GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader i delene (i (xi i Sætning 5.. (fjern origo fra (vi. Løsning. Lad os betragte dem fra en ende. (i Kan ses at være diffeomorf med sfæren, og man kan få en lokal parametrisering derfra (eller lave den fra bunden f.eks. ved en variation af sfæriske koordinater, ved at dække den med 6 symmetrisk konstruerede kort eller en pendant til stereografisk projektion. (ii Denne er en omdrejningsflade. (iii Lav et atlas bestående af to grafparametriseringer. (iv Denne er en graf. (v Også en graf. (vi Som i (iii: Betragt fladen som en forening af to grafer af funktioner defineret på R \{(0, 0}. (vii Omdrejningsflade (homøomorf med en cylinder. (viii Forening af to grafer (set som en funktion af enten (x, z eller (y, z, som ikke afhænger af z. (ix Som (viii men med blot en enkelt parametrisering. (x σ(u, v = (0, u, v. (xi σ ± (u, v = (± p, u, v. Opvarmningsopgave, [P] 6.. (i,ii,iv. Udregn første fundamentalform af følgende flader Hvilke typer flader er disse? Løsning. For den første er Det følger, at σ(u, v = (sinh u sinh v, sinh u cosh v, sinh u, σ(u, v = (u v, u + v, u + v, σ(u, v = (u, v, u + v. σ u = (cosh u sinh v, cosh u cosh v, cosh u, σ v = (sinh u cosh v, sinh u sinh v, 0. E = σ u, σ u = cosh u sinh v + cosh u cosh v + cosh u = cosh u(sinh v + cosh v + = cosh u(cosh v + cosh v = cosh u cosh v, F = σ u, σ v = cosh u sinh u cosh v sinh v = sinh(u sinh(v, G = σ v, σ v = sinh (u(cosh v + sinh v = sinh (u cosh(v. Bemærk, at koordinaterne opfylder x + z = y. Denne flade er den kvadratiske kegle beskrevet på side 99. For den anden finder vi σ u = (,, u, σ v = (,, v, E = 4u +, F = 4uv, G = 4v +.
GEOMETRI-TØ, UGE Definer reparametriseringen Φ(u, v = (u + v, u + v. Vi finder, at σ Φ(u, v = (u, v, 4 (u + v + uv + u + v uv = (u, v, (u + v, som er noget, der ligner paraboloiden. Endelig gælder for den sidste, at Fladen her er paraboloiden. σ u = (, 0, u, σ v = (0,, v, E = 4u +, F = 4uv, G = 4v +. Opvarmningsopgave 3, [P] 6..3. Lad Edu + F dudv + Gdv være første fundamentalform for en fladelap σ(u, v for en flade S. Vis at hvis p er et punkt i billedet af σ, og v, w T p S, så er v, w = Edu(vdu(w + F (du(vdv(w + du(wdv(v + Gdv(vdv(w. Bevis. Skriv v = du(vσ u +dv(vσ v og w = du(wσ u +dv(wσ v. Resultatet følger umiddelbart. [P] 6.. (iii. Find første fundamentalform for σ(u, v = (cosh u, sinh u, v og beskriv fladen. Bevis. Vi finder, at σ u = (sinh u, cosh u, 0, σ v = (0, 0,, E = sinh u + cosh u = cosh(u, F = 0, G =. Bemærk at koordinaterne i denne opfylde x y =. En flade med den egenskab kaldes en hyperbolsk cylinder og ses på side 00. [P] 6..4. Lad σ(ũ, ṽ og være en reparametrisering af σ(u, v, og lad Ẽdũ + F dũdṽ + Gdṽ, være deres første fundamentalformer. Vis at Vis at hvis J = ( du = dṽ, Edu + F dudv + Gdudv dv = dṽ. er Jacobimatricen af reparametriseringen (ũ, ṽ (u, v, så er (Ẽ F F G ( = J t E F J. F G Bevis. Lad Φ(ũ, ṽ = (u, v være reparametriseringsafbildningen, så σ = σ Φ. Da er ( σũ σṽ = D σ(ũ,ṽ = Dσ (u,v DΦ (ũ,ṽ = ( ( σ u σ v. Læses ligningen søjlevist, fås Det følger, at σũ = σ u + σ v, σṽ = σ u + σ v du( σũ = ( = du( σṽ = = Da σũ, σṽ udgør en basis, kan vi konkludere, at dṽ ( dṽ du = dṽ ( σũ, ( σṽ.
