Grundlæggende funktioner

Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul

Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst 4. Lineær funktion.... 3 5. Lineær vækst.... 3 6. Skriv ligning ud fr beskrivelse f lineær vækst.... 4 7. Skriv hvd og b i lineær forskrift fortæller.... 4 Eksponentiel vækst 8. Eksponentiel funktion.... 5 9. Eksponentiel vækst.... 5 10. Skriv ligning ud fr beskrivelse f eksponentiel vækst.... 6 11. Skriv hvd og b i eksponentiel forskrift fortæller.... 6 Potensvækst 1. Potensfunktion.... 7 13. Potensvækst.... 7 14. Udregn procentændring for potensfunktion.... 7 Grfer 15. Grf for lineær funktion... 8 16. Grf for eksponentiel funktion.... 8 17. Grf for potensfunktion.... 8 Regression 18. Om lineær regression.... 9 19. Opgve med lineær regression... 9 0. Opgve med årstl og lineær regression... 11 1. Fejl t bruge målt tl når vi skl bruge model... 11. Opgve med eksponentiel regression.... 1 3. Opgve med potensregression.... 13 Bestem forskrift ud fr ét eller to punkter 4. Bestem og b i y = +b ud fr to punkter.... 15 5. Bestem og b i y = +b ud fr to punkter givet ved tekst.... 16 6. Bestem b i f () = +b ud fr og punkt.... 16 7. Bestem i f () = +b ud fr b og punkt.... 16 8. Bestem og b i y=b ud fr to punkter.... 17 9. Bestem og b i y=b ud fr to punkter givet ved tekst.... 18 30. Bestem b i y=b ud fr og punkt... 18 31. Bestem i y=b ud fr b og punkt... 18 3. b og be k.... 19 33. Bestem og b i y=b ud fr to punkter... 19 Fordoblings- og hlveringskonstnt 34. Fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt.... 0 35. Aflæs fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt på grf.... 1 36. Udregn fordoblings- og hlveringskonstnt ud fr forskrift... 1 37. Skriv hvd fordoblings- og hlveringskonstnt fortæller.... 38. Udregn y-værdier med T og T½.... Proportionle og omvendt proportionle vrible 39. Proportionle vrible.... 3 40. Omvendt proportionle vrible.... 4 41. Opgve hvor vrible fr virkeligheden er omvendt proportionle.... 5 4. Proportionl/omvendt proportionl med udtryk... 5

Logritmefunktioner 43. Nturlig logritme og titlslogritme.... 6 Beviser 44. Bevis for hvd og b i y = +b fortæller.... 7 45. Bevis for hvd og b i y = b fortæller.... 7 46. Bevis for reglen om potensvækst.... 7 47. Bevis for formler for fordoblings- og hlveringskonstnt.... 8 Polynomier 48. Polynomier og rødder.... 9 Andengrdspolynomier 49. Andengrdspolynomium.... 30 50. Toppunkt.... 30 51. Diskriminnt.... 31 5. Betydning f, b, c og d for grfen.... 3 53. Nulpunkt.... 3 54. Antl nulpunkter eller løsninger.... 3 55. Løs ndengrdsligning... 33 56. Regel for t fktorisere ndengrdspolynomium... 33 57. Eksempler på fktorisering f ndengrdspolynomium... 33 58. Find forskrift for ndengrdspolynomium... 34 59. Nulregel... 35 60. Ligninger f typen = r.... 35 61. Særlige ndengrdsligninger... 36 6. Bevis for reglen for løsning f ndengrdsligninger.... 36 63. Bevis for formelen for fktorisering f ndengrdspolynomium... 37 Funktionerne sinus og cosinus 64. Funktionerne sinus og cosinus... 38 Tidligere udgver kn downlodes fr http://mt1.dk/noter.htm. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5, 018 Krsten Juul. Nyeste version f dette hæfte kn downlodes fr http://mt1.dk/noter.htm. Det må bruges i undervisningen hvis læreren med det smme sender en e-mil til kj@mt1.dk som oplyser t det bruges og oplyser hold, niveu, lærer og skole. 0/10 018

1. Procenter på en ny måde. Procent 1. T er 34 % f 600 T = 34 % f 600 34 = 600 0,34 d 34 % = 100 = 04 = 0,34 Du plejer nok t udregne 34 % ved t dividere med 100 og gnge med 34. I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nødt til t vænne dig til t gnge med 0,34 for t udregne 34 %. 1b. S er 34 % større end 600 S = 134 % f 600 d 100 % + 34 % = 134 % 134 = 600 1,34 d 134 % = = 1,34 100 = 804 1c. R er 34 % mindre end 600 R = 66 % f 600 d 100 % 34 % = 66 % 66 = 600 0,66 d 66 % = 100 = 396 = 0,66 Når du udregner det der er 34 % større end et tl, så plejer du nok t udregne 34 % f tllet og lægge til tllet. I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nødt til t vænne dig til t gnge med 1,34 for t udregne det der er 34 % større. Når du udregner det der er 34 % mindre end et tl, så plejer du nok t udregne 34 % f tllet og trække fr tllet. I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nødt til t vænne dig til t gnge med 0,66 for t udregne det der er 34 % mindre. 1d. Hvor mnge procent er 5 f 16? 5 16 0,41698 41,698 41,3% 5 er 41,3% f 16. 1e. Oversigt over grundlæggende procentregning y 0,30 y 0,30 y y y 1 y 1,30 y y 0,70 0,30 0,70 1 A B y 0,30 A B B er 30 % f A B er 30 % større end A B er 30 % mindre end A B er 130 % f A B er 70 % f A A B 470 141 0,30 470 141 er 30 % f 470 141 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 1 018 Krsten Juul

. Vækstrte. Hvd er vækstrte? At den årlige vækstrte er 18 % betyder t størrelsen bliver 18 % større hvert år. Når vækstrten er r = 18 % = 0,18, så er fremskrivningsfktoren = 1+r = 1,18, dvs. hvert år bliver størrelsen gnget med 1,18. At den månedlige vækstrte er 3 % betyder t størrelsen bliver 3 % mindre hver måned. Når vækstrten er r = 3 % = 0,03, så er fremskrivningsfktoren = 1+r = 0,97, dvs. hvert år bliver størrelsen gnget med 0,97. b. Eksempel Der gælder Antl nstte skl stige med en årlig vækstrte på 10 %. Dvs. Antl nstte skl stige 10 % hvert år. 100 % 45% 145 % 145 I år er ntl nstte 80 100 1,45 Om 1 år er ntl nstte 80 1,45 1189 Om år er ntl nstte 80 1,45 1,45 174 1,45 1,45 1,45 Om 6 år er ntl nstte 80 6 1,45 761 Om år er ntl nstte 801,45 801,45 Antl nstte 1189 80 1,45 1,45 174 1,45 500 år 3. Gennemsnitlig procent 3. Metode til t udregne gennemsnitlig procent Hvis en størrelse stiger fr A til B på n år, så kn den gennemsnitlige årlige procentvise stigning r udregnes ved hjælp f formlen A(1+r) n = B. Hvis der står brug modellen til t bestemme den gennemsnitlige årlige procentvise stigning, så skl du i stedet regne som vist i rmme c. 3b. Eksempel på udregning f gennemsnitlig procent Hvis A = 158, B = 1 og n = 10, er 158(1+r) 10 = 1. Nspire løser denne ligning mht. r for r > 0 og får r = 0,03416, dvs. Den gennemsnitlige årlige procentvise stigning er 3,41 %. 3c. Flere oplysninger om gennemsnitlig procent Perioden behøver ikke være et år. Fr uge 10 til 15 er indtægten steget fr 1,7 mio. kr. til,4 mio. kr. Vi regner som vist ovenfor og får: Gennemsnitlig ugentlig procentvis stigning er 7,14 %. Dette betyder: Ved t stige med 7,14 % hver uge kn et beløb stige fr 1,7 til,4 mio. kr. Procentstigningen hr måske ikke været den smme hver uge. Derfor ordet gennemsnit. 3d. Advrsel om gennemsnitlig procent Vi kn IKKE udregne gennemsnitlig procent ved t lægge procenter smmen og dividere med ntllet. Dette skyldes t procenterne ikke tges f lige store tl. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 018 Krsten Juul

