Kapitel 3: Præferencer Hvordan skal vi modellere præferencer? 1. Paradigme (husk fra forrige kapitel): Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Vi har set på hvordan man kan formaliserer har råd til. 3. Hvad der er det bedste afhænger af forbrugerens præferencer. 4. Vi ser på præferencer som en givne relationer mellem par af varebundter. 5. Måske ikke specielt oplagt hvorfor man lige benytter dette udgangspunkt - hvorfor er vi særlig interesserede i at sammenligne par af varebundter? 6. MEN: Udgangspunktet virker, forhåbentligt, ret naturligt, og: 7. Vi vil se senere at andre udgangspunkter giver nogenlunde samme resultater (præciseres senere hvordan dette skal forståes)
Generelt om binære relationer 1. En binær relation angiver om to tilstande står i forhold til hinanden. 2. Mere præcist: Vi har en mængde M = {a, b, c,...} og en delmængde B X X. 3. Fortolkning: (x, y) B hvis x står i relation til y. 4. Hvis x står i relation til y da skrives ofte xry. 5. Eksempler: M = alle mennesker i verden. R = højere end. M = alle mennesker i verden. R = mindst lige så høj som. M = alle mennesker i verden. R = højere og tungere end. M = alle mennesker i verden. R = deler mindst et navn med. M = R (de reelle tal). R =. M = R (de reelle tal). xry hvis x y > 1.
Præference relationer 1. Lad n være et givet antal goder. 2. Lad x =(x 1,..., x n ) og y =(y 1,..., y n ) være to varebundter. 3. Vi skriver da: x  y hvis x er strengt foretrukket fremfor y. 4. Vi skriver hvis  ikke gælder. 5. Ud fra relationen  definerer vi følgende relationer: 6. indifferens: x y hvis x y og y x. 7. svagt foretrukket (ell. ej værre end ): x º y hvis y x
Præference relationer II Alternativt kan man tage udgangspunkt i relationen svagt foretrukket º og definere  og ud fra denne: 1. Vi skriver da: x º y hvis x er svagt foretrukket fremfor y. 2. Ud fra relationen º definerer vi følgende relationer: 3. Vi skriver ² hvis º ikke gælder. 4. indifferens: x y hvis både x º y og y º x. 5. strengt foretrukket: x  y hvis y ² x. I det følgende: lad relationen º være udgangspunktet.
Standardantagelser for præferencerelationer 1. Komplet (ell. fuldstændig): For alle par x og y har vi enten x º y eller y º x. 2. Fortolkning af komplet: Alleparkansammenlignes. 3. Transitiv: hvisx º y og y º z da x º z. 4. Fortolkning af transitiv: Hvisx er mindst lige så god som y, og y er mindst lige så god som z, daer x mindst lige så god som z. 5. refleksiv: hvisx º x for alle x. 6. Fortolkning af refleksiv: Alle varebundter er mindst lige så gode som sig selv. Spørgsmål: Hvilke egenskaber er opfyldt i vores tidligere eksempler?
Bemærk: Hvis º er komplet da er º refleksiv. Argument: Følger af definition af komplet hvis man sætter x = y.
Bemærk: Hvis º er transitiv, da medfører x 1 º x 2, x 2 º x 3,...,x k 1 º x k at x 1 º x k, k 3. Induktionsbevis: For k =3: Følger af transitivitet. Antag at udsagn gælder for alle 3 h k ( induktionshypotese ). Vi skal nu vise at det derved også gælder for h = k +1. Antag derfor at x 1 º x 2, x 2 º x 3,...,x k º x k+1. Fra induktionshypotesen følger at x 1 º x k og da x k º x k+1 følger det af transitivitet at: x 1 º x k+1. Transitivitet udelukker cykliske præferencer : Der findes ikke alternativer {x 1,x 2,,...,x k } så at x 1 º x 2, x 2 º x 3,...,x k 1 º x k og x k  x 1.
Pointe med transitivitet: Hvis º er transitiv, da vil der for enhver endelig mængde af alternativer {x 1,x 2,,...,x n } findes et alternativ x i så at x j x i for alle x j -dvs (mindst et) bedste alternativ ( maximal element ) findes altid. Modstridsbevis: Antag at º er transitiv, og at der findes en endelig mængde M = {x 1,x 2,,...,x n } så at for alle x i M findes x j M så at x j  x i. Da M er endelig findes derved en sekvens x i1,x i2,...,x ik,x i1 så at x i2  x i1,x i3  x i2,..., x ik  x ik 1 og x i1  x ik - modstrid med transitivitet.
