Classcal Mechancs (3. eton). by Golsten, Poole & Safko Mekansk bevægelse af en partkel: Newtons anen lov v = r p, p = mv, F = t t ṗ Bevarelsesteorem for en partkels bevægelsesmænge: Hvs en totale kraft F = 0, så er ṗ = 0 og bevægelsesmængen (lnear momentum) p er bevaret. Bevægelsesmængemomentet (mpulsmomentet) af en partkel og kraftmomentet (torque) mht. O efneres henholsvs, som L = r p, N = r F og en omskrvnng af Newtons anen lov gver: N = r t p = t (r p) = L Bevarelsessætnng for en partkels bevægelsesmængemoment: Hvs et totale kraftmoment N = 0, så er L = 0 og bevægelsesmængemomentet (angular momentum) L er bevaret.
.2 Newtons 2. lov på ntegreretform Den yre krafts arbee (når m er konstant): W 2 = Z 2 F s = Z t2 t m v Z t2 t vt = m v 2 t = t 2 t 2 m v2 2 v 2 = T2 T hvor T = 2 mv2 er en knetske energ. Hvs kraftfeltet er konservatvt fås: (s = r) I F s =0 F = V (r) F s = V s = V s s = V hvor V (r) er en potentelle energ, og erme Z 2 Z 2 F s = V = V V 2 = T 2 T eller T + V = T 2 + V 2 Den totale energ, som er summen af en knetske og en potentelle energ T + V,er bevaret for en partkel et konservatvt kraftfelt.
System af mange partkler () Loven om akton og reakton.3 m F F m () F + F = 0 (svag) r O r Ṗ X Totale masse M = X L X r t p = X ṗ = X () F + F = 0 r F = 0 (stærk) [r r r ] ³ F (e) + X r ṗ = X F = X m og massemtpunkt R = ³ r F (e) + X F (e) P P m r m F (e) P = X r F = X N (e) r m t = M R t N (e) Inføres relatve koornater r = R + r 0 ; v = v + v 0 [v = Ṙ] fås X m r = X m R + X m r 0 X X m r 0 = 0 og m v 0 = X m t r 0 = 0 og erme m R + r 0 v + v 0 L = X = R v X m + X m r 0 v + R X m v 0 + X m r 0 v 0 = R P + X r 0 p 0
System af mange partkler ().4 Z 2 Z t2 W 2 = X F s = X m v v t = X t hvor en totale knetske energ er Z t2 t 2 t m v 2 t = T2 T T = X 2 m v 2 = X 2 m (v + v 0 ) (v + v 0 )= 2 Mv2 + X m 2 (v) 0 2 Hvs e yre F (e) og nre kræfter P F F (e) = V og F = V alle er konservatve fås Lovenomaktonogreakton(enstærkeverson) V = V = V ( r r )=V (r ) ( F = V (r )= V(r 0 )ˆr ; ˆr =(r r )/r F = V (r )= V(r 0 )ˆr = V(r 0 )( ˆr )= F Z ³ Z F s +F s = Z F (s s )= V 0 (r )ˆr r = Z V 0 (r )r = V Defneres en totale potentelle energ V = P V + 2 P, V er T +V = T 2 +V 2 Foretfastlegeme(rgboy)err konstant og V () = V (2) V kan erstattes me P V (e nre kræfter ufører ntet arbee).
Bnnger (Constrants).5 System af N partkler me holonomske bnnger: () f(r, r 2,...,r N,t)=0 (t ngår: rheonomous ) () f(r, r 2,...,r N )=0 (t ngår kke: scleronomous ) Eks.: (a) Fast legeme: (r r ) 2 c 2 =0. (b) Partkler bunet tl at bevæge sg på en overflae eller langs en kurve (scleronomous, hvs en kke bevæger sg mosat fal: rheonomous). Antallet af bevægelseslgnnger er 3N, og antallet af uafhængge lgnnger er 3N k, hvs er er k holonomske bnnger: Systemet har 3N k frhesgraer, som kan beskrves vha. 3N k generalseree koornater r = r (q,q 2,...,q 3N k,t) q = q (r, r 2,...,r N,t). r N = r N (q,q 2,...,q 3N k,t). q 3N k = q 3N k (r, r 2,...,r N,t) Bnngerne påvrker partkelsystemet me kræfter som kke kenes på forhån. Ikke-holonomske bnnger: Utryk som benytter ulghestegn, eller fferentelle utryk er kke kan ntegreres tl en holonomsk lgnng (se eksempel lærebogen).