Lineær vækst 4. Lineær funktion. En funktion f er lineær hvis den hr en forskrift f typen f ( ) b Både og b kn være ethvert tl. Definitionsmængden (dvs. de tl vi kn indsætte for ) er lle tl. Tllet i en lineær forskrift f ( ) b kldes hældningskoefficienten. 5. Lineær vækst. 5. Reglen for lineær vækst (reglen for hvd i en lineær smmenhæng y b fortæller): Hver gng vi gør én enhed større, bliver der lgt til værdien f y. 5b. Reglen for hvd b i lineær smmenhæng y b fortæller: Når er 0, er y lig b. 5c. Af 5b og 5 får vi: På grfen for y = 0,3 +0,9 ligger punkterne (-1, 0,6), (0, 0,9), (1, 1,), (, 1,5) osv. Den skrå sorte linje er grf for funktionen y = 0,3 +0,9. Figuren viser t der lægges 0,3 til y-koordinten (søjlehøjden) når bliver 1 større. 0,6 + 0,3 y 0,9 + 0,3 1, + 0,3 1,5 0,3 +0,9 +1 +1 +1 : 1 0 1 y : 0,6 0,9 1, 1,5 0,3+0,9 +0,3 +0,3 +0,3 5d. Hvis vi flæser punkterne (0,7), (1,11), (,15), (3,19) på en lineær grf, kn vi f 5 og 5b slutte t y = 4 + 7. 5e. For y = 3 + 5 gælder: Hvis vi 10 gnge gør en større, vil der 10 gnge blive lgt 3 til y, så: Hver gng vi gør 10 enheder større, bliver der lgt 30 til værdien f y. Dvs. på grfen ligger punkterne ( 10, 5), (0,5), (10,35), (0,65) osv. +10 +10 +10 310 = 30 : 10 0 10 0 y : 5 5 35 65 3+5 +30 +30 +30 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 3 018 Krsten Juul

6. Skriv ligning ud fr beskrivelse f lineær vækst. Opgve Mn skl betle 10 kr. for t strte på et computerspil, og herefter skl mn betle 0,50 kr. pr. minut mn spiller. Skriv en ligning vi kn bruge til t udregne prisen for t spille når vi kender ntl minutter vi spiller. Besvrelse Skl også indeholde de givne oplysninger. Vi bruger og y til t betegne følgende tlstørrelser: = ntl minutter y = prisen i kr. Så kn vi oversætte oplysningerne til følgende: Når 0 er y 10 Hver gng vi gør én enhed større, bliver der lgt 0,50 til y. Af reglerne for hvd og b i Husk t skrive disse oplysninger. f ( ) b fortæller, får vi: y 0,50 10 når = ntl minutter og y = prisen i kr. 7. Skriv hvd og b i lineær forskrift fortæller. Opgve For en cirkel på et elektronisk billede kn rdius udregnes ved hjælp f formlen y 80 hvor er temperturen i C og y er rdius i mm. Hvd fortæller tllene og 80 om rdius? Besvrelse Skl også indeholde de givne oplysninger. Af reglerne for hvd og b i y b fortæller, får vi: er det tl der bliver lgt til rdius y hver gng vi gør temperturen en grd større. Når temperturen er 0, er rdius y lig 80. Dvs.: Rdius er 80 mm ved 0 C og bliver mm mindre for hver grd temperturen stiger. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 4 018 Krsten Juul

8. Eksponentiel funktion. Eksponentiel vækst En funktion f er eksponentiel hvis den hr en forskrift f typen f ( ) b og b skl være positive tl. Definitionsmængden (dvs. de tl vi kn indsætte for ) er lle tl. Tllet i en eksponentiel forskrift f ( ) b kldes fremskrivningsfktoren. 9. Eksponentiel vækst. 9. Reglen for eksponentiel vækst (reglen for hvd i eksponentiel smmenhæng y b fortæller): Hver gng vi gør én enhed større, bliver værdien f y gnget med. 9b. Reglen for hvd b i en eksponentiel smmenhæng y b fortæller: Når er 0, er y lig b. 9c. Af 9b og 9 får vi: På grfen for y = 41,5 ligger punkterne ( 1,16), (0,4), (1,36), (,54) osv. y 41,5 Den sorte kurve er grf for funktionen y = 41,5. Figuren viser t y-koordinten (søjlehøjden) gnges med 1,5 når bliver 1 større. 16 1,5 4 1,5 36 1,5 54 +1 +1 +1 : 1 0 1 y : 16 4 36 54 41,5 1,5 1,5 1,5 9d. Hvis vi flæser punkterne (0,), (1,6), (,18) på en eksponentiel grf, kn vi f 9 og 9b slutte t y = 3. 9e. For y = 5,81,043 gælder: Hvis vi 8 gnge gør én enhed større, vil y 8 gnge blive gnget med 1,043, så: Hver gng vi gør 8 enheder større, bliver y gnget med 1,043 8 = 1,40047. +8 +8 +8 1,043 8 = 1,400 : 8 0 8 16 y : 4,14 5,8 8,1 11,37 5,81,043 1,4 1,4 1,4 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 5 018 Krsten Juul

10. Skriv ligning ud fr beskrivelse f eksponentiel vækst. 10. Opgve Kl. 9 er der 75 celler, og hver time bliver ntl celler 0 % større. (voksende) Opstil en model der beskriver udviklingen i ntllet f celler. Svr Skl også indeholde de givne oplysninger. = ntl timer efter kl. 9 og y = ntl celler Husk t skrive disse oplysninger. Når ntl timer bliver 1 større, vil ntl celler y blive 0 % større, dvs. ntl celler y bliver gnget med 1,0. (Strt: 100 %. Efter stigning: 10 % = 10:100 = 1,0). Når ntl timer er 0, er ntl celler y lig 75. Af reglerne for hvd og b i y b fortæller, får vi y 75 1, 0 10b. Opgve Den 1. mj er fgiften 860 kr. Afgiften nedsættes med,5 % pr. uge (ftgende) Opstil en model der beskriver udviklingen i størrelsen f fgiften. Svr Skl også indeholde de givne oplysninger. = ntl uger efter 1. mj og y = fgiften i kr. Husk t skrive disse oplysninger. Når ntl uger bliver 1 større, vil fgiften y blive,5 % mindre, dvs. fgiften y bliver gnget med 0,975. (Strt: 100 %. Efter fld: 97,5 % = 97,5:100 = 0,975). Når ntl uger er 0, er fgiften y lig 860. Af reglerne for hvd og b i y b fortæller, får vi y 8600, 975 11. Skriv hvd og b i eksponentiel forskrift fortæller. 11. Opgve Om en figur på skærmen gælder t y 3001, 07 hvor (voksende) = temperturen og y = relet Hvd fortæller tllene 300 og 1,07 om figuren. Svr Skl også indeholde de givne oplysninger. Af reglerne for hvd og b i y b fortæller, får vi Når temperturen bliver 1 grd større, bliver relet y gnget med 1,07, dvs. relet y bliver 7, % større. (Strt: 100 %. 100 %1,07 = 107, %. 107, % 100 % = 7, %) Når temperturen er 0, er relet y lig 300. Dvs. Når temperturen er 0 grder, er relet 300, og relet bliver 7, % større for hver grd temperturen stiger. 11b. Opgve Antllet f dyr ændres sådn t y 70 0, 90 hvor (ftgende) = ntl dge efter 1. juni og y = ntl dyr Hvd fortæller tllene 70 og 0,90 om ntllet f dyr. Svr Skl også indeholde de givne oplysninger. Af reglerne for hvd og b i y b fortæller, får vi Når ntl dge bliver 1 større, bliver ntl dyr y gnget med 0,90, dvs. ntl dyr y bliver 10 % mindre. (Strt: 100 %. 100 %0,90 = 90 %. 90 % 100 % = 10 %) Når ntl dge er 0, er ntl dyr y lig 70. Dvs. Den 1. juni er ntllet f dyr 70, og hver dg bliver ntllet f dyr 10 % mindre. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 6 018 Krsten Juul

