Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio, sesitivitetsaalyse, parameterusikkerhed ABSTRACT: Kalibrerig er e af de mest tidskrævede faser i modeludviklige. Samtidig er det et af de mest kritiske tri i udviklige af e pålidelig model. Det er derfor af afgørede betydig, at kalibrerigsprocesse struktureres hesigtsmæssigt, hvis e optimal model skal opås. I dette kapitel skitseres det, hvorda kalibrerigsprocesse ka orgaiseres og kvatificeres. De første tre faser i kalibrerigsprocesse består i valg af kalibrerigsdata, kalibrerigskriterier og kalibrerigsparametre. Deræst agives retigsliier for selve estimatioe af parametre, hvor der er taget udgagspukt i avedelse af mauel kalibrerig, me hvor også automatisk kalibrerig itroduceres. Edelig skitseres det, hvorda usikkerhede på kalibrerigsparametree ka vurderes, og det beskrives, hvorda resultatere af kalibrerigsprocesse ka præseteres. 0. INDLEDNING Avedelse af e umerisk model forudsætter, at parametree, som idgår i de diskretiserede ligiger, f.eks. strømigsligige (.9), kvatificeres. I tilfældet med tredimesioal ikkestatioær grudvadsstrømig, lig. (.9), skal der for hvert umerisk elemet fastsættes værdier for de hydrauliske egeskaber udtrykt ved parametree K x, K y, K z, og S s. Desude skal såvel ydre som idre radbetigelser (se kapitel 6) fastlægges. Atallet af umeriske elemeter vil stort set altid overstige atallet af måliger af de hydrauliske parametre, der er til rådighed i et givet område, og det er derfor ødvedigt at estimere parametrees værdi. Dette ka gøres ud fra () de tilgægelige måliger af de hydrauliske parametre (f.eks. hydraulisk ledigseve) eller (2) observerede værdier af systemets tilstadsvariable (f.eks. hydraulisk trykiveau). De første metode ka geemføres selv om der ikke er tilstrækkeligt med måliger af de hydrauliske egeskaber til at dække hele det umeriske et. Ved iterpolatio ud fra måligere ka der etableres værdier over hele området. Dee metode vil pga. primært to effekter ofte resultere i for store afvigelser mellem observeret og simuleret tilstadsvariable (residualer). For det første varierer geologie sjældet jævt mellem målepuktere, og der er derfor stor sadsylighed for, at heterogeiteter overses med dee metode. For det adet resulterer skalaeffekter i, at det er vaskeligt at importere feltmåliger af hydrauliske egeskaber direkte til de umeriske model. Det bedste resultat opås ormalt, hvis modelles parametre estimeres vha. de ade metode, dvs. ud fra observatioer af eksempelvis hydraulisk trykiveau. I dette tilfælde justeres parameterværdiere med det formål at opå e god overesstemmelse mellem målte og simulerede tilstadsvariable. Dee proces, hvor der estimeres parametre og radbetigelser, som gør strømigsmodelle i stad til at reproducere f.eks. trykiveau- og vadførigsmåliger med e på forhåd give præcisio, beæves modelkalibrerig eller blot kalibrerig. I kalibrerigsprocesse tilpasses parametree med det formål at miimere residualere (afvigelse mellem observeret værdi og modelresultat). Herved opås parameterestimater, som gør modelle i stad til at reproducere systemets opførsel i kalibrerigsperiode (tidsperiode hvorfra data, der avedes til kalibrerig, stammer fra), med forhåbetlig acceptabel præcisio. I de efterfølgede validerigsfase (kapitel ) vurderes det, om modelle også er i stad til at forudsige det fysiske systems opførsel i validerigsperiode. 0-

. Observatios data 2. Kalibrerigskriterier 3. Valg af kalibrerigsparametre (sesitivitetsaalyse) 4. Modelsimulerig 4.4 Nye parameterværdier Ige forbedrig 4.2 Kalibrerigskriterier opfyldt? Nej 4.3 Aalyse af residualer Ja 5. Parameterusikkerhed 6. Præsetatio af parametre og residualer Figur 0. Kalibrerigsprotokol, hvor de ekelte tri i kalibrerigsprocesse er opført. Kalibrerige er et af de sværeste skridt i opstillig af e operatioel grudvadsmodel, og vil ofte være de fase i modeludviklige, som kræver det største tidsforbrug. Kalibrerigsprocesse ka være vaskelig og frustrerede at geemføre, specielt hvis der ikke følges e striget fremgagsmetode. Figur 0. viser, hvorledes kalibrerige af e grudvadsmodel med fordel ka geemføres. De såkaldte kalibrerigsprotokol agiver de skridt, der tages i kalibrerige af modelle. Observatiosdata er e basal forudsætig for at kue geemføre e kalibrerig. Det er vigtigt dels at iddrage de relevate data (typisk pejledata og afstrømigsdata), dels at vurdere usikkerhede på de avedte observatioer. Det æste skridt i kalibrerigsprocesse består i at opstille både kvatitative og kvalitative kriterier for, hvor præcist modelle skal reproducere de observerede værdier. Derefter skal det aalyseres, hvilke modelparametre, der skal udvælges som kalibrerigsparametre. Til dette formål vil både e aalyse af det fysiske system samt e sesitivitetsaalyse af potetielle kalibrerigsparametre med fordel kue udføres. Efter de tre idledede faser er geemført, ka selve estimatioe foretages (4. 4.4 i figur 0.). Dee iterative proces forløber ved successivt at ædre 0-2

værdiere af kalibrerigsparametree. Ædrigere foretages på basis af e aalyse af residualere, ete ud fra e fysisk idsigt i det modellerede system eller ved geemførelse af e detaljeret sesitivitetsaalyse. Estimatiosprocesse ka afsluttes med e aalyse af usikkerhede på de estimerede kalibrerigsparametre. Edelig skal resultatet af kalibrerige rapporteres, hvilket ikluderer præsetatio og vurderig af optimerede parametre og simulerigsresultater. I de følgede afsit vil hvert elemet i kalibrerigsprotokolle blive geemgået. 0.2 OBSERVATIONSDATA I dette afsit beskrives udvælgelse og kvalitetsvurderig af måliger fra det betragtede hydrologiske system, som modelle kalibreres efter. Data, der avedes som iput til modelle (edbør, temperatur, fordampig, etc.), vil ikke blive behadlet her, idet der hevises til kapitel 8. 0.2. Udvælgelse af observatiosdata I arbejdet med strømigsmodeller vil det primært være måliger af hydraulisk trykiveau og vadløbsvadførig, der ka ikluderes i kalibrerigsprocesse. Hvis de umættede zoe idgår i modelle, vil måliger af vadidhold måske være til stede. I sjælde tilfælde vil der også være mulighed for at iddrage måliger af grudvadets alder samt grudvadets strømigsretig og - hastighed. Da de sidstævte data ku udtagelsesvis er til rådighed, vil der her blive fokuseret primært på observatioer af hydraulisk trykiveau og vadførig. I det følgede behadles udvælgelse af kalibrerigsdata, dvs. hvilke observatioer af trykiveau og vadførig, der skal ikluderes i estimatioe. Både de tidslige og rumlige fordelig af de tilgægelige observatiosdata vil blive behadlet. I første omgag er det hesigtsmæssigt at aalysere det foreliggede datasæt for systematiske fejl. Trykiveaumåliger ka være påvirket af effekter, som ikke er ikluderet i de opstillede model. Eksempelvis ka visse observatioer være iflueret af prøvepumpigsforsøg, af ividigsboriger som er edlagt, m.m. Det abefales derfor, at de tilgægelige data evalueres, f.eks. vha. koturplot eller ade visuel tekik til at illustrere det geerelle trykiveaubillede i området. Når der avedes e statioær grudvadsmodel, er udvælgelse af repræsetative data lagt fra triviel. Hvis tidsserier af det hydrauliske trykiveau er til rådighed, skal der foretages e midlig af trykiveauet, der afspejler, hvilke slags statioær model der er opstillet. Statioære tilstade vil ku i meget sjælde tilfælde optræde i virkelige grudvadsmagasier, og det skal derfor vælges, hvilke situatio, der øskes e model for. Hvis der fokuseres på vadudvekslige mellem grudvad og vadløb med det formål at aalysere miimumsvadførige i vadløb, vil det muligvis være mest hesigtsmæssigt at basere kalibrerigsværdie på e aalyse af årlige miimumsværdier af det hydrauliske trykiveau. Hvis der derimod øskes e aalyse af de geemsitlige forhold i reservoiret, vil middelværdie af det målte trykiveau sadsyligvis være e mere repræsetativ kalibrerigsværdi. Hvilke typer data, der skal iddrages, og hvilke slags midlig, der skal foretages, afhæger med adre ord af formålet med modellerigsarbejdet. Vadførigsdata for grudvadszoe er ikke direkte tilgægelig, me der ka opås et idirekte mål for grudvadets udvekslig med vadløb, her beævt grudvadstilstrømig, ved at iddrage værdier af vadløbees sommervadføriger, hvor de midste vadførig i vadløbet optræder. Hvis det ikke har reget i lægere tid forud for målige, ka det for visse grudvadssystemer forsvares at fortolke dee vadførig udelukkede som et resultat af vadstrømig geem de mættede zoe til vadløbet (samt evt. spildevadsbidrag eller adre tillediger). Dvs. bidrag fra overfladeafstrømig, iterflow, drævadsafstrømig samt udstrømig fra søer og vådområder forudsættes at være egligible i forhold til grudvadstilstrømige. Grudvadstilstrømige varierer over året, og det er derfor vigtigt at gøre sig klart, at de målte miimumsvadførig repræseterer de lave ede af grudvadstilstrømiges variatiosområde. Hvis der arbejdes med e statioær model, der skal simulere sommerperiode med lille ettoedbør, vil det være hesigtsmæssigt at avede mediamiimum som er et udtryk for det 0-3

