8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således en mængde af formen U = V S, hvor V er en åben omegn af p i R 3. Definition 8.1. En delmængde S R 3 kaldes en regulær flade, hvis der til ethvert p S findes en åben omegn p U S af p i S og en åben mængde U R 2 samt en bijektion x: U U som opfylder: (i) x er differentiabel (C ), (ii) x er en homeomorfi, (iii) for ethvert q U er differentialet dx q : R 2 R 3 en injektiv afbildning. Funktionen x: U U kaldes en lokal parametrisering af S, parret (U, x) kaldes et lokalt koordinatsystem og U = x(u) en koordinatomegn eller kortomegn på S. x 1 : U U kaldes et kort på S. Bemærkning 8.2. (1) Betingelsen (ii) betyder at en delmængde U 1 U er åben (i sportopologien), hvis og kun hvis U 1 = x 1 (U 1) er åben i R 2. En måde at sikre dette på er at forlange (som do Camo gør) at x 1 : U U kan udvides til en kontinuert afbildning defineret på den åbne mængde V i R 3. (2) Betingelsen (iii) er for ethvert q U ækvivalent med en af følgende betingelser (iii) (iii) Matricen har rang 2. Vektorerne u (iii) Vektorproduktet u u Dx q = y u z u y z, er lineært uafhængige. er forskellig fra nul. I disse formler er x(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ) for (u, v) U R 2, og hhv. betegner tangenterne til de respektive kurver u x(u, v u 0) hhv. v x(u 0, v) gennem punktet x = x(u 0, v 0 ). (3) Af definition 8.1 følger at S er overdækket af koordinatomegne U α = x α (U α ), α A, S = α A x α (U α ) da ethvert punkt af S er indeholdt i en sådan. 43

44 8. Regulære flader i R 3 Lemma 8.3. Lad S R 3 være en regulær flade og W S en delmængde. Så er følgende ækvivalente: (i) W er åben i S (i sportopologien). (ii) For ethvert koordinatsystem (U, x) gælder at x 1 (W ) R 2 er åben. (iii) For ethvert p W findes et koordinatsystem (U, x) med p x(u) så x 1 (W ) R 2 er åben. Bevis. (i) (ii) er klar da x: U S er kontinuert. (ii) (iii) er klar. (iii) (i). Overdæk W med koordinatomegne {U α} α A med tilhørende parametriseringer x α : U α U α, således at x 1 α (W ) = x 1 α (U α W ) er åben. Så er iflg. Definition 8.1 (ii) U α W åben i S så W = α A U α W er åben i S. Eksempel 8.4 (Sfæren). S 2 = {(x, y, x) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1}. Lad U R 2, U = {(u, v) u 2 + v 2 < 1} og sæt x(u, v) = (u, v, 1 u 2 v 2 ), (u, v) U. Så er x(u) = U = S 2 V, (u, v) U hvor V = {(x, y, z) z > 0} og x 1 : U U er restriktionen af projektionen π : V U givet ved π(x, y, z) = (x, y). Dvs. x er en homeomorfi. Endvidere er Jacobi-matricen 1 0 Dx = 0 1 klart af rang 2. På samme måde dækkes den nedre halvkugle og tilsvarende den østlige og vestlige halvkugle med lokale kortomegne. Heref ses at S 2 er en regulær flade. På sfæren er det ofte nyttigt at bruge de sfæriske koordinater konstrueret som følger: Lad (θ, ϕ) R 2 og sæt x(θ, ϕ) = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ). Her er x ikke injektiv; men restriktionen til f.eks. U = {(θ, ϕ) 0 < θ < π, 0 < ϕ < 2π} er injektiv og afbilder på U S 2 \ C, hvor C = {(x, y, z) x 0}.

