Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel Jesper Breinbjerg Department of Business and Economics University of Southern Denmark Akademiet for Talentfulde Unge, 20. marts 2014 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 1 / 18
Agenda 16.00-17.00: Præsentation af Jesper Breinbjerg, SDU 17.00-17.30: Frokost 17.30-19.15: Workshop 19.15-20.00: Opsamling på opgaver Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 2 / 18
Introduktion Pris Udbud p Efterspørgsel q Mængde Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 3 / 18
Introduktion Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen? Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 4 / 18
Introduktion Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen? Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer: Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 4 / 18
Introduktion Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen? Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer: Præferencer (hvad foretrækker forbrugeren) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 4 / 18
Introduktion Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen? Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer: Præferencer (hvad foretrækker forbrugeren) Budgetrestriktioner (hvilke ressourcer har forbrugeren til at få det hun foretrækker) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 4 / 18
Introduktion Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen? Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer: Præferencer (hvad foretrækker forbrugeren) Budgetrestriktioner (hvilke ressourcer har forbrugeren til at få det hun foretrækker) Givet præferencer og underlagt budget, hvad efterspørger forbrugeren? Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 4 / 18
Introduktion Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen? Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer: Præferencer (hvad foretrækker forbrugeren) Budgetrestriktioner (hvilke ressourcer har forbrugeren til at få det hun foretrækker) Givet præferencer og underlagt budget, hvad efterspørger forbrugeren? Plan of attack for at besvare dette: 1 Hvad er præferencer og hvad antager vi? 2 Nyttefunktioner 3 Budgetbetingelser Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 4 / 18
Forbrugerpræferencer En forbruger efterspørger et varebundt som består af to varer: x 1 angiver mængden af den ene vare og x 2 mængden af den anden Det komplete varebundt er angivet ved (x 1, x 2 ) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 5 / 18
Forbrugerpræferencer En forbruger efterspørger et varebundt som består af to varer: x 1 angiver mængden af den ene vare og x 2 mængden af den anden Det komplete varebundt er angivet ved (x 1, x 2 ) For ethvert af to varebundter (x 1, x 2 ) og (y 1, y 2 ), forestil jer at en forbruger har præferencer ift. hvilken hun foretrækker Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) (x 1, x 2 ) er strengt fortrukket ift. (y 1, y 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) (x 1, x 2 ) er svagt fortrukket ift. (y 1, y 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) indifferent imellem (x 1, x 2 ) og (y 1, y 2 ) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 5 / 18
Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18
Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Ethvert varebundt kan sammenlignes Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18
Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Reflektive. Ethvert varebundt kan sammenlignes Ethvert varebundt er mindst ligså foretrukket som sig selv, dvs. (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18
Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Reflektive. Transitive. Ethvert varebundt kan sammenlignes Ethvert varebundt er mindst ligså foretrukket som sig selv, dvs. (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) og (y 1, y 2 ) (z 1, z 2 ), (x 1, x 2 ) (z 1, z 2 ) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18
Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Reflektive. Transitive. Ethvert varebundt kan sammenlignes Ethvert varebundt er mindst ligså foretrukket som sig selv, dvs. (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) og (y 1, y 2 ) (z 1, z 2 ), (x 1, x 2 ) (z 1, z 2 ) Derudover antager vi ofte pæne præferencer Monotonicitet. Mere er bedre, f.eks. antag x 1 > x 1 så følger (x 1, x 2 ) (x 1, x 2) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18
Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Reflektive. Transitive. Ethvert varebundt kan sammenlignes Ethvert varebundt er mindst ligså foretrukket som sig selv, dvs. (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) og (y 1, y 2 ) (z 1, z 2 ), (x 1, x 2 ) (z 1, z 2 ) Derudover antager vi ofte pæne præferencer Monotonicitet. Konveksitet. Mere er bedre, f.eks. antag x 1 > x 1 så følger (x 1, x 2 ) (x 1, x 2) Kombinationer er bedre end ekstremer Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18
Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Reflektive. Transitive. Ethvert varebundt kan sammenlignes Ethvert varebundt er mindst ligså foretrukket som sig selv, dvs. (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) og (y 1, y 2 ) (z 1, z 2 ), (x 1, x 2 ) (z 1, z 2 ) Denne Derudover antagelseantager mereviproblematisk. ofte pæne præferencer Følger ikke rent logisk, men en hypotese om valgadfærd. Monotonicitet. Er det enmere rimelig er bedre, antagelse? (x 1, x 2 ) (x 1, x 2) f.eks. antag x 1 > x 1 så følger Konveksitet. Kombinationer er bedre end ekstremer Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18
Antagelser om præferencer Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre konsistente præferencer (forbrugerteoretiske axiomer) Komplete. Reflektive. Transitive. Ethvert varebundt kan sammenlignes Ethvert varebundt er mindst ligså foretrukket som sig selv, dvs. (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) Hvis (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) og (y 1, y 2 ) (z 1, z 2 ), (x 1, x 2 ) (z 1, z 2 ) Derudover antager vi ofte pæne præferencer Monotonicitet. Konveksitet. Mere er bedre, f.eks. antag x 1 > x 1 så følger (x 1, x 2 ) (x 1, x 2) Kombinationer er bedre end ekstremer Hvorfor? Fordi vi ofte forbruger mere end en vare. Der eksisterer et trade-off hvor vi opgiver noget af vare 1 for at få mere af vare 2 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 6 / 18
(Pæne) indifferenskurver Indifferenskurven er en grafisk repræsentation af underliggende præferencer Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 7 / 18
(Pæne) indifferenskurver Indifferenskurven er en grafisk repræsentation af underliggende præferencer Viser alle kombinationer af varebundter EXAMPLES for hvilke OF PREFERENCES forbrugeren 37 er indifferent x 2 Weakly preferred set: bundles weakly preferred to (x 1, x 2) x 2 Indifference curve: bundles indifferent to (x 1, x 2) x 1 x 1 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 7 / 18
(Pæne) indifferenskurver Indifferenskurven er en grafisk repræsentation af underliggende præferencer Egenskaber giver antagelser: Viser alle kombinationer af varebundter Højere EXAMPLES for indifferenskurver hvilke OF PREFERENCES forbrugeren 37er er bedre og indifferent vice versa (pga. monotonicitet) x 2 Indifferenskurve altid nedadgående (pga. monotonicitet) Weakly preferred set: bundles weakly preferred to (x 1, x 2) Ikke krydsende eller tangerende (pga. monotonicitet og transivitet) Konveks (pga. konveksitet) x 2 Indifference curve: bundles indifferent to (x 1, x 2) x 1 x 1 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 7 / 18
Marginale substitutionsforhold Marginal Rate of Substitution (MRS) MRS er hældningen på indifferenskurve i et givent punkt Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 8 / 18
Marginale substitutionsforhold Marginal Rate of Substitution (MRS) MRS er hældningen på indifferenskurve i et givent punkt Fortolkning: Raten for hvilken THEenMARGINAL forbruger RATE erof villig SUBSTITUTION til at opgive49en vare for en anden. x2 Indifference curve x2 2 Slope = x x 1 = marginal rate of substitution x1 x1
Marginale substitutionsforhold Marginal Rate of Substitution (MRS) MRS er hældningen på indifferenskurve i et givent punkt Fortolkning: Raten for hvilken THEenMARGINAL forbruger Observationer: RATE OF villig SUBSTITUTION til at opgive49en vare for en anden. Monotonicitet medfører negativ hældning af MRS, dvs. vi x2 opgiver noget for at få noget andet x2 Indifference curve x1 Slope = x 2 = marginal rate x 1 of substitution Konveksitet medfører aftagende marginal substitutionsforhold, dvs. jo mere du har af en vare, desto mere er du villig til at opgive for en anden vare x1 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 8 / 18