sadsylige miimumsflow. Derimod vil mediamiimum ikke repræsetere de geemsitlige grudvadstilstrømig, og mediamiimumsværdier ka derfor være farlige at avede direkte i e statioær model, hvor reservoirets geemsitlige forhold øskes belyst. Hvis det skal være muligt at estimere rumligt distribuerede parametre, er det vigtigt, at der er observatiosdata til rådighed i hele det modellerede område. Ideelt set er det mest fordelagtigt, hvis kalibrerigsdata fordeler sig jævt idefor området. I realitete vil der altid være flere data til rådighed i ogle områder ed adre. Det ka derfor være hesigtsmæssigt at elimiere ogle observatioer i områder, hvor desitete af data er stor. Herved udgås, at visse områder tillægges meget større vægt ed adre, år kalibrerige geemføres, idet modelløre vil være tilbøjelig til at vurdere kalibrerigsresultatet ud fra ogle umeriske kriterier (se afsit 0.3). Desude vil iformatiosmægde pr. observatio typisk være lille i områder med høj kocetratio af data. Det vil derfor være relativt omkostigsfrit at se bort fra observatioer i pågældede område. Hvad ete der simuleres statioært eller ikke-statioært ka det abefales, at både trykiveau og vadførig iddrages i kalibrerige. Jo flere typer data, der avedes, des større chace er der for at udgå problemer med maglede idetificerbarhed (afsit 0.4.2) og etydighed (afsit 0.5). Desude ka idragelse af flere datatyper resultere i e reduktio af usikkerhede på de estimerede parametre, se f.eks. Christese et al. (998). 0.2.2 Usikkerhed på observatiosdata Det abefales, at kvalitete (usikkerhede) af kalibrerigsdata vurderes, ide parameterestimatioe påbegydes. Formålet med at kvatificere usikkerhede på kalibrerigsdata er for det første at opå et mål for, hvor præcist modelle i bedste fald ka forvetes at reproducere data, dels at opå et objektivt kriterium for, hvorledes data af samme type skal vægtes idbyrdes og edu vigtigere, hvorda data af forskellig type skal vægtes i forhold til hiade. Observatiosdata vil altid være behæftet med usikkerhed. I ærværede sammehæg vil faktorer, som resulterer i ikke systematiske afvigelser mellem måliger og modelresultater blive fortolket som usikkerhed på observatiosdata. Målefejl er e af årsagere til e del af dee usikkerhed, mes uoveresstemmelse mellem atures kotiuerte variable og modelles diskrete variable er e ade årsag til afvigelser mellem observatioer og modelprediktioer. Effektere, som beskrives i dette afsit, vil i middel være ul og itroducerer derfor ikke oge systematisk fejl i modelarbejdet. I det følgede vil usikkerhede på trykiveau- og vadførigsobservatioer blive kvatificeret. Der sigtes på at bestemme e størrelsesorde for usikkerhede, idet e meget øjagtig kvatificerig ku udtagelsesvist ka lade sig gøre. Desude er det ikke ødvedigt at fastlægge usikkerhede med speciel høj præcisio for at kue vurdere kvalitete af observatioere. Observatioer af hydraulisk trykiveau Trykiveauobservatioer ka være behæftet med målefejl. Selve pejlige i borige ka være fejlbehæftet, idet både tryktrasducere og vadspejlsmåleudstyr har e edelig præcisio. Dee fejl vil uder ormale omstædigheder være relativ beskede (få cetimeter). Større fejl ka opstå pga. mauelle aflæsigsfejl eller tastefejl. Desude ka det målte vadiveau i borige afvige fra de sade værdi i magasiet pga. delvis tilstopig af eller omkrig filtersætige. Da barometertrykket sjældet idgår eksplicit i grudvadsmodeller, og atmosfæriske lufttryksædriger derfor ikke beskrives af modelle, ka barometereffekter også itroducere e fejl på det måle trykiveau. Samlet vil målefejlee typisk resultere i e stadardafvigelse på observatiosværdie på 5 30 cm. Kote, hvortil dybde til vadspejlet i borige relateres (målepuktskote), ka være behæftet med betydelig usikkerhed. Hvis terrækote er bestemt ud fra et topografisk kort med skalae :25.000, vil itervallere mellem koturliiere være 2.5 m med e præcisio på 0.5 m. Medtages boriges usikre placerig på kortet, ka de samlede stadardafvigelse på målepuktskote være på 2 m. Hvis terrækote er bestemt vha. GPS vil usikkerhede typisk være af størrelsesorde cecimeter. 0-4

Skalaeffekter medfører e yderligere usikkerhed på data. Skalaeffekter opstår, fordi der avedes umeriske celler af edelig størrelse til beskrivelse af de kotiuerte fysiske virkelighed. Eksempelvis ka der være uoveresstemmelse mellem boriges filtersatte iterval og de vertikale diskretiserig i modelle. Både hvis filteritervallet er midre ed lagtykkelse me specielt, hvis det er større ed lagtykkelse eller de vertikale cellestørrelse, vil der opstå fejl ved sammeligige af observeret og simuleret trykiveau. Hvis borige eksempelvis er filtersat over to sadmagasier adskilt af et lavpermeabelt lerlag, vil det være vaskeligt at relatere det målte trykiveau til resultater fra e model, der opløser de geologiske lagserie. Normalt vil filterets midtpukt blive avedt til at afgøre, hvilke celles trykiveau der skal repræsetere det observerede. Dette valg itroducerer e fejl, som er svær at kvatificere i det geerelle tilfælde. Fejle vil bl.a. afhæge af faktorer som filterlægde, de vertikale diskretiserig og de geologiske opbygig af reservoiret. Observatiosboriges horisotale placerig ka være behæftet med usikkerhed pga. uøjagtig opmålig. Hvis placerige er vurderet ud fra kort, ka dee fejl være betydelig. Desude vil boriges placerig ku sjældet være sammefaldede med midtpuktet af e umerisk celle. Det ka derfor være ødvedigt at iterpolere mellem ærliggede celler, for at opå det bedst mulige estimat af trykiveauet ved borige. Derved itroduceres e iterpolatiosfejl, som vil afhæge af de avedte horisotale diskretiserig og gradiete på trykiveauet i området. Topografies variatio idefor de umeriske celler ka give aledig til afvigelser mellem observeret og simuleret trykiveau. Trykiveauet i specielt de terræære frie magasier vil være følsomt overfor variatioer i topografie. Stadardafvigelse på det hydrauliske trykiveau vurderes geerelt at afhæge af topografies variatio, de avedte diskretiserig og det frie magasis ledigseve, me det er svært at kvatificere fejle i det geerelle tilfælde. Ved opsætig af DKmodel Fy (Herikse et al., 997), hvor der beyttes cellestørrelser på km, blev der bereget e stadardafvigelse på 4.9 m på celleres middelkote. Der var derfor e betydelig usikkerhed på simuleret trykiveau i de øverste lag af modelle. De sidste skalafejl skyldes de geologiske heterogeitet idefor de umeriske celler, som det i e determiistisk grudvadsmodel er umuligt at beskrive eksplicit, da hver celle skal tilskrives ét sæt hydrauliske parametre. Ifølge Gelhar (986) er usikkerhede på trykiveauet, som skyldes ikke modelleret heterogeitet, e fuktio af gradiete på det hydrauliske trykiveau, variase på logtrasformeret hydraulisk ledigseve samt korrelatioslægde for samme størrelse. Det kræver derfor et detaljeret kedskab til de rumlige variabilitet af de hydrauliske ledigseve, som sjældet er tilgægelig i praksis, at kvatificere dee type fejl. Imidlertid vil det udertide være muligt at give et kvalificeret skø på de hydrauliske ledigseves geostatistiske egeskaber ved at iddrage erfarigsværdier fra sammeligelige områder. Alterativt ka fejle vurderes, hvis trykiveaudata fra tætståede boriger er til rådighed. Tidsskalaeffekter ka være e fejlkilde, hvis der avedes e statioær grudvadsmodel. Avedelse af observatiosdata, som repræseterer ikke-statioære tilstade, vil ved brug af e statioær model resultere i afvigelser mellem observeret og simuleret trykiveau, som ikke ka elimieres. Hvis tidsserier af trykiveaumåliger er til rådighed, ka data aalyseres, som beskrevet i afsit 0.2., og e værdi, der repræseterer de statioære tilstad, som øskes beskrevet, ka bereges. Herved ka de ikke-statioære fejl miimeres til et iveau, som er bestemt af tidsseries lægde og de avedte aalysemetode. I mage tilfælde vil der imidlertid ku være ekelte eller få måliger til rådighed fra de fleste af de istallerede boriger, og i dette tilfælde vil det være svært at filtrere de ikke-statioære effekt fra. Da måligere ka ideholde værdifuld iformatio om trykiveaubilledet i området, vil de ofte blive avedt i kalibrerige alligevel. Hvis trykiveauere i de tilgægelige boriger er fremkommet ved målig på tilfældige tidspukter af året, vil det imidlertid være rimeligt at atage, at måligere i geemsit repræseterer et middeltrykiveau. Pga. sæsovariatioere vil de pågældede data være behæftet med e betydelig usikkerhed, som ka kvatificeres vha. tidsserier af trykiveaumåliger fra det aktuelle område. Herved ka et estimat for årstidsvariatioere og dermed usikkerhede på datapuktere skøes. For Esbjergmodelle, se appediks A, blev trykiveaudata fra Jupiterdatabase, som ideholder mage boriger med ku é eller få måliger, avedt. Ud fra tidsserier fra området blev trykiveauet vurderet at variere med ca. m, svarede til e stadardafvigelse på omkrig e halv meter. 0-5

