Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I q q qv = = = (9.) T π v π sådan at demed μ qv qv π = IA = π = (9.3) q μ = v. (9.4) et af den pågældende ladning e L = p= m v m = q μ (9.5) svaende til at L μ e enten paallelle elle anti-paallelle demed udtyk fo beslægtede fysiske egenskabe ved det pågældende kedsløb. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik Nanoteknoli AAU 07/01/009
Kvantemekanik 9 Side af 9 Sten-Gelach-fosøget I dette fosøg fa 19 sendes en ståle af atome igennem et inhoment B-felt de i favæet af y S andeffekte kan skives B = B. (9.6) ( ) ˆ x N Ved dees passage påvikes hvet atom af en magnetisk kaft F = E mag (9.7) hvo E = μ B= μ B mag ( ) (9.8) jf. EM udtyk (8.0) e den potentielle enegi 1 i B-feltet af den magnetiske dipol som et atom udgø sådan at kaften på atomene e B B B F = μ xˆ yˆ ˆ + + x y (9.9) B = μ ˆ da B-feltstyken ha maksimum fo x = 0 da B y = 0 i favæet af andeffekte. Klassisk kan pojektionen μ af et atoms magnetiske dipolmoment på -aksen antage alle vædie i intevallet μ μμ ; (9.10) svaende til at atomene vil fodele sig langs en lodet stibe på skæmen. 1 Udtyk (9.7) e således den velkendte sammenhæng mellem kaft potentiel enegi. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik Nanoteknoli AAU 07/01/009
Kvantemekanik 9 Side 3 af 9 Men i det pågældende fosøg amte atomene kun skæmen nle ganske bestemte stede svaende til at μ e kvantiseet! Helt pæcist vise det sig at μ = gμ m (9.11) B j hvo e kvantetallet fo pojektionen j { 1 1 j} m j j+ j+ j j 1 3 j 0 1 (9.1) μ af det magnetiske dipolmoment idet j e kvantetallet fo støelsen μ af det magnetiske dipolmoment en Boh-magneton e μ B = (9.13) m e en passende enhed fo atomae magnetiske dipolmomente ( + 1) ( + 1) + ( + 1) j( j+ 1) j j l l s s g = 1+ 1; e (9.14) e den såkaldte Landé g-fakto idet l s j e kvantetallet fo hhv. banebevægelsesmængdemomentet 3 spin-bevægelsesmængdemomentet bevægelsesmængdemoment. det samlede Pojektionen μ ses af udtyk (9.1) at kunne antage j+1 foskellige vædie så jo støe μ jo støe j jo flee mulige pojektione μ jo flee plette på skæmen. I det opindelige fosøg va de tale om sølvatome som i dees gundtilstand e kendetegnet ved 1 j = svaende til j { 1 1 } m + demed to plette på skæmen. Mee heom i KM10. 3 Mee heom senee i denne lektion. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik Nanoteknoli AAU 07/01/009
Kvantemekanik 9 Side 4 af 9 Klassisk En patikel de befinde sig i punktet ha bevægelsesmængden p ha mht. oigo bevægelsesmængdemomentet L= p xˆ yˆ ˆ = x y p p p x y ( y) ( x ) ( y x) = xˆ yp p + yˆ p xp + ˆ xp yp Lx L = Lx+ Ly+ L. Ly L (9.15) Kvantemekanisk Opeatoepæsentanten fo L e givet ved ˆ L ˆ = pˆ = i = i xˆ yˆ ˆ x y x y = xˆ y yˆ x ˆ x y i y + + i x i y x Lˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ x= yp p ˆ y Ly= px xp L= xp ˆˆy yp ˆˆx ˆ ˆ ˆ = x+ ˆ y. L L L + L (9.16) Thomas B. Lynge Institut fo Fysik Nanoteknoli AAU 07/01/009
Kvantemekanik 9 Side 5 af 9 Ifølge opg. 7.3 e Lˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x L y = il Ly L = i L x L L x = il y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y L L = L L = L L = 0. (9.17) ˆL kommutee således med L ˆx L ˆy L ˆ hvoimod L ˆx L ˆy L ˆ ikke kommutee indbydes. Jf. KM8 s. 6-8 findes de således et fuldstændigt sæt af samtidige egentilstande fo ˆL L ˆx et andet fo ˆL L ˆy et tedie fo ˆL L ˆ. Ifølge udtyk (8.5) fås vha. udtyk (9.17): Δ 1 ˆ ˆ 1 1 Lx Ly L x L y i L i = L ΔLyΔL Lx ΔLΔLx Ly hvoaf det ses at de te komposante L x (med vilkålig sto nøjagtighed) nå Ly L (9.18) L kun kan bestemmes samtidigt Lx = Ly = L = 0. (9.19) Deimod femgå det af udtyk (9.17) at man kan bestemme støelsen L én af komposantene på samme tid. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik Nanoteknoli AAU 07/01/009