Nyttefunktionen En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers underligende præferencer Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 9 / 18
Nyttefunktionen En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers underligende præferencer En nyttefunktion u tildeler en numerisk værdi til alle mulige varebundter sådan at foretrukne bundter har en højere værdi end de mindre foretrukne bundter. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 9 / 18
Nyttefunktionen En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers underligende præferencer En nyttefunktion u tildeler en numerisk værdi til alle mulige varebundter sådan at foretrukne bundter har en højere værdi end de mindre foretrukne bundter. Dvs. måler den ordinale værdi af en forbrugers glæde Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 9 / 18
Nyttefunktionen En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers underligende præferencer En nyttefunktion u tildeler en numerisk værdi til alle mulige varebundter sådan at foretrukne bundter har en højere værdi end de mindre foretrukne bundter. Dvs. måler den ordinale værdi af en forbrugers glæde Matematisk: u(x1, x 2) > u(y 1, y 2) iff. (x 1, x 2) (y 1, y 2) u(x1, x 2) < u(y 1, y 2) iff. (x 1, x 2) (y 1, y 2) u(x1, x 2) = u(y 1, y 2) iff. (x 1, x 2) (y 1, y 2) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 9 / 18
Nyttefunktionen En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers underligende præferencer En nyttefunktion u tildeler en numerisk værdi til alle mulige varebundter sådan at foretrukne bundter har en højere værdi end de mindre foretrukne bundter. Dvs. måler den ordinale værdi af en forbrugers glæde Matematisk: u(x1, x 2) > u(y 1, y 2) iff. (x 1, x 2) (y 1, y 2) u(x1, x 2) < u(y 1, y 2) iff. (x 1, x 2) (y 1, y 2) u(x1, x 2) = u(y 1, y 2) iff. (x 1, x 2) (y 1, y 2) Vi kan derfor forudsige det optimale valg af varebundt (x 1, x 2 ) som maksimerer nyttefunktionen for alle mulige varebundter: arg max (x 1,x 2) u(x 1, x 2 ) := {(x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) : u(x 1, x 2 ) u(x 1, x 2 )} Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 9 / 18
Nyttefunktionen eksempler Eksempler på pæne nyttefunktioner som opfylder monotonicitet og konveksitet af præferencer: Lineær nytte: u(x 1, x 2 ) = ax 1 + bx 2 hvor a, b > 0 Kvadratrodsnytte: u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 Cobb-Douglas nytte: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 hvor c, d > 0 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 10 / 18
Nyttefunktionen Marginal nytte Interessant at undersøge hvor meget nytten ændrer sig ved en lille ændring af mængden af en vare. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 11 / 18
Nyttefunktionen Marginal nytte Interessant at undersøge hvor meget nytten ændrer sig ved en lille ændring af mængden af en vare. Denne ændring kaldes for den marginale nytte mht. en vare. MU 1 = U x 1 = u(x 1 + x 1, x 2 ) u(x 1, x 2 ) x 1 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 11 / 18
Nyttefunktionen Marginal nytte Interessant at undersøge hvor meget nytten ændrer sig ved en lille ændring af mængden af en vare. Denne ændring kaldes for den marginale nytte mht. en vare. MU 1 = U x 1 = u(x 1 + x 1, x 2 ) u(x 1, x 2 ) x 1 Hvis x 1, x 2 R + er kontinuere, så er nyttefunktionen u(x 1, x 2 ) kontinuert differentiabel, dvs. MU i = δu δx i for alle i {1, 2} Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 11 / 18
Nyttefunktionen Marginal nytte Interessant at undersøge hvor meget nytten ændrer sig ved en lille ændring af mængden af en vare. Denne ændring kaldes for den marginale nytte mht. en vare. MU 1 = U x 1 = u(x 1 + x 1, x 2 ) u(x 1, x 2 ) x 1 Hvis x 1, x 2 R + er kontinuere, så er nyttefunktionen u(x 1, x 2 ) kontinuert differentiabel, dvs. MU i = δu δx i for alle i {1, 2} Hvis en nyttefunktion u skal opfylde kravet om monotonicitet af de underliggende præferencer, så skal det gælde at MU i > 0 for alle i {1, 2} Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 11 / 18