Potensvækst 1. Potensfunktion. En funktion f er en potensfunktion hvis den hr en forskrift f typen b skl være et positivt tl. kn være ethvert tl. Definitionsmængden (dvs. de tl vi kn indsætte for ) er de positive tl. Tllet i potensforskriften f ( ) b kldes eksponenten. f ( ) b. 13. Potensvækst. 13. Reglen for potensvækst: Om en potenssmmenhæng Når bliver gnget med k, så bliver y gnget med k. y b gælder for et positivt tl k: 13b. Eksempel y = 1, 0,7 Når gnges med 1,5, så gnges y med 1,5 0,7 = 1,17. Når gnges med, så gnges y med 0,7 = 1,6. 1,5 1,5 : 1,14 1,43 1,79 3,80 7,60 y : 1,3 1,54 1,80 3,06 4,96 1,5 0,7 1,5 0,7 0,7 14. Udregn procentændring for potensfunktion. 14. Opgve (udregn ændring f y) Et dyr vokser sådn t y =,7 1,6 hvor y er vægt i grm, og er længde i cm. Når dyret er 40 % længere, hvor mnge procent tungere er det så? Besvrelse Skl også indeholde de givne oplysninger. At bliver 40 % større, er det smme som t bliver gnget med 1, 40. (Strt: 100%. Efter stigning: 140%=140:100=1,40) Når bliver gnget med 1, 40, så bliver y gnget med Bemærk t vi IKKE sætter 1,40 1,40 1,6 = 1,71319 1,71 ind i ligningen. Vi bruger eksponenten fr ligningen. At y bliver gnget med 1, 71, er det smme som t y bliver 71 % større. (Strt: 100%. 100%1,71=171%. 171% 100%=71%) Dyret bliver 71 % tungere når det bliver 40 % længere. 0,51 14b. Opgve (udregn ændring f ) f ( ) 40 hvor er rutes længde i km, og f () er ntl deltgere. Hvor mnge procent kortere skl rute være for t fordoble ntl deltgere? Besvrelse Skl også indeholde de givne oplysninger. 0,51 Når vi gnger med k, bliver ntllet f () gnget med k. D vi vil gnge f () med, skl vi 0,51 vælge k så k. Nspire løser denne ligning mht. k og får k = 0,56889. At længden skl gnges med 0,57, er det smme som t længden bliver 74,3 % mindre. (Strt: 100%. 100%0,57 = 5,7%. 5,7% 100% = 74,3%) Ruten skl være 74,3% kortere for t ntl deltgere fordobles. 14c. Forskellige formuleringer Det er ikke ltid t der står t eller y ændres med en procent. I stedet kn der stå t eller y gnges med et tl. Så slipper vi for t omsætte mellem procent og tl når vi bruger 13 ovenfor. I 14b ovenfor blev y gnget med. Det er det smme som t y bliver 100 % større. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 7 018 Krsten Juul

Grfer 15. Grf for lineær funktion f ( ) b Grfen er en ret linje. d På grfen ser vi: Definitionsmængde: lle tl dvs. lle tl kn indsættes for. Voksende: positiv eksempel: d Aftgende: negtiv eksempel: g Hvis 0 i f ( )b eller i f ( ) b, eller 1 i f ( ) b, så er f ( ) b, så grfen er en vndret linje. g Hvis 1 i f ( ) b, er f ( ) b, så grfen er en skrå linje. 16. Grf for eksponentiel funktion f ( ) b hvor og b er positive På grfen ser vi: Definitionsmængde: lle tl dvs. lle tl kn indsættes for. h Voksende: større end 1 eksempel: h Aftgende: mellem 0 og 1 eksempel: k Grfen kommer vilkårlig tæt på -ksen, men når den ldrig. Bemærk t grfen krummer sådn: eller sådn: IKKE sådn:, og IKKE sådn: k 17. Grf for potensfunktion f ( ) b hvor b er positiv På grfen ser vi: Definitionsmængde: de positive tl dvs. lle positive tl kn indsættes for. Voksende og grf krummer op: over 1 eksempel: m Voksende og grf krummer ned: mellem 0 og 1 eksempel: n Aftgende: negtiv eksempel: p Aftgende potensfunktion: grfen kommer vilkårlig tæt på -ksen, men når den ikke. m n p Bemærk t grferne IKKE krummer sådn: Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 8 018 Krsten Juul

Regression 18 Om lineær regression 18.1 Oplæg til regression Billedet viser Nspire-skærmen. Den blå linje er grf for funktionen med den viste forskrift. Med musen kn mn flytte og dreje linjen. Så ændres forskriften utomtisk. De sorte punkter viser målte værdier. Hvis vi trækker i linjen så den psser godt med punkterne, så vil den viste forskrift være en model f den pågædende smmenhæng. Vi kn få Nspire til t udføre lineær regression på punkterne. Så får vi forskriften for den linje der psser bedst med punkterne. 18. Alle tl skl bruges Tbel: : 1 3 5 7 y: 3 6 9 De fire punkter i tbellen er vist som røde prikker. Hvis vi bruger lle punkter til t bestemme lineær grf, så får vi den fuldt optrukne linje. Hvis vi kun bruger de to første punkter, så får vi den punkterede linje som psser dårligere med tbellen. Mn skl ltså bruge lle tl i tbellen. 19 Opgve med lineær regression 19.1 Opgvens formulering Vi hr målt længde og bredde for nogle plder: længde i cm 11,5 1,5 13,5 14,5 15,5 bredde i cm 5,1 5,3 5,9 6,1 6,6 For plder f denne type gælder med god tilnærmelse y = +b hvor y er bredde i cm, og er længde målt i cm. ) Benyt tbellens dt til t bestemme og b. b) Tegn et punktplot f tbellens dt. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 9 018 Krsten Juul

19. Brugsnvisning til regression i Nspire Vælg Indsæt / Opgve. Ved regression er det særlig vigtigt t begynde på en ny opgve så opgverne ikke ødelægger hinnden. Del siden op i to. Vælg Lister og Regnerk i venstre vindue. Tst tl og søjlenvne som vist til højre. Når du hr tstet tbellen, så flyt mrkør til tomt felt. Vælg i højre vindue Digrmmer og sttistik. Klik under -ksen og vælg søjlen med -værdier. Klik til venstre for y-ksen og vælg søjlen med y-værdier. Vælg i værktøjsmenuen Undersøg dt / Regression / lineær. Der er utomtisk fremkommet et punktplot. Behold dette som illustrtion selv om der ikke i opgven er krv om punktplot. 19.3 Besvrelsen I Nspire kn besvrelsen se sådn ud: 19.4 Krv til besvrelsen Besvrelsen skl indeholde følgende oplysninger: Hvilke tl du hr tstet. Hvilke f tllene du hr tstet i -søjlen. Hvilke f tllene du hr tstet i y-søjlen. At du får Nspire til t udføre regression. Hvilken type regression. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 10 018 Krsten Juul

0 Opgve med årstl og lineær regression Tbellen viser ntllet f boliger i et bestemt område. Årstl 1998 000 00 004 006 008 Antl boliger 133 170 186 18 3 47 Antllet f boliger kn med god tilnærmelse beskrives ved en ligning f typen hvor y er ntllet f boliger, og er ntl år efter 1998. Bestem tllene og b. I Nspire kn besvrelsen se sådn ud: Se brugsnvisning i 19.. y b Vi tster IKKE årstl d ikke er årstllet! 1. Fejl t bruge målt tl når vi skl bruge model. For en type vre er y omsætning dge efter nnoncering. Målte tl: : 6 1 18 4 Model: y = 8 +1 y: 65 103 151 09 Opgve: Brug model til t bestemme stigning i omsætning fr 6 til 10 dge efter nnoncering. Forkert svr: Af tbel: når = 6 er y = 65 Af y = 8 +1 : når = 10 er y = 810 + 1 = 9 Stigning 9 65 = 7 Det er en fejl t bruge tllet fr tbellen d vi skl besvre spørgsmålet ved hjælp f modellen. Rigtigt svr: Af y = 8 +1 : når = 6 er y = 86 + 1 = 60 Af y = 8 +1 : når = 10 er y = 810 + 1 = 9 Stigning 9 60 = 3 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 11 018 Krsten Juul

