x Parameterkurver Et eksempel på en rapport
Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden givet ved x( t) ( A B) cos( t) + B cos A B t y( t) ( A B) sin( t) B sin A B t B B Vi ved fra bogen at hypocykloiden er den kurve der beskrives af et punkt på periferien af en lille cirkel, der ruller rundt på indersiden af en større cirkel. Med de givne startværdier fås den her viste femtakkede stjernefigur: y( t) A sin( t) 0 x( t), A cos( t) Vi ser, at spidserne på kurven tilsyneladende ligger på en cirkel med radius (værdien af A!). Vi tegner derfor en cirkel med radius A med ind på figuren. Denne iagttagelse kunne tyde på at A var radius i den store cirkel - kunne B så være radius i den lille, som ruller? Vi undersøger sagen ved at variere B: B 1 Vi konstaterer at det ser ud til at passe med B som radius i den rullende cirkel. Lader vi startpunktet ligge på x-aksen - dvs. med koordinaterne (A,0) - når punktets bane netop fem gange ud til den store cirkel, svarende til at den lille netop når at rulle fem hele gange på én omgang. 0 B Vi får nu tilsyneladende samme figur som med startværdierne, altså B =! Men nummererer vi spidserne den sædvanlige vej (mod uret) rundt langs den blå cirkel, kommer spidserne i rækkefølgen 1 - - - - - (1). Den lille cirkel skal altså to gange rundt, førend vi når hjem til udgangspunktet. Man siger at omgangstallet er (gængs betegnelse) 0 B Har vi set ovenfor. Følger vi nu den lille cirkel samme vej rundt som før, ser vi at vi får spidserne i rækkefølgen 1 - - - - - (1), altså baglæns i forhold til B =! Bemærk at omgangstallet her bliver. B Her får vi igen figuren som ved B = 1, men ligesom ved værdierne - kører 1 og hver sin vej rundt. Et nærmere eftersyn viser at omgangstallet nu bliver. Bemærk den gule boks, hvor t bliver sat. Uden den bliver figuren ikke tegnet helt rundt - Mathcad har et standardinterval for t, som åbenbart ikke altid slår til. En omgang er jo normalt π, og hvis vi nu som vist vælger et interval med længden omgange, altså i alt 8π, virker det! t 0, 0.1.. π 0
Parameterkurver 0x MA side af 7 Vi fandt kun to forskellige fem-stjerner, men begge fremkom to gange, en gang "forlæns" og en gang "baglæns". Vi kan tage de fem spidser i rækkefølge (1'eren), eller vi kan tage hver anden hver gang ('eren). Tager vi hver tredje ('eren), får vi den baglæns version af 'eren igen osv. De sammenhørende B-værdier - hhv 1- giver altså netop tilsammen. Det passer med at en lille cirkel med radius fx. netop levner plads til at der kan ligge én med radius ved siden af. Ganger vi både A og B med samme tal, svarer det til at skalere hele figuren op, så det ændrer ikke på de fundne sammenhænge, kun på størrelsen! Det betyder imidlertid, at før vi kan konkludere på antal takker, antal forskellige stjerner, omgangstal osv, må vi forkorte brøken B/A mest muligt (hele tal i tæller og nævner). Kalder vi den forkortede brøk T/N vil N vise antallet af spidser i stjernen, mens T viser omgangstallet. Kombinationen af T og N giver samme figur som (N-T) og N. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Skal vi nu have en 7-stjerne, skal B/A være en uforkortelig brøk med nævneren 7. Vi sætter følgelig A = 7 og undersøger de forskellige hele B-værdier ligesom før. A 7 B 1 Ligesom ved femstjernen får vi her spidserne i rækkefølge (1'eren). Vi undersøger på samme måde 'eren, 'eren osv. og ser som forventet at 'eren og 'eren er ens ligesom 'eren og 'eren samt 1'eren og 'eren. Der er altså forskellige 7-stjernefigurer. 0 B B B 0 0 0 (osv.) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- For at få 9 spidser kan vi sætte A = 9. Men nu opstår et nyt problem, for med B-værdierne og er brøken B/A forkortelig med til 1/ hhv /. I disse tilfælde må vi altså forvente en trestjerne. Vi finder følgende figurer: A 9 B 1 B B B 0 0 0 0 Ligesom før optræder figurerne i par: 1-8, -7, - og -. Da - som forventet kun havde spidser, er der altså kun stjernefigurer med 9 spidser. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Med et vilkårligt sæt af A og B kan vi nu bestemme antallet at spidser på den tilhørende stjernefigur. Først forkortes brøken B/A til mindst mulige hele tal i tæller og nævner. Nævneren angiver derpå antallet af spidser, og tælleren viser omgangstallet.