Marginal nytte og MRS En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 12 / 18
Marginal nytte og MRS En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte. Betragt en ændring i varebundt ( x1, x 2) som holder nytten konstant (indifferent) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 12 / 18
Marginal nytte og MRS En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte. Betragt en ændring i varebundt ( x1, x 2) som holder nytten konstant (indifferent) Dvs. MU1 x 1 + MU 2 x 2 = U = 0 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 12 / 18
Marginal nytte og MRS En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte. Betragt en ændring i varebundt ( x1, x 2) som holder nytten konstant (indifferent) Dvs. MU1 x 1 + MU 2 x 2 = U = 0 Rearranger udtrykket: MRS = x 2 x 1 = MU 1 MU 2 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 12 / 18
Marginal nytte og MRS En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte. Betragt en ændring i varebundt ( x1, x 2) som holder nytten konstant (indifferent) Dvs. MU1 x 1 + MU 2 x 2 = U = 0 Rearranger udtrykket: MRS = x 2 x 1 = MU 1 MU 2 Negativt fortegn: hvis du får mere af en vare, opgiver du noget af den anden. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 12 / 18
Marginal nytte og MRS En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte. Betragt en ændring i varebundt ( x1, x 2) som holder nytten konstant (indifferent) Dvs. MU1 x 1 + MU 2 x 2 = U = 0 Rearranger udtrykket: MRS = x 2 x 1 = MU 1 MU 2 Negativt fortegn: hvis du får mere af en vare, opgiver du noget af den anden. HUSK: Konveksitet er gældende for de underliggende præferencer hvis MRS er aftagende over x 1 (aftagende marginal subsitutionsforhold) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 12 / 18
Budgetrestriktioner I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 13 / 18
Budgetrestriktioner I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget En forbruger har en indkomst m > 0 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 13 / 18
Budgetrestriktioner I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget En forbruger har en indkomst m > 0 Varene (x 1, x 2 ) koster (p 1, p 2 ) for hver enhed Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 13 / 18
Budgetrestriktioner I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget En forbruger har en indkomst m > 0 Varene (x 1, x 2 ) koster (p 1, p 2 ) for hver enhed Forbrugerens budget: p 1 x 1 + p 2 x 2 m Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 13 / 18
Budgetrestriktioner I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget En forbruger har en indkomst m > 0 Varene (x 1, x 2 ) koster (p 1, p 2 ) for hver enhed Forbrugerens budget: p 1 x 1 + p 2 x 2 m Budgetrestriktionen kan repræsenteres grafisk ved rearrangering: x 2 m p 2 p 1 p 2 x 1 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 13 / 18
line the bundles that cost exactly m and the bundles below this line are those that cost strictly less than m. Budgetrestriktioner egenskaber x2 Vertical intercept = m/p 2 Budget line; slope = p /p 1 2 Budget set Horizontal intercept = m/p1 x 1 igure 1 The budget set. The budget set consists of all bundles that are affordable at the given prices and income. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 14 / 18
line the bundles that cost exactly m and the bundles below this line are those that cost strictly less than m. Budgetrestriktioner egenskaber x2 Vertical intercept = m/p 2 Budget line; slope = p /p 1 2 Budgetlinien hvor alle rescourcer bliver udnyttet p 1 x 1 + p 2 x 2 = m Budget set Horizontal intercept = m/p1 x 1 igure 1 The budget set. The budget set consists of all bundles that are affordable at the given prices and income. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 14 / 18
Optimale valg nyttemaksimering Forbrugerens problem: hvad er det optimale valg af varebundt? max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 m (x 1,x 2) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 15 / 18
Optimale valg nyttemaksimering Forbrugerens problem: hvad er det optimale valg af varebundt? max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 m (x 1,x 2) (Et Kuhn-Tucker maksimeringsproblem det har i ikke lært endnu) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 15 / 18
