Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf u X(u) Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet U /5 /5 Eksempler Definitioner Forsøg Stokastisk variabel Type kast med terning # øjne diskret kast med to terninger øjne diskret familie i Danmark # børn diskret. gangsfødende alder diskret fødsel fødselsvægt kontinuert hustande i Danmark indkomst kontinuert mænd i Danmark højde kontinuert Diskret stokastisk variabel: antal værdier endelig eller tællelig. Kontinuert stokastisk variabel: antager værdier i en delmængde af reelle tal. Definition : Diskret stokastisk variabel Lad U være et udfaldsrum med sandsynlighedsfordeling P. Lad X være en funktion givet ved X : U V, hvor V er en endelig eller tællelig delmængde af. Funktionen X kaldes en diskret stokastisk variabel. Definition Sandsynlighedsfunktion En funktion f : V givet ved f () = P(X = ), V, kaldes en sandsynlighedsfunktion for X. /5 /5
Egenskaber for sandsynlighedsfunktionen f () Eksempel Kast gange med symmetrisk mønt. Udfaldsrum U: Der gælder f () 0, V, da f () er en sandsynligheden P(X = ), og f () =, da f () = P(X = ) = P(X V ) =. (plat, krone) (krone, krone) Lad den diskret stokastisk variabel X være pk kk pp kp (plat, plat) (krone, plat) X : antal plat i to kast. Dvs. V = {0,, } 0 5/5 U 6/5 Middelværdi Sandsynlighedsfunktion for X : f () = P(X = ) = = = 0, f () 0 Definition : Middelværdi Middelværdien af en diskret stokastisk variabel X er µ = E(X ) = f () <, - også kaldet forventede værdi. Bemærk f () 0 for = 0,, og f (0) + f () + f () =. 7/5 8/5
Middelværdi Varians Definition : Middelværdi Middelværdien af en diskret stokastisk variabel X er µ = E(X ) = - også kaldet forventede værdi. Eksempel fortsat: X er antal plat ved mønstkast. Middelværdien af X : µ = E(X ) = f () <, f () = 0 + + =. Definition : Variansen Variansen af en diskret stokastisk variabel X er σ = V(X ) = E((X µ) ) = ( µ) f () <, hvor σ kaldes spredningen eller standardafvigelsen - mål for forventet variabilitet i X. 9/5 0/5 Varians Definition : Variansen Variansen af en diskret stokastisk variabel X er σ = V(X ) = E((X µ) ) = ( µ) f () <, hvor σ kaldes spredningen eller standardafvigelsen - mål for forventet variabilitet i X. Eksempel fortsat: X er antal plat ved mønstkast. Variansen af X : σ = V(X ) = ( µ) f () = (0 ) + ( ) + ( ) =. Middelværdi og varians Bemærk at enheden for middelværdi er den samme som for X selv: µ[enhed] = Hvor imod variansen ikke har samme enhed: [enhed] f () σ [enhed] = ([enhed] µ[enhed]) f () Derfor er spredningen (eller standard afvigelsen) ofte nemmere at forholde sig til idet enheden er denne samme som for X : σ[enhed] = σ [enhed] F. ved vinkel målinger vil enheden på variansen være gon mens spredningen vil have gon som enhed. /5 /5
