Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15
Brug af grafer koordinatsystemer 1: En butik sælger gulerødder til kr. pr. kg. Billige gulerødder Kun kr. pr. kg - vej selv - a: Hvor meget koster kg gulerødder? b: Udfyld tabellen herunder: Pris i kr 18 16 1 1 Antal kg gulerødder 1 3 Pris i kr. c: Tegn ud fra tallene i tabellen en graf i koordinat-systemet til højre. d: Hvad koster,5 kg gulerødder? e: Hvor mange gulerødder kan man få for 6 kr.?, k g 1 8 6 1 3 Antal kg gulerødder : Butikken sælger så kartofler til,5 kr. pr. kg. Billige kartofler Kun,5 kr. pr. kg - vej selv - a: Hvor meget koster kg kartofler? b: Udfyld tabellen herunder: Antal kg kartofler 1 3 Pris i kr. c: Tegn ud fra tallene i tabellen en graf i koordinat-systemet til højre. Pris i kr 1 9 8 7 6 5 3 1 1 3 Antal kg kartofler Funktioner Side 151
3: En butik sælger vindruer til 1 kr. pr. kg. a: Hvor meget koster 3 kg vindruer? b: Udfyld tabellen til herunder: Lækre italienske vindruer Kun 1 kr. pr. kg Antal kg vindruer 1 3 5 Pris i kr. c: Tegn ud fra tallene i tabellen en graf i koordinatsystemet. d: Hvad koster 3,5 kg vindruer? e: Hvor mange vindruer kan man få for 15 kr.? Pris i kr 6 5 3 Du kan så lave tabellen grafen i et regneark eller et andet IT-prram. : En slagter sælger oksekød til 8 kr. pr. kg. a: Hvor meget koster kg oksekød? b: Udfyld tabellen til herunder: 1 1 3 5 Antal kg vindruer Billigt oksekød Kun 8 kr. pr. kg Antal kg oksekød 1 3 5 Pris i kr. c: Tegn ud fra tallene i tabellen en graf i koordinatsystemet. d: Hvad koster 1,5 kg oksekød? e: Hvor meget oksekød kan man få for 3 kr.? Pris i kr 3 1 Du kan så lave tabellen grafen i et regneark eller et andet IT-prram. 1 3 5 Antal kg oksekød Funktioner Side 15
5: I koordinat-systemet til højre er der markeret punktet (1,) a: Marker selv disse punkter: (,) (3,1) (,) (5,) 6: Tegn selv et koordinat-system, hvor begge tal-akser går til 1. Marker disse punkter: (,) (1,8) (,) (6,7) (9,1) 5 3 1 (1, ) 1 3 5 7: I koordinat-systemet til højre er tegnet en graf gennem de punkter, hvor x-koordinaten y-koordinaten er ens. Grafen går gennem (,), (1,1), (,) o.s.v. Tegn selv: a: En graf gennem alle de punkter hvor y-koordinaten er. b: En graf gennem alle de punkter hvor x-koordinaten er halvt så stor som y-koordinaten. F.eks. (,) c: En graf gennem alle de punkter hvor x-koordinaten er dobbelt så stor som y-koordinaten. F.eks. (,) 6 5 3 1 1 3 5 6 8: I koordinat-systemet til højre skal du markere disse punkter: (,) (3,7) (5,1) (9,7) 1 8 6 6 8 1 Funktioner Side 153
9: I koordinat-systemet til højre skal du markere disse punkter: ( ;,6) (3 ;,3) (8 ; 1,) (9 ;,) 1,,8,6,,, 6 8 1 1: I koordinat-systemet herunder er markeret punktet (-3,). Du skal selv markere disse punkter: (,) (,) (,) (-,) (-,) (-,-) (-,-) (,-) (,-) 5 (-3, ) 3 1-5 - -3 - -1 1 3 5-1 - -3 - -5 Funktioner Side 15
11: En tankstation sælger benzin til 8 kr. pr. liter. a: Hvor meget koster 1 liter benzin? b: Udfyld tabellen til herunder: Byens billigste benzin 8 kr. pr. liter Antal liter benzin 1 3 5 Pris i kr. c: Tegn ud fra tallene i tabellen en graf i koordinat-systemet. d: Hvad koster 5 liter benzin? e: Hvor meget benzin kan man få for 1 kr.? Pris i kr 5 3 1 Du kan så lave tabellen grafen i et regneark eller et andet IT-prram. 1 3 5 Antal liter benzin 1: En slagter sælger pølser til kr. pr. kg. a: Hvor meget koster kg pølser? b: Udfyld tabellen til herunder: Pølser - med uden farve kr. pr. kg Antal kg pølser 1 3 5 Pris i kr. c: Tegn ud fra tallene i tabellen en graf i koordinat-systemet. d: Hvad koster 3,5 kg pølser? e: Hvor mange pølser kan man få for 1 kr.? Pris i kr 5 15 1 5 Du kan så lave tabellen grafen i et regneark eller et andet IT-prram. 1 3 5 Antal kg pølser Funktioner Side 155
