DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem af første orden Vi betragtede sidst et lineært og homogent system af n differentialligninger af første orden på formen x (t) = Ax (t), hvor a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, x (t) = a n1 a n2 a nn x 1 (t) (t) x n (t) Ved et inhomogent lineært ligningssystem af første orden forstås et system, der kan skrives på formen x (t) = Ax (t) + g (t) hvor g (t) = [ g 1 (t) g 2 (t) g n (t) ] T 12 Struktursætningen Struktursætningen Den fuldstændige løsning til x (t) = Ax (t) + g (t) er summen af en partikulær løsning og den fuldstændige løsning til det homogene system x (t) = Ax (t) Sætningen følger af den generelle struktursætning for lineære afbildninger: Lad f : V W være lineær Så er den fuldstændige løsning til ligningen f (x) = b summen af en partikulær løsning og den fuldstændige løsning til den homogene ligning f (x) = Her er f givet ved f (x) (t) = x (t) Ax (t) 1
Vores f er lineær, da (1) f (x + y) (t) = (x + y) (t) A (x + y) (t) = x (t) + y (t) Ax (t) Ay (t) = f (x) (t) + f (y) (t), og da (2) f (kx) (t) = (kx) (t) A (kx) (t) = k x (t) kax (t) = k f (x) (t) 13 Eksempel 1 på inhomogent system Eksempel 1 på inhomogent system Betragt systemet x = Ax + g = 5 3 3 3 5 3 9 9 7 x 1 x 3 + 2 4 6 Den fuldstændige løsning til det homogene system x (t) = Ax (t) fandt vi sidst ved egenværdimetoden til x (t) = c 1 e 2t v 1 + c 2 e 2t v 2 + c 3 e t v 3 hvor c 1, c 2, c 3 R, idet egenværdierne for A er 2 (med algebraisk og geometrisk multiplicitet 2) og 1, og hvor de tilhørende egenvektorer er v 1 = [ 1 1 ] T, v 2 = [1 1] T og v 3 = [ 1 1 3 ] T Vi mangler en partikulær løsning x p (t) til x = Ax + g Da g er en konstant vektor, gør vi ansatsen x p = [ a b c ] T (altså en konstant vektor) 14 Eksempel 1 på inhomogent system (fortsat) Eksempel 1 på inhomogent system (fortsat) Ansatsen x p = [ a b c ] T indsættes i x = Ax + g Vi får = Ax p + g, så Ax p = g Da A har en invers, er x p = A 1 g, men kan lettere findes ved gausselimination: Totalmatricen for Ax p = g gausselimineres til reduceret echelonform T = 5 3 3 2 3 5 3 4 9 9 7 6 1 11 1 14 1 33 Altså x p = [ 11 14 33 ] T Dermed er den fuldstændige løsning til x = Ax + g givet ved x (t) = x p + c 1 e 2t v 1 + c 2 e 2t v 2 + c 3 e t v 3, hvor c 1, c 2, c 3 R 2
15 Eksempel 2 på inhomogent system Eksempel 2 på inhomogent system Betragt systemet x = Ax + g (t), hvor A er givet i eksempel 1, men hvor g (t) = [ 1e 3t 2 4 ] T Vi har g (t) = e 3t [ 1 ] T + [ 2 4 ] T = e 3t u + v Vi søger en partikulær løsning x p (t) og gør ansatsen x p = e 3t z + w, hvor z og w er konstante vektorer Ved indsættelse i x = Ax + g (t) fås ( ) 3e 3t z = A e 3t z + w + e 3t u + v Omordning giver e 3t (Az 3z + u) + Aw + v =, der skal gælde for alle t Heraf fås Az 3z + u = og Aw + v = Så w = A 1 v og z = (A 3I) 1 u Altså x p = e 3t z + w = e 3t (A 3I) 1 u A 1 v Udregning giver x p = e 3t [ 1 3 9 ] T [ 3 2 7 ] T 16 Omskrivning af n te ordens differentialligning til system af første orden Omskrivning af n te ordens differentialligning til system af første orden Betragt en normeret lineær differentialligning af n te orden d n y dt n + a d n 1 y 1 dt n 1 + + a dy n 1 dt + a ny = q (t) Sæt x 1 = y, = y, x 3 = y,, x n = y (n 1) så fås systemet x 1 (t) = (t) (t) = x 3 (t) x n 1 (t) = x n (t) x n (t) = a n x 1 (t) a n 1 (t) a 1 x n (t) + q (t) med koefficientmatrix på næste side 3
