Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200
Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke mulighed for a give en præcis definiion. Funkionerne blev indfør og anoges a have visse egenskaber, men a der overhovede findes sådanne funkioner blev blo age for give. Med inegralregning il rådighed kan vi imidlerid lave præcise definiioner, og bevise en mængde sæninger og regneregler. Logarimefunkionerne blev indfør af Napier in 64 som bruge dem som e redskab il hurig a udregne rødder og muliplikaioner. Napier var iøvrig også den førse, som bruge decimalkomma på en sysemaisk måde. 2 Definion af logarimefunkionen Vi vil bruge følgende sæning, som også sår i Ma A bogen: Sæning Enhver koninuer funkion af en variabel har en samfunkion. Hvis funkionen er definere på e inerval er samfunkionen enydig besem borse fra en addiiv konsan. Med denne sæning il rådighed kan vi definere logarimefunkionen. Definiion 2 For ]0; [ er den naurlige logarime definere ved ln ( x dx. y x Figure : Areale fra x il x under y /x er markere.
For > kan vi idenificere inegrale med areale under funkionen f (x /x fra x il x. For < er inegrale lig minus areale under funkionen f (x /x fra x il x. Hvis får vi blo ln ( 0. Hvis man vil udregne værdien af den naurlige logarime for en given værdi af, kan dee ske ved numerisk inegraion. Herved kan man få besem ln ( med lige så mange decimaler som man kunne ønske sig. Sæning 3 Den naurlige logarimefunkion opfylder:. Hvis f (x ln (x så er f (x /x. 2. For s, > 0 og e naurlig al n gælder ln (s ln (s + ln (, ( s ln ln (s ln (, ln ( n n ln. 3. Den naurlige logarimefunkion er koninuer og voksende. 4. Den naurlige logarimefunkion er hverken begrænse opad eller nedad i den forsand a ln ( for, ln ( for 0 +. 5. Defiions- og værdimængde er give ved Dm (ln ]0; [ og V m (ln R. Proof.. Dee følger af a den naurlige logarime er definere som en samfunkion il /x. 2. For s, > 0 gælder a ln (s s s ln (s + x dx x dx + s s s s x dx. x dx Vi foreager nu subsiuionen y x/s i de sidse inegral og får s s x dx s y s dy ln (. y dy 2
Endvidere har vi og dermed ( s ( s ln (s ln ln + ln ( ( s ln ln (s ln (. Den sidse formel fås ved ln ( n ln } {{ } n gange ln ( + ln ( + + ln ( } {{ } n gange n ln (. 3. Da den naurlige logarime er differeniabel er den koninuer. Da den aflede af ln er posiiv er ln en voksende funkion. 4. Førs viser vi a ln ( for. Funkionen er voksende, så de er ilsrækkelig a vise, a logarimefunkionen kan anage vilkårlig sore værdier. Vi har ln (2 n n ln 2, så hvis n er sor er ln (2 n sor. ( For værdier < benyer vi a ln ( ln / ln ( ln (/ ln (/. Den anden grænseværdi kan nu besemmes ud fra a / for 0. 5. Dee følger fra de foregående egenskaber. ln a x Logarimen med grundal a > kan nu defineres ud fra den naurlige logarime ved log a (x ln x ln a. Med denne definiion ser vi a log a (a. Grundalle for en logarimefunkion er med andre ord de al, hvis logarime er. Hvis vi skal finde grundalle for den naurlige logarimefunkion skal vi derfor løse ligningen ln ( eller x dx. Løsningen il ligningen har navne e og den omrenlige værdi er 2. 78 3. Logarimefunkionen med grundal a er ligesom den naurlige logarime koninuer og voksende og opfylder de samme logarimeregler. Den aflede af log- arimefunkionen med grundal a er. Vi kan derfor sige a den naurlige logarimefunkion er karakerisere ved a den aflede i x er. De approksimerende.-gradspolynomium nær er derfor give ved ln (x ln ( + (x x. 3