GEOMETRI-TØ, UGE 3 som ønsket. Tilsvarende vises identiteten for dv. Hvad angår første fundamentalform finder vi, at Ẽ = σ u + σ v, σ u + ( ( σ v = E + + og tilsvarende formler for F og G. Matrixligningen følger ved indsættelse. F + ( G, [P] 6... Skriv en isometri fra den cirkulære kegle (fraregnet en linje σ(u, v = (u cos v, u sin v, u, u > 0, 0 < v < π, til en åben delmængde af x-y-planen. Løsning. Definer afbildningen ved f(u cos v, u sin v, u = ( u cos v, u cos v, 0. At denne afbildning er en lokal diffeomorfi er intet under, så lad os vise, at den er en isometri. Ifølge Korollar 6..3 er det tilstrækkeligt at tjekke, at σ og f σ har samme første fundamentalform, for f kan let ses at være en diffeomorfi, da afbildningen er det. For σ finder vi For f σ finder vi så det stemmer. (u, v ( u cos v, u cos v σ u = (cos v, sin v,, σ v = ( u sin v, u cos v, 0, E =, F = 0, G = u. (f σ u = ( cos v, sin v, 0, (f σ v = ( u sin v, u cos v, 0, E =, F = 0, G = u, [P] 6... Er afbildningen fra den cirkulære halvkegle x + y = z, z > 0 til x-y-planen, givet ved (x, y, z (x, y en isometri? Svar. At dømme på sidste opgave er den nok ikke. Linjestykket fra (,, til (,, 8 i halvkeglen har længde 38 men sendes i linjestykket fra (, til (, som har længde 38. En anden måde at vise det på ville være at observere, at projektionen ikke bevarer første fundamentalform. Ugeseddelopgave. Betragt S = {(cos u, sin(u, v u, v R}. Bestem T 0 S og brug resultatet til at vise, at S ikke er en regulær flade. Bevis. Lad os for modstrid finde 3 kurver i S, der går gennem 0 og hvis tangenter er lineært uafhængige. Sæt γ (t = γ (t = (cos t, sin(t, 0, γ 3 (t = (0, 0, t, hvor γ er defineret på ( π ε, π + ε, γ er defineret på ( 3π ε, 3π ε, og γ 3 er defineret på (,. Bemærk først, at γ ( π = γ ( 3π = γ 3(0 = (0, 0, 0. Deres tangenter er i punktet givet ved der ses at være lineært uafhængige. γ ( π = ( sin π, cos π, 0 = (,, 0, γ ( 3π = ( sin 3π, cos(3π, 0 = (,, 0, γ 3(0 = (0, 0,, Ugeseddelopgave 3. For λ 0 er vindelfladen S = {(v cos u, v sin u, λu u, v R}. Bekræft at S er en regulær flade og vis at projektionsafbildningen π : σ(r R \ {0} R {0} givet ved π(x, y, z = (x, y, 0 er en lokal diffeomorfi af flader. Er π en diffeomorfi?