17 Omskrivningen fortsat Omskrivningen fortsat Systemet kan nu skrives på formen x = Ax + g (t), hvor x = x 1 x n 1 x n g (t) =, A = q (t) 18 Eksempel på omskrivning Eksempel på omskrivning Betragt y + a 1 y + a 2 y = q (t) Sæt x 1 = y og = y, så fås systemet 1 1 1 a n a n 1 a n 2 a 2 a 1 x 1 (t) = (t) (t) = a 2 x 1 (t) a 1 (t) + q (t) [ x 1 ] [ = 1 a 2 a 1 Betragt y + a 1 y + a 2 y + a 3 y = q (t) ] [ x1 ] [ + q (t) ] Sæt x 1 = y, = y og x 3 = y, så fås systemet x 1 (t) = (t) (t) = x 3 (t) x 3 (t) = a 3 x 1 (t) a 2 (t) a 1 x 3 (t) + q (t) x 1 x 3 = 1 1 a 3 a 2 a 1 x 1 x 3 + q (t) 4
19 Cayley-Hamiltons sætning Cayley-Hamiltons sætning Lad A være en n n-matrix og lad p (λ) = det (A λi) Så gælder, at p (A) = Bevis For et generelt bevis se sætning 719, p 218 i LA Er A diagonaliserbar, kan sætningen let bevises: Lad v 1, v 2,, v n være en basis for R n (eller C n ) bestående af egenvektorer for A Skriv x R n (eller C n ) på formen x = c 1 v 1 + + c n v n Så fås p (A) x = c 1 p (A) v 1 + + c n p (A) v n = c 1 p (λ 1 ) v 1 + + c n p (λ n ) v n = Men hvis en kvadratisk matrix B opfylder Bx = for alle x R n (eller C n ), så gælder B = Altså har vi p (A) = 11 Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning Anvendelse af Cayley-Hamiltons sætning 5 3 3 Eksempel A = 3 5 3 Karakterpolynomiet er p (λ) = λ 3 9 9 7 3λ 2 + 4 Cayley-Hamilton giver, at p (A) = A 3 3A 2 + 4I = Hvis x = Ax har vi d2 x = d dt 2 dt x = dt d Ax = A dt d x = A x = A 2 x og generelt d k x = A k x dt k ( ) Derfor gælder, at p ddt x = p (A) x = ( ) Altså løser hver af komponenterne x i af x differentialligningen p ddt x i = Så x i 3x i + 4x i = for i = 1, 2, 3 Karakterligningens rødder er 2 (alg mult 2) og 1 Så x i (t) = c i1 e t + c i2 e 2t + c i3 te 2t, hvor konstanterne for forskellige værdier af i afhænger af hinanden 5
111 Det minimale polynomium for en matrix Det minimale polynomium for en matrix Det minimale polynomium for en kvadratisk matrix A er det ikke-trivielle polynomium p af mindst mulig grad for hvilket det gælder, at p (A) = Er egenværdierne for A alle simple, så er det minimale polynomium identisk med karakterpolynomiet Er A diagonaliserbar, så er det minimale polynomium p (λ) = (λ 1 λ) (λ 2 λ) (λ k λ), hvor egenværdierne λ 1, λ 2,, λ k er indbyrdes forskellige I eksemplet ovenfor fandt vi det (A λi) = λ 3 3λ 2 + 4 = (λ 1) (λ + 2) 2 Da A viste sig at være diagonaliserbar, er det minimale polynomium p (λ) = (λ 1) (λ + 2) = λ 2 λ + 2 Dette betyder altså, at A 2 A + 2I = Komponenterne til løsningerne til x = Ax opfylder dermed alle differentialligningen x i x i + 2x i = 6