Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:... RET- VINLET TREANT... 9 (Pyth- gors, Sinus, Cosinus og Tngens)... 9 ESPONENTER... 0 LOGARITMER... 0 OMVENDT PROPORTIONALITET... VÆST... LINEÆR VÆST... ESPONENTIEL VÆST... POTENS-VÆST... FORMLER TIL MATEMATI B... 3 Flere regler for differentition... 4 Flere regler for integrtion... 5 Formler til Mtemtik Opdteret 3/8-6 PeterSørensen.dk side / 5
Brøker Helt tl gnge røk Brøk gnge røk Brøk divideret med helt tl Helt tl divideret med røk Brøk divideret med røk Forkorte en røk Forlænge en røk Brøk plus røk med smme nævner Brøk minus røk med smme nævner Find fællesnævner for røker Regel Formel Eksempel k 3 6 k 3 3 3 6 d d 5 5 35 : k : k : 3 3 Det hele tl gnges ind i tælleren Tæller gng tæller og nævner gng nævner Det hele tl gnges ind i nævneren Mn dividerer med en røk ved t gnge med den omvendte Mn dividerer med en røk ved t gnge med den omvendte Tæller og nævner divideres med smme tl Tæller og nævner gnges med smme tl Tæller plus tæller og ehold den fælles nævner Tæller minus tæller og ehold den fælles nævner De to nævnere gnges med hinnden k : : d d k 3 : d 3 : 5 / k / k k k d d d 6 3 = 5 3 6 / 3 / 3 3 3 3 0 6 3 3 3 5 = Formler til Mtemtik Opdteret 3/8-6 PeterSørensen.dk side / 5
Ligninger Regel Regel sgt på en nden måde Eksempel Mn må lægge smme størrelse til på egge sider f lighedstegnet. Mn må trække dmme størrelse fr på egge sider f lighedstegnet Mn må flytte en størrelse over på den nden side f lighedstegnet, hvis mn skifter fortegn på størrelsen 3x = x + 3x x = Mn må gnge med smme størrelse på egge sider. Dog ikke med nul. x 5 9 3 3 x 35 39 3 x + 5 = Mn må dividere med smme størrelse på egge sider x = 35 x = 5 Prenteser Regel Formel Eksempel Tl gnge prentes Tllet gnges med hvert led i prentesen k( ) k k (0 ) 04 Prentes gnge prentes Hvert led i den ene gnges med hvert led i den nden ( )( d) dd (3x 5)(x+) = 6x² + 3x -0x 5 = 6x² x 5 Minus prentes Mn kn hæve en minus prentes ved t skifte fortegn på lle led -(-) = - + -(x-5) = -(x-5) = -x + 5 PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v. 6.9. Opdteret 0/-3 n frit printes og fotokopiers f institutioner, der hr ftle med CopyDn side 3 / 5
Proent Regel Bogstver Formler Eksempel B: Begyndelsesværdi S: Slutværdi S = B F B = 00 Tl plus proent Mn lægger p% til et tl ved t gnge med (+p%) F: Fremskrivningsfktor p%: Rentefod r = p% S = B(+p%) S= B(+r) S B r p% = 5% = 0,05 S = 00 (+5%) = 00,05 = 0 F = (+r) = (+p%) Tl minus proent Mn trækker p% fr et tl ved t gnge med (-p%) At trække p% fr et tl er det smme som t lægge (-p%) til tllet S = B F S = B (-p%) S= B (-r) S B r B = 00 p% = -5% = -0,05 S = 00 (-5%) = 00 0,95 = 90 PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v. 6.9. Opdteret 0/-3 n frit printes og fotokopiers f institutioner, der hr ftle med CopyDn side 4 / 5
