Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul
Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?.... Der står hvordn ntllet ændres. Vi skl skrive en ligning.... Der står en ligning. Vi skl skrive hvordn ntllet ændres... 5. Hvor mnge procent ændres y?... 6. Eksponentiel ligning... 7. Voksende og ftgende. Grf... 5 8. Udregn og b i y b ud fr to punkter på grfen... 6 9. Hvd er fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt?... 7 10. Fordoblings/hlveringskonstnt for smmenhængen y b... 8 11. Enkeltlogritmisk koordintsystem... 8 1. Eksponentiel regression... 9 1. Sådn vokser eksponentielle smmenhænge... 10 Kort om eksponentielle smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte kn downlodes fr www.mt1.dk Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det smme sender en e-mil til kj@mt1.dk som dels oplyser t dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole.
1. Procenter på en ny måde. T er % f 600 T % f 600 600 0, d % 100 0 0, Du plejer nok t udregne % ved t dividere med 100 og gnge med. I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nødt til t vænne dig til t gnge med 0, for t udregne %. S er % større end 600 S 1 % f 600 d 100 % + % 1 % 1 600 1, d 1 % 1, 100 80 Når du udregner det der er % større end et tl, så plejer du nok t udregne % f tllet og lægge til tllet I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nødt til t vænne dig til t gnge med 1, for t udregne det der er % større. R er % mindre end 600 R 66 % f 600 d 100 % % 66 % 66 600 0,66 d 66 % 100 96 0,66 Når du udregner det der er % mindre end et tl, så plejer du nok t udregne % f tllet og trække fr tllet I nogle opgvetyper dur denne metode ikke. Du er nødt til t vænne dig til t gnge med 0,66 for t udregne det der er % mindre. Kort om eksponentielle smmenhænge 1 011 Krsten Juul
. Hvd er en eksponentiel smmenhæng? Oplæg Antl nstte skl stige 10 % hvert år. 100 % + 10 % 110 % 110 100 1, 10 I år er ntl nstte 1000 Om 1 år er ntl nstte 1000 1,10 1100 Om år er ntl nstte 1000 1,10 1,10 110 16 Om 16 år er ntl nstte 1000 1,10 595 Om år er ntl nstte 1000 1,10 Definition En smmenhæng er eksponentiel hvis ligningen er f typen y 1,10 1,10 1,10 I oplægget er b 1000 og 1,10 b hvor og b er positive tl.. Der står hvordn ntllet ændres. Vi skl skrive en ligning. Vi får t vide t (*) Kl. 9 er der 75 celler. Hver time bliver ntl celler 0 % større. Vi skriver ntl timer efter kl. 9 y ntl celler Vi skriver (*) ved hjælp f og y: Når 0 er y 75. Når bliver 1 større, bliver y gnget med 1,0. Herf slutter vi t ligningen (modellen) er y 75 1, 0. Der står en ligning. Vi skl skrive hvordn ntllet ændres. Antllet f dyr ændres sådn t (*) y 70 0, 90 ntl dge efter 1. juni y ntl dyr Af (*) ser vi: Når 0 er y 70. Når bliver 1 større, bliver y gnget med 0,90. Dvs. Den 1. juni er ntllet f dyr 70 Hver dg bliver ntllet f dyr 10 % mindre Kort om eksponentielle smmenhænge 011 Krsten Juul
5. Hvor mnge procent ændres y? En dg gælder t y 970 0, 885 hvor y er trykket målt i hektopscl, og er højden over jordoverflden målt i kilometer. Vi vil regne ud hvor mnge procent trykket ændres når højden bliver kilometer større. Metode 1 Vi strter i en tilfældig højde, f.eks. km: Når, er y 970 0,885 759, 78 Derefter finder vi trykket når højden er km større. + 5 5 Når 5, er y 970 0,885 56, 609 Ændringen i trykket er 56,609 758,119 I procent er dette,119 758 Vi hr nu udregnet t dvs. 0,0685 0,685% trykket ændres 0,7 % når højden bliver kilometer større trykket bliver 0,7% mindre når højden bliver kilometer større. ændring ny værdi gmmel værdi Vi skl dividere ændringen med den gmle værdi. Metode Højden bliver kilometer større. Så bliver trykket gnget med 0,885 0, 6915 Dvs. trykket ændres med 69,% 100% 0,7 % Fordi y bliver gnget med 0,885 hver gng bliver 1 enhed større. Fordi trykket ændres fr 100 % f gmmel værdi til 69, % f gmmel værdi. Bemærkning Hvis y 6, 1, 1, ser regningerne i metode 1 sådn ud: Når, er y 6, 1,1 8, 0816 5 Når 5, er y 6, 1,1 11, 79 11,79 8,0816,508 8,0816 0,09,508 0,9% dvs. y bliver 0 % større når bliver enheder større. Kort om eksponentielle smmenhænge 011 Krsten Juul
