Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller princippet Beregn invers matrix Calculus 1-2006 Uge 37.1-1
To ubekendte grafisk [LA] 6 Lineære ligningssystemer Figur y 2x y = 1 (1, 1) skæringspunkt 1 x x + y = 2 To ligninger i to ubekendte Calculus 1-2006 Uge 37.1-2
Ligninger på matrix form [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition 6.2-3 Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a 11 x 1 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +... + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 +... + a mn x n = b m På matrix form A = (a ij ) m n-matrix, b = (b i ) m-søjle, x = (x j ) n-søjle Ax = b. Calculus 1-2006 Uge 37.1-3
Koefficient matrix Definition 6.4 Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix 2. b = 0 homogent system 3. b 0 inhomogent system 4. Partikulær løsning en funden løsning, fuldstændig løsning mængden af alle løsninger Calculus 1-2006 Uge 37.1-4
Løsningsrummet [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.8-9 Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem med n ubekendte Ax = 0 er et lineært underrum N A R n kaldet løsningsrummet eller nulrummet. Dimensionen er antal frihedsgrader. dim N A Bevis Ax = 0, Ay = 0 A(x + y) = 0 Calculus 1-2006 Uge 37.1-5
Uendelig mange løsninger [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.10 For et homogent ligningssystem Ax = 0 er følgende ækvivalent: 1. Der er en løsning 0. 2. Der er uendelig mange løsninger. 3. Nulrummet N A 0. 4. Antallet af frihedsgrader er > 0. Bevis Benyt, at et ikke-nul underrum er en uendelig mængde. Calculus 1-2006 Uge 37.1-6
2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.12 1. x 3 = x 4 og x 1 = x 2. 2. x 4 og x 2 kan vælges frit. x 1 + x 2 = 0 x 3 + x 4 = 0 Calculus 1-2006 Uge 37.1-7
2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.12- fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = x 2 x 2 x 4 = x 2 x 4 1 1 0 + x 4 0 0 0 1 1 Løsningsrummet er span af vektorerne 1 1 0, 0 0 0 1 1 Calculus 1-2006 Uge 37.1-8
Uafhængige søjler [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.13 Søjlerne a 1,..., a n i en m n-matrix A er lineært uafhængige, hvis og kun hvis nulrummet N A = 0. Bevis Matrixmultiplikationen giver Ax = j x j a j Så x N A er 0, når søjlerne er lineært uafhængige. Calculus 1-2006 Uge 37.1-9
Løsninger og nulrum [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.15 Givet en partikulær løsning u til det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax = b så er løsningsmængden {x R n Ax = b} = u + N A Bevis Simple regneregler for matrix multiplikationen giver Au = b, Ax = 0 A(u + x) = b Calculus 1-2006 Uge 37.1-10
Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (b 0). Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er altid en løsning. (b) 0 er aldrig en løsning. (c) b er altid en løsning. Løsning Gør prøve Afkryds det sande: A 0 = 0 b (a) (b) (c) Calculus 1-2006 Uge 37.1-11
2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.17 x 1 + x 2 = 1 x 3 + x 4 = 2 1. x 3 = 2, x 1 = 1 og x 2 = x 4 = 0 2. Giver en partikulær løsning (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (1, 0, 2, 0) Calculus 1-2006 Uge 37.1-12
2 ligninger 4 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.17 - fortsat x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 x 2 x 2 2 x 4 = x 4 1 0 2 + x 2 0 1 1 0 + x 4 0 0 0 1 1 Løsningsmængden er (1, 0, 2, 0) plus en vilkårlig vektor fra underrummet af alle linearkombinationer af vektorerne ( 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) Calculus 1-2006 Uge 37.1-13
