Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 1 Geometri Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter kendskab til grundlæggende viden om vinkler, retvinklede trekanter og ensvinklede trekanter samt trigonometri. I hvert afsnit er der engelske gloser, og til slut er der en oversigt over teorien. Indhold 1 Trekantens linjer 1 2 irkler og vinkler 4 3 Indskrivelige firkanter 6 4 tolemæus 7 5 Et punkts potens 8 6 evas sætning 9 7 real og radius i den omskrevne cirkel 11 8 Multiplikation omkring et punkt 13 9 Trekantens ydre røringscirkler 15 10 Radikalakse og radikalcentrum 16 11 Eulerlinjen og Simsonlinjen 19 12 Menelaos sætning 21 13 Inversion 22 1 Trekantens linjer e vigtigste linjer i en trekant udover siderne er medianerne, midtnormalerne, vinkelhalveringslinjerne og højderne. e har alle hver deres særlige egenskaber. efinition af transversal En transversal i en trekant er et linjestykke der forbinder to punkter på hver sin side i trekanten. En transversal kaldes en paralleltransversal hvis den er parallel med en af siderne i trekanten, og en midtpunktstransversal hvis den forbinder midtpunkterne af to sider. M Sætning om transversaler En transversal fra punktet M på siden til punktet N på siden er en paralleltransversal netop hvis M =. t M N er parallel med, N er nemlig ensbetydende med at er ensvinklet med M N, hvilket igen er ensbetydende med at M = da de to trekanter har en fælles N vinkel. En midtpunktstransversal er derfor også en paralleltransversal. t forholdet M er lig med forholdet, er ensbetydende med at forhol- N det M N er lig med forholdet M N at s t = u v er ensbetydende med at s t = s u t v når t v. N. ette følger af brøkregnereglen der siger efinition af median En median er et linjestykke i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. 14 versigt 28 15 Løsningsskitser 30

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 2 Sætning om medianer e tre medianer i en trekant går igennem samme punkt, og dette punkt deler medianerne i forholdet 1:2. Medianernes skæringspunkt betegnes normalt M. evis Lad være en trekant, og kald medianerne for henholdsvis m a, m b og m c, og medianernes fodpunkter på siderne a, b og c for henholdsvis M a, M b og M c. Medianerne m a og m b skærer hinanden i et punkt vi kalder M. Vi vil nu vise at de skærer hinanden i forholdet 1 : 2. a M a og M b er midtpunkter på henholdsvis og, er M a M b midtpunktstransversal og dermed parallel med. vs. at og M b M a er ensvinklede med forholdet 1 : 2 og specielt 2 M a M b =. M b esuden er trekanterne M og M a M b M ensvinklede da M a M b og er parallelle, og forholdet mellem trekanterne er netop forholdet mellem M a M b og dvs. 1 : 2. Her af ses at m a og m b deler hinanden i forholdet 1 : 2. a m a og m b var vilkårlige medianer, må m a og m c også skære hinanden i forholdet 1 : 2, dvs. at alle tre medianer går gennem samme punkt M. efinition af midtnormal En midtnormal til et linjestykke er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til og, altså mængden af punkter som opfylder at =. Midtnormalen er dermed en linje som går gennem midtpunktet af linjestykket og står vinkelret på, da det netop er punkterne på denne linje som opfylder betingelsen. M M a Sætning om midtnormaler I en trekant går de tre midtnormaler gennem samme punkt, og dette punkt er centrum for den omskrevne cirkel, dvs. den cirkel som går gennem trekantens tre vinkelspidser. Midtnormalernes skæringspunkt betegnes normalt. pgave 1.1 (m midtnormaler). evis ovenstående sætning om midtnormalerne i en trekant. (Hint: etragt to af midtnormalerne, og vis at deres skæringspunkt ligger i samme afstand til alle tre vinkelspidser i trekanten). efinition af vinkelhalveringslinje En vinkelhalveringslinje til en vinkel er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til vinklens ben. Vinkelhalveringslinjen er altså en linje som deler en vinkel i to lige store vinkler, da det netop er punkterne på denne linje som opfylder betingelsen. Sætning om vinkelhalveringslinjer I en trekant går de tre vinkelhalveringslinjer gennem samme punkt, og dette punkt er centrum for den indskrevne cirkel, dvs. den cirkel som tangerer I

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 3 alle tre sider i trekanten. Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt betegnes normalt I. En vinkelhalveringslinje deler modstående side i trekanten i samme forhold som forholdet mellem vinklens to hosliggende sider, b dvs. hvis fodpunktet for vinkelhalveringslinjen v a fra til siden betegnes V, da er V V = b c. pgave 1.2 (m vinkelhalveringslinjer). evis ovenstående sætning om vinkelhalveringslinjer i en trekant. (Hint: Første del: etragt to vinkelhalveringslinjer, og vis at deres skæringspunkt har samme afstand til alle tre sider i trekanten. nden del: enyt sinusrelationen på V og V.) efinition af højde En højde i en trekant er en linje der går gennem en vinkelspids og er ortogonal med modstående side. Sætning om højder I en trekant går højderne gennem samme punkt. evis Tegn linjer gennem henholdsvis, og som er parallelle med modstående sider. V v a 1 1 1 c Firkant 1 og firkant 1 er parallellogrammer, dvs. at 1 = = 1. Tilsvarende ses at 1 = 1 og 1 = 1. Højderne i er derfor midtnormaler i 1 1 1, og de går ifølge sætningen om midtnormaler gennem samme punkt. Sætning om areal og radius i den indskrevne cirkel I en trekant betegner r radius i den indskrevne cirkel, s den halve omkreds og T arealet. er gælder at T = r s. pgave 1.3. evis sætningen om areal og radius i den indskrevne cirkel. pgave 1.4. Vis at medianerne i en trekant deler trekanten i seks små trekanter med samme areal. pgave 1.5. I trekant er =. unktet F er et punkt på siden, og punktet M er et punkt på siden således at M = F. Vis at hvis M = F, da er trekant ligesidet. pgave 1.6. I en trekant med areal 1 indtegnes medianerne. Midtpunktet af medianen m a kaldes for, midtpunktet af medianen m b kaldes for, og midtpunktet af medianen m c kaldes for. estem arealet af trekant. pgave 1.7. Lad I være centrum i den indskrevne cirkel til trekant, og lad yderligere 1 og 2 være to forskellige punkter på linjen gennem og således at I = 1 I = 2 I, 1 og 2 være to forskellige punkter på linjen gennem og således at I = 1 I = 2 I, og 1 og 2 være to forskellige punkter på linjen gennem og således at I = 1 I = 2 I. Vis at 1 2 + 1 2 + 1 2 er trekantens omkreds.

