GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul

LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4. Bestem y når vi kender x... 2 5. Bestem x når vi kender y... 3 6. LineÄr väkst... 3 7. Skriv ligning ud fra beskrivelse af lineär väkst... 4 8. Skriv hvad a og b i lineär sammenhäng fortäller... 4 9. Find ligning ud fra lineär graf... 5 10. Tegn graf ud fra lineär ligning... 5 11. Bestem b i y = a x + b ud fra a og Çt punkt... 5 12. Bestem a i y = a x + b ud fra b og Çt punkt... 5 13. Bestem a og b i y = a x + b ud fra to punkter... 6 14. Bestem lineär sammenhäng ud fra to punkter givet ved tekst... 6 15. Bestem skäringspunkt mellem to grafer... 6 16. HvornÅr bliver A billigst?... 6 17. Regler om ligevägt... 7 18. Eksempler med regler for ligevägt... 8 Procent og eksponentiel sammenhäng 19. Procenter på en ny måde... 9 20. Omregn til indekstal når basisår er oplyst... 10 21. Omregne til og fra indekstal... 10 22. Indekstal for pris... 11 23. Sammenligne stigning i indekstal... 11 24. Gennemsnitlig procent... 11 25. VÄkstrate... 12 26. OplÄg til ramme 27... 12 27. Ligning for eksponentiel sammenhäng... 12 28. Eksponentiel väkst... 13 29. Skriv ligning ud fra beskrivelse af eksponentiel väkst... 14 30. Skriv hvad a og b i y = b a x fortäller... 15 31. Grafer for y = b a x... 16 32. Udregn x eller y i y = b a x i tekstopgave... 16 33. Udregn a og b i y = b a x ud fra to oplysninger i tekstopgave... 17 34. Hvad er fordoblingskonstant og halveringskonstant... 17 35. AflÄs fordoblingskonstant og halveringskonstant på graf... 17 36. Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant fortäller... 18 37. Udregn y-värdier med fordoblingskonstant eller halveringskonstant... 18 38. Udregn T 2 og T 0,5 når vi kender ligningen y = b a x... 18 39. Renteformlen... 19 PotenssammenhÄng 40. ligning for potenssammenhäng... 20 41. Udregn x eller y i y = b x a... 20 42. PotensvÄkst... 20 43. Bestem procentändring for potenssammenhäng... 21 44. Graf for potenssammenhäng... 21 45. Proportionale variable... 21 46. Omvendt proportionale variable... 22 47. Opgave hvor variable fra virkeligheden er omvendt proportionale... 22 Beviser 48. Nogle regler for potenser... 23 49. Bevis for hvad a og b i y = a x + b fortäller... 23 50. Bevis for hvad a og b i y = b a x fortäller... 23 Dette häfte er en fortsättelse af VariabelsammenhÄnge generelt for matematik pç C-niveau i stx og hf som kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf Å 2014 Karsten Juul 20/6-2015 Nyeste version af dette häfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. HÄftet mç benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en e-mail til kj@mat1.dk som oplyser at dette häfte benyttes og oplyser hold, niveau, lärer og skole.

1. OplÄg om lineäre sammenhänge LineÄr sammenhäng Vi kéber en 12 mm héj plante som vokser 4 mm hver dag. Vi kan tänke os til fégende: Efter 1 dag er héjden 12 4 mm Efter 2 dage er héjden 12 4 2 mm Efter 10 dage er héjden 12 4 10 mm Efter x dage er héjden 12 4 x mm Der gälder altså at når y er héjden (i mm), er y 4 x 12 Ligningen for denne sammenhäng er altså af typen y a x b I koordinatsystemet har vi tegnet en prik der viser at 0 dage efter kébet er héjden 12 mm, en prik der viser at 1 dag senere er planten 4 mm héjere, en prik der viser at efter endnu en dag er planten igen blevet 4 mm héjere, osv. Da stigningen er den samme hver dag, kommer punkterne til at ligge på en ret linje. Derfor kalder man en sammenhäng lineär når stigningen hele tiden er den samme. NÅr stigningen hele tiden er den samme, må ligningen for sammenhängen väre af typen y a x b hvor a er det vi skal lägge til värdien af y hver gang vi gér värdien af x Çn enhed stérre. For sammenhängen y 3x 5 skal vi lägge 3 til y hver gang vi gér x Çn enhed stérre. AltsÅ bliver y-värdierne stérre og stérre, så sammenhängen er voksende. For sammenhängen y 2x 8 skal vi lägge 2 til y hver gang vi gér x Çn enhed stérre. AltsÅ bliver y-värdierne mindre og mindre, så sammenhängen er aftagende. 2. Ligning for lineär sammenhäng 2a. Regel: En sammenhäng mellem to variable x og y er lineär hvis den har en ligning af typen y = a x + b hvor a, b og x kan väre alle tal. Tallet a som står foran x kaldes häldningskoefficienten. Den lineäre sammenhäng er voksende hvis a er positiv. er aftagende hvis a er negativ. 2b. Eksempel: Hvis a = 5 og b = 2 er y = 5 x + ( 2) dvs. y = 5x 2 2c. Eksempel: Hvis a = 1 og b = 0,25 er y = 1 x + 0,25 dvs. y = x + 0,25 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 1 2014 Karsten Juul

3. Graf for lineär sammenhäng 3a. Regel: Grafen for en lineär sammenhäng er en ret linje. 3b. Opgave: Tegn grafen for sammenhängen y 0,5x 0, 7 Metode 1: Da grafen er en ret linje, behéver vi kun udregne to punkter for at kunne tegne den. De to punkter skal ligge langt fra hinanden for at få stor néjagtighed. Se figur. Punkt med x = 4. Vi får punktets y ved at indsätte 4 for x i 0,5x + 0,7: NÅr x 4 er y 0,5 4 0,7 2,7 Punkt med x = 3. Vi får punktets y ved at indsätte 3 for x i 0,5x + 0,7: NÅr x 3 er y 0,5 ( 3) 0,7 0,8 Vi tegner den rette linje gennem punkterne ( 3, 0,8) og ( 4, 2,7). Metode 2: Vi taster forskriften f ( x) 0,5 x 0, 7 på Nspire på en grafside og får grafen til héjre. Vi kan afläse denne graf néjagtigt ved at afsätte et punkt på grafen og Ändre en af punktets koordinater. 4. Bestem y når vi kender x 4a. Opgave: Nogle skiver findes i forskellige stérrelser. NÅr y er tykkelsen, målt i mm, og x er diameteren, målt i mm, er y 0,2x 0, 1 Metode: Hvad er tykkelsen når diameteren er 14 mm? SpÉrgsmÅlet kan oversättes til Hvad er y når x er 14? Vi indsätter 14 for x i y 0,2x 0, 1 og får y 0,2 14 0,1 Vi udregner héjresiden og får y 2,9 Konklusion: Tykkelsen af en skive er 2,9 mm når dens diameter er 14 mm Da der i opgave stçr at y er tykkelse og x er diameter. I opgave stçr at y er tykkelse. 4b. Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen y 1,4 x 0,3 Udregn y-koordinaten til det grafpunkt som har x-koordinat 1, 5. Metode: NÅr x 1, 5 er y 1,4 ( 1,5) 0,3 2, 4 Konklusion: Grafpunkt med x-koordinat 1, 5 har y-koordinat 2, 4. ( 1,5,? ) 1,5? GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2 2014 Karsten Juul