Konsistens [LA] 6 Lineære ligningssystemer Sætning 6.18 Det lineære ligningssystem med n ubekendte Ax = b har en løsning, hvis og kun hvis b Span(a 1,..., a n ), altså b er en linearkombination af søjlerne i koefficientmatricen. Bevis Matrixmultiplikationen giver en linearkombination af søjler Ax = j x j a j = b Calculus 1-2006 Uge 37.1-14
Søjlerum og rang [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition 6.20-21 For en m n-matrix A er søjlerummet R A = Span(a 1,..., a n ) underrummet i R m udspændt af søjlerne i A og rækkerummet R A T = Span(a 1,..., a m ) underrummet i R n udspændt af rækkerne i A. Dimensionen af søjlerummet kaldes rangen rang A = dim Span(a 1,..., a n ) Calculus 1-2006 Uge 37.1-15
3 ligninger 4 ubekendte [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.2 - rækkereduktion 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x 2 + 12x 3 + 21x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x 2 + 12x 3 + 21x 4 = 34 Calculus 1-2006 Uge 37.1-16
Eliminer en ubekendt [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.2 - fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x 2 + 12x 3 + 21x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 8x 3 + 15x 4 = 18 Calculus 1-2006 Uge 37.1-17
Eliminer endnu en [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.2 - fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 8x 3 + 15x 4 = 18 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 3 3x 4 = 6 Calculus 1-2006 Uge 37.1-18
En ubekendt er fri [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.2 - fortsat Heraf 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 3 3x 4 = 6 x 3 = 3 + 3x 2 4 x 2 = 4 2x 3 6x 4 = 2 9x 4 x 1 = 8 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4 3x 4 Calculus 1-2006 Uge 37.1-19
Brug matrixform [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.2 - fortsat Løsning x 3 = 3 + 3 2 x 4 x 2 = 2 9x 4 x 1 = 4 3x 4 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 = 4 3x 4 2 9x 4 3 + 3x 2 4 = x 4 4 2 3 + x 4 0 3 9 3 2 1 Calculus 1-2006 Uge 37.1-20
Eliminations strategi [LA] 7 Gauss elimination Definition 7.3 Rækkeoperationer Ombytning af to ligninger Multiplikation af ligning med tal 0 Addition af et multiplum af en ligning til en anden 1. Bevarer løsningsmængden. 2. Bringer ligningssystemet på række-echelon form, trappeform. 3. Løsningsmængden kan opskrives ved baglæns substitution. Calculus 1-2006 Uge 37.1-21
Skalpellen frem, fjern ubekendte [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.4 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x 2 + 10x 3 + 21x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x 2 + 10x 3 + 21x 4 = 34 Calculus 1-2006 Uge 37.1-22
Skær videre [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.4 - fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 2x 1 + 5x 2 + 10x 3 + 21x 4 = 34 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 6x 3 + 15x 4 = 18 Calculus 1-2006 Uge 37.1-23
Videre [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.4 - fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 2 + 6x 3 + 15x 4 = 18 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 4 = 6 Calculus 1-2006 Uge 37.1-24
Afslut bagfra [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.4 - fortsat 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 x 2 + 2x 3 + 6x 4 = 4 3x 4 = 6 Heraf x 4 = 2 x 2 = 4 2x 3 6x 4 = 16 2x 3 x 1 = 8 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 2 Calculus 1-2006 Uge 37.1-25