8.1. Generelle konstruktioner af flader 45 Hvad angår betingelserne (i) (iii) i Definition 8.1 er (i) klar og for (iii) udregnes let at cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ Dx = cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ sin θ 0 så θ ϕ 2 = (cos 2 θ + sin 2 θ) sin 2 θ 0 = sin 2 θ 0 for 0 < θ < π, dvs. (iii) er opfyldt. At (ii) er opfyldt følger af en sætning som vises senere. 8.1 Generelle konstruktioner af flader Graf for en differentiabel (C ) funktion Proposition 8.5. Lad U R 2 være en åben mængde og f : U R en C funktion. Så er grafen for F en regulær flade. S = {(x, y, f(x, y)) (x, y) U} Bevis. Vi har ét koordinatsystem (U, x), med x: U S = U defineret ved x(u, v) = (u, v, f(u, v)), (u, v) U. Idet V = U R R 2 R = R 3 er V S = S og x 1 = π S, hvor π(x, y, z) = (x, y), for (x, y, z) V. Heraf ses at (i) og (ii) i Definition 8.1 er opfyldt. Endvidere er det klart at Jacobi-matricen 1 0 Dx = 0 1 har rang 2 i ethvert punkt af U. f u Løsningsmængden for en ligning Definition 8.6. Lad U R n åben, F : U R m en C funktion. 1. p U kaldet et kritisk punkt og F (p) en kritisk værdi for F hvis df p : R n R m ikke er surjektiv, dvs. hvis rang DF p < m. 2. p U kaldes et regulært punkt hvis det ikke er kritisk, dvs. hvis rang DF p = m. 3. a R m kaldes en regulær værdi hvis det ikke er en kritisk værdi, dvs. hvis ethvert p F 1 (a) er et regulært punkt, altså hvis f rang DF p = m, p F 1 (a).

46 8. Regulære flader i R 3 Vi skal særligt betragte f : U R, U R 3. I dette tilfælde (med variable (x, y, z) R 3 ) er Jacobi-matricen for f givet ved gradienten ( ) f f f Df p = (p), (p), y z (p) = ( f x (p), f y (p), f z (p) ), og der gælder p U er kritisk punkt f f f (p) = (p) = (p) = 0 (8.1) y z a R er regulær værdi Df p (0, 0, 0) p f 1 (a). (8.2) Proposition 8.7. Lad U R 3, f : U R en C funktion og lad a R være en regulær værdi. Så er S = f 1 (a) R 3 en regulær flade. Bevis. Bemærk at S = f 1 (a) = { (x, y, z) U f(x, y, z) = a } og lad p = (x 0, y 0, z 0 ) S. Så gælder ifølge antagelserne Df p (0, 0, 0). Antag uden indskrænkning f (p) 0 og definer F : U z R3 ved x F (x, y, z) = y. f(x, y, z) Jacobi-matricen for denne afbildning i p er 1 0 0 DF p = 0 1 0 f (p) f y (p) f z (p) så det DF p (p) 0. Ifølge Invers Funktionssætningen (Sætning 7.4 + Addendum 7.6) kan vi finde åbne omegne V af p = (x 0, y 0, z 0 ) og W af F (p) = z (x 0, y 0, a) så F : V W er en diffeomorfi. Uden indskrænkning kan vi antage W = N (a ɛ, a + ɛ), N R 2 en åben omegn af (x 0, y 0 ), ɛ > 0. Idet vi bruger de variable (u, v, t) W R 3 er = f F (x, y, z) = ( x, y, f(x, y, z) ) = (u, v, t), (u, v) N, a t < ɛ dvs. (x, y, z) = F 1 (u, v, t) = ( u, v, g(u, v, t) ). Specielt for t = a fås f(u, v, g(u, v, a)) = a (8.3) Sæt h(u, v) = g(u, v, a), for (u, v) N. Påstand. f 1 (a) V = grafen for h = {(u, v, h(u, v)) (u, v) N}.

