Pseudospektrer for operatorer i Hilbertrum

Pseudospektrer for operatorer i Hilbertrum AALBORG UNIVERSITET Institut for Matematiske Fag Gruppe G3-9 MAT5. september 9. december 8

Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G http://www.math.aau.dk Titel: Pseudospektrer for operatorer i Hilbertrum Semester: MAT5 Projektperiode:. september 9. december 8 Projektgruppe: G3-9 Gruppemedlemmer: Kenn E. M. Andersen Synopsis: I denne rapport introduceres og bevises sætninger og begreber om psudospektrer for begrænsede operatorer i separable Hilbertrum. Især betragtes resolventen, der ligeledes er en begrænset operator. Gennem rapporten anvendes både Gelfands kalkule og Dunfordkalkulen, hvortil der er anvendt kompleks funktionsteori. For en begrænset operator A har udviklingen af hhv. exp(ta) og A k stor interesse både for endelige t og k og asymptotisk. I denne forbindelse bevises bl.a. Kreiss' Matrixsætning. Pseudospektrer for matricer illustreres gennem rapporten i form af eksempler. Blandt andet er der eksempler på både normale og ikke-normale matricer, og på hvordan f.eks. den numeriske værdimængde udregnes for disse. Lars V. Iversen Dan V. Jensen Ove L. Sandau Vejleder: Arne Jensen Oplagstal: 7 Sidetal: 6 c Gruppe G3-9 efterår 8

Forord Denne rapport er skrevet som MAT5-projekt ved Aalborg Universitet. Projektet er ment som en udredning og præsentation af grundlæggende begreber og resultater angående pseudospektrer for operatorer på separable Hilbertrum. Alle vektorrum benytter C som skalarlegeme. Rapporten forudsætter kendskab til kompleks funktionsteori og Hilbertrums geometri. Vi gør læseren opmærksom på, at der benyttes to slags henvisninger. Når nummeret er i parentes, som f.eks. (.), henvises der til det matematiske udtryk med dette nummer, mens f.eks. sætning. henviser til en hel sætning med dette nummer. Sidstnævnte henvisning ndes ligeledes til lemma, eksempel, gur og korollar. Kilder anføres i begyndelsen af afsnit og kapitler med notationen [forfatter(e), udgivelsesår, placering i kilde]. Hvor intet andet nævnes, er [Jensen, 8] anvendt. Aalborg den 9/ 8 Kenn E. M. Andersen Dan V. Jensen Lars V. Iversen Ove L. Sandau IV

Indhold Operatorer i Hilbertrum. Dunfordkalkulen....................................... 7 Pseudospektrum 3 Eksempler 6 3. Beregning af pseudospektrer................................. 6 3. Beregning af den numeriske værdimængde......................... 7 3.3 Eksempler........................................... 8 4 Kontinuerte systemer 6 4. Kreiss' matrixsætning.................................... 34 5 Diskrete systemer 4 6 Udvalgte matricer 49 6. Toeplitzmatricer....................................... 49 6. Cykliske matricer....................................... 5 6.. Diagonalisering af cykliske matricer........................ 5 6.. Pseudospektrum for cykliske matricer....................... 54 6.3 Dierentiationsmatricer................................... 56 6.4 Smokematricer........................................ 57 Litteratur 6 V

Kapitel Operatorer i Hilbertrum Gennem rapporten betegner H et separabelt Hilbertrum, og B(H) rummet af begrænsede lineære operatorer fra H ind i sig selv. Det indre produkt antages at være lineært i anden variabel, og hvor andet ikke er nævnt, bruges norm og metrik induceret af det indre produkt. I dette kapitel introduceres en række begreber og resultater, som anvendes senere i rapporten. Denition. (Resolvent og spektrum) Givet A B(H) siges et komplekst tal z at være i resolventmængden for A, ρ(a), hvis A zi er invertibel på H. I bekræftende fald kaldes operatoren R A (z) = (A zi) resolventen for A i z. Komplementærmængden σ(a) = C \ ρ(a) kaldes spektret for A. Bemærk, at Invers Afbildningssætningen [Reed og Simon, 98, Theorem III.] giver, at hvis A zi er invertibel, er den inverse operator R A (z) også en begrænset lineær operator. Resolventen bliver den centrale operator i forbindelse med pseudospektrum. Vi får brug for følgende formler: Sætning. (Første og Anden Resolventligning) For A B(H) og komplekse tal z, ζ ρ(a) gælder (i) R A (z) R A (ζ) = (z ζ)r A (z)r A (ζ) = (z ζ)r A (ζ)r A (z). For A, B B(H) og z ρ(a) ρ(b) gælder (ii) R B (z) R A (z) = R A (z)(b A)R B (z) = R B (z)(b A)R A (z). Hvis I + R A (z)(b A) er invertibel, gælder desuden R B (z) = (I + R A (z)(b A)) R A (z). (.) Der gælder (z ζ)i = (A ζi) (A zi) og dermed (A zi) (z ζ)(a ζi) = (A zi) (A ζi), hvilket giver Første Resolventligning. Anden lighed i (i) fås ved at gange resolventerne på fra modsatte side. Anden Resolventligning fås på samme måde ved at tage udgangspunkt i B A i stedet for z ζ. Ligning (.) bevises ud fra Anden Resolventligning, da R B (z) R A (z) = R A (z)(b A)R B (z) medfører R A (z) = (I + R A (z)(b A))R B (z), hvoraf (.) følger. Denition.3 (Spektralradius) For en operator A B(H) deneres spektralradius for A som r(a) = sup λ. λ σ(a) For en begrænset operator er spektret altid ikke-tomt og kompakt ifølge [Reed og Simon, 98, Theorem VI.5 + korollar], så supremummet er faktisk et maksimum. Sætning.4 (Spektralradiusformlen) For en operator A B(H) eksisterer grænsen lim n A n n, og der gælder Hvis A er normal, gælder tillige r(a) = A. r(a) = lim n An n = inf n An n.

. OPERATORER I HILBERTRUM Bemærk, at formlen generelt giver r(a) n A n. For bevis se [Lax,, Theorem 7.4]. Denition.5 (Numerisk værdimængde) For A B(H) deneres den numeriske værdimængde for A som W (A) = { u, Au u = }. Bemærk, at enhver operator A B(H) kan skrives som A = Re A + i Im A, hvor Re A og Im A er bestemt ved Re A = (A + A ) og Im A = i (A A ). Det eftervises let, at disse er selvadjungerede, så der gælder altså x, Ax = x, Re(A)x + i x, Im(A)x = Re x, Ax + i Im x, Ax. At Re A og Im A er den eneste opsplitning, der opfylder dette ses ved at antage, at A = B + ic, hvor B og C er selvadjungerede. Da gælder x, Bx = Re x, Ax = x, Re(A)x for alle x H, hvormed B = Re A, og analogt C = Im A. et for følgende sætning er baseret på beviset fra [Halmos, 967]. Sætning.6 (Toeplitz-Hausdor) For A B(H) er W (A) konveks. Hvis H er endeligdimensionalt, er W (A) kompakt. Bemærk, at O C N er konveks, hvis der for ethvert par af punkter x, y O gælder, at tx + ( t)y ligger i O for ethvert t [, ]. Antag først, at H er endeligdimensionalt. Så er W (A) kompakt, da afbildningen u u, Au er kontinuert, og mængden {u H u = } er kompakt, hvormed W (A) er kompakt. Lad nu H være et vilkårligt Hilbertrum, og f og g være enhedsvektorer i H, så f, Af = ξ og g, Ag = µ. Det skal vises, at der for ethvert t [, ] eksisterer et h H, hvor h =, så h, Ah = ( t)ξ +tµ. Dette vises først i tilfældet, hvor ξ = og µ =. Skriv A = B +ic, hvor B = (A+A ) og C = i (A A ). Da er B og C selvadjungerede, og der gælder dermed h, Bh R og h, Ch R for alle h H, så h, Ah = h, Bh + i h, Ch. Der gælder = g, Ag = g, Bg + i g, Cg, hvormed g, Cg = = f, Cf. For f, Cg = a + ib, hvor a, b R, deneres λ = b ia a, eller λ =, hvis +b a = b =. Da gælder λ =, og for a, b er λf, Cg = λ f, Cg = b + ia a + b (a + ib) = i a + b, altså gælder Re λf, Cg =. Bemærk, at f og g er lineært uafhængige, for hvis der eksisterer et c C, så f = cg, må der gælde c =, da f og g er enhedsvektorer, og dermed = f, Af = cg, Acg = c g, Ag =, hvilket er en modstrid. Altså gælder h(t) := ( t)λf + tg for alle t. At h(t), Ah(t) er reel, ses ved h(t), Ch(t) = ( t)λf + tg, C(( t)λf + tg) = ( t)λf, C(( t)λf) + ( t)λf, Ctg + tg, C(( t)λf) + tg, Ctg = ( t)t( g, Cλf + λf, Cg ) = ( t)t( Cg, λf + λf, Cg ) = ( t)t( λf, Cg + λf, Cg ) =, hvor det benyttes, at f, Cf = g, Cg =, at C er selvadjungeret, og at Re λf, Cg =. Således er funktionen t h(t) h(t), Ah(t) kontinuert og reel, hvor h() h(), A h() h() = f, Af =, og h() h(), A h() h() = g, Ag =. Således gælder ifølge Mellemværdisætningen [Wade, 4, Theorem