13: To bil-udlejnings-firmaer tager disse priser: Kvik Biler kr. pr. km Fast afgift: 3 kr. pr. dag Auto Service kr. pr. km Ingen fast afgift Begge firmaers priser er vist som grafer i et koordinat-system. a: Hvilken graf passer til Kvik Biler? b: Hvilken graf passer til Auto Service c: Hvor krydser graferne hinanden? d: Hvilket firma er billigst, hvis man skal køre 1 km på en dag? e: Hvilket firma er billigst, hvis man skal køre km på en dag? 1: To telefon-selskaber tager disse priser: Udgift i kr. pr. dag 1 8 6 5 1 15 5 Antal km pr. dag Tele 6 øre pr. minut Abonnement: 8 kr. pr. måned Tele 1 1 kr. pr. minut Ingen betaling for abonnement Begge selskabers priser er vist som grafer i et koordinat-system. a: Hvilken graf passer til Tele? b: Hvilken graf passer til Tele 1? c: Hvor krydser graferne hinanden? d: Hvilket selskab er billigst, hvis man typisk ringer fem min. om dagen? e: Hvilket selskab er billigst, hvis man typisk ringer ti min. om dagen? Udgift i kr. pr. måned 3 1 1 3 Antal min. pr. måned Funktioner Side 156
Lineære funktioner ligefrem proportionalitet Nu skal du enten selv tegne dine koordinatsystemer på papir eller lave dine diagrammer i regneark eller et andet IT-prram. 15: To taxa-firmaer tager de viste priser. a: Hvad koster det at køre 3 km med Andeby Taxa? b: Lav udfyld en tabel, som denne: Antal km 1 o.s.v. 1 Pris hos Andeby Taxa 1 1 Pris hos Gåserød Taxa c: Tegn en graf for begge taxa-selskaber i et koordinatsystem. d: Opstil funktioner for begge firmaer. x er antal km y er prisen. e: Hvor krydser graferne hinanden? Andeby Taxa kr. pr. km 1. i startgebyr Gåserød Taxa kr. pr. km Intet startgebyr Forslag til akser: x-akse: 1 cm = 1 km y-akse: 1 cm = kr. 16: To taxa-firmaer tager de viste priser. a: Hvad koster det at køre km med Henry b: Lav udfyld en tabel, som denne: Antal km o.s.v. 1 Pris hos Henry 35 51 Pris hos Tom c: Tegn en graf for begge taxa-selskaber i et koordinatsystem. d: Opstil funktioner for begge firmaer. x er antal km y er prisen. e: Hvor krydser graferne hinanden? f: Hvornår er det billigst at køre med Henry? g: Hvornår er det billigst at køre med Tom? h: Aflæs på grafen: - hvor mange km kan man køre med Henry for 1 kr.? - hvor mange km kan man køre med Tom for 1 kr.? Henrys Hyrevne 1 kr. pr. km 5 kr. i startgebyr Toms Taxa 15 kr. pr. km kr. i startgebyr Forslag til akser: x-akse: 1 cm = 1 km y-akse: 1 cm = 1 kr. Funktioner Side 157
17: Herunder er vist et udsnit af koordinatsystemer tegnet på forstørret mm-papir. Bestem for hvert koordinatsystem for begge tal-akser hvor langt der er mellem de tynde streger. a: b: 1 1 5 1 c: d: 1 5 5 5 1 18: Find de tabeller de funktionsforskrifter, som passer sammen. Udfyld så de tomme pladser i tabellerne tegn evt. graferne. a: x 1 3 y -1 1 A: f(x) = x + b: x 1 3 y 1 B: g(x) =,5 x + 1 c: x 1 3 y 8 1 C: h(x) = x Funktioner Side 158
19: Leje af bil Du skal bruge en bil i en dag. a: Hvad er prisen hos Vestergård, hvis du kører 1 km? b: Hvad er prisen hos Hansen, hvis du kører 1 km? c: Sammenlign priserne ved de to firmaer, når du kører 3 km på en dag. d: Lav grafer for begge firmaer i et koordinatsystem. e: Hvor krydser graferne hinanden? f: Opstil funktioner for begge firmaer. x er antal km y er prisen. g: Hos hvilket af firmaerne er prisen ligefrem proportional med antallet af kørte km? Vestergård Biler,5 kr. pr. km Fast afgift: 3 kr. pr. dag Hansen Auto-udlejning kr. pr. km Ingen fast afgift Forslag til akser: x-akse: 1 cm = km y-akse: 1 cm = 1 kr. : Sammenligning af mobiltelefon-selskaber. Du skal kun sammenligne udgiften til SMS fast afgift (selv om det måske ikke er så realistisk). a: Hvad koster det at sende