8.1. Generelle konstruktioner af flader 47 Thi lad (u, v) N; så er q = (u, v, h(u, v)) f 1 (a) ifølge (8.3), og da F = (u, v, a) W er q V. Omvendt lad q = (x, y, z) f 1 (a) V. Så er F (x, y, z) = (x, y, a) N {a}, så (x, y) N og z = g(x, y, a) = h(x, y), så q grafen for h. Dette viser ovenstående påstand. Ifølge Proposition 8.5 er f 1 (a) V nu en regulær flade med lokalt kort x: N f 1 (a) V givet ved x(u, v) = (u, v, h(u, v)), hvilket dermed givet et lokalt koordinatsystem for S i en omegn af p. Eksempel 8.8 (Ellipsoiden). Lad a, b, c > 0 og betragt S R 3 : Sæt Så et S = f 1 (0) og S = {(x, y, z) R 3 x 2 } a + y2 2 b + z2 2 c = 1. 2 f(x, y, z) = x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1, (x, y, z) R3. Df (x,y,z) = ( 2x a, 2y 2 b, 2z ). 2 c 2 Denne vektor er kun nul for (x, y, z) = (0, 0, 0), så det eneste kritiske punkt for f er (0, 0, 0) som ikke ligger på S. Ifølge Proposition 8.7 er S derfor en regulær flade. Specielt for a = b = c = 1 fås at S = S 2 er en regulær flade. Eksempel 8.9 (Omdrejningshyperboloiden). Lad Så er S = f 1 (0) for funktionen S = { (x, y, z) R 3 x 2 y 2 + z 2 = 1 }. f(x, y, z) = x 2 y 2 + z 2 1, (x, y, z) R 3. Igen er kun (0, 0, 0) kritisk punkt for f og (0, 0, 0) / S så S er en regulær flade. Bemærk at S ikke er kurvesammenhængende. Thi antag γ : [0, 1] S kontinuert kurve så γ(0) = (0, 0, 1) og γ(1) = (0, 0, 1) og skriv γ på formen γ(t) = ( x(t), y(t), z(t) ). Så er z(t) en kontinuert funktion så z(t) 2 = 1 + x(t) 2 + y(t) 2 1 for alle t [0, 1]; dvs. enten z(t) 1 t [0, 1] eller z(t) 1 t [0, 1]. Men dette strider mod at z(0) = 1 og z(1) = 1.

48 8. Regulære flader i R 3 Eksempel 8.10 (Torus eller ringfladen). Vælg 0 < r < a og betragt cirklen i (y, z)-planen med centrum i (0, a, 0) og radius r. Denne roteres omkring z-aksen hvorved fladen S dannes S = { (x, y, z) R 3 ( x2 + y 2 a ) 2 + z 2 = r 2} Her er S V = { (x, y, z) R 3 (x, y) (0, 0) } og f : V R givet ved f(x, y, z) = ( x2 + y 2 a ) 2 + z 2 r 2 er C. Nu er S = f 1 (0) og ( ( 2x x2 + y 2 a ) Df (x,y,z) =, 2x( x 2 + y 2 a ) ), 2z x2 + y 2 x2 + y 2 så mængden C af kritiske punkter for f er C = {(x, y, z) R 3 z = 0 og enten x = y = 0 eller x 2 + y 2 = a 2 } Da C S = er S en regulær flade. Proposition 8.11. Lad S R 3 være en regulær flade og lad p S. Så findes en åben omegn V S af p så V er grafen for en C funktion på formen z = f(x, y), y = g(x, z) eller x = h(y, z). Bevis. Lad (u, x) være et lokalt koordinatsystem med p = x, q U, og U = x(u). Så er og x(u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) ), (u, v) U R 2, u Dx q = y u z u y z har rang 2. Vi kan så uden indskrænkning antage ( u det ) y y 0. u Betragt π : R 3 R 2 givet ved π(x, y, z) = (x, y), så ( π x ) (u, v) = ( x(u, v), y(u, v) ) har invertibel Jacobi-matrix i q. Ifølge Invers Funktionssætningen (Sætning 7.4) findes åbne omegne V 1 U af q og V 2 = ( π x ) (V 1 ) R 2 så π x: V 1 V 2 er en diffeomorfi. Så er V = x(v 1 ) en åben omegn af p S, og x (π x) 1 : V 2 V R 3 er en C afbildning. Men π ( x ( π x ) 1 ) (x, y) = (x, y) så der findes en C funktion f : V 2 R så x ( π x ) 1 (x, y) = ( x, y, f(x, y) ), (x, y) V2. Dvs. V er grafen for f.