I edeståede tabel ses e oversigt over de ovefor beskreve usikkerheder, hvor stadardafgivelse er avedt til kvatificerige. Yderligere er det forsøgt at berege de ekelte usikkerhedsbidrag for hhv. Esbjergmodelle (Harrar & Herikse, 996, samt Appediks A) og DK-model Fy (Herikse et al., 997), i begge tilfælde for beregigslag 3, som er domieret af sadformatioer. Variase på log K er sat til hhv. og 2 for Esbjerg og Fy, og korrelatioslægde,, er for begge områder sat til 500 m. Hvis fejlkildere atages at være uafhægige, ka de ekelte bidrags varias (kvadratet på de tabulerede stadardafvigelser) summeres, og de samlede stadardafvigelse på observatiosdata ka bereges som kvadratrode af dee sum (vist i koloe lægst til højre i tabel 0.). Tabel 0. Agivelse af stadardafvigelse, s obs (i m), på observatioer af hydraulisk trykiveau. x beteger de horisotale diskretiserig, og J er de hydrauliske gradiet. Pejlefejl Skalafejl Ikkestatioaritefekter Adre ef- Samlet Målefejl Kote Iterpol. Heteroge. 3) usikkerhed Geerelt 0.05 0.3 0 2 0.5 x J s lk J ) h t /2 2) 0 s 2 Esbjerg 0..5 0.5.0 0.5 0.25 2.0 Fy 0..5.5 2. 0.5 0.25 3.0 ) s lk er stadardafvigelse på log K. er korrelatioslægde for log K (hvis korrelatioslægde er større ed de avedte diskretiserig, x, er = x). 2) h t agiver amplitude på sæsovariatioere i hydraulisk trykiveau. 3) Ikludere effekter som vertikal skalafejl og variatioer i topografi. Christese (997) giver et eksempel på kvatificerig af fejle på hydraulisk trykiveau for et dask (østjysk) grudvadsmagasi. De avedte data opdeles i fire grupper afhægig af observatiosfejl og geologisk heterogeitet på lokalitete, hvor borige er istalleret. Desude ka ma i samme publikatio fide et eksempel på de hydrauliske ledigseves geostatistiske parametre på e skala af størrelsesorde 30 km. I Christese et al. (998) ka fejle på trykiveauet for et magasi på Sjællad fides. Observatioer af vadløbsvadførig Tidsserier af vadførigsdata er behæftet med usikkerhed hidrørede fra kilder såsom registrerig af vadstad, vigemåliger af strømigshastighed og efterfølgede trasformatio til vadførig, fastlæggelse af Q-H relatioe (sammehæge mellem vadførige Q og vadstade H) for det grødefri vadløb samt bestemmelse af variatioer i vadførigseve pga. grødevækst/skrærig og sedimettrasport (ædriger i Q-H relatioe med tide). Vadførigsmåliger, der er udført vha. måliger af strømigshastigheder i veldefierede tværsit, er behæftet med e relativ lille målefejl (5%). Større fejl vil der være på vadførigdata, der er bestemt ved målig af vadstad i vadløbet og efterfølgede koverteret til vadførig vha. Q-H-kurver. Usikkerhede på Q-H relatioe vil blive overført til usikkerhed på bereget vadførigsværdi, typisk af størrelsesorde 0% (Blicher, 99). Usikkerhede på mediamiimum ved faste målestatioer vil afhæge af lægde af tidsserie, der er til rådighed til beregige af værdie, samt af spredige på data. Baseret på aalyse af årsmiima fra 0 daske statioer (tidsserier af 65 års varighed) fider Bjarov (987) frem til følgede sammehæg mellem middelmiimum, q, og stadardafvigelse på årsmiimum, s q, s q = 0. 495 0. 088q (0.) hvor både s q og q er i ehede l/s/km 2 (specifik afstrømig). Hvis årsmiimum atages at være ormalfordelt vil stadardafvigelse på mediamiumum, s q, approksimativt kue udtrykkes som 0-6

s q = sq 0. 495 0. 088q (0.2) hvor er atallet af årsmiima, hvorpå aalyse bygges. Hvis abefaligere fra Jese (993) følges, er = 20. Ved avedelse af oveståede ligig (0.2) fides de relative usikkerhed på mediamiimum ( s q / q) til hhv. 3% og 3% for mediamiimumsværdier på og 0 l/s/km 2, hvilket giver e ide om størrelsesordee af usikkerhede på mediamiimum ved referecestatioer. Sykromåliger, der repræseterer mediamiimum, vil være behæftet med usikkerhed pga. korrektio ud fra e referecestatio, dvs. e fast målestatio med e tidsserie på 20 år eller mere. Aalyse atager, at vadførige, hvor sykromålige er foretaget, varierer på samme måde som vadførige ved referecestatioe. Pålidelighede af dee fremgagsmåde vil aturligvis afhæge af, hvor godt dee atagelse er opfyldt, og usikkerhede på mediamiimumsværdier baseret på sykromåliger vil derfor være betydelig større ed usikkerhede på mediamiimum ved referecestatioer. Skalaeffekter har også idflydelse på vadførigsdata. Detaljerigsgrade, hvormed et vadløb ka repræseteres i e umerisk model, vil afhæge af de avedte diskretiserig. Eksempelvis vil det ikke være muligt at repræsetere vadløb med et oplad, der har midre udstrækig ed cellestørrelse i det umeriske et (Refsgaard, 997). Desude ka de geometriske repræsetatio af vadløbet afhæge af de umeriske cellestørrelse. De hydrauliske parametre, der beskriver vadudvekslige mellem vadløb og hhv. grudvadszoe, overfladekompoete og umættet zoe (eksempelvis vadsløbslækagekoefficiet, overfladeruhed, ifiltratioskapacitet) vil være påvirket af skalaeffekter. Skalaeffekte vurderes at resultere i e usikkerhed på vadførigsdata, der afhæger af forholdet mellem arealet af de umeriske celler og opladsarealet til vadførigsstatioe. Hvis dette forhold går mod, vil usikkerhede gå mod. Christese et al. (998) giver et eksempel på vurderig af usikkerhede på vadførigsdata for et dask oplad. Avedelse af usikkerhedsestimater Summe af oveståede fejlkilder udgør teoretisk set et mål for, hvor stor e afvigelse der ka forvetes mellem observeret og simuleret hydraulisk trykiveau (eller grudvadstilstrømig). Det kræver imidlertid, at procesbeskrivelser, de umeriske formulerig, radbetigelser, m.m. er fejlfrie. Desude kræver det, at de hydrauliske parametre kedes i hvert ekel celle i det umeriske et, hvilket aldrig er tilfældet for grudvadsmagasier. Forude observatiosfejle itroduceres der dermed e modelfejl, som skyldes uøjagtigheder i det avedte ligigssystem, diskretiserigsfejl, de avedte radbetigelser og de avedte hydrauliske parametre. Det er dee modelfejl, der ka miimeres ved passede valg af bl.a. modelparametre. Observatiosfejle agiver e edre græse for, hvor lille afvigelse der i geemsit ka opås mellem observeret og simuleret tilstadsvariabel (her ormalt trykiveau). De såkaldte kalibrerigsmål (på egelsk: target), som er et udtryk for, hvor præcist det ka forvetes, at modelresultatere beskriver observatiosværdiere, er derfor ofte givet ved følgede relatio (eksemplificeret ved trykiveauet): h obs as obs, hvor h obs er det observerede trykiveau, a er e kostat, a [, 2,...], og s obs er stadardafvigelse på trykiveauobservatioe. Hvis simulerigsværdie falder idefor kalibrerigsmålet, må det betragtes som værede tilfredsstillede. Når der iddrages mere ed é observatiostype, ka det være svært at vurdere, hvorledes afvigelser mellem observeret og simuleret værdi for de forskellige datatyper skal vægtes idbyrdes. Avedelse af usikkerhedsestimater på observatiosdata giver imidlertid e mulighed for at gøre dee vægtig midre subjektiv. Hvis residualere ormeres med de estimerede stadardafvigelse på observatiosværdie, vil de vægtede residualer udtrykke, hvor præcist modelle simulerer måligere i forhold til observatiosusikkerhede. Hvis modelle er ude modelfejl vil de vægtede residualer i geemsit være lig.0. Da de vægtede residualer er dimesiosløse og af samme stør 0-7