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 4 pgave 1.8. Lad I være vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt i en trekant, og lad yderligere 1, 1 og 1 være spejlingerne af I i henholdsvis a, b og c. irklen gennem 1, 1 og 1 går også gennem. estem vinklen. 1 I 1 2 irkler og vinkler efinition af centervinkel En centervinkel er en vinkel der har toppunkt i centrum og radier som vinkelben. En centervinkel måles ved den bue den spænder over. å figuren er en centervinkel som spænder over buen, og vi skriver =. pgave 1.9. Fra vinkelspidsen i trekant tegnes en ret linje der halverer medianen fra. I hvilket forhold deler denne linje siden? (Georg Mohr 1995) Gloser ligebenet trekant isosceles triangle ligesidet trekant equilateral triangle ensvinkelede trekanter similar triangles transversal transversal median median medianernes skæringspunkt centroid midtnormal perpendicular bisector den omskreve cirkel the circumcircle centrum for den omskrevne cirkel the circumcenter vinkelhalveringslinje angle bisector den indskrevne cirkel the incircle centrum for den indskrevne cirkel the incenter højde altitude højdernes skæringspunkt orthocenter omkreds perimeter linjestykke line segment 1 efinition af periferivinkel En periferivinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og korder som vinkelben. v 2 v Sætning om periferivinkler En periferivinkel er halvt så stor som den bue den spænder over. ermed er to periferivinkler som spænder over samme bue, lige store, og en periferivinkel der spænder over en halvcirkel, er ret. evis Lad v være en centervinkel og w en periferivinkel der begge spænder over buen. Kald centrum for og punktet hvor w rører periferien, for. ntag først at vinkelbenene for vinkel v kun skærer vinkelbenene for w i punkterne og. a deler diameteren gennem vinklerne v og w i to vinkler som vi kalder hendholdsvis v og v og w og w. Trekant er nu en ligebenet trekant med to lige store vinkler w, og den sidste vinkel er

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 5 180 v. a vinkelsummen i en trekant er 180, er 2w = v. Tilsvarende fås 2w = v, dvs. 2w = v. w v w v ntag nu at w s ene vinkelben skærer v s vinkelben. iameteren gennem skærer da yderligere periferien i et punkt vi kalder for. Ifølge det vi lige har vist, er 2 = og 2 =, og dermed 2w = 2 2 = = v. pgave 2.1. I en spidsvinklet trekant kaldes centrum for den omskrevne cirkel og højdernes skæringspunkt for H. Linjen gennem skærer den omskrevne cirkel i et punkt Q forskelligt fra. Vis at Q H er at parallellogram. efinition af korde-tangent-vinkel En korde-tangent-vinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og en korde samt en tangent som vinkelben. Sætning om korde-tangent-vinkel En korde-tangent-vinkel er halvt så stor som den bue korden spænder over. pgave 2.2 (m korde-tangent-vinkler). evis sætningen om kordetangent-vinkler. (Hint: Husk at står vinkelret på tangenten.) v 2 v Sætning om vinkler i cirkler m vinklerne v og w på figurerne gælder: v = + v 2 og w = pgave 2.3. evis sætningen. (Hint: Vinkel v : Kald skæringen mellem og for. Tegn linjestykket, og betragt og periferivinkler. Vinkel w : Tegn linjestykket, og kald vinkelspidsen ved w for. etragt og periferivinkler.) pgave 2.4. Sætning I en trekant betegner I centrum for den indskrevne cirkel, og M er skæringen mellem I og den omskrevne cirkel. Vis at M er centrum for cirklen gennem, og I. pgave 2.5. Lad to cirkler 1 og 2 skære hinanden i punkterne og. Tangenten til 1 gennem skærer 2 i punktet, og tangenten til 2 gennem skærer 1 i punktet. esuden oplyses at = 3 og = 4. estem længden af. Gloser ret vikel right angle spids vinkel acute angle stump vinkel obtuse angle centervinkel central angle periferivinkel inscribed angle bue arc korde chord tangent tangent w 2.

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 6 3 Indskrivelige firkanter efinition af simple firkanter En firkant kaldes simpel hvis dens sider ikke skærer hinanden. I disse noter betegner ordet firkant fremover en simpel firkant. Figuren viser et eksempel på en ikke-simpel firkant. punktet E være skæringen mellem cirklen og linjen gennem og. Hvis firkanten er indskrivelig, er lig E. Vi ved at = 180 = 180 E = E, dvs. at punktet E ligger på linjen og derfor er identisk med. pgave 3.1. Sætning Vis at hvis begge diagonaler i en firkant står vinkelret på en side, da er firkanten indskrivelig. efinition af konvekse firkanter En firkant kaldes konveks hvis der for vilkårlige to indre punkter gælder at linjestykket mellem punkterne er indeholdt i firkanten. e konvekse firkanter er altså netop dem der ikke har en vinkel der overstiger 180. Generelt defineres en konveks figur på tilsvarende måde. efinition af indskrivelige firkanter En firkant kaldes indskrivelig hvis den har en omskreven cirkel. Sætning om indskrivelige firkanter En firkant er indskrivelig netop hvis summen af modstående vinkler er 180. evis ntag at en firkant er indskrivelig. To modstående vinkler spænder da tilsammen over hele cirkelperiferien, og summen er derfor 180. ntag at det for en given firkant gælder at summen af to modstående vinkler er 180. etragt nu den omskrevne cirkel til trekant, og lad pgave 3.2. Sætning Lad H a og H b være fodpunkterne for højderne fra henholdsvis og i trekant. Vis at firkant H a H b er indskrivelig. Vis desuden at og H a H b er ensvinklede. pgave 3.3. Sætning Lad H a, H b opg H c være fodpunkterne for højderne fra henholdsvis, og i trekant. Vis at H a er vinkelhalveringslinje i H a H b H c. pgave 3.4. Sætning Lad H være højdernes skæringspunkt i trekant. Vis at spejlingen af H i en vilkårlig af trekantens sider ligger på trekantens omskrevne cirkel. pgave 3.5. Tre cirkler 1, 2 og 3 skærer hinanden i et fælles punkt, 1 og 2 skærer hinanden i, 1 og 3 skærer hinanden i Q, og 2 og 3 skærer hinanden i R. 2 1 R Q 3

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 7 Lad være et punkt på cirkelbuen Q som vist på figuren. Linjen gennem og skærer cirklen 2 i punktet, og linjen gennem og Q skærer cirklen 3 i. Vis at punkterne, og R ligger på linje. pgave 3.6. I rektanglet er M midtpunktet af siden, og H er et punkt på M således at H står vinkelret på M. Vis at trekant H er ligebenet. pgave 3.7. En firkant er indskrevet i en cirkel med som diameter. Lad S være skæringspunktet mellem diagonalerne og, og lad T være projektionen af S på. Vis at linjen ST halverer vinkel T. Gloser simpel firkant simple quadrilateral konveks firkant convex quadrilateral indskrivelig firkant cyclic quadrlateral parallelogram parallelogram 4 tolemæus tolemæus ulighed For alle firkanter gælder tolemæus ulighed + med lighedstegn netop hvis firkant er indskrivelig. I de fleste opgaver har man ikke brug for uligheden, men blot at der for indskrivelige firkanter gælder lighedstegn. ette kaldes tolemæus sætning evis Givet en firkant lad M være et punkt så trekant M og trekant er ensvinklede og vender samme vej. ermed er = M. M ga. konstruktionen er M =. a trekant M og trekant er ensvinklede, er / M = /. ltså er også trekant og trekant M ensvinklede med = M. I alt giver dette + = ( M + M ) med lighedstegn netop når M ligger på. unktet M ligger på netop når =, dvs. netop når firkant er indskrivelig. pgave 4.1. En ligesidet trekant er indskrevet i en cirkel. Lad M være et vilkårligt punkt på cirkelbuen. Vis at M = M + M.