Rente Bogstver Formler Eksempler pitlfremskrivning 0: Begyndelseskpitl n: Antl terminer r: Rentefod : pitl efter n terminer = 0(+r) n 0 ( r) n = (+r) -n 0 = 00, r = 0%, n = 4 = 00,0 4 = 00,464 = 9,8 0 = 9,8, 0 4 = 9,8,0-4 = 00 Gennemsnitlig rentefod eller: Gennemsnitlig proentvis ændring 0: Begyndelseskpitl n: Antl terminer r = p%: Gennemsnitlig rentefod eller gennemsnitlig %-vis ændring : pitl efter n terminer r: Rentefod i den. termin (+ r) n 0 + r n r p% n n 0 0 0 4 + r = 9,8 00 r = 0,0 r = 0% p% = 0% =,0 r: Rentefod i den. termin rn: Rentefod i den n. termin Antl Terminer n = Log( o ) Log(+r) PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v. 6.9. Opdteret 0/-3 n frit printes og fotokopiers f institutioner, der hr ftle med CopyDn side 5 / 5
Indeks Bogstver Formler Eksempler : Værdi i sisåret : Værdi et vilkårligt år i: Indeks, når årets værdi er År Bsisår Værdi Indeks 00 i i 00 Bsisår År 988 989 990 99 99 Værdi 5 00 50 300 35 Indeks i 00 j 5 i 00 50 50 j 35 0050 50 : Den gmle indeks-værdi i det nye sisår d: Gmmel Indeks-værdi et vilkårligt år e: Nyt indeks, når årets gmle indeks er d År Gmmelt indeks Nyt indeks Gmmelt sisår Nyt sisår 00 d 00 e d e 00 År Gmmelt indeks Nyt indeks Gmmelt sisår 990 99 Nyt sisår 99 993 994 00 50 300 00 e 300 e 00 00 50 PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v. 6.9. Opdteret 0/-3 n frit printes og fotokopiers f institutioner, der hr ftle med CopyDn side 6 / 5
Geometri Arel f treknt Bogstver Formler Eksempler T = Arel = ½ højde grundlinje T = ½ h g A h g A g h T= 0,5 h = 0,5 Sin C T= 0,5 h = 0,5 Sin A T= 0,5 h = 0,5 Sin B Herons formel: T= s(s )(s )(s ) hvor s = ++ T = ½ 0 5 = 5 h = 5 5 = 0 g = 5 0 = 5 T = 0,5 4 9 Sin(30 ) Vinkelsum i en treknt Vinkelsummen i en treknt er 80 v + u + w = 80 u =80-0 - 80 Ensvinklede treknter Vilkårlig treknt k = sklfktor = forstørrelsesfktor k = = k = k Sinusreltionerne: Sin A Sin A = Sin B Sin C = = Sin B = SinB SinA SinA SinB Sin C Cosinusreltionerne: ² = + Cos C ² = + Cos B ² = + Cos A Cos C = ²+² ² Cos B = ²+² ² k = 3 =,5 =,5 4 = 6 =,5 = 8 Sin(0 ) 5,0 = ² =5²+4²- 4 5 Cos(60 ) = Sin(50 ) 5,0 Sin(50 ) Sin(0 ) PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v. 6.9. Opdteret 0/-3 n frit printes og fotokopiers f institutioner, der hr ftle med CopyDn side / 5
Cos A = ²+² ² Symoler m.m. Formler Eksempel PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v. 6.9. Opdteret 0/-3 n frit printes og fotokopiers f institutioner, der hr ftle med CopyDn side 8 / 5
Pythgors Pythgors vdrtet på hypotenusen er lig summen f kteternes kvdrter. Retvinklet treknt Forkortelser: hyp: hosl.kt: modst.: Hypotenusen Hosliggende ktete Modstående ktete hyp =hosl.kt + modst hyp = hosl. kt + modst² hosl. kt = hyp modst² modst = hyp² hosl. kt² 5² = 4² + 3² hyp 4 3 5 hosl. kt = 5 3 = 4 modst 5 4 3 (Pythgors, Sinus, Cosinus og Tngens) Hvis du kender Sin(v), kn du finde vinklen v ved hjælp f Sin eller rsin, Sin (tl) = rsin(tl) De fleste lommeregnere enytter skrivemåden Sin I RegneRoot og i Clultor.dk kn du selv vælge om du vil skrive Sin eller rsin. I RegneRoot og i Clultor.dk tster du Sin således: Sin^- Hvis du kender Cos(v), kn du tilsvrende finde vinklen v ved hjælp f Cos eller rcos. Hvis du kender Tn(v), kn du tilsvrende finde vinklen v ved hjælp f Tn eller rtn. I regnerk Exel skrives kun rsin, rcos og