5. Bestem x når vi kender y 5a. Opgave: Nogle skiver findes i forskellige stérrelser. NÅr y er tykkelsen, målt i mm, og x er diameteren, målt i mm, er y 0,2x 0, 1. Hvad er diameteren når tykkelsen er 4,5 mm? Metode: SpÉrgsmÅlet kan oversättes til Hvad er x når y er 4, 5? Vi indsätter 4, 5 for y i y 0,2x 0, 1 og får 4,5 0,2x 0,1 Vi léser denne ligning mht. x og får x 22 Konklusion: Diameteren af en skive er 22 mm når dens tykkelse er 4,5 mm Da der i opgave stçr at y er tykkelse og x er diameter. Det skal fremgç hvordan du finder lésningen. I opgave stçr at x er diameter. 5b. Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen y 0,75 x 1, 5. Udregn x-koordinaten til det grafpunkt som har y-koordinat 2, 7. Metode: Vi skal finde et tal x så 2,7 0,75 x 1,5 Det skal fremgç hvordan du finder lésningen. Vi léser denne ligning mht. x og får x 1, 6. Konklusion: Grafpunkt med y-koordinat 2, 7 har x-koordinat 1, 6. 6. LineÄr väkst. 2,7 (?, 2, 7)? 6a. Reglen for lineär väkst (reglen for hvad a i en lineär sammenhäng y = a x + b fortäller): Hver gang vi gér x Çn enhed stérre, bliver der lagt a til värdien af y. 6b. Reglen for hvad b i lineär sammenhäng y = a x + b fortäller: NÅr x er 0, er y lig b. 6c. Af 6b og 6a får vi: PÅ grafen for y = 0,3x+0,9 ligger punkterne (-1, 0,6), (0, 0,9), (1, 1,2), (2, 1,5) osv. Den skrå sorte linje er graf for funktionen y = 0,3x +0,9. Figuren viser at der lägges 0,3 til y-koordinaten (séjlehéjden) når x bliver 1 stérre. 0,6 + 0,3 y 0,9 + 0,3 1,2 + 0,3 1,5 0,3x +0,9 +1 +1 +1 x : 1 0 1 2 x y : 0,6 0,9 1,2 1,5 0,3x+0,9 +0,3 +0,3 +0,3 6d. Hvis vi afläser punkterne (0,7), (1,11), (2,15), (3,19) på en lineär graf, kan vi af 6a og 6b slutte at y = 4x+7. 6e. For y = 3x+5 gälder: Hvis vi 10 gange gér x en stérre, vil der 10 gange blive lagt 3 til y, så: Hver gang vi gér x 10 enheder stérre, bliver der lagt 30 til värdien af y. Dvs. på grafen ligger punkterne ( 10, 25), (0,5), (10,35), (20,65) osv. +10 +10 +10 3 10 = 30 x : 10 0 10 20 x y : 25 5 35 65 3x+5 +30 +30 +30 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 3 2014 Karsten Juul

7. Skriv ligning ud fra beskrivelse af lineär väkst 7a. Opgave Vi skal betale 10 kr. for at starte på et spil, og vi skal betale 0,50 kr. pr. minut vi spiller. (voksende) Skriv ligning vi kan bruge til at udregne pris for at spille når vi kender antal minutter vi spiller. Svar Antal kr. stiger med samme antal hvert minut, så der er en lineär sammenhäng y = a x + b. hvor y = antal kr. og x = antal minutter. Der står: NÅr antal minutter bliver Çn stérre, bliver antal kr. 0,50 stérre dvs. når x bliver Çn stérre, bliver y 0,50 stérre så når x bliver Çn stérre, bliver der til y lagt 0,50. Derfor: a = 0,50 ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 6a) Der står: NÅr antal minutter er 0 er antal kr. lig 10 dvs. når x er 0, er y lig 10 Derfor: b = 10 ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 6b).y = 0,50 x + 10. hvor y = antal kr. og x = antal minutter 7b. Opgave Ved fremstilling af blå väske bruges grén väske fra beholder. BlÅ väske opsamles i et kar. (aftagende) NÅr blå väskehéjde er 0 cm, er grén väskehéjde 120 cm. NÅr blå väskehéjde bliver 1 cm stérre, bliver grén väskehéjde 2,4 cm mindre. Skriv ligning vi kan bruge til at udregne blå väskehéjde når vi kender grén väskehéjde. Svar GrÉn väskehéjde falder samme antal enheder hver gang blå stiger 1 enhed, så der er en lineär sammenhäng y = a x + b, hvor y = grçn väskehçjde og x = blå väskehçjde. Der står: NÅr blå väskehçjde bliver Çn stérre, bliver grçn väskehçjde 2,4 mindre, dvs. når x bliver Çn stérre, bliver y 2,4 mindre så når x bliver Çn stérre, bliver der til y lagt 2,4. Derfor: a = 2,4 ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 6a) Der står: NÅr blå väskehçjde er 0 er grçn väskehçjde lig 120, dvs. når x er 0, er y lig 120 Derfor: b = 120 ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 6b).y = 2,4 x + 120. hvor y = grén väskehéjde i cm og x = blå väskehéjde i cm 8. Skriv hvad a og b i lineär sammenhäng fortäller 8a. Opgave For en forening er det aftalt at (voksende) y 15 x 22 hvor x er antal År efter 2014 og y er antal medlemmer. Hvad fortäller tallene 15 og 22 om antal medlemmer? Svar Af reglerne for hvad a og b i y ax b fortäller, får vi: Hver gang vi gér antal År x Çn stérre, bliver der lagt 15 til antal medlemmer y. NÅr antal År x er 0, er antal medlemmer y lig 80. Dvs.: 15 : Hvert År bliver antal medlemmer 15 stérre. 22: I 2014 er antal medlemmer 22. 8b. Opgave For en cirkel på et elektronisk billede kan radius udregnes ved hjälp af formlen (aftagende) y 2 x 80 hvor x er temperaturen i C og y er radius i mm. Hvad fortäller tallene 2 og 80 om radius? Svar Af reglerne for hvad a og b i y ax b fortäller, får vi: Hver gang vi gér temperaturen x Çn grad stérre, bliver der lagt 2 til radius y. NÅr temperaturen x er 0, er radius y lig 80. Dvs.: 2 : Radius bliver 2 mm mindre for hver grad temperaturen stiger. 80: Radius er 80 mm ved 0 C GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 4 2014 Karsten Juul

9. Find ligning ud fra lineär graf Grafen til viser sammenhängen mellem to variable x og y. PÅ grafen ser vi: NÅr x 0 er y 1, 5. Hver gang vi gér x 1 enhed stérre, så bliver y 2 enheder stérre. Dette betyder ifélge reglerne for hvad a og b i y ax b fortäller, at: Figuren viser grafen for sammenhängen y 2x 1,5 2 2 2 1 2 1 Denne metode kan vi kun bruge når tallene er simple. I andre tifälde må vi afläse to punkter på grafen og udregne a og b ud fra disse. 1,5 0 1 1 10. Tegn graf ud fra lineär ligning SammenhÄngen y 0,5 x 2 er af typen y ax b med a = 0,5 og b = 2. NÅr x 0 er y 2. PÅ figur 1 har vi brugt dette til at tegne et punkt på grafen. Hver gang vi gér x en enhed stérre, skal lägge 0,5 til y. PÅ figur 2 har vi brugt dette til at tegne endnu et punkt. Vi gentager dette og får punkterne på figur 3. Ud fra disse punkter kan vi tegne grafen. Hvis tallene ikke er simple, tegner vi grafen ved en af metoderne fra ramme 3. Figur 1 Figur 2 Figur 3 0,5 1 0,5 1 11. Bestem b i y = ax+b ud fra a og Ét punkt. Opgave Punktet ( 4, 35) ligger på grafen for sammenhängen y = 8 x +b. Find tallet b. Svar NÅr vi indsätter 4 for x i 8 x +b, så skal vi få y som er 35, dvs. 35 = 8 4 +b. Vi skal finde ud af hvad b skal väre for at dette gälder, så vi léser denne ligning mht. b og får b 3. 12. Bestem a i y = ax+b ud fra b og Ét punkt. Opgave Punktet ( 5, 8) ligger på grafen for sammenhängen y = a x +18. Find tallet a. Svar NÅr vi indsätter 5 for x i a x +18, så skal vi få y som er 8, dvs. 8 = a 5 +18. Vi skal finde ud af hvad a skal väre for at dette gälder, så vi léser denne ligning mht. a og får a 2. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 5 2014 Karsten Juul