8.1. Generelle konstruktioner af flader 49 Bemærkning. Her er x 1 = x ( π x ) 1 : V2 V altså et koordinatsystem ligesom i Proposition 8.5. Vi vil kalde et sådant for et graf-koordinatsystem. Proposition 8.11 udtrykker altså at ethvert punkt på en regulær flade har en koordinatomegn for et graf-koordinatsystem. Hvis en delmængde S R 3 vides at være en regulær flade er betingelse (ii) i Definition 8.1 for et koordinatsystem overflødig: Proposition 8.12. Lad S R 3 være en regulær flade, lad U R 2 være åben og lad x: U S være en injektiv afbildning så (i) x: U S R 3 er C, (iii) for alle q U er dx q : R 2 R 3 injektiv Så er U = x(u) åben i S og (ii) x: U U er en homeomorfi. Bevis. Det er nok at vise at U = x(u) er åben; thi så gælder for enhver åben delmængde U 1 U også at x(u 1 ) S er åben da betingelserne i propositionen er opfyldt for x U1 : U 1 S. Heraf følger (ii). For at vise at U = x(u) er åben i S er det ifølge Lemma 8.3 nok at vise at der for et vilkårligt p U findes et passende koordinatsystem y : W S med p W = y(w ) så y 1 (U ) er åben i R 2. Hertil kan vi ifølge Proposition 8.11 vælge et graf-koordinatsystem y(x, y) = ( x, y, f(x, y) ), (x, y) W R 2, med invers afbildning π W : W W, hvor igen π er projektionen π(x, y, z) = (x, y) for (x, y, z) R 3. Så er N = x 1 (W ) U åben og h = π W x: N W er givet ved h(u, v) = ( x(u, v), y(u, v) ). Nu er x = y h, så ifølge kædereglen og forudsætning (iii) har h ikke-singulær Jacobi-matrix i ethvert punkt af N. Ifølge Invers Funktionssætningen (Sætning 7.4) er h så en lokal diffeomorfi og da den samtidig er injektiv er h(n) = y 1( x(n) ) = y 1 (W U ) = y 1 (U ) åben i W R 2, hvilket skulle vises. Sætning 8.13. Lad S være en regulær flade og x: U U et koordinatsystem på S. Lad W R n være en åben mængde og f : W R 3 en C -afbildning, således at f(w ) U. Så er x 1 f : W U en C -afbildning. Bevis. Vi bruger samme teknik som ovenfor. Det er nok at vise at x 1 f er C i en omegn af et vilkårligt punkt p W. Lad f(p) = x, q U og antag som i beviset for Proposition 8.11 at Jacobi-matricen for π x(u, v) = ( x(u, v), y(u, v) ) er ikke-singulær i punktet q. (Igen er π : R 3 R 2 projektionen π(x, y, z) = (x, y), (x, y, z) R 3.) Igen følger det af Invers Funktionssætningen at der findes åbne

50 8. Regulære flader i R 3 omegne V 1 U af q så ( π x ) (V 1 ) = V 2 R 2 er åben og h = π x: V 1 V 2 er en diffeomorfi. Sæt V 1 = x(v 1 ) S som altså er en omegn af x = f(p); og igen er y = x h 1 : V 2 V 1 et graf-koordinatsystem med invers y 1 = h x 1 = π V 1. Da nu f : W S R 3 er kontinuert mht. sportopologien for S R 3 kan vi uden indskrænkning antage f(w ) V. Men så er x 1 f = x 1 y y 1 f = h 1 π f som er en sammensætning af C afbildninger og dermed C. Korollar 8.14. Lad W R n være åben og f : W R 3 en kontinuert afbildning med f(w ) S, S R 3 en regulær flade. Så er flg. ækvivalente: (i) f : W R 3 er en C afbildning. (ii) For