Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.4) Kvanttatve metoder Heteroskedastctet 6. aprl 007 Sdste gang: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Whte s korrekton af OLS varansen Test for heteroskedastctet Grafske test Formelle test: Bresch-Pagan test, Whte test I dag: Eksempel: Cgaretforbrg (Ex. W.8.7) Weghted Least sqares (WLS) Effcent estmator, når der er heteroskedastctet Vægtnng af observatonerne: Tlfældet med kendte vægte KM: F9 KM: F9
Eksempel: Model for efterspørgsel efter cgaretter (Ex. 8.7, SAS program på hjemmesden) cgs = β + β lncome + β lprce + β edc + age + age + rest + 0 3 β4 β5 β6 OLS estmater. Afhængg varabel: cgs. Const Lncome Lprce Edc Age Age Rest Est. -3.640 0.880-0.75-0.50 0.77-0.009 -.85 Std.err 4.079 0.78 5.773 0.67 0.60 0.007. Robst std. Err 5.505 0.593 6.009 0.6 0.38 0.005.004 Eksempel: Model for efterspørgsel efter cgaretter Bresch-Pagan test: Hjælperegresson: ˆ = δ0 + δlncome + δlprce + δ3edc + δ age + δ age + δ rest + v 4 5 6 R / k 0.0400 / 6 F test: F = = = 5.55 ( R ) /( n k ) ( 0.0400) /(807 6 ) F(6,800), p værd <.000. LM LM = nr = = χ χ = test: 807 0.0400 3.8 (6), (6) 0.95.59. Konklson: Afvser homoskedastctet: Der er heteroskedastctet! KM: F9 3 KM: F9 4
Eksempel: Model for efterspørgsel efter cgaretter Konsekvenser af heteroskedastctet Whte's test: Hjælperegresson: ˆ = δ0 + δlncome + δlprce + δ3edc + δ age + δ age + δ rest +.. kvadrater og krydsled... + v 4 5 6 R / k 0.06 / 3 F test: F = = =. ( R ) /( n k ) ( 0.06) /(807 3 ) F(3,783), p værd =.0009. LM LM = nr = = χ χ = test: 807 0.06 49.39 (3), (3) 0.95 35.7. Konklson: Afvser homoskedastctet: Der er heteroskedastctet! Når der er heteroskedastctet gælder (gvet MLR.-4) : OLS estmaterne er mddelrette og konsstente Det sædvanlge estmat af OLS varansen er kke mddelret eller konsstent Gyldge test baseret på OLS estmatoren ved brg af robste varansestmater Men: Uheldge konsekvenser af heteroskedastctet, som kke blver afhjlpet ved robst estmaton af varansen: OLS er kke længere den bedste lneære mddelrette estmator (BLUE): Der fndes andre lneære mddelrette estmatorer med mndre varans OLS er kke længere asymptotsk effcent KM: F9 5 KM: F9 6 3
Hvorfor blver OLS neffcent nder heteroskedastctet? Inttvt: OLS gver samme vægt tl alle observatoner/- resdaler (mnmerer den smple sm af de kvadrerede resdaler) n n ˆ ˆ ˆ ˆ = ( y β0 βx βkxk) = = Men: Ved heteroskedastctet er fejlleddene tl de forskellge observatoner trkket fra fordelnger med forskellg varans. En effcent estmator tllægger hver observaton/resdal en vægt, der er omvendt proportonal med varansen på fejlleddet for hver enhed. KM: F9 7 Hvordan fnder man en mere effcent estmator end OLS? Heteroskedastctet af en kendt form (op tl en mltplkatv faktor) V ( x) = σ hx ( ) hx ( ) antages at være en kendt fnkton af de forklarende varable hx ( ) > 0 for alle mlge værder af x erne (varanser er altd postve) σ er en kendt parameter Et specaltlfælde af den generelle form af heterosk. V x hx ( ) = σ = σ ( ) KM: F9 8 4
Model: Eksempel: Opsparng- ndkomst sav = β + β nc + V ( nc) nc (##) 0 = σ I dette tlfælde er h(x) = h(nc) = nc Varansen er proportonal med ndkomsten. Varansen er postv, hvs ndkomsten er postv for σ nc alle. Standard afvgelsen på (betnget på ndkomsten) er KM: F9 9 Eksempel: Opsparng- ndkomst Transformerer modellen: sav nc = β0 + β + nc nc nc nc = β0 + β nc + nc nc To forklarende varabler, ntet konstantled. Samme parametre. Fejlled med konstant varans: = = = σ = σ nc nc nc V nc E( nc ) E( nc ) nc nc KM: F9 0 5