relsesorde uaset datatype, vil forskellige observatiostyper umiddelbart kue sammeliges, hvis dee fremgagsmåde følges. 0.3 KALIBRERINGSKRITERIER 0.3. Typer af kriterier Kvatitative kalibrerigskriterier baseres hyppigt på et mål for de geemsitlige afvigelse mellem observeret og simuleret værdi, også beævt e orm. Nedefor er agivet ogle ormer, som vægter de ekelte residualer på forskellig måde. ME (mea error eller middelfejl) udtrykker de geemsitlige afvigelse mellem observeret obs og simuleret sim tilstadsvariabel ME = ( - ) (0.3) i= obs,i sim, i hvor er atallet af observatioer. ME ka give et idtryk af, om der itroduceres oge overordet fejl i modelresultatere, dvs. om f.eks. trykiveauet simuleres geerelt for lavt eller højt. Hvis ME 0, vil der globalt set ikke optræde systematiske fejl i modelle. MAE (mea absolute error eller geemsitlig absolut fejl) bereger et geemsit af de absolutte residualer MAE = ( obs,i - sim, i ) (0.4) i= I tilfælde hvor observatioere kosekvet simuleres for højt i et område og for lavt i et adet område, ka ME godt være tæt på ul og dermed idikere et godt kalibrerigsresultat. MAE vil afsløre fejl af dee type og ka derfor være et vigtigt supplemet til ME i vurderige af de geemsitlige fejl. RMS (root mea squared error eller middelværdie af kvadratafvigelsessumme) er det kriterium, der oftest avedes til at måle de opåede overesstemmelse mellem data og model RMS = i= - 2 obs,i sim, i (0.5) Dee orm er et mål for spredige på residualere (lig stadardafvigelse, hvis ME = 0), og ka sammeliges med de estimerede stadardafvigelse på observatiosdata. SE (stadard error, goodess of fit eller stadardafvigelse) er et direkte mål for modelles eve til at reproducere de observerede data i= - 2 SE = wi obs,i sim, i (0.6) - P hvor w i [0, ] er vægtige af observatiosdata r. i, og P er atallet af kalibrerigsparametre. I e regressiosmæssig sammehæg agiver P atallet af frihedsgrader. Hvis vægtee w i specificeres til de reciprokke værdi af variase på observatioere (w i = /s obs,i 2 ) fås 0-8

SE = - P i= obs,i - s obs, i sim,i 2 (0.7) og orme vil dermed tage hesy til, at der ka være forskellig usikkerhed kyttet til observatiosværdiere. Når samtlige modelfejl er elimieret og ku observatiosfejl resterer, vil SE. SE giver dermed et direkte mål for, hvor godt de observerede værdier simuleres i forhold til usikkerhede på observatioere. De oveståede ormer er primært avedelige til at karakterisere de rumlige fordelig af afvigelse mellem observeret og simuleret trykiveau (idex i hefører til borige). Hvis der i stedet fokuseres på ikke-statioære tilstade, hvor det er iteressat at sammelige tidsserier af observeret og simuleret trykiveau, er de aførte ormer ikke hesigtsmæssige. Følgede aalyse ka avedes til at vurdere de dyamiske fejl: Hvis agiver atallet af boriger og m er atallet af observatioer i tidsserie, vil de samlede fejl kue kvatificeres som MSE = i= m m j j obs, i sim, i j 2 (0.8) hvor idex i og j agiver hhv. stedet og tide. MSE er mea squared error eller middelværdie af de kvadrerede afvigelser. Oveståede sum ka skrives som (pers. kom. Herik Madse, DHI, 200) MSE = m 2 j j obs, i sim, i obs, i obs, i sim i sim, i, i i= m j 2 (0.9) hvor agiver de tidsmidlede variabel. De første sum kvatificerer forskelle mellem tidsmidlet observeret og simuleret trykiveau for de avedte boriger, og svarer dermed til RMS, lig. (0.5). De ade sum kvatificerer forskelle mellem hhv. det observerede og simulerede trykiveaus variatio omkrig deres respektive tidslige middelværdier. De sidste sum giver dermed et mål for, hvor godt dyamikke i det pågældede system simuleres. For e ekelt borig ka de tidslige fejl derfor kvatificeres vha. følgede udtryk RMST = m m j j obs sim obs sim j 2 (0.0) De sidste orm, der gegives her, er R 2 (der også beæves model efficiecy eller explaied variace ) R 2 = obs - 2 obs ( obs obs ( ) 2 obs sim ) 2 (0.) hvor obs er middelværdie af de observerede data. R 2 udtrykker, hvor stor e del af de totale variatio i observatiosdata, som bliver forklaret af modelle. R 2 er med adre ord et mål for tilpasigsgrade af de optimerede model. R 2 ka maksimalt blive.0, hvilket er udtryk for e perfekt overesstemmelse mellem observeret og simuleret tilstadsvariabel, og er ubegræset edadtil. 0-9