ethvert koordinatsystem (U, x) med koordinatomegn U S er x 1 ( f f 1 (U )) : f 1 (U) U en C afbildning. (iii) Der findes overdækning { } U α af S med koordinatonegne hørende til koordinatsystemer (U α, x α ) så x 1 α ( f f 1 (U α)) α A er C for alle α A. Bevis. Umiddelbart fra Sætning 8.13 og Lemma 8.3. Korollar 8.15 (Parameterskift-sætningen). Lad S R 3 være en regulær flade, lad p S og x: U U, y : V V to koordinatsystemer med p U V = W. Så er h = x 1 y : y 1 (W ) x 1 (W ) en diffeomorfi med C invers h 1 = y 1 x 1. Bevis. h er klart bijektiv. Nok at vise at h er C, thi så er h 1 = y 1 x også C ved symmetri. Men h er C ifølge Sætning 8.13 anvendt på koordinatsystemet (V, y). Korollar 8.16. Lad S være en regulær flade, f : S R n en afbildning og lad p S. Lad endvidere x: U U, y : V V være to koordinatsystemer med p U V. Så gælder f x er C i en omegn af x 1 (p), hvis og kun hvis f y er C i en omegn af y 1 (p). Bevis. Lad W = U V. Så er h = y 1 x: x 1 (W ) y 1 (W ) en diffeomorfi. Så hvis f x er C i en omegn Ω af x 1 (p) er f y = f x x 1 y = f x h 1 C i omegnen h(ω) af h ( x 1 (p) ) = y 1 (p). Det omvendt følger ved symmetri.

8.1. Generelle konstruktioner af flader 51 Definition 8.17. (i) En afbildning f : S R n kaldes C i en omegn af p S hvis der findes et koordinatsystem x: U U S så f x er C i en omegn af x 1 (p). (ii) f : S R n kaldes C hvis f er C i en omegn af p for alle p S. Bemærkning 8.18. Det følger af Korollar 8.16 at hvis f : S R n er C så er f x: U R n C for ethvert koordinatsystem (U, x). Eksempel 8.19. Lad S være en regulær flade, S V, V R 3 en åben delmængde og lad f : V R n være en C afbildning. Så er f S : S R n en C afbildning. Special tilfælde er følgende: (1) Højdefunktionen: Lad v R 3, v = 1, og definer h: S R ved h(p) = v p, p S, hvor betegner sædvanligt indre produkt i R 3. Her er h klart restriktionen af en C funktion på hele R 3. (2) Afstandsfunktionen i anden : Lad p 0 S og sæt f(p) = p p 0 2 = (p p 0 ) (p p 0 ), p S. Så er igen f restriktionen af en C funktion på hele R 3. Vi har altså set at en afbildning fra (en åben delmængde i) R n til en flade S eller fra fladen S til R n er C hvis og kun hvis sammensætningen med lokale parametriseringer giver C afbildninger. Vi vil definere differentiabilitet for afbildninger mellem flader på en analog måde: Lad S 1, S 2 R 3 være regulære flader og antag at ϕ: S 1 S 2 er en kontinuert afbildning mth. sportopologien på S 1 og S 2. For et punkt p S 1 kan vi finde koordinatsystemer x 1 : U 1 U 1 S 1 og x 2 : U 2 U 2 S 2 med p U 1 og ϕ(u 1) U 2 og vi definerer nu: Definition 8.20. (i) En kontinuert afbildning ϕ: S 1 S 2 kaldes C i en omegn af p S 1 hvis der findes koordinatsystemer som ovenfor så afbildningen x 1 2 ϕ x 1 : U 1 U 2 er C i en omegn af x 1 1 (p). (ii) En kontinuert afbildning ϕ: S 1 S 2 kaldes C hvis den er C i en omegn af p for alle p S 1. (iii) En bijektion ϕ: S 1 afbildninger. S 2 kaldes en diffeomorfi hvis både ϕ og ϕ 1 er C