3.9], at der for ethvert τ [, ] eksisterer et t, så h(t) h(t), A h(t) h(t) = τ, hvormed linjestykket mellem ξ = og µ = ligger i W (A). Antag nu, at der ikke gælder både ξ = og µ =. Hvis ξ = µ, er der intet at vise. Ellers deneres α = ξ µ ξ og β = µ ξ, så αξ + β = og αµ + β =. Da f, (αa + β)f = α f, Af + β = og g, (αa + β)g = α g, Ag + β =, gælder ifølge det foregående, at linjestykket mellem αξ + β = og αµ + β = ligger i W (αa + β). Med andre ord eksisterer der for ethvert t [, ] et l H, hvor l =, så l, (αa + β)l = ( t)(αξ + β) + t(αµ + β), men da er følgende udsagn ækvivalente l, (αa + β)l = ( t)(αξ + β) + t(αµ + β) α l, Al + β = α(( t)ξ + tµ) + β tβ + tβ l, Al = ( t)ξ + tµ, hvorved liniestykket mellem ξ og µ ligger i W (A). Notationen O reserveres til kompleks konjugering, og derfor benyttes notationen cl(o) om aukningen af O. Sætning.7 For A B(H) gælder σ(a) cl(w (A)). For bevis, se [Kato, 995, Corollary V-3.3]. Der knyttes her en række kommentarer til resultatet. Hvis λ er en egenværdi for A B(H), så Av = λv, gælder v v, v Av = v, λv = λ, v og dermed ligger mængden af egenværdier i W (A). Således er det for endeligdimensionale Hilbertrum ikke nødvendigt at tage aukningen af den numeriske værdimængde. Lad nu H være et uendeligdimensionalt Hilbertrum, og {e n } n= være en ortonormal basis i H. Der kan da deneres en lineær operator ved Ae n = n e n. (.) For ethvert x H eksisterer en kvadratisk konvergent følge {c n }, så x = n c ne n. Da gælder c n n Ax = Ax, Ax = n x, hvormed A er begrænset med norm. Det kan også vises, at A er selvadjungeret. For operatoren A zi gælder (A zi)e n = ( n z)e n, og denne er begrænset og invertibel med (A zi) e n = n zn e n, som er deneret for alle z C, hvor z n, n N. Følgen { n } ligger i σ(a), og da spektret er lukket, må der gælde σ(a) = {} { n } n=, men ligger ikke i W (A), da der for en enhedsvektor x gælder, at x, Ax = n= n c n =, hvormed c n = for alle n N, hvilket er en modstrid. I dette tilfælde er det altså nødvendigt at tage aukningen af W (A) for at opnå inklusionen. Denition.8 (Konvekst hylster) For en mængde af punkter A = {a,..., a n } C N deneres det konvekse hylster af A som { n conv(a) = t i a i i= n i= Sætning.9 Hvis A B(C N ) er normal, gælder conv(σ(a)) = W (A). t i =, t i }. 3

. OPERATORER I HILBERTRUM Da A er normal, eksisterer en ortonormal basis af egenvektorer {v,..., v N }, så Av i = λ i v i. Ifølge sætning.7 gælder conv(σ(a)) W (A), idet W (A) er konveks og kompakt. Vælg nu x C N, så x = N i= v i, x v i, hvor der gælder x = N i= v i, x = ifølge Pythagoras. Da gælder N N x, Ax = v i, x v i, λ j v j, x v j = = i= j= N N λ j v j, x v i, x v i, v j j= N v j, x λ j, j= hvilket netop er i conv(σ(a)), da N j= v j, x =, og v j, x v j x =. i= Denition. (Numerisk radius) For A B(H) deneres den numeriske radius for A som µ(a) = sup z. z W (A) Denition. (Ortonormal basis) En delmængde S H kaldes ortonormal, hvis der for alle x, y S gælder x, y = { for x = y for x y. Hvis ingen anden ortonormal delmængde indeholder S som ægte delmængde, så kaldes S en ortonormal basis. Ethvert separabelt Hilbertrum har en ortonormal basis. For bevis af dette resultat, se [Reed og Simon, 98, Theorem II.5 og Theorem II.7]. Denition. (Unitær operator) En operator U B(H) kaldes unitær, hvis U er surjektiv og normbevarende. Bemærk, at på grund af Polarisationsidentiteten er U indre produkt-bevarende. Sætning.3 En operator U B(H) er unitær, hvis og kun hvis den afbilder en ortonormal basis over på en ortonormal basis. Lad {ψ j } N j= og {ϕ j} N j=, hvor N N eller N =, være ortonormale baser i H, så Uψ j = ϕ j. Operatoren U er surjektiv, da der for ethvert x = N j= ϕ j, x ϕ j gælder N N U ϕ j, x ψ j = ϕ j, x ϕ j = x. j= Operatoren U er normbevarende, da der for y = N j= ψ j, y ψ j gælder N N N N Uy = ψ j, y ϕ j, ψ j, y ϕ j = ψ j, y ψ k, y ϕ k, ϕ j = j= j= N ψ j, y = y. j= j= j= k= 4