D Alemberts prncp og Lagrangefunktonen ().6 Den totale kraft på ente partkel er F (t) = F (a) + f = ṗ Antagelse: Det samlee vrtuelle arbee uført af bnngskræfterne er 0: P f δr =0 δr er en vrtuel fferentel forskynng af en te partkel, er overholer bnngerne for et fastholt tspunkt (δt = 0). Eksempel: normalkraften fra en overflaebnng ufører ntet arbee når partklerne forskyes langs overflaen. Bemærk at evt. gnnngskræfter tangentelt tl flaen er bbeholt F (a). I et ynamske tlfæle fås: F (t) = ṗ eller F (t) ṗ = 0 P (t) F ṗ δr = P (a) F + f ṗ δr =0 NX D Alemberts prncp: F ṗ δr =0 (F F (a) ) = Me k holonomske bnnger kan r utrykkes ve n =3N k generalseree koornater: nx r r = r (q,q 2,...,q n,t) og δr = δq, v = r nx t = r q + r t. Generalseree kræfter: X ṗ δr = X ³ r = ṙ = v t ṗ δr = X m r r δq = X F δr = X v q = F r δq X h t³ m ṙ r m ṙ t og h m t³ v v v m q v δq = X = ṙ q = r Q δq = Q = X ³ r δq h tn q ³ 2 m v 2 F r o 2 q m v 2 δq
D Alemberts prncp og Lagrangefunktonen ().7 D Alemberts prncp NX F ṗ δr =0 = nx = n h ³ T Q t De generalseree koornater q er uafhængge varable t Antages F = V (r, r 2,...,r N,t) fås Q = X ³ T som nsat gver: (T V ) =0 eller t q (V er uafhængg af ṙ og erme af q ). t T o δq =0 q ³ T T q = Q V r r = V F r = X ³ (T V ) (T V ) =0 q Lagrangefunktonen: L T V Lagranges lgnnger: ³ L L =0 t q Lagrangefunktonen er kke éntyg: L = T V + t f(q,...,q f n,t)opfylerogså Lagranges lgnnger, et t = X Konservatve + kke-konservatve kræfter: ³ L L t q = Q (kke-konservatve) f q + f t
Eksempler ().8 M x l x M 2 Atwoo s falmaskne: Generalseret koornat: x Potentel energ: V = gm x gm 2 (l x) Knetsk energ: T = M + M 2 2 )ẋ 2 Lagrangefunktonen: L = T V og t h M ẋ + M t 2 gm gm 2 = 0 ẍ = M M 2 M + M 2 g ³ L L ẋ x =0 eller y r m (x, y, z) θ = ωt Gnnngsfr rng på ævnt roterene stang: Generalseret koornat: r Holonomske lgnnger: x = r cos ωt, y = r sn ωt, z = c Potentel energ: V = 0 Knetsk energ: T = 2 m(ẋ2 + ẏ 2 )= 2 m(ṙ2 + ω 2 r 2 ) Lagrangefunktonen: L = T V og ³ L L t ṙ r =0 ³ mṙ mω 2 r =0 eller t x r = ω 2 r ; r(t) =Ae ωt + Be ωt
Eksempler () () Generelt: T = X m 2 v 2 = X ³ m X r 2 q + r 2 = M0 + X X M t q + M 2 k q q k k M 0 = X ³ m r 2 2, M = X r m t t r, M k = X r m r q k Scleronomous holonomske bnnger: r = r (q,...,q n ) r t =0ogM 0 = M =0. 3X () Enkel partkel: q = x, q 2 = y, q 3 = z T = m 2 q2,v= V (q),l= T V For =, 2, eller 3: ³ L L t q = = t (m q V )+ = ṗ F =0(Newtons2.lov).9 () Enkel partkel: q = ρ, q 2 = θ og (cylnerkoornater) x = ρ cos θ, y= ρ sn θ, z= z 0 T = 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 )= m[( ρ cos θ ρ θ sn θ) 2 +( ρ sn θ + ρ θ cos θ) 2 ]= m[ 2 2 ρ2 +(ρ θ) 2 ] V = V (ρ) = 2 kρ2 (feerkonstant: k), vs. L = T V = m[ 2 ρ2 +(ρ θ) 2 ] 2 kρ2 L ρ = mρ θ 2 L kρ, θ =0, L ρ = m ρ, L θ = mρ2 θ Lagranges lgnnger (bevægelseslgnnger): () t (m ρ) mρ θ 2 +kρ =0, (2) t (mρ2 θ) =0 Lgnng (2) vser at ẑ L = ẑ N =0. Anetle()erm gange centrpetalacceleratonen ( centrfugalkraften hvs leet flyttes over på en anen se af lghestegnet) og kρ er en raære feerkraft. Specalløsnng: ρ = ρ 0, θ = ω, hvorω 2 = k/m
Lagrangefunkton og kke-konservatve kræfter.0 Lagrangefunkton for partkel me lanng q etelektromagnetskfelt L = T U = 2 mv2 qφ + qa v hvor E = φ A, B = A (bemærk at U = V,hvsA = 0). t Benyttes (q,q 2,q 3 )=(x, y, z) Lagranges lgnnger fås: 0= ³ L L = φ mvx + qa t q q t x ( q) x q (A v) = x ³ Ax x mẍ + q x t + A x y y t + A x z z t + A x + q φ ³ t x q Ax x v x + A y x v y + A z x v z ³ Ax mẍ + qv y y A ³ y Ax + qv x z z A ³ z φ + q x x + A x = t mẍ + qv y ( B z )+qv z B y qe x = mẍ q(v B + E) ˆx = mẍ F ˆx =0 = overensstemmelse me at Lorenz-kraften på enlaeepartkeler F = q(e + v B). Gnnngskræfter: P F = kv kan nklueres vha. Rayleghs sspatonsfunkton F = 2 kv2 Q = X F r = X F v = F ³ L L + F =0 v q q t q q