52 8. Regulære flader i R 3 Korollar 8.21. Lad S 1, S 2 være regulære flader og ϕ: S 1 S 2 en kontinuert afbildning. Så er følgnde udsagn ækvivalente: (i) ϕ: S 1 S 2 er en C afbildning (iflg. Definition 8.20). (ii) ϕ: S 1 R 3 er en C afbildning (iflg. Definition 8.17). (iii) For et vilkårligt par af koordinatsystemer x 1 : U 1 U 1 S 1, x 2 : U 2 U 2 S 2, med ϕ(u 1) U 2 er afbildningen x 1 2 ϕ x 1 : U 1 U 2 en C afbildning. Bevis. Opgave. Eksempel 8.22. Lad S 1, S 2 være regulære flader og antag S 1 V 1, S 2 V 2, V 1, V 2 R 3 åbne delmængder. Lad f : V 1 V 2 være en diffeomorfi med f(s 1 ) = S 2. Så er ϕ = f S1 : S 1 S 2 en diffeomorfi med invers f 1 S2. Thi både ϕ og ϕ 1 er C ifølge Eksempel 8.19 og Korollar 8.21. Special tilfælde er følgende (1) Affin afbildning. Lad f : R 3 R 3 være en afbildning på formen f(p) = p 0 + Ap, hvor p 0 R 3 er fast og A er en given invertibel matrix. Antag at f(s 1 ) = S 2. Så er ϕ = f S1 : S 1 S 2 en diffeomorfi. (2) Spejling. Lad σ : R 3 R 3 være givet ved σ(x, y, z) = (x, y, z) og antag at en flade S tilfredsstiller p S σ(p) S. Så er σ : S S en diffeomorfi med invers σ da σ 2 = id. Et eksempel på S er omdrejningshyperboloiden (Eksempel 8.9). (3) Rotation. For θ R lad R θ : R 3 R 3 være den lineære afbildning givet ved matricen cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0. 0 0 1 Bemærk at R θ R θ = id, så hvis det for en flade S gælder at R θ (S) = S for alle θ R så er R θ : S S en diffeomorfi for alle θ. I så fald kaldes S rotationsinvariant. Et eksempel er torus (Eksempel 8.10). Mere generelle eksempler ses herunder.

8.1. Generelle konstruktioner af flader 53 Eksempel 8.23 (Omdrejningsflade). I (x, z)-planen betragtes en regulær parametriseret kurve α: (a, b) R 3 α(v) = ( f(v), 0, g(v) ), v (a, b). Dvs. ( f (v), g (v) ) (0, 0) v (a, b). Lad C = α(a, b) og antag (i) α: (a, b) R 2 (= R {0} R) er injektiv, (ii) f(v) > 0 for alle v (a, b), (iii) α: (a, b) C er en homeomorfi. Sæt S = { (x, y, z) R 3 ( x2 + y 2, 0, z ) C }. Proposition 8.24. S er en regulær flade som er rotations-invariant. Bevis. Det ses let at R θ (S) = S for alle θ R, så vi skal blot vise at S er en regulær flade. Lad os vise at U = S {(x, y, z) y > 0} er en regulær flade idet det er analogt for S {(x, y, z) y < 0}, S {(x, y, z) x > 0 } og S {(x, y, z) x < 0}. Sæt U = ( 1, 1) (a, b) R 2 og definer x: U U ved x(u, v) = ( uf(v), f(v) 1 u 2, g(v) ), (u, v) U. Så er x klart C og bijektiv med x 1 : U U givet ved x 1 (x, y, z) = (u, v), hvor v = α 1( x2 + y 2, 0, z) og u = x / ( v = x α 1( x2 + y 2, 0, z )) for (x, y, z) U. Da α 1 : C (a, b) er kontinuert er x 1 : U U kontinuert. Endelig er Jacobi-matricen for x: f(v) uf (v) Dx (u,v) = uf(v) 1 u 2 1 u2 f (v) 0 g (v) som let ses at have rang 2 ifølge forudsætningerne på α. Dvs. at (U, x) er et lokalt koordinatsystem så S er en regulær flade.