SMS er på en måned hos Smart Mobil? Medregn den faste afgift. b: Hvad koster det at sende SMS er hos de to andre selskaber? c: Lav grafer for alle tre selskaber i et koordinatsystem. d: Hvor krydser graferne hinanden (cirka-tal)? e: Opstil en funktion for hvert firma. x er antal SMS er på en måned y er prisen. f: Vurder hvor det er billigst at sende: - SMS er på en måned. - SMS er på en måned. g: Hos hvilket af selskaberne er prisen ligefrem proportional med antallet af SMS er? Smart Mobil 1 øre pr. SMS 5 kr. pr. måned i fast afgift (abonnement) Nem Mobil øre pr. SMS Ingen fast afgift Min Mobil Fri SMS: 6 kr. pr måned Ingen fast afgift Forslag til akser: x-akse: 1 cm = SMS er y-akse: 1 cm = 5 kr. 1: Gæt hvilke funktionsforskrifter der hører til disse tabeller. Udfyld så de tomme pladser tegn evt. graferne. a: x 1 3 x 1 3 b: f(x) 1 3 5 g(x) - -1 Funktioner Side 159
: Tegn i et koordinatsystem graferne for disse funktioner: f(x) = 3 x + g(x) =,5 x + 7 Aflæs så koordinaterne til grafernes skæringspunkt. 3: Tegn i et koordinatsystem graferne for disse funktioner: f(x) = x + 3 g(x) = x h(x) = 8 Aflæs så koordinaterne til grafernes skæringspunkt. (Der er tre forskellige skæringspunkter). : Tegn i et koordinatsystem graferne for disse funktioner: f(x) = x 3 g(x) = x + 1 h(x) = x + 5 Skærer graferne hinanden? 5: Tegn i et koordinatsystem graferne for disse funktioner: f(x) = 3 x + g(x) = x + h(x) =,5 x + Hvorledes skærer graferne hinanden? 6: Tegn i et koordinatsystem graferne for disse funktioner: f(x) = 3 x g(x) = x + h(x) = x + 8 Alle tre grafer skærer hinanden i samme punkt. Hvad hedder dette skæringspunkt? Funktioner Side 16
7: Bestem funktionsforskrifterne for de grafer, som er tegnet i koordinatsystemet herunder: 8 7 6 5 3 1 1 3 5 6 7 8 8: Bestem funktionsforskrifterne for de grafer, som er tegnet i koordinatsystemet herunder: 5 3 1-5 - -3 - -1 1 3 5-1 - -3 - -5 Funktioner Side 161
9: Du skal sammenligne priserne hos de to foto-firmaer. a: Hvilket firma er billigst, hvis man skal have lavet 5 billeder. b: Hvilket firma er billigst, hvis man skal have lave 1 billeder. c: Lav udfyld en tabel, som denne: Foto-Fix Professionelt arbejde Du betaler kun for dine billeder. Pris: 1,5 kr. pr. billede. Antal billeder osv. Pris hos Foto-Fix Pris hos Billed-børsen Billed-børsen Kun 85 øre pr. billede. d: Lav grafer for begge selskaber i et koordinatsystem. e: Hvor krydser graferne hinanden? f: Opstil funktioner for begge firmaer. x er antal billeder. y er prisen i kr. g: En kunde hos Foto-Fix skal betale 115 kr. Hvor mange billeder har kunden fået lavet? h: En kunde hos Billed-børsen skal betale 1,8 kr. Hvor mange billeder har kunden fået lavet? Ekspedition porto: Uanset antal 9 kr. i: Hos hvilket af firmaerne er prisen ligefrem proportional med antal billeder? Forslag til akser: x-akse: 1 cm = 1 billeder. y-akse: 1 cm = 1 kr. 3: En sælger kan vælge mellem de viste aflønnings former. a: En sælger er på aflønnings-form I. Han sælger for. kr. på en måned. Hvad bliver hans månedsløn? Aflønnings-form I 1% af salget b: Lav udfyld en tabel, som denne: Salg pr. måned 5... 6. Løn pr. måned ved aflønnings-form I Løn pr. måned ved aflønnings-form II c: Lav grafer for begge aflønningsformer i et koordinatsystem. d: Hvor krydser graferne hinanden? e: En sælger på aflønnings-form II tjener 8. kr. på en måned. Hvor meget har han solgt for? f: Opstil funktioner for begge aflønnings-former. Aflønnings-form II 5% af salget samt et grund-beløb på. kr. pr. måned Forslag til akser: x-akse: 1 cm = 5. kr. y-akse: 1 cm = 5. kr. Funktioner Side 16