13. Bestem a og b i y = ax+b ud fra to punkter. Opgave Punkterne ( 7, 1) og (8, 4) ligger på grafen for sammenhängen y = a x + b. Find tallene a og b. Svar NÅr vi indsätter 7 og 8 for x i a x + b, så skal vi få 1 og 4, dvs. 1 a ( 7) b 4 a 8 b Nspire léser dette ligningssystem mht. a og b og får a 0, 2 og b 2, 4. 14. Bestem lineär sammenhäng ud fra to punkter givet ved tekst. Opgave Der er en lineär sammenhäng mellem temperatur x (målt i C) og overskud y (målt i mio. kr.). NÅr temperaturen er 3 C, er overskuddet 12 mio. kr. NÅr temperaturen er 5 C, er overskuddet 28 mio. kr. Skriv en ligning der viser sammenhängen mellem temperatur og overskud. Svar Da sammenhängen er lineär, har den en ligning af typen y = a x + b. NÅr temperatur x er 3 og 5, er overskud y lig 12 og 28, dvs. 12 = a ( 3) + b og 28 = a 5 + b Nspire léser dette ligningssystem mht. a og b og får a = 2 og b = 18. Ligning y 2x 18 viser sammenhäng mellem temperatur x i C og overskud y i mio. kr. 15. Bestem skäringspunkt mellem to grafer. Opgave: Metode 1: Metode 2: Find koordinatsättet til skäringspunktet mellem graferne for de to sammenhänge y = 1,2 x 7,4 og y = 0,6 x + 2,8. Vi skal finde et tal x så de to udtryk 1,2 x 7,4 og 0,6 x + 2,8 giver samme y-koordinat. Nspire léser ligningen 1,2x 7,4 = 0,6x + 2,8 mht. x og får x = 17. SkÄringspunktet er ( 17,13). Vi taster 1,2x 7,4 og 0,6x + 2,8 og får Nspire til at tegne de to grafer. Vi Ändrer udsnit af koordinatsystem så vi kan se skäringspunkt. Vi får Nspire til at finde skäringspunkt. SkÄringspunktet er ( 17,13). IndsÄtter vi x = 17 i 1,2 x 7,4 og 0,6 x + 2,8, giver det samme y. 16. HvornÅr bliver A billigst? Opgave: To forretninger A og B starter samtidigt salget af en vare. NÅr x = dage efter salgets start og y = varens pris i kr. gälder: A: y = 3,5 x + 2239 og B: y = 2 x + 1888 HvornÅr bliver A billigst? Svar: Vi bestemmer férst x så de to udtryk 3,5 x + 2239 og 2 x + 1888 giver samme pris. Nspire léser ligningen 3,5 x + 2239 = 2 x + 1888 mht. x og får x = 234. Efter dag 234 er A billigst.. A B GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 6 2014 Karsten Juul

17. Regler om ligevägt. 17a. LigevÄgt bevares når vi träkker 2 fra begge sider En grçn klods vejer x kg. En gul klods vejer 1 kg. VÄgten viser at x + 2 = 5 TrÄkker 2 fra begge sider x + 2 2 = 5 2 VÄgten viser at x = 3 17b. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker 2 fra venstre side En grçn klods vejer x kg. En gul klods vejer 1 kg. VÄgten viser at x + 2 = 5 TrÄkker 2 fra venstre side x + 2 2 = 5 FEJL! VÄgten viser at der IKKE gälder x = 5 17c. LigevÄgt bevares når vi dividerer begge sider med 2 En grçn klods vejer x kg. En gul klods vejer 1 kg. VÄgten viser at 2x = 6 Dividerer begge sider med 2 2x = 6 2 2 VÄgten viser at x = 3 17d. Det skal väre hele siden der divideres En grçn klods vejer x kg. En gul klods vejer 1 kg. VÄgten viser at 2x + 2 = 6 Ikke hele venstre side divideres 2x + 2 = 6 2 2 FEJL! VÄgten viser at der IKKE gälder x + 2 = 3 Korrekte omskrivninger: 2x 2 TrÄkker 2 fra begge sider 2x 4 Dividerer begge sider med 2 2x 4 2 2 x 2 6 17e. Regler om ligevägt 17f. Vi må lägge samme tal til begge sider af lighedstegnet. 17g. Vi må träkke samme tal fra begge sider af lighedstegnet. 17h. Vi må gange begge sider af lighedstegnet med samme tal hvis dette tal ikke er nul. 17i. Vi må dividere begge sider af lighedstegnet med samme tal hvis dette tal ikke er nul. Reglerne ovenfor er skrevet meget kort. PÅ näste side forklarer vi grundigt hvad reglerne om ligevägt går ud på. Vi kan träne reglerne om ligevägt ved at bruge dem til at lçse ligninger. SÅ nytter det ikke at du lçser ligningerne ved hjälp af andre regler, da det er reglerne om ligevägt der er formålet med Çvelserne. Reglerne om ligevägt er en vigtig del af pensum. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 7 2014 Karsten Juul

18. Eksempler med regler for ligevägt. I denne ramme går det ud på at få x til at stå alene ved at bruge regler om ligevägt. 18a. x + 8 = 12 Der er lagt 8 til x. Det modsatte er at träkke 8 fra. x + 8 8 = 12 8 Derfor träkker vi 8 fra begge sider. x = 4 18b. x + 5 = 14 Der er lagt 5 til x. Det modsatte er at träkke 5 fra. x + 5 5 = 14 5 Derfor träkker vi 5 fra begge sider. x = 19 18c. x 6 = 9 Der er trukket 6 fra x. Det modsatte er at lägge 6 til. x 6 + 6 = 9 + 6 Derfor lägger vi 6 til begge sider. x = 15 18d. 4 x = 3 Der er lagt 4 til x (minus står ikke foran 4). Det modsatte er at träkke 4 fra. 4 x 4 = 3 4 Derfor träkker vi 4 fra begge sider. x = 1 I 18k står hvordan vi fjerner minus så x står alene. 18e. 7 + x = 2 Der er trukket 7 fra x. Det modsatte er at lägge 7 til. 7 + x + 7 = 2 + 7 Derfor lägger vi 7 til begge sider. x = 9 18f. 24 = 3 x Der er trukket 3 fra x. Det modsatte er at lägge 3 til. 24 + 3 = 3 x + 3 Derfor lägger vi 3 til begge sider. 27 = x I 18k står hvordan vi fjerner minus så x står alene. 18g. Nogle regler om brçker 4x 4 kan omskrives til x fordi der står gange mellem 4 og x. x ( 5) 5 kan omskrives til x fordi der står gange. x 5 5 og 3 x 3 kan ikke omskrives til x fordi der ikke står gange. 18h. 3x = 12 x er ganget med 3. Det modsatte er at dividere med 3. 3x 12 = 3 3 Derfor dividerer vi begge sider med 3. x = 4 PÅ venstre side kan 3 forkortes väk fordi der står gange mellem 3 og x. 18i. 2 = x 5 x er ganget med 5. Det modsatte er at dividere med 5. 2 x 5 = 5 5 Derfor dividerer vi begge sider med 5. 0,4 = x PÅ héjre side kan 5 forkortes väk fordi der står gange mellem x og 5. 18j. 8x = 1 x er ganget med 8. Det modsatte er at dividere med 8. 8x 1 = 8 8 Derfor dividerer vi begge sider med 8. x = 0,125 PÅ venstre side kan 8 forkortes väk fordi der står gange mellem 8 og x. 18k. x = 9 x ( 1) = 9 ( 1) Vi ganger begge sider med 1. x = 9 Fordi minus gange minus er plus. 18l. Samle led af samme type 9x + 5 +7x 9x og 7x er samme type. = 2x + 5 NÅr vi fra syv x'er träkker ni x'er, får vi minus to x'er. 15 4 + 8x 1 + x 15 og 4 og 1 er samme type. 8x og x er samme type. = 10 + 9x Fra 15 träkker vi 4 og 1 og får 10. Otte x'er plus Çt x er ni x'er. 18m. 6x = 2 +10x 6x 10x = 2 +10x 10x 4x = 2 4x 2 4 4 x = 0,5 I disse udregninger har vi brugt mellemregninger til at vise hvilke regler for ligevägt vi har brugt. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 8 2014 Karsten Juul