Opgve med eksponentiel regression.1 Opgvens formulering Tbellen viser ntllet f indbyggere i et område i perioden 000-005. Årstl 000 001 00 003 004 005 Antl 80 110 140 170 00 40 I en model beskrives ntllet ved en eksponentiel funktion f ( ) b hvor f () er ntllet f indbyggere, og er ntl år efter 000. ) Bestem tllene og b ved eksponentiel regression.. Brugsnvisning til opgve.1 Strt på ny opgve i Nspire. Vælg et vindue f typen Lister og regnerk. Nvngiv en søjle i søjlens øverste grå felt (som vist i.3) og tst -værdier i den. Nvngiv en søjle og tst y-værdier i den (se.3). Tilføj et vindue f typen Digrmmer og sttistik. Klik under -ksen og vælg søjlen med -værdier. Klik til venstre for y-ksen og vælg søjlen med y-værdier. Vælg i værktøjsmenuen Undersøg dt / Regression / eksponentiel. Nu ses forskrift og punktplot og grf (se.3)..3 Besvrelse f opgve.1 Udregnet: År efter 000: 0 1 3 4 5 Oplyst: Årstl: 000 001 00 003 004 005 Oplyst: Antl indbyggere: 80 110 140 170 00 40 I en model beskrives ntllet ved en eksponentiel funktion f ( ) b hvor f () er ntllet f indbyggere, og er ntl år efter 000. Vi åbner et regnerk og tster år efter 000 i -søjlen, og ntl indbyggere i y-søjlen (se næste vindue). Ud fr dette tegner Nspire et punktplot (se næste vindue). ) Nspire lver eksponentiel regression ud fr de to søjler og får forskriften f () = 86,09741,389 dvs. = 1,389 og b = 86,0974. Vi tster IKKE årstl d ikke er årstllet! Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 1 018 Krsten Juul

.4. Brug modellen til t bestemme den årlige gennemsnitlige vækstrte D der står t vi skl bruge modellen, kn vi skrive sådn: Hvert år gnges ntl med 1,037 ifølge modellen. 1,037 = 103,7 % og 103,7 % 100 % = 3,7 %. Den årlige gennemsnitlige vækstrte er 3,7 %. Hvis vi skl bruge strtværdi og slutværdi til t udregne gennemsnitlig vækstrte, så kn vi gøre som vist i rmme 3. 3 Opgve med potens-regression 3.1 Opgvens formulering De målte tl i tbellen viser for et bestemt dyr smmenhængen mellem lder og længde. Alder i døgn 10 15 0 30 40 50 Længde i mm 43 60 74 105 13 155 Smmenhængen kn med god tilnærmelse beskrives med en funktion f typen hvor y er længde (målt i mm), og er lder (målt i døgn). ) Bestem og b. y b 3. Brugsnvisning D der er mere end to målte punkter, skl vi bruge regression. Del siden op i to. Vælg Lister og Regnerk i venstre vindue. Se på næste side hvordn du skl tste tl og søjlenvne. Når du hr tstet tbellen, så flyt mrkør til tomt felt. Vælg i højre vindue Digrmmer og sttistik. Klik under -ksen og vælg søjlen med -værdier. Klik til venstre for y-ksen og vælg søjlen med y-værdier. Vælg i værktøjsmenuen Undersøg dt / Regression / potens. Der er utomtisk fremkommet et punktplot. Behold dette som illustrtion selv om der ikke i opgven er krv om punktplot. 3.3 Besvrelse f opgve 3.1 I Nspire kn besvrelsen se sådn ud: Besvrelsen fortsætter på næste side! Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 13 018 Krsten Juul

Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 14 018 Krsten Juul

Bestem forskrift ud fr to punkter 4. Bestem og b i y = +b ud fr to punkter. 4. Opgve Punkterne (, y) ( 7, 1) og (, y) (8, 4) ligger på grfen for smmenhængen y b. Find tllene og b. Oplysningen om de to punkter Metode 1: Vi indsætter i formler for og b : er nogle gnge skrevet sådn: f ( 7) = 1 og f (8) = 4. Af ( 1, y1) ( 7, 1) og (, y ) (8, 4) får vi y y1 4 1 3 0, 8 ( 7) 15 Metode : Nspire løser ligningssystem: D (, y) ( 7, 1) og (, y) (8, 4) ligger på grfen, er 1 ( 7) b 4 8 b Nspire løser dette ligningssystem mht. og b og får 0, og b, 4 Nspire: Metode 3: Vi løser ligningssystem uden hjælpemidler: D (, y) ( 7, 1) og (, y) (8, 4) ligger på grfen, er (1) 1 ( 7) b () 4 8 b Af (1) får vi (3) 1 7 b Vi indsætter dette i () og får 4 8 (1 7) hvorf 3 15 3 15 15 15 0, Dette indsætter vi i (3) og får 1 7 0, b hvorf,4 b Metode 4: Nspire lver lineær regression: Nspire lver lineær regression på punkterne (, y) ( 7, 1) og (, y) (8, 4) og får y 0,, 4 4b. Konklusion Hvis der står t vi skl finde og b, så skl vi skrive konklusionen sådn: 0, og b, 4 Hvis der står t vi skl finde forskriften for f, så skl vi skrive konklusionen sådn: f ( ) 0,,4 1 b y1 1 1 0, ( 7),4 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 15 018 Krsten Juul

5. Bestem og b i y = +b ud fr to punkter givet ved tekst. Opgve Der er en lineær smmenhæng mellem tempertur og overskud. Når temperturen er 3 C, er overskuddet 1 mio. kr. Når temperturen er 5 C, er overskuddet 8 mio. kr. Skriv en ligning der viser smmenhængen mellem tempertur og overskud. Besvrelse Vi sætter = tempertur (målt i C) Det er nødvendigt også t skrive dette! y = overskud (målt i mio. kr.) Der er oplyst to -værdier og tilhørende y-værdier: Til 1 3 svrer y 1 1. Til 5 svrer y 8. D smmenhængen er lineær, er den søgte ligning på formen b Dvs.: y y 1 1 8 1 5 ( 3) 16 8 y1 1 1 ( 3) Ligningen y 18 viser smmenhængen mellem 18 temperturen i C og overskuddet y i mio. kr. y b, og Alle fire metoder fr rmme 4 kn bruges her. 6. Bestem b i f () = +b ud fr og punkt. Når punktet ( 4, 35) ligger på grfen for funktionen f ( ) 8 b, så kn vi finde b sådn: Vi indsætter 4 for og 35 for f () i f ( ) 8 b og får 35 8 4 b. Vi løser denne ligning mht. b og får b 3. Dvs. b 3 7. Bestem i f () = +b ud fr b og punkt. Når punktet ( 5, 8) ligger på grfen for smmenhængen f ( ) 18, så kn vi finde sådn: Vi indsætter 5 for og 8 for f () i f ( ) 18 og får 8 5 18. Vi løser denne ligning mht. og får. Dvs. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 16 018 Krsten Juul