Antag nu, at {ψ j } N j= er en ortonormal basis, og U er unitær. Der gælder således Uψ j, Uψ k = ψ j, ψ k = δ j,k, hvormed {Uψ j } N j= er en ortonormal delmængde. Det skal nu vises, at ingen anden ortonormal delmængde kan indeholde {Uψ j } N j= som ægte delmængde. Antag omvendt, at der eksisterer et x, så Uψ j, x = for alle j, og da U er surjektiv, eksisterer der et χ, så Uχ = x. Da {ψ j } N j= er en ortonormal basis, eksisterer der et j {,..., N}, så ψ j, χ, men så gælder Uψ j, x = Uψ j, Uχ = ψ j, χ, hvilket er en modstrid. Altså danner {Uψ j } N j= en ortonormal basis i H. Sætning.4 En operator U B(H) er unitær, hvis og kun hvis U = U. Per denition er U surjektiv, og Ux = Uy medfører = Ux Uy = x y og dermed x = y. Altså er U også injektiv og dermed invertibel. Der gælder (U U I)x, y = Ux, Uy x, y = for alle x, y H. Vælges y = (U U I)x, ses det, at U U = I, hvilket medfører U = U. Antag nu, at U = U. Da U er invertibel, er den også surjektiv, og der gælder desuden x, y = U Ux, y = Ux, Uy, hvilket viser, at U er indre produkt-bevarende. Den algebraiske multiplicitet af en egenværdi λ for en operator A er det antal gange, den optræder som rod i det karakteristiske polynomium for A, og skrives m a (λ). Den geometriske multiplicitet af en egenværdi λ for en operator A er dimensionen af det tilhørende underrum bestående af de x H, for hvilke Ax = λx, og skrives m g (λ). Dette er altså det samme som antallet af lineært uafhængige egenvektorer hørende til denne egenværdi. Som bekendt gælder der, at m g (λ) m a (λ). Enhver matrix er similær med en Jordanmatrix [Axler, 997, Theorem 8.47], og efter en sådan similaritetstransformation siges matricen at være på Jordannormalform. En Jordanmatrix er en blokdiagonalmatrix på formen J... hvor alle tomme indgange er -indgange. Hver af Jordanblokmatricerne J i, i =,..., m, har netop en egenværdi λ i, i =,..., m, gentaget på diagonalen, i indgangene umiddelbart over diagonalen og i de øvrige indgange, det vil sige, at λ i...... J i =. J m,... λi Det bemærkes, at λ i+ ikke nødvendigvis er forskellig fra λ i, og at en Jordanblokmatrix godt kan være en ( )-matrix. De to ekstremer er således henholdsvis, at Jordanmatricen kun består af én (N N)-Jordanblokmatrix, og at Jordanmatricen består af N ( )-Jordanblokmatricer, svarende til at Jordanmatricen er en diagonalmatrix, hvilket vil sige, at m g (λ i ) = m a (λ i ) for i =,..., N. Hver Jordanblokmatrix har netop en egenvektor, så antallet af Jordanblokmatricer hørende til en given egenværdi er lig med dennes geometriske multiplicitet. Dermed er det samlede antal Jordanblokmatricer lig med summen af egenværdiernes geometriske multiplicitet. 5

. OPERATORER I HILBERTRUM Summen af dimensionerne af Jordanblokmatricerne for en given egenværdi er lig med den algebraiske multiplicitet af denne egenværdi. Summen af dimensionerne af alle Jordanblokmatricerne, hvilket nødvendigvis er dimensionen af hele matricen, N, er lig med summen af egenværdiernes algebraiske multiplicitet, der, idet det karakteristiske polynomium for en (N N)-matrix ifølge Algebraens Fundamentalsætning har N rødder, også er N. Denition.5 (Singulære værdier) Lad H være et endeligdimensionalt Hilbertrum. For A B(H) kaldes mængden de singulære værdier for A. Sætning.6 Om de singulære værdier gælder (i) s(a) R + {} (ii) s max (A) = A, og hvis A er invertibel, gælder desuden (iii) (s min (A)) = A, s(a) = { λ λ σ(a A)} hvor s min (A) og s max (A) betegner hhv. den mindste og den største singulære værdi. Bemærk, at vi betragter C N med det sædvanlige indre produkt. Hvis λv = A Av, gælder v, λv = v, A Av λ v = Av og dermed λ. Da A A er selvadjungeret og dermed normal, eksisterer der ifølge Spektralsætningen en unitær operator U, så A A = U ΛU, hvor Λ = diag(λ,..., λ N ), hvor λ j v j = A Av j, og v j =. Lad λ M betegne den største af egenværdierne med tilhørende egenvektor v M. For ψ H, hvor ψ =, gælder Aψ = ψ, A Aψ = ψ, U ΛUψ = Uψ, ΛUψ. Bemærk, at der for x := Uψ gælder x =. Således er Aψ = x, Λx Λx = N λ j x j λ M N x j = λ M, j= og dermed A = sup ψ = Aψ λ M, men Av M = v M, A Av M = λ M v M, v M = λ M, og deraf fås A = s max (A). Antag nu, at A er invertibel, og v. Da gælder Av = λv λ v = A v. Således fås σ((a ) A ) = {λ λ σ(a A)}, og dermed er A = (s min (A)) ifølge punkt (ii). Denition.7 (Konditionstal) For en invertibel operator A B(H) deneres konditionstallet som cond(a) = A A. Fra sætning.6 fås følgende omskrivning i det endeligdimensionale tilfælde: j= cond(a) = s max(a) s min (A). (.3) Når andet ikke nævnes, antages det, at vi bruger den naturlige basis {e i } N i=, hvor e i = (δ,i,..., δ N,i ). 6

.. DUNFORDKALKULEN. Dunfordkalkulen Vi vil gennem rapporten få brug for at tage funktionen af en operator. Dette begreb tillægges mening i det følgende afsnit. Sætning.8 Givet en operator A B(H) og en analytisk funktion f, hvis potensrække f(z) = k= a kz k omkring nul har konvergensradius r > A, er rækken f(a) = k= a ka k konvergent i B(H). Da B(H) er et Banachrum, er det ifølge [Berg og Madsen,, Sætning 7.6] nok at vise, at rækken af normer er konvergent. Der gælder, at a k A k a k A k <, k= k= da rækken k= a kz k er absolut konvergent for z < r. Altså er rækken f(a) konvergent. Denne funktionalkalkule kaldes Gelfandkalkulen. Sætning.9 Lad A B(H) med A <. Så er I A invertibel, og (I A) = A k. (.4) k= Tillige gælder (I A) A. Lad S n = n k= Ak for n, og bemærk, at der for ethvert m gælder, at S n+m S n = n+m k=n+ A k n+m k=n+ A k = A n m k= A k, når n, idet A <. Det vil sige, at afsnitsfølgen S n er Cauchy, og da B(H) er et Banachrum, er rækken i (.4) dermed konvergent. Ved induktion ses det, at (I A)S n = I A n+ = S n (I A) for alle n N, og resultatet følger så af at lade n i ovenstående. Tillige gælder (I A) A k = A. Følgende korollar viser, at invertibilitet er stabil over for små perturbationer. Korollar. For A, B B(H), hvor A er invertibel, og B < A, er A + B invertibel, og k= (A + B) A A B A B. 7

. OPERATORER I HILBERTRUM Der gælder A + B = A(I + A B), og A B <. Ifølge sætning.9 er A + B så invertibel, da A er invertibel. Den inverse operator kan omskrives som ( ) ( ) (A + B) = (I ( A B)) A = ( A B) k A = A + ( A B) k A, k= k= så ( (A + B) A ) ( A B) k A A B k A A B A B. k= k= Lemma. Lad A B(H). Så er A zi invertibel for alle z C med z > A, og for ethvert r > A gælder z k R A (z)dz = A k πi C for k N og C = {z C z = r}. Tillige gælder R A (z) = z k A k. k= Lad z C med z > A. Så er I A/z invertibel, og (I A/z) = k= (A/z)k ifølge sætning.9, men så er z(i A/z) = A zi invertibel, og R A (z) = (A zi) = z For k N og C = {z C z = r} gælder det, at C z k (A zi) dz = C k= ( ) k A = z z k A n z n+ dz = n= n= k= A n A k. (.5) zk+ C z k n dz, hvor ombytning af rækken og integralet er tilladt, idet rækken er ligeligt konvergent på den kompakte mængde C. Kurven C kan parametriseres ved γ : [, π] C, givet ved γ(t) = re it. For n k har de kontinuerte funktioner z z k n alle stamfunktioner i domænet C \ {}, så disse integraler over den lukkede kurve C giver alle nul. Tilbage er kun hvoraf resultatet følger. C z dz = π ire it dt = πi, reit Denition. (Dunfordkalkulen) Lad A B(H), og lad Ω C være enkeltsammenhængende og åben, så σ(a) Ω. Lad C være en simpel, lukket kurve i Ω \ σ(a) med σ(a) i sit indre. For en analytisk funktion f : Ω C deneres Dunfordkalkulen ved f(a) = πi C f(z)r A (z)dz. Bemærk, at z f(z)r A (z) er kontinuert og dermed Riemannintegrabel. Da f og R A er holomorfe ifølge [Reed og Simon, 98, Theorem VI.5], er værdien af integralet uafhængigt af valg af C. Bemærk desuden analogien med Cauchys integralformel. 8