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 8 pgave 4.2. En firkant er indskreven i en cirkel med radius 1, = 1, = 2 og = 2. estem. pgave 4.3. Lad være et kvadrat, og lad være et punkt på cirkelbuen på den omskrevne cirkel til kvadratet. Vis at er konstant uanset valget af. + pgave 4.4. Lad E FG være en regulær syvkant. Vis at 1 = 1 + 1. 5 Et punkts potens efinition af et punkts potens I en given cirkel betegnes centrum og radius r. Et punkt s potens mht. cirklen er tallet 2 r 2. Hvis ligger på cirkelperiferien, er s potens derfor 0, mens den er positiv hvis ligger uden for cirklen, og negativ hvis ligger inden for cirklen. Sætning om et punkts potens I en given cirkel betegnes centrum og radius r. Lad være et punkt og l og m være to linjer gennem, hvor l skærer cirklen i og, og m skærer cirklen i og. (Hvis en af linjerne tangerer cirklen, er de to punkter sammenfaldende.) Gloser tolemæus sætning tolemy s theorem tolemæus ulighed tolemy s inequality a gælder at =. Hvis ligger uden for cirklen, er netop punktets potens mht. cirklen, og hvis ligger inden for cirklen, er netop punktets potens. evis i tilfældet hvor punktet ligger uden for cirklen Lad være et punkt uden for cirklen, og lad l være en vilkårlig linje gennem som skærer cirklen i punkterne og. Vi viser først at netop er s potens mht. cirklen. Q Q

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 9 Tegn tangenten til cirklen gennem som vist på figuren, og kald røringspunktet for Q. Ifølge ythagoras sætning er Q 2 = 2 r 2. etragt nu trekanterne Q og Q. Korde-tangent-vinklen Q er lige så stor som periferivinklen Q, ifølge sætningerne om periferivinkler og korde-tangent-vinkler. ermed er Q og Q ensvinklede, og dette giver Q 2 =. Samlet har vi at netop er punktet s potens mht. cirklen. Lad nu m være endnu en linje gennem som skærer cirklen i punkterne og. Ifølge det vi netop har vist, må også være punktet s potens mht. til cirklen, dvs. at 6 evas sætning efinition af cevian En cevian er en linje i en trekant fra en vinkelspids til den modstående side (eller dens forlængelse). Fx er højder, medianer og vinkelhalveringslinjer alle cevianer. evas sætning evas sætning siger at cevianerne, og (hvor ligger på osv.), skærer hinanden i samme punkt, netop hvis =. pgave 5.1 (m et punkt potens). evis sætningen om et punkts potens i det tilfælde hvor punktet ligger inden i cirklen. (Hint: Tegn linjen gennem og centrum, og vis at = (r )(r + ) = r 2 2 ). pgave 5.2. To cirkler skærer hinanden i punkterne M og N, og den fælles tangent til de to cirkler nærmest N rører cirklerne i og Q. Vis at trekant M N og trekant QM N har samme areal. = 1. Gloser et punkts potens the power of a point emærkning evas sætning gælder også hvis nogle af cevianerne går fra en vinkelspids til et punkt der ikke ligger på den modstående side men kun dens forlængelsen. I dette tilfælde er det dog nødvendigt at regne længderne med fortegn således at postiv retning er, og. Hvis fx ligger på forlængelsen af tættest på, da er negativ. evis Her beviser vi kun sætningen i tilfældet hvor alle tre cevianer ligger inden for trekanten. Hvis nogle af cevianerne falder uden for trekanten, foregår beviset stort set på samme måde, men det kræver lidt flere overvejelser undervejs. Først viser vi at hvis de tre cevianer går gennem samme punkt, så vil = 1.

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 10 ntag at cevianerne går gennem samme punkt. er gælder at hvis to trekanter har samme højde, da er forholdet mellem arealerne det samme som forholdet mellem grundlinjerne. Lad T ( ) betegne arealet af en trekant. ermed er Samlet får vi = T ( ) T ( ) og = T ( ) T ( ). = T ( ) T ( ) T ( ) T ( ) T ( = ) T ( ). Her har vi benyttet brøkregnereglen der siger at hvis s t = u v, er s t = s u t v, når t v. Tilsvarende fås Samlet giver dette = T ( ) T ( ) og = T ( ) T ( ). T ( ) T ( ) T ( ) = T ( ) T ( ) T ( ) = 1. Nu viser vi den modsatte vej. ntag at = 1. Kald skæringspunktet mellem og for, og betragt cevianen fra gennem. a cevianerne, og går gennem samme punkt, gælder ifølge det vi lige har vist, at = 1. Ifølge vores antagelse er = 1, dvs. at =. f dette ses at og er samme punkt, og dermed at cevianerne, og skærer hinanden i samme punkt. pgave 6.1. Før benyttede vi sætningen om midtnormaler til at bevise at højderne skærer hinanden i samme punkt. enyt nu i stedet evas sætning til at bevise dette. pgave 6.2. I trekant er og Q punkter på henholdsvis linjestykket og linjestykket således at Q er parallel med, og X er skæringspunktet mellem Q og. Vis at X deler linjestykket på midten. pgave 6.3. Sætning I en trekant tangerer den indskrevne cirkel siderne siderne, og i henholdsvis X, Y g Z. Vis at X, Y og Z skærer hinanden i et punkt. (ette punkt kaldes trekantens Gergonne punkt). pgave 6.4. I trekant er vinkelhalveringslinje og H højde, og og Q er projektionerne af på henholdsvis og. Vis at H, og Q skærer hinanden i et punkt.

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 11 evas sætning med vinkler evas sætning kan også formuleres med de vinkler cevianerne danner med siderne, i stedet for med det forhold de deler siderne i. Lad være en trekant og, og cevianer i trekanten. Lad α 1 =, α 2 =, β 1 =, β 2 =, γ 1 = og γ 2 =. Vinklerne regnes her med fortegn ligesom længderne i evas sætning, dvs. hvis fx ligger på forlængelsen af siden tættest på, da er α 1 negativ. evas sætning siger i denne version at cevianerne, og skærer hinanden i samme punkt, netop hvis sinα 1 sinα 2 sinβ 1 sinβ 2 sinγ 1 sinγ 2 = 1. α 1 α 2 pgave 6.5. evis sætningen. β 2 β1 γ 2 γ 1 pgave 6.6. Lad, og være tre cevianer i trekant som skærer hinanden i et fælles punkt. Lad være skæringen mellem og spejlingen af i vinkelhalveringslinjen til, og lad og være defineret tilsvarende. Vis at de tre cevianer, og skærer hinanden i et punkt. Gloser cevian cevian avas sætning eva s theorem 7 real og radius i den omskrevne cirkel I dette afsnit ser vi på en trekant hvor s betegner den halve omkreds, r er radius i den indskrevne cirkel, R er radius i den omskrevne cirkel, og T er arealet med mindre andet er nævnt. Sætning om radius i den omskrevne cirkel m radius i den omskrevne cirkel til trekant gælder evis 2R = a sin = b sin = 2R c sin. Lad være diameter i den omskrevne cirkel til trekant. a er sin = sin = a b c. Tilsvarende ses at sin = og sin =, og dermed i 2R 2R 2R alt 2R = a sin = b sin = c sin. Sætning om areal og radius i den omskrevne cirkel er gælder at 4RT = ab c. evis Ifølge sætningen om radius i den omskrevne cirkel samt sætningen om arealet af en trekant udtrykt ved sinus til en vinkel og længden af de hosliggende sider, er a 4RT = 2 2R T = 2 sin 1 b c sin = ab c. 2

