist en af Lagranges berømte sætninger, nemlig, 50

51 Sætning Lad G være en endelig gruppe, og lad H være en undergruppe af G. Der gælder: G =[G:H] H (3.8) Korollar Lad G være en endelig gruppe og lad g G. Da går g op i G. Bevis. Vi har tidligere set, at H = < g > = {g, g 2, g 3,, g n = e} er en endelig kommutativ undergruppe af G. Ved sætning 3.73 går g = H op i G. Dette fortæller os flere ting, hvad Rubiks gruppe angår, og først og fremmest, at ordenen af R går op i G =12! 8! Endvidere går ordenen af en undergruppe af R op i R. Ovenstående resultat er dog ikke et kriterium for undergruppernes mulige orden. Den kan bruges til at se, hvilke ordner undergrupper ikke har, og går et naturligt tal t op i R medfører det ikke, at der rent faktisk findes et element af orden t i R. For definitivt at sige noget om undergrupper i en endelig gruppe, er vi også interesseret i det omvendte. Cauchys kontribution på området går noget af den anden vej. Han viste nemlig, at hvis et primtal p går op i ordenen af en gruppe G, så findes der et element g af orden p og følgelig også en undergruppe af orden p, nemlig < g > i G. Sylows-sætninger efter den norske matematikker ludwig Sylow er også eksempler på det delvist omvendte til Lagranges sætning. Han viste, at for en endelig gruppe G, hvor p n er den største potens af et primtal p, som går op i med G, findes der en undergruppe af orden p n i G. Endvidere indeholder Sylows sætninger information om antallet af sådanne undergrupper. Den interesserede læser henvises til [7] for Cauchys sætning, og til [3] for Sylows-sætninger Normale undergrupper Definition Lad G være en endelig gruppe, og lad H være en undergruppe i G. Undergruppen H kaldesnormal og vi skriver H G såfremt højre- og venstre-sideklasserne modulo H stemmer overens, altså såfremt gh =Hg, g G. Når man skal karakterisere normale grupper, er det tit mere overskueligt at arbejde med følgende kriterium: Lemma Lad G være en gruppe, og lad H være en undergruppe af G. Undergruppen H er normal, hvis og kun hvis der gælder ghg 1 H, g G. Bevis. Vi viser de to veje.. Antag, at H er normal og lad g G. Ifølge definitionen må venstre- og højre-sideklassen for g stemme overens, hvorfor g H =H g, altså følger ghg 1 =H.. Antag nu, at ghg 1 H, g G. For alle h 1 H findes h 2 H, så gh 1 g 1 = h 2, for alle g G, hvilket medfører gh 1 =h 2 g Hg. Altså, gh Hg. Nu har vi også h 1 g 1 = g 1 h 2, hvilket medfører Hg gh, da g 1 beskriver hele G. Givet en gruppe G er eksempler på normale undergrupper Z(G) og G. Ligeledes er undergrupperne {e} og G selv normale undergrupper af G. Sagt på en anden måde er normale undergrupper de undergrupper, som er stabile under konjugering. Da centret af S n er A n ifølge lemma 3.48, er A n normal i S n. 51