.. DUNFORDKALKULEN Sætning.3 Hvor begge denitioner af f(a) er mulige, stemmer de overens. For f(z) = k= a kz k gælder f(a) = f(z)r A (z)dz = πi C πi C R A (z) a k z k dz. Da rækken er ligeligt konvergent på den kompakte mængde C, kan sum og integration ombyttes, og vha. lemma. fås f(a) = a k R A (z)z k dz = a k A k. πi k= C k= k= Sætning.4 For Dunfordkalkulen gælder (i) (αf + βg)(a) = αf(a) + βg(a) (ii) (fg)(a) = f(a)g(a). Dette gælder i øvrigt også for potensrækkedenitionen af f(a). Se f.eks. [Reed og Simon, 98, Theorem VII.]. Punkt (i) gælder, da integralet er lineært. For (ii) vælges simple, lukkede kurver C og D, så C ligger inden for D. Produktet f(a)g(a) skrives som et dobbeltintegral f(a)g(a) = 4π f(z)g(ζ)r A (z)r A (ζ)dzdζ. D C Ved hjælp af første resolventligning, sætning.(i), fås f(a)g(a) = 4π f(z)g(ζ)(z ζ) (R A (z) R A (ζ))dzdζ D C = ( 4π g(ζ)r A (ζ) f(z)(z ζ) dzdζ D C ) + f(z)r A (z) g(ζ)(ζ z) dζdz. C Da f(z)(z ζ) er holomorf inden for D, er det første integral ifølge Cauchys integralsætning nul. I andet led giver Cauchys integralformel, at D g(ζ)(ζ z) dζ = πi g(z), og dermed f(a)g(a) = f(z)g(z)r A (z)dz = (fg)(a). πi C Et lemma er nødvendigt for at dierentiere potensrækker. Lemma.5 Hvis A n A i B(H), og x k x i H, gælder D lim Ax k = lim A nx. k n 9

. OPERATORER I HILBERTRUM Lad ε > være givet. Hvis A n A, vil der eksistere et N, så n > N medfører, at Ax A n x < ε, og da A er kontinuert, og x k x, vil der eksistere et K, så k > K medfører, at Ax k Ax < ε. Dermed er Ax k A n x Ax k Ax + Ax A n x < ε for k > K og n > N. Eksponentialfunktionen har potensrækkeudvikling exp(z) = k= k! zk, som konvergerer for alle z C. Således kan exp(a) deneres analogt for enhver operator A B(H). Sætning.6 For A B(H) og u C (R, H) er løsningen til begyndelsesværdiproblemet d u(t) = Au(t) dt u() = u givet ved Med andre ord gælder u(t) = exp(ta)u. d exp(ta) = A exp(ta). dt Det skal vises, at lim h (exp((t + h)a) exp(ta)) A exp(ta) h =. For funktionerne f(z) = e (t+h)z, g(z) = e tz og l(z) = e hz gælder f = g l, og dermed må der ifølge sætning.4 gælde exp((t + h)a) = exp(ta) exp(ha), og dermed ( (exp((t + h)a) exp(ta)) A exp(ta) = exp(ta) h h exp(ha) ) h I A. Der skal nu bruges en omskrivning af h exp(ha). For alle n gælder h n k= k! hk A k = n h I + k= k! hk A k = n h I + A k= og derved fås for n h exp(ha) = h I + A exp(ha). Dette giver sammen med lemma.5 lim h ( h exp(ha) h I A ) k! hk A k = n h I + A = lim h (A exp(ha) A) =. k= k! hk A k,

Kapitel Pseudospektrum Betragt en løsning u H til operatorligningen Au zu = v, hvor A B(H), v H, og z ρ(a), og en løsning u til systemet (A + E)u zu = v + v, hvor E < R A (z). Dette er ifølge korollar. tilstrækkeligt til at sikre, at z ρ(a + E). Der gælder så u u = R A (z)v R A+E (z)v R A+E (z)v R A (z) R A+E (z) v + R A+E (z) v R A(z) E R A (z) E v + R A+E(z) v hvor korollar. benyttes. En god vurdering kræver altså, at R A (z) er passende lille. Igennem rapporten undersøges, hvor resolventnormen er stor, og hvilken betydning dette har for operatorligninger. Denition. (Pseudospektrum) For A B(H) og ε > er ε-pseudospektret for A givet ved σ ε (A) = σ(a) {z ρ(a) R A (z) > ε }. (.) Sætning. Lad A B(H), og ε >. Da er følgende tre udtryk ækvivalente. (i) z σ ε (A). (ii) Der eksisterer et B B(H) med B < ε, så z σ(a + B). (iii) z σ(a), eller der eksisterer et v H med v =, så (A zi)v < ε. Det vises først, at (i) medfører (iii). Antag, at z σ ε (A), og z σ(a). Så ndes et u H, så R A (z)u > ε u. Lad v = R A (z)u. Da er (A zi)v < ε v, og (iii) følger af en normalisering af v. Det vises nu, at (iii) medfører (ii). Hvis z σ(a), vælges B =. Antag derfor, at z σ(a). Dermed eksisterer et v H med v =, så (A zi)v < ε. Dener nu operatoren B (af rang ) ved Bu = v,u (A zi)v. Dermed er og B = sup Bu = sup v,u (A zi)v = sup v,u (A zi)v < ε, u = u = u = (A + B zi)v = (A zi)v + Bv = (A zi)v v,v (A zi)v =, hvorved z σ(a + B). Vi mangler nu blot at vise, at (ii) medfører (i), hvilket vises ved modstrid. Antag, at (ii) gælder, og at z σ(a), og R A (z) ε. Bemærk, at A + B zi = (I + BR A (z))(a zi). På grund af antagelserne er BR A (z) < ε ε =. Men så er I + BR A (z) invertibel ifølge sætning.9, og da A zi er invertibel, er A + B zi det også. Men dette strider mod antagelsen om, at z σ(a + B), så enten er z σ(a), eller også er R A (z) > ε, hvilket netop er punkt (i). Punkt (iii) kan også formuleres som følgende:

. PSEUDOSPEKTRUM Denition.3 (Pseudospektrum) Lad A B(H), ε >, z C og u H med u =. Hvis (A zi)u < ε, kaldes z en ε-pseudoegenværdi for A, og u kaldes en tilhørende ε-pseudoegenvektor. Sætning.4 Lad A B(H), og c C. Da er σ ε (ca) = cσ ε/ c (A). Lad z σ ε (ca). Ifølge sætning. eksisterer da et B B(H) med B < ε, så z σ(ca + B). Dener D = c B. Så er σ(ca + B) = cσ(a + D). Da D = c B < ε/ c, er z c σ(a + D) ækvivalent med z c σ ε/ c (A) ifølge sætning., hvoraf resultatet følger. I det endeligdimensionale tilfælde kan pseudospektret bestemmes ud fra følgende sætning: Sætning.5 Antag, at A B(C N ), og lad ε >. Så er z σ ε (A), hvis og kun hvis s min (A zi) < ε. Resultatet følger af denitionen på pseudospektrum og af, at (s min (A zi)) = R A (z) > ε, jf. sætning.6(iii). Det følgende omhandler egenskaber vedrørende pseudospektrer. Der anvendes notationen B δ = {z C z < δ}. Addition af mængder er i betydningen M + M = {z + z z M, z M }. Sætning.6 Lad A B(H), og ε >. Så gælder følgende: (i) Ethvert σ ε (A) er en begrænset og åben delmængde af C. (ii) For < ε < ε er σ ε (A) σ ε (A). (iii) ε> σ ε(a) = σ(a). (iv) For δ > er B δ + σ ε (A) σ ε+δ (A). Lad z C med z A + ε. Da er R A (z) = z k= k+ Ak z k= ( ) k A = z z A ε. Altså ligger disse z ikke i ε-pseudospektret, som dermed er begrænset ved den åbne kugle omkring origo med radius A + ε. For at σ ε (A) er åbent, skal der til ethvert z σ ε (A) eksistere et δ >, så B δ (z) σ ε (A). For z σ ε (A) eksisterer et B B(H) med B < ε, så z σ(a + B). For z C med z (ε B )/ er B + z I B + ε B < ε = ε. Da A + B + z I (z + z )I = A + B zi ikke er invertibel, er z z σ(a + B + z I), og dermed er z + z σ ε (A). Punkt (ii) ses let, da /ε > /ε, så ethvert z σ ε (A) også ligger i σ ε (A). Omvendt vil ethvert z σ ε (A) ikke nødvendigvis ligge i σ ε (A), da resolventen er kontinuert, så der eksisterer et z C, så R A (z) (/ε,/ε ). Vi vil nu vise (iii). Antag, at z ε> σ ε(a). Da er z σ(a) eller R A (z) > ε for alle ε >. Men da R A (z) er begrænset, eksisterer et M >, så R A (z) M, hvilket er en modstrid for ε < M.