Hvis R 2 bliver midre ed 0.0, giver middelværdie af de observerede data e bedre beskrivelse af data ed modelle gør, og der er i dette tilfælde grud til at reformulere modelle. R 2 avedes ofte til kvatificerig af overesstemmelse mellem tidsserier af observeret og simuleret tilstadsvariabel, typisk vadløbsafstrømig. 0.3.2 Valg af øjagtighedskriterier Det er hesigtsmæssigt at opstille kriterier for, hvor præcist modelle skal kue reproducere kalibrerigsdata, før estimatiosprocesse påbegydes. Herved sikres det, at modelle opår e kvalitet, som er i overesstemmelse med formålet med modelarbejdet. Samtidig sikrer klare kalibrerigskriterier, at modelløre ved, hvad målet med estimatiosarbejdet er, og hvorår modelle ka betragtes som være færdigkalibreret. Både kvatitative og kvalitative kriterier ka med fordel specificeres. De kvatitative kriterier ka opdeles i e vurderig af de geemsitlige fejl og spredige på residualere. De geemsitlige fejl skal geerelt være tæt på ul og ka vurderes vha. ME. Det er sværere at opå præcise resultater, hvis trykiveauet ædrer sig meget ide for korte afstade (dvs. i områder med store gradieter). Samtidig vil e model med et givet fejliveau simulere strømigsmøsteret bedre i områder, hvor der optræder store forskelle i trykiveau ed i områder med små forskelle i trykiveau. Det er derfor rimeligt at vurdere de geemsitlige fejl i forhold til det totale trykiveaufald i modelområdet. Spredige på residualere ka med fordel formuleres ud fra usikkerhede på observatiosdata, se afsit 0.2.2. Stadardafvigelse på det hydrauliske trykiveau estimeret i tabel 0. ikluderer effekte af både uøjagtige målemetoder og hydrogeologiske karakteristika såsom de hydrauliske gradiet og de geologiske heterogeitet. Det er derfor relevat at relatere forskelle mellem observeret og simuleret trykiveau til de estimerede stadardafvigelse på observatioere. Dette gøres direkte ved brug af lig. (0.7) og ka alterativt gøres ved at skalere RMS med s obs, hvis stadardafvigelse er es for de idgåede observatioer. Hvis der ikke er foretaget e aalyse af observatioeres usikkerhed, ka spredige på residualere relateres til det totale trykiveaufald i området. Hvis der simuleres ikke-statioært vil der ud over kriterier for fordelige af de rumlige fejl være behov for vurderig af, hvor godt dyamikke reproduceres. Til dette formål ka størrelse RMST, lig. (0.0), beyttes, og det vil være rimeligt at relatere de beregede RMST-værdi til amplitude på de sæsomæssige variatioer i observeret trykiveau. I tabel 0.2 er der agivet alterative kriterier for overesstemmelse mellem observeret og simuleret hydraulisk trykiveau. Forude de kvatitative krav opstillet ovefor, ka der agives kvalitative kriterier. Følgede tre kriterier vil være foruftige: () De estimerede parametre skal have realistiske værdier. I det efterfølgede afsit (afsit 0.4.) vil det blive skitseret, hvorledes fysisk plausible itervaller for kalibrerigsparametree ka opstilles. (2) Residualere skal være fordelt foruftigt både i tid og sted. Selv om kriterium r. i tabel 0.2 er opfyldt for området uder ét, ka der sagtes være områder eller tidsrum, hvor modelle kosekvet simulerer for store eller små værdier. De type systematisk fejlmodellerig skal så vidt muligt elimieres fra modelle. (3) Områdets hydrogeologiske karakteristika skal reproduceres af modelle. Det ka eksempelvis kræves, at modelle er i stad til at simulere strømigsretig, retige af gradiete over dybde eller beliggehede af grudvadsskel korrekt. 0-0

Tabel 0.2 Kriterier for overesstemmelse mellem observeret og simuleret hydraulisk trykiveau. i (i =,2,3,4) er øjagtighedskriterier. Nr. Kriterium Kommetarer Vurderig af middelfejl. h max er forskelle mellem maksimum og miimum hydraulisk trykiveau i området. Dette kriterium udtrykker, at de ME h globale uder- eller overprediktio i forhold til de globale trykiveauforskel i modelområdet skal være midre ed. max Vurderig af spredige på residualere i forhold til stadardafvigelse på RMS 2 observatiosværdiere. Avedes, hvis usikkerhede på observatiosdata s 2 obs er kvatificeret (her agivet ved stadardafvigelse s obs ), hvis der ku idgår é datatype i kriteriet og alle data er behæftet med samme usikkerhed. Vurderig af spredige på residualere i forhold til stadardafvigelse på 3 SE 2 observatiosværdiere. Hvis der er variabel usikkerhed på de ikluderede observatiosdata ka dette kriterium avedes. Vurderig af spredige på residualere i forhold til trykiveauvariatioe RMS 4 i området. Hvis der ikke er foretaget e kvatificerig af observatiosusikkerhede, vil dette kriterium kue avedes til at vurdere, hvor godt ob- h 3 max servatiosdata i geemsit simuleres. RMST Vurderig af tidslig fejl. Dette dyamiske kriterium beyttes til vurderig 5 h 4 af, hvor godt de ikke-statioære variatioer simuleres. h t er amplitude på t de sæsomæssige variatioer i observeret trykiveau. Afhægigt af om usikkerhede på observatiosdata er bestemt, ka både kriterium r. samt et eller flere af kriteriere 2 5 i tabel 0.2 specificeres. Hvor strigete krav, der skal opstilles til e give model, afhæger af formålet med udersøgelse. I tabel 0.3 er der givet et eksempel på, hvorda øjagtighedskriteriere bliver skærpet i takt med at kravee til modelles pålidelighed øges. Tabel 0.3 Eksempel på øjagtighedskriterier for forskellige modeltyper (jvf. afsit 2.4). Procetsatse i parates agivet for kriterium 2 svarer til kofidesitervallet for det pågældede øjagtighedskriterium. Overslagsberegig Akvifer simulerig Koservativ High fidelity 0.5 0. 0.05 2 2.6 (99%) 2 (95%).65 (90%) 3 0.2 0. 0.05 Hvis det atages, at observatiosfejle er ormalfordelt, vil eksempelvis kriteriet 2 = 2 betyde, at simulerigsværdiere i geemsit skal falde idefor observatiosværdieres 95%-kofidesiterval. 0.4 KALIBRERINGSPARAMETRE 0.4. A-priori vide om parametre Alle typer af parametre, som idgår i e grudvadsmodel, ka pricipielt set ikluderes i kalibrerigsprocesse. Det er imidlertid primært de hydrauliske parametre, oftest de hydrauliske ledigseve, som tilpasses, me også lækagekoefficieter, magasikoefficieter m.m. kalibreres. Adre parametertyper som radbetigelser (flux geem rad, edsivig) og empiriske parametre 0-

(bl.a. tidskostater) ka estimeres. Der er dermed meget brede græser for atallet af kalibrerede parametre, ligesom der ka idgå mage typer af parametre i estimatioe. Det forudsættes her, at der uder opstillige af de hydrogeologiske tolkigsmodel er foretaget e parametriserig, hvor atallet af frie parametre er reduceret betydeligt i forhold til atallet af umeriske celler. F.eks. vil reservoiret ormalt blive iddelt i e række geologiske eheder (f.eks. moræeler, smeltevadssad, osv.), idefor hvilke de hydrauliske egeskabers rumlige struktur atages kedt (f.eks. homoge fordelig, lieær fuktio af stedet eller geostatistisk model). Parametriserige er ødvedig for at kue bestemme parameterværdiere, me samtidig medfører dee itegrerede beskrivelse af store områder, at der ofte vil være uoveresstemmelse mellem parametere målt i det fysiske system og de effektive modelparameter, som er optimal i modelle. Samtidig ka der være stor forskel på parameterværdier målt eksempelvis på borekerer, ved slugtest, ved korttids- og lagtidsprøvepumpig. De fire måliger repræseterer e skala af størrelsesorde 0. m til 000 m, og ka pga. de geologiske heterogeitet afvige markat fra hiade (se f.eks. Schulze-Makuch & Cherkauer, 998). Ma ka derfor sætte spørgsmålsteg ved, om iddragelse af f.eks. målt hydraulisk ledigseve er fordelagtig ved bestemmelse af modelparametree. Skalaeffektere ødvediggør, at der i givet fald skal beyttes iformatio fra e skala, der svarer til de skala, der modelleres på (cellestørrelse). Parametre målt på ade skala skal avedes med varsomhed, og hvis de avedes, tillægges e stor usikkerhed. Passede udvalgte feltmåliger ka avedes til primært tre formål: E vurderig af, hvorda potetielle kalibrerigsparametre defieres; e fastsættelse af realistiske græser for de optimerede parametre; og som iitielle parameterværdier i estimatiosprocesse. Parametriserige udført uder opstillige af de hydrogeologiske tolkigsmodel vil kue avedes til at idetificere kalibrerigsparametre. De rumlige fordelig af defierede geologiske/hydrogeologiske eheder ka umiddelbart avedes til defiitio af kalibrerigsparametre. Imidlertid ka det abefales, at kalibrerigsprocesse påbegydes med e så simpel model som muligt (Hill, 998). Hvis der derfor foreligger data, eksempelvis prøvepumpigsresultater, der idikerer, at to eller flere geologiske eheder har relativt es hydraulisk ledigseve, vil det være hesigtsmæssigt i første omgag at tillægge disse eheder ét sæt hydrauliske parametre. Seere i kalibrerigsprocesses forløb ka modelle forfies, hvis det er påkrævet for at opå e tilstrækkelig god overesstemmelse mellem data og model. De tilgægelige iformatio om reservoirets hydrauliske egeskaber ka beyttes til at idsævre græsere for modelparametree. Selv om de kalibrerede parametre ikke forvetes at svare fuldstædig til de fysiske værdier, vil feltmåliger ormalt kue avedes til at defiere et iterval, som det vurderes rimeligt at modelparametere holder sig idefor. Desude vil feltdata give e ide om de idbydes størrelsesfordelig mellem geologiske eheders parameterværdier. F.eks. vil de hydrauliske ledigseve for moræeler forvetes at være lavere ed for smeltevadssad. Parametermåliger vil også kue fugere som iitielle estimater i estimatiosprocesse. For at opå et tilfredsstillede kalibrerigsresultat med e miimeret arbejdsidsats, er det vigtigt at have præcise iitielle parameterestimater. Passede brug af parametermåliger vil her være e vigtig iformatioskilde. 0.4.2 Valg af kalibrerigsparametre Følgede forhold skal tages i betragtig, år kalibrerigsparametree udvælges: () De skal være idetificerbare, (2) de skal være relativt dårligt kedt, (3) de simulerede tilstadsvariable skal være tilstrækkeligt sesitive overfor ædriger i parametere, (4) atallet af parametre skal miimeres. Idetificerbarhed vedrører de direkte simulerig af tilstadsvariable. At e parameter ikke er idetificerbar idebærer, at der ikke fides e etydig løsig til det opstillede problem mht. parametree. Ikke idetificerbarhed optræder med adre ord, hvis forskellige parametersæt ka føre til samme løsig mht. tilstadsvariablee. 0-2