52 Eksempel Der findes mange normale undergrupper af R. De permutationer af R, som ikke flytter på hjørnerne, udgør en undergruppe K af R. For k K og g R har vi, at gkg 1 flytter først på både hjørner og kanter, flytter på kanter, og genbringer hjørnerne på deres oprindelige plads. Altså, gkg 1 K og følgelig er K normal i R. Ligeledes kan vi definere undergruppen H af R, som de permutationer af R, som ikke flytter på kanterne. Undergruppen H er også normal i R. Lemma Hvis H er en undergruppe i G af indeks 2, da er H normal i G. Bevis. Da H har indeks to, er der netop to venstre-sideklasser i G/H og to højre-sideklasser i H/G. Da den ene af sideklasserne i G/H og H/G må være H selv, må den anden sideklasse i både G/H og H/G bestå af alle elementer af G, som ikke er i H. Altså er H normal. Lemma Lad f: G 1 G 2 være en homomorfi mellem to grupper. Da er Ker(f) en normal undergruppe af G 1. Bevis. Antag, at G 1 har operation, og at G 2 har operation. Først viser vi, at Ker(f) er en undergruppe af G 1. Associativitet nedarves fra G 1. Mængden Ker(f) er en delmængde af G 1, som indeholder det neutrale element ved lemma 3.64(i). For g Ker(f), gælder ved lemma 3.64(ii) f(g 1 ) = f(g) 1 = e 1 2 = e 2, hvorfor vi har g 1 Ker(f). Endelig, for g, h Ker(f), gælder f(g h) = f(g) f(h) = e 2 e 2 = e 2, så g h ligger også i Ker(f). Altså er Ker(f) en undergruppe af G 1. Vi viser nu, at Ker(f) er normal i G 1. For alle g G og for alle h Ker(f) gælder det, at f(g h g 1 ) = f(g) f(h) f(g 1 ) = f(g) e 2 f(g) 1 = e 2. Dette gør rede for, at Ker(f) er normal i G 1. Eksempel Lad ǫ: S n {1, 1} være fortegn-funktionen. Da gælder A n = Ker(ǫ). Endvidere viser lemmaet, at A n er normal i S n Kvotientgrupper og isomorfisætning Kvotientgrupper Når H er en normal undergruppe af G, er der en naturlig operation i mængden af sideklasser, som vi viser hernæst. Lemma Lad H være en normal undergruppe af G. Vi udstyrer mængden af de venstresideklasser G/H med operationen, defineret ved: i. gh kh =(gk)h, g,k G. ii. (gh) 1 = g 1 H, g G. Da er (G/H, ) en gruppe med neutralt element H =eh og kaldeskvotientgruppe. Bevis. Elementer i G/H er venstre-sideklasser. Betingelsen (i) forudsætter, at man har valgt g og k til at repræsentere sideklasserne gh og kh. Man kunne have valgt mange andre, angiveligt alle elementer i gh eller kh. Vi skal derfor først vise, at (i) er uafhængig af valget af g og k. For g gh og k kh, findes h g, h k H, så g = gh g, og k = kh k. Vi skal nu vise, at g k H = gkh. Vi har g k = gh g kh k = gk(k 1 h g k)h k 52

53 Da H er normal, gælder k 1 h g k H. Da (k 1 h g k)h k H, har vi g k gkh, og da sideklasser modulo H enten er disjunkte eller ens, følger g k H = gkh. Betingelsen (i) er derfor uafhængig af valget af g og k. Afslutning følger af (i). Associativitet følger også af (i), og at (gh)k = g(kh), hvor g, h og k G. Eksistens af det inverse element med de ønskede egenskaber følger af (ii) og (i). Slutteligt har H, betragtet som det neutrale element, øjensynligt de nødvendige egenskaber. Eksempel Lad f: G 1 G 2 være en homomorfi mellem grupperne G 1 og G 2. Da Ker(f) er en normal undergruppe af G 1 ifølge lemma 3.79, følger, at G 1 /Ker(f) er en kvotientgruppe. Der er flere årsager til, at vi interesserer os for kvotientgrupper. Lad os tage de normale undergrupper K og H af R defineret i eksemplet Kvotientgruppen R/K består af de venstre-sideklasser modulo K. Tag p og q R, så p og q har samme virkning på hjørnerne. Vi har p q 1 K, hvilket