Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G. Bjarnason
Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 1 Indledning... 2 1. Data analyse... 3 a. Undersøg data nøjere... 3 b. Læg data ind i et koordinatsystem... 4 c. Analyser punkternes placering, og bestem fremskrivningsfaktorer... 5 2. Opstilling af matematiske modeller for den eksponentielle fase... 6 a. Argumentation for enheden på x-aksen... 6 b. Udvælgelse af et interval hvor udviklingen tilnærmelsesvis er eksponentiel... 6 c. Overvej om det er en god ide at beregne gennemsnit af a for hele den eksponentielle fase... 8 d. Analyser hvilken forskel det giver at indsætte forskellige punkter, når b skal beregnes... 8 e. I hvilke intervaller er funktionerne defineret?... 8 f. Opstil flere modeller for de samme data/interval... 9 g. Beregn fordoblingskonstanten... 10 3. Analyser modellerne i forhold til data... 11 a. Tegn grafer for de opstillede modeller i relevante koordinatsystemer... 11 b. Beregn relevante værdier ved hjælp af modellerne, og sammenlign med de oprindelige data... 13 e. Find en model ved hjælp af regressionsanalyse... 15 4. Samlet vurdering af modellernes udsagnskraft... 16 c. Vurdering af årsager til forskelle mellem model og virkelighed.... 16 d. Med hvilken rimelighed kan man snakke om en eksponentiel fase?... 16 1
Indledning Det viser sig at gærceller kan vokse hvis de befinder sig i en flydende næringsstofoplæsning, og at man kan finde frem til hvad væksten for denne udvikling som var det en eksponentiel funktion. Vi er også fortalt at gærcellerne har nogle forskellige udviklings faser, at inden den eksponentielle fase vil cellerne akklimatisere sig til opløsningen, hvor der ikke vil ske megen udvikling, hvorefter deres vækst for alvor kommer i gang og sætter gang i den eksponentielle udvikling. Der er blevet udført netop dette forsøg hvor man har fået et antal gærceller til at vokse i et næringsstof igennem noget tid, og vi er her givet måleresultaterne. Vi skal nu fra et matematisk synspunkt analysere og bearbejde disse resultater, og vi skal opstille nogle forskellige matematiske modeller som skal kunne forklare disse data. For at opstille disse modeller skal vi bruge et IT værktøj som vi er blevet introduceret til, NetLogo. Ved hjælp af NetLogo, skal vi for eksempel udarbejde forskellige vækstkurver i et koordinatsystem. Vi skal komme frem til flere forskellige funktionsudtryk, og producere flere prototyper til at beregne disse funktioner i NetLogo. 2
1. Data analyse a. Undersøg data nøjere Vi har fået følgende måleresultater: Tid i minutter Antal gærceller 0 15 20 16 40 18 60 19 80 22 100 24 140 31 160 42 180 49 200 67 220 78 240 90 260 105 280 109 300 122 320 125 Vi kan se at den uafhængige variabel har enheden minutter, og den afhængige variabel har enheden antal. Vi kan også se at der er 16 målinger som strækker sig over 320 minutter, med 20 minutters mellemrum, men målingen ved 120 minutter mangler. Det ser også ud som om antallet er delt op i tre faser: Den første hvor antallet er rimelig stabilt Den anden hvor antallet nærmest vokser eksponentielt Og den tredje hvor antallet flader lidt ud igen 3
b. Læg data ind i et koordinatsystem Vi har tegnet data ind i et normalt koordinatsystem, og bedt Graph om at lave en tendenslinje: Og her i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem: Som det kan ses på grafen, ligger punkterne næsten på en ret linje. 4
c. Analyser punkternes placering, og bestem fremskrivningsfaktorer Til den eksponentielle regressionsanalyse har vi brugt denne formel: Som et eksempel beregner vi fremskrivningsfaktoren mellem punkterne (0, 15) og (20, 16): Indsæt tallene Udregn og Udregn Udregn Fremskrivningsfaktoren mellem punkterne (0, 15) og (20, 16) er derfor 1,00323. Punkter Fremskrivningsfaktor (0, 15) og (20, 16) 1,00323 (20, 16) og (40, 18) 1,00591 (40, 18) og (60, 19) 1,00271 (60, 19) og (80, 22) 1,00736 (80, 22) og (100, 24) 1,00436 (100, 24) og (140, 31) 1,00642 (140, 31) og (160, 42) 1,01530 (160, 42) og (180, 49) 1,00774 (180, 49) og (200, 67) 1,01577 (200, 67) og (220, 78) 1,00763 (220, 78) og (240, 90) 1,00718 (240, 90) og (260, 105) 1,00774 (260, 105) og (280, 109) 1,00187 (280, 109) og (300, 122) 1,00565 (300, 122) og (320, 125) 1,00122 Gennemsnittet af fremskrivningsfaktorerne er 1,0066712958463084. 5