4 GEOMETRI-TØ, UGE Bevis. Lad σ : R S være σ(u, v = (v cos u, v sin u, λu. Hvis σ(u, v = σ(u, v, giver tredjekoordinaten, at u = u. Da enten cos(u eller sin(u er forskellig fra 0, giver den ene af de to første koordinater, at v = v, så σ er injektiv. Lad (x, y, z = σ(u, v ligge på fladen. Idet vi bemærker, at x + y er konstant lig v på fladen, lader vi v = x + y og u = z λ. Da er σ(u, v = (x, y, z, og det er klart, at både u og v er kontinuerte i (x, y, z. Endelig er σ u = ( v sin u, v cos u, λ, σ v = (cos u, sin u, 0, som er lineært uafhængige. Lad os vise, at π er en lokal diffeomorfi for v 0, så lad σ(u 0, v 0 S, v 0 0. Bemærk, at π σ(, v er parametriseringen af et stykke af en cirkel med radius v. Hvis v 0 > 0 får vi derfor, at π σ((u0 π,u 0+π (v 0/,v 0 er injektiv. Tilsvarende gælder for v 0 < 0, at π σ((u0 π,u 0+π (v 0,v 0/ er injektiv. Endelig kan vi observere, at π i hvert fald ikke er en diffeomorfi, da den ikke er injektiv. [P], 6..5. Vis at de følgende er ækvivalente: ( E v = G u = 0. ( σ uv er parallel med enhedsnormalen N. (3 De modstående sider i en firkant af parameterkurverne fra σ har samme længde. Vis også, at hvis disse betingelser er opfyldt, så har σ en reparametrisering σ(ũ, ṽ med første fundamentalform dũ + cos θdũdṽ + dṽ, hvor θ er en glat funktion af (ũ, ṽ. Vis at θ er vinklen mellem parameterkurverne i σ. Vis ydermere at hvis û = ũ + ṽ, ˆv = ũ ṽ, så har den resulterende reparametrisering ˆσ(û, ˆv første fundamentalform hvor ω = θ/. cos ωdû + sin ωdˆv, Bevis. Lad os første vise, at de to første betingelser er ækvivalente. Vi har, at E v = ( σ u, σ u v = σ uv, σ v, G u = ( σ v, σ v u = σ vu, σ u. Her står, at hvis E v = G u = 0, så er σ uv vinkelret på span(σ u, σ v og derfor parallel med N. Omvendt står her også, at hvis σ uv er parallel med N, så er E v = G u = 0. Lad os nu vise, at betingelse ( og (3 er ækvivalente. Lad os antage at firkanten i opgaven har hjørner med i billedet af de fire punkter (u 0, v 0, (u 0, v, (u, v 0 og (u, v. Antag først, at E v = G u = 0 og betragt kurven γ(t = σ(u(t, v(t. Antag først, at v(t = v 0 er konstant og at u(t = t, så γ er parameterkurven fra (u 0, v 0 til (u, v 0. Længden af γ fra til t (tegning er if. formel (6. givet ved E(t, v0 u (t + F (t, v 0 u (tv (t + G(t, v 0 v (t dt = E(t, v0 dt. Da E udelukkende afhænger af u (idet vi har antaget E v = 0, er dette integral også lig E(t, v dt, som præcis er længden af parameterkurven fra (u 0, v til (u, v. Helt tilsvarende vises, at kurverne fra (u 0, v 0 til (u 0, v og (u, v 0 til (u, v har samme længde. Antag omvendt, at de relevante sider i firkanten har samme længde. Det betyder så pr. samme argument, at t E(t, v dt ikke afhænger af v. Det vil sige, at 0 d dv E(t, v dt = E v E dt.
GEOMETRI-TØ, UGE 5 Da dette gælder for alle, t, betyder det, at Ev = 0, så E E v = 0. På samme måde kan det vises, at G u = 0. Lad os nu betragte sidste del af opgaven. Sæt ũ = u v u 0 E(u du og ṽ = v 0 G(v dv. Da er reparametriseringsafbildningen Φ(u, v = (ũ, ṽ en diffeomorfi, da dens jacobiant er ( E 0 ( det DΦ (u,v = det = EG 0. 0 G Pr. kædereglen er σũ = σ u + σ v, σṽ = σ u + σ v. Vi ved allerede fra udregningen i (, at de blandede led forsvinder, og det følger, at ( ( Ẽ = σũ, σũ = σ u, σ u = E =, E F = σũ, σṽ = E du ( du dũ dṽ + F + + G, = F = F, E G EG G = σṽ, σṽ = ( σ v, σ v =. Bemærk, at vi fra Cauchy Schwarz har F < EG, så < F EG <, og vi kan vælge θ glat, så cos(θ = F EG. Med dette valg bliver første fundamentalform på den ønskede form, og θ får ydermere den rigtige fortolkning, da vinklen mellem parameterkurverne generelt er σũ, σṽ σũ, σũ σṽ, σṽ = Ẽ F = cos θ. G Lad os nu betragte sidste del af opgaven og lad os bare udregne Ê. De øvrige koefficienter kan findes på lignende vis. Bemærk først, at ũ = (û + ˆv, ṽ = (û ˆv. Vi finder, at Ê = û σ ũ + û σ ṽ, û σ ũ + û σ ṽ = ( 4Ẽ + 4 + F + 4 4 G = + ( θ cos θ = cos.