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 12 Herons formel realet af en trekant kan beregnes ud fra trekantens sidelængder vha. Herons formel T = s (s a )(s b)(s c). evis Ifølge cosinusrelationen er (2b c) 2 cos 2 = (b 2 + c 2 a 2 ) 2. Vi ved at 4T = 2b c sin, og ved kvadrering 16T 2 = (2b c) 2 sin 2. esuden er sin 2 = 1 cos 2. Samlet giver dette 16T 2 = (2b c) 2 (2b c) 2 cos 2 = (2b c) 2 (b 2 + c 2 a 2 ) 2 = (2b c + b 2 + c 2 a 2 )(2b c b 2 c 2 + a 2 ) = ((b + c) 2 a 2 )(a 2 (b c) 2 ) = (a + b + c)(b + c a )(a + c b)(a + b c) = 16s (s a )(s b)(s c). pgave 7.2. Vis at der findes uendeligt mange trekanter hvor sidelængderne er tre på hinanden følgende hele tal, og arealet af trekanten er et helt tal. (NM 1995) pgave 7.3. Vis for en trekant at cos + cos + cos = r R + 1. pgave 7.4. Vis for en trekant at Gloser Herons formel Heron s formula 1 ab + 1 a c + 1 b c = 1 2r R. Hermed er Herons formel bevist. rahmaguptas formel realet af en indskrivelig firkant kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: T = (s )(s )(s )(s ) hvor s også her betegner den halve omkreds. (eviset udelades). pgave 7.1. Firkant er indskrevet i en cirkel med radius R. iagonalerne står vinkelret på hinanden, og deres skæringspunkt kaldes E. Vis at E 2 + E 2 + E 2 + E 2 = 4R 2.

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 13 8 Multiplikation omkring et punkt Her gives en kort introduktion til den affine afbildning multiplikation omkring et punkt samt eksempler på hvordan denne afbildning kan bruges i løsningen af geometriopgaver. Hvis du ønsker en mere teoretisk indføring i affine afbildninger og deres egenskaber, så se Jens-Søren ndersens noter ffine transformationer. efinition af multiplikation omkring et punkt Multiplikation omkring punktet med multiplikationsfaktoren k er en afbildning af planen i sig selv hvor et punkt afbildes i punktet så = k. I det følgende ser vi bort fra tilfældet k = 0. Hvis k = 1 er det blot identitetsafbildningen, mens fx k = 1 giver en drejning på 180 om. Egenskaber Eksempel 1 Multiplikation omkring et punkt kan fx benyttes til at vise at tre punkter ligger på linje ved at vise at en multiplikation omkring et af punkterne kan afbilde det andet punkt i det tredje. Hvis vi fx betragter tre cirkler med samme radius som skærer hinanden i et fælles punkt S, og den trekant der opstår ved at tegne tangenter som vist på figuren, kan vi vise at S samt centrum I for den indskrevne cirkel og centrum for den omskrevne cirkel til trekant ligger på linje. I S Ved multiplikation omkring et punkt afbildes en linje i en linje parallel med linjen. Multiplikation omkring et punkt bevarer vinkler lle figurer afbildes i ligedannede figurer. For to cirkler med forskellige radier findes netop et punkt og en multiplikation omkring dette med positiv multiplikationsfaktor som afbilder den ene cirkel i den anden. For to cirkler findes netop et punkt og en multiplikation med negativ multiplikationsfaktor som fører den ene cirkel i den anden. For to ensvinklede trekanter som ikke er kongruente, og hvor ensliggende sider er parallelle, findes netop et punkt og en multiplikation omkring dette som afbilder den ene trekant i den anden. Sammensætningen af to multiplikationer om to punkter, hvor produktet af de to multiplikationsfaktorer ikke er 1, er igen en multiplikation omkring et punkt, og multiplikationsfaktoren er produktet af de to multiplikationsfaktorer. Trekanten som opstår når man forbinder centrerne for de tre cirkler, har parvis parallelle sider med trekant da de tre cirkler har samme radius. a I er skæringen mellem vinkelhalveringslinjerne i trekant, og de tre centre ligger på disse vinkelhalveringslinjer, må I være centrum for den multiplikation som afbilder den lille trekant i trekant. unktet S er centrum for den omskrevne cirkel til den lille trekant da de tre cirkler har samme radius, og dermed afbildes S i. ette viser at I, S og ligger på samme linje. Eksempel 2 Multipikation omkring et punkt kan også benyttes til at vise noget om vinkler fx ved at udnytte sætningen om periferivinkler i en cirkel. etragt en cirkel 1 som tangerer en cirkel 2 indvendigt i punktet. Lad l være en tangent til 1 i et punkt Q forskelligt fra. Linjen l skærer 2 i henholdvis og. Vi ønsker at vise at Q er vinkelhalveringslinje i trekant. Multiplikationen i som fører 1 i 2, fører Q i Q og tangenten l til 1 i en tangent l til 2 i punktet Q.

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 14 l Q a l og l er parallelle, og l er tangent til 2, er cirkelbuerne Q og Q lige store. erfor er Q = Q, og altså Q vinkelhalveringslinje i trekant. emærkning Multipikation omkring et punkt kan også benyttes til at vise at nogle punkter ligger på samme cirkel, fx ved at finde en multiplikation som afbilder punkterne i en allerede kendt cirkel. Man kan også vha. af multiplikation omkring et punkt vise at to linjer er parallelle ved at finde en multiplikation der afbilder den ene i den anden, og man kan benytte multiplikation omkring et punkt til at bestemme forholdet mellem forskellige linjestykker ud fra multiplikationsfaktoren. I de følgende opgaver kan du selv prøve kræfter med dette. pgave 8.1. To cirkler 1 og 2 med samme radius tangerer en større cirkel indvendigt i henholdsvis 1 og 2. Lad M være et punkt på forskelligt fra 1 og 2, og lad 1 og 2 være skæringspunkterne mellem henholdvis M 1 og 1 og mellem M 2 og 2. Vis at 1 2 er parallel med 1 2. pgave 8.2. En cirkel 1 tangerer en cirkel 2 indvendigt i punktet. En linje l skærer de to cirkler i punkterne M, N, og Q således at punkterne ligger i nævnte rækkefælge på linjen. Vis at M N = Q. l Q l Q X, Y og Z skærer henholdsvis a, b og c i tre nye punkter X 1, Y 1 og Z 1. Vis at linjerne gennem henholdsvis X 1, Y 1 og Z 1 vinkelret på henholdsvis a, b og c skærer hinanden i et punkt. pgave 8.5. I en trekant kaldes midtpunkterne af, og for henholdvis M a, M b og M c. Trekant s Spieker centrum er centrum for den indskrevne cirkel til trekant M a M b M c. Vis at centrum I for den indskrevne cirkel til trekant, medianernes skæringspunkt M og trekantens Spieker centrum S alle ligger på samme linje. pgave 8.6. I trekant kaldes højdernes skæringspunkt for H og fodpunkterne for de tre højder for henholdsvis H a, H b og H c. Lad M a, M b og M c være midtpunkterne af henholdvis H, H og H. Vis at H a, H b, H c, M a, M b og M c ligger på en cirkel. Vis desuden at radius for den omskrevne cirkel til trekant er dobbelt så så stor som radius for den omskrevne cirkel til trekant H a H b H c. pgave 8.7. (IM 1978) I trekant er =. En cirkel tangerer siderne og i henholdsvis og Q samt den omskrevne cirkel til trekant indvendigt. Vis at midtpunktet af Q er centrum for den indskrevne cirkel til trekant. Gloser multiplikation omkring et punkt homothety muliplikation omkring med multiplikationsfaktor k homothety with center and ratio k pgave 8.3. En cirkel 1 tangerer en cirkel 2 indvendigt i punktet. m to forskellige linjer gennem gælder oplyses at den ene skærer 1 og 2 i henholdsvis X 1 og X 2 og den anden skærer 1 og 2 i henholdsvis Y 1 og Y 2. Linjerne X 1 Y 2 og X 2 Y 1 skærer hinanden i punktet. Vis at hvis ligger på 1, da tangerer den omskrevne cirkel til X 2 Y 2 cirklen 1. pgave 8.4. unktet er et indre punkt i en spidsvinklet trekant, og X, Y og Z er projektionerne af på henholdsvis a, b og c. irklen gennem