rtn; og vinkler skl ngives i såkldte rdiner i stedet for grder. Rdinetl = grdtl π/80 Grdtl = rdintl 80/π π = 3,4 og åde i RegneRoot, i Clultor.dk og i Regnerk tster du π således: pi() Sinus Sin(v) = Modst. hosl.kt v = Sin ( modst.kt ) hyp modst. = hyp Sin(v) hyp = Modst. Sin(v) Cosinus Cos(v) = hosl. kt. hyp v = Cos hosl. kt. ( ) hyp hosl. kt. = hyp Cos(v) hyp = Tngens hosl. kt os(v) Tn(v) = Sin(v) Cos(v) Tn(v) = modst hosl. kt v = Tn ( modst hosl.kt ) modst = hosl. kt Tn(v) hosl. kt = modst. Tn(v) Sinus Sin(v) = 3 5 v = Sin ( 3 5 ) = 3 modst = 5 sin(3 ) = 3 hyp = Cosinus Cos(v) = 4 5 3 Sin(3 ) = 5 v = Cos ( 4 5 ) = 3 hosl. kt = 5 Cos(3 ) = 4 4 hyp = os(3 ) Tngens Tn(v) = 3 4 v=tn - ( 3 4 ) = 3 modst = 4 Tn(3 ) = 3 hosl. kt = 3 Tn(3 ) = 4 PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v. 6.9. Opdteret 0/-3 n frit printes og fotokopiers f institutioner, der hr ftle med CopyDn side 9 / 5
Hvornår ruges hvilke formler ved treknteregning? ig efter, om der er ensvinklede treknter Vurder om Arel-formlen kn ruges Hvis de 3 vinkler er i spil, så: Vinkelsum ( i spil etyder er kendt eller ønskes eregnet) Ved retvinklede treknter: Hvis kun sider er i spil: Pythgors Hvis en vinkel og kteter er i spil: Tngens Hvis hosliggende ktete ikke er i spil: Sinus Ellers: Cosinus Ved vilkårlige treknter: Hvis vinkler og de modstående sider er i spil, så Siusreltionerne. Hvis lle 3 sider og en vinkel er i spil, så Cosinusreltionerne. Eksponenter Formel Eksempel p q = p+q 5 3 5 4 = 5 3+4 5 3 5 3 ( ) p = p p (5 ) 3 = 5 3 3 5 ( ) p = p : p ( 5 ) 3 = 5 3 : 3 p : p = ( /) p 5 3 : 3 = ( 5 / ) 3 ( p ) q -p = p - = pq (5 3 ) 4 = 5 3 4 = 5 5-3 = 3 5 5 - = 5 = 5 = 5 0 = 5 0 = Logritmer Formel Log( ) = Log() + Log() Eksempel Log(5 3) = Log 5 + Log(3) PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v. 6.9. Opdteret 0/-3 n frit printes og fotokopiers f institutioner, der hr ftle med CopyDn side 0 / 5
Log( x ) = x Log() Log(5 3 ) = 3 Log(5) (Ligefrem) Proportionlitet Bogstver Formler Eksempler k: Proportionlititettsfktor X Y y=k x (Lineær funktion hvor egyndelsesværdien er nul og hældningskoeffiienten er k) k y x x = y k x 4 50 y d 500 0 500 k 0 50 d = 0 4 = 40 0 0 Omvendt proportionlitet Bogstver Formler Eksempler y = k x x 0 y d 4 x y k y x x k y k 0 40 40 d 40 0 40 40 0 4 4 PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v. 6.9. Opdteret 0/-3 n frit printes og fotokopiers f institutioner, der hr ftle med CopyDn side / 5
Vækst Lineær vækst Eksponentiel vækst Potens-vækst Regneforskrift y x y x y x ( y ( x y ) x ) ( ) ( Log( y x x ) Log( y)) ( ) ( Log( x ) ( y )) Log x y Log() Fordolings- T konstnt Log( ) Log(0,5) Hlverings- T konstnt ½ Log( ) Hvis x fremskrives med p% = r, så er fremskrivningsfktoren for x: (+r) og fremskrivningsfktoren for y: (+r) Proentvis ændring f y liver: ( (+r) ) 00% Aneflet koordintsystem Sædvnligt Enkelt logritmisk Doelt logritmisk PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v. 6.9. Opdteret 0/-3 n frit printes og fotokopiers f institutioner, der hr ftle med CopyDn side / 5