Weghted Least Sqares Weghted Least Sqares Ved at brge nformatonen om formen for heterosk. kan modellen altså transformeres tl en ny model, som kke ndeholder heteroskedastctet: OLS på den vægtede regresson er effcent: Weghted Least Sqares (WLS) Generelt: Antag følgende mltple regressonsmodel (som opfylder antagelserne MLR.- MLR.4) y = β0 + βx + βx + + βkxk + V( x, x,, x ) = σ h( x, x,, x ) = σ h k k Gvet at h er en kendt fnkton kan dens værd beregnes for hver enkelt observaton: h = h( x ) Hvs man transformerer modellen så fejlleddet blver vl den betngede mddelværd stadg være nl: E x, x, xk = E( x, x, xk ) = 0 ( ) h h og den betngede varans vl være konstant: V x x x = V ( x x x ) = h = h,, k,, k σ σ ( ) h h h KM: F9 KM: F9 6
Weghted Least Sqares Den transformerede model er y x x x = β + β + β + + β + k 0 k h h h h h h Bemærk at modellen generelt kke længere ndeholder noget konstantled De nye forklarende varabler har sjældent en menngsfld fortolknng Parametrene er de samme som den oprndelge model og skal fortolkes d fra den. Men kan estmeres effcent fra den transformerede model. KM: F9 3 Weghted Least Sqares Den transformerede model opfylder n antagelsen MLR.5 (homoskedastctet) følge ( ). Antagelsen MLR. er også opfyldt, da modellen er lneær parametrene. Antagelsen MLR. er også stadg opfyldt (hvs stkprøven er dtaget tlfældgt tl den oprndelge model, gælder det også for den transformerede model). Antagelsen MLR.3 er stadg opfyldt. Antagelsen MLR.4 er også stadg opfyldt. ( ) (Mndre vgtgt: Hvs antagelsen MLR.6 er opfyldt for den oprndelge model, gælder antagelsen stadg) KM: F9 4 7
Weghted Least Sqares (WLS) I den transformerede model gælder MLR.-MLR.5 OLS estmatoren den transformerede model vl være BLUE F- og t-test er gyldge for den transformerede model R er sjældent menngsfld (ny venstresdesvarabel!) Estmatoren som korrgerer for heteroskedastctet kaldes for Wegted Least sqares (WLS) Navnet hentyder tl at estmaterne opnås ved at mnmere de vægtede kvadrerede resdaler. KM: F9 5 Weghted Least Sqares (WLS) n ( y b0 bx bx bkxk) / h = n = (( y b0 bx bx bkxk) / h) = n y x x xk = b0 b b bk = h h h h h (( )) WLS er et eksempel på Generalzed Least Sqares (GLS) Estmaterne vl generelt være forskellge fra OLS den oprndelge model GLS estmatoren er mere effcent end OLS Parametrene skal stadg fortolkes som den oprndelge model KM: F9 6 8
Weghted Least Sqares (WLS) NB er Eksempel: Afhængge varabel er et gennemsnt (hvor de grpper af enheder der tages gennemsnt over, er af forskellg størrelse) y m = y m j = I dsse modeller er heterosk. ofte relateret tl grppens størrelse m =, j V( x) m = j m σ = I dette tlfælde skal vægtnngen være h = / m, j En effcent estmator tllægger hver observaton/resdal en vægt, der er omvendt proportonal med varansen på fejlleddet. Ved at brge nformaton om formen for heterosk. kan modellen transformeres tl en ny model, som kke ndeholder heteroskedastctet. Den transformerede lgnng kan estmeres effcent med OLS. Parametrene er de samme som den oprndelge model og skal fortolkes d fra den. KM: F9 7 KM: F9 8 9
Næste gang: Onsdag: W.8.4-5 WLS når varansfnktonen er kendt: FGLS Mere om cgareteksemplet Mere om den lneære sandsynlghedsmodel KM: F9 9 0