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 15 9 Trekantens ydre røringscirkler efinition af trekantens ydre røringscirkler En trekant har tre ydre røringscirkler, en for hver side i trekanten. en ydre røringscirkel til siden er en cirkel der ligger uden for trekanten, og som tangerer siden samt forlængelserne af og. Sætning om de ydre røringscirklers centre entrum for den ydre røringscirkel til siden i trekant er skæringspunktet for vinkelhalveringslinjen til vinkel og de ydre vinkelhalveringslinjer til vinkel og. e tre ydre røringscirklers centre danner en trekant i hvilken vinkelhalveringslinjerne for trekant er højder. Sætning 1 om den ydre røringscirkel Lad være en trekant, s den halve omkreds og c a den ydre røringscirkel til siden. a gælder at i) otensen af mht. c er s 2. ii) Røringspunktet mellem og den indskrevne cirkel og røringspunktet mellem og den ydre røringscirkel c ligger symmetrisk på linjestykket omkring dets midtpunkt. c a b c a pgave 9.1. Vis sætningen. Sætning 2 om den ydre røringscirkel Lad være en trekant, I centrum for den indskrevne cirkel, a centrum for den ydre røringscirkel til siden og skæringen mellem den omskrevne cirkel og vinkelhalveringslinjen fra. a gælder evis a den ydre røringscirkel til siden tangerer samt forlængelserne af og, må dens centrum ligge i samme afstand til disse tre linjer. a vinkelhalveringslinjen netop er det geometriske sted for de punkter der har samme afstand til de to vinkelben, må den ydre røringscirkel centrum ligge på vinkelhalveringslinjen til vinkel samt de ydre vinkelhalveringslinjer til vinkel og vinkel. f dette ses at de ydre røringscirklers centre a, b og c danner en trekant hvis sider går gennem henholdsvis, og. Vinkelhalveringslinjen til vinkel står vinkelret på siden b c, da a = a og b = c. I i) unkterne, I, og a ligger på en cirkel med som centrum. ii) er gælder at I a =. a

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 16 pgave 9.2. Vis sætningen. pgave 9.3. Sætning I trekant indtegnes tre cevianer fra vinkelspidserne til røringspunkterne for de tre røringscirkler. Vis at de tre cevianer skærer hinanden i et punkt. pgave 9.4. Sætning For en trekant betegner T arealet, r radius i den indskrevne cirkel og r 1, r 2 og r 3 radierne i de tre ydre røringscirkler. Vis at T 2 = r r 1 r 2 r 3. pgave 9.5. Lad I være centrum for den indskrevne cirkel i trekant, og lad Γ være trekantens omskrevne cirkel. Lad linjen I skære Γ i et punkt forskelligt fra. Lad E være et punkt på cirkelbuen som ikke indeholder, og lad F være et punkt på siden så F = E. Lad yderligere G være midtpunktet af linjestykket I F. Vis at linjerne G og E I skærer hinanden på Γ. (IM 2010) Gloser ydre røringscirkel excircle centrum for den ydre røringscirkel excenter 10 Radikalakse og radikalcentrum I kapitelet om punkts potens så vi at et punkt s potens mht. en cirkel med centrum og radius r defineres som tallet 2 r 2. Hvis ligger på cirkelperiferien, er s potens derfor 0, mens den er positiv hvis ligger uden for cirklen, og negativ hvis ligger inden for cirklen. Yderligere så vi at hvis en linje gennem skærer cirklen i og og en anden linje gennem skærer cirklen i og (i begge tilfælde er punkterne sammenfaldende hvis linjen tangerer cirklen), da gælder at =. Hvis ligger uden for cirklen, er netop punktets potens mht. cirklen, og hvis ligger inden for cirklen, er netop punktets potens. efinition af radikalakse Radikalaksen for to cirkler med forskellige centre er det geometriske sted for de punkter der har samme potens mht. de to cirkler. Sætning om radikalakse Kald centrum i de to cirkler for henholdsvis 1 og 2, cirklernes radier for henholdsvis r 1 og r 2, og lad d betegne afstanden mellem de to centre. a er radikalaksen en ret linje der står vinkelret på linjen 1 2. Radikalaksens afstand til henholdsvis 1 og 2 er r 1 2 r 2 2+d 2 og r 2 2 r 1 2+d 2. Hvis cirklerne skærer hinanden i to punkter og, er radikalaksen netop linjen gennem 2d 2d og. evis Lad Q være punktet på linjen 1 2 med Q 1 = r 2 1 r 2 2 +d 2 r 2 2 r 2 1 +d 2 2d. (ette er muligt da r 2 1 r 2 2 +d 2 2d + r 2 2 r 2 1 +d 2 2d = d ). 2d og Q 2 = 1 2