8. Bestem og b i y b ud fr to punkter. 8. Opgve Punkterne (, y) (4, 3) og (, y) (7, 4) ligger på grfen for smmenhængen y b. Udregn tllene og b. Metode 1: Vi sætter ind i formler for og b Af, y ) (4, 3) og, y ) (7, 4) får vi ( 1 1 ( Metode : Vi løser ligningssystem med elektronisk hjælpemiddel Punkterne (, y) (4, 3) og (, y) (7, 4) ligger på grfen for y b, så 4 3 b og 4 b Nspire løser dette ligningssystem mht. og b og får og b 3 16 Metode 3: Vi løser ligningssystem uden hjælpemidler 7 Punkterne (, y) (4, 3) og (, y) (7, 4) ligger på grfen for y b, så 4 3 b og 4 b Vi dividerer højre ligning med venstre: 7 4 b 3 4 b Når vi forkorter de to brøker, får vi 3 8 så b dvs. y 1 1 3 8 1 y y 1 7 Vi indsætter denne værdi f i ligningen 3 b og får 3 b 4 3 Ved t dividere begge sider med får vi b 4 3 så b 16 Metode 4: Vi bruger eksponentiel regression Nspire lver eksponentiel regression på punkterne (, y) (4, 3) og (, y) (7, 4) og får og b 0, 1875 8b. Konklusion Hvis der står t vi skl finde og b, så skl vi skrive konklusionen sådn: 7 4 4 74 og b 0, 1875 eller sådn: og d 3 b 16 Hvis der står t vi skl finde forskriften f or f, så skl vi skrive konklusionen sådn: 3 4 74 4 3 8 3 f ( ) 0,1875 eller sådn: 3 16 Nspire: 3 f ( ) 16 Oplysningen om de to punkter er nogle gnge skrevet sådn: f (4) = 3 og f (7) = 4. 7 4 4 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 17 018 Krsten Juul

9. Bestem og b i y = b ud fr to punkter givet ved tekst. Opgve En plntes vægt kn med god tilnærmelse beskrives med en funktion f typen y = b hvor y er vægt i kg, og er år efter udplntning Efter år er vægten 1,60 kg. Efter 5 år er vægten 4,10 kg. Udregn og b. Svr y = b hvor y er vægt i kg, og er år efter udplntning. Der står: Efter år er vægten 1,60 kg. Efter 5 år er vægten 4,10 kg. Dvs. Når = er y = 1,60. Når =5 er y = 4,10. Vi indsætter punkterne ( 1, y1) (, 1,60) og (, y) (5, 4,10) i formlerne for og b og lder Nspire udregne udtrykkene: Dvs.. = 1,368. og.b = 0,854.. 30. Bestem b i f () = b ud fr og punkt. Når punktet (, 36) ligger på grfen for funktionen f () = b3, så kn vi finde b sådn: Når vi indsætter for i forskriften, så er resulttet 36, dvs. b3 = 36. Nspire løser ligningen b3 = 36 mht. b og får b = 4. 31. Bestem i f () = b ud fr b og punkt. Når punktet (3, 40) ligger på grfen for funktionen f () = 5, så kn vi finde sådn: Når vi indsætter 3 for i forskriften, så er resulttet 40, dvs. 5 3 = 40. Nspire løser ligningen 5 3 = 40 mht. og får =. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 18 018 Krsten Juul

3. b og be k. 30. Regel Vi kn skrive en eksponentiel forskrift på to måder: f ( ) b og Vi kn omskrive fr den ene måde til den nden ved hjælp f formlen: e f ( ) be k k 30b. Opgve Skriv f ( ) 00, 76 på formen k f ( ) be. Svr e k 0,76 Nspire løser denne ligning mht. k og får k 0, 74437. e k 0,74 f ( ) 0e Nspire: Almindeligt e kn ikke bruges! 30c. Opgve Skriv 1,4 f ( ) 3,8 e på formen f ( ) b. Svr e k 1,4 e Nspire udregner højre side og får 4, 055. f ( ) 3,8 4, 06 33. Bestem og b i y b ud fr to punkter. 33. Opgve Punkterne (, y) (, 5) og (, y) (3, 7) ligger på grfen for smmenhængen y b. Udregn tllene og b. Metode 1: Vi løser ligningssystem med elektronisk hjælpemiddel Punkterne (, y) (, 5) og (, y) (3, 7) ligger på grfen for 5 b og 7 b3 Nspire løser dette ligningssystem mht. og b og får 0,89843 og b, 8195 Nspire: Oplysningen om de to punkter er nogle gnge skrevet sådn: f () = 5 og f (3) = 7. y b, så Metode : Vi bruger potensregression Nspire lver potensregression på punkterne (, y) (, 5) og (, y) (3, 7) og får 0,89843 og b, 8195 33b. Konklusion Hvis der står t vi skl finde og b, så skl vi skrive konklusionen sådn: 0,89843 og b, 8195 Hvis der står t vi skl finde forskriften for f, så skl vi skrive konklusionen sådn: f ( ),8195 0,89843 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 19 018 Krsten Juul

Fordoblings- og hlveringskonstnt 34. Fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt. 34. Oplæg Tbellen viser hvordn højden f en plnte er vokset eksponentielt. I tbellen ser vi: Antl uger efter køb: 0 1 3 4 5 6 Højde i cm: 1 15 19 4 30 38 48 1 uge efter købet er højden 15 cm. 3 uger senere er højden 30 cm, som er det dobbelte f 15 cm. uger efter købet er højden 19 cm. 3 uger senere er højden 38 cm, som er det dobbelte f 19 cm. Unset hvornår vi strter, så vil der gå 3 uger før højden er fordoblet. Mn siger t højdens fordoblingskonstnt er 3 uger. 34b En eksponentielt voksende smmenhæng hr en fordoblingskonstnt T. Når -værdien bliver T enheder større, så bliver y-værdien fordoblet. 34c En eksponentielt ftgende smmenhæng hr en hlveringskonstnt T1. Når -værdien bliver T1 enheder større, så bliver y-værdien hlveret. 34d. Eksempel T = 7, dvs. y (søjlehøjden) fordobles når bliver 7 større. +7 +7 +7 : 3 4 11 18 y : 1,5 3 6 1 1,5 T =7 3 6 7 7 34e. Eksempel T½ = 4, dvs. y (søjlehøjden) hlveres når bliver 4 større. +4 +4 +4 : 6 10 y : 8,4 4,,1 1,05 ½ ½ ½ 8,4 4,,1 T½=4 1,05 4 4 4 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 0 018 Krsten Juul

35. Aflæs fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt på grf. Opgve (hlvering) Figuren viser grfen for en eksponentielt ftgende smmenhæng. Hvd er hlveringskonstnten for denne smmenhæng? Besvrelse Resulttet bliver det smme unset hvilken -værdi vi strter med. Vi kn f.eks. strte med 1: Når 1 er y 3, 1 (se figur) 3,1 Det hlve f 3,1 er 1, 55. y er 3, 7 (se figur) Når 1, 55 For t hlvere y skl vi ltså øge med 3,7 1, 7 så hlveringskonstnten er,7. Bemærkning (fordobling) Hvis funktionen er eksponentielt voksende, kn fordoblingskonstnten flæses på næsten smme måde: Vi finder to grfpunkter hvor y-koordinten til det ene er gnge y-koordinten til det ndet. Forskellen på de to punkters -koordinter er fordoblingskonstnten. 36. Udregn fordoblings- og hlveringskonstnt ud fr forskrift. For funktionen f ( ) b gælder: 36. Regel Hvis f er voksende ( 1 ), er 36b. Regel Hvis f er ftgende ( 0 1 ), er For funktionen k f ( ) be gælder: 36c. Regel Hvis f er voksende ( k 0 ), er 36d. Regel Hvis f er ftgende ( k 0 ), er 36e. Eksempel Hvis 36f. Eksempel Hvis 36g. Eksempel Hvis 36h. Eksempel Hvis ln() T ln( ) ln( 1 ) T1 ln( ) T T 1 ln() k ln( 1 ) ln() f ( ) 1,5 1, 063 er T 11,3454 11, 3 ln(1,063) ln( 1 f ( ) 400 0, 85 er ) T 4,650 4, 7 1 ln(0,85) 0,5 ln() f ( ) 0,6 e er T,7759, 77 0,5 1,3 ln( 1 f ( ) 3,08 e er ) T 1 0,53319 0, 533 1,3 k Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 1 018 Krsten Juul