Kvantemekanik 9 Side 6 af 9 Samtidige egenfunktione fo Ifølge opg. Q e en sfæisk symmetisk funktion R ( ) samtidig egenfunktion fo både L ˆx L ˆy L ˆ ˆL med tilhøende egenvædie Lx = Ly = L = L= 0 hvilket opfylde betingelsen i udtyk (9.19). Så fo en kvantepatikel kendetegnet ved en sfæisk symmetisk bølgefunktion vides altså med sikkehed at L = L = L = L= 0. x y ˆL Lˆ Ifølge opg. R e R ( ) ikke egenfunktion fo hveken L ˆx elle L ˆy men e samtidig egenfunktion fo ˆL L ˆ med tilhøende egenvædie I en tilstand kendetegnet ved L = L = 0. φ = R ( ) ( ) (9.0) (9.1) vil man således med sikkehed vide at støelsen af bevægelsesmængden e L = at pojektionen på -aksen e L = 0 hvoimod pojektionen i xy-planen e behæftet med usikkehed. 45 4 ( ) x R R ( ) y e tilsvaende samtidige egenfunktione fo ˆL ˆ hhv. ˆL ˆ. L x L y 5 Dette vise således at udtyk (9.19) e en nødvendig men ikke tilstækkelig betingelse fo at L L samtidigt målbae. x y L e Thomas B. Lynge Institut fo Fysik Nanoteknoli AAU 07/01/009
Kvantemekanik 9 Side 7 af 9 Det kan vises at ( ) x iy R + ( ) x iy R (9.) (9.3) så e samtidige egenfunktione fo ˆL L ˆ med tilhøende egenvædie hhv. L = L = L = L =. (9.4) (9.5) Geneelt vise det sig at bevægelsesmængden e kvantiseet på flg. måde: ( 1) L= l l+ L l 0 = m idet l e banekvantetallet l { } m l + l 1 + l l l 1 l l m l e det magnetiske banekvantetal. 6 (9.6) Fo et bevægelsesmængdemomentet med støelse L demed banekvantetal l e 7 de således l + 1 mulige pojektione af bevægelsesmængdemomentet på en given akse. 6 Bemæk den delvise anali med udtyk (9.1). Den pæcise sammenhæng femgå af KM10. 7 Som alle ande koodinatakse kan -aksen vælges vilkåligt. Nå -aksen e fastlagt e xy-planen fastlagt som planen vinkelet hepå. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik Nanoteknoli AAU 07/01/009
Kvantemekanik 9 Side 8 af 9 Kvantetallene buges til at identificee de foskellige samtidige egenfunktione fo ˆL L ˆ som således skives lm l ( ) φ. (9.7) F.eks.: 1 ( ) φ00 = R0 x iy φ1 1 = R1 ( ) = R1 ( )( sinθcosφ isinθsin φ) φ10 = R1 ( ) = R1 ( ) cos θ x+ iy φ11 = R1 ( ) = R1 ( )( sinθcosφ+ isinθsin φ) φ = R ( ) φ = (9.8) hvo θ φ e hhv. pol- aimuthalvinkel jf. Fig. 8.5 i læeben hvo Rl ( ) kun e indiceet med l eftesom den vise sig ikke at afhænge af 8 l m. 8 Som det femgå af KM10 e m l et udtyk fo den umlige oienteing af den pågældende bølgefunktion det sige den sfæisk symmetiske del af denne bølgefunktion ikke net om. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik Nanoteknoli AAU 07/01/009
Kvantemekanik 9 Side 9 af 9 Denne figu 9 visualisee en bevægelsesmængdemomentvekto fo l = hvilket jf. udtyk (9.6) svae til L = 6 flg. + 1= 5 mulige pojektione på -aksen: L { 0 }. Hve af disse 5 mulige -komposante e på figuen symbolsk illusteet ved en kegle fo hvilken L L ha bestemte vædie hvoimod L x usikkehed. L y e behæftet med Bemæk i øvigt Diacnotationen ( ) lm ~ φ l l m l i figuteksten. 9 Mebache Quantum Mechanics 3 d ed. Wiley. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik Nanoteknoli AAU 07/01/009