En fri tre bundne [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.4 - fortsat Løsning x 4 = 2 x 2 = 16 2x 3 x 1 = 2 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 = 2 16 2x 3 x 3 = 2 2 16 0 + x 3 2 0 2 1 0 Calculus 1-2006 Uge 37.1-26
Rækkeoperationer reduceret matrix [LA] 7 Gauss elimination Definition 7.5 Rækkeoperationer på en matrix Ombytning af to rækker Multiplikation af række med tal 0 Addition af et multiplum af en række til en anden Bringer matricen på (reduceret) række-echelon form (trappeform), 1 på pivot indgange 0 0 1?? 0?? 0 0 0 0 0 0 1?? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Calculus 1-2006 Uge 37.1-27
Strategi på matrix form [LA] 7 Gauss elimination Bemærkning 7.6 Fra et lineært ligningssystem tilordnes en augmenteret matrix Ax = b (A b) Rækkeoperationer på et ligningssystem svarer til rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Det reducerede ligningssystem opskrives fra den reducerede matrix. Calculus 1-2006 Uge 37.1-28
Strategi på matrix form [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.7 - (7.4 igen) 2x 1 2x 2 4x 3 6x 4 = 16 3x 1 2x 2 4x 3 3x 4 = 20 2x 1 + 5x 2 + 10x 3 + 21x 4 = 34 2 2 4 6 16 3 2 4 3 20 2 5 10 21 34 Calculus 1-2006 Uge 37.1-29
Øvelse gør mester [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.7 - fortsat 2 2 4 6 16 3 2 4 3 20 2 5 10 21 34 2 2 4 6 16 0 1 2 6 4 2 5 10 21 34 2 2 4 6 16 0 1 2 6 4 0 3 6 15 18 2 2 4 6 16 0 1 2 6 4 0 0 0 3 6 Calculus 1-2006 Uge 37.1-30
Atter øvelse [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.7 - fortsat 2 2 4 6 16 0 1 2 6 4 0 0 0 3 6 2 2 4 6 16 0 1 2 6 4 0 0 0 1 2 2 2 4 0 28 0 1 2 0 16 0 0 0 1 2 2 0 0 0 4 0 1 2 0 16 0 0 0 1 2 Calculus 1-2006 Uge 37.1-31
Afslut elegant [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.7 - fortsat 2 2 4 6 16 3 2 4 3 20 2 5 10 21 34 1 0 0 0 2 0 1 2 0 16 0 0 0 1 2 Det reducerede ligningssystem x 1 = 2 x 2 + 2x 3 = 16 x 4 = 2 Calculus 1-2006 Uge 37.1-32
En fri tre bundne [LA] 7 Gauss elimination Eksempel 7.7 - fortsat Løsning x 4 = 2 x 2 = 16 2x 3 x 1 = 2 På matrix form x 1 x 2 x 3 x 4 = 2 16 2x 3 x 3 = 2 2 16 0 + x 3 2 0 2 1 0 hvor x 3 vælges frit. Calculus 1-2006 Uge 37.1-33
Struktur er sagen [LA] 7 Gauss elimination Sætning 7.8 Givet et ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end ligninger. 1. Hvis systemet er homogent, så har det uendelig mange løsninger. 2. Hvis systemet er konsistent, så har det uendelig mange løsninger. Bevis Den reducerede koefficientmatricen har mindst 1 pivotfri søjle. 0 0 1?? 0?? 0 0 0 0 0 0 1?? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Calculus 1-2006 Uge 37.1-34
Konsistens [LA] 7 Gauss elimination Sætning 7.10 Det inhomogene ligningssystem Ax = b er konsistent, hvis og kun hvis række-echelon formen af den augmenterede matrix (A b) ikke har en pivot i sidste søjle. Bevis Række-echelon formen 0 0 1?? 0?? c 1 0 0 0 0 0 1?? c 2 0 0 0 0 0 0 0 1 c r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 giver løsning x ji = c i og øvrige x j = 0. Calculus 1-2006 Uge 37.1-35
Test ligningssystem [LA] 7 Gauss elimination Test Et homogent lineært ligningssystem med 4 ubekendte og 3 ligninger har: (a) Altid højst 1 løsning. (b) Altid uendelig mange løsninger. (c) Undertiden ingen løsninger. (d) Mindst 1 løsning. Afkryds de to rigtige: Løsning Sætning 7.8 sikrer uendelig mange løsninger. (a) (b) (c) (d) Calculus 1-2006 Uge 37.1-36
En sjov variation Eksempel 7.12 Løs matrixligningen ( ) ( ) 2 1 x 11 x 12 5 3 x 21 x 22 Skrives som ligningssystemet = [LA] 7 Gauss elimination ( ) 1 0 0 1 2x 11 + x 21 = 1 5x 11 + 3x 21 = 0 2x 12 + x 22 = 0 5x 12 + 3x 22 = 1 Calculus 1-2006 Uge 37.1-37