Vi vil nu vise (iv). Lad δ >, og antag, at z σ ε (A) \ σ(a). Da eksisterer et v H med v =, så (A zi)v < ε. Lad ζ C med ζ < δ. Da er (A (z + ζ)i)v (A zi)v + ζv < ε + δ, og z + ζ ligger dermed i σ ε+δ (A). Vi mangler at vise (iv) for z σ(a). Sætning.(ii) anvendes. Det skal vises, at der eksisterer et B B(H) med B < δ + ε, så z + ζ σ(a + B) for alle z σ(a) og ζ B δ. Vælg B = ζi, hvor ζi = ζ < δ + ε. Bemærk, at da A zi ej er invertibel, er (A + B) (z + ζ)i = A zi ej invertibel, og dermed er z + ζ σ(a + B), og dermed også indeholdt i σ δ+ε (A). Sætning.7 For A B(H) og ethvert ε > gælder σ ε (A ) = σ ε (A). Da A er invertibel, hvis og kun hvis A er invertibel, er A zi invertibel, hvis og kun hvis (A zi) = A zi er invertibel, og dermed er σ(a ) = σ(a). Antag nu, at z σ(a), og R A (z) > ε. Da gælder (A zi) = (A zi), altså R A (z) = R A ( z), hvor det anvendes, at (T ) = (T ), og T = T. Altså gælder σ ε (A ) = σ ε (A). Sætning.8 Lad A, V B(H), og V være invertibel med konditionstal cond(v ) = k. For B = V AV gælder og endvidere for ε > σ(b) = σ(a) σ ε k (A) σ ε(b) σ kε (A). Bemærk, at k, og at hvis V er unitær, gælder σ ε (A) = σ ε (B). Der gælder B zi = V AV zv V = V (A zi)v, så B zi er invertibel, hvis og kun hvis A zi er invertibel, og dermed σ(b) = σ(a). Antag nu, at z σ(a). Da gælder R B (z) = (B zi) = V (A zi) V k R A (z), så hvis R B (z) > ε, gælder R A (z) > (kε) og dermed Endvidere gælder σ ε (B) σ kε (A). R A (z) = V V (A zi) V V = V R B (z)v k R B (z), så R A (z) > k ε medfører R B(z) > ε og dermed hvorved resultatet opnås. σ ε k (A) σ ε(b), Vi får i det følgende brug for nogle resultater angående ortogonale projektioner. Følgende resultat er fra [Reed og Simon, 98, Theorem II.3]. 3

. PSEUDOSPEKTRUM Sætning.9 For ethvert lukket underrum M H gælder H = M M. Altså kan ethvert x H skrives entydigt som x = u + v, hvor u M og v M. Vi denerer ortogonalprojektionen på M som afbildningen P x = u, der har følgende egenskaber: Lemma. En ortogonalprojektion P opfylder følgende: (i) P B(H). (ii) P =. (iii) P er idempotent. (iv) P er selvadjungeret. Det ses umiddelbart af denitionen på P, at denne er lineær. Lad der for x, χ H gælde x = u + v og χ = µ + γ, hvor u, µ M og v, γ M. Da gælder P x = u x, men også P u = u, så P =. Endvidere gælder P P x = P u = u = P x, hvilket viser, at P er idempotent. Da der gælder P x, χ = u, µ + γ = u, µ + u, γ = u, µ + v, µ = x, µ = x, P χ, hvor det anvendes, at u, γ = = v, µ, er P selvadjungeret. I et metrisk rum (X, d) deneres for ethvert punkt x X og enhver delmængde O X afstanden dist(x, O) = inf z O d(x,z). Bemærk, at hvis O er kompakt, eksisterer et ζ O, så dist(x, O) = d(x, ζ). Sætning. (i) For A B(H) og z σ(a) gælder R A (z) dist(z, σ(a)). (ii) Hvis A er normal, gælder endvidere R A (z) = dist(z, σ(a)). Da σ(a) er kompakt, eksisterer for ethvert z σ(a) et ζ σ(a), så dist(z, σ(a)) = z ζ. Antag, at R A (z) < dist(z, σ(a)). Der gælder A ζi = (A zi)(i +(z ζ)r A (z)), og da A zi er invertibel per antagelse, og I +(z ζ)r A (z) er invertibel ifølge sætning.9, må A ζi være invertibel, hvilket er en modstrid. Punkt (ii) vises i det endeligdimensionale tilfælde. Fra Spektralsætningen fås, at der eksisterer ortogonale projektioner P j, m j= P j = I, så A = m j= λ jp j, og P j P k = δ j,k P j. Da gælder A zi = m j= (λ j z)p j for z ρ(a). Det ses, at R A (z) = m j= (λ j z) P j, ved m m λ j zp j m λ j z P j = I = m λ j z P j λ j zp j. j= j= j= j= 4

For u H, hvor u =, gælder således m R A (z)u = λ j z P ju, = = = j= m j= m j= m j= λ j z λ j z m k= m k= m j= λ j z P ju inf λ σ(a) λ z dist(z, σ(a)), λ j z P ju λ k z P ku, P j u λ k z P jp k u, u m P j u j= og dermed R A (z) dist(z, σ(a)), hvilket sammen med punkt (i) giver det ønskede. Korollar. For A B(H) og ε > gælder og hvis A er normal, gælder lighed. {z C dist(z, σ(a)) < ε} σ ε (A), Sætning.3 Lad A, V B(H), og V være invertibel med cond(v ) = k. Hvis B = V AV er normal, gælder σ ε (A) {z C dist(z, σ(a)) < kε}. Ved ombytning af A og B fås fra sætning.8, at σ ε (A) σ kε (B), og da B er normal, fås ifølge korollar. σ ε (A) {z C dist(z, σ(b)) < kε}, men σ(a) = σ(b) ifølge sætning.8, hvilket giver det ønskede. Følgende sætning viser, at pseudospektret ikke er særlig følsomt over for små perturbationer af operatoren. Sætning.4 Lad A B(H) og ε >. For ethvert E B(H), hvor E < ε, gælder σ ε E (A) σ ε (A + E) σ ε+ E (A). Lad z σ ε E (A). Da eksisterer en operator B B(H), hvor B < ε E, så A + B zi ikke er invertibel. Der gælder B E < ε E + E = ε, og A + E + (B E) zi = A + B zi er ikke invertibel, så z σ ε (A + E). Antag nu, at z σ ε (A + E), så eksisterer der F B(H), så A + E + F zi ikke er invertibel, og F < ε. Da gælder E +F < E +ε, og A+(E +F ) zi er ikke invertibel, så z σ ε+ E (A). 5