Variansformel Vi har E(X ) = µ og V(X ) = σ. Da gælder σ = V(X ) = ( µ) f () = ( f () + µ f () µf ()) = f () + µ f () µ f () = f () + µ µ = f () µ = E(X ) µ Variansen bestemt ved brug af variansformlen E(X ) = µ = = σ = E(X ) µ =. f () = 0 + + = Tommelfingerregel: En observation vil (under passende omstændigheder ) med ca. 95% sandsynlighed ligge i intervallet µ ± σ. Vi ser på disse passende omstændigheder senere i kurset. /5 /5 Forsøg med to mulige udfald: succes eller fiasko, hvor Dvs. Gentag forsøget n gange, og lad P( succes ) = p, hvor 0 p. P( fiasko ) = p. X : antal sucesser. Sandsynlighed for successer n P(X = ) = p ( p) n, {,,..., n}. Som tidligere bestemmes ( n ) = n!!(n )!. Egenskaber Definition : en En stokastisk variabel X er binomialfordelt med antalsparameter n N og sandsynlighedsparameter p, hvor 0 p, hvis sandsynlighedsfunktionen for X er f () = ( n ) p ( p) n, {0,,,..., n}. Notation: X b(n, p). Sætning : Middelværdi og varians for binomialfordelingen Hvis X b(n, p), så er middelværdi og varians af X hhv. E(X ) = np, V(X ) = np( p). 5/5 6/5
Sandsynlighedsfunktioner Forskellige binomialfordelinger f() 0.00 0.0 0.0 0.0 b(5,0.5) 0 5 b(0,0.5) f() 0.0 0. 0. 0.6 b(5,0.9) 0 5 b(0,0.9) BILKA har mulighed for at afvise et parti batterier, hvis de ikke opfylder BILKA s accept-politik: Udtag en stikprøve på 0 batterier. Hvis et eller flere batterier ikke virker, kasseres hele partiet. f() 0.00 0.05 0.0 0.5 f() 0.00 0.0 0.0 Antag BILKA modtager et kæmpe parti batterier, hvor 0% ikke virker. Hvad er sandsynligheden for at BILKA kasserer partiet? 0 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 0 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 b(50,0.5) b(50,0.9) Første skridt: Udtryk problemet vha. stokastiske variable og sandsynligheder. f() 0.00 0.0 0.08 0 6 8 7 0 6 9 5 8 7 50 f() 0.00 0.05 0.0 0.5 0 6 8 7 0 6 9 5 8 7 50 7/5 8/5 Landmålingens fejlteori - Lektion - Diskretestokastiske variable Lad Dvs. X : antal defekte batterier i stikprøven. X b(0, 0.). Hvad er sandsynligheden for hele partiet kasseres? 0 P(X ) = P(X = 0) = 0. 0 0.9 0 = 0.9 0 = 0.878. 0 Hvad er sandsynligheden for højst defekte batterier? P(X ) = P(X = 0) + P(X = ) + P(X = ) 0 = 0. 0 0.9 0 0 + 0. 0.9 9 0 + 0. 0.9 8 0 = 0.6 + 0.70 + 0.858 = 0.6769. 9/5 0/5
Fordelingsfunktion Fordelingsfunktionen Lad X være en stokastisk variabel (diskret eller kontinuert) givet ved X : U. Definition : Fordelingsfunktionen Fordelingsfunktion for en stokastisk variabel X er u 7 X(u) F () = P({u U X (u) }) = P(X ). U Lad være et reelt tal, og betragt hændelsen {u U X (u) }. Bemærk F : [0, ]. Fordelingen af en stokastisk variabel defineres ofte udfra fordelingsfunktionen. Hvad er sandsynligheden for denne hændelse? /5 /5 Fordelingsfunktionen: Egenskaber Kast gange med symmetrisk mønt. X er antal plat i kast. Sandsynlighedsfunktion for X : f () = f () = P(X = ) = = 0, Fordelingsfunktion for X : 0 < 0 0 < F () = P(X ) = < F () 0 0 /5 Sætning : Egenskaber for fordelingsfuktionen Lad F være fordelingsfunktion for en stokastisk variabel X. Da gælder a. P(X > ) = P(X ) = F (), b. P(a < X b) = P(X b) P(X a) = F (b) F (a), c. F er ikke-aftagende, d. lim F () =, e. lim F () = 0. Der gælder P(X = ) = P(X ) P(X < ) = F () P(X < ). Hvis P(X = ) = 0, så springer F ikke i, ellers angiver P(X = ) størrelsen af springet. /5
Hvad er sandsynligheden for til defekte batterier i stikprøven? Vi har stadig X b(0, 0.). Antag at F () = P( X ) er tabellagt. P( ) = P(X ) P(X ) = F () F () = 0.9568 0.98 = 0.565 Bemærk: Det er ofte nyttigere at kende fordelingsfunktionen F () end sandsynlighedsfunktionen f (). Bemærk: Fordelingsfunktionen er ofte tabellagt. 5/5