2. Opstilling af matematiske modeller for den eksponentielle fase a. Argumentation for enheden på x-aksen Hvis enheden på x-aksen er observationer, vil grafen blive meget stejl og svær at aflæse. Formlen der skal bruges til at udregne fremskrivningsfaktoren ser sådan her ud: Og hvis enheden på x-aksen er observationer, som for det meste kun har en spring på 1 på x-asken, kan formlen omskrives til: Det vil være nemmere at bruge den forkortede formel, men da der mangler en måling efter 120 minutter, kan denne formel ikke bruges til alle udregningerne. Når enheden derimod er minutter bliver fremskrivningsfaktoren meget lille, og grafen vil derfor blive bredere og lettere at aflæse. Da det ikke er noget problem for programmel at fremskrivningsfaktorerne er meget små, og det vil blive for besværligt at få modellen til at tage højde for hvilken formel der skal bruges hvornår, er det nemmeste at lade enheden på x-aksen være minutter. Vi har derfor valgt at bruge minutter som enhed på x-aksen. b. Udvælgelse af et interval hvor udviklingen tilnærmelsesvis er eksponentiel Vi har brugt den eksponentielle model vi har lavet i NetLogo til at vurdere det bedste interval. Når vi køre modellen, får vi disse resultater. Der bliver fjernet en måling fra starten og slutningen hver gang. Interval Farve i modellen Afvigelse i procent 16 målinger (Alle sammen) Rød 11,88% 14 målinger Orange 9,45% 12 målinger Gul 9,61% 10 målinger Grøn 7,10% 8 målinger Lyseblå 7,89% 6 målinger Blå 8,34% 4 målinger Lilla 2,60% 2 målinger Lyserød 0% 6
Den bedste eksponentielle funktion er den med 10 målinger, altså hvor de tre første og sidste målinger er undladt. I modellen kan det tydeligt ses hvorfor den grønne er bedst, målingerne flader nemlig ud over de sidste tre punkter. I resten af opgaven vil vi referere til denne funktion som. Hvis vi indtegner målingerne i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem og tilføjet en tendenslinje, kan det også ses at målingerne flader ud over de sidste tre punkter. Udviklingen er derfor tilnærmelsesvis er eksponentiel hvis man undlader de tre første og sidste punkter. 7
c. Overvej om det er en god ide at beregne gennemsnit af a for hele den eksponentielle fase Hvis man udregner fremskrivningsfaktoren kun ved hjælp af det første og sidste punkt, vil modellen ikke passe særlig godt til data. Derfor er det nødvendigt at udregne fremskrivningsfaktoren for punkt 1 og 2, 2 og 3, 3 og 4, og derefter tage gennemsnittet af fremskrivningsfaktorerne, for at opnå det bedste resultat. d. Analyser hvilken forskel det giver at indsætte forskellige punkter, når b skal beregnes Grafen vil altid gå gennem det punkt der blev brugt til beregningen af b, men vil ikke nødvendigvis gå gennem de andre punkter. e. I hvilke intervaller er funktionerne defineret? Funktionerne er defineret i intervallet. Grunden til funktionerne ikke kan være defineret før 0, er at enheden på x-aksen er i minutter, og 0 er det tidspunkt hvor målingerne starter. 8
f. Opstil flere modeller for de samme data/interval Vi har både lavet en eksponentiel og en lineær model i NetLogo. De virker næsten på samme måde, den eneste forskel er faktisk bare hvilken regression de laver. Her er et skærmbillede af den eksponentielle model: Og her er et skærmbillede af den lineære model: Begge modeller laver regression med forskellige intervaller. De starter med at lave regression på alle 16 punkter, derefter fjerner det første og det sidste punkt og laver regression på de resterende 14 punkter. Sådan bliver den ved med at køre lige indtil der ikke er flere punkter, resultaterne for hver beregning bliver udskrevet i vinduet til venstre. Modellen tegner også graferne ind sammen med måleresultaterne i vinduet til højre. Kildekoden til begge modeller kan findes i bilag 1. 9