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 17 ntag at er et punkt på radikalaksen, og lad være projektionen af på 1 2. t er et punkt på radikalaksen, er ensbetydende med at ette er ensbetydende med at og yderligere at 1 2 r 2 1 = 2 2 r 2 2. 2 + 1 2 r 2 1 = 2 + (d 1 ) 2 r 2 2, 1 = r 1 2 r 2 2 + d 2. 2d ette er ensbetydende med at = Q, og dermed at ligger på linjen gennem Q vinkelret på 1 2. Vi har dermed vist at radikalaksen netop består af punkterne på denne linje. Hvis cirklerne skærer hinanden i to punkter og, har begge punkter potens nul mht. de to cirkler, og dermed er radikalaksen netop linjen gennem og. efinition af radikalcentrum Radikalcentrum for tre cirkler med forskellige centre er det geometriske sted for de punkter der har samme potens mht. de tre cirkler. Sætning om radikalcentrum For tre cirkler c 1, c 2 og c 3 med forskellige centre som ikke alle tre ligger på linje, gælder at radikalakserne for henholdsvis, c 1 og c 2, c 1 og c 3 samt c 2 og c 3 skærer hinanden i et punkt, og at dette punkt er deres radikalcentrum. c 3 c 1 c 2 Hvis de tre centre ligger på linje, er radikalakserne for henholdsvis, c 1 og c 2, c 1 og c 3 samt c 2 og c 3 parallelle og evt. sammenfaldende, dvs. i dette tilfælde er deres radikalcentrum den tomme mængde eller en ret linje. evis. Hvis de tre centre ikke ligger på linje, ved vi fra sætningen om radikalakse at radikalakserne for henholdsvis c 1 og c 2, c 1 og c 3 samt c 2 og c 3 parvis ikke er parallelle, samt at radikalcentrum for de tre cirkler pr. definition er indeholdt i fællesmængden af disse radikalakser. Lad være skæringspunktet mellem radikalaksen for c 1 og c 2 og radikalaksen for c 1 og c 3. ermed er potensen af mht. c 1 lig potensen af mht. c 2, og potensen af mht. c 1 er lig med potensen af mht. c 3. ltså er potensen af mht. c 2 også lig med potensen af mht. c 3, hvilket betyder at ligger på radikalaksen for c 2 og c 3. ermed går alle tre radikalakser gennem, og er dermed radikalcentrum for de tre cirkler. Hvis de tre centre ligger på linje, ved vi fra sætningen om radikalakse at radikalakserne for henholdsvis c 1 og c 2, c 1 og c 3 samt c 2 og c 3 alle er parallelle. Hvis de ikke alle er sammenfaldende, er radikalcentrum for de tre cirkler den tomme mængde, og hvis de alle er sammenfaldende, er radikalcentrum identisk med den fælles radikalakse. egenererede cirkler med radius 0 åde for radikalakse og radikalcentrum giver definitionen også mening hvis en eller flere af cirklerne er en degenereret cirkel med radius 0, og sætningerne gælder også i dette tilfælde. Eksempel på anvendelse af radikalakse To cirkler c 1 og c 2 tangerer hinanden udvendigt i punktet T. Lad være et punkt på deres fælles tangent gennem T, og lad og være to punkter på c 1 så, og ligger på linje, og lad og være to punkter på c 2 så, og ligger på linje. Vi ønsker at vise at,, og ligger på en cirkel. Kald cirklen gennem, og for c 3. Linjen T er radikalakse for c 1 og c 2, og linjen er radikalakse for c 1 og c 3. ermed må skæringspunktet mellem og T ligge på radikalaksen for c 2 og c 3, dvs. denne radikalakse er. a radikalaksen yderligere skærer c 2 i, må dette punkt også ligge på c 3. ermed ligger,, og på en cirkel.

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 18 i) Vis at, og M ligger på linje. T c 1 ii) Vis at M M = M T 2. iii) Vis at U, V og M ligger på linje. c 2 pgave 10.1. unkterne,q, R og S ligger på cirklen c således at Q og RS ikke er parallelle. Lad L være mængden af punkter I for hvilke der findes en cirkel c 1 gennem og Q samt en cirkel c 2 gennem R og S således at de to cirkler tangerer hinanden i I. eskriv punktmængden L. pgave 10.2. I en cirkel c er ST en korde som afgrænser et cirkelafsnit, og i dette afsnit er der to cirkler c 1 og c 2 som begge tangerer c og korden ST, og som skærer hinanden i punkterne U og V. Røringspunktet mellem cirklen c 1 og cirklen c betegnes, og røringspunktet mellem cirklen c 1 og korden ST betegnes. Lad M være midtpunktet af cirkelbuen ST modsat det nævnte cirkelafsnit. pgave 10.3. Lad være diameter i halvcirklen c med centrum, og og to punkter på c således at,, og er fire forskellige punkter der ligger på c i den nævnte rækkefølge. Midtpunkterne af henholdsvis, og betegnes E, F og G. Linjen gennem E vinkelret på F skærer tangenten til c i i punktet M, og linjen gennem G vinkelret på F skærer tangenten til c i i punktet N. Lad cirklerne c 1, c 2 og c 3 have henholdsvis, og EG som diameter. M E F i) evis at radikalaksen for c 1 og c 3 er M E, samt at radikalaksen for c 2 og c 3 er NG. G N S c c 2 V U M c 1 T ii) Find radikalcentrum for c, c 1 og c 3 samt radikalcentrum for c, c 2 og c 3. iii) Vis at M N er parallel med. pgave 10.4. Lad være en trekant. en indskrevne cirkel c i trekanten rører siderne og i henholdsvis punkterne Z og Y. Lad G være skæringspunktet mellem Y og Z, og lad R og S være punkter så firkanterne Y R og SZ er parallelogrammer. Lad desuden s være den degenerede cirkel med centrum S og radius 0, og lad c a være den ydre røringscirkel til siden.

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 19 i) Vis at Z er radikalakse for s og c a. ii) Vis at G R = GS. (Variation af opgave fra IM 2009 shortlist) Gloser radikalakse radical axis/power line radikalcentrum radical center 11 Eulerlinjen og Simsonlinjen Sætning om Eulerlinjen I en trekant kaldes medianernes skæringspunkt som sædvanligt M, højdernes skæringspunkt H og midtnormalernes skæringspunkt. unkterne H, M og ligger på en ret linje som kaldes Eulerlinjen, og M deler H således at 2 M = M H. evis Kald midtpunkterne af og for henholdsvis M a og M b, og skæringspunktet mellem M b og H for. Vi ønsker at vise at = M samt at 2 M = HM. H M a M b a er parallel med midtpunktstransversalen M a M b, M b er parallel med H da de begge står vinkelret på, og M a er parallel med H da de begge står vinkelret på, er trekanterne H og M a M b ensvinklede med forholdet 2 : 1. esuden er trekant M b ensvinklet med trekant H med samme forhold. ermed er 2 M b =, og heraf ses det ønskede nemlig at = M og 2 M = M H. Sætning om Simsonlinjen Lad være et punkt på den omskrevne cirkel til trekant, 1 projektionen af på linjen, 2 projektionen af på linjen og 3 projektionen af på linjen.

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 20 3 1 2 pgave 11.4. etragt fem punkter,,, og E sådan at firkant er et parallelogram, og firkant E har en omskreven cirkel. Lad l være en linje gennem. ntag at l skærer det indre af linjestykket i F og linjen i G. ntag derudover at E F = EG = E. evis at l er vinkelhalveringslinje for vinkel. Hint: enyt resultatet om Simsonlinjen til at vise at projektionen af E på linjen netop er skæringspunktet mellem diagonalerne i firkant. (IM 2007) a ligger punkterne 1, 2 og 3 på en ret linje, og denne linje kaldes Simsonlinjen. Gloser Eulerlinje Euler line Simsonlinje Simson line pgave 11.1 (m Simsonlinjen). evis sætningen. Hint: Vis at firkanterne 2 1, 3 1 og 2 3 er indskrivelige, og udnyt dette til at vise at 1 2 = 1 3. en omvendte Simson Lad være en trekant, et punkt og 1, 2 og 3 projektionerne af på henholdsvis, og. Hvis punkterne 1, 2 og 3 ligger på en ret linje, da ligger på den omskrevne cirkel til trekant. (eviset udelades). pgave 11.2. Lad være en trekant hvor, E og F er fodpunkterne for højderne på henholdsvis, og. Lad yderligere, Q, M og N være projekterne af på henholdsvis,, E og F. Vis at punkterne, Q, M og N ligger på linje. pgave 11.3. I planen er givet fire ikke-parallelle linjer således at der ikke er tre som går gennem samme punkt. Hver trippel af linjer danner en trekant, dvs linjerne danner i alt fire trekanter, og hver af disse trekanter har en omskreven cirkel. Vis at de fire omskrevne cirkler har et fælles punkt.

