Målstyret kompetenceorienteret matematikundervisning - med afsæt i et ph.d.-projekt, der bl.a. har fulgt én lærer og én 5.- 6. klasse i to år. Rune Hansen, Sorø d. 22.3.18 ruha@ucsyd.dk 1
Disposition Læreplanperspektiv Lærerperspektiv Planlægningsperspektivet Klasserumsperspektivet Elevperspektiv Målorienteringer og synlige læringsmål Selvreguleret læring og refleksion over matematiske læring Indholdsperspektiv (repræsenteret ved modelleringskompetence) Spørgsmål 2
Læreplansperspektiver Forskellige perspektiver på læreplaner: Den intenderede læreplan (Fælles Mål) Den gennemførte læreplan (Hvad møder eleverne?) Den lærte læreplan (Hvad lærer eleverne?) Den evaluerede læreplan (Hvordan evalueres elevers læringsudbytte fra officiel side?) Fælles Mål i matematik en kompromistekst! I planlægningen af undervisningsforløb skal der inddrages læringsmål fra både de matematiske kompetencer og fra de matematiske stofområder 3
Mål i matematiklærerens planlægningspraksis Forberedelsen af forsøgsundervisningen i mit projekt handler om at få de målstyrede logikker med opstillede læringsmål fra de to indholdsområder til at fokusere matematikundervisningen og være retningsanvisende for elevernes læring. det er 10 gange nemmere bare at tage bogen og køre efter den. [Om målstyret undervisning] Det er jo noget med at sætte sig ned og så tænke, hvad er det, jeg vil have, at det her emne skal indeholde [ ] og så sørge for at få puttet målene på, så man kommer omkring målene og så også få kompetencerne på Rettethed: Mål er med til at skabe en undervisningsmæssig pejling for matematiklæreren. Tidsrøver: Det tager meget tid at formulere en læringsmæssig ambition på kort sætningsform, der kan læses og forstås af elever i undervisningen. Manglende fortrolighed med de matematiske kompetencer (kahoot.it) 4
Eksempel - ræsonnementskompetence 5
Eksempel - ræsonnementskompetence 6
Synlige læringsmål i det matematiske klasserum Matematiklærere skal hjælpe elever med at identificere betydningsfulde læringsmål, der kan udgøre pejlemærker for deres matematiske læring. Synlige læringsmål (matematiklæreren gør målstyret undervisning!) Overflod af målformuleringer (maksimal og ikke optimal brug) 7
Individualisering og instrumentalisering (matematikkens svage forsvar) Udefra set egner matematikfaget sig til etablering af en lineær sammenhæng mellem synlige målformuleringer, matematiske opgaver og kriterier for målopfyldelse. Jo mere enkelt målet er formuleret, desto lettere er det at finde passende afgrænsede opgaver. Samtidig er det forholdsvis enkelt at lave en form for skriftlig evaluering, hvor eleverne regner nogle tilsvarende opgaver. 8
Tydelige mål Tydeligheden opstår ikke af sig selv. Eleverne skal vide, hvad de arbejder frem imod. I Ontarios klasseværelser hænger de mål, eleverne arbejder med for tiden, ofte på væggen, sammen med tegn på, hvordan eleverne kan se, om de har nået målene (Jens Rasmussen i et interview med Folkeskolen). Lav et tydeligt læringsmål til brug i matematikundervisningen 9
Et kommunikationsteoretisk perspektiv på tydelige mål 10
Et kommunikationsteoretisk perspektiv på tydelige mål Begreberne synlige og klare signalerer en form for transparens, hvilket umiddelbart kan være vanskeligt at indvende noget mod. Forsøgsundervisningen får mig til at stille spørgsmålet i forbindelse med læringsmål: Klare og tydelige for hvem? elever, lærer, forsker. Ifølge Umberto Eco er fortolkningen en central del af modtagerrollen. Når vi i forsøgsundervisningen har stor fokus på synlige læringsmål samt bestræbt os på én mulig læsning, så skabes en form for illusion af klarhed. Eco betoner, at intet er mere åbent end en lukket tekst (Eco, 1981) Se på jeres eget læringsmål er det tydeligt? og for hvem er det tydeligt? Relaterer jeres læringsmål sig til et stofområde eller en kompetence? 11
Den vanskelige klassesamtale om mål vi snakker jo om det hver gang. Og jeg tænker, at de stadigvæk ikke er så meget inde i snakken. Det er mest mig, der snakker. Jeg tror, at det giver en større klarhed for dem. For mig giver det i hvert fald en større klarhed også, hvad er det lige præcis, vi skal med den her lektion Oplever I en ritualiseret form for målstyring, hvor læringsmålene automatisk præsenteres for eleverne? 12