6. Eksponentiel ligning. En ligning f typen (6.1) b c kldes eksponentiel fordi er i eksponenten. Formel til udregning f ligningens løsning: c log( ) (6.) b log ( ) Med et elektronisk hjælpemiddel kn vi udregne noget der hedder logritmen. logritmen til 100 er Dette skriver mn sådn: log(100) Når mn læser symbolet log(100) siger mn "log hundrede". Vi vil løse ligningen,5 1, Metode 1: Vi bruger elektronisk ligningsløser,5 1, Vi tster denne ligning. Vi får den løst mht.. Vi får 5, 16776 Løsningen er 5, Metode : Vi bruger formel (6.),5 1, log ( ),5 log(1,) 5,16776 Løsningen er 5, Metode : Vi omskriver ligningen,5 1, 1,,5 log ( 1, ) log( ),5 log ( 1,) log( ),5 log ( ),5 log(1,) Der gælder følgende regel om logritme til potens: log( ) log( ) 5,16776 Løsningen er 5, Kort om eksponentielle smmenhænge 011 Krsten Juul
7. Voksende og ftgende. Grf. 7.1 Eksempel I koordintsystemet hr vi tegnet grfen for den eksponentielle smmenhæng med ligningen y 0,5 1, 6 Fremskrivningsfktoren er 1,6 Smmenhængen er voksende d 1,6 > 1 (for y bliver gnget med 1,6 når bliver 1 større) Grfen ligger over -ksen, men kommer tæt på -ksen. 7. Eksempel I koordintsystemet hr vi tegnet grfen for den eksponentielle smmenhæng med ligningen y 1,5 0, 7 Fremskrivningsfktoren er 0,7 Smmenhængen er ftgende d 0,7 < 1 (for y bliver gnget med 0,7 når bliver 1 større) Grfen ligger over -ksen, men kommer tæt på -ksen. 7. Sætning Smmenhængen y b er voksende når b > 0 og > 1 og ftgende når b > 0 og 0 < < 1 Her står t b er større end 0, og t er større end 1. Her står t b er større end 0, og t ligger mellem 0 og 1. Kort om eksponentielle smmenhænge 5 011 Krsten Juul
8. Udregn og b i y b ud fr to punkter på grfen. Opgve: Punkterne (, y) (, ) og (, y) (7, ) ligger på grfen for smmenhængen y b. Udregn tllene og b. Metode 1. Vi sætter ind i formler for og b Af, y ) (, ) og, y ) (7, ) får vi ( 1 1 ( b y1 1 1 y y 1 7 16 8 Metode. Vi løser ligningssystem med elektronisk hjælpemiddel Punkterne (, y) (, ) og (, y) (7, ) ligger på grfen for y b, så 7 b og b Vi tster dette ligningssystem og får det løst mht. og b. Vi får og b 16 Metode. Vi løser ligningssystem uden hjælpemidler Punkterne (, y) (, ) og (, y) (7, ) ligger på grfen for y b, så b og b Vi dividerer højre ligning med venstre: 7 b b Når vi forkorter de to brøker, får vi 8 så 8 dvs. 7 7 7 Vi indsætter denne værdi f i ligningen b og får b Ved t dividere begge sider med får vi b så b 16 Metode. Vi bruger eksponentiel regression Vi tster punkterne (, y) (, ) og (, y) (7, ) og får udført eksponentiel regression på dem. Vi får og b 0, 1875 d 7 Kort om eksponentielle smmenhænge 6 011 Krsten Juul
9. Hvd er fordoblingskonstnt og hlveringskonstnt? 9.1 Eksempel Tbellen viser hvordn højden f en plnte er vokset eksponentielt. I tbellen ser vi: 1 uge efter købet er højden 15 cm. uger senere er højden 0 cm, som er det dobbelte f 15 cm. uger efter købet er højden 19 cm. uger senere er højden 8 cm, som er det dobbelte f 19 cm. Unset hvornår vi strter, så vil der gå uger før højden er fordoblet. Mn siger t højdens fordoblingskonstnt er uger. 9. Definition En eksponentielt voksende smmenhæng hr en fordoblingskonstnt. Fordoblingskonstnten er et tl der skrives T. Når -værdien bliver T enheder større, så bliver y-værdien fordoblet. En eksponentielt ftgende smmenhæng hr en hlveringskonstnt. Hlveringskonstnten er et tl der skrives T1. 9. Eksempel Når -værdien bliver Der er en eksponentiel smmenhæng enheder større, så bliver y-værdien hlveret. y b mellem de vrible længden (i cm) y omkredsen (i cm) Vi hr fået t vide t fordoblingskonstnten er 7. Dette fortæller: Når -værdien bliver 7 enheder større, så bliver y-værdien fordoblet. Dvs: Når længden bliver Antl uger efter køb: 0 1 5 6 Højde i cm: 1 15 19 0 8 8 T1 7 cm større, så bliver omkredsen fordoblet. Vi hr fået t vide t når længden er 5 cm, er omkredsen 0 cm. Når længden bliver 7 cm større, så bliver omkredsen fordoblet, så når længden er 1 cm, er omkredsen 0 cm når længden er 19 cm, er omkredsen 80 cm osv. Hvis det er hlveringskonstnten der er 7, så skl vi i ovenstående hlvere i stedet for t fordoble. Kort om eksponentielle smmenhænge 7 011 Krsten Juul