En ilnærme værdi for e kan vi besemme ved følgende udregning: (( ln + n ( n ln + n n n ( + n. Derfor er e cirka lig med ( + n n og denne approksimaion bliver bedre jo sørre n vælges. Der gælder med andre ord a ( + n n e for n. 3 Eksponenialfunkioner Vi sarer med den naurlige eksponenialfunkion. Definiion 4 Den naurlige eksponenialfunkion er definere som den inverse funkion il den naurlige logarimefunkion. Den naurlige eksponenialfunkion beegnes exp. Denne defiion giver naurligvis kun mening hvis den naurlige logarimefunkion har en invers funkion, men de bliver neop sikre ved egenskaberne -5 for den naurlige logarimefunkion. Sæning 5 Den naurlige eksponenialfunkion opfylder. Hvis f (x exp (x så er f (x exp (x. 2. For reelle al x og y og e naurlig al n gælder: exp (x + y exp (x exp (y exp (x y exp (x exp (y exp (nx (exp (x n. 3. Den naurlige eksponenialfunkion er koninuer og voksende. 4. Den naurlige eksponenialfunkion opfylder exp (x for x +, exp (x 0 for x. 5. Definiions- og værdimængde er give ved Dm (exp R og V m (exp ]0; [. Bevis. Disse egenskaber bevises ved a oversæe de ilsvarende resulaer for den naurlige logarimefunkion il resulaer for den inverse funkion. Egenskab. er den enese som kræver lid mere arbejde. Da er x ln (exp (x. 4
Vi differenierer på begge sider af lighedsegne og får ln (exp (x exp (x exp (x exp (x. Resulae fås ved a gange med exp (x på begge sider af lighedsegne. Eksponenialfunkionen med grundal a definerer vi som den inverse funkion il logarimefunkionen med grundal a. For a finde e pæn udryk for eksponenialfunkionen med grundal a løser vi ligningen Da log a (y ln (y / ln (a får vi log a (y x. ln (y x ln (a og dermed y exp (x ln (a. Funkionen, som afbilder x over i exp (x ln a, er således eksponenialfunkionen med grundal a. Hvis x er e naurlig al har vi y exp (x ln a exp (ln a x a x. Hvis x ikke er e naurlig al kan vi bruge a x exp (x ln a som beegnelse for eksponenialfunkionen med grundal a. Vi ser nu a e x exp (x ln (e exp (x exp (x, så e x er en korere måde a skrive den naurlige eksponenialfunkion. Sæning 6 Eksponenialfunkionen med grundal a > 0 opfylder. Hvis f (x a x så er f (x ln (a a x. 2. For reelle al x og y og e posiiv al b gælder poensreglerne a x a y a x+y a x a y ax y (ab x a x b x ( a x a x b b x (a x y a xy. 3. Eksponenialfunkioner er koninuere. De er voksende hvis a >, afagende hvis a < og konsan hvis a. 5
4. Hvis a >, så gælder a x for x +, a x 0 for x. Hvis a <, så gælder a x 0 for x +, a x for x. 5. Definiions- og værdimængde er give ved Dm (exp R og hvis a så er V m (exp ]0; [. 4 Poens og rod For a R er poensfunkionen x a, x > 0 definere som x a e a ln x. Den kan nu differenieres som en sammensa funkion, hvilke giver e a ln x a x xa a x axa. Vi kan udregne den inverse il en poensfunkion. Vi har y x a (y /a (x a /a x a /a x x. Den inverse funkion il x a er derfor x /a og dermed selv en poensfunkion. Hvis a er e helal er der dog en særlig skrivemåde for x /a som er a x. De vil sige a kvadrarødder, kubikrødder osv. blo er poenser i forklædning. Den anikverede skrivemåde a x er måske dekoraiv men er iøvrig re uprakisk. Poensreglerne gælder alid så længe grundalle er posiiv. Der findes desværre ingen måde generel a definere poenser af negaive al således a poensreglerne bliver ved med a gælde. 6