Elevers målorientering og synlig læringsmål Præstationsorientering: Offensiv: overfladiske læringsstrategier og præference for lette opgaver. De er optaget af at blive hurtigt færdig med opgaverne i stedet for at reflektere over dem. De giver let op, undgår at søge hjælp og undlader at rette fejl og fejltagelser. Defensiv: Elever benytter sig af forskellige læringshæmmende strategier. Elever forsøger at undgå negative vurderinger ved eksempelvis at være tilbageholdende med deres indsats, pjatte og undgå at bede om hjælp Mestringsorientering: lyst til at lære, tendens til oftere at anvende selvregulerende strategier end andre elever. De er bevidste om det, der skal læres og sætter sig mål for læringen. 13
Defensiv præstationsorientering og synlige læringsmål Lærer: Hvad er mål i matematikundervisningen? Felix: Hvis man har et eller andet, så kan man have et mål. Hvis man får et eller andet for, så er ens mål at lave det. Lærer: Du mener, hvis man får lektier for, så er målet, at man skal nå og lave lektierne. Mikkel: Opgaverne, der i bogen Det er et mål, at vi skal nå alle dem, vi har fået for, altså dem vi skal lave der. Det er et mål og kunne alle dem. 14
Selvvurdering i forhold til læreropstillede læringsmål Isabella: Alma: Rune: Alma: Isabella: Ja jeg har krydset nogen af dem af, men det er ikke altid, jeg lige når og kigge på dem. Jeg gider ikke krydse dem af, fordi jeg bliver bare opnå, hvad jeg har lavet. Så jeg gør det bare til sidst. Du gør det bare til sidst. Så den betyder ikke så meget den arbejdsseddel, altså at målene står på eller hvordan? Nej, det betyder ikke noget for mig. Altså jeg vil gerne nå at lære de der mål, inden det her det slutter. Og hvis de nu ikke stod der, så var det sådan. Det er lidt lige meget, hvis jeg ikke når det, men [ ] at det vil jeg gerne nå at lære det. 15
Målorientering Formålet med synlige læringsmål Defensiv præstationsorientering Offensiv præstationsorientering Målbeskrivelser opfattes som aktivitetsmål. Elever med en defensiv præstationsorientering kobler læringsmål til at lave lærerbestemte opgaver i matematikbogen. De har ofte vanskeligheder ved at afkode målene. Målbeskrivelser relateres også til en form for aktivitetsmål. De synlige læringsmål beskriver, hvad elever skal eller har lavet, og ikke det, de skal lære. Målbeskrivelser tager tid fra mere centrale aktiviteter i matematikundervisning som opgaveløsning. De synlige læringsmål anses ikke for værende nødvendige, da elever med en offensiv præstationsorientering føler, at de har styr på, hvad de har lært. Mestringsorientering Målbeskrivelser relateres til refleksion over egen matematisk læring. Elever med en mestringsorientering anvender de synlige læringsmål i forbindelse med at skabe en læringsmæssig pejling samt en opmærksomhed i deres arbejde med det matematiske indhold. 16
Elevers refleksion over deres matematiske læring Læringsmål et refleksionsværktøj for elever? Fastholde elevers refleksioner over deres matematiske læring gennem forskellige artefakter. Elevernes engagement i selvregulerende processer relaterer sig til den mening, de tilskriver aktiviteterne 17
Krydsfelt mellem instrumentalisering og forskellige styringslogikker 18
Den mundtlige dimension Processen med at gøre eleverne bevidste om deres læring udfordres af ideen om at synliggøre og fastholde den dimension gennem forskellige artefakter som målsedler og logbøger. Med dataperspektivet og arbejdet med læringsmål kommer den mundtlige dimension i matematikundervisningen under pres 19
Anskueliggørelse: Genbesøg en aktivitet Det fremadrettet perspektiv suppleres med et bagudrettet blik Rosa: Lise: Rosa. Lise: Rosa: Rosa: Lise: Rosa: Rosa: Lukas: Rosa: Lukas: Hvis du siger 7 gange 3, det er jo bare et regnestykke. Det er vel ikke en ligning. Er det det? [ ] Men er det så en ligning? Er det ikke bare et regnestykke? Jeg ved ikke om det er en ligning eller et regnestykke. Det er jo lige det, der er problemet. Det er jo bare et regnestykke, det der. Ja, det var også det, jeg tænkte. Et regnestykke, det er sgu da en ligning. Det tror jeg. Nej. I en ligning, der skal du finde ud af noget. Ja. Finde ud af, hvad det regnestykke, det giver. Altså. Lise tror, det er et regnestykke. Jeg tror, det er en ligning. Jeg vil sige, det er et regnestykke, fordi x det er bare ukendt. Den er allerede ukendt. Hvis der ikke stod noget. Ja, men jeg tænker, et regnestykke, det er alligevel en ligning, er det ikke? Fordi du regner noget ud lige som. Jeg ved ikke forskellen på en ligning og et regnestykke. Jeg kan ikke kende forskel på navnene. Matematik har alt for 20 mange navne.