Kapitel 3 Eksempler I dette kapitel beskrives først, hvordan pseudospektrer og den numeriske værdimængde kan beregnes i praksis, og hvordan de bliver beregnet med toolboxen EigTool til MATLAB, og derefter gives ved hjælp af matricer nogle eksempler på den tidligere indførte teori om den numeriske værdimængde og pseudospektra. Det bemærkes, at EigTool denerer resolventen som (zi A) = (A zi), men dette får ingen betydning for normen af resolventen. De følgende beskrivelser er tilpasset denitionen fra denne rapport af resolventen som (A zi), selv om det som nævnt ikke er den denition, EigTool bruger. 3. Beregning af pseudospektrer Dette afsnit er baseret på [Trefethen og Embree, 5, kapitel 8 og 39], [Axler, 997, Chapter 7] og [Lay,, afsnit.5, 5.6 og 5.8]. De singulære værdier for en matrix kan udregnes numerisk ved hjælp af hurtige algoritmer, der er numerisk stabile. Ud over at MATLAB generelt anvender singulære værdier for en matrix til at udregne operatornormen af denne i overensstemmelse med sætning.6, indgår de singulære værdier også i beregningen af pseudospektra. I det endeligdimensionale tilfælde er z σ ε (A) ifølge sætning.5 nemlig ækvivalent med, at s min (A zi) < ε. Dette udnyttes ved at udregne disse singulære værdier i et gitter af punkter i en delmængde af den komplekse plan og derefter indtegne konturer baseret på, hvilke af værdierne der er lig med ε. Dette giver så et plot af pseudospektrerne for matricen. Det er muligt at gøre forskellige ting for at gøre denne udregning af pseudospektrer hurtigere, endda uden at anvende for eksempel specielle metoder til at nde egenværdier for selvadjungerede matricer. Her tages ikke hensyn til matricer med en stor andel af -indgange, såkaldte tyndt besatte matricer, hvortil der ndes ere muligheder. I stedet for at udregne alle singulære værdier og derefter bestemme den mindste, hvilket er en realistisk mulighed, når matricen ikke er for stor, kan der spares tid ved kun at beregne den mindste singulære værdi. Dette kan gøres iterativt for eksempel ved nogle af de nedenfor beskrevne metoder. Som et første trin i beskrivelsen af iterativ udregning af singulære værdier for en matrix A betragtes den såkaldte potensmetode, der er en metode til at bestemme den største egenværdi for en matrix iterativt. Antag, at matricen A er diagonaliserbar med egenværdier {λ,..., λ N } med tilhørende egenvektorer {v,..., v N }. Det antages endvidere, at en af egenværdierne har strengt større modulus end de øvrige, og at egenværdierne er ordnet, så λ > λ λ 3 λ N. En startvektor kan opskrives entydigt ved hjælp af basen af egenvektorer som u = c v + c v + + c N v N, og det antages her, at c, det vil sige, at denne startvektor har en komponent i retning af v, som er den egenvektor, der ønskes approksimeret. I modsat fald, altså hvis startvektoren er ortogonal på v, ville algoritmen ikke nde v. Afrundingsfejl på computeren vil dog ofte gøre, at c ikke er eksakt. Den næste iteration bliver u = Au = c Av +c Av + +c N Av N = c λ v +c λ v + +c N λ N v N, og iteration k+ bliver u k+ = A k u = A k (c v +c v + +c N v N ) = c A k v +c A k v + +c N A k v N = c λ k v + c λ k v + + c N λ k N v N. Derved fås ( ( ) k ( ) ) k A k u = λ k λ λn c v + c v + + c N v N. λ λ På grund af ordningen af egenværdierne er brøkerne med λ i nævneren mindre end en, og dermed går den k'te potens af disse brøker mod nul for k. Det følger heraf, at λ k Ak u c v for k. For denne metode afhænger konvergenshastigheden altså blandt andet af forholdet mellem modulus af den største og næststørste egenværdi, og hvor stor en komponent startvektoren har i retning af v, angivet ved c. Generelt er det ikke muligt at skalere A k u med λ k, da det netop er λ, der skal bestemmes, men i stedet skaleres, så den største indgang i hver A k u er. Invers iteration går ud på at anvende potensmetoden på den inverse af operatoren, hvis den inverse eksisterer, og dermed bestemme den største egenværdi af den inverse. Dette svarer til den mindste egenværdi af 6

3.. BEREGNING AF DEN NUMERISKE VÆRDIMÆNGDE den oprindelige operator, da der for en generel operator A gælder, at Ax = λx A x = λ x, og at λ > λ λ N λ < λ λ N. Hvis operatoren ikke er invertibel, har operatoren egenværdien, som dermed er den egenværdi, der har mindst modulus. For at bestemme resolventnormen vil der være tale om at anvende invers iteration på (A zi) (A zi) svarende til at anvende potensmetoden på ((A zi) (A zi)). Denne inverse iteration kræver, at man ganger med ((A zi) ) og (A zi). For at lette disse udregninger foretages en LU-faktorisering af A zi, hvilket vil sige, at denne matrix omskrives til produktet af en nedre trekantsmatrix og en øvre trekantsmatrix, hvor rækkerne i den nedre trekantsmatrix kan være permuterede. Denne faktorisering skal udføres i hvert gitterpunkt, hvilket tager en del tid. Som bekendt gælder der ifølge Schurs Lemma [Axler, 997, Corollary 6.8], at enhver matrix ved en unitær similaritetstransformation kan omdannes til en øvre trekantsmatrix A = V SV. Da matricen V er unitær, følger det af sætning.8 og bemærkningerne umiddelbart efter denne, at σ ε (S) = σ ε (A). Denne Schur-dekomposition, som transformerer A om til en øvre trekantsmatrix S, udføres først en gang for alle, og derefter udregnes s min (S zi) i hvert af gitterpunkterne, hvor det nu ikke er nødvendigt at udføre en LU-faktorisering, da matricen S zi også er en øvre trekantsmatrix. Selve den iterative beregning af s min (A zi) kan også gøres hurtigere ved at anvende for eksempel invers Lanczos-iteration, som anvender linearkombinationer af itererede delresultater fra invers iteration til at danne en approksimation af s min (A zi). Det er denne fremgangsmåde med Schur-dekomposition og invers Lanczos-iteration, som danner grundlag for EigTools udregninger af pseudospektra. Hvis det største relevante ε er kendt, inden beregningerne udføres, kan det være en fordel ved hjælp af forskellige metoder at undgå at udføre beregninger for punkter, der falder uden for det yderste pseudospektrum. Med EigTools graske brugergrænseade er det muligt at vælge andre værdier for ε uden at skulle udføre beregningerne igen. For små matricer vil denne mulighed ofte være mere værd end en forøgelse af beregningshastigheden, men for store matricer kan det godt være særdeles attraktivt at spare nogle af de tunge beregninger. Ovenstående metoder tager udgangspunkt i denitionen af psedospektrum ved resolventnorm. Ækvivalensen mellem (i) og (ii) i sætning. gør imidlertid, at psedospektrer for en operator A også kan skrives som σ ε (A) = σ(a + E). E <ε Dette kan for en matrix A bruges til at afbilde et såkaldt fattigmands-pseudospektrum ved gentagne gange på samme gur at afbilde spektret for summen af matricen A og en stokastisk matrix med norm lig med ε. Resultatet af dette vil afhænge af antallet af perturbationer, det vil sige stokastiske matricer, og sandsynlighedsfordelingen for de stokastiske matricer. Som anvendt i beviset for sætning. kan den stokastiske matrix vælges til at have rang. Derved kan der spares nogle beregninger, da normaliseringen til E = ε er hurtigere for en matrix af rang end for en matrix af fuld rang. Hele denne procedure skal gentages for hvert ε, og de fremkomne gurer giver kun en grænse for, hvilke punkter pseudospektret mindst består af. De tjener altså mest som en hurtig approksimation, men efterhånden som metoder som de tidligere nævnte, der anvender gitterpunkter, bliver hurtigere, bliver denne fordel mindre. 3. Beregning af den numeriske værdimængde Dette afsnit er baseret på [Trefethen og Embree, 5, kapitel 7], [Gustafson og Rao, 997, afsnit 5.6] og [Webster, 994, Example.. og Theorem..3]. Som udnyttet i beviset for sætning.6 kan enhver matrix A skrives på formen A = B + ic, hvor B og C er selvadjungerede og er entydigt givet ved B = (A+A ) og C = i (A A ). Dette medfører, at Re u, Au = u, Re(A)u = u, (A+A )u. At højresiden er reel, ses også af, at (A + A ) er selvadjungeret. Der gælder, at {Re z z W (A)} = {Re u, Au u = } = { u, (A + A )u u = }. Da Re A = (A + A ) er selvadjungeret, gælder ifølge sætning.9, at {Re z z W (A)} = [λ min, λ max ], 7