Et meget simpelt tilfælde på ikke idetificerbarhed optræder i forbidelse med e statioær løsig. Magasikoefficiete vil her være ikke idetificerbar, da parametere ikke idgår i det opstillede ligigssystem. De mere komplekse tilfælde af ikke idetificerbarhed optræder, hvor forskellige parameterkombiatioer ka resultere i samme trykfordelig. I figur 0.2 ses et eksempel på dee type ikke-idetificerbarhed. I e edimesioal situatio med statioær strømig i et homoget medium med fastholdt tryk ved x = 0 og kostat flux Q ved x = er de hydrauliske ledigseve K og fluxe Q ikke idetificerbare samtidigt, da trykiveauet ku er følsomt overfor forholdet mellem K og Q. Koturliiere for objektiv fuktioe (e orm af type (0.5)) ses på figur 0.2b. Uedeligt mage kombiatioer af K og Q ka resultere i samme trykiveafordelig og dermed miimumsværdi af objektiv fuktioe, og parametree er derfor ikke idetificerbare simultat. Figur 0.2a Plot af trykiveau mod x i et edimesioalt eksempel (fra Carrera & Neuma, 986). Figur 0.2b Koturliier af objektiv fuktioe (svarede til e orm af type (0.5)). Fra Carrera & Neuma (986). Det samme ka være tilfældet med hydraulisk ledigseve og grudvadsdaelse (perkolatio) for et homoget reservoir ude itere radbetigelser. E forøgelse af grudvadsdaelse vil i dette tilfælde have samme effekt på det hydrauliske trykiveau som e reduktio af de hydrauliske ledigseve har. De to parametre er derfor ikke idetificerbare samtidigt, og det vil i et sådat tilfælde ku være muligt at estimere e af parametree ud fra trykiveauobservatioer. I e give situatio vil e aalytisk betragtig af det foreliggede problem ofte kue resultere i e idetifikatio af sadsylige problemer med maglede idetificerbarhed (se f.eks. Carrera & Neuma, 986, for e detaljeret geemgag af emet). Kalibrerigsparametree vælges bedst bladt de modelparametre, der dels har størst idflydelse på strømigssimulerigere og dels er dårligst kedt. Nogle modelparametre og variable vil være relativt velkedte. F.eks. vil edbøre (uder daske forhold) ofte være kedt ud fra måliger, ligesom visse radbetigelser (f.eks. trykiveauet i veldefierede vadområder) ka være velkedte. Det vil derfor være mere efficiet at iddrage adre parametre i estimatiosprocesse. Iformatiosiveauet ka for adre parametres vedkommede være meget sparsomt, me af fysiske årsager ka parametere være budet til et sævert iterval. F.eks. vil porøsitete ofte kue skøes idefor e marge på e faktor to alee ud fra e geologisk kvalitativ beskrivelse af bjergarte. I modsætig ka e parameter som de hydrauliske ledigseve variere idefor flere dekader, og det er derfor vigtigere at få fastlagt værdie af e såda parameter. De hydrauliske ledigseve har desude afgørede idflydelse på både beregige af trykiveau, strømigsveje og forureigsudbredelse og er derfor de parameter, som hyppigst avedes som kalibrerigsparameter. Til de edelige udvælgelse af kalibrerigsparametre er e simple sesitivitetsaalyse et stærkt redskab. Ved dee metode eksekveres modelle e eller to gage for hver parameter. Hver gag modelle køres, ædres værdie af e parameter lidt (5 25 %) fra des iitielle værdi, og de resulterede påvirkig af de simulerede tilstadsvariable registreres (ofte udtrykt ved RMS- 0-3

værdie). På baggrud af sesitivitetsaalyse vil det være muligt at idetificere de modelparametre, som har størst idflydelse på afvigelse mellem observeret og simuleret tilstadsvariabel. Kalibrerigsparametree ka dermed udvælges på et objektivt kriterium, og er ikke alee afhægigt af modelløres erfarig og subjektive vurderiger. 0.5 ESTIMATIONSTEKNIK Estimatioe af kalibrerigsparametree ka foretages ete ved mauel kalibrerig eller automatisk kalibrerig (ivers modellerig). Mauel kalibrerig baserer sig på modelløres eve til successivt at ædre parameterværdiere, så modelle giver e forbedret beskrivelse af observatiosdata. De automatiske kalibrerig bygger på e matematisk beskrivelse af estimatiosprocesse, hvorved optimale parameterværdier ka estimeres ude modelløres itervetio. 0.5. Etydighed Begge tekikker ka have problemer med at estimere optimale parametre, hvilket i mage tilfælde skyldes problemer med etydighed. Etydighed agår de iverse relatio, dvs. hvis forskellige parametersæt ka fremkomme fra samme observatiosdatasæt, siges problemet at være ikke etydigt. Flere lokale miima i fuktioe, der skal miimeres (f.eks. RMS-værdie, lig. 0.5), ka være årsag til ikke etydighed, se figur 0.3, ligesom maglede idetificerbarhed (se afsit 0.4.2) ka være det. Hvis atallet af parametre overstiger atallet af observatioer, vil problemet ligeledes være ikke-etydigt. Figur 0.3 Koturliier for objektiv fuktioe (e orm af type (0.5)) for et é-dimesioalt strømigsproblem med to hydrauliske ledigsever, K og K 2 (fra Carrera & Neuma,986). Idefor grudvadsmodellerig er det imidlertid ikke muligt ad aalytisk vej at bestemme, om et problem er etydigt. Derfor aalyseres det, om problemet er idetificerbart, og hvis det er tilfældet, er der god chace for, at problemet også er etydigt. Idetificerbarhed er imidlertid ikke e tilstrækkelig betigelse for etydighed. Problemet med maglede etydighed er altså ikke relateret til, hvilke estimatiostekik der avedes, me udelukkede et spørgsmål om, hvorda problemet 0-4

er formuleret. Geerelt sikres etydighed bedst, hvis flere af følgede faktorer er opfyldt: () Flere forskellige observatiostyper iddrages i kalibrerige, (2) Observatiosdata er jævt fordelt i sted og tid, (3) Usikkerhede på observatiosdata er miimal, (4) Atallet af kalibrerigsparametre er lavt, (5) De valgte kombiatio af kalibrerigsparametre er idetificerbare, (6) Modelle udviser relativ stor sesitivitet (og relativt es sesitivitet) overfor de udvalgte kalibrerigsparametre, (7) Modelle kalibreres mod flere forskellige hydrologiske påvirkiger (f.eks. våd og tør periode). 0.5.2 Mauel kalibrerig ( trial-ad-error estimatio) Mauel kalibrerig kaldes også for trial-ad-error estimatio, hvilket idikerer, at retige og størrelse af ædrige på parametrees værdi er baseret på re tilfældighed. Dette er lagt fra tilfældet, idet de mauelle kalibrerig ka gøres mere eller midre systematisk, alt efter hvilke iformatioer, der ligger til grud for ædrige af kalibrerigsparametree. De første iformatioskilde, som er umiddelbart tilgægelig, år modelle er eksekveret, og simulerigsresultatere er sammeliget med observatiosværdier, er de rumlige og tidslige fordelig af residualere. Ud fra dee fordelig vil e modellør med god idsigt i det modellerede system og e god portio erfarig kue vurdere, i hvilke retig kalibrerigsparametree skal flyttes for at opå e bedre overesstemmelse mellem model og data. Metode er koceptuelt ekel, me hvis der arbejdes med e kompleks grudvadsmodel, ka det være edog meget svært at geemskue dyamikke i systemet. I sådae tilfælde er der relativt store chacer for, at optimerige for e uerfare modellør reduceres til ret trial-ad-error, hvilket ka resultere i mage ikke succesfulde opdateriger af kalibrerigsparametree og rige chacer for at opå e velkalibreret model. Estimatiosprocesse ka gøres betydeligt mere geemskuelig, hvis der geemføres e detaljeret sesitivitetsaalyse, hvor modelle eksekveres 4 til 0 gage for hver kalibrerigsparameter. I hver ekelt kørsel ædres é parameters værdi med e specificeret faktor (f.eks. 0.5, 0.7, 0.9,.,.3,.5), og f.eks. RMS-værdie bereges for hver parameterværdi. Efterfølgede er det muligt at plotte de beregede RMS-værdier mod de testede parameterværdier og herved opå et kriterium for, i hvilke retig og hvor meget parameterværdie skal ædres, for at opå e bedre simulerig af observatioere. I eksemplet illustreret i figur 0.4 ses, at der opås e bedre beskrivelse af observatiosdata, hvis de aktuelle kalibrerigsparameter forøges med ca. 30%..8 Normeret RMS-værdi.6.4.2 0.8 0.6-60 -40-20 0 20 40 60 Parameterædrig (i %) Figur 0.4 Resultat af detaljeret sesitivitetsaalyse udført på e parameter vha. 6 modelsimuleriger. RMS ormeret med RMS-værdie opået for det foregåede iteratiostri er avedt som kriterium for parameterædrige. 0-5