Procent og eksponentiel sammenhäng 19. Procenter på en ny måde. 19a. T er 34 % af 600 T = 34 % af 600 34 = 600 Ö 0,34 da 34% = 100 = 204 = 0,34 Du plejer nok at udregne 34 % ved at dividere med 100 og gange med 34. I nogle opgavetyper dur denne metode ikke. Du er nédt til at vänne dig til at gange med 0,34 for at udregne 34 %. 19b. S er 34 % stçrre end 600 S = 134 % af 600 da 100 % + 34 % = 134 % 134 = 600 Ö 1,34 da 134 % = = 1,34 100 = 804 19c. R er 34 % mindre end 600 R = 66 % af 600 da 100 % 34% = 66 % 66 = 600 Ö 0,66 da 66% = 100 = 396 = 0,66 NÅr du udregner det der er 34% stérre end et tal, så plejer du nok at udregne 34 % af tallet og lägge til tallet. I nogle opgavetyper dur denne metode ikke. Du er nédt til at vänne dig til at gange med 1,34 for at udregne det der er 34 % stérre. NÅr du udregner det der er 34% mindre end et tal, så plejer du nok at udregne 34 % af tallet og träkke fra tallet. I nogle opgavetyper dur denne metode ikke. Du er nédt til at vänne dig til at gange med 0,66 for at udregne det der er 34 % mindre. 19d. Hvor mange procent er 52 af 126? 52 126 0,412698 41,2698 41,3% 52 er 41,3 % af 126. 19e. Oversigt over grundläggende procentregning y 0,30 y 0,30 y y y 1 y 1,30 y y 0,70 0,30 0,70 1 y 0,30 A B A B A B B er 30% af A B er 30% stçrre end A B er 30% mindre end A B er 130% af A B er 70% af A 470 141 0,30 141 er 30% af 470 470 141 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 9 2014 Karsten Juul

20. Omregn til indekstal når basisår er oplyst. FÉlgende tabel viser udviklingen i salget af en vare. Ür: 2010 2011 2012 2013 Salg i ton: 244,8 271,5 310,1 347,6 NÅr man skal vise udviklingen, erstatter man ofte de rigtige tal med indekstal. NÅr man skal skrive indekstal, skal man férst välge et basisår. Vi välger 2011 som basisår. I basisåret er indekstallet 100. Ür: 2010 2011 2012 2013 Salg i ton: 244,8 271,5 310,1 347,6 Indekstal: 100 x For at bestemme indekstal for 2013 skriver vi: Nspire léser ligningen Ved samme metode får vi alle indekstallene: rigtigt tal i 2011 indekstal i 2011 rigtigt tal i 2013 indekstal i 2013 271,5 347,6 mht. x og får x = 128,029 128,0 100 x Ür: 2010 2011 2012 2013 Salg i ton: 244,8 271,5 310,1 347,6 Indekstal: 90,2 100 114,2 128,0 Denne formel gér at indekstal og rigtige tal har samme procentändring. dvs. 271,5 347,6. 100 x I denne formel kan vi ombytte täller og nävner, hvis vi gér det i begge bréker. 21. Omregne til og fra indekstal. Opgave Tabellen viser oplysninger om fugle af en bestemt type. Ür: 2009 2010 2011 Antal (i mio.): 3,71 4,22 Indekstal (basisår 2005): 139 150 Bestem indekstallet for 2009, og bestem antal fugle i 2010. Svar Ür: 2009 2010 2011 Antal (i mio.): 3,71 q 4,22 Indekstal (basisår 2005): p 139 150 Der gälder rigtigt tal i 2009 indekstal i 2009 Nspire léser ligningen rigtigt tal i 2011 indekstal i 2011 dvs. 3,71 4,22. p 150 3,71 4,22 mht. p og får p = 131,872 132 p 150 Indekstal for 2009 er 132. Der gälder rigtigt tal i 2010 indekstal i 2010 Nspire léser ligningen q 139 rigtigt tal i 2011 indekstal i 2011 4,22 150 dvs. q 139 4,22 150 mht. q og får q = 3,91053 3,91. I 2010 er antal fugle 3,91 mio. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 10 2014 Karsten Juul

22. Indekstal for pris. Opgave Tabellen viser indekstal for prisen på en vare A. MÅned: maj juni juli august Indekstal for pris på A: 142 178 219 263 I maj kébte vi for 350 kr. af varen A. Hvad er prisen for at kébe samme mängde i august? Svar MÅned: maj juni juli august Indekstal for pris på A: 142 178 219 263 Pris i kr.: 350 x Der gälder indekstal i maj rigtigt tal i maj Nspire léser ligningen indekstal i august rigtigt tal i august dvs. 142 263. 350 x 142 263 mht. x og får x = 648,239 648 350 x Pris for samme mängde i august er 648 kr. 23. Sammenligne stigning i indekstal. Opgave Tabellen viser oplysninger om en virksomhed. Ür: 2005 2010 Indekstal for lénudgift: 119 136 Indekstal for indtägt: 148 167 UndersÉg om lénudgift eller indtägt er er vokset mest fra 2005 til 2010. sluttal starttal 136 119 Svar Stigning i lénudgift: 0,142857 14,3% starttal 119 sluttal starttal 167 148 Stigning i indtägt: 0,128378 12,8 % starttal 148 Det er lénudgiften der er vokset mest. 24. Gennemsnitlig procent. 24a. Metode til at udregne gennemsnitlig procent Hvis en stérrelse stiger fra A til B på n År, så kan den gennemsnitlige Årlige procentvise stigning r udregnes ved hjälp af formlen A (1+r) n = B. 24b. Eksempel på udregning af gennemsnitlig procent Hvis A = 158, B = 221 og n = 10, er 158 (1+r) 10 = 221. Nspire léser denne ligning mht. r for r > 0 og får r = 0,034126, dvs. Den gennemsnitlige Årlige procentvise stigning er 3,41 %. 24c. Flere oplysninger om gennemsnitlig procent Perioden behéver ikke väre et År. Fra uge 10 til 15 er indtägten steget fra 1,7 mio. kr. til 2,4 mio. kr. Vi regner som vist ovenfor og får: Gennemsnitlig ugentlig procentvis stigning er 7,14 %. Dette betyder: Ved at stige med 7,14 % hver uge kan et beléb stige fra 1,7 til 2,4 mio. kr. Procentstigningen har måske ikke väret den samme hver uge. Derfor ordet gennemsnit. 24d. Advarsel om gennemsnitlig procent Vi kan IKKE udregne gennemsnitlig procent ved at lägge procenter sammen og dividere med antallet. Dette skyldes at procenterne ikke tages af lige store tal. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 11 2014 Karsten Juul