Samspil mellem (modellerings)kompetence og stofområde I planlægningen af undervisningsforløb skal der inddrages læringsmål fra både de matematiske kompetencer og fra de matematiske stofområder Så jeg synes, at jeg skal lige selv finde ud af, hvad min rolle er. Og er bange for at man så kommer til og servere noget for dem som Men samtidig så har de også brug for i den grad at blive guidet. Jamen jeg tænker egentlig at det er svært for dem det er svært for dem og føre det med, som de har lært i færdighedsdelen med over. Ja, jeg kan også mærke, at det udfordrer mig. Jeg kan godt, når jeg sidder derhjemme, så har jeg helt styr på det [ ] når jeg så står deroppe, så forvirrer det mig, at det ikke sidder der endnu altså det er svært, fordi du skal egentlig have mange bolde i luften samtidig. 21
Forløb: Funktioner og modelleringskompetence Læringsmål, som eleverne blev introduceret for i forløbet: Man kan vise sammenhængen på flere forskellige måder. Både ved en tabel, og ved at vise det i et koordinatsystem, ved en maskine, en ligning og ved hjælp af ord. Man skal selv kunne lave en matematisk model og begrunde de valg, man har truffet. (Perrenet and Zwaneveld 2012) 22
Oplevelse af succes! Der var to grupper, som var tæt på. Disse to grupper har arbejdet struktureret med opgaven - jeg har hjulpet dem med at opbygge strukturen, hvilken de så har fuldt (Lærer). 23
Brug af primitiv tænkning med avanceret matematik 24
Ufokuserethed Problematisk, hvis eleven i en undervisningssituation fokuserer på modelleringskompetence og læreren på stofområdet og omvendt. De kommer hurtigt til at tale forbi hinanden. Skelne mellem at gøre matematikken anvendelig eller praksis matematisk 25
En gruppes strategi Lærer: Det bliver sådan lidt usikkert. Jeg tænker, at det egentlig er smart tænkt, at man tager en fjerdedel. Men man bliver nødt til og lave en tabel ikke også. I samtalen med eleverne går læreren op til tavlen og begynder at lave en tabel. Lærer: Ella: Lærer: Ella: Lærer: Hvad skal x og y så være? Hvad skal x være? Er det ikke antal elastikker? Jo, det er antal elastikker. Og y hvad vil det være? Det er hvor mange meter. Hvor mange meter. Det skal I få [ ] Alma: Det vil sige, hvis vi siger 19 gange 6. Lærer: Jamen tror du, at den falder 19 cm. Det må du prøve, før du kan lave udregninger med det. Hvis jeg var jer, ville jeg prøve og tage et elastik for at se, om det virkelig passer med, at den falder 19 cm. 26
Forsinkelse i elevernes aktivering af den nye matematik Det er lige som om så lukker de al teorien ude og så forsøger de sig bare frem (Lærer). (Burkhardt 2006) 27
Hæmmende faktorer Problematisk at styre mod 2 læringsmål fra henholdsvis stofområde og modelleringskompetence når elevernes tilgang udfordrer lærerens model. Snæver lærerdefineret modelleringsproces, som eleverne instrumentelt kan følge. Avanceret tænkning med primitiv matematik vs. primitiv tænkning med avanceret matematik Langsommelig og tidskrævende proces at udvikle elevernes modelleringskompetence 28
Udvikle en målbevidst tilgang til arbejdet med læringsmål Hvem har brug for læringsmålet? lærer, elevtyper Hvorfor (ikke) introducere et læringsmål? Hvordan får vi elever til at tale med om deres egen læring? Hvordan får vi elever til at blive matematiske nysgerrige? Spørgsmål? 29
Videre læsning Baumert, J., Kunter, M., Blum, W., Brunner, M., Voss, T., Jordan, A.... Tsai, Y.-M. (2010). Teachers mathematical knowledge, cognitive activation in the classroom, and student progress. American Educational Research Journal, 47(1), s. 133-180. Bergqvist, E., Bergqvist, T., Boesen, J., Helenius, O., Lithner, J., Palm, T. & Palmberg, B. (2010). Matematikutbildningens mål och undervisningens ändamålsenlighet. Grundskolan våren 2009. Nationellt centrum för matematikutbildning: Göteborgs universitet. Blum, W. (2011). Can modelling be taught and learnt? Some answers from empirical research. I G. Kaiser, W. Blum, R. B. Ferri & G. Stillman (red.), Trends in teaching and learning of mathematical modelling (s. 