37. Skriv hvd fordoblings- og hlveringskonstnt fortæller. 37. Opgve Der er en eksponentiel smmenhæng = længden (i cm) y = omkredsen (i cm) Vi hr fået t vide t fordoblingskonstnten er 7. Hvd fortæller dette om længde og omkreds. Besvrelse At fordoblingskonstnten er 7 betyder: Dvs: y b mellem de vrible Når -værdien bliver 7 enheder større, så bliver y-værdien fordoblet. Når længden bliver 7 cm større, så bliver omkredsen fordoblet. Hvis vi i stedet hvde fået t vide t hlveringskonstnten er 7 ville svret være Når længden bliver 7 cm større, så bliver omkredsen hlveret. 37 b. Fordoblings/hlverings-tid når der kun er én y-værdi hvert år ( eller en nden tidspeiode). Opgve: Hvert år opgøres ntl fugle pr. 1. ugust. Der gælder med tilnærmelse f () = 43001,35 hvor f () er ntl fugle pr. 1. ugust, og er ntl år efter 00. Bestem fordoblingstiden for ntl fugle pr. 1. ugust. Med metoden fr rmme 36 udregner vi t fordoblingstiden er,3 år. Dette er et korrekt svr. Det er en fejl t skrive: Efter,3 år er ntl fugle det dobbelte, d der kun er én y-værdi hvert år. 38. Udregn y-værdier med T og T½. Når der om en eksponentiel funktion f er oplyst t f (4) = 9 og t T = 3, så kn vi udregne f (10) sådn: +3 +3 : 4 7 10 f (10) = 36 f () : 9 18 36 Når der om en eksponentiel funktion f er oplyst t f ( 0) 1 og t hlveringskonstnten er 1 så kn vi udregne f (3) sådn: f (1) 1 1 6, f () 1 6 3 og f (3) 1 3 1, 5. f ( 3) 1,5 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 018 Krsten Juul

Proportionle og omvendt proportionle vrible 39. Proportionle vrible. 39. Definition Om to vrible og y siger vi t hvis 39b. Opgve y er proportionl med y k og k er det smme tl for lle værdier f. De to vrible og y er proportionle. Tbellen viser nogle smmenhørende værdier f og y. Hvd er y når er 10? Hvd er når y er 15? Besvrelse Udregne k : D og y er proportionle, er der et tl k så (1) y k. I tbellen ser vi t når 4 er y 18. Dette indsætter vi i (1): 18 k 4 Denne ligning løser vi mht. k og får 0,75 k Dette tl indsætter vi i (1) og får ligningen for smmenhængen mellem og y: () y 0, 75 Udregne y : For t finde y når er 10, sætter vi til 10 i (): y 0,7510 Herf får vi y 7, 5 så y er 7,5 når er 10 4 36 9 y 18 7 69 I opgven står ikke t vi skl udregne k. Vi skl selv vide t vi skl udregne k først, så vi kn bruge k til t udregne de tl der er spurgt om. Vi kn løse ligningen ved t dividere begge sider med 4. Udregne : For t finde når y er 15, sætter vi y til 15 i (): 15 0, 75 Vi løser denne ligning mht. og får 0 så er 0 når y er 15 Vi kn løse ligningen ved t dividere begge sider med 0,75. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 3 018 Krsten Juul

40. Omvendt proportionle vrible. 40. Definition Om to vrible og y siger vi t hvis y er omvendt proportionl med k y og k er det smme tl for lle værdier f. 40b. Opgve De to vrible og y er omvendt proportionle. Hvd skl der stå på de tomme pldser i tbellen? 1 36 y 9 6 Besvrelse Udregne k : D og y er omvendt proportionle, er der et tl k så k (1) y. I tbellen ser vi t når 1 er y 6. Dette indsætter vi i (1): 6 k 1 Vi løser denne ligning mht. k og får 7 k Dette tl indsætter vi i (1) og får ligningen for smmenhængen mellem og y: () Udregne y : y 7 For t finde y når er 36, sætter vi til 36 i (): 7 y 36 Herf får vi y så y er når er 36 I opgven står ikke t vi skl udregne k. Vi skl selv vide t vi skl udregne k først, så vi kn bruge k til t udregne de tl der er spurgt om. Vi kn løse ligningen ved t gnge begge sider med 1. Udregne : For t finde når y er 9, sætter vi y til 9 i (): 7 9 Vi løser denne ligning mht. og får 8 så er 8 når y er 9 Vi kn løse ligningen ved først t gnge begge sider med og derefter t dividere begge sider med 9. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 4 018 Krsten Juul

41. Opgve hvor vrible fr virkeligheden er omvendt proportionle. Opgve På en skærm er et rektngel som vi kn ændre ved t trække med musen. Højde og bredde er omvendt proportionle. Højden er,5 når bredden er 8 Hvd er højden når bredden er 3,? Besvrelse Vi klder højden for h og bredden for b. Udregne k : D h er omvendt proportionl med b, findes et tl k så k h b D h, 5 når b 8 må k,5 8 Vi gnger begge sider med 8 og får k 0, dvs. (1) Udregne h : h 0 b Vi sætter b 3, i (1): h 0 3, Herf får vi h 6, 5 så højden er 6, 5 når bredden er 3, 4. Proportionl/omvendt proportionl med udtryk. 4. Opgve En vribel y er proportionl med kvdrtet på en vribel. Bestem en forskrift for y som funktion f. Besvrelse "Kvdrtet på " er " ". At y er proportionl med noget, betyder t y er lig en konstnt k gnge dette noget. Dvs. y = k. 4b. Opgve En vribel V er omvendt proportionl med en vribel i 3. potens. Skriv en formel der ngiver V udtrykt ved. Besvrelse At V er omvendt proportionl med noget, betyder t V er lig en konstnt k divideret med k dette noget. Dvs. V = 3. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 5 018 Krsten Juul

Logritmefunktioner 43. Nturlig logritme og titlslogritme. Funktionen ln( ) hedder den nturlige logritmefunktion. Funktionen log( ) hedder titlslogritmefunktionen. Funktionerne ln( ) og log( ) er på Nspire. Logritmereglerne: ln( b) ln( ) ln( b) log( b) log( ) log( b) ln( ) ln( ) ln( b) log( ) log( ) log( b) b b ln( ) ln( ) log( ) log( ) ln( 1) 0 log( 1) 0 ln(e) 1 log( 10) 1 Grfer: ln log Definitionsmængden for ln og log er de positive tl, dvs. lle positive tl kn indsættes for. Eksempler på brug f logritmereglerne: ln(e 4 ) 4 ln(e) 4 1 4 ln(e ) log( 1000) log(103) 3 log(10) 31 10 log( 10) log(0,1) log( ) log(1000) 0,1 log( 5) log() log(5 ) log(10) 1 3 3 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 6 018 Krsten Juul

Beviser 44. Bevis for hvd og b i y = +b fortæller. Sætning For en lineær smmenhæng y b gælder: Bevis for 44 44. Når vi lægger 1 til, så lægges til y. 44b. Når =0, er y=b. +1 : t t +1 +b : t+b (t+1)+b = t+1 + b Vi gnger ind i prentes. = t+ + b gnge 1 er. Første klder vi t. Andet er 1 større. Første y får vi ved t indsætte t for i +b og ndet y får vi ved t indsætte t+1 for i +b = t+b + Dette er første y plus, så 44 er bevist! Bevis for 44b Om y b gælder: Når =0 er y = 0 + b = 0 + b = b, så 44b er bevist! 45. Bevis for hvd og b i y = b fortæller. Sætning For en eksponentiel smmenhæng y b gælder: 45. Når vi lægger 1 til, så gnges y med. 45b. Når =0, er y=b. Bevis for 45 +1 Første klder vi t. Andet er 1 større. : t t +1 Første y får vi ved t indsætte t for i b og b : b t b t+1 ndet y får vi ved t indsætte t+1 for i b Bevis for 45b Om = b t 1 Ifølge potensreglen r+s = r s. = b t Ifølge potensreglen 1 =. Dette er første y gnge, så 45 er bevist! y b gælder: Når =0 er y = b 0 = b1 = b, så 45b er bevist! 46. Bevis for reglen om potensvækst. Sætning Bevis Om en potenssmmenhæng y b gælder for et positivt tl k: 46. Når bliver gnget med k, så gnges y med k. k : t tk b : bt b(tk) = b t k Første klder vi t. Andet er k gnge første. Første y får vi ved t indsætte t for i b og ndet y får vi ved t indsætte tk for i b. Ifølge potensreglen (b) r = r b r. Dette er første y gnge k, så 46 er bevist! Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 7 018 Krsten Juul