25. VÄkstrate. 25a. Hvad er väkstrate? SÄtningen den Årlige väkstrate er 18% betyder stigningen er 18 % hvert Årt SÄtningen den månedlige väkstrate er 3 % betyder stigningen er 3 % hver måned 25b. Eksempel Der gälder Antal ansatte skal stige med en Årlig väkstrate på 10 %. Dvs. Antal ansatte skal stige 10 % hvert År. 100 % 45% 145 % 145 1,45 I År er antal ansatte 820 100 Om 1 År er antal ansatte 820 1,45 1189 Om 2 År er antal ansatte 820 1,45 1,45 1724 6 Om 6 År er antal ansatte 820 1,45 7621 Om x År er antal ansatte 820 1,45 x 820 1,45 x 1,45 1,45 2 1,45 Antal ansatte 1189 820 1,45 1,45 1724 1,45 2500 År 26. OplÄg til ramme 27. Antal ansatte y skal stige 10 % hvert År. 100 % 10 % 110 % 110 1, 10 100 I År er antal ansatte y = 1000 Om 1 År er antal ansatte y = 1000 1,10 1100 Om 2 År er antal ansatte y = 1000 1,10 1,10 1210 16 Om 16 År er antal ansatte y = 1000 1,10 4595 Om x År er antal ansatte y = 1000 1,10 x Denne ligning viser sammenhängen mellem y og x. Vi ser at ligningen er af typen y = b a x 27. Ligning for eksponentiel sammenhäng En sammenhäng er eksponentiel hvis den har en ligning af typen y = b a x a og b skal väre positive tal. Alle tal kan indsättes for x. 1,10 1,10 Uanset hvilket tal vi indsätter for x, så bliver resultatet y et positivt tal. 2 1,10 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 12 2014 Karsten Juul

28. Eksponentiel väkst. 28a. Reglen for eksponentiel väkst (reglen for hvad a i eksponentiel sammenhäng y = b a x fortäller): Hver gang vi gér x Çn enhed stérre, bliver värdien af y ganget med a. 28b. Reglen for hvad b i en eksponentiel sammenhäng y = b a x fortäller: NÅr x er 0, er y lig b. 28c. Af 28b og 28a får vi: PÅ grafen for y = 24 1,5 x ligger punkterne ( 1,16), (0,24), (1,36), (2,54) osv. Den sorte kurve er graf for funktionen y = 24 1,5 x. Figuren viser at y-koordinaten (séjlehéjden) ganges med 1,5 når x bliver 1 stérre. y 54 24 1,5 x 16 1,5 24 1,5 36 1,5 +1 +1 +1 x : 1 0 1 2 x y : 16 24 36 54 1,5 1,5 1,5 28d. Hvis vi afläser punkterne (0,2), (1,6), (2,18) på en eksponentiel graf, kan vi af 28a og 28b slutte at y = 2 3 x. 24 1,5 x 28e. For y = 5,8 1,043 x gälder: Hvis vi 8 gange gér x Çn enhed stérre, vil y 8 gange blive ganget med 1,043, så: Hver gang vi gér x 8 enheder stérre, bliver y ganget med 1,043 8 = 1,40047. +8 +8 +8 1,043 8 = 1,400 x : 8 0 8 16 x y : 4,14 5,8 8,12 11,37 5,8 1,043 x 1,4 1,4 1,4 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 13 2014 Karsten Juul

29. Skriv ligning ud fra beskrivelse af eksponentiel väkst. 29a. Opgave Kl. 9 er der 275 celler, og hver time bliver antal celler 20 % stérre. (voksende) Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne antallet af celler når vi kender tidspunktet. Svar Antallet stiger med samme procent hver time, så der er en eksponentiel sammenhäng y = b a x hvor y = antal celler og x = antal timer efter kl. 9. Der står: NÅr antal timer bliver Çn stérre, bliver antal celler 20 % stérre dvs. når x bliver Çn stérre, bliver y 20 % stérre så når x bliver Çn stérre, bliver y ganget med 1,20 Derfor: a = 1,20 ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 28a) Der står: NÅr klokken er 9 er antal celler lig 275 dvs. når x er 0, er y lig 275 Derfor: b = 275 ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 28b).y = 275 1,20 x. hvor y = antal celler og x = antal timer efter kl. 9 29b. Opgave Den 1. maj er afgiften 860 kr. Afgiften nedsättes med 2,5 % pr. uge (aftagende) Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne afgiften når vi kender tidspunktet. Svar Afgiften falder med samme procent hver uge, så der er en eksponentiel sammenhäng y = b a x hvor y = afgiften i kr. og x = antal uger efter 1.maj. Der står: NÅr antal uger bliver Çn stérre, bliver afgiften 2,5 % mindre dvs. når x bliver Çn stérre, bliver y 2,5 % mindre så når x bliver Çn stérre, bliver y ganget med 0,975 Derfor: a = 0,975 ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 28a) Der står: Den 1. maj er afgiften lig 860 kr. dvs. når x er 0, er y lig 860 Derfor: b = 860 ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 28b).y = 860 0,975 x. hvor y = afgiften i kr. og x = antal uger efter 1. maj GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 14 2014 Karsten Juul

30. Skriv hvad a og b i y = b a x fortäller. 30a. Opgave Om en figur på skärmen gälder at y 300 1, 072 (voksende) x = temperaturen og y = arealet i cm 2 Hvad fortäller tallene 300 og 1,072 om figuren? Svar Ligningen er af typen y = b a x. x hvor NÅr x bliver Çn enhed stérre, bliver y ganget med a ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 28a) Dvs. NÅr temperaturen bliver Çn grad héjere, bliver arealet ganget med 1,072. SÇ NÅr temperaturen bliver Çn grad héjere, bliver arealet 7,2% stérre. Dette er hvad tallet 1,072 fortäller om figuren. De 7,2% blev udregnet sådan: Start: 100 % 100 % 1,072 = 107,2 % 107,2 % 100% = 7,2 % NÅr x er 0, er y lig b. ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 28b) Dvs. NÅr temperaturen er 0 grader, er arealet 300 cm 2. Dette er hvad tallet 300 fortäller om figuren. 30b. Opgave Antallet af dyr Ändres sådan at y 270 0, 90 hvor (aftagende) x = antal dage efter 1. juni og y = antal dyr Hvad fortäller tallene 270 og 0,90 om antallet af dyr? Svar Ligningen er af typen y = b a x. NÅr x bliver Çn enhed stérre, bliver y ganget med a ifälge reglen om hvad a fortåller (regel 28a) Dvs. NÅr antal dage bliver Çn stérre, bliver antal dyr ganget med 0,90. SÇ NÅr antal dage bliver Çn stérre, bliver antal dyr 10% mindre. Dvs. Hver dag bliver antallet af dyr 10% mindre. Dette er hvad tallet 0,90 fortäller om antallet af dyr. De 10% blev udregnet sådan: Start: 100% 100% 0,90 = 90 % 90% 100 % = 10% NÅr x er 0, er y lig b. ifälge reglen om hvad b fortåller (regel 28b) Dvs. NÅr antal dage er 0, er antal dyr 270. Dvs. Den 1. juni er antallet af dyr 270. Dette er hvad tallet 270 fortäller om figuren. x GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 15 2014 Karsten Juul