Optimale valg nyttemaksimering Forbrugerens problem: hvad er det optimale valg af varebundt? max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 m (x 1,x 2) (Et Kuhn-Tucker maksimeringsproblem det har i ikke lært endnu) Men, men, men... givet monotonicitet i forbrugerens præferencer vil hun udnytte hele sit budget, dvs. max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (x 1,x 2) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 15 / 18
Optimale valg nyttemaksimering Forbrugerens problem: hvad er det optimale valg af varebundt? max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 m (x 1,x 2) (Et Kuhn-Tucker maksimeringsproblem det har i ikke lært endnu) Men, men, men... givet monotonicitet i forbrugerens præferencer vil hun udnytte hele sit budget, dvs. max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (x 1,x 2) (Et Lagrange maksimeringsproblem det har i lært!!) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 15 / 18
ure Optimal Jesper Breinbjergchoice. The optimal consumption Optimale valg og forbrugerefterspørgsel position is where16 / 18 Nyttemaksimering illustration x 2 Indifference curves Optimal choice x* 2 x* x 1 1
Nyttemaksimering illustration x 2 Indifference curves Optimal choice (x1, x 2 ) er forbrugerens optimale valg. Optimum hvor budgetlinen tangerer den højest beliggende indifferenskurve, dvs. MRS = p1 p 2 x* 2 x* x 1 1 ure Optimal choice. The optimal consumption position is where Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 16 / 18
Nyttemaksimering illustration x 2 x* 2 Men men men... dette er ikke altid tilfældet! Indifference curves ikke-monotone præferencer Lagrange duer ikke nødvendigvis ikke-konvekse præferencer Optimal måske problemer med anden-ordensbetingelser choice ikke-strengt konvekse præferencer der kan være flere løsninger ikke-differentiable præferencer MRS er ikke altid veldefineret HUSK disse overvejser ikke noget hjernedød FOC. x* x 1 1 ure Optimal choice. The optimal consumption position is where Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 16 / 18
Nyttemaksimering Lagrange Givet maksimeringsproblemet max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (x 1,x 2) Kan Lagrange multiplikatorfunktionen skrives som L(x 1, x 2, λ) = u(x 1, x 2 ) λ(p 1 x 1 + p 2 x 2 m) hvor λ er en konstant (fortolkning: skyggeprisen) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 17 / 18
Nyttemaksimering Lagrange Givet maksimeringsproblemet max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (x 1,x 2) Kan Lagrange multiplikatorfunktionen skrives som L(x 1, x 2, λ) = u(x 1, x 2 ) λ(p 1 x 1 + p 2 x 2 m) hvor λ er en konstant (fortolkning: skyggeprisen) Differentier L partielt mht. x 1, x 2, λ sæt alle lig med 0 (første ordensbetingelsen for maksimering) δl = δl = δl δx 1 δx 2 δλ = 0 Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 17 / 18
Nyttemaksimering Lagrange Givet maksimeringsproblemet max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (x 1,x 2) Kan Lagrange multiplikatorfunktionen skrives som L(x 1, x 2, λ) = u(x 1, x 2 ) λ(p 1 x 1 + p 2 x 2 m) hvor λ er en konstant (fortolkning: skyggeprisen) Differentier L partielt mht. x 1, x 2, λ sæt alle lig med 0 (første ordensbetingelsen for maksimering) δl = δl = δl δx 1 δx 2 δλ = 0 Løs herefter de tre ligninger med tre ubekendte. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 17 / 18
Nyttemaksimering Lagrange Givet maksimeringsproblemet max u(x 1, x 2 ) u.b.b p 1 x 1 + p 2 x 2 = m (x 1,x 2) Kan Lagrange multiplikatorfunktionen skrives som L(x 1, x 2, λ) = u(x 1, x 2 ) λ(p 1 x 1 + p 2 x 2 m) hvor λ er en konstant (fortolkning: skyggeprisen) Differentier L partielt mht. x 1, x 2, λ sæt alle lig med 0 (første ordensbetingelsen for maksimering) δl = δl = δl δx 1 δx 2 δλ = 0 Løs herefter de tre ligninger med tre ubekendte. Hvis præferencer er monotone, strengt konvekse og kontinuert differentiable, så eksisterer der en unik indre løsning. Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 17 / 18
Reference For interesserede kan jeg anbefale Varians bog: Hal R. Varian Intermediate Microeconomics: A Modern Approach (8th ed.) W. W. Norton & Company, 2010. (Præsenterede figurer i slides er fra denne) Jesper Breinbjerg Optimale valg og forbrugerefterspørgsel 18 / 18