Ulempe ved de detaljerede sesitivitetsaalyse er, at der skal foretages mage modelsimuleriger for at kue opdatere parametree. Hver gag e parameter skal ædres, kræves der 4 0 modelkørsler. Med eksempelvis 0 parametre og 0 kalibrerigsiteratioer skal der foretages et sted mellem 400 og 000 modelsimuleriger. Selv om de detaljerede sesitivitetsaalyse ka automatiseres mere eller midre (f.eks. i Groudwater Vistas, ESI, 999), vil dee procedure ikke være attraktiv, hvis der eksempelvis arbejdes med e ikke-statioær model, som det tager af størrelsesorde 0 timer at eksekvere. I tilfælde hvor eksekverige af det ikke-statioære problem kræver lag beregigstid, ka det abefales, at der først opstilles e statioær model for det aktuelle system. Det kræver aturligvis, at problemet ka formuleres statioært, hvilket ikke altid er muligt eller hesigtsmæssigt (f.eks. prøvepumpigsforsøg). E statioær model vil typisk have eksekverigstid af størrelsesorde 0 miutter, og der vil derfor kue geemføres mage modelsimuleriger på relativt kort tid. I første tri kalibreres de statioære model, evetuelt ved avedelse af detaljeret sesitivitetsaalyse. I æste tri kalibreres de ikke-statioære model, idet ku parametre relateret til systemets magasierigseffekter (f.eks. specifik ydelse) justeres. Ved avedelse af dee procedure vil det ofte være muligt at opå et godt kalibrerigsresultat idefor et relativt begræset tidsrum. Uaset om estimatioe baseres på e direkte aalyse af residualere eller e detaljeret sesitivitetsaalyse, vil kalibrerige af parametree forløbe som e iterativ proces, hvor kalibrerigsparametree ædres, modelresultater sammeliges med observatiosdata, og det vurderes, om der er opået e bedre model ed på foregåede iteratiostri. Til sidst vil der ikke kue opås e yderligere reduktio i de ikluderede ormer, og hvis de formulerede model (geologisk model, hydrogeologisk tolkigsmodel, diskretiserig, defiitio og atal af kalibrerigsparametre, m.m.) er for simpel (eller fejlbehæftet), vil kalibrerigskriteriere ikke være opfyldt. Det vil i sådae tilfælde være ødvedigt at gå tilbage til tri 3 i kalibrerigsprotokolle, og revurdere de formulerede model og valget af kalibrerigsparametre. I det ekle tilfælde er det tilstrækkeligt at iddrage flere parametre i estimatioe, f.eks. ved at geemføre e yderligere distribuerig af de hydrauliske egeskaber. I de mere komplekse tilfælde vil det være ødvedigt at reformulere de hydrogeologiske tolkigsmodel, de geologiske model eller procesbeskrivelse. Resultatet af dee aalyse vil være e y kalibrerigsmodel, som ka uderkastes estimatiosprocesse. 0.5.3 Automatisk kalibrerig (ivers modellerig) I ivers modellerig sker estimatiosprocesse 4. 4.4 på figur 0. på baggrud af matematisk formulerede kriterier og foregår mere eller midre automatisk. De iverse løsigsmetoder opdeles i direkte og idirekte tekikker. I de direkte metode forudsættes observeret hydraulisk trykiveau at være kedt i samtlige kudepukter i det umeriske et, hvorved de styrede ligiger ka løses direkte mht. modelparametree. I praksis er det imidlertid ødvedigt at iterpolere ud fra relativt få observatioer. De iterpolerede data vil være fejlbehæftede, og samme med måle- og modelfejl er det problematisk for tekikke, da det ofte resulterer i ustabile løsiger, og metode er derfor meget lidt avedt. De idirekte metoder er baseret på at miimere afvigelse mellem observeret og bereget afhægig variabel, f.eks. trykiveau, og mider i pricip meget om mauel kalibrerig. Da parametree er ikke-lieære fuktioer af tilstadsvariablee foregår optimerige iterativt. De idirekte iverse metoders formål at fide de modelparametre, som fører til e optimalt overesstemmelse mellem observeret og bereget afhægig variabel. Dette fører til defiitioe af objektiv fuktioe (f.eks. summe af afvigelseres kvadrater, lig. (0.3)), således at miimerig af objektiv fuktioe fører til miimerig af eksempelvis trykafvigelsere. Miimum i objektiv fuktioe fides typisk vha. gradietbaserede metoder (f.eks. Leveberg-Marquardts metode). De iverse tekikker vil ikke blive geemgået i detaljer her, me yderligere iformatio ka fides i f.eks. reviewartikle af Yeh (986). Daske avedelser af iverse metoder ka fides i f.eks. Keidser & Rosbjerg (99), Soeborg et al. (996) og Christese et al. (998). I Appedix B ka avedelse af ivers modellerig i forbidelse med DK-modelle desude fides. Begrudelse for at idføre ivers modellerig er, at parametree bestemmes ud fra objektive kriterier for afvigelse mellem observeret og simuleret afhægig variabel. På grud af de systematiske 0-6