31. Grafer for y = b a x. 31a. Eksempel Vi vil undersége grafen for y = 2 0,4 x. Ligningen er af typen y = b a x. NÅr x = 0 er y = 2 regel for hvad b fortåller Vi afsätter dette som et kryds på figuren. NÅr x = 1 er y = 2 0,4 = 0,8 regel for hvad a fortåller Vi afsätter dette som et kryds på figuren. NÅr x = 2 er y = 0,8 0,4 = 0,32 regel for hvad a fortåller Hver gang vi gér x Çn stérre, skal vi gange y med 0,4, så y bliver aldrig 0, men kan komme så tät det skal väre på 0. NÅr vi gér x Çn mindre, så skal vi dividere y med 0,4 så når x = 1 er y = 2:0,4 = 5 regel for hvad a fortåller Hver gang vi gér x Çn mindre, bliver y stérre. y kan blive så stor det skal väre. Figuren viser grafen for en eksponentiel sammenhäng y = b a x. 31b. Opgave Hvad er y når x er 2? Svar Vi finder det punkt på grafen hvor x er 2. Vi afläser at for dette punkt er y lig 2,8. Denne afläsning er vist på figuren. NÅr x er 2, er y = 2,8.. 31c. Opgave Hvad er x når y er 2,8? Svar Vi finder det punkt på grafen hvor y er 2,8. Vi afläser at for dette punkt er x lig 2. Denne afläsning er vist på figuren. NÅr y er 2,8, er x = 2.. 32. Udregn x eller y i y = b a x i tekstopgave. 32a. Opgave For nogle dyr gälder y = 0,3 1,2 x. (bestem y) hvor y er vägten, målt i gram, og x er alderen, målt i uger. Hvad er vägten af et dyr hvis alder er 13 uger? Svar y = 0,3 1,2 x y = 0,3 1,2 13 x er alderen, og alderen er 13 y = 3,2098 udregnet af Nspire vägten er y, og y er 3,2098 Et dyr hvis alder er 13 uger, har vägten.3,2 gram.. 32b. Opgave For nogle dyr gälder y = 0,3 1,2 x. (bestem x) hvor y er vägten, målt i gram, og x er alderen, målt i uger. Hvilken alder har et dyr hvis vägt er 6,7 gram? Svar y = 0,3 1,2 x 6,7 = 0,3 1,2 x y er vägten, og vägten er 6,7 Nspire léser denne ligning mht. x og får x = 17,0363 alderen er x, og x er 17,0363 Et dyr hvis vägt er 6,7 gram, har alderen.17 uger.. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 16 2014 Karsten Juul

33. Udregn a og b i y = b a x ud fra to oplysninger i tekstopgave. Opgave En plantes vägt kan med god tilnärmelse beskrives med en funktion af typen y = b a x hvor y er vägt i kg, og x er År efter udplantning. Efter 2 År er vägten 1,60 kg. Efter 5 År er vägten 4,10 kg. Udregn a og b. Svar Der står: Efter 2 År er vägten 1,60 kg. Efter 5 År er vägten 4,10 kg. Dvs. NÅr x = 2 er y = 1,60. NÅr x =5 er y = 4,10. SÅ 1,60 = b a 2 og 4,10 = b a 5 Nspire léser dette ligningssystem mht. a og b og får a = 1,36843 1,368 og b = 0,854432 0,854..a = 1,368. og.b = 0,854.. 34. Hvad er fordoblingskonstant og halveringskonstant. 34a. Eksempel Tabellen viser hvordan héjden af en plante er vokset eksponentielt. Antal uger efter kéb: 0 1 2 3 4 5 6 HÉjde i cm: 12 15 19 24 30 38 48 I tabellen ser vi: 1 uge efter kébet er héjden 15 cm. 3 uger senere er héjden 30 cm, som er det dobbelte af 15 cm. 2 uger efter kébet er héjden 19 cm. 3 uger senere er héjden 38 cm, som er det dobbelte af 19 cm. Uanset hvornår vi starter, så vil der gå 3 uger fér héjden er fordoblet. Man siger at héjdens fordoblingskonstant er 3 uger. 34b En eksponentielt voksende sammenhäng har en fordoblingskonstant T 2. NÅr x bliver T 2 enheder stérre, så bliver y fordoblet. 34c En eksponentielt aftagende sammenhäng har en halveringskonstant T 0,5. NÅr x bliver T 0,5 enheder stérre, så bliver y halveret. 35. AflÄs fordoblingskonstant og halveringskonstant på graf. Opgave (halvering) Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende sammenhäng. Hvad er halveringskonstanten for denne sammenhäng? Svar Resultatet bliver det samme uanset hvilken x-värdi vi starter med. Vi kan f.eks. starte med x 1: NÅr x = 1 er y = 3,1 (se figur) 3,1 Det halve af 3,1 er 1, 55. 2 NÅr y = 1,55 er x = 3,7 (se figur) For at halvere y skal vi altså Ége x med 3,7 1 = 2,7 så halveringskonstanten er.2,7.. BemÄrkning (fordobling) Hvis funktionen er eksponentielt voksende, kan fordoblingskonstanten afläses på nästen samme måde: Vi finder to grafpunkter hvor y-koordinaten til det ene er 2 gange y-koordinaten til det andet. Forskellen på de to punkters x-koordinater er fordoblingskonstanten. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 17 2014 Karsten Juul

36. Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant fortäller. 36a. Opgave Den 1. maj var der 261 syge. Antallet af syge kan med tilnärmelse beskrives ved en eksponentiel sammenhäng y = b a x hvor x er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. Svar I avisen står at fordoblingskonstanten er 9. Hvad fortäller dette om antallet af syge? At fordoblingskonstanten er 9 betyder: NÅr x bliver 9 enheder stérre, så bliver y fordoblet. Dvs: NÅr antal dage bliver 9 stérre, så bliver antal syge fordoblet. SÅ: Antal syge fordobles på 9 dage. 36b. Opgave Den 1. maj var der 261 syge. Antallet af syge kan med tilnärmelse beskrives ved en eksponentiel sammenhäng y = b a x hvor x er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. Svar I avisen står at halveringskonstanten er 9. Hvad fortäller dette om antallet af syge? At halveringskonstanten er 9 betyder: NÅr x bliver 9 enheder stérre, så bliver y halveret. Dvs: NÅr antal dage bliver 9 stérre, så bliver antal syge halveret. SÅ: Antal syge halveres på 9 dage. NÇr x er tiden, kan vi sige fordoblingstid i stedet for fordoblingskonstant. NÇr x er tiden, kan vi sige halveringstid i stedet for halveringskonstant. 37. Udregn y-värdier med fordoblingskonstant eller halveringskonstant. 37a. Opgave For en eksponentiel sammenhäng y = b a x er T 2 = 3. GÉr direkte brug af dette til at udfylde de tomme felter. Svar +3 +3 +3 x 2 1 4 7 y 3,5 7 14 28 2 2 2 37b. Opgave For en eksponentiel sammenhäng y = b a x er T 0,5 = 1,6. GÉr direkte brug af dette til at udfylde de tomme felter. Svar +1,6 +1,6 +1,6 x 3,2 4,8 6,4 8 y 12 6 3 1,5 0,5 0,5 0,5 38. Udregn T 2 og T 0,5 når vi kender ligningen y = b a x. 38a. Opgave Bestem T 2 for sammenhängen y = 5 1,3 x. x 1 y 7 x 4,8 y 6 Svar NÅr x = 0 er y = 5, så når x = 0+T 2 = T 2 er y = 2 5, dvs. 2 5 = 5 1,3 T2. Nspire léser ligningen 2 5 = 5 1,3 T2 mht. T 2 og får T 2 = 2,64193 2,6. 38b. Opgave Bestem T 0,5 for sammenhängen y = 7 0,86 x. Svar NÅr x = 0 er y = 7, så når x = 0+T 0,5 = T 0,5 er y = 0,5 7, dvs. 0,5 7 = 7 0,86 T0,5. Nspire léser ligningen 0,5 7 = 7 0,86 T0,5 mht. T 0,5 og får T 0,5 = 4,59577 4,6. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 18 2014 Karsten Juul