Andre funktioner Opgaverne i dette afsnit handler mest om funktioner, som ikke er lineære funktioner. Så er graferne ikke rette linjer men bløde buer. 31: Tegn udfyld tabellerne for disse funktioner afrund funktionsværdierne til en decimal.: 1 f(x) = + x x 1 3 5 6 7 8 9 1 f(x) g(x) = 5 x x 1 3 5 6 7 8 9 1 g(x) h(x) 1 x 1 3 5 6 7 8 9 1 = x h(x) Tegn så på et stykke mm-papir graferne for de tre funktioner. Graferne skal være bløde buer! Det er muligt at grafen for h ryger ovenud af papiret. NB: Hvorfor er feltet til f() krydset over? 3: Find de tabeller de funktionsforskrifter, som passer sammen. Udfyld så de tomme pladser i tabellerne. a: x 1 3 y 8 A: y = x b: x 1 3 y 16 B: y = x c: x 1 3 y 1 6 C: y = x x + Tegn så graferne for funktionerne ovenover. Du bestemmer selv, hvorledes du vil indrette dit koordinatsystem. Graferne skal være bløde buer! Funktioner Side 163
33: Brian betaler tilbage a: Hvor meget skal Brian betale om måneden, hvis lånet skal betales tilbage på et år? b: Hvor meget skal Brian betale om måneden, hvis lånet skal betales tilbage på to år? c: Lav udfyld en tabel som denne: Brian har lånt 1. kr. af sin mor. Lånet skal betales tilbage med et fast afdrag hver måned. Antal måneder (x) 8 1 16 osv. Afdrag pr. måned (y) d: Tegn en graf ud fra tallene i tabellen. Grafen skal være en blød bue! e: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen grafen? x y = y = 1. x 1. 1. y = x f: Kan man sætte alle tal ind som x i den rigtige funktion? Kan x fx være? Forslag til akser: x-akse: 1 cm = mdr. y-akse: 1 cm = kr. g: Hvor lang tid tager det at betale lånet tilbage, hvis Brian betaler 8 kr. pr. måned? Prøv om du både kan beregne svaret aflæse det på grafen. 3: Areal af kvadrater Tegningen viser tre kvadrater med sidelængderne 1 cm, cm 3 cm. a: Tegn selv to kvadrater med sidelængderne cm 5 cm. b: Udfyld tabellen herunder. Det er naturligvis net pjat med en sidelængde på cm, men tallet er med for systemets skyld Sidelængde i cm (x) 1 3 5 6 7 8 9 1 Areal i cm (y) c: Tegn en graf ud fra tallene i tabellen. Grafen skal være en blød bue! Måske er det svært at få hele grafen med, fordi y vokser meget hurtigt. d: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen grafen? y = x y = x h: Hvad er sidelængden på et kvadrat med arealet cm? Prøv om du både kan beregne svaret aflæse det på grafen. Funktioner Side 16
Kært barn har mange navne 35: Hvilke af funktionsforskrifterne teksterne herunder betyder det samme som udtrykket i rammen? y = x : 1 x y = x y = x y = y =,5 x y = x y er det halve af x x er det halve af y y er det dobbelte af x 36: Hvilke af funktionsforskrifterne teksterne herunder betyder det samme som udtrykket i rammen? y = x + 5 y = 5 + x y = x + x + 5 y = + x 5 y = (x + 5) y = x + 5 Man finder y ved først at lægge 5 til x derefter gange resultatet med. Man finder y ved først at gange x med derefter lægge 5 til resultatet. 37: Hvilke af funktionsforskrifterne teksterne herunder betyder det samme som udtrykket i rammen? ( x ) y = 3 + y = (x + ) 3 y = 3 x + y = 6 + x 3 y = (x + 3) y = x + x + x + 6 Man finder y ved først at lægge til x derefter gange resultatet med 3. Man finder y ved først at gange x med 3 derefter lægge til resultatet. 38: Hvilke af funktionsforskrifterne teksterne herunder betyder det samme som udtrykket i rammen? x + 3 y = y = x + 3 : y =,5 x +,75 y = x : + 3 ( x 3) : y = + 3 y = 1 x + Man finder y ved først at lægge 3 til x derefter dividere resultatet med. Man finder y ved først at dividere x med derefter lægge 3 til resultatet. 39: Kan du selv skrive nle af funktionsforskrifterne i opgaverne ovenover på endnu flere måder? Tegn så grafer for (nle af) funktionerne. : Lav selv nle opgaver, der ligner opgaverne ovenover. Byt opgaver med en klassekammerat regn hinandens opgaver. Funktioner Side 165