Indifferenskurver I det følgende: Lad º være en komplet og transitive præferencerelation. 1. Indifferenskurve: For et givet varebundt x, da angiver indifferenskurven mængden af de varebundter y for hvilket at y x. 2. Nytten er konstant langs en indifferenskurve. Kan sammenlignes med højdekurver på et landkort (hvor højden er konstant langs en kurve)
1. To indifferenskurver for to forskellige nytteniveauer kanaldrigkrydsehinanden(hvorfor?) 2. Spørgsmål: Kan to indifferenskurver for det samme nytteniveau krydse hinanden?
Vigtige eksempler på præferencer 1. Perfekte substitutter: Goder der altid afvejes i et bestemt bytteforhold. 2. Specialtilfælde: Goder der er identiske for forbruger. F.eks. 1 flaske Hof og 1 flaske Grøn (bytteforhold 1:1). 3. Eller 1 2 liter fad og 1 4 liter fad (bytteforhold 1:2)
1. Perfekte komplementer: Goder der altid forbruges i et bestemt bytteforhold. 2. F.eks.: højre og venste sko (forbruges i forhold 1:1), Rat og Hjul (forbruges i forhold 1:4).
Eksempel på Indifferenskurver hvor den ene vare er et onde (Ansjoser) og den anden vare et gode (Pepperoni). Spørgsmål: Hvad hvis begge goder er onder?
Eksempel på Indifferenskurver hvor den ene vare er naturalt (Ansjoser) og den anden vare et gode (Pepperoni).
Eksempel på Indifferenskurver hvor der findes et mætningspunkt - (x 1, x 2 ) optimalt for forbruger.
Eksempel på indifferenskurver hvor Gode 1 er udeleligt ( diskrete )
Pæne præferencer 1. Vi siger at præferencer er pæne ( well-behaved ) hvis følgende er opfyldt: 2. Monotone præferencer -Jomereafgodernejo bedre: 3. For x =(x 1,..., x n ) og y =(y 1,..., y n ), hvis x 6= y og x i y i for alle i, dax  y.
1. Convekse præferencer - foretrækker blandinger fremfor extremer: 2. For x =(x 1,...,x n ) og y =(y 1,...,y n ), hvis x y og 0 <t<1, datx +(1 t)y º x. Ofte benyttes en lidt stærkere version: 3. Strengt convekse præferencer - strengt foretrækker blandinger fremfor extremer: 4. For x =(x 1,...,x n ) og y =(y 1,...,y n ), hvis x y og 0 <t<1, datx +(1 t)y  x.
MRS - Marginal Rate of Substitution På dansk: marginale substitutionsrate. 1. Sepåtovarer:Vare1ogVare2. 2. Definition: MRS i punktet (x 1,x 2 ) er da defineret som hældingen på indifferenskurven i punktet (x 1,x 2 ). 3. NB: Ved denne definition er MRS sædvanligvis negativ. Nogle økonomer definerer MRS som den absolutte værdi af hældingen på indifferenskurven ipunktet(x 1,x 2 ). 4. Lad I(x 1 ) være en funktion der angiver indifferenskurven gennem (x 1,x 2 ).DaMRS(x 1,x 2 )=I 0 (x 1 ) x 2 x 1 (underforstået: x 1 negativ). 5. Nb: vi forudsætter her at indifferenskurve er differentiabel. 6. Fortolkning: Den absolutte værdi af MRS er et mål for hvor meget forbrugeren skal have af Vare 2 for det modvejer tabet af 1 enhed af Vare 1.
Husk: MRS måler hvor meget forbruger er villig til at betale i form af den ene vare for at modtage 1 enhed af anden vare. Naturligvis ikke nødvendigvis det sammen som hvor meget forbruger er nødt til at betale i form af den ene vare for at modtage 1 enhed af anden vare.
MRS egenskaber i vigtige eksempler på præferencer 1. Perfekte substitutter: Konstant og negative MRS. 2. Perfekt komplementære goder: MRS er uendelig stor eller nul. 3. Et gode og et onde: positiv MRS. 4. Et gode og et neutralt gode: MRS er uendelig eller nul (afhængig af hvilket gode der er neutralt). 5. Mæthedspunkt: MRS kan antage alle tænkelig værdier. 6. Pæne indifferenskurver: MRS negativ og absolut værdi er aftagende i x 1.
Mini-Øvelse: Lad x 1 =antal 100 kr sedler Lad x 2 =antal 20 kr mønter. 1. Skitser indifferenskurver i (x 1,x 2 )-diagram. 2. Angiv den marginal substitutionsrate. 3. Er de to varer perfekte komplementer?