medfører, at p K q = q K. Altså er p og q i samme sideklasse i R/K. Hver sideklasse i R/K kan altså opfattes som en bestemt virkning på hjørnerne. Kvotientgruppen R/K kan altså opfattes som de permutationer af de 24 flader af hjørnerne, som kan realiseres i Rubiks terning. Ydermere har vi, at R 2<R/K, hvor R 2 betegner gruppen af lommeterningen. Ligeledes gælder, at R/H kan opfattes som de permutationer af de 24 flader af kanterne, som kan realiseres i Rubiks terning. Kvotientgrupper vil også hjælpe os i næste kapitel, sammen med følgende isomorfisætning, til at karakterisere strukturen af Rubiks gruppe. Slutteligt kan kvotientgrupper også anvendes på gruppen af visse permutationspuslespil til at generere en løsning. Men det skal vi vende tilbage til i kapitel En isomorfisætning Til sidst en isomorfisætning, som vi skylder den tyske matematiker Emmy Noether, og som bliver brugt i næste kapitel. Sætning Lad G 1 og G 2 være to grupper, og lad f: G 1 G 2 være en homomorfi. Da er G 1 /Ker(f) isomorf med f(g 1 ). Bevis. Lad θ: G 1 /Ker(f) f(g 1 ), defineret ved θ(g Ker(f)) = f(g). Vi skal først vise, at dette definerer en funktion, altså at θ(g Ker(f)) er uafhængig af valget af g. Lad g g Ker(f). Da findes h Ker(f), så g = gh. Vi har, f(g 1 g )= f(g 1 gh)= f(h)=e= f(g) 1 f(g ) Her blev brugt, at h Ker(f), og at f er en homomorfi. Det følger, at f(g)= f(g ). Funktionen θ er altså veldefineret, og vi skal nu vise, at θ er en bijektiv homomorfi. For g, g G 1, har vi g Ker(f)g Ker(f) = gg g 1 Ker(f)g Ker(f). Da g 1 Ker(f)g er i Ker(f), da Ker(f) er normal, gælder g Ker(f)g Ker(f)= gg Ker(f). Altså har vi for alle g, g G 1 θ(g Ker(f) g Ker(f))=θ(gg Ker(f))= f(gg )= f(g)f(g )=θ(g Ker(f))θ(g Ker(f)) Funktionen θ er altså en homomorfi. At θ er surjektiv vises på følgende måde. For hver g 2 f(g 1 ) findes g 1 G 1, så f(g 1 ) = g 2. Følgelig, for hver g 2 f(g 1 ), findes der en sideklasse i G 1 /Ker(f), nemlig g 1 Ker(f), så Θ(g 1 Ker(f))= g 2. Vi mangler nu blot at vise injektivitet. Antag derfor, at θ(g Ker(f)) = θ(g Ker(f)). Vi har f(g) = f(g ), og følgelig f(g 1 g ). Altså g 1 g Ker(f), hvorfor g og g ligger i samme venstre-sideklasse modulo Ker(f). Altså g Ker(f) = g Ker(f). Vi har altså vist, at θ er en isomorfi. 53

54

55 Kapitel 4 Rubiks gruppe 4.1 Et semi-direkte produkt Betragt en gruppe G og mængden Aut(G) af alle automorfier på G. Det gengives at en automorfi på G er en isomorfi med G som definitions- og billedmængde. Mængden af alle automorfier på G består således af bijektive homomorfier af G på sig selv. Med som operation er det forholdsvis nemt at vise, at Aut(G) er en gruppe med identitetsfunktionen som neutralt element. Lad S n sædvanligvis betegne den symmetriske gruppe af n elementer, og lad C d betegne den cykliske gruppe af orden d, som defineret i afsnit Endvidere, lad C d n betegne følgende direkte produkt, C d n =C d C d C d?n gange Gruppen C d n er altså det direkte produkt af C d med sig selv n gange. Elementerne i gruppen C d n kan altså opfattes som n-tupler v = (v 1, v 2,, v n ), hvor v i C d, 1 i n, og hvor gruppeoperationen er standard-operationen for