47. Bevis for formler for fordoblings- og hlveringskonstnt. Sætning Bevis For en voksende eksponentiel smmenhæng +T : t t +T b : b t b t +T D T er det vi skl lægge til for t fordoble y, så b t = b t +T Vi dividerer begge sider med b. y b gælder: t = t +T Vi bruger potensreglen r+s = r s. t = t T Vi dividerer begge sider med t. = T Vi tger den nturlige logritme på begge side. ln() = ln( T ) Vi bruger logritme-reglen ln( r ) = rln(). ln() T. ln( ) Første klder vi t. Andet får vi ved t lægge T til første. ln() = Tln() Vi dividerer begge sider med ln(). ln() er kun 0 når =1, og er ikke 1 d funktionen er voksende. ln() T Nu hr vi bevist formlen! ln( ) Formlen for hlveringskonstnt kn bevises på næsten smme måde. Første y får vi ved t indsætte t for i b og ndet y får vi ved t indsætte t +T for i b Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 8 018 Krsten Juul

48. Polynomier og rødder. Polynomier 48. Polynomier Et førstegrdspolynomium er en funktion f typen Et ndengrdspolynomium er en funktion f typen Et tredjegrdspolynomium er en funktion f typen Osv. f ( ) b hvor 0. f ( ) b c hvor 0. 3 f ( ) b c d hvor 0. 48b. Nulpunkter og rødder Hvis vi i f ( ) b c sætter 1, b 3 og c 5, får vi 4 ndengrdspolynomiet f f ) 1 3 5 ( 4 Til højre hr vi tegnet grfen for dette ndengrdspolynomium. På grfen ser vi t hvis vi sætter 4 ind for i forskriften og regner ud, så får vi y-værdien 3. På grfen ser vi også t hvis vi sætter 10 ind for og regner y-værdien ud, så får vi 0. Et tl kldes et nulpunkt for f hvis vi får 0 når vi indsætter tllet for i forskriften og regner ud. Et nulpunkt kldes også en rod. At finde rødderne er det smme som t løse ligningen f ( ) 0. 1 4 På grfen ser vi t rødderne er og 10. Hvis vi løser ligningen 3 5 0, så får vi ltså løsningerne og 10. 48c. Opgve ( 1 4 Vis t 10 er rod i polynomiet f ) 3 5. ( 1 4 Besvrelse Vi indsætter 10 for i polynomiet f ) 3 5 : f (10) 1 10 310 5 1 100 30 5 5 5 4 4 D resulttet er 0, er 10 rod i polynomiet. 0 48d. Regel om ntl rødder, ntl fællespunkter med -kse og ntl løsninger Et polynomium f grd n kn højst hve n rødder. Eksempel Et tredjegrdspolynomium kn ikke hve mere end 3 rødder. Grfen for et tredjegrdspolynomium kn højst hve 3 punkter fælles med -ksen. En tredjegrdsligning kn højst hve 3 løsninger. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 9 018 Krsten Juul

Andengrdspolynomier 49. Andengrdspolynomium. 49. Et ndengrdspolynomium er er en funktion f typen (1) f ( ) b c hvor 0 Hvis vi skriver 0 på 's plds, så bliver det ikke et ndengrdspolynomium d forsvinder. 49b. Eksempel Hvilke tl er, b og c lig? Vi sætter 1 b c 0 i f ( ) b c I dette og ndre ndengrdsog får f ( ) 1 ( ) 0 polynomier skl vi kunne se så f ( ) hvd, b og c er, for t kunne indsætte i formler med er et ndengrdspolynomium., b og c. 50. Toppunkt. 50. Formel for toppunkts -koordint Grfen for et ndengrdspolynomium f ( ) b c, 0 b er en prbel. Grfens toppunkt hr -koordinten T 50b. Udregn toppunkt f ( ) 0,4 1, 3,4 Vi ser t f ( ) b c og 0, 4 b 1, c 3, 4 b ( 1,) Toppunktets -koordint er T 1, 5 ( 0,4) Toppunktet ligger på grfen og hr -koordinten 1, 5 så y-koordinten er y T f ( 1,5) Toppunktet er T (1,5, 4,3). 0,4 ( 1,5) 1, ( 1,5) 3,4 50c. Bevis for formlen for toppunkts -koordint Når f ( ) b c, er f ( ) b 0 b f ( ) 0 Tngenthældningen f () er 0 når er toppunktets -koordint. b 0 b b d 0. b Dette er formlen vi ville bevise. 50d. Tegn uden hjælpemidler grf for f () = 1 1) Udregn -koordint til toppunkt med metoden fr 50b. T = 1 ) I tbel til støttepunkter: Vælg tl på begge sider f toppunkts -koordint. : 1 0 1 3 y: 3) Udregn y-koordinter med metoden fr 49b. 4) Tegn frundet grf gennem støttepunkter. Sørg for t grfen IKKE er spids i toppunktet. 4,3 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 30 018 Krsten Juul

51. Diskriminnt. 51. Diskriminnten for et ndengrdspolynomium f ( ) b c, 0 er tllet d 51b. Eksempler Udregn diskriminnten d 50c. f ( ) 3 5 er på formen f ( ) b c og 3 b 1 c 5 d b 4c ( 1) 435 1 60 59 50d. f ( ) 3 er på formen f ( ) b c og 1 b c 3 d b b 4c 4c 41 ( 3) 4 4 ( 3) 4 ( 1) 4 1 16 5. Betydning f, b, c og d for grfen. f ( ) b c, 0 d er diskriminnten 0,5 : positiv: grene vender op negtiv: grene vender ned prblen er bredere når er tættere på nul 1 b : b er hældningskoefficient for tngent til grf i skæringspunkt med y-kse b positiv: grf går op mod højre i skæring med y-kse b nul: grfs toppunkt er på y-kse b negtiv: grf går ned mod højre i skæring med y-kse b 0 l f c : Grf skærer y-kse i punktet (0, c) c positiv: grf skærer y-kse over -kse c nul: grf går gennem punktet (0, 0) c negtiv: grf skærer y-kse under -kse l er tngent til f-grfen i dennes skæringspunkt med y-ksen. b er lig l 's hældningskoefficient. c 0 c 0 d : d positiv: grf hr to punkter på -kse d nul: grf hr ét punkt på -kse d negtiv: grf hr ingen punkter på -kse d 0 5e Bevis. Bevis for reglen for betydningen f b Når f ( ) b c, er f ( ) b 0 b Grfens skæringspunkt med y-ksen hr -koordint 0, så i dette punkt er tngenthældningen lig f ( 0) 0 b 0 b b hvilket skulle bevises. d 0 d 0 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 31 018 Krsten Juul

53. Nulpunkt. 53. At et tl er nul punkt for en funktion betyder t når vi indsætter tllet for i forskriften og regner ud, så får vi nul. Et nulpunkt kn både være et tl og et punkt. For funktionen i 53b gælder: 0 og 1,5 er nulpunkter. (0, 0) og (1,5, 0) er nulpunkter. 53b. Eksempel Nulpunkt At 1,5 er nulpunkt for f ( ) 3 betyder t 1,5 31,5 Dette er det smme som t 0 1,5 er løsning til ligningen 3 0 og det smme som t grfpunktet med -koordint 1, 5 ligger på -ksen. f 0 og 1,5 er nulpunkter for f 54. Antl nulpunkter eller løsninger. 54. f ( ) b c, 0 d er diskriminnten Der gælder t ntllet f nulpunkter for ndengrds polynomiet b c dvs. ntllet f løsninger til ndengrds ligningen b c 0 er hvis d 0 1 hvis d 0 0 hvis d 0 54b. Eksempel Antl nulpunkter eller løsninger Vi vil bestemme tllet k så ndengrdsligningen k 3 0 hr netop én løsning. Ligningen er på formen b c 0 med k, b, c 3, så diskriminnten er d b 4c ( ) 4k3 4 1k Vi vil finde ud f hvornår der er én løsning, dvs. vi vil finde ud f hvornår d er 0: 4 1k 0 er ensbetydende med t k 1 3 Ligningen k 3 0 hr netop én løsning når k 1 3 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 3 018 Krsten Juul