3. EKSEMPLER hvor λ min og λ max er den mindste hhv. den største egenværdi for Re A. For at opnå grænser for andre retninger end langs den reelle akse, multipliceres A med e iθ for θ [, π]. At W (A) kan approksimeres på denne måde følger af følgende sætninger. Sætning 3. En lukket halvplan A i R er en konveks mængde. Det bemærkes, at en lukket halvplan er givet ved u, z u, hvor u R er fast, z R er vilkårlig, og u R er fast. Lad x, y A, og lad λ. Da x og y ligger i den lukkede halvplan, må der gælde, at u, x u og u, y u. Dermed fås, at u, λx + ( λ)y = λ u, x + ( λ) u, y λu + ( λ)u = u. Således gælder der, at λx+( λ)y A, hvilket netop vil sige, at den lukkede halvplan A er konveks. Sætning 3. Fællesmængden af konvekse mængder i R er konveks. Lad {A i i I}, hvor I = {,,... }, være en familie af konvekse mængder i R. Hvis to punkter tilhører fællesmængden af disse mængder, a, b i I A i, og λ, tilhører punkterne også hver af mængderne, altså a, b A i for alle i I. Da mængderne er konvekse, gælder der i så fald, at λa + ( λ)b A i for hvert i I, og dermed, at λa + ( λ)b i I A i, hvilket netop viser, at denne fællesmængde er konveks. Ved at identicere C med R, giver disse to sætninger, at den halvplan i den komplekse plan, der ligger til venstre for den største egenværdi for (A + A ), er konveks, og at den fællesmængde af de forskellige halvplaner, der fremkommer ved rotationen, som skal approksimere den numeriske værdimængde udefra, også er konveks. Medmindre der indtastes et andet lige antal, anvender EigTool 4 punkter til at bestemme den numeriske værdimængde. 3.3 Eksempler De grundlæggende dele af nogle af eksemplerne stammer fra [Jensen, 8, afsnit 5]. Desuden er der hentet inspiration i [Gustafson og Rao, 997, Example, s. ], og gurerne er lavet i MATLAB med toolboxen EigTool. Det udnyttes ere gange undervejs i de følgende eksempler, at indgangene i diagonalen i en øvre trekantsmatrix er matricens egenværdier. Der skelnes ikke så nøje mellem operatorer og deres matricer. Eksempel 3.3 For c C, c, betragtes matricen A = [ ] c, som ikke er normal. Spektret ses at være σ(a) = {}, og dermed er spektralradius r(a) = sup λ σ(a) λ =. For matricen A kan normen af resolventen udregnes eksplicit, hvilket ifølge sætning.6 kan gøres ved at udregne de singulære værdier. Med udgangspunkt i matricen A er det nemmest at udnytte punkt (iii) i denne sætning, som i forbindelse med resolventnormen lyder (A zi) = (s min (A zi)). Matricen A zi er givet ved [ ] z c A zi =. z For at udregne de singulære værdier for A zi udregnes i henhold til denition.5 først [ ] [ ] [ ] M = (A zi) z z c z c z (A zi) = = c z z cz c + z. 8

3.3. EKSEMPLER For at nde egenværdierne for M dannes matricen [ ] z M λi = λ c z cz c + z. λ Herudfra bestemmes det karakteristiske polynomium til at være hvilket giver egenværdierne det(m λi) = λ + ( c z )λ + z 4, λ = c + z ± c c + 4 z. Ved at tage kvadratroden af disse to egenværdier fås de singulære værdier for A zi, og efter at have fundet den mindste af disse og inverteret den fås R A (z) = (s min (A zi)) = c + z c. (3.) c + 4 z. Foretages en Taylorrækkeud- Det bemærkes, at c + 4 z = vikling til anden orden af + 4 z c + 4 z c + c ( + 4 z c i variablen 4 z c 4 z c 8 ) = c ( 4 z + 4 z c omkring nul, fås c ) = + z c z 4 c 4. Sammen med udtrykket for resolventnormen fra (3.), fås, at for 4 z c z i forhold til c er tæt på nul, og dermed for små R A (z) = c + z c c + 4 z = = c + z c ( + z c z 4 c ) 4 c + z c + 4 z c z 4 c = c z. (3.) Ifølge denition.5 er den numeriske værdimængde for A givet ved W (A) = { u, Au u = }. Nu betragtes et vilkårligt element i W (A). Det bemærkes, at med u = [ u u ] T bliver Au = [ cu ] T, og dermed bliver u, Au = cū u. Endvidere bemærkes, at for a, b R, er ab (a + b ), som anvendes i det følgende. Udregnes modulus af det betragtede element i W (A), fås u, Au = cū u = c ū u = c u u c ( u + u ) = c, hvilket viser, at W (A) {z z c }. Omvendt betragtes nu et vilkårligt element i {z z c }, som skrives z = reiθ = r(cos θ +i sin θ) med r c. Der vælges et u = [ cos α e i(θ θ ) sin α ] T, hvor α π 4, og sin α = c r. Den sidste relation følger af grænserne for r. Udregnes normen af u, fås u = u, u = = cos α cos α + e i(θ θ ) sin α e i(θ θ ) sin α cos α + e i(θ θ )+i(θ θ ) sin α = cos α + sin α =. 9

3. EKSEMPLER 3.8.6.4.5.5...4.5.5.6.8 dim =.8.6.4...4.6.8 (a) c = 3 dim = 3 3 3 (b) c = 4 3 Figur 3.: Pseudospektrer for matricen A. Den numeriske værdimængde er angivet med en stiplet kurve. Med dette u bliver Au = [ ce i(θ θ ) sin α ] T. Dette giver for c = c e iθ u, Au = cos α ce i(θ θ ) sin α + e i(θ θ ) sin α = ce iθ cos α sin α = c c rei(θ θ ) = c eiθ re i(θ θ ) = re iθ, c idet det følger af ovenstående samt formlen for sinus til den dobbelte vinkel, at c r = cos α sin α. Dette viser, at {z z c } W (A), hvilket sammen med den omvendte inklusion ovenfor viser, at W (A) = {z z c }, altså at den numeriske værdimængde for A er den lukkede cirkelskive med centrum i origo og radius c. Den numeriske radius er således µ(a) = sup z W (A) z = sup c z z = c İfølge Toeplitz-Hausdor-Sætningen, sætning.6, er den numeriske værdimængde en konveks mængde og i dette endeligdimensionale tilfælde også en kompakt mængde. For ( )-matricen A blev det ovenfor vist, at den numeriske værdimængde er en lukket cirkelskive i den komplekse plan, og den har dermed begge disse egenskaber. Også sætning.7 kan anvendes på denne operator. Sætningen siger, at σ(a) cl(w (A)), hvilket i det endeligdimensionale tilfælde bliver σ(a) W (A). For den aktuelle operator A bliver udsagnet {} {z z c }. Pseudospektrer for A med hhv. c = og c = 4 ses på gur 3. med randen af den numeriske værdimængde indtegnet som en stiplet kurve. Randen af de forskellige pseudospektrer er angivet med farvede kurver, og sammenhængen mellem farverne og log ε er angivet i højre del af guren. Figuren viser således pseudospektrer for ε =,,5,,,5, 3. Hver egenværdi er angivet med en lille, sort, udfyldt cirkel. De følgende gurer med pseudospektrer i denne rapport er opbygget på tilsvarende måde. Ifølge denitionen på pseudospektrum, denition., samt (3.) er disse pseudospektrer for små z i forhold til c approksimativt givet ved foreningsmængden af spektret σ(a) = {} og de z i resolventmængden, der opfylder, at ε < R A (z) ε < c z z < c ε z < c ε. Pseudospektrerne er altså for små z i forhold til c approksimativt åbne cirkelskiver med centrum i origo og radius c ε, hvilket stemmer overens med guren. Ud over indholdet af de to tidligere nævnte sætninger ses også de grundlæggende egenskaber ved pseudospektra, der optræder i sætning.6, at passe med guren.

3.3. EKSEMPLER Som det fremgår af både ligning (3.) og gur 3., er de forskellige pseudospektrer for A spejlingssymmetriske om den imaginære akse eller med andre ord invariante under kompleks konjugering. Dermed giver sætning.7, som generelt giver σ ε (A ) = σ ε (A), i dette tilfælde σ ε (A ) = σ ε (A). På gur 3. ser pseudospektrerne ud til at være rotationssymmetriske omkring origo. For den aktuelle situation, hvor spektret kun består af et punkt, som endda er origo, bliver dist(z, σ(a)) = z. For små z i forhold til c bliver sætning.(i) således R A (z) dist(z, σ(a)) c z z c z z. For < ε <, hvilket er opfyldt for de på gur 3. afbildede pseudospektrer, og for små z i forhold til c fås fra korollar., at {z dist(z, σ(a)) < ε} σ ε (A) {z z < ε} {z z < c ε}. Eksempel 3.4 Nu betragtes en (3 3)-matrix, der ligesom den foregående har c C i indgangene umiddelbart over diagonalen. Denne matrix er givet ved c B = c, der ikke er normal og har spektrum σ(b) = {}, og dermed spektralradius r(b) = sup λ σ(b) λ =. For matricen B kan normen af resolventen ifølge sætning.6 i teorien udregnes ved at udregne de singulære værdier. Det karakteristiske polynomium for (B zi) (B zi) bliver imidlertid et tredjegradspolynomium med rødder, der er mere komplicerede end de hidtil betragtede. Ifølge følgende sætning om nilpotente matricer er det dog muligt at nde en god approksimation af udtrykket for resolventnormen. et for følgende sætning er baseret på [Trefethen og Embree, 5, Theorem 6.6]. Sætning 3.5 Lad A B(C N ). Så eksisterer der et κ N, så A κ =, hvis og kun hvis σ(a) = {}. I bekræftende fald er R A (z) = O( z κ ) for z. Først vises det, at en operator er nilpotent, hvis og kun hvis dens spektrum er {}. Antag først, at A er nilpotent, det vil sige, at der eksisterer et κ, så A κ =. Lad λ være en egenværdi for A, det vil sige, at Ax = λx. Det ses ved induktion, at A κ x = λ κ x, hvilket giver, at λ κ =, hvilket giver, at λ =, det vil sige, at σ(a) = {}. Antag dernæst, at σ(a) = {}. Ifølge Schurs Lemma eksisterer V B(C N ), så A = V T V og dermed A k = V T k V, hvor T er en øvre trekantsmatrix med σ(a) på diagonalen. Da σ(a) = {}, består diagonalen af nuller, og der må gælde, at T N =, hvormed A er nilpotent. At R A (z) = O( z κ ) for z, vil sige, at der eksisterer et M og et δ, så R A (z) M z κ for z < δ. Antag, at der eksisterer et κ, så A κ =. Dener M = sup k A k, og dener for z størrelserne r = z og γ = r. Analogt med beviset for sætning 5.4 foretages følgende udregninger. Antag, at p(γ A) = sup k γ k A k er endelig, og lad K være givet ved K = ( z γ) R A (z) for z ρ(a). Da gælder der, at rk r γ = r R A(z) = k= A k z k+ k= p(γ A) ( ) k = p(γ A) γ, r hvor det undervejs er udnyttet, at lemma 5. kan anvendes, og at γ r <. Dette giver, at ) p(γ A) rk ( γ r r γ r γ = K. (3.3)

3. EKSEMPLER Med de ovenfor denerede størrelser bliver K = ( z γ) R A (z) = (r r ) R A(z) = r R A(z). For r = z <, og dermed for γ <, giver (3.3), at r ( r ) k R A(z) sup γ k A k = sup γ k A k = sup A k k k k ( r ) κ ( r ) κ sup A k = M. k ( r Det er undervejs udnyttet, at <, og at den største værdi af r ) k, som ikke bliver ganget med nul, optræder for k = (κ ) = κ. Det følger af ovenstående udtryk, at R A (z) M ( ) r κ = M z κ M, hvor κ er konstanten, og δ =, i betingelsen for, at κ R A (z) = O( z κ ) for z. Pseudospektrer for B med hhv. c = og c = 4 ses på gur 3., hvor randen af den numeriske værdimængde er indtegnet som en stiplet kurve. Det fremgår af guren, at pseudospektrerne approksimativt for små z i forhold til c er cirkelskiver med centrum i origo i overensstemmelse med sætning 3.5. I det følgende beregnes den numeriske værdimængde. Lad B =, så B = cb. Lad x = (a, b, c) C 3 være en enhedsvektor. Da er B x = (b, c, ), så x, B x = āb + bc. Dermed fås, at āb + bc = a b + b c + Re(ab c) a b + b c + a b c = b ( a + c ) = ( a c )( a + c ), da a + b + c =. For at nde maksimum af dette udtryk betragtes funktionen f(x, y) = ( x y )(x + y), hvor x, y. De partielle aedede er f x = (x + y)( x y xy) og f y = (x + y)( x y xy). Det ses, at x = y = ikke er et maksimumspunkt for funktionen, derfor betragtes x y xy = og x y xy =, der har løsningen x = y =. Da f(, ) = er āb + bc. Dermed antages den maksimale værdi i x = (,, ), hvor x, B x netop er. Betragt vektoren ξ θ = ( eiθ,, e iθ ), der også er en enhedsvektor. Da er ξ θ, B ξ θ = e iθ, hvilket viser, at den numeriske værdimængde er en cirkel med centrum i og radius. Da x, Bx = c x, B x er den numeriske værdimængde for B en cirkel med centrum i og radius c. Den numeriske radius er dermed µ(b) = sup z W (B) z = c. Ifølge Toeplitz-Hausdor-Sætningen, sætning.6, er den numeriske værdimængde en konveks mængde og i dette endeligdimensionale tilfælde også en kompakt mængde. For matricen B ses i hvert fald konveksiteten af, at den numeriske værdimængde som nævnt ovenfor er en cirkelskive i den komplekse plan. Også sætning.7 kan anvendes på denne operator. Sætningen siger, at σ(b) cl(w (B)), hvilket i det endeligdimensionale tilfælde bliver σ(b) W (B). For den aktuelle operator B bliver udsagnet {} W (B). De grundlæggende egenskaber ved pseudospektra, der optræder i sætning.6, passer også med guren. Som det fremgår af gur 3., er de forskellige pseudospektrer for B spejlingssymmetriske om den imaginære akse eller med andre ord invariante under kompleks konjugering. Dermed giver sætning.7, som generelt giver σ ε (B ) = σ ε (B), i dette tilfælde σ ε (B ) = σ ε (B). Det fremgår af guren, at pseudospektrerne endvidere er rotationssymmetriske omkring origo.