måde hvorpå parametree justeres (baseret på gradieter) vil der være større chace for at fide optimale parameterestimater ed ved mauel kalibrerig. Ivers modellerig ka være arbejdsbesparede, og metode giver mulighed for at opå e kvatificerig af f.eks. parameterkorrelatio og parameterusikkerhed. Iverse metoder idefor grudvadsmodellerig har været kedt i æste lige så lag tid, som de umeriske modeller har været avedt, me beyttes ikke tilærmelsesvis i samme udstrækig. Dette skyldes til dels, at ivers kalibrerig kræver mage modelsimuleriger og derfor ka resultere i lag beregigstid. I takt med udviklige af hurtigere computere er dee begrudelse imidlertid blevet midre tugtvejede. Til gegæld er de iverse metoder beskyldt for at give urealistiske parameterestimater, at være ustabile eller ikke at kovergere. Disse problemer skyldes ofte e uhesigtsmæssig formulerig af estimatiosproblemet, bl.a. problemer med idetificerbarhed og etydighed beskrevet ovefor. Der er derfor grud til at være ekstra omhyggelig med fase -3 i kalibrerigsprocesse, år der avedes e ivers model. Forskelle på mauel og automatisk kalibrerig ligger hovedsageligt i kalibrerigsprotokolles fase 4. 4.4. De øvrige tri i kalibrerigsprocesse er stort set idetiske for de to metoder, og det vil i tilfælde af velformulerede kalibrerigsproblemer være sadsyligt, at metodere giver relativt es parameterestimater. Det ka abefales at kombiere metodere, så der idledes med grovkalibrerig ved avedelse af mauel kalibrerig, og afsluttes med ivers kalibrerig til fikalibrerig. 0.6 PRÆSENTATION AF KALIBRERINGSRESULTAT 0.6. Beskrivelse af kalibrerigsprocesse (kalibrerigsjoural) Modtagere af modelresultatere vil sjældet være iteresseret i e beskrivelse af udviklige af de ekelte parametres værdi geem de iterative optimerig af modelle, hvor der typisk foretages mellem 50 og flere hudrede simuleriger. Det vil imidlertid være iteressat at blive præseteret for evetuelle ædriger i de opstillede model for kalibrerigsprocesse, dvs. i de tilfælde hvor estimatiosprocesse 4. 4.4 i figur 0. ikke kovergerer idefor de opstillede kalibrerigskriterier, og det er ødvedigt at gå tilbage til tri 3 og modificere kalibrerigsparametre eller de uderliggede model. Da det ka være ødvedigt at revurdere modelopbygige adskillige gage i kalibrerigsforløbet, vil det være hesigtsmæssigt at præsetere (evetuelt i tabelform) de bedste værdier af de beyttede ormer (0.) (0.5) for hver model. Herved ka modtagere få et idblik i, hvilke ædriger der har været afprøvet, og hvad der har bidraget til at opå e velkalibreret grudvadsmodel. 0.6.2 Parameterestimater samt deres usikkerhed De optimerede parameterværdier skal præseteres, typisk i tabelform, me også e grafisk illustratio af parameterværdiere ka avedes. Samtidig skal der foretages e evaluerig af de estimerede parametres fysiske relevas. I e grafisk illustratio ka parameteritervallere estimeret uder aalyse af tilgægelige feltmåliger (afsit 0.4.) sammeholdes med de optimerede parametre, hvilket gør det muligt at foretage e hurtig vurderig af, om de estimerede parametre holder sig idefor eller i ærhede af fysisk realistiske græser. I modsat fald skal det kommeteres, hvad årsage til det usædvalige estimat ka være. Hvis der er øske om at få udersøgt usikkerhede på de estimerede parametre, skal der geereres resultater, der ka belyse dette eme. Hvis der er udført mauel kalibrerig ka usikkerhede vurderes vha. e detaljeret sesitivitetsaalyse, som er beskrevet uder afsit 0.5.2. Herved opås et udtryk for modelles følsomhed overfor de aalyserede parametre, og usikkerhede på parameterværdie ka derefter vurderes, idet de geerelt ka atages at være omvedt proportioal med modelles sesitivitet. Det er ikke muligt at kvatificere parameterusikkerhede direkte (f.eks. e stadardafvigelse) vha. dee metode, me det ka vurderes, hvorda parametree idbyrdes er rageret mht. modelsesitivitet. Dvs. de mest sesitive parameter vil give det største påvirkig af 0-7

f.eks. RMS-værdie i de detaljerede sesitivitetsaalyse, og vil være de parameter, der er forbudet med de midste usikkerhed. Hvis der er avedt e ivers model baseret på e gradietløsig, som f.eks. PEST (Doherty et al., 994) eller UCODE (Poeter ad Hill, 998), vil det være muligt at uddrage iformatioer om parameterusikkerhede i form af kofides- eller prediktiositervaller. 0.6.3 Overesstemmelse mellem observatioer og simulerig Kalibrerigsresultatet skal altid afrapporteres i hehold til de kriterier, der er opstillet til arbejdet. Hvis der eksempelvis er stillet krav til maksimumværdier af ME og RMS, vil det være passede at præsetere de opåede værdier evetuelt i tabelform, hvor det ka vises, hvor godt modelle simulerer de målte værdier i modelområdet. I tabel 0.4 er vist et eksempel fra Esbjergmodelle (appediks A), hvor overesstemmelse med (a) hele modelle uder ét, (b) måliger af forskellig karakter og (c) måliger i modelles beregigslag præseteres. Tabel 0.4 Eksempel på rapporterig af kalibrerigsresultat i tabelform (Herikse et al., 995). HELE MODELLEN Atal målepukter Middel afvigelse, ME (m) Stadard afvigelse, St.dev. (m) RMS-værdi (m) Lag - atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 2- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 3- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 4- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 5- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 6- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 7- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 8- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 9- atal måleputer RMS-værdi (m) Lag 0- atal målepukter RMS-værdi (m) Sykromålig marts 995 65-0.70.82.94 0-3 2.35 3 2.09 8.42 0.38 4.92 5.75 7.80 4 2.52.5 0-8 Sykromålig august 995 48 0.36.63.66 0-4 2.27 9.8 6.25 8.44 4.44 ZEUS datagrudlag Fordelige af overesstemmelse mellem observeret og simuleret tilstadsvariabel ka også præseteres i e tabel, hvor placerig af borig, tidspukt for målig, observatiosværdi, simuleret værdi og residual opføres. Det ka imidlertid hurtigt blive svært at overskue fordelige af residu 5.8 7.37 4 2.05 0.63 47 0.40 2.96 2.98 50 2.83 36 3.04 42 3.08 00 2.84 23 3.4 2.86 7 3.76 0-0 - 3.39

alere på dee vis, og præsetatioer af dee type hører bedst hjemme i et appediks til kalibrerigsrapporte (om ed resultatere skal kue fides). De rumlige fordelig af modelresultatere ka bedre vurderes ud fra et eller flere af følgede fire illustratioer. () Koturplot, (2) scatterplot, (3) residualplot eller (4) fejliveauplot. Figurer, der viser koturerede billeder af hhv. simuleret og observeret trykiveau, ka give et umiddelbart idtryk af, hvor godt modelle simulerer data. Imidlertid ka det være svært at vurdere afvigelseres størrelse, ligesom der ka opstå store fejl i iterpolatioe af målte værdier. Det ka derfor være et bedre alterativ at vise modelresultatet som koturerede trykiveauer, og de observerede værdier idirekte som puktværdier, hvor afvigelse mellem observeret og simuleret værdi præseteres, som eksemplificeret i figur 0.5. -6.3-0.2 5 0 5 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80-2.7 -.2 -.7-0..8.3 0.0-0.6 0-0. -.8 -.5 -.5 20-0.3-0.3 2.5 30 -.4-3.4-2.0-5.9 0.8 6.2 0.2 3.6 20-5.6.5.6 -. -2.2 30 0.4 0.3.3-0.5 3. 5.2 4.0.9 Figur 0.5 Plot fra Esbjergmodelle med koturerede simulerede trykiveauer (koturliier) og pukter med afvigelser (residualer)..2 0.4 40 0.7 -.8 0.4 0.8 3.3-7.6-0. -4. -.4-3.0-3.3-0.7. 6.5.0 3. 50 -.7.0 30-0.8 2.2-3. -6.3-2. 40 0.5-0..4 -.0 -.8.6 Scatterplot (spredigsgraf) viser observeret mod simuleret tilstadsvariabel, se figur 0.6. E perfekt overesstemmelse mellem model og data svarer til, at puktere falder på e ret liie med e hældig på 45. Afvigelser fra de rette liie skal være tilfældigt fordelt hhv. over og uder liie. I modsat fald ka der være tale om systematiske modelfejl, eksempelvis at høje trykiveau kosekvet simuleres for højt eller lavt. Hvis observatiosdata er behæftet med samme usikkerhed, bør datapukteres spredig omkrig de rette liie være kostat. Residualplot er e illustratio af de beregede afvigelser mellem observatiosværdiere og simulerigsværdiere som fuktio af eksempelvis observatiosummer. Hvis residualere ormeres med de estimerede usikkerhed på observatiosdata fremkommer der såkaldte vægtede residualer, se figur 0.7. De vægtede residualer ka sammeliges idbyrdes, og det vil derfor være muligt at idetificere områder eller variabeltyper, som er behæftet med stor fejl. I eksemplet vist i figur 0.7 ses, at der er e del observatioer mellem observatiosummer 0 og 60, der er dårligt simuleret. 0-9

Figur 0.6 Scatterplot af simuleret mod observeret trykiveau (Esbjergmodelle, Appediks A). 0 Vægtet residual 5 0-5 -0 0 50 00 50 200 Observatios r. Figur 0.7 Residualplot af vægtede residualer (trykiveaudata) mod observatiosummer. Det ka være e hjælp i evaluerige af de rumlige fordelig af modellerigsresultatet, at sammeholde residualere med et af de avedte øjagtighedskriterier. Herved ka iveauet, hvormed de ekelte observatio er simuleret, kvatificeres. Eksempelvis ka stadardafvigelse på observatiosdata avedes til opstillig af e række iveauer. Det ka vælges af karakterisere iveau ved, at modelle rammer ide for observatiosværdie e stadardafvigelse, iveau 2 ved observatiosværdie to stadardafvigelser, osv. De rumlige fordelig af iveauet, hvormed modelle simulerer data, ka herefter illustreres i e figur, der viser det umeriske et, hvor celler med observatiosværdier tillægges e iveauværdi, se figur 0.8. 0-20