55. Løs ndengrdsligning. 55. En ndengrdsligning b c 0, 0 kn vi løse sådn: Først udregner vi diskriminnten: d b 4c Så bruger vi følgende regel: Hvis d 0 hr ligningen ingen løsninger. b Hvis d 0 hr ligningen løsningen b d b Hvis d 0 hr ligningen løsningerne og b d Bemærkning Både når d 0 og d 0 er løsningerne d 55b. Eksempel Løs ndengrdsligning Ligningen 3 1 0 er f typen b c 0 med 3, b og c 1 Diskriminnten er d b 4c ( ) 43 ( 1) 16 D d > 0 hr ligningen løsningerne b d ( ) 3 16 4 6 b d ( ) 16 4 1 3 6 Konklusion: Ligningen 3 1 0 hr løsningerne 1 og 1 3 1 3 56. Regel for t fktorisere ndengrdspolynomium Hvis ndengrdspolynomiet f ( ) b c, 0 hr nulpunkterne (rødderne) 1 og, er f ( ) ( 1 )( ) formlen for t fktorisere et ndengrdspolynomium Når vi skriver ndengrdspolynomiet sådn, så hr vi fktoriseret ndengrdspolynomiet. Tl der gnges, kldes fktorer. Her er der tre fktorer, nemlig, 1 og. 57. Eksempler på fktorisering f ndengrdspolynomium 57. Vi vil fktorisere ndengrdspolynomiet f ( ) 5 3 Vi bruger formlen for t løse ndengrdsligninger og får t 5 3 0 hr løsningerne (rødderne) 1 og 3 Vi bruger formlen for t fktorisere et ndengrdspolynomium og får t f ( ) 1 ( 3) Vi gnger ind i prentesen for t undgå f ( ) ( 1)( 3) brøk. Ellers hvde vi ikke gnget ind. 57b. I g ( ) 4 4 er 1 og rødderne er begge, så fktoriseringen er g ( ) 1 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ). Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 33 018 Krsten Juul

58. Find forskrift for ndengrdspolynomium 58. Find forskrift når der er givet nulpunkter og et punkt på grfen Vi hr fået t vide t f ( ) b c f () hr nulpunkterne og 5 (I stedet kunne være oplyst t f ( ) 0 og f ( 5) 0 ) punktet ( 3, 8) ligger på grfen for f () (I stedet kunne være oplyst t f ( 3) 8 ) Vi vil finde, b og c. Vi indsætter i formlen for t fktorisere et ndengrdspolynomium: f ( ) ( )( 5) Når vi indsætter et grfpunkts -koordint i forskriften og regner ud, så får vi grfpunktets y-koordint. D ( 3, 8) ligger på grfen, er ( 3 )(3 5) 8 dvs. 1 ( ) 8, så 4. Vi får f ( ) 4( )( 5) 4 8 40 så 4, b 8 og c 40 Nedenfor er vist to måder t udregne dette på. Uden hjælpemidler: 4( )( 5) ( 4 8)( 5) 4 0 8 40 4 8 40 Med Nspire: 58b. Find forskrift når der er givet y-kse-skæring og to ndre ndre punkter på grfen Vi hr fået t vide t f ( ) b c punkterne ( 0, 5), (, 1), ( 4, 5) ligger på grfen for f () (I stedet kunne være oplyst t f ( 0) 5, f ( ) 1, f ( 4) 5 ) Vi vil finde, b og c. D grfen skærer y-ksen i ( 0, 5), er c 5, så f ( ) b 5 D (, 1) og ( 4, 5) ligger på grfen, er b 5 1 4 b4 5 5 Nspire løser dette ligningssystem mht. og b og får 1 og b 4, så 1, b 4 og c 5 Uden hjælpemidler kn vi løse ligningssystemet sådn: I: 4 b 4 Dette indsætter vi i III og får II: 16 4b 0 b 4 1 Af II får vi b 4 III: b 4 Dette indsætter vi i I og får 4 ( 4) 4 4 4 1 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 34 018 Krsten Juul

59. Nulregel 59. Nulregel At et produkt er 0 er det smme som t en f fktorerne er 0 Dvs. udtryk1 udtryk = 0 er det smme som udtryk1 = 0 eller udtryk = 0 59b. Eksempel Nulregel Vi vil løse ligningen ( ) (6) 0 Vi bruger nulreglen og får 0 eller 6 0 dvs. eller 3 60. Ligninger f typen = r. 60. Oplæg Ligninger f typen = r Når 3 er 33 9 Når 3 er ( 3) ( 3) 9 9 netop når 3 eller 3 60b. Regel for t løse ligninger f typen = r Når n er negtiv: = n hr ingen løsninger d et tl gnget med sig selv ikke kn give noget negtivt ( + + = +, 0 0 = 0, = + ). = 0 hr løsningen = 0. Når p er positiv: = p hr to løsninger: --------------eller-- p ---------- p d kvdrtroden f p er det tl som gnget med sig selv giver p. 60c. Eksempel Ligninger f typen ( udtryk ) = r Vi vil løse ligningen ( ) 9 Af regel 60b får vi 9 eller 9 3 eller 3 dvs. 5 eller 1 Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 35 018 Krsten Juul

61. Særlige ndengrdsligninger. 61. Andengrdsligning uden konstntled Kn løses med nulregel 5 ( 5) 0 0 0 eller 5 0 0 eller 5 61b. Andengrdsligning uden -led Kn løses med reglen for ligninger f typen = k 6 3 6 0 3 eller 3 6. Bevis for reglen for løsning f ndengrdsligninger. Først finder vi frem til en ligning (1) som vi skl bruge i beviset (for reglen for løsning f ndengrdsligning). ( b) () b b ifølge formlen ( u v) u v uv (1) ( b) 4 b 4b Her hr vi omskrevet højre side. Vi omskriver ndengrdsligningen: Det er denne ligning vi skl løse. I ligningen b c 0, 0 gnger vi begge sider med 4 : 4 b c 4 0 Vi gnger ind i prentesen: 4 4b 4c 0 Vi lægger diskriminnten d b 4c til begge sider: 4 4b 4c b 4c 0 b 4c Vi reducerer: 4 4b b Af (1) får vi ( b) d d Vi bruger nu de tre dele f 60b: Hvis d 0 : ( b) d hr ingen løsninger Hvis d 0 : ( b ) b 0 b Hvis d 0 : ( b) b b b d 0 d d d d et tl i nden ikke kn give noget negtivt D 0 er eneste tl som gnget med sig selv giver 0 D w =p hr løsningerne w p når p>0 Nu hr vi bevist lle tre dele f reglen i rmme 55 for løsning f ndengrdsligning. Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 36 018 Krsten Juul

63. Bevis for formelen for fktorisering f ndengrdspolynomium. f () = +b+c, >0 er et ndengrdspolynomium. Antg t h og k er nulpunkter (evt. ens) for f. Vi skl vise t (1) f () = ( h)( k) b d b d Nulpunkterne er og Vi kn ntge t h er den første, og k er den nden. Vi strter med t udregne de to tl h+k og hk d det viser sig t vi får brug for dem i beviset for (1). h + k = b d b d = b To brøker med smme nævner lægger mn smmen ved t beholde nævneren og lægge tællerne smmen. De to kvdrtrødder går ud mod hinnden. = b Vi hr forkortet brøken med. hk = b d b ( b) d = = = = = b d 4 b ( b 4c) 4 4c 4 c d Mn gnger to brøker ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner. For t gnge de to tællere hr vi brugt kvdrtsætningen (u v)(u+v) = u v med u = b og v = d. Vi hr reduceret. D d = b 4c. Vi hr reduceret. Vi hr forkortet med 4. Vi beviser nu formlen (1) der står ovenfor: ( h)( k) = ( k h + hk) = ( (h+k) + hk) = (h+k) + hk = b = +b+c = f () + c Hermed hr vi vist (1). Grundlæggende funktioner for A-niveu i st, udgve 5 Side 37 018 Krsten Juul