direkte produkter som i definition Vi definerer nu f: S n Aut(C d n ), og betegner f(σ) ved f σ for alle σ S n. Forskriften for f σ :C d n C d n er, σ S n, f σ (v = (v 1,v 2,,v n ))=(v σ(1),v σ(2),,v σ(n) ), v C d n (4.1) Vi udregner f σ f τ for σ, τ S n. Da elementet på pladsen i i v først bliver flyttet til pladsen σ 1 (i) af f σ og dernæst flyttet til pladsen τ 1 (σ 1 (i)) i f σ f τ (v), er elementet på pladsen i i f σ f τ (v) tallet v (σ 1 τ 1 ) 1 (i)=v τσ(i), hvorfor f σ f τ = f τ (f σ ) = f τσ (4.2) Eksempel 4.1. Lad n=4, og lad σ =( ) og τ =( ). Vi har f σ ((v 1,v 2,v 3,v 4 )) = (v σ(1),v σ(2),v σ(3),v σ(4) ) = (v 2,v 3,v 4,v 1 ) Når vi nu udregner f τ ((v 2, v 3, v 4, v 1 )), er det udfra forskriften (4.1), så v 2 opfattes som v 1, v 3 som v 2, v 4 som v 3 og v 1 som v 4, hvorfor f σ f τ ((v 1,v 2,v 3,v 4 ))= f τ ((v 2,v 3,v 4,v 1 ))=(v 4,v 1,v 3,v 2 ) Da τσ =(1 4 2)(3) er f σ f τ ((v 1,v 2,v 3,v 4 ))=(v τσ(1),v τσ(2),v τσ(3),v τσ(4) ). Lemma 4.2. Funktionen f σ :C d n C d n er en automorfi for alle σ S n. 55

56 Bevis. Lad σ S n, og lad v, w C n d. Der gælder f σ (v + w) = f σ (v) + f σ (w), da det er det samme som at lægge to tal sammen og flytte det til pladsen j, som det er at flytte to tal på pladsen j og lægge dem sammen. Altså er f σ en homomorfi. For v C n d er f σ (v) blot en permutation af elementerne af v, hvorfor f σ er en bijektion. Nu definerer vi en operation f på det kartesiske produkt C n d S n, hvor f er ovenstående funktion, ved For alle(v,σ) og(w,τ) C d n S n, (v,σ) f (w,τ)=(v + f σ (w),στ) hvor additionstegnet af addition modulo d, som følge af det direkte produkt C d n. Elementet (0 = (0,, 0), Id) er neutralt for operationen f. Afslutningen følger også nemt, idet v + f σ (w) C d n og στ S n. Associativitet af operationen f er mindre åbenbar. Lad (v, σ), (w, τ) og (z, φ) være elementer i C d n S n. ((v,σ) f (w,τ)) f (z, φ) = (v + f σ (w),στ) f (z, φ) = (v + f σ (w) + f στ (z),στφ) (v,σ) f ((w,τ) f (z, φ)) = (v,σ) f (w + f τ (z),τφ) = (v + f σ (w + f τ (z)),στφ) = (v + f σ (w) + f στ (z),στφ) ved lemma 4.2 og(4.2) Det inverse element til elementet (v,σ) er (f σ 1(v 1 ),σ 1 ), idet: (v,σ) f (f σ 1(v 1 ),σ 1 ) = (v + f σ (f σ 1(v 1 )),σσ 1 ) = (0, Id) Vi har dermed vist, at (C n d S n, f ) udgør en gruppe. Den kaldes det semi-direkte produkt af grupperne C d n og S n relativ til f og betegnes C d n f S n. 4.2 Hovedsætningen i Rubiks teori Den ulovlige G Vi nummererer hjørne-pladserne fra ét til otte. Hjørnerne døbes med nummeret på pladsen, som de sidder i, og fladerne, som vender ud til O eller N, stemples usynligt med dette tal. Ligeledes nummereres kant-pladserne fra et til 12. Kanterne døbes ligeledes af nummeret på pladsen, som de sidder i, og fladerne, som vender ud til O eller N, stemples usynligt med dette tal. Med dette har vi nummereret 16 af de 20 småterninger. For de fire resterende kanter fv, vb, bh og hf stemples fladerne, som vender ud mod siderne F eller B, med tallet for pladsen. Hvilket nummer hver enkel småterning får, og hvilken flade, der bliver stemplet, er illustreret på figurerne 4.1(a) og (b). (a) (b) (c) (d) Figur