Det er rigtig sjovt [LA] 7 Gauss elimination 2 1 0 0 1 5 3 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 5 3 1 1 0 0 0 3 0 1 0 0 5 0 0 1 0 1 0 0 0 1 2, 1 1 1 0 0 2 2 0 1 2 0 0 5 2 0 0 1 1 2 0 0 0 0 1 2 1 ( ) x 11 x 12 x 21 x 22 = ( ) 3 1 5 2 Calculus 1-2006 Uge 37.1-38
Operationer og multiplikation [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.3 Rækkeoperationer på en m n-matrix A fremkommer ved Udfør rækkeoperationen på m m-enhedsmatricen og få en elementærmatrix E Venstre multiplicer den oprindelige matrix med den fremkomne elementærmatrix EA. Calculus 1-2006 Uge 37.1-39
Smart overbevisende Ombytning af to rækker ( ) ( ) 0 1 a 11 a 12 1 0 a 21 a 22 = [LA] 8 Elementærmatricer ( ) a 21 a 22 a 11 a 12 Multiplikation af række med tal r 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 a 11 a 12 a 11 a 12 = 0 r a 21 a 22 ra 21 ra 22 Addition af et multiplum af en række til en anden ( ) ( ) 1 r a 11 a 12 0 1 a 21 a 22 = ( a 11 + ra 21 a 12 + ra 22 a 21 a 22 ) Calculus 1-2006 Uge 37.1-40
Rangformlen [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.4 For en m n-matrix A gælder: 1. Antal pivot er er rangen rang A. 2. Antal pivot er dimensionen af rækkerummet rang A T. 3. Antal af søjler uden pivot er er antal af frihedsgrader dim N A. 4. Antal frihedsgrader plus antal pivot er er antal søjler, rangformlen dim N A + rang A = n Calculus 1-2006 Uge 37.1-41
Enten-eller [LA] 7 Gauss elimination Sætning 8.7 En kvadratisk matrix kan ved rækkeoperationer enten føres over i identitetsmatricen eller føres over i en matrix med en nulrække nederst Bevis Matricen på reduceret trappeform 1? 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Calculus 1-2006 Uge 37.1-42
Ensidig invers er tosidig [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.8 Lad A, B være kvadratiske matricer af samme størelse. Så gælder AB = I BA = I En højre invers er også en venstre invers. Bevis Hvis AB = I har alle ligningssystemer Ax = b en løsning x = Bb. Den reducerede form af A kan da ikke have en 0-række og er derfor enhedsmatricen I. Altså findes en matrix C så CA = I. Til slut er C = C(AB) = (CA)B = B. Calculus 1-2006 Uge 37.1-43
Invertibel som produkt [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.10 En invertibel matrix kan skrives som et produkt af elementærmatricer. Hvis E 1,..., E k er elementærmatricer svarende til rækkeoperationer, som fører en matrix A i identitetsmatricen, så er A = E 1 1 E k 1 Bevis Der findes en følge af elementærmatricer E 1,..., E k så produktet E k E 1 A = I. Så fås, at A = E 1 1 E k 1 og da de inverse til elementærmatricer igen er elementærmatricer haves produktfremstillingen. Calculus 1-2006 Uge 37.1-44
Invers ved operationer [LA] 8 Elementærmatricer Sætning 8.13 En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis dens reducerede form er enhedsmatricen I. I så fald er den augmenterede matrix (A I) (I A 1 ) Den inverse matrix beregnes ved rækkeoperationer på den augmenterede matrix. Calculus 1-2006 Uge 37.1-45
Invers 2x2-matrix Eksempel 8.14 Løs matrixligningen, i.e. beregn invers, ( ) ( ) 2 1 x 11 x 12 = 5 3 x 21 x 22 [LA] 8 Elementærmatricer ( ) 1 0 0 1 ( ) ( 2 1 1 0 2 1 1 0 5 3 0 1 0 1 5 1 2 2 ( ) ( 2 0 6 2 0 1 5 2 ) ( 1 0 3 1 0 1 5 2 2 1 1 0 0 1 5 2 ) ) Calculus 1-2006 Uge 37.1-46
Invers 2x2-matrix [LA] 8 Elementærmatricer Eksempel 8.14 - fortsat Rækkereduktionen ( 2 1 1 0 5 3 0 1 ) ( 1 0 3 1 0 1 5 2 ) giver den inverse ( ) 1 ( ) 2 1 3 1 = 5 3 5 2 Calculus 1-2006 Uge 37.1-47
Invers 2x2-matrix Eksempel - forsat Gør prøve ( ) 1 ( ) 2 1 3 1 = 5 3 5 2 [LA] 8 Elementærmatricer Udregn ( ) ( ) 2 1 3 1 5 3 5 2 = ( ) 1 0 0 1 Calculus 1-2006 Uge 37.1-48