g. Beregn fordoblingskonstanten Den eksponentielle model vi har lavet i NetLogo udregner fordoblingskonstanten for hvert af de intervaller den prøver, formlen for fordoblingskonstanten ser sådan her ud: Som et eksempel beregner vi fordoblingskonstanten for den eksponentielle model med alle 16 målinger, fremskrivningsfaktoren har vi allerede beregnet til 1,0066712958463084 ved hjælp af NetLogo modellen. Indsæt 1,0066712958463084 i stedet for Udregn og Udregn Fordoblingskonstanten er derfor 104,246. Hvis man kikker på den første beregning på det første skærmbillede på forrige side, kan det ses at modellen også er kommet frem til en fordoblingskonstant på 104,246. Her er den bid af kildekoden der udregner fordoblingskonstanten og viser den på skærmen: 10
3. Analyser modellerne i forhold til data a. Tegn grafer for de opstillede modeller i relevante koordinatsystemer Vi har tegnet fra modellen (den grønne) ind i et normalt koordinatsystem for at vise forskellen mellem model og data. Der er også indsat Graphs egen tendenslinje (den røde). Og i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem: Som det kan ses, passer modellen rimelig godt til data, hvis man undlader de tre første og sidste punkter. 11
Her er et skærmbillede af modellen hvor funktionen er markeret. Den kan også ses i vinduet til højre, det er den grønne af dem. Modellen melder også ud med en afvigelse på 7,1%, hvilket ikke er så dårligt endda, i forhold til de andre intervaller. 12
b. Beregn relevante værdier ved hjælp af modellerne, og sammenlign med de oprindelige data For at kunne sammenligne modellerne med de oprindelige data, er det nødvendigt at udregne afvigelsen mellem model og data. Afvigelsen kan udregnes med denne formel, hvor er den oprindelige værdi fra målingerne og er funktionsværdien fra modellen. Her ses en tabel over afvigelsen mellem målt værdi og funktionsværdi for funktionen : Tid i minutter Antal gærceller Måleresultater Model Afvigelse 0 15 - - 20 16 - - 40 18 - - 60 19 19 0% 80 22 22,65324 2,96927% 100 24 27,00891 12,53711% 140 31 38,39374 23,85077% 160 42 45,77592 8,99029% 180 49 54,57752 11,38270% 200 67 65,07146 2,87842% 220 78 77,58312 0,53446% 240 90 92,50047 2,77830% 260 105 110,28606 5,03435% 280 109 - - 300 122 - - 320 125 - - Den gennemsnitlige afvigelse er 7,096% hvilket ikke er så dårligt endda, i forhold til de andre intervaller. Her er den bid af kildekoden der kalder funktionen der udregner afvigelsen, og viser resultatet på skærmen: 13
Og her er funktionen der udregner afvigelsen for den eksponentielle model: Kildekoden til den lineære model ser lidt anderledes ud, forskellen er markeret med rødt: 14
e. Find en model ved hjælp af regressionsanalyse Til den eksponentielle regressionsanalyse har vi brugt denne formel: Som et eksempel beregner vi fremskrivningsfaktoren mellem punkterne (0, 15) og (20, 16): Indsæt tallene Udregn og Udregn Udregn Fremskrivningsfaktoren mellem punkterne (0, 15) og (20, 16) er derfor 1,00323. Her er den bid af kildekoden der kalder funktionen der udregner fremskrivningsfaktoren, og viser resultatet på skærmen: Og her er funktionen der udregner fremskrivningsfaktoren for den eksponentielle model: 15
4. Samlet vurdering af modellernes udsagnskraft c. Vurdering af årsager til forskelle mellem model og virkelighed. Det er kun muligt at lave en regression uden nogen form for afvigelse, hvis målingerne har et mønster, som for eksempel kunne være at de fordoblede for hver tiende x-værdi. Men i denne projektopgave er data målt, og det er derfor praktisktalt umuligt at få en perfekt model. d. Med hvilken rimelighed kan man snakke om en eksponentiel fase? For at finde den eksponentielle fase skal punkterne indsættes i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Vi har tegnet fra modellen (den grønne) ind sammen med Graphs egen tendenslinje (den røde). Den eksponentielle fase er der hvor punkterne ligger på en næsten ret linje, og i dette tilfælde er ligger punkterne faktisk næsten på en ret linje, hvis man altså ser bort fra de tre sidste. 16