39. Renteformlen 39a. Hvorfor gälder renteformlen? Vi sätter 34 000 kr. i banken til en fast Årlig rente r = 5,8% = 0,058 så hvert År stiger belébet til 100% + 5,8% = 105,8% af hvad det var Året fér Dvs. hvert År ganges belébet med 1,058 = 1+r da 105,8% = 105,8:100 = 1,058 BelÉbene på kontoen kan vi beregne sådan: Start: 34000 Efter 1 År: 34000 1,058 Efter 2 År: 34000 1,058 1,058 Efter 6 År: Dette kan vi skrive kortere ved hjälp af potens: 34000 1,058 1,058 1,058 1,058 1,058 1,058 Efter 6 År: 34000 1,058 6 = 47686,22 Man bruger ofte félgende symboler: K = K 0 (1+r) n hvor n = 6 er antallet af terminer. r = 5,8% = 0,058 er den procent der tilskrives i rente hver termin. K 0 = 34000 er startkapitalen. K = 47686,22 er kapitalen efter 6 terminer. 39b. Renteformlen K = K 0 (1+r) n hvor n er antallet af terminer. r er den procent der tilskrives i rente hver termin. K 0 er startkapitalen. K er kapitalen efter n terminer. 39c. Fire opgavetyper I renteformlen kan hvert af tallene n, r, K 0 og K väre ukendt. Det ukendte af disse tal kan vi udregne når vi kender de tre andre. Dvs, der er fire typer opgaver med renteformlen. Hvis K er ukendt, skal vi udregne ligningens héjreside. Ellers skal vi lése ligningen. 39d. Opgave Vi sätter 34 000 kr. i banken til en fast Årlig rente på 5,8 %. Efter hvor mange År er belébet vokset til 70 000 kr.? BelÉbet 34000 1,058 skal ganges med 1,058 for at få det beléb der er 5,8% stérre. En termin er den tid der går mellem to rentetilskrivninger. I dette eksempel er en termin lig et År. Svar Vi bruger renteformlen K = K 0 (1+r) n hvor Antal terminer n = det tal vi skal bestemme Renteprocent r = 5,8% = 0,058 Startkapital K 0 = 34 000 Kapital efter n terminer K = 70 000 Vi indsätter disse tal i renteformlen: 70 000 = 34 000 (1+0,058) n Nspire léser denne ligning mht. n og får n = 12,8083 13 Efter.13 År. er belébet vokset til ca. 70 000 kr. 39e. BelÇbet på kontoen vokser eksponentielt Hvis vi sätter 34 000 kr. i banken til en fast Årlig rente på 5,8%, så félger af renteformlen at kapitalen K efter n År er K = 34 000 1,058 n Denne sammenhäng er eksponentiel, dvs. af typen y = b a x, vi har blot brugt K og n i stedet for y og x, så belébet på kontoen vokser eksponentielt. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 19 2014 Karsten Juul

40. Ligning for potenssammenhäng PotenssammenhÄng 40a. En sammenhäng er en potenssammenhäng hvis den har en ligning af typen y = b x a b skal väre et positivt tal. a behéver ikke väre positiv. Vi må kun sätte positive tal ind for x. Tallet a er eksponenten i ligningen y = b x a. 40b. Opgave Punkterne (4, 6) og (16, 12) ligger på grafen for sammenhängen y = b x a. Bestem a og b. Svar NÅr vi indsätter 4 og 16 for x i y = b x a, så skal vi få 6 og 12, dvs. 6 = b 4 a 12 = b 16 a Nspire léser dette ligningssystem mht. a og b og får.a = 0,5 og b = 3.. 41. Udregn x eller y i y = b x a i tekstopgave. 41a. Opgave For nogle dyr gälder y = 1,3 x 2,6. (bestem y) hvor y er vägten, målt i gram, og x er längden, målt i cm. Hvad er vägten af et dyr hvis längde er 2,4 cm? Svar y = 1,3 x 2,6 y = 1,3 2,4 2,6 x er längden, og längden er 2,4 y = 12,6617 udregnet af Nspire vägten er y, og y er 12,6617 13 Et dyr hvis längde er 2,4 cm, har vägten.13 gram.. 41b. Opgave For nogle dyr gälder y = 1,3 x 2,6. (bestem x) hvor y er vägten, målt i gram, og x er längden, målt i cm. Hvilken längde har et dyr hvis vägt er 6,7 gram? Svar y = 1,3 x 2,6 5 = 1,3 x 2,6 y er vägten, og vägten er 5 Nspire léser denne ligning mht. x og får x = 1,67889 längden er x, og x er 1,67889 1,7 Et dyr hvis vägt er 5 gram, har längden.1,7 cm.. 42. PotensvÄkst. 42a. Reglen for potensväkst: Om en potenssammenhäng y = b x a gälder for et positivt tal k: NÅr x bliver ganget med k, så bliver y ganget med k a. 42b. Eksempel y = 1,2 x 0,7 NÅr x ganges med 1,25, så ganges y med 1,25 0,7 = 1,17. NÅr x ganges med 2, så ganges y med 2 0,7 = 1,62. 1,25 1,25 2 x : 1,14 1,43 1,79 3,80 7,60 y : 1,32 1,54 1,80 3,06 4,96 1,25 0,7 1,25 0,7 2 0,7 GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 20 2014 Karsten Juul

43. Bestem procentändring for potenssammenhäng. Opgave Et dyr vokser sådan at y = 2,7 x 1,6 hvor y er vägten i gram, og x er längden i cm. NÅr längden er blevet 40 % stérre, hvor mange procent stérre er vägten så blevet? Svar At x bliver 40 % stérre, er det samme som at x bliver ganget med 1,40. ( 100 % + 40 % = 140 % = 140:100 = 1,40 ) NÅr x bliver ganget med 1,40, så bliver y ganget med 1,40 1,6 = 1,71319 1,71 ifälge reglen om potensvåkst (ramme 42) At y bliver ganget med 1,71, er det samme som at y bliver 71 % stérre. ( 100% 1,71 = 171%. 171 % 100 % = 71 % ) NÅr längden er blevet 40 % stérre, er vägten blevet 71 % stérre. 44. Graf for potenssammenhäng. For en potenssammenhäng y = b x a gälder: Hvis en potenssammenhäng er aftagende (dvs. eksponenten a er negativ), så ligner grafen p. Hvis en potenssammenhäng er voksende (dvs. eksponenten a er positiv), så ligner grafen m eller n. Hvis eksponenten a er 1, så er grafen dog en ret linje og ligner derfor ikke m eller n. m n p 45. Proportionale variable. 45a. Om to variable x og y siger vi at y er proportional med x hvis y = k x og k er det samme tal for alle värdier af x. 45b. Opgave De to variable x og y er proportionale. Tabellen viser nogle sammenhérende värdier af x og y. Hvad er y når x er 10? Hvad er x når y er 15? Svar Udregne k : Da x og y er proportionale, er der et tal k så (1) y = k x. I tabellen ser vi at når x = 24 er y = 18. Dette indsätter vi i (1): 18 = k 24 Denne ligning léser vi mht. k og får 0,75 = k Dette tal indsätter vi i (1) og får ligningen for sammenhängen mellem x og y: (2) y = 0,75 x Udregne y : For at finde y når x er 10, sätter vi x til 10 i (2): y = 0,75 10 Heraf får vi y = 7,5 så y er 7,5 når x er 10 Udregne x : For at finde x når y er 15, sätter vi y til 15 i (2): 15 = 0,75 x Vi léser denne ligning mht. x og får 20 = x så x er 20 når y er 15 I opgaven stçr ikke at vi skal udregne k. Vi skal selv vide at vi skal udregne k férst. x 24 36 92 y 18 27 69 Vi kan lése ligningen ved at dividere begge sider med 24 eller ved at bruge solve. Vi kan lése ligningen ved at dividere begge sider med 0,75 eller ved at bruge solve. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 21 2014 Karsten Juul