10. Fordoblings/hlveringskonstnt for smmenhængen y b. 10.1 Sætning Vi ser på en eksponentiel smmenhæng y b. Hvis smmenhængen er voksende (dvs. > 1) gælder t fordoblingskonstnten er log() log( ). Hvis smmenhængen er ftgende (dvs. 0 < < 1) gælder t 10. Eksempel log(0,5) hlveringskonstnten er. log( ) Vi vil udregne hlveringskonstnten for smmenhængen Vi indsætter 0, 9 i formlen og får hlveringskonstnt log(0,5) log(0,9) 11,0 log(0,5) log( ) dvs. hlveringskonstnten er 11,. y 0 0, 9. 11. Enkeltlogritmisk koordintsystem. y-ksen er inddelt på en speciel måde. Mn siger t y-ksen er en logritmisk skl. Hvis y-ksen blev fortst nedd, så ville vi se t lle tllene er positive. Der er hverken 0 eller negtive tl. Advrsel: Antllet f delestreger mellem to hele tl er ikke det smme lle steder på ksen. Koordintsystemet er enkeltlogritmisk fordi y-ksen er logritmisk og -ksen er sædvnlig. Den skrå linje er grf for y 1, 1,. I et sædvnligt koordintsystem er denne grf en krum kurve. Grfen for en eksponentiel smmenhæng er en ret linje når vi tegner den i et enkeltlogritmisk koordintsystem. For ingen ndre smmenhænge er grfen en ret linje i et enkeltlogritmisk koordintsystem. Kort om eksponentielle smmenhænge 8 011 Krsten Juul
1. Eksponentiel regression. Opgve Tbellen viser ntllet f indbyggere i et område i perioden 000-005. År 000 001 00 00 00 005 Antl (i tusinder) 8,5 8,8 9,1 9, 9,8 10, Udviklingen kn med god tilnærmelse beskrives med ligningen y b hvor y er ntllet f indbyggere (målt i tusinder), og er ntl år efter 000. Hvd skl og b være for t ligningen y b psser bedst med tbellen? Besvrelse Ud fr den givne tbel lver vi den nye tbel nedenfor hvor årstllet er erstttet f værdien f. 0 1 5 y 8,5 8,8 9,1 9, 9,8 10, Denne tbel tster vi. Vi får udført eksponentiel regression på hele tbellen og får y 8,7906 1, 0686 Dvs. ligningen y b psser bedst når 1,07 og b 8, 8 Bemærk Hvis vi ikke bruger hele tbellen, så duer besvrelsen ikke. Grfen for y 8,7906 1, 0686 går ikke gennem tbel-punkterne, men det er den eksponentielle grf der fviger mindst fr punkterne. Hvordn tster vi på Nspire? Vi tster tbellen som vist til højre. I menuen vælger vi Sttistik/Stt-beregning.../Eksponentiel regression... Så fremkommer et vindue vi udfylder som vist nederst til højre. Når vi i et mtemtikfelt i et notevindue får vi tster f () og trykker på Kort om eksponentielle smmenhænge 9 011 Krsten Juul
1. Sådn vokser eksponentielle smmenhænge. Sætning Bevis Når en smmenhæng er eksponentiel: y b, og h er et tl, så gælder: Hver gng vi lægger h til, så bliver y gnget med h. Vi strter med en tilfældig -værdi: 1 Vi lægger h til 1 og får en en ny -værdi: 1 + h y-værdierne som hører til 1 og klder vi y 1 og y y b d y er y-værdien hørende til -værdien for + h b 1 d + h h 1 b 1 ifølge potensreglen h y1 for y 1 1 b d y 1 er y-værdien hørende til 1 Der gælder ltså t vi får y når vi gnger y 1 med Det vr dette vi skulle bevise. Eksempel y 1 1, 15 Hver gng vi til værdien f lægger, vil y blive gnget med 1,15 1,7901 1, 79 Dvs. hver gng bliver enheder større, så vil y blive 7,9 % større. r+ s h. r s y b Hver gng vi til lægger 1, vil y blive gnget med 1,15 1 1, 15 Dvs. hver gng bliver 1 enhed større, så vil y blive 15 % større. Sluttl 1,15 Strttl Sluttl 115 % f Strttl Strttl 100 % f Strttl 115 % 100 % 15 % Eksempel y 6 0, 86 Hver gng vi til værdien f lægger, vil y blive gnget med 0,86 0,66056 0, 66 Dvs. hver gng bliver enheder større, vil y blive 6, % mindre. Hver gng vi til lægger 1, vil y blive gnget med 0,86 1 0, 86 Dvs. hver gng bliver 1 enhed større, så vil y blive 1 % mindre. Sluttl 0,86 Strttl Sluttl 86 % f Strttl Strttl 100 % f Strttl 86 % 100 % 1 % Kort om eksponentielle smmenhænge 10 011 Krsten Juul