15-30): Springer. Boesen, J., Helenius, O., Bergqvist, E., Bergqvist, T., Lithner, J., Palm, T. & Palmbergb, B. (2014). Developing mathematical competence: From the intended to the enacted curriculum. Journal of Mathematical Behavior, (33), s. 72 87. Burkhardt, H. (2006). Modelling in Mathematics Classrooms: reflections on past developments and the future. ZDM, 38(2), s. 178-195. Carlgren, I. (2016). Att kunna eller låtsas kunna. CURSIV, (19), s. 13-33. Carlsen, D., & Hansen, R. (2016). Målforståelser. CURSIV, (19), s. 233-246. Eisner, E. W. (1969). Instructional and Expressive Educational Objectives: Their Formulation and Use in Curriculum. I W. J. Popham, E. W. Eisner, H. Sullivan & W. Bruneau (red.), Instructional Objectives (s. 1 18). Chicago, IL: McNally & Co. Focant, J., Grégoire, J. & Desoete, A. (2006). Goal-setting, planning and control strategies and arithmetical problem solving at grade 5. I A. Desoete & M. V. Veenman (red.), Metacognition in Mathematics Wducation (s. 51-72). New York: Nova Science Publishers, Inc. Galbraith, P. (2015). Modelling, Education, and the Epistemic Fallacy. I G. A. Stillman, W. Blum & M. S. Biembengut (red.), Mathematical Modelling in Education Research and Practice (s. 339-349): Springer. Galbraith, P. & Stillman, G. (2006). A framework for identifying student blockages during transitions in the modelling process. ZDM, 38(2), s. 143-162. Hansen, R. (2015a). At styre efter målet i matematik: hvad ved vi egentlig om elevers og læreres målorientering? MONA, (1), s. 7-23. Hansen, R. (2016a). På vej mod en målbevidst målstyret kompetenceorienteret matematikundervisning. Studier i læreruddannelse og -profession, 1(1), s. 28-54. Hansen, R. (2016b). På vej mod udvikling af professionelle læringsfællesskaber i matematik. I T. R. Albrechtsen (red.), Professionelle læringsfællesskaber og fagdidaktisk viden (s. 125-136). Frederikshavn: Dafolo. Iversen, S. M. & Larson, C. J. (2006). Simple thinking using complex math vs. complex thinking using simple math A study using model eliciting activities to compare students' abilities in standardized tests to their modelling abilities. ZDM, 38(3), s. 281-292. Lesh, R., Yoon, C. & Zawojewski, J. (2007). John Dewey revisited - Making mathematics practical versus making practice mathematical. I R. Lesh, E. Hamilton, & J. J. Kaput (red.), Foundations for the future in mathematics education (s. 315-348): Lawrence Erlbaum Associates. Niss, M. (2012). Models and Modelling in Mathematics Education. European Mathematical Society. Newsletter, 86, s. 49-52. Niss, M. (2016). Målstyret matematikundervisning?! MONA, (1), s. 69-73. Nuthall, G. (2005). The cultural myths and realities of classroom teaching and learning: A personal journey. Teachers College Record, 107(5), s. 895-934. Perrenet, J. & Zwaneveld, B. (2012). The many faces of the mathematical modeling cycle. Journal of Mathematical Modelling and Application, 1(6), s. 3-21. Remillard, J. T. (2005). Examining key concepts in research on teachers use of mathematics curricula. Review of Educational Research, 75(2), s. 211-246. Shute, V. J. (2008). Focus on formative feedback. Review of Educational Research, 78(1), s. 153-189. Skott, C. K. & Kaas, T. (2015). Matematiklæreres planlægningspraksis og læringsmålstyret undervisning. MONA, (4), s. 7-24. Skovmand, K. (2016). Uden mål og med : Forenklede Fælles Mål? København: Hans Reitzels Forlag. Swan, M., Turner, R., Yoon, C. & Muller, E. (2007). The Roles of Modelling in Learning Mathematics. I W. Blum, P. L. Galbraith, H.-W. Henn & M. Niss (red.), Modelling and Applications in Mathematics Education: The 14th ICMI Study (s. 275-284). Boston, MA: Springer US. Sølberg, J., Højgaard, T. & Bundsgaard, J. (2015). Kompetencemål i praksis : hvad har vi lært af KOMPIS? MONA, (2), s. 46-59. Veenman, M. V. (2006). The role of intellectual and metacognitive skills in math problem solving. I A. Desoete & M. V. Veenman (red.), Metacognition in Mathematics 30 Education (s. 35-50). New York: Nova Science Publishers, Inc..