46. Omvendt proportionale variable. 46a. Om to variable x og y siger vi at y er omvendt proportional med x hvis y = k x og k er det samme tal for alle värdier af x. 46b. Opgave De to variable x og y er omvendt proportionale. Hvad skal der stå på de tomme pladser i tabellen? Svar Udregne k : Da x og y er omvendt proportionale, er der et tal k så (1) y k. x I tabellen ser vi at når x =12 er y = 6. Dette indsätter vi i (1): y 9 6 6 k 12 Vi léser denne ligning mht. k og får 72 = k Dette tal indsätter vi i (1) og får ligningen for sammenhängen mellem x og y: (2) y 72 x Udregne y : For at finde y når x er 36, sätter vi x til 36 i (2): y 72 36 Heraf får vi y = 2 så y er.2. når x er 36 Udregne x : For at finde x når y er 9, sätter vi y til 9 i (2): 72 9 x Vi léser denne ligning mht. x og får x = 8 så x er.8. når y er 9 47. Opgave hvor variable fra virkeligheden er omvendt proportionale. Opgave PÅ en skärm er et rektangel som vi kan Ändre ved at träkke med musen. HÉjde og bredde er omvendt proportionale. HÉjden er 2,5 når bredden er 8. Hvad er héjden når bredden er 3,2? Svar Vi kalder héjden for h og bredden for b. Udregne k : Da h er omvendt proportional med b, findes et tal k så h k b Da h 2, 5 når b 8 må 2,5 k 8 Vi ganger begge sider med 8 og får k 20, dvs. (1) h 20 b Udregne h : Vi sätter b 3, 2 i (1): h 20 3,2 Heraf får vi h 6, 25 så héjden er.6,25. når bredden er 3,2. x 12 36 I opgaven stçr ikke at vi skal udregne k. Vi skal selv vide at vi skal udregne k férst. Vi kan lése ligningen ved at gange begge sider med 12 eller ved at bruge solve. Vi kan lése ligningen ved férst at gange begge sider med x og derefter at dividere begge sider med 9, eller ved at bruge solve. GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 22 2014 Karsten Juul

Beviser 48. Nogle regler om potenser Regler 48a. a r a s = a r+s 48b. (a b) r = a r b r 48c. a 0 = 1 48d. a 1 = a Eksempler 48e. 5 4 x+1 = 5 4 x 4 1 = 5 4 x 4 = 20 4 x 48f. (2x) 3 = 2 3 x 3 = 8x 3 48g. 7 x 0 = 7 1 = 7 49. Bevis for hvad a og b i y = ax+b fortäller. SÄtning For en lineär sammenhäng y ax b gälder: Bevis for 49a 49a. NÅr vi lägger 1 til x, så lägges a til y. 49b. NÅr x=0, er y=b. +1 x : t t+1 a x+b : a t+b a (t+1)+b = a t+a 1 + b Vi ganger a ind i parentes. = a t+a + b a gange 1 er a. FÉrste x kalder vi t. Andet x er 1 stérre. FÉrste y får vi ved at indsätte t for x i a x+b og andet y får vi ved at indsätte t+1 for x i a x+b = a t+b + a Dette er férste y plus a, så 49a er bevist! Bevis for 49b Om y ax b gälder: NÅr x=0 er y = a 0+b = 0+b = b, så 49b er bevist! 50. Bevis for hvad a og b i y = ba x fortäller. SÄtning Bevis for 50a Bevis for 50b For en eksponentiel sammenhäng y b a gälder: 50a. NÅr vi lägger 1 til x, så ganges y med a. 50b. NÅr x=0, er y=b. +1 x : t t+1 b a x : b a t b a t+1 Om x = b a t a 1 IfÉlge potensreglen a r+s = a r a s. = b a t a IfÉlge potensreglen a 1 = a. x FÉrste x kalder vi t. Andet x er 1 stérre. FÉrste y får vi ved at indsätte t for x i b a x og andet y får vi ved at indsätte t+1 for x i b a x Dette er férste y gange a, så 50a er bevist! y b a gälder: NÅr x=0 er y = b a 0 = b 1 = b, så 50b er bevist! 51. Bevis for reglen om potensväkst. SÄtning Bevis Om en potenssammenhäng a y b x gälder for et positivt tal k: 51a. NÅr x bliver ganget med k, så ganges y med k a. k x : t t k b x a : b t a b (t k) a FÉrste x kalder vi t. Andet x er k gange férste. FÉrste y får vi ved at indsätte t for x i b x a og andet y får vi ved at indsätte t k for x i b x a. = b t a k a IfÉlge potensreglen (a b) r = a r b r. Dette er férste y gange k a, så 51a er bevist! GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 23 2014 Karsten Juul

A a fortäller, eksponentiel...13, 15 a fortäller, lineär...3, 4 a ud fra b og et punkt, lineär...5 a ud fra to oplysninger, eksponentiel...17 a ud fra to oplysninger, lineär...6 a ud fra to punkter, lineär...6 a ud fra to punkter, potenssammenhäng...20 B b fortäller, eksponentiel...13, 15 b fortäller, lineär...3, 4 b ud fra a og et punkt, lineär...5 b ud fra to oplysninger, eksponentiel...17 b ud fra to punkter, potenssammenhäng...20 basisår...10 bevis...23 billigst...6 E eksponentiel graf...16 eksponentiel sammenhäng...12 eksponentiel väkst...13, 23 eksponentiel, a fortäller...13, 15 eksponentiel, a ud fra to oplysninger...17 eksponentiel, b fortäller...13, 15 eksponentiel, b ud fra to oplysninger...17 eksponentiel, bestem ligning...14, 17 F fordoblingskonstant...17, 18 fordoblingskonstant, afläs...17 fordoblingskonstant, udregn...18 G gennemsnitlig procent...11 graf...2, 3, 5, 16, 21 graf, afläs...16 graf, eksponentiel...16 graf, lineär sammenhäng...2 graf, potenssammenhäng...21 H halveringskonstant...17, 18 halveringskonstant, afläs...17 halveringskonstant, udregn...18 I indekstal...10 indekstal for pris...11 indekstal, procentändring...11 indekstal, stigning...11 L ligevägt, regler... 7 ligning for eksponentiel sammenhäng... 12, 14, 17 ligning for lineär sammenhäng... 1, 4, 5, 6 ligning for potenssammenhäng... 20 ligning ud fra lineär graf... 5 lineär graf ud fra ligning... 5 lineär sammenhäng, graf... 2 lineär sammenhäng, ligning... 1 lineär väkst... 3, 23 lineär, a fortäller... 3, 4 lineär, a ud fra b og et punkt... 5 lineär, b fortäller... 3, 4 lineär, b ud fra a og et punkt... 5 lineär, bestem ligning... 4, 5, 6 lineär, lése ligning... 7, 8 lése ligning... 7, 8 M mindst af to... 6 O omvendt proportional... 22 P potens, a ud fra to punkter... 20 potens, b ud fra to punkter... 20 potens, bestem ligning... 20 potensregler... 23 potenssammenhäng... 20 potenssammenhäng, graf... 21 potenssammenhäng, ligning... 20 potenssammenhäng, procentändring... 20, 21, 23 potensväkst... 20, 23 procent... 9, 12, 14, 21 procent, gennemsnitlig... 11 procentändring... 9, 11 procentändring, indekstal... 11 procentändring, potenssammenhäng... 20, 21 proportional... 21 R renteformlen... 19 S skäringspunkt... 6 stérst af to... 6 V väkstrate... 12 X x-koordinat, udregn... 3 Y y-koordinat, udregn... 2