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 21 12 Menelaos sætning Menelaos sætning Lad være en trekant. Menelaos sætning siger at tre punkter, E og F, som ligger på henholdsvis linjen, linjen og linjen, ligger på samme linje netop hvis F x z E y E E F F = 1. Her regnes linjestykkerne ligesom ved evas sætning med fortegn således at postiv retning er, og. Hvis fx ligger på forlængelsen af tættest på som på figuren, da er negativ. E F ga. ensvinklede trekanter er = x y, E E = y z og F F = z x, og dette er uafhængigt af om linjen E F skærer trekanten to eller nul gange. ermed er E E F F = 1, når vi regner med fortegn. ntag omvendt at der om, E og F gælder at F E E E F F = 1. Lad være skæringspunktet mellem E F og. a ved vi fra før at evis ntag først at punkterne, E og F ligger på samme linje. emærk at da denne linje skærer trekanten nul eller to gange, vil der i udtrykket E E F F være enten en eller tre længder med negativt fortegn, dvs. udtrykket er altid negativt. Hvis vi kun regner med positive længder, er det derfor nok at vise at udtrykket er lig med 1. Lad x være længden af projektionen fra på linjen E F, y længden af projektionen fra på linjen E F og z længden af projektionen fra på linjen E F, som vist på figuren. E E F F = 1, og dermed må =, dvs. at, E og F ligger på linje. pgave 12.1. (Monges sætning) Lad 1, 2 og 3 være cirkler som ikke rører hinanden, og som har forskellige radier. Lad X være skæringspunktet mellem de to tangenter til 1 og 2 som har cirklerne på samme side af tangenten, lad tilsvarende Y være skæringspunktet mellem de to tangenter til 2 og 3 som har cirklerne på samme side af tangenten, og Z være skæringspunktet mellem de to tangenter til 1 og 3 som har cirklerne på samme side af tangenten.

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 22 X Y Z 1 Vis at punkterne X, Y og Z ligger på linje. pgave 12.2. (Monge-d lemberts sætning) Lad 1, 2 og 3 være cirkler som ikke rører hinanden, og som har forskellige radier. Lad X være skæringspunktet mellem de to tangenter til 1 og 2 som har cirklerne på samme side af tangenten, lad Y være skæringspunktet mellem de to tangenter til 2 og 3 som har cirklerne på hver sin side af tangenten, og Z være skæringspunktet mellem de to tangenter til 1 og 3 som har cirklerne på hver sin side af tangenten. Vis at punkterne X, Y og Z ligger på linje. Gloser Menelaos sætning Menelaus Theorem 2 3 13 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling omformer man problemstillingen til en anden ækvivalent problemstilling. Inversion er derfor et interessant redskab i nogle typer geometriopgaver. isse kapitel er en indføring i inversion, de centrale egenskaber ved inversion samt hvordan man kan benytte inversion. Inversion Lad være en cirkel med centrum og radius r. Inversion i denne cirkel er en afbildning af planen, fraregnet punktet, på sig selv. Et punkt,, afbildes i det punkt som ligger på halvlinjen fra gennem, og som opfylder at = r 2. et er oplagt at inversionsafbildningen er sin egen inverse, og den er desuden kontinuert hvilket vi ikke vil komme nærmere ind på her. emærk at afbildningen fikserer cirklen og afbilder dens indre på dens ydre og omvendt. eraf navnet. et interessante ved inversion er at den afbilder linjer og cirkler i linjer og cirkler, samt at den bevarer vinkler mellem kurver, hvilket vi skal se nærmere på når det drejer sig om linjer og cirkler. Man kan på helt tilsvarende vis definere inversion i en kugle i rummet. I det følgende ser vi på inversion i en cirkel med centrum og radius r, og vi betegner billedet af et punkt med, billedet af en cirkel α med α, osv. Sætning om vinkler og afstande To punkter og, begge forskellige fra, afbildes i punkterne og således at = og =. evis Vi viser at er envinklet med med forholdet viser sætningen. r 2 r 2 da det

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 23 Først bemærker vi at =. esuden er = r 2 = r 2 og tilsvarende r 2 =, hvilket giver det ønskede. Sætning om linjer og cirkler Inversion afbilder som sagt linjer og cirkler i linjer og cirkler. Mere præcist gælder En linje gennem afbildes på sig selv. En linje som ikke går gennem, afbildes på en cirkel gennem hvis tangent i er parallel med linjen. En cirkel gennem afbildes på en linje som er parallel med tangenten til cirklen i. En cirkel som ikke går gennem, afbildes på en cirkel som ikke går gennem. evis En linje gennem afbildes oplagt på sig selv. Lad α være en linje som ikke går gennem, og betragt projektionen af på α. α åstanden er nu at α er cirklen med diameter. Lad Q være et punkt på α. a gælder at Q = Q = 90, dvs. at Q ligger på cirklen med diameter. er gælder dermed at α afbildes på en cirkel gennem hvis Q α Q tangent i er parallel med α. Tilsvarende afbildes en cirkel gennem på en linje som er parallel med tangenten til cirklen i. Lad β være en cirkel som ikke går gennem, og som indeholder punkterne, Q og R. Vi vil nu vise at β afbildes på cirklen gennem, Q og R. I det følgende regner vi med orienterede vinkler. β Q S R Lad S være et punkt på β som ligger mellem lad os sige R og. Vi ønsker at vise at S Q + Q R S = 180 da dette giver at S ligger på cirklen gennem, Q og R. er gælder at og tilsvarende fås Samlet giver dette Q R S = R S R Q = SR QR, S R S Q = Q S. S Q + Q R S = SR S + Q QR = SR + RQ = 180. ette viser at en cirkel som ikke går gennem, afbildes i en cirkel som ikke går gennem. et er vigtigt at bemærke at hvis α er en cirkel som ikke går gennem, da er billedet af centrum som oftest ikke centrum i α. Nu vil vi vise at vinkler mellem linjer og cirkler bevares ved inversion, men først beviser vi at tangens mellem linjer og cirkler bevares ved inversion. Q β