Formler til mtemtik B Andengrdspolynomiet p(x) =x + x + Diskriminnten d = ²-4 Toppunkt: (xo, yo) = ( d < 0, > 0, gld grf: > 0 xo>o: hr fortegn modst, d ) 4 d > 0, > 0, trist grf: < 0 xo<0: hr smme fortegn som er skæring med y-ksen er hældning ved y-ksen Rødder / nulpunkter Differentilregning (f+g)'(x) = f '( x) g'( x) (f - g) '(x) ) = f '( x) g'( x) (k f(x))' = k (f(x))' = k f (x) fx: (5x³) =5x² (k x)' = k fx: (3x) = 3 n 0: (x n )' = n x n- fx: (x³) = 3x² n 0: (k x n )' = k n x n- fx: (5x³) =5x² 0,5 x ' x = 0, 5 0,5x x ' ( x ) = (x ) = x = x (x - 3x + /x)' = x - 3 - x - Ligning for linje gennem (xo, yo ) y - yo = (x xo) med hældning Ligning for tngent y - yo = f '(xo)(x xo) gennem (xo, yo ) Tngent til f(x)=x² f '(x)=x og f '(3)=6 gennem (3,9) Ligning: y - 9 = 6(x- 3) Integrl / stmfunktion f(x) f(x) dx 4x x² + k 4x + 3 d x² + 3 x + k 3 3 x + k 6x² x³ + k x³ ¼ x 4 + k 5x³ 5 /4 x 4 + k xⁿ, n - x - = /x, x>0 /n+ x n+ + k Ln(x) + k e x e x + k Det estemte (f(x) ± g(x) )dx f(x)dx integrl = f(x)dx = f(x)dx ± g(x)dx f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx Nturlig logritme & eksponentilfunktion ln( ) ln( x ) e ln() = ln() + ln() ln ( ) = ln() - ln() e ln() x = x ln() = = x ln() e ln() x = ln() x ( x ) = ln() x (e x ) = e x (k e x ) = k e x, fx (5e x ) =5e x (k e nx ) = k n e nx ln x = x, x > 0 For x>0: / x dx = ln(x) +k For x<0: / x dx = ln(-x) +k Cos C + Sin C = Cos(-v) Trigonometri = Cos v Sin (80-v) = Sin (v) Rdintllet = Grdtllet π /80 Grdtllet = Rdintllet 80 /π Sin(π-x) = Sin(x) Sin A = SinB SinA Herons formel: Sin B = Sin C SinA Arel: T = ½ h = ½ Sin C SinB T= s(s )(s )(s ) hvor s = ++ ² ² ² Cos ( C) PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v. 6.9. Opdteret 0/-3 n frit printes og fotokopiers f institutioner, der hr ftle med CopyDn side 3 / 5
x ln() x + k Cos C = ² + ² ² Flere regler for differentition: Regler Eksempler f f f f f f f f x n n 0 x n n 0 nx n- x x = x x x 5 5x 4 nx n- -x - x = -4x 8x 8 x 5 5x 4 =35x 4 x 5x 5 0 0 x ½ ½x -½ 6x ½ 3x -½ x x = ½ x ½ 6 x 6 = 3 -½ = 3x x x e x e x ke x ke x 5e x 5e x e nx ne nx e 3x 3e 3x ke nx k ne nx 5e 3x 5e 3x x ln() x 5 x ln(5) 5 x x ln() x 5 x ln(5) 5 x ln(x), x > 0 /x, x > 0 En sum eller differens differentieres ledvis ln x, x > 0 -x² + 8x / x, x > 0-4x + 8 0 = -4x + 8 Arelet f det grå område er f(x) dx PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v. 6.9. Opdteret 0/-3 n frit printes og fotokopiers f institutioner, der hr ftle med CopyDn side 4 / 5
Flere regler for integrtion Regler k er den ritrære konstnt Eksempler f (x) f(x) dx f (x) (fx) dx f(x) f(x ) dx n+ xn+ + k x 3 x3 + k x 5 6 x6 +k x n n - x n n - n+ xn+ + k -x 3 x3 + k x x + k 8x 4x + k x + k 5 5x + k x = x- x>0 x= x ½ x>0 x, x>0 e x ln x + k 3 x3 ln x + k e x + k x, x>0 - ln x + k e x e x + k 5e x 5e x + k e nx x x n enx + k x e 3x ln + k 5x x ln + k 5x e 3x 3 + k 5 x ln 5 + k 5 x ln 5 + k En sum eller differens integreres ledvis -x² + 8x - 3 x3 + 4x x + k x 5 6 x6 +k PeterSoerensen.dk : Mtemtik C & B, hf, FORMLER v. 6.9. Opdteret 0/-3 n frit printes og fotokopiers f institutioner, der hr ftle med CopyDn side 5 / 5