Parameterkurver 0x MA side af 7 Men dette forudsætter jo at B/A faktisk kan omskrives på denne måde! Hvad hvis B/A er irrational? Ja, så kan brøken jo slet ikke skrives med hele tal i både tæller og nævner. Dermed vil ingen hele tal være store nok til at ramme brøken præcist, så kurven vil aldrig ramme udgangspunktet igen - der vil blive uendeligt mange spidser! Det ser vi fx. ved at sætte A = π A π B 1 t 0, 0.1.. 0 Der er i hvert fald mange spidser - men nu er t jo begrænset ved 0. Sætter vi t op til fx. 00, får vi tilsyneladende dækket hele båndet. Helt dækket bliver det jo i virkeligheden først, hvis t fortsætter uendeligt. t 0, 0.1.. 00 Her ser vi det tilsyneladende helt dækkede bånd: 0 0 Men hvor mange forskellige n-stjerner er der mon så for et vilkårligt, naturligt tal n? Ja, hver gang vi har en uforkortelig brøk t/n har vi en n-stjerne, og samme figur vil fremkomme med brøken (n-t)/n, blot med den modsatte gennemløbsretning. Der vil altså højst være n/ stjerner med n spidser, men hvis n ikke er et primtal, vil nogle af t/n-brøkerne kunne forkortes, og så vil der være færre. Faktisk kan begrænsningen skærpes en smule. For hver n-værdi er der (n-1) mulige t-værdier, så længe vi fastholder det oprindelig krav at B < A. Vi skelner nu mellem to slags tilfælde: Hvis n er ulige, er (n-1) lige. Dermed er der (n-1)/ forskellige stjerner (hvoraf nogle kan have færre spidser end n). Hvis n er lige, er (n-1) ulige - skal man så runde op eller ned fra (n-1)/? Men hvis n er lige, vil alle de lige t-værdier give forkortelige brøker. Dermed vil nogle af figurerne få færre spidser end n. Der er altså også her højst (n-1)/ forskellige stjerner med n spidser. Vi kan for eksemplets skyld undersøge en lige n-værdi. Vi vælger n =, dvs A B 1 B B 0 0 0 Vi ser at 1'eren (og dermed 'eren) giver en -stjerne. 'eren (og 'eren) giver en tre-stjerne, mens 'eren (som jo er sin egen "makker") giver en to-stjerne, dvs et linjestykke! Der er altså kun én -stjerne, hvilket som ønsket er mindre end (-1)/ =,.
Parameterkurver 0x MA side af 7 Bernoullis lemniskat Lemniskaten fremkommer ved parameterfremstillingen: x( t) cos( t) y( t) 1 + ( sin( t) ) sin( t) cos( t) 1 + sin( t) Tilsyneladende skærer kurven x-aksen tre steder. Dem finder vi ved at løse ligningen y = 0: t 0 Given y( t) = 0 Find( t) = 0 t Given y( t) = 0 Find( t) = 1.71 t Given y( t) = 0 Find( t) =.1 y( t) 0. 0. 1 0. 0 0. 1 0. 0. x( t) Den sidste virker bekendt - skulle det mon dække over den eksakte værdi π? Hvis det er tilfældet, er den midterste nok π/. Kurven virker periodisk, og da forskrifterne for den er dannet af de periodiske funktioner sinus og cosinus, checker vi dette gæt: t0 0 x( t0) 1 π t1 x( t1) 0 t π x( t) 1 π t x( t) 0 t π x( t) 1 y( t0) 0 altså skæringspunkt i (1,0) for t = 0 y( t1) 0 altså skæringspunkt i (0,0) for t = π/ y( t) 0 altså skæringspunkt i (-1,0) for t = π y( t) 0 altså skæringspunkt i (0,0) for t = π/ y( t) 0 altså skæringspunkt i (1,0) for t = π Og dermed er vi "hjemme igen" efter et helt gennemløb af kurven. Der er tydeligvis et dobbeltpunkt i (0,0) Det er også det eneste skæringspunkt med y-aksen, hvilket vi kan kontrollere ved at løse ligningen x( t) = 0 <=> cos( t) = 0 <=> t = ± π/ + p*π dvs. netop t1, t, osv... For at undersøge tangenter finder vi x' ( t) d dt x( t) y' ( t) d dt y( t) Af symmetrigrunde gætter vi på lodrette tangenter ved de yderste skæringer med x-aksen. Vi checker: x' ( t0) 0 x' ( t) 0 y' ( t0) 1 altså en lodret retningsvektor - tangenten er lodret med lign. x = 1 y' ( t) 1 altså en lodret retningsvektor - tangenten er lodret med lign. x = -1 Vandrette tangenter ser der ud til at være to af. Vi finder dem ud fra ligningen t 1 Given y' ( t) = 0 Find( t) asin 1 Vi checker først dels om hastighedsvektoren er egentlig (altså at x'(t) ikke er også nul) x' asin x' asin asin begge er altså OK! asin = 0.1 En vandret linje har en ligning af typen y = k. Vi skal altså blot finde de tilhørende y-værdier, dvs: y asin Der er altså en vandret tangent med ligningen y = y asin En anden vandret tangent har ligningen y =
Parameterkurver 0x MA side af 7 Hvad så i dobbeltpunktet? Vi finder de to hastighedsvektorer, da vi allerede kender to t-værdier: 1 x' ( t1) v1 v y' ( t1) 1 x' ( t) y' ( t) 1 1 En vinkel mellem de to tangenter er da vinklen mellem v1 og v. Vi konstaterer straks at v1 v 0 så vinklen er 90
Parameterkurver 0x MA side 7 af 7 Descartes' blad Her er opgivet parameterfremstillingen t t x( t) y( t) s 0. 1 + t 1 + t For at følge kurvens forløb har jeg indført en ekstra parameter, s, og tegnet punktet, svarende til dens værdi, ind på figuren med et kryds som vist. Ved at variere på s kan jeg nu få et indtryk af forløbet. Det viser sig at kurven for store negative værdier ligger tæt på (0,0) i IV.Kvadrant, og når s vokser op imod -1 (hvor hverken x eller y jo er defineret!) går kurven nedad mod højre. Når s går fra -1 op mod 0, kommer kurven i II.Kvadrant ned mod (0,0). Fra 0 og opefter bevæger kurven sig rundt i bladet, når "spidsen" for s = 1 og ender med at gå mod (0,0) igen for s gående mod uendelig. Disse iagttagelser kan bekræftes ved undersøgelser af x(t) og y(t) hver for sig. Da -1 ikke er med i definitionsmængden for de to funktioner, giver det ikke mening at tale om kontinuitet i dette punkt. Men det er klart af undersøgelsen ovenfor at kurven springer, når t passerer -1. y( q) y( s) 0 x( q), x( s) (0,0) er ikke dobbeltpunkt - kun t = 0 giver dette punkt - men alligevel opfører kurven sig specielt her. Man kunne fx. spørge om der er "hul" mellem punktet (0,0) og kurvestykket i IV.Kvadrant? Svaret er, måske lidt overraskende, at det er der IKKE! Da både x(t) og y(t) går mod 0 for t gående mod - kan vi komme vilkårligt tæt på (0,0) - der er altså ikke noget hul! Den samme overvejelse kan vi lave i I:Kvadrant for t gående mod. De to dele af kurven rækker altså ud mod hinanden, men med åbne ender ("bolle") i (0,0). Det manglende punkt er imidlertid med fra tidligere (nemlig for t=0) - "bollen" er udfyldt! - så selvom der ikke er dobbeltpunkt, hænger kurven geometrisk set alligevel sammen i krydset! Det kunne godt se ud som om kurven var symmetrisk omkring vinkelhalveringslinjen til akserne ( y = x ). Men er den mon også det? Punkterne for alle de positive t-værdier ligger i I. Kvadrant (selve bladet) med t=1 på spidsen. De negative værdier rammer i II. Kvadrant, hvis t er større end -1 og i IV. Kvadrant, hvis t er mindre end -1. Det viser sig hurtigt ved eftersyn at de punkter, der ser ud til at ligge symmetrisk overfor hinanden, svarer til t-værdierne fx. og 1/, og 1/, - og -1/... At de ligger symmetrisk om y = x betyder jo at der er byttet om på deres koordinater. Hvis vores iagttagelse (altså at t og 1/t "passer sammen") holder stik, vil det altså sige at x( t) = y 1 og y( t) = x 1, hvilket i virkeligheden er ensbetydende (tænk lige over det...?!) t t Mathcad kan imidlertid ikke løse nogen af disse ligninger, men hvis vi omformer dem lidt snedigt, ser vi at x( t) = y 1 t <=> x( t) y 1 t = 0 Vi lader derfor Mathcad udregne x( t) y 1 0 t Og konkluderer heraf, at sammenhængen holder, dvs. kurven er symmetrisk om y = x. SLUT!