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 24 Sætning om tangens mellem linjer og cirkler En linje og en cirkel eller to cirkler som tangerer i punktet,, afbildes ved inversion på en linje og en cirkel eller to cirkler som tangerer i. evis a antallet af skæringspunkter forskellig fra bevares ved inversion, følger det let. pgave 13.1. Lad α være en cirkel som ikke går gennem. Vis at centrum af α, centrum af α og ligger på linje. pgave 13.2. Lad være en trekant, og lad s betegne den halve omkreds. Vis at den ydre røringscirkel til siden c afbildes på sig selv ved inversion i en cirkel med centrum og radius s. Sætning om at vinkler bevares ved inversion Vinklen mellem to linjer, en linje og en cirkel samt to cirkler bevares ved inversion. evis Hvis to linjer skærer i punktet bevares vinklen oplagt ved inversion. Lad α og β være to linjer som skærer hinanden i,. a vil α og β have netop to skæringspunkter og. Vinklen mellem α og β i vil være identisk med vinklen mellem dem i. a en linje gennem afbildes på sig selv, og en linje der ikke går gennem, afbildes på en cirkel gennem hvis tangent i er parallel med linjen, vil vinklen mellem α og β i være identisk med vinklen mellem α og β i. Lad α være en linje og β en cirkel som skærer hinanden i,. Lad γ være tangenten til β i. a er vinklen mellem α og β i lig med vinklen mellem α og γ i som ifølge det vi lige har vist er identisk med vinklen mellem α og γ i som er lig med vinklen mellem α og β i da tangens bevares ved inversion. å tilsvarende vis ses at vinklen mellem to cirkler bevares ved inversion. pgave 13.3. I en trekant kaldes røringspunkterne mellem den indskrevne cirkel og siden og siden for henholdsvis M og N. Vis at ved inversion i den indskrevne cirkel afbildes i midtpunktet af linjestykket M N. Nu skal vi se på hvorfor inversion i nogle sammenhænge er rigtig smart. Fx er tolemæus ulighed helt lige til hvis man inverterer problemstillingen. tolemæus ulighed Som vi så i et tidligere kapitel siger tolemæus ulighed at der for en firkant gælder at + med lighedstegn netop hvis firkant er indskrivelig. evis Vi inverterer i en cirkel med centrum i og radius r. ette giver + = r 2 og r 2 + r 2 = r 4 ( + ) = r 2 r 2 r 4 =. tolemæus ulighed er i den inverterede situation derfor blot trekantsuligheden + hvor der gælder lighedstegn netop hvis, og ligger på en linje i nævnte rækkefølge. I det ikke inverterede tilfælde er dette netop ækvivalent med at, og ligger på en cirkel gennem, således at ikke ligger ved siden af, dvs. at firkant er omskrivelig. I beviset for tolemæus ulighed benyttede vi kun formlen for hvordan afstande ændres ved inversion, samt at en cirkel gennem inversionscirklens centrum afbildes på en linje der ikke går gennem centrum og omvendt. Eksempel med NM-opgave fra 2007 En linje gennem skærer en cirkel i to punkter, og, på en sådan måde at ligger mellem og. Fra punktet tegnes de to tangenter til cirklen. Tangenterne rører cirklen i punkterne S og T. Lad være skæringspunktet mellem linjerne ST og. r 2

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 25 S 2 = 2 r 2 / r 2 /( ) = 2. Vi skal altså i det inverterede tilfælde blot vise den simplere sammenhæng at = 2. Vi skal vise at T = 2. llerførst skal vi overveje hvilket punkt vi skal invertere i. e to mest centrale punkter er og, så vi prøver først at invertere i en cirkel med centrum i og dernæst i en cirkel med centrum i for at se hvordan det omformer problemstillingen. Inversion i en cirkel med centrum i Ved inversion i en cirkel med centrum og radius r afbildes linjerne gennem på sig selv, linjen ST afbildes i en cirkel gennem, og cirklen afbildes i en cirkel som tangerer linjerne S og T som vist på figuren. S Lad være diameter i cirkel S T. a er S = T = 90, og derfor er centrum i cirkel T S. er gælder yderligere at = 90, hvilket betyder at radius fra gennem i cirkel T S står vinkelret på korden, og derfor deler den på midten. ltså er = 2 som ønsket. Inversion i en cirkel med centrum i Nu prøver vi i stedet at se hvad der sker, når vi inverterer i en cirkel med centrum i og radius r. Her afbildes linjerne gennem på sig selv, cirklen afbildes på en cirkel, og de to tangenter afbildes i to cirkler som tangerer billedet af cirklen. Ligheden som vi skal vise, reduceres i dette tilfælde til S T T Ifølge opgave 8.2 er = 2. Nu skal vi først udregne hvad det er vi skal vise: = r 2 / r 2 /( ) = T = T = S og S = S = T. ermed er trekant S og trekant T ensvinklede, og altså 2 = S T. å tilsvarende vis får man at trekant S og trekant T

Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 26 er ensvinklede, og altså 2 = S T. Samlet er = 2, og dermed har vi vist det ønskede. åde i tilfældet hvor vi inverterer i en cirkel med centrum i, og i tilfældet hvor vi inverterer i en cirkel med centrum i, reduceres den lighed vi skal vise, til en væsentlig simplere lighed præcis som i beviset for tolemæus sætning. Nu skal vi se på en IM-opgave fra 1996 hvor inversion er et utroligt effektivt redskab. Eksempel fra IM 1996 pgaven lyder: Lad være et indre punkt i trekant således at =. Lad og E være centrene for henholdsvis de indskrevne cirkler i trekant og trekant. Vis at linjerne, og E skærer hinanden i et punkt. Først bemærker vi at linjen er vinkelhalveringslinjen fra i trekant, og det er kendt at vinkelhalveringslinjen deler modstående side i samme forhold som forholdet mellem de to hosliggende sider. Linjen deler altså linjestykket i forholdet /. å tilsvarende vis ses at linjen E deler linjestykket i forholdet /. t vise at de tre linjer, E og går gennem samme punkt, er altså ækvivalent med at vise at =. E Nu skal vi overveje hvilket centrum vores inversionscirkel skal have. I dette tilfælde er der en del vinkler hvis ene vinkelben går gennem, og i sådan et tilfælde er det ofte en god ide at invertere i en cirkel med centrum i. Valget af radius er derimod ikke væsentligt. Når vi inverterer i en cirkel med centrum i og radius r, svarer ligheden vi skal vise til den væsentlige simplere lighed =. Vi har endnu ikke benyttet oplysningerne om vinklerne, så derfor ser vi på hvad disse giver os af information i den inverterede situation. Tilsvarende er = =. = =. Ifølge antagelsen om vinklerne har vi nu at =, dvs. at = som ønsket. Ved først at udnytte at vinkelhalveringslinjer deler modstående side i samme forhold som forholdet mellem de hosliggende cirkler, og efterfølgende invertere omformes problemstillingen til en problemstilling der nærmest giver sig selv. Kunsten er selvfølgelig at gennemskue at inversion i en cirkel med centrum i forsimpler problemstillingen. pgave 13.4. Lad være en trekant, og lad s betegne den halve omkreds. unkterne og Q ligger på linjen således at = Q = s. Vis at den omskrevne cirkel til trekant Q tangerer den ydre røringscirkel til siden c i trekant. pgave 13.5. Fire cirkler tangerer hinanden således at 1 og 3 tangerer 2 og 4, samt således at cirklerne ikke overlapper hinanden. Røringspunkterne mellem 1 og 2, 2 og 3, 3 og 4 samt 4 og 1 betegnes henholdsvis,, og. Vis at disse